3425

Динамика вращательного движения твердого тела

Лекция

Физика

Динамика вращательного движения твердого тела.  Момент инерции. Момент силы. Основное уравнение динамики вращательного движения. Момент импульса.  Момент инерции. (Рассмотрим опыт со скатывающимися цилиндрами.) При рассмотрении вращательно...

Русский

2012-10-31

200.5 KB

147 чел.

Динамика вращательного движения твердого тела.

  1.  Момент инерции.

Момент силы. Основное уравнение динамики вращательного движения.

Момент импульса.

  1.  Момент инерции.

(Рассмотрим опыт со скатывающимися цилиндрами.)

При рассмотрении вращательного движения необходимо ввести новые физические понятия: момент инерции, момент силы, момент импульса.

Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси.

Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения равен произведению её массы на квадрат расстояния до рассматриваемой оси вращения (рис.1):

.

зависит только от массы материальной точки и её положения относительно оси вращения и не зависит от наличия самого вращения.

Момент инерции - скалярная и аддитивная величина

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его точек

.

В случае непрерывного распределения массы эта сумма сводится к  интегралу:

,

где - масса малого объема тела ,   плотность тела,  - расстояние от элемента  до оси вращения.

Момент инерции является аналогом массы при вращательном движении. Чем больше момент инерции тела, тем труднее изменить угловую скорость вращаемого тела. Момент инерции имеет смысл только при заданном положении оси вращения.

Бессмысленно говорить просто о “моменте инерции”. Он зависит :

1)от положения оси вращения;

2)от распределения массы тела относительно оси вращения, т.е. от формы тела и его размеров.

Экспериментальным доказательством этого является опыт со скатывающимися цилиндрами.

Произведя интегрирование для некоторых однородных тел, можно получить следующие формулы (ось вращения проходит через центр масс тела):

  1.  Момент инерции обруча (толщиной стенок пренебрегаем) или полого цилиндра:

  1.  Момент инерции диска или сплошного цилиндра радиуса R:

,

где   .

  1.  Момент инерции шара

  1.  Момент инерции стержня

Если для тела известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси, параллельной первой, находится по теореме Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции J0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

,

где d расстояние от центра масс до оси вращения.

Центр масс - воображаемая точка, положение которой характеризует распределение массы данного тела. Центр масс тела движется так же, как двигалась бы материальная точка той же массы под действием всех внешних сил, действующих на данное тело.

Понятие момента инерции было введено в механику отечественным ученым Л. Эйлером в середине XVIII века и с тех пор широко используется при решении многих задач динамики твердого тела. Значение момента инерции необходимо знать на практике при расчете различных вращающихся узлов и систем (маховиков, турбин, роторов электродвигателей, гироскопов). Момент инерции входит в уравнения движения тела (корабля, самолета, снаряда, и т.п.). Его определяют, когда хотят узнать параметры вращательного движения летательного аппарата вокруг центра масс при действии внешнего возмущения (порыва ветра и т.п.). Для тел переменной массы (ракеты) с течением времени изменяется масса и момент инерции.

2.Момент силы.

Одна и та же сила может сообщать вращающемуся телу разные угловые ускорения в зависимости от её направления и точки приложения. Для характеристики вращающего действия силы вводят понятие момента силы.

Различают момент силы относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси. Моментом силы относительно точки О (полюса) называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора  проведенного из точки О в точку приложения силы, на вектор силы:

Поясняющий это определение рис. 3 выполнен в предположении, что точка О и вектор  лежат в плоскости чертежа, тогда вектор  так же располагается в этой плоскости, а вектор к ней и направлен от нас (как векторное произведение 2-х векторов; по правилу правого буравчика).

Модуль момента силы численно равен произведению силы на плечо:

,

где  - плечо силы относительно точки О, - угол между направлениями  и , .

Плечо - кратчайшее расстояние от центра вращения до линии действия силы.

Вектор момента силы сонаправлен с поступательным движением правого буравчика, если его рукоятку вращать по направлению вращающего действия силы. Момент силы - аксиальный (свободный) вектор, он направлен вдоль оси вращения, не связан с определенной линией действия, его можно переносить в

пространстве параллельно самому себе.

Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется проекция вектора  на эту ось (проходящую через точку О).

Если на тело действуют несколько сил, то результирующий момент сил относительно неподвижной оси Z равен алгебраической сумме моментов относительно этой оси всех сил, действующих на тело.

Если сила, приложенная к телу, не лежит в плоскости вращения, её можно разложить на 2 компоненты: лежащую в плоскости вращения  и к ней Fn. Как видно из рисунка 4, Fn вращения не создает, а приводит только к деформации тела; вращение тела обусловлено только составляющей F .

Вращающееся тело можно представить как совокупность материальных точек.

Выберем произвольно некоторую точку с массой mi , на которую действует сила , сообщая точке ускорение  (рис. 5). Поскольку вращение создает только тангенциальная составляющая, для упрощения вывода  направлена перпендикулярно оси вращения.

В этом случае

.

Согласно второму закону Ньютона: . Умножим обе части равенства на ri;

,

,

где  - момент силы, действующей на материальную точку,

- момент инерции материальной точки.

Следовательно, .

Для всего тела: ,

,

,          (1)

т.е. угловое ускорение тела прямо пропорционально моменту действующих на него внешних сил и обратно пропорционально его моменту инерции. Уравнение

(1) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси, или второй закон Ньютона для вращательного движения.

3. Момент импульса.

При сравнении законов вращательного и поступательного движений усматривается аналогия.

.

Аналогом импульса является момент импульса. Понятие момента импульса также можно ввести относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси, однако в большинстве случаев его можно определить следующим образом. Если материальная точка вращается вокруг неподвижной оси, то её момент импульса относительно этой оси по модулю равен

где mi - масса материальной точки,

i - её линейная скорость

ri - расстояние до оси вращения.

Т.к. для вращательного движения

,

,

,

где  - момент инерции материальной точки относительно этой оси.

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси равен сумме моментов импульсов всех его точек относительно этой оси:

,       (2)

где - момент инерции тела.

Т.о., момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения равен произведению его момента инерции относительно этой оси на угловую скорость и сонаправлен с вектором угловой скорости.

Продифференцируем уравнение (2) по времени:

или   .                (3)

Уравнение (3) - ещё одна форма основного уравнения динамики вращательного  движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента

импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения равна моменту внешних сил относительно той же оси

Это уравнение является одним из важнейших уравнений ракетодинамики. В процессе движения ракеты положение ее центра масс непрерывно изменяется, вследствие чего возникают различные моменты сил: лобового сопротивления, аэродинамической силы, сил создаваемых рулем высоты. Уравнение вращательного движения ракеты под действием всех приложенных к ней моментов сил совместно с уравнениями движения центра масс ракеты и уравнениями кинематики с известными начальными условиями позволяют определить положение ракеты в пространстве в любой момент времени.

Рис. 1

1

2

2

1

Рис.2

R

R

dr

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис.6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84046. Документационное обеспечение управления как наука и учебная дисциплина 36.63 KB
  Документационное обеспечение управления ДОУ – это деятельность направленная на организацию документирования в организации и управления технологическим циклом движения документов. Поэтому термин ДОУ подчеркивает информационносоставляющую в современной организации делопроизводства. Документационное обеспечение управления – это деятельность аппарата управления охватывающая вопросы документирования и организации работы с документами в процессе осуществления им управленческих функций. Деятельность каждой организации осуществляется в...
84047. История развития делопроизводства в России 44.78 KB
  В этих условиях единая система делопроизводства не была востребована самой системой управления. Рассмотренный период можно охарактеризовать как период постепенного складывания традиций русской системы делопроизводства накопления опыта документирования обработки и хранения документов обеспечения их сохранности. Система государственного делопроизводства начинает складываться только в середине 15 века с развитием Московского княжества в государство.
84048. Документооборот: понятие, функции, составные части. Объем документооборота, способы его учета 40.09 KB
  Документооборот организации – это движение документов в организации с момента их создания или получения до завершения исполнения или отправления. Характеристикой документооборота является его объем под которым понимается количество документов поступивших в организацию и созданных ею за определенный период. Кроме этого регистрация позволяет осуществлять контроль исполнения документов а также вести их поиск. Наряду с организацией документооборота в понятие организация работы с документами входит хранение документов и их использование в...
84049. Виды документов ИОГВ Пермского края их роль в документационном обеспечении управления 34.29 KB
  Деятельность губернатора Пермского края руководителя администрации губернатора Пермского края председателя Правительства Пермского края заместителей председателя Правительства Пермского края руководителя аппарата Правительства Пермского края обеспечивается комплексом документов составляющим организационнораспорядительную документацию. Губернатор Пермского края издает указы и распоряжения во исполнение Конституции Российской Федерации федеральных законов нормативных актов Президента Российской Федерации постановлений Правительства...
84050. Способы документирования. Способы записи и воспроизводства информации документа 35.53 KB
  Способы записи и воспроизводства информации документа. Документирование – запись информации на различных носителях по установленным правилам. Носитель документированной информации – материальный объект используемый для закрепления и хранения на нем речевой звуковой или изобразительной информации в том числе в преобразованном виде. Запись информации это способ фиксирования информации на материальном носителе.
84051. Нормативные правовые акты РФ, федеральных органов исполнительной власти РФ, регламентирующие порядок делопроизводства и документооборота в органах государственной власти 36.97 KB
  Нормативную базу делопроизводства составляют: законодательные акты Российской Федерации в сфере документации и информации; указы и распоряжения Президента Российской Федерации постановления Правительства Российской Федерации в сфере делопроизводства; законодательные акты субъектов Российской Федерации и правовые акты принимаемые органами исполнительной власти субъектов Российской Федерации учитываются при организации делопроизводства органами представительной и исполнительной власти субъектов Федерации а также организациями...
84052. Структура и функции Управления документационного обеспечения аппарата Правительства Пермского края 33.28 KB
  Управление документационного обеспечения является структурным подразделением аппарата Правительства Пермского края и выполняет следующие функции: организует и регулирует документационное обеспечение; участвует в автоматизации документирования проектов законов постановлений протоколов и стенограмм заседаний других документов Правительства Пермского края; обеспечивает организационнотехническую подготовку и проведение заседаний; организует архивное хранение документов Правительства Пермского края и подготавливает их к передаче на...
84053. Понятие, перечень и правила расположения реквизитов документа 42.09 KB
  Эмблема организации или товарный знак (знак обслуживания). Эмблема предприятия – это символическое графическое изображение. Часто в качестве эмблемы используется товарный знак предприятия. Могут применяться, если они зарегистрированы и имеется официальное разрешение на их использование. Эмблема не воспроизводится при помещении на бланках гербов Российской Федерации или субъекта Российской Федерации.
84054. Особенность и роль делового письма в системе управленческих документов. Виды деловых писем 40.32 KB
  По тематическому признаку: Коммерческие – используются при подготовке к заключению коммерческой сделки а также при выполнении условий договоров: оферта письмопредложение – заявление лица о желании заключить сделку с указанием конкретных условий сделки; письмозапрос обращение одной стороны к другой о желании заключить сделку как правило без указания условий сделки либо уточнить какойто вопрос при осуществлении сделки; рекламация письмопретензия претензии к стороне сделки которая нарушила принятые на себя по договору...