3419

Элементы релятивистской механики

Лекция

Физика

Элементы релятивистской механики. Принцип относительности и преобразования Галилея. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца и следствия из них. Основной закон релятивистской динамики. Закон взаимо...

Русский

2012-10-31

241 KB

97 чел.

Элементы релятивистской механики.

  1.  Принцип относительности и преобразования Галилея.
  2.  Постулаты специальной теории относительности.
  3.  Преобразования Лоренца и следствия из них.
  4.  Основной закон релятивистской динамики. Закон взаимосвязи массы и энергии.
  5.  Принцип относительности и преобразования Галилея.

Галилей установил, что законы механики во всех ИСО имеют одинаковую форму. Для доказательства этого рассмотрим две ИСО: условно неподвижную xyz и движущуюся равномерно прямолинейно со скоростью  относительно оси ОX  первой системы xyz.

В системе К  точка М движется со скоростью  относительно К. Положение точки М в К определяют координаты (x,y,z), в К - (x,yz).

Если отсчет времени начать с того момента, когда начала координат О и О совпадают, то преобразования, описывающие переход от одной ИСО к другой, следующие:

- преобразования Галилея

В классической механике предполагается, что ход времени не зависит от относительного движения СО, поэтому к преобразованиям координат добавлено соотношение t=t.

Записанные соотношения справедливы только при .

Продифференцируем их по времени

или ,

или ,

или .

Полученные три скалярные соотношения эквивалентны следующему векторному соотношению:

,

где - скорость точки М относительно СО xyz. Это соотношение представляет собой правило сложения скоростей в классической механике. Продифференцируем его по времени:

Т.к. в классической механике масса не зависит от скорости,

.

Т.о. очевидно, что  и второй закон Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея. Подобный анализ можно провести и для других законов механики и получить такой же результат.

Т.о. уравнения (или законы) механики не изменяются (инвариантны) при переходе от одной ИСО к другой.

Принцип относительности Галилея: все механические явления протекают во всех ИСО одинаково.

Практически это проявляется в том, что никакими механическими опытами, проведенными в пределах данной ИСО, невозможно установить покоится данная ИСО или движется равномерно прямолинейно.

  1.  Постулаты специальной теории относительности.

В классической механике предполагалась очевидной независимость времени от системы отсчета. Отражением этого является 4-е уравнение в преобразованиях Галилея. Оно отражает идею о том, что существует единое, абсолютное время, не связанное с абсолютным пространством. Ньютон считал, что существует абсолютное пространство и абсолютное время. Абсолютное пространство определялось им как безотносительное к чему-либо внешнему вместилище вещей, остающееся всегда одинаковым и неподвижным. О времени Ньютон писал: «Абсолютное, истинное или математическое время само по себе и в силу своей внутренней природы, течет равномерно, безотносительно к чему-либо внешнему».

В действительности же пространство и время неотделимы от движущейся материи и друг от друга. А.Эйнштейном были пересмотрены ньютоновские представления о пространстве и времени и заложены основы специальной теории относительности. Эта теория представляет собой современную физическую теорию пространственно-временных отношений движущейся материи, в которой предполагается, что время однородно, а пространство однородно и изотропно.

Однородность времени проявляется в том, что законы движения замкнутой системы не зависят от начала отсчета времени.

Однородность пространства проявляется в том, что законы движения замкнутой системы не зависят от выбора положения начала координат ИСО.

Изотропность - одинаковые свойства по различным направлениям.

Специальная теория относительности часто называется релятивистской теорией, а специфические явления, ею описываемые - релятивистскими эффектами (они проявляются при ).

СТО стала основой новых отраслей науки и техники: физики элементарных частиц, ускорительной техники, ядерной энергетики.

Основой СТО являются два постулата, сформулированные Эйнштейном в 1905 г.

  1.  Принцип относительности. (Эйнштейн распространил принцип относительности Галилея на все физические явления):

Все физические явления во всех ИСО протекают одинаково;

или: все физические законы инвариантны относительно всех ИСО.

  1.  Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя, одинакова во всех ИСО и является предельной.

Опыты показывают, что скорость любых частиц и тел, а также скорость распространения любых взаимодействий и сигналов не может превосходить «с». Т.о. скорость света в вакууме является максимально возможной в природе скоростью передачи сигналов, одинаковой по всем направлениям во всех ИСО. Согласно II постулату, постоянство скорости света - фундаментальное свойство природы, которое констатируется как опытный факт.

СТО установила новые пространственно-временные представления, такие, например, как относительность длин и промежутков времени, относительность одновременности событий. Это и другие следствия из СТО находят надежное экспериментальное подтверждение.

  1.  Преобразования Лоренца и следствия из них.

В 19 веке Максвелл подытожил многочисленные исследования явлений электричества, магнетизма и света в своих уравнениях, сводят воедино все эти явления. Однако уравнения Максвелла не были инвариантны относительно преобразований Галилея, их вид изменялся в движущейся СО относительно неподвижной СО (т.е. в движущемся космическом корабле электромагнитные и световые явления не такие, как в неподвижном). Уравнения Максвелла пытались видоизменять и подгонять к тому, чтобы они не отличались от преобразований Галилея. Однако после многочисленных неудачных попыток стало ясно, что уравнения Максвелла правильны, а загвоздка в чем-то другом.

Между тем, Лоренц заметил, что когда он делал в уравнениях Максвелла подстановку:

       (1)

то форма уравнений Максвелла после такой подстановки не изменилась. Эти формулы (1) теперь называют преобразованиями Лоренца. Они имеют простейший вид (1) в том случае, когда сходственные оси декартовых координат неподвижной (К) и движущейся (К) ИСО попарно параллельны, причем К движется относительно К с постоянной скоростью  вдоль ОX, а в качестве начала отсчета времени выбран тот момент, когда начала координат О и О обеих систем совпадают.

При  преобразования (1) переходят в преобразования Галилея (в этом заключается суть принципа соответствия), которые являются частным случаем преобразований (1). Следовательно, классическая механика представляет собой частный случай более общей теории - релятивистской механики.

Релятивистской механикой называется механика движений с релятивистскими скоростями, основанная на преобразованиях (1) и постулатах Эйнштейна. (relativus - относительный, лат.).

Эйнштейн предположил, что все физические законы не должны меняться от преобразований Лоренца, т.е. уравнения, выражающие законы, должны сохранять свою форму при переходе от одной ИСО к другой, осуществляемом в соответствии с преобразованиями (1).

Как видно из (1), при переходе от К к К изменяются не только пространственные координаты, но и соответствующие им моменты времени. Однако, между пространственными координатами x,yz события и временем t его совершения в произвольной ИСО существует взаимосвязь, так что величина

не зависит от скорости  системы К, т.е. одинакова во всех ИСО.

Т.о. теория Эйнштейна оперирует не с трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство.

  1.  Основной закон релятивистской динамики. Закон взаимосвязи массы и энергии.

Релятивистский закон сложения скоростей.

Найдем закон сложения скоростей в СТО.

Пусть материальная точка М движется равномерно прямолинейно со скоростью  вдоль оси OX системы К, которая движется вдоль OX системы К со скоростью . Найдем скорость точки М относительно системы К (рис.1).

С помощью преобразований (1) выразим dx и dt:

- релятивистский закон сложения скоростей,

где

При

При

Экспериментальное доказательство независимости «с» от скорости движения источника было получено при измерении скорости излучения -квантов высоких энергий, возникающих при распаде нейтральных пионов, происходящем при скорости их движения 0, 99975 с.

Одновременность событий в разных ИСО.

Пусть в системе К в точках с координатами x1 и  x2 в моменты времени t1 и t2 происходят два события. В системе К им соответствуют x1 и  x2 и моменты времени t1 и t2.

  1.  Если события в системе К происходят в одной точке (x1=x2=x) и являются одновременными (t1=t2=t), то согласно преобразованиям Лоренца

,

т.е. эти события являются одновременными и пространственно совпадающими в любой ИСО.

  1.  Если события в системе К пространственно разобщены (x1x2), но одновременны  (t1=t2=t), то в системе К

,

они также пространственно разобщены и оказываются неодновременными.

Знак разности  определяется знаком выражения , поэтому в различных точках системы К может быть разным. Следовательно, в одних СО первое событие может предшествовать второму, а в других СО - наоборот. Сказанное выше относится лишь к событиям, между которыми отсутствует причинно-следственная связь. Причинно связанные события ни в одной из СО не будут одновременными и во всех ИСО причина будет предшествовать следствию.

Рассмотрим пример. Пусть в момент начала отсчета времени, когда О и О совпадают, в точке производится мгновенная вспышка света. К моменту t свет в К достигнет точек сферы радиусом ct (рис. 2). В системе К к моменту t=t свет достигнет точек сферы того же радиуса ct, но с центром в точке О, находящейся в это время на расстоянии  от точки О.

Достижение светом вспышки точек А и В - события, одновременные в системе К. В системе К это события не одновременны. В точку А, удаляющуюся от источника световой вспышки - точки О- свет попадет позже, чем в точку В, приближающуюся к О.

Длительность событий в разных СО.

Пусть в К два события происходят в одной и той же точке , неподвижной относительно К в моменты времени  и , так что промежуток времени между этими событиями    .

В системе К:

т.о. промежуток времени между двумя событиями (длительность события) минимален в той ИСО, относительно которой оба события совершаются в одной и той же точке.

Время, измеряемое по часам, движущимся вместе с данным объектом (т.е. для которых х12), называется собственным временем этого объекта. Собственное время - минимальное (самое короткое).

Т.о. течение времени и все процессы в системе К замедляются с точки зрения неподвижного наблюдателя в системе К - релятивистский эффект замедления хода времени (парадокс близнецов)- кажущийся парадокс, т.к. Земля - ИСО, а космолет движется с ускорением, т.е. не является ИСО и к нему неприменима СТО. Релятивистский эффект замедления времени является совершенно реальным и экспериментально подтверждается при изучении нестабильных элементарных частиц. Пример - попадание на Землю -мезонов, собственное время жизни которых 0210с. Они возникают в верхних слоях атмосферы с космическими лучами на высоте 20-30 км и не должны были бы достигать поверхности Земли (=3108210=600 м), . С точки зрения земного наблюдателя  - его время жизни значительно больше, так что он успевает достичь поверхности Земли и быть зарегистрирован земными приборами.

Длина тел в разных СО.

Рассмотрим стержень, расположенный вдоль ОХ и покоящийся относительно К (рис. 3). Его длина в К1 , где  - не изменяющиеся во времени  координаты его концов.

Относительно К он движется со скоростью . Для определения его длины в К нужно отметить координаты его концов  в один и тот же момент времени t1=t2=t и найти их разность: .

Согласно преобразований Лоренца,

Т.о. длина стержня , измеренная в СО, относительно которой он движется, оказывается меньше длины 0, измеренной в системе, относительно которой он покоится.

В направлении осей OY и OZ его размеры одинаковы во всех ИСО.

Т.о. у движущихся тел их размеры в направлении движения сокращаются тем больше, чем больше скорость движения (релятивистское сокращение длины).

Эйнштейн обнаружил, что классические законы сохранения энергии и импульса несовместны с преобразованиями Лоренца. Ом предположил, что если ввести новое определение импульса как

,

то законы сохранения будут выполняться. Были проведены многочисленные точные проверки и новые законы сохранения импульса и энергии в формулировке Эйнштейна оказались справедливы.

Можно доказать, что кинетическая энергия релятивистской частицы выражается формулой , т.е. представляет собой разность , где  - полная энергия свободной частицы, т.е. частицы, на которую не действуют силы,  - энергия покоя.

В полную энергию Е и энергию покоя Е0 не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле; величина Е в разных системах отсчета различна. Значения m и Е0 не зависят от выбора ИСО.

При скоростях  выражение для Ек переходит в формулу . Докажем это.

В соответствии с формулой бинома Ньютона при

тогда

Закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени.

Если

Основной закон релятивистской динамики

- скорость изменения релятивистского импульса материальной точки равна силе, действует на эту точку.

Релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом:

 или  , .

    ,

Важнейшим результатом СТО является универсальное соотношение между энергией тела и его массой

.

Это уравнение выражает фундаментальный закон природы - закон взаимосвязи массы и энергии: полная энергия тела (или системы) равна произведению релятивистской массы этого тела (системы) на квадрат скорости света в вакууме.

Всякое изменение полной энергии тела Е сопровождается изменением релятивистской массы и наоборот:

.

Это утверждение также называют законом взаимосвязи массы и энергии.

Этот закон подтвержден экспериментами о выделении энергии при ядерных реакциях.

Энергия покоя может перейти в любой другой вид энергии и является в этом смысле «резервуаром» энергии.

Пример: при аннигиляции частицы и античастицы вся энергия покоя частиц переходит в энергию гамма-квантов – энергию электромагнитного поля.

Энергия покоя, соответствующая массе m0=1 г любого вещества, выражается огромной цифрой  E=m0c2=110391016=91013 Дж.

Мы не замечаем наличие у тел столь большой энергии покоя потому, что практически для всех процессов, за исключением ядерных, она остается величиной постоянной.

Релятивистская формула  выражает связь между массой и энергией.

Выражение (2) представляет собой, по сути, закон сохранения массы и энергии:

.      (2)

В теории относительности заключена фундаментальная связь пространства и времени друг с другом и движущимся телом. В преобразованиях Лоренца пространство и время входят равноправным образом, они зависят друг от друга и от скорости движения тела. По современным научным представлениям пространство и время объединяются в единый пространственно-временной континуум.

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рис. 1

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рис. 2

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рис. 3

EMBED Equation.3  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82152. Харчування та здоров’я 2.06 MB
  Мета: Пояснити учням значення харчування для здоров’я, розширити уявлення про різноманітність харчових продуктів, вчити дітей правильно харчуватися, розвивати культурно-гігієнічні навички поведінки під час прийому їжі, прищеплювати естетичні смаки щодо сервірування столу, прикрашання страв.
82153. СОНЦЕ: КОРИСНЕ ТА ШКІДЛИВЕ. ПРАВИЛА ПОВЕДІНКИ ПІД ЧАС ВІДПОЧИНКУ НА ВОДІ 492 KB
  Мета: розповісти учням про правила безпечної поведінки біля води; ознайомити учнів із впливом сонячних променів на організм людини, способами запобігання й надання допомоги у разі сонячного удару; виховувати обережність. Формувати розуміння того, що тільки від власної поведінки залежить життя...
82154. ЗДОРОВО БУТИ ЗДОРОВИМ 64.5 KB
  Навчати дітей веденню здорового способу життя; формувати навички доброзичливого спілкування; поглиблювати знання про правила загартування; розвивати прагнення до вживання національних страв як засобу збереження і зміцнення здоров’я.
82155. Оценка ликвидационной стоимости торгово-офисного здания (на примере торгово-офисного здания в городе Бийск) 422.5 KB
  Цель работы Расчет в рамках методов трех различных подходов величины ликвидационной стоимости объекта исследования. Предмет исследования Определение ликвидационной стоимости объекта исследования.
82156. СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ НЕКРЕДИТНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА 2.47 MB
  Правительство Российской Федерации и Банк России приняли ряд оперативных масштабных мер, направленных на восстановление устойчивости банковского сектора и поддержку его ликвидности. Для укрепления капитальной базы были введены новые инструменты предоставления ликвидности; значительные средства...
82157. Роль государства в социальной жизни общества 275.5 KB
  Целью исследования является раскрыть понятие такого явления как «государство», проследить закономерности его развития со времени перехода человечества в эру цивилизации, а также показать, как государство влияет на современное общество, какую роль оно играет в его социальной жизни...
82158. Денежно-кредитная политика и ее роль в стабилизации денежного обращения 3.15 MB
  Сбои в функционировании мировых финансовых рынков подтолкнули денежные власти в странах с рыночной экономикой к активному поиску путей и средств противодействия нарастающей дестабилизации денежно-кредитной сферы. В условиях вовлеченности РФ в мирохозяйственные связи аналогичные задачи становятся...
82159. Театрализованный вечер «This is Barbara», посвященный юбилею Барбары Стрейзанд 9.48 MB
  Барбара Стрейзанд совершала собственные революции, нарушая каноны и попирая традиции. Актриса преодолела все: скепсис, недоверие, усмешки, отказы. И добилась не только славы, но и репутации красавицы. И это действительно красота – красота таланта.
82160. Психокоррекция личностной тревожности у подростков с легкой степенью умственной отсталости 1.6 MB
  Внимание к проблемам детей с интеллектуальной недостаточностью, вызвано тем, что их количество не уменьшается. Об этом свидетельствуют статистические данные по всем странам мира. Это обстоятельство делает первостепенным вопрос о создании условий для максимальной коррекции нарушений в развитии детей данной категории.