3417

Элементы квантовой механики

Лекция

Физика

Элементы квантовой механики 1. Гипотеза де Бройля. 2. Соотношение неопределенности Гайзенберга. 3.Волновая функция и ее интерпретации. 4. Уравнение Шредингера. Стационарные состояния. В 1924 году французский физик Луи де Бройль выдвинул гипотезу о т...

Русский

2012-10-31

211.5 KB

22 чел.

Элементы квантовой механики

1. Гипотеза де Бройля.

2. Соотношение неопределенности Гайзенберга.

3.Волновая функция и ее интерпретации.

4. Уравнение Шредингера. Стационарные состояния.

В 1924 году французский физик Луи де Бройль выдвинул гипотезу о том, что  дуализм не является особенностью фотона и что подобным свойством обладает любая материя.

Он писал: «в оптике в течение столетия слишком пренебрегали корпускулярным способом рассмотрения процессов по сравнению с волновым, не делается ли в теории вещества обратная ошибка».

По де Бройлю: всякий микрообъект, будь то молекула, атом, электрон или фотон, представляет собой образование особого рода, сочетающее в себе свойства и волны и частицы; при этом микротела не ведут себя ни как частица, ни как волна.

Допуская, что микрочастицы наряду с корпускулярными обладают и волновыми свойствами, он перенес на случай частиц вещества те же правила перехода от одной картины к другой, какие справедливы в случае света.

Мы знаем, что фотон обладает энергией  и импульсом .

Де Бройль считал, что движение релятивистской микрочастицы связано с волновым процессом, длина волны которого определяется ее импульсом и энергией.

                       

                                        ,    .

Для нерелятивистской  частицы, скорость которой меньше скорости света длина волны вещества может быть определена по формуле:

                                                  

                                           .

Гипотеза де Бройля была подтверждена уже в 1927году американскими физиками Дэвиссоном и Джермером, которые получили дифракцию электронов , используя в качестве отражающей дифракционной решетки монокристалл никеля. В том же 1927 году англичанин Дж. Томсон ( сын известного физика Дж.Дж Томсона, которому принадлежит первая модель атома) и советский физик П. Тартаковский получили дифракционную картину при прохождении электронного пучка через металлическую фольгу. Полученные результаты практически идеально совпадали с результатами, вычисленными по формуле Брегов для дифракции рентгеновских лучей.

Микрообъект не способен воздействовать непосредственно на наши органы чувств – ни видеть, ни осязать его нельзя. Ничего подобного  микрообъектам в воспринимаемом нами мире  не существует. Мы знаем,  что будет с макрочастицей, можем предсказать траекторию ее движения, но микрочастицы так себя не ведут.

Отличие микрочастицы от привычных нам макротел в том, что она не обладает одновременно определенными значениями координаты и импульса. Вследствие чего привычное  понятие «траектория движение» утрачивает смысл.

Своеобразие свойств микрочастиц отчетливее всего обнаруживается в следующем мысленном эксперименте. Направим на преграду с двумя узкими щелями параллельный

пучок монохроматических (обладающих одинаковой кинетической энергией) электронов, рис.12.

                                               Рис. 12

               Дифракция электронного пучка на двух щелях.

За преградой поставим фотопластинку. Сначала пропустим пучок через одну щель, потом через другую. На пластинке возникнут  почернения в виде кривых 1  и 2. Затем откроем обе щели и пропустим пучок через них. Возникшая картина не является наложением двух предыдущих, что свидетельствует о влиянии обоих отверстий на движение каждого электрона. Такой вывод не совместим с представлением  о траекториях. Если бы электрон находился в каждый момент времени в определенной точке пространства, то он проходил бы  только через одно отверстие. Явление же дифракции доказывает, что в прохождении каждого электрона участвуют оба отверстия. Это не означает, что через каждое отверстие проходит часть электрона, так как электрон, как и любая микрочастица, является неделимым целым.

Проведенный эксперимент доказывает, что микрочастицы обладают свойствами особого рода, совершенно отличными от макрочастиц.

Из сказанного следует, что монохроматический поток микрочастиц, каждая из которых обладает импульсом  и энергией Е , при определенных условиях будет вести себя как плоская монохроматическая волна с волновым числом  и частотой .

Эту волну можно описать комплексной функцией вида:

             или, где i- мнимая единица.

В классической механике состояние макрочастицы определяются заданием значений координат, импульса, энергии и т.д. Эти величины называются динамическими переменными.

Как уже говорилось, своеобразие свойств микрочастиц проявляются в том, что для определения ее состояния  не для всех переменных, которые должны определять это состояние, могут быть получены конкретные значения.

В 1927 году немецкий физик Гайзенберг математически доказал, что: произведение неопределенностей значений двух канонически сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка.

Это утверждение называется принципом неопределенности Гайзенберга.

В механике канонически сопряженными являются пары переменных: координата (x,y,z) и импульс (); энергия Е и время t.

Математически принцип неопределенности можно записать:

                                            

или                                             .

Рассмотрим микрочастицу свободно летящую вдоль оси ОY. Поставим на ее пути преграду со щелью шириной , расположенную перпендикулярно направлению ее движения, рис. 13.

                                                Рис.13

                         Дифракция частицы на одной щели.

До прохождения щели х-ая компонента импульса частицы  имеет точное значение =0, так как ось ОХ направлена перпендикулярно ее движению, следовательно, неопределенность импульса тоже равна нулю  . Координата же частицы в этот момент является совершенно неопределенной. После прохождения щели появляется неопределенность координаты равная , но достигается это потерей определенности импульса, так как вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла равного . Угол  соответствует положению первого дифракционного максимума. Максимумами высших порядков можно пренебречь, поскольку их интенсивность будет мала по сравнению с интенсивностью центрального максимума.

Таким образом, неопределенность импульса будет равна:

                                                   .

Из теории дифракции известно, что краю центрального дифракционного максимума (это  первый дифракционный минимум) соответствует угол, синус которого равен:

                                                  .

Подставив синус в неопределенность импульса получим величину, оговоренную в принципе неопределенности Гайзенберга:

                                  .

Соотношение неопределенностей обусловлено корпускулярно-волновым дуализмом микрочастиц. Оно указывает, в какой мере можно пользоваться понятиями классической механики применительно к объектам микромира, которые подчиняются более тонким закономерностям, основанным на вероятностном подходе.

 Итак, согласно гипотезе де Бройля, любая материя обладает корпускулярно- волновым дуализмом. Следовательно, для полного описания состояния микрочастицы надо использовать как стандартные характеристики корпускул (массу, импульс), так и волновые. Одной из основных характеристик, описывающих волну, является ее амплитуда. Каков же физический смысл амплитуды волны де Бройля (волны материи)?

В квантовой механике амплитуду волны материи задают волновой функцией   (пси).  

- это заданная в любой точке пространства и в любой момент времени амплитуда волны материи, подобно тому, как  вектор  есть амплитуда электромагнитной волны.

Что бы понять физический смысл волновой функции, описывающей поток частиц, воспользуемся аналогией со светом.

По определению, интенсивность электромагнитной волны пропорциональна квадрату ее амплитуды: . С другой стороны, интенсивность светового пучка пропорциональна числу фотонов, падающих  на единицу поверхности в единицу времени: .

Следовательно,       .

Таким  образом, если волновая функция  описывает  ансамбль, состоящий из большого количества частиц, то в любой точке пространства  пропорциональна числу частиц, которые могут быть обнаружены в данной точке в данный момент времени.   

Физический смысл волновой функции, описывающей поведение одной частицы, дал в 1926 г. Макс Борн.

Согласно Борну,  квадрат модуля волновой функции определяет вероятность dW того, что частица будет обнаружена в  пределах объема dV:

                                                                                            

  

Интеграл от этого выражения, взятый по всему объему должен быть равен единице, так как  он дает вероятность того, что частица находится в одной из точек объемаV, а вероятность достоверного события всегда равна единице.

                                                                                                                      

 

Это соотношение называется условием нормировки.

Функции, удовлетворяющие этому условию, называются нормированными.

Статистическое описание поведения одной частицы из ансамбля осуществляется посредством функции, которую называют плотностью вероятности нахождения частицы в данной точке в данный момент.

                                                                 

                                                    .

Из условия нормировки вытекает, что квадрат модуля волновой функции дает плотность вероятности нахождения частицы в соответствующем месте в данный момент времени.

Из физического смысла волновой функции вытекают стандартные условия, накладываемые на нее:

1.  должна быть однозначной, непрерывной и конечной во всех  точках пространства ( кроме особых точек).

2.  Производная от волновой функции  тоже должна быть непрерывной и конечной во всех точках пространства.

Из физического смысла волновой функции следует, что квантовая механика имеет статистический характер. Она не позволяет определить точное местонахождение микрочастицы или ее траекторию. С помощью волновой функции можно лишь предсказать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в различных точках пространства.

В развитие идей де Бройля о волновых свойствах материи австрийский физик Шрёдингер в 1926 году получил уравнение, которое позволяет найти волновые функции частиц, движущихся в различных силовых полях.

Шрёдингер вывел свое уравнение исходя из оптико-механических аналогий, которые заключаются в сходстве уравнений, описывающих ход светового луча с уравнениями, определяющими траектории движения частиц в классической механике.

Это уравнение является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Оно не может быть получено из других соотношений и его справедливость доказывается тем, что все вытекающие из него следствия самым точным образом согласуются с опытными данными.

Для свободно двигающейся частицы (нет силового поля) уравнение Шрёдингера имеет вид:

                                  ,

где         - оператор Лапласа.

Если частица двигается в потенциальном поле, то уравнение Шрёдингера имеет вид:

                      ,

где U- потенциальная энергия частицы.

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида:

                                     ,

имеют решения, удовлетворяющие стандартным условиям лишь при некоторых избранных значениях энергии, которые называются собственными.

Совокупность собственных значений энергии называется спектром этой величины.

Если средние значения всех физических величин, характеризующих состояние микрочастицы, не зависят от времени, состояние называется стационарным, и оно описывается функцией вида:

                                        .

Уравнение Шрёдингера для  стационарных состояний имеет вид:

                                           ,

или                                       ,     

где Е – полная энергия частицы.

В дальнейшем мы будем иметь дело только с такими уравнениями, называя их просто уравнениями Шрёдингера.

Решения этого уравнения образуют дискретный энергетический спектр, определяемый номером состояния n, каждое из этих состояний является стационарным.

Основным состоянием называется состояние, описываемое волновой функцией, которая соответствует наименьшему значению энергии  Е.

 Иногда одному и тому же значению энергии Е соответствует несколько различных состояний частицы. Такие состояния называются вырожденными, а их число называют кратностью вырождения.

                                                   ЛЕКЦИЯ 4

                      ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ (продолжение)

5.  Частица в одномерной потенциальной яме.

6.  Частица в ящике с непроницаемыми стенками.

7.   Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект.

8.   Гармонический осциллятор.

Пусть некоторая частица находится в одномерной потенциальной яме шириной  с бесконечно высокими стенками. В такой яме частица может перемещаться только вдоль оси ОХ, следовательно   .

Между стенками ямы потенциальная энергия частицы равна нулю, т.е. при 0<  U=0; за стенками ямы эта энергия бесконечно велика, т.е. при  и  .

Определим возможные значения энергии, выражения для собственных  волновых функций частицы и распределение вероятности нахождения её по ширине потенциальной ямы.

Уравнение Шрёдингера в данном случае будет иметь вид:

                                       .

                                                                                                                  Рис. 14.

 Обозначив  , получим:            .

Уравнение по виду аналогично уравнению свободных незатухающих колебаний, но переменной в нем является координата, так как стационарные состояния от времени не зависят.                                    

Граничные условия и условие непрерывности волновой функции позволяют записать:

                         .

Решение данного уравнения будем искать в виде:  .

Из граничных условий следует, что:

                                         ,  ;

                                         ,    ,  ,

где    n=1,2,3,…, но не равно нулю, так как в этом случае  при  любых  х.

А это означает, что частицы в яме нет.

Получили, что           , откуда         .

То есть, частица  в потенциальной яме может принимать дискретный ряд разрешенных значений энергии.

Теперь найдем собственные значения волновой функции.

Поскольку энергетический спектр является дискретным, следовательно, и значения волновой функции будут тоже образовывать дискретный ряд:

                                           .

Амплитуду волновой функции найдем из условия нормировки:

                            .                   

Воспользовавшись теоремой о среднем   , получим:    ,

                           

                                        .

Окончательно собственные значения волновой функции для данного случая можно записать:

                                                      .

Плотность вероятности обнаружения частицы в состояниях, описываемых найденной

-функцией, по определению равна:

                                  ==.

Пусть n =1, тогда учитывая, что     вероятность обнаружить частицу на краях ямы практически равна нулю; при  функция ,                                                

то есть, вероятность обнаружить частицу максимальна в центре ямы и убывает по синусоиде к её краям.

 

Пусть n =2, тогда и ,  и .                            

Отсюда  следует, что максимальная вероятность обнаружить частицу соответствует двум точкам одновременно, что противоречит классическим представлениям.

Графики изменения значений энергий, волновых функций и распределения плотностей вероятности по ширине ямы при различных n приведены на рис.15.

                                                Рис.15

Рассмотрим в рамках квантовой механики движение частицы в ограниченном пространстве, которое  имеет форму прямоугольного параллелепипеда (потенциальный ящик). Рис.15а

                                     Рис.15а

Уравнения плоскостей, ограничивающих данный объём, имеют вид:

                                             

Будем считать, что частица движется свободно только внутри рассматриваемого объёма, а вне него её потенциальная энергия бесконечно велика.

                                      при ; и  при

Согласно граничным условиям, волновая функция, описывающая состояние частицы, вне потенциального ящика всюду равна нулю.

Внутри него волновая функция может быть найдена по уравнению Шрёдингера:

                                   

На стенках ящика, в силу условия непрерывности, волновая функция должна быть равна нулю.

Стационарные состояния частицы в ящике будут описываться волновой функцией вида:

                         

                                ,

где                                                                                                       

То есть совокупность чисел  можно рассматривать как трехзначный номер волновой функции.

Подстановка полученной волновой функции в уравнение Шрёдингера показывает, что она является его решением, если:

              .

Величины  можно рассматривать как проекции волнового вектора  на оси координат, тогда:                 .                .

Постоянную А находим из условия нормировки:

                                                       .                                  

Окончательно получим, что волновая функция, описывающая состояния частицы в потенциальном ящике, образует счетное множество и имеет вид:

                                    .           

                   

Соответствующие этим состояния энергии  образуют дискретный спектр.

Различие в поведении классической и квантовой частиц отчетливо наблюдается в тех случаях, если на их пути встречается потенциальный барьер.

Будем считать, что частица массой m свободно двигается вдоль оси ОХ.  Расположим на ее пути прямоугольный бесконечный потенциальный барьер высотой , Рис.16.

                                                           Рис.16.

Рассмотрим вначале поведение классической частицы.  Если полная энергия частицы Е меньше высоты барьера , то она отразится от него и полетит в обратную сторону, с той же энергией, которую имела до столкновения с барьером. Если же , частица пройдет над барьером, потеряв лишь часть своей кинетической энергии.

Иначе будет вести себя квантовая частица.

Такая частица с энергией , налетев на ступенчатый барьер, проникает в него на некоторую глубину и лишь, затем поворачивает в обратную сторону. Вероятность проникновения частицы в барьер определяется коэффициентом прозрачности барьера (коэффициент прохождения) D.

Под глубиной проникновения квантовой частицы в барьер понимают расстояние х, на котором вероятность обнаружения частицы уменьшается в е раз.

Функция, определяющая глубину проникновения частицы в барьер, имеет вид:

                                                  .

Для наиболее быстрых электронов в металле глубина проникновения составляет величину порядка десятых долей нанометра, что соизмеримо с межатомными расстояниями в металлическом кристалле.

Коэффициент отражения R определяет вероятность отражения  квантовой частицы от потенциального барьера, которая при E<U ,будет больше нуля. Сумма коэффициентов отражения и прозрачности барьера всегда равна единице.

                                          R+D = 1

В случае если , то у квантовой частицы появляется, отличная от нуля, вероятность отражения от потенциального барьера. (Для классической частицы это невозможно.)

Эта вероятность равна:

                                                   .

При этом D>0.

Еще удивительней поведение  квантовой частицы, встречающей на своем пути потенциальный барьер произвольной формы и конечной ширины. Рис.17 Она может оказаться за  барьером даже в случае, если  и отразится от барьера при .Это вытекает из уравнения Шредингера и стандартных условий, накладываемых на волновые функции.

                                                       Рис.17

В случае прямоугольного барьера высотой  и  конечной ширины  несложные, но очень громоздкие вычисления дают приближенную формулу для коэффициента прозрачности D вида:

                                              

    Соответствующий расчет для потенциального барьера произвольной формы дает более сложную функцию:

                                               ,

где U=U(х), х = а координата входа частицы в барьер, х = b координата выхода частицы из барьера. (Рис.17).                                         

При преодолении потенциального барьера частица проходит в нем как бы по туннелю, поэтому этот эффект и называется туннельным.

С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как частица «находящаяся в туннеле» должна  была бы обладать  отрицательной  кинетической энергией (в туннеле ). Туннельный эффект явление чисто квантовое, он не имеет аналогов в классической физике. В квантовой механике деление полной энергии на кинетическую и потенциальную не имеет смысла, так как противоречит принципу неопределенности. Если частица имеет определенную кинетическую энергию, значит она обладает определенным импульсом, если частица обладает определенной потенциальной энергией, то она имеет определенную координату. А это для квантовой частицы невозможно. Таким образом, хотя полная энергия частицы и имеет определенное значение, она не может быть представлена в виде суммы определенных значений Е и U.

Туннельный эффект позволяет объяснить автоэлектронную эмиссию, радиоактивный распад и др.

                                                 

 Гармоническим осциллятором называют частицу массой m, совершающую одномерное колебательное движение под действием  квазиупругой (упругой) силы, подчиняющейся закону:     

                                                                                  .

Потенциальная энергия такой частицы равна:

                                                                                  .

Учитывая, что , потенциальную энергию можно представить в виде:

                                                                                  .

Поскольку движение одномерное, то оператор Лапласа будет иметь вид: , и тогда уравнение Шрёдингера, описывающее движение гармонического осциллятора можно записать:

                                  , где Е – полная энергия осциллятора.

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что это уравнение имеет конечные, однозначные и непрерывные решения при:

                                        , где n = 0,1,2,3….                                   

      Следовательно, гармонический осциллятор  также имеет дискретный спектр энергетических уровней, которые являются эквидистантными (отстоят друг от друга на одинаковом расстоянии).

                                                              Рис.18

Наименьшее возможное значение энергии осциллятора равное   называется нулевой энергией.

Существование нулевой энергии у квантового осциллятора вытекает из принципа неопределенности.  

Согласно классической теории полная энергия осциллятора равна:

                                                   .

Поскольку у квантового осциллятора  импульс и координата не могут одновременно определенные значения, то и равны нулю одновременно они не могут быть.

Существование нулевой энергии подтверждается экспериментами по изучению рассеяния света на кристаллах при низких температурах. Оказалось, что интенсивность рассеянного света по мере понижения температуры стремится не к нулю, а к некоторому конечному значению, что указывает на то, что при абсолютном нуле колебания атомов в кристаллической решетке не прекращаются.                               

Квантовая механика позволяет вычислить вероятность переходов квантовой системы из одного состояния в другое. Подобные вычисления для квантового осциллятора показали, что для него возможны переходы только между соседними уровнями, отстоящими друг от друга на .

При таких переходах квантовое число n меняется на единицу, .

Условия, накладываемые на изменение квантовых чисел при переходах из одного состояния в другое, называются правилами отбора.

Таким образом, квантовая механика достаточно строго доказала, что атомы (а именно они являются квантовыми осцилляторами) излучают энергию порциями, величина которых равна . Этот результат Планк в своё время вынужден был постулировать, чтобы объяснить тепловое излучение.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68409. Дифференциальные уравнения динамического пограничного слоя 1.09 MB
  Область действия сил вязкости можно определить первой подобластью, то есть пограничным слоем. Точнее в этой подобласти силы инерции и силы вязкости рассматриваются как величины одного порядка. Во внешнем потоке силами вязкости можно пренебречь. То есть можно считать внешний поток жидкости идеальный.
68411. Автоматизация измерений, контроля и испытаний 910.5 KB
  Предметом настоящей дисциплины являются теоретические и практические задачи, которые встречаются при эксплуатации подобных систем. Выходная контролируемая переменная Y1 преобразуется датчиком Д в переменную Y2 (как правило, электрический сигнал) и далее прибор ВП...
68412. Теоретические основы управления государственной и муниципальной собственностью 57.5 KB
  Одна из причин низкой результативности экономических преобразований в России связанных с формированием и развитием рыночной экономики заключена в недостаточно продуманном и умелом проведении преобразований форм и отношений собственности.
68413. Система управления государственной собственностью 77.5 KB
  Управление государственной собственностью представляет собой сознательное, целенаправленное воздействие со стороны государства на все объекты принадлежащей ему собственности. На практике это означает, что государство как собственник устанавливает определенные правила, условия владения...
68414. Система управления муниципальной собственностью 179 KB
  Система управления муниципальной собственностью Объекты и субъекты местного самоуправления Муниципальная собственность как материальная основа местного самоуправления. Основные способы формирования муниципального имущества Государственная политика в области управления и развития рынка недвижимости...
68415. РАБОТА С ДАТАМИ И ВРЕМЕНЕМ 49.5 KB
  Excel хранит даты – в виде целых чисел, отсчитывая дни начиная с 1 января 1900 года. На каждые сутки отводится число 1. Порядковое число 1 соответствует 1 января 1900 года, 2 - 2 января 1900 года, 3 - 3 января 1900 года, и т.д.
68416. Экология микроорганизмов 47.5 KB
  Микрофлора почвы. Микрофлора воды. Микрофлора воздуха. Особое значение имеет микрофлора закрытых помещений накапливается при выделении через дыхательные пути человека.