3416

Динамические системы

Контрольная

Физика

Динамические системы Динамической системой наз. система вида. Начальные условия. Для существования и единственности решения задачи, достаточно потребовать непрерывность правых частей, а также существование и н...

Русский

2012-10-31

203.5 KB

40 чел.

Динамические системы

Динамической системой наз. система вида

.  (1)

Начальные условия

   (2)

Для существования и единственности решения задачи (1),

(2) достаточно потребовать непрерывность правых частей, а также существование и непрерывность частных производных

,  на некотором открытом множестве  размерности .

Детерминизм динамических систем обусловлен, как считалось ранее, единственностью решения задачи Коши. Однако абсолютно точное задание начальных условий для задачи Коши невозможно, и это обстоятельство во многих случаях приводит к радикальным изменениям в трактовке поведения физической системы. Формально хорошо известная теорема Коши о существовании и единственности решения обычно выполняется, однако неустойчивость по отношению к изменению начальных условий приводит к тому, что поведение динамической системы становится по существу недетерминированным и на больших временах может определяться некоторым предельным распределением вероятности. При этом форма распределения вероятности будет определяться только видом динамической системы и не будет зависеть от первоначальной неопределенности в задании начальных условий, которая может быть сколь угодно малой. В этом смысле можно сказать, что система (1), (2)

внутренне содержит в себе «случайность», для проявления которой достаточно сколь угодно малой неточности в задании начальных условий. Таким образом, казалось бы полностью детерминированные системы могут вести себя случайно. Это явление называется динамическим хаосом или детеминированным хаосом.

Пример динамической системы – системы уравнений Гамильтона:

  .  (3)

Краткая запись

 ,  (4)

.  (5)

Опр. Ф. , которая при подстановке в (1) обращает их в тождества, наз. общим интегралом системы (1).

Точное задание начальных условий

   (6)

однозначно определяет решение в любой момент времени t:

 .  (7)

Решение (1) можно представить как линию в n-мерном пространстве, образованном переменными . Это пространство наз. фазовым пространством. Каждому состоянию этой системы соответствует точка в этом пространстве. Траектория изображающей точки наз. фазовой траекторией.

Автономной системой наз. система , поведение которой определяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений

  ,  (8)

т.е. системой (1), где правые части не зависят явно от времени.

Всякая система может быть формально сведена к автономной. Для этого систему (1) записывают в виде

  (9)

системы  порядка.

Ф.  наз. векторным полем фазовой скорости.

Система (1) осуществляет отображение

,   (10)

т.е. произвольной точке фазового пространства  ставится в соответствие определенная точка по правилу.

  Оператор  наз. оператором эволюции, фазовым потоком, оператором сдвига.

 Действие

Рис.1

Св-во: Если система является гамильтоновой, то по теореме Лиувилля фазовый поток сохраняет фазовый объем

 .  (11)

Фазовые траектории нигде не пересекаются в силу теоремы о единственности решения, кроме особых точек, составляющих множество нулевой меры. Поэтому с точностью до этого множества можно сказать, что оператор осуществляет взаимно однозначное отображение фазового пространства в себя.

Раздел. Отображения. Динамические системы с дискретным временем.

Пусть  - оператор сдвига на время

 .  (12)

Тогда для гамильтоновой системы можно записать

.  (13)

При таком описании состояние динамической системы -динамической системы с дискретным временем -определяется лишь в определенные дискретные моменты времени. Иногда такое описание позволяет существенно упростить задачу. В общем случае действие оператора  определяется только численно. Однако, если эволюция системы происходит вследствие кратковременных толчков, то используя свойства - функции Дирака, вид отображения можно найти аналитически. В общем случае отображение может быть записано так:

,  (14)

где  - совокупность «управляющих» параметров, если таковые имеются. Управляющие параметры могут также изменяться в процессе отображения.

Отображения вида (14) наз. также каскадами.

 Отображение Пуанкаре

Рассмотрим гамильтонову систему с двумя степенями свободы: частица движется на плоскости и ее положение определяется вектором . Пусть гамильтониан явно не зависит от времени и поэтому энергия сохраняется:

  .  (15)

Фазовое пространство четырехмерно. Фазовые траектории находятся на трехмерной энергетической гиперповерхности. Соотношение (15) позволяет, по крайней мере, локально выразить любую из четырех переменных как функцию трех остальных, например

 .  (16)

Таким образом, фазовое пространство фактически становится трехмерным  (если нет дополнительных интегралов движения). Выберем в этом трехмерном пространстве некоторую поверхность , например, некоторую плоскость и рассмотрим ее последовательные пересечения фазовой траекторией в направлении возрастания времени.

При этом получим некоторую последовательность точек пересечения

 

Такое отображение точек на поверхности  осуществляется с помощью некоторой функции :

 

Опр. Функция  наз. функцией последования или отображением

Пуанкаре.

 

Совокупность точек также называется отображением Пуанкаре.

Понятие отображения Пуанкаре можно распространить и на системы с

. Для автономных систем размерность энергетической гиперповерхности, на которой расположены фазовые кривые, равна

. В этом случае рассматриваются последовательные точки пересечения траектории динамической системы с  - мерной гиперповерхностью  при условии, что поток нигде не касается , а «протыкает» ее. Если помимо интеграла энергии имеется еще  интегралов движения, то размерность усеченного фазового пространства равна , а размерность гиперповерхности равна .

Если известна структура следов на секущей поверхности , это дает возможность наглядно представить динамику системы.

Так называемому квазипериодическому движению соответствует отображение Пуанкаре, множество точек которого плотно заполняет определенную замкнутую кривую.

 

Наконец существуют системы, для которых при некоторых условиях траектория на  представлена хаотическим множеством точек. Режим эволюции таких точек не является ни периодическим, ни квазипериодическим.

Раздел. Интегрируемые системы.

Мы уже говорили - уравнения Гамильтона обладают тем важным свойством, что допускают широкий класс преобразований канонических переменных  (канонические преобразования), при которых не изменяется общая форма уравнений для любой гамильтоновой системы:

 (1)

  ,  (2)

 .  (3)

Такие преобразования могут быть полезны при построении решений и анализе физической картины движения.

Одно из важных и часто используемых преобразований является преобразование

,  (4)

при котором в новых переменных не зависит от координат :

 .  (5)

В этом случае переменные  называются переменными действия, а соответствующие сопряженные переменные  называются переменными типа угол.

Такие преобразования однако возможны лишь в определенных специальных случаях.

В этих случаях имеем

 . (6)

Эта система легко интегрируется:

 . (7)

Отсюда по формулам преобразований можно найти исходные координаты и импульсы:

 , (8)

 . (9)

Опр. Гамильтонова система (1) наз. полностью интегрируемой, если существует каноническое преобразование, с помощью которого можно перейти к переменным действие-угол.

 Геометрическая интерпретация полностью интегрируемой системы

Рассмотрим систему с одной степенью свободы, совершающую финитное движение. Для таких систем фазовое пространство двумерно, а преобразование вида

  (1)

осуществимо всегда. Для описания динамики удобна полярная система координат с  и . Тогда движение при заданном

будет происходить по окружности с радиусом .

Изменяя радиус, получим множество вложенных концентрических окружностей. Фазовое пространство разбито окружностями на совокупность колец. Скорость движения по индивидуальной окружности в общем случае зависит от : .

Для системы с двумя степенями свободы фазовое пространство четырехмерно. Динамика таких систем : движение по окружности с центром , образованной переменными  и одновременно по окружности с центром  (в плоскости, перпендикулярной плоскости окружности ), образованной переменными .

Суперпозиция таких движений задает движение по поверхности тора, размерность которого равна двум.

Траектория, располагающаяся на торе, называется обмоткой тора.

Рассмотрим систему двух гармонических осцилляторов единичной массы, динамика которой в нормальных координатах описывается гамильтонианом

.  (2)

Фазовое пространство такой системы четырехмерно. Редуцированное пространство двухмерно. Проделаем каноническое преобразование по формулам , которые были получены ранее

, , (3)

.

Новый гамильтониан не зависит от переменных

.  (4)

Поэтому

.  (5)

Далее

, .  (6)

В силу произвольности  все фазовое пространство оказывается расслоенным на совокупность вложенных друг в друга торов. Аналогичная картина будет иметь место для любой интегрируемой гамильтоновой системы с  Фазовые траектории будут располагаться на концентрических двухмерных торах.

При этом для нелинейных систем частоты обращения будут изменяться от тора к тору

,  . (7)

Пусть

,  - целые числа. (8)

Зададим интервал времени

.  (9)

Тогда

 

 , (10)

 

. (11)

Поэтому через время  траектория возвращается в точку, из которой она вышла в момент .

Вывод: если частоты  и  соизмеримы, движение системы является периодическим с периодом  и фазовая траектория представляет собой замкнутую непересекающуюся линию на торе.

При несоизмеримых частотах фазовая траектория образует всюду плотную обмотку тора. Такое движение называется квазипериодическим.

Пусть динамическая система является интегрируемой и . В этом случае фазовое пространство - мерно и в переменных действие – угол имеет структуру множества определенных - мерных торов , определяемых величинами  и набором частот:

, , …,. Любая траектория располагается на одном из них.

Опр. - мерный тор называется резонансным, если выполняется соотношение

 

 .  (12)

 Теорема КАМ

Колмогоров, Арнольд, Мозер

Системы, близкие к интегрируемым

 . (1)

Уравнения Гамильтона

 

  (2)

Если  , то система является полностью интегрируемой и ее решения будут покрывать n-мерные концентрические торы.

Исследования показали: при достаточно малых  большинство нерезонансных торов сохраняется и лишь немного деформируется.

Качественная формулировка теоремы КАМ:

Если невозмущенная гамильтоновская система невырождена , то при достаточно малом консервативном гамильтоновском возмущении большинство нерезонансных инвариантных торов не исчезает, а лишь немного деформируется, так что в фазовом пространстве возмущенной системы существуют инвариантные торы, заполненные всюду плотно фазовыми кривыми, обматывающими их квазипериодически. При достаточно малых  энергетическую гиперповерхность  можно разбить на две области ненулевого объема. Большая из них содержит деформированные нерезонансные торы невозмущенной задачи, а в меньшей области (объем которой стремится к нулю при ) движение оказывается очень сложным.

Условие невырожденности означает, что

. (3)

Условие (3) – это условие функциональной независимости частот .

Возмущение действует так. Оно разрушает торы, лежащие в малой окрестности резонансных торов. При  разрушенные торы лежат между инвариантными торами.

 О глобальном поведении гамильтоновых систем

Существует качественное различие между динамическими системами с  и системами с числом степеней свободы . При  инвариантные торы являются двухмерными. Эти двухмерные торы делят энергетическую гиперповерхность на непересекающиеся области, и разрушенные торы оказываются зажатыми между ними. Фазовая траектория в щели между двумя инвариантными торами оказывается запертой здесь навсегда. При этом величины  практически не изменяются и при движении остаются вблизи своих начальных значений. Угловые же переменные при этом нерегулярно изменяются.

Рассмотрим некоторую - мерную область. Эта область разобьется на непересекающиеся части , если размерность разделяющей гиперповерхности равна . Для автономных гамильтоновых систем размерность уровня энергии  равна . Поэтому размерность разделяющей гиперповерхности должна быть равной . Чтобы инвариантные торы делили область на непересекающиеся части их размерность должна удовлетворять условию

.

Отсюда вытекает

 .

При  - мерные инвариантные торы уже не делят энергетическую гиперповерхность на непересекающиеся части , поэтому области разрушения могут, соединяясь, пронизывать все фазовое пространство. Области разрушенных торов сливаются , образуя сплошную единую сеть, которую называют паутиной Арнольда. Двигаясь по нитям этой паутины, фазовая точка может удаляться на значительное расстояние от своего первоначального положения. Это явление получило название диффузии Арнольда. При  диффузия существует всегда, даже при сколь угодно малых .

Поэтому для гамильтоновых систем, близких к интегрируемым, при  характерно отсутствие глобальной устойчивости.

EMBED Equation.DSMT4  

А

В

С

S


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61588. Экзотические птицы в витражной технике 17.82 KB
  Как вы все уже знаете тема нашей смены в лагере называется 438 попугаев. Каждому отряду присвоены имена различных видов попугаев. Затем мы вырежем всех нарисованных попугаев...
61589. Троекуров и Дубровский 20.23 KB
  Цели урока: Личностные: развитие представлений детей о нравственных и социальных проблемах, таких как верность дружбе, любовь, искренность, честь и отвага, постоянство, преданность, справедливость и несправедливость.
61590. Композиция с применением различных фактур. Зимний пейзаж 19.18 KB
  Цель урока: выполнить зимний пейзаж с применением разных материалов Задачи обучающие; изучить приемы работы с различными материалами познакомиться с понятием фактура развивающие...
61592. Рисование на тему Зима 25.89 KB
  Скоро у нас праздник Новый год и в связи с этим праздником мы будем делать сегодня подарок для ваших мам мы будем рисовать красивый рисунок для того чтобы их порадовать вывешивается рисунок.
61596. Shopping for clothes 21 KB
  Задачи урока: 1.Общеобразовательные: активизировать словарь учащихся; повторить пройденный материал; усвоить и применить в речи лексику по теме «Одежда»; выработать навык сознательного и выразительного чтения...