3419

Элементы релятивистской механики

Лекция

Физика

Элементы релятивистской механики. Принцип относительности и преобразования Галилея. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца и следствия из них. Основной закон релятивистской динамики. Закон взаимо...

Русский

2012-10-31

241 KB

97 чел.

Элементы релятивистской механики.

  1.  Принцип относительности и преобразования Галилея.
  2.  Постулаты специальной теории относительности.
  3.  Преобразования Лоренца и следствия из них.
  4.  Основной закон релятивистской динамики. Закон взаимосвязи массы и энергии.
  5.  Принцип относительности и преобразования Галилея.

Галилей установил, что законы механики во всех ИСО имеют одинаковую форму. Для доказательства этого рассмотрим две ИСО: условно неподвижную xyz и движущуюся равномерно прямолинейно со скоростью  относительно оси ОX  первой системы xyz.

В системе К  точка М движется со скоростью  относительно К. Положение точки М в К определяют координаты (x,y,z), в К - (x,yz).

Если отсчет времени начать с того момента, когда начала координат О и О совпадают, то преобразования, описывающие переход от одной ИСО к другой, следующие:

- преобразования Галилея

В классической механике предполагается, что ход времени не зависит от относительного движения СО, поэтому к преобразованиям координат добавлено соотношение t=t.

Записанные соотношения справедливы только при .

Продифференцируем их по времени

или ,

или ,

или .

Полученные три скалярные соотношения эквивалентны следующему векторному соотношению:

,

где - скорость точки М относительно СО xyz. Это соотношение представляет собой правило сложения скоростей в классической механике. Продифференцируем его по времени:

Т.к. в классической механике масса не зависит от скорости,

.

Т.о. очевидно, что  и второй закон Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея. Подобный анализ можно провести и для других законов механики и получить такой же результат.

Т.о. уравнения (или законы) механики не изменяются (инвариантны) при переходе от одной ИСО к другой.

Принцип относительности Галилея: все механические явления протекают во всех ИСО одинаково.

Практически это проявляется в том, что никакими механическими опытами, проведенными в пределах данной ИСО, невозможно установить покоится данная ИСО или движется равномерно прямолинейно.

  1.  Постулаты специальной теории относительности.

В классической механике предполагалась очевидной независимость времени от системы отсчета. Отражением этого является 4-е уравнение в преобразованиях Галилея. Оно отражает идею о том, что существует единое, абсолютное время, не связанное с абсолютным пространством. Ньютон считал, что существует абсолютное пространство и абсолютное время. Абсолютное пространство определялось им как безотносительное к чему-либо внешнему вместилище вещей, остающееся всегда одинаковым и неподвижным. О времени Ньютон писал: «Абсолютное, истинное или математическое время само по себе и в силу своей внутренней природы, течет равномерно, безотносительно к чему-либо внешнему».

В действительности же пространство и время неотделимы от движущейся материи и друг от друга. А.Эйнштейном были пересмотрены ньютоновские представления о пространстве и времени и заложены основы специальной теории относительности. Эта теория представляет собой современную физическую теорию пространственно-временных отношений движущейся материи, в которой предполагается, что время однородно, а пространство однородно и изотропно.

Однородность времени проявляется в том, что законы движения замкнутой системы не зависят от начала отсчета времени.

Однородность пространства проявляется в том, что законы движения замкнутой системы не зависят от выбора положения начала координат ИСО.

Изотропность - одинаковые свойства по различным направлениям.

Специальная теория относительности часто называется релятивистской теорией, а специфические явления, ею описываемые - релятивистскими эффектами (они проявляются при ).

СТО стала основой новых отраслей науки и техники: физики элементарных частиц, ускорительной техники, ядерной энергетики.

Основой СТО являются два постулата, сформулированные Эйнштейном в 1905 г.

  1.  Принцип относительности. (Эйнштейн распространил принцип относительности Галилея на все физические явления):

Все физические явления во всех ИСО протекают одинаково;

или: все физические законы инвариантны относительно всех ИСО.

  1.  Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя, одинакова во всех ИСО и является предельной.

Опыты показывают, что скорость любых частиц и тел, а также скорость распространения любых взаимодействий и сигналов не может превосходить «с». Т.о. скорость света в вакууме является максимально возможной в природе скоростью передачи сигналов, одинаковой по всем направлениям во всех ИСО. Согласно II постулату, постоянство скорости света - фундаментальное свойство природы, которое констатируется как опытный факт.

СТО установила новые пространственно-временные представления, такие, например, как относительность длин и промежутков времени, относительность одновременности событий. Это и другие следствия из СТО находят надежное экспериментальное подтверждение.

  1.  Преобразования Лоренца и следствия из них.

В 19 веке Максвелл подытожил многочисленные исследования явлений электричества, магнетизма и света в своих уравнениях, сводят воедино все эти явления. Однако уравнения Максвелла не были инвариантны относительно преобразований Галилея, их вид изменялся в движущейся СО относительно неподвижной СО (т.е. в движущемся космическом корабле электромагнитные и световые явления не такие, как в неподвижном). Уравнения Максвелла пытались видоизменять и подгонять к тому, чтобы они не отличались от преобразований Галилея. Однако после многочисленных неудачных попыток стало ясно, что уравнения Максвелла правильны, а загвоздка в чем-то другом.

Между тем, Лоренц заметил, что когда он делал в уравнениях Максвелла подстановку:

       (1)

то форма уравнений Максвелла после такой подстановки не изменилась. Эти формулы (1) теперь называют преобразованиями Лоренца. Они имеют простейший вид (1) в том случае, когда сходственные оси декартовых координат неподвижной (К) и движущейся (К) ИСО попарно параллельны, причем К движется относительно К с постоянной скоростью  вдоль ОX, а в качестве начала отсчета времени выбран тот момент, когда начала координат О и О обеих систем совпадают.

При  преобразования (1) переходят в преобразования Галилея (в этом заключается суть принципа соответствия), которые являются частным случаем преобразований (1). Следовательно, классическая механика представляет собой частный случай более общей теории - релятивистской механики.

Релятивистской механикой называется механика движений с релятивистскими скоростями, основанная на преобразованиях (1) и постулатах Эйнштейна. (relativus - относительный, лат.).

Эйнштейн предположил, что все физические законы не должны меняться от преобразований Лоренца, т.е. уравнения, выражающие законы, должны сохранять свою форму при переходе от одной ИСО к другой, осуществляемом в соответствии с преобразованиями (1).

Как видно из (1), при переходе от К к К изменяются не только пространственные координаты, но и соответствующие им моменты времени. Однако, между пространственными координатами x,yz события и временем t его совершения в произвольной ИСО существует взаимосвязь, так что величина

не зависит от скорости  системы К, т.е. одинакова во всех ИСО.

Т.о. теория Эйнштейна оперирует не с трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство.

  1.  Основной закон релятивистской динамики. Закон взаимосвязи массы и энергии.

Релятивистский закон сложения скоростей.

Найдем закон сложения скоростей в СТО.

Пусть материальная точка М движется равномерно прямолинейно со скоростью  вдоль оси OX системы К, которая движется вдоль OX системы К со скоростью . Найдем скорость точки М относительно системы К (рис.1).

С помощью преобразований (1) выразим dx и dt:

- релятивистский закон сложения скоростей,

где

При

При

Экспериментальное доказательство независимости «с» от скорости движения источника было получено при измерении скорости излучения -квантов высоких энергий, возникающих при распаде нейтральных пионов, происходящем при скорости их движения 0, 99975 с.

Одновременность событий в разных ИСО.

Пусть в системе К в точках с координатами x1 и  x2 в моменты времени t1 и t2 происходят два события. В системе К им соответствуют x1 и  x2 и моменты времени t1 и t2.

  1.  Если события в системе К происходят в одной точке (x1=x2=x) и являются одновременными (t1=t2=t), то согласно преобразованиям Лоренца

,

т.е. эти события являются одновременными и пространственно совпадающими в любой ИСО.

  1.  Если события в системе К пространственно разобщены (x1x2), но одновременны  (t1=t2=t), то в системе К

,

они также пространственно разобщены и оказываются неодновременными.

Знак разности  определяется знаком выражения , поэтому в различных точках системы К может быть разным. Следовательно, в одних СО первое событие может предшествовать второму, а в других СО - наоборот. Сказанное выше относится лишь к событиям, между которыми отсутствует причинно-следственная связь. Причинно связанные события ни в одной из СО не будут одновременными и во всех ИСО причина будет предшествовать следствию.

Рассмотрим пример. Пусть в момент начала отсчета времени, когда О и О совпадают, в точке производится мгновенная вспышка света. К моменту t свет в К достигнет точек сферы радиусом ct (рис. 2). В системе К к моменту t=t свет достигнет точек сферы того же радиуса ct, но с центром в точке О, находящейся в это время на расстоянии  от точки О.

Достижение светом вспышки точек А и В - события, одновременные в системе К. В системе К это события не одновременны. В точку А, удаляющуюся от источника световой вспышки - точки О- свет попадет позже, чем в точку В, приближающуюся к О.

Длительность событий в разных СО.

Пусть в К два события происходят в одной и той же точке , неподвижной относительно К в моменты времени  и , так что промежуток времени между этими событиями    .

В системе К:

т.о. промежуток времени между двумя событиями (длительность события) минимален в той ИСО, относительно которой оба события совершаются в одной и той же точке.

Время, измеряемое по часам, движущимся вместе с данным объектом (т.е. для которых х12), называется собственным временем этого объекта. Собственное время - минимальное (самое короткое).

Т.о. течение времени и все процессы в системе К замедляются с точки зрения неподвижного наблюдателя в системе К - релятивистский эффект замедления хода времени (парадокс близнецов)- кажущийся парадокс, т.к. Земля - ИСО, а космолет движется с ускорением, т.е. не является ИСО и к нему неприменима СТО. Релятивистский эффект замедления времени является совершенно реальным и экспериментально подтверждается при изучении нестабильных элементарных частиц. Пример - попадание на Землю -мезонов, собственное время жизни которых 0210с. Они возникают в верхних слоях атмосферы с космическими лучами на высоте 20-30 км и не должны были бы достигать поверхности Земли (=3108210=600 м), . С точки зрения земного наблюдателя  - его время жизни значительно больше, так что он успевает достичь поверхности Земли и быть зарегистрирован земными приборами.

Длина тел в разных СО.

Рассмотрим стержень, расположенный вдоль ОХ и покоящийся относительно К (рис. 3). Его длина в К1 , где  - не изменяющиеся во времени  координаты его концов.

Относительно К он движется со скоростью . Для определения его длины в К нужно отметить координаты его концов  в один и тот же момент времени t1=t2=t и найти их разность: .

Согласно преобразований Лоренца,

Т.о. длина стержня , измеренная в СО, относительно которой он движется, оказывается меньше длины 0, измеренной в системе, относительно которой он покоится.

В направлении осей OY и OZ его размеры одинаковы во всех ИСО.

Т.о. у движущихся тел их размеры в направлении движения сокращаются тем больше, чем больше скорость движения (релятивистское сокращение длины).

Эйнштейн обнаружил, что классические законы сохранения энергии и импульса несовместны с преобразованиями Лоренца. Ом предположил, что если ввести новое определение импульса как

,

то законы сохранения будут выполняться. Были проведены многочисленные точные проверки и новые законы сохранения импульса и энергии в формулировке Эйнштейна оказались справедливы.

Можно доказать, что кинетическая энергия релятивистской частицы выражается формулой , т.е. представляет собой разность , где  - полная энергия свободной частицы, т.е. частицы, на которую не действуют силы,  - энергия покоя.

В полную энергию Е и энергию покоя Е0 не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле; величина Е в разных системах отсчета различна. Значения m и Е0 не зависят от выбора ИСО.

При скоростях  выражение для Ек переходит в формулу . Докажем это.

В соответствии с формулой бинома Ньютона при

тогда

Закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени.

Если

Основной закон релятивистской динамики

- скорость изменения релятивистского импульса материальной точки равна силе, действует на эту точку.

Релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом:

 или  , .

    ,

Важнейшим результатом СТО является универсальное соотношение между энергией тела и его массой

.

Это уравнение выражает фундаментальный закон природы - закон взаимосвязи массы и энергии: полная энергия тела (или системы) равна произведению релятивистской массы этого тела (системы) на квадрат скорости света в вакууме.

Всякое изменение полной энергии тела Е сопровождается изменением релятивистской массы и наоборот:

.

Это утверждение также называют законом взаимосвязи массы и энергии.

Этот закон подтвержден экспериментами о выделении энергии при ядерных реакциях.

Энергия покоя может перейти в любой другой вид энергии и является в этом смысле «резервуаром» энергии.

Пример: при аннигиляции частицы и античастицы вся энергия покоя частиц переходит в энергию гамма-квантов – энергию электромагнитного поля.

Энергия покоя, соответствующая массе m0=1 г любого вещества, выражается огромной цифрой  E=m0c2=110391016=91013 Дж.

Мы не замечаем наличие у тел столь большой энергии покоя потому, что практически для всех процессов, за исключением ядерных, она остается величиной постоянной.

Релятивистская формула  выражает связь между массой и энергией.

Выражение (2) представляет собой, по сути, закон сохранения массы и энергии:

.      (2)

В теории относительности заключена фундаментальная связь пространства и времени друг с другом и движущимся телом. В преобразованиях Лоренца пространство и время входят равноправным образом, они зависят друг от друга и от скорости движения тела. По современным научным представлениям пространство и время объединяются в единый пространственно-временной континуум.

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рис. 1

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рис. 2

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рис. 3

EMBED Equation.3  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19934. СОЦІАЛІЗАЦІЯ ОСОБИСТОСТІ В СУСПІЛЬСТВІ 110 KB
  Під соціалізацією в сучасній соціології зазвичай розуміють процес засвоєння індивідом зразків поведінки, психологічних механізмів, соціальних норм і цінностей, необхідних для успішного функціонування індивіда в даному суспільстві.
19935. СОЦІОЛОГІЯ ШЛЮБУ І СІМ’Ї 122.5 KB
  ТЕМА 9 СОЦІОЛОГІЯ ШЛЮБУ І СІМЇ ПЛАН 1. Поняття шлюбу та сімї. 2. Соціальні функції сімї. 3. Тенденції проблеми та тенденції розвитку сучасної сімї. 1. Поняття шлюбу та сімї Сім'я являє собою об'єднання людей пов'язаних спільністю побуту та взаємною відповідал...
19936. ПОНЯТТЯ ТА РІЗНОВИДИ СОЦІОЛОГІЧНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ 104 KB
  ЛЕКЦІЯ 17 ПОНЯТТЯ ТА РІЗНОВИДИ СОЦІОЛОГІЧНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ ПЛАН 1. Сутність та вимоги до соціологічного дослідження. 2. Типологія соціологічних досліджень. 3. Програма та робочий план соціологічного дослідження. 1. Сутність та вимоги до соціологічного дослідження ...
19937. МЕТОДИ ПРОВЕДЕННЯ СОЦІОЛОГІЧНОГО ДОСЛІДЖЕННЯ 142 KB
  Перші згадування про проведення опитувань відносяться до часів Стародавнього світу. Як правило, вони пов'язувалися із встановленням чисельності населення, яке здатне носити зброю і сплачувати податки. Становлення опитування як наукового методу здобуття інформації відноситься до кінця XIX століття. Саме у цей період відбуваються масові переписи населення, ведеться облік врожаїв, худоби, землі, засобів виробництва, збирається інформація з моральної статистики тощо.
19938. Интеллектуальная собственность. Основы Авторского Патентного Права 15.13 KB
  Лекция №1 Тема: Интеллектуальная собственность Предмет: Основы Авторского Патентного Права. Потребность общества в тех или иных предметах потребления движет прогресс намного быстрее чем десятки университетов. Появление живописи в свое время привело к современно
19939. Произведения, не охраняемые авторским правом. Виды авторского права 21.05 KB
  Лекция №2 Тема: Произведения не охраняемые авторским правом. Виды авторского права. Не охраняется авторским правом: сообщения о новостях дня или текущих событиях имеющие характер обычной прессинформации; произведения народного творчества фольклор; изд
19940. Таможенная граница. Регистрация объектов ИС 18.34 KB
  Лекция №3 Тема: таможенная граница. Товары которые содержат объекты интеллектуальной собственности ИС импортируются или экспортируются. Украинскими или иностранными субъектами предпринимательской внешнеэкономической деятельности независимо от форм собственнос...
19942. Право на вознаграждение за создание и использование произведений 18.79 KB
  Тема: Право на вознаграждение за создание и использование произведений Вознаграждение выплачивается автору произведения как при его создании по договору заказа так и созданию произведения по трудовому договору. По договору заказа кроме вознаграждения за создани