3425

Динамика вращательного движения твердого тела

Лекция

Физика

Динамика вращательного движения твердого тела.  Момент инерции. Момент силы. Основное уравнение динамики вращательного движения. Момент импульса.  Момент инерции. (Рассмотрим опыт со скатывающимися цилиндрами.) При рассмотрении вращательно...

Русский

2012-10-31

200.5 KB

147 чел.

Динамика вращательного движения твердого тела.

  1.  Момент инерции.

Момент силы. Основное уравнение динамики вращательного движения.

Момент импульса.

  1.  Момент инерции.

(Рассмотрим опыт со скатывающимися цилиндрами.)

При рассмотрении вращательного движения необходимо ввести новые физические понятия: момент инерции, момент силы, момент импульса.

Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси.

Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения равен произведению её массы на квадрат расстояния до рассматриваемой оси вращения (рис.1):

.

зависит только от массы материальной точки и её положения относительно оси вращения и не зависит от наличия самого вращения.

Момент инерции - скалярная и аддитивная величина

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его точек

.

В случае непрерывного распределения массы эта сумма сводится к  интегралу:

,

где - масса малого объема тела ,   плотность тела,  - расстояние от элемента  до оси вращения.

Момент инерции является аналогом массы при вращательном движении. Чем больше момент инерции тела, тем труднее изменить угловую скорость вращаемого тела. Момент инерции имеет смысл только при заданном положении оси вращения.

Бессмысленно говорить просто о “моменте инерции”. Он зависит :

1)от положения оси вращения;

2)от распределения массы тела относительно оси вращения, т.е. от формы тела и его размеров.

Экспериментальным доказательством этого является опыт со скатывающимися цилиндрами.

Произведя интегрирование для некоторых однородных тел, можно получить следующие формулы (ось вращения проходит через центр масс тела):

  1.  Момент инерции обруча (толщиной стенок пренебрегаем) или полого цилиндра:

  1.  Момент инерции диска или сплошного цилиндра радиуса R:

,

где   .

  1.  Момент инерции шара

  1.  Момент инерции стержня

Если для тела известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси, параллельной первой, находится по теореме Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции J0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

,

где d расстояние от центра масс до оси вращения.

Центр масс - воображаемая точка, положение которой характеризует распределение массы данного тела. Центр масс тела движется так же, как двигалась бы материальная точка той же массы под действием всех внешних сил, действующих на данное тело.

Понятие момента инерции было введено в механику отечественным ученым Л. Эйлером в середине XVIII века и с тех пор широко используется при решении многих задач динамики твердого тела. Значение момента инерции необходимо знать на практике при расчете различных вращающихся узлов и систем (маховиков, турбин, роторов электродвигателей, гироскопов). Момент инерции входит в уравнения движения тела (корабля, самолета, снаряда, и т.п.). Его определяют, когда хотят узнать параметры вращательного движения летательного аппарата вокруг центра масс при действии внешнего возмущения (порыва ветра и т.п.). Для тел переменной массы (ракеты) с течением времени изменяется масса и момент инерции.

2.Момент силы.

Одна и та же сила может сообщать вращающемуся телу разные угловые ускорения в зависимости от её направления и точки приложения. Для характеристики вращающего действия силы вводят понятие момента силы.

Различают момент силы относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси. Моментом силы относительно точки О (полюса) называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора  проведенного из точки О в точку приложения силы, на вектор силы:

Поясняющий это определение рис. 3 выполнен в предположении, что точка О и вектор  лежат в плоскости чертежа, тогда вектор  так же располагается в этой плоскости, а вектор к ней и направлен от нас (как векторное произведение 2-х векторов; по правилу правого буравчика).

Модуль момента силы численно равен произведению силы на плечо:

,

где  - плечо силы относительно точки О, - угол между направлениями  и , .

Плечо - кратчайшее расстояние от центра вращения до линии действия силы.

Вектор момента силы сонаправлен с поступательным движением правого буравчика, если его рукоятку вращать по направлению вращающего действия силы. Момент силы - аксиальный (свободный) вектор, он направлен вдоль оси вращения, не связан с определенной линией действия, его можно переносить в

пространстве параллельно самому себе.

Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется проекция вектора  на эту ось (проходящую через точку О).

Если на тело действуют несколько сил, то результирующий момент сил относительно неподвижной оси Z равен алгебраической сумме моментов относительно этой оси всех сил, действующих на тело.

Если сила, приложенная к телу, не лежит в плоскости вращения, её можно разложить на 2 компоненты: лежащую в плоскости вращения  и к ней Fn. Как видно из рисунка 4, Fn вращения не создает, а приводит только к деформации тела; вращение тела обусловлено только составляющей F .

Вращающееся тело можно представить как совокупность материальных точек.

Выберем произвольно некоторую точку с массой mi , на которую действует сила , сообщая точке ускорение  (рис. 5). Поскольку вращение создает только тангенциальная составляющая, для упрощения вывода  направлена перпендикулярно оси вращения.

В этом случае

.

Согласно второму закону Ньютона: . Умножим обе части равенства на ri;

,

,

где  - момент силы, действующей на материальную точку,

- момент инерции материальной точки.

Следовательно, .

Для всего тела: ,

,

,          (1)

т.е. угловое ускорение тела прямо пропорционально моменту действующих на него внешних сил и обратно пропорционально его моменту инерции. Уравнение

(1) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси, или второй закон Ньютона для вращательного движения.

3. Момент импульса.

При сравнении законов вращательного и поступательного движений усматривается аналогия.

.

Аналогом импульса является момент импульса. Понятие момента импульса также можно ввести относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси, однако в большинстве случаев его можно определить следующим образом. Если материальная точка вращается вокруг неподвижной оси, то её момент импульса относительно этой оси по модулю равен

где mi - масса материальной точки,

i - её линейная скорость

ri - расстояние до оси вращения.

Т.к. для вращательного движения

,

,

,

где  - момент инерции материальной точки относительно этой оси.

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси равен сумме моментов импульсов всех его точек относительно этой оси:

,       (2)

где - момент инерции тела.

Т.о., момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения равен произведению его момента инерции относительно этой оси на угловую скорость и сонаправлен с вектором угловой скорости.

Продифференцируем уравнение (2) по времени:

или   .                (3)

Уравнение (3) - ещё одна форма основного уравнения динамики вращательного  движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента

импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения равна моменту внешних сил относительно той же оси

Это уравнение является одним из важнейших уравнений ракетодинамики. В процессе движения ракеты положение ее центра масс непрерывно изменяется, вследствие чего возникают различные моменты сил: лобового сопротивления, аэродинамической силы, сил создаваемых рулем высоты. Уравнение вращательного движения ракеты под действием всех приложенных к ней моментов сил совместно с уравнениями движения центра масс ракеты и уравнениями кинематики с известными начальными условиями позволяют определить положение ракеты в пространстве в любой момент времени.

Рис. 1

1

2

2

1

Рис.2

R

R

dr

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис.6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31135. Динамические модели объектно-ориентированных программных систем: диаграммы взаимодействия Use Case 14.52 KB
  Диаграмма сотрудничества это диаграмма взаимодействия выделяющая структурную организацию объектов посылающих и принимающих сообщения. Иначе диаграмму сотрудничества называют диаграмма кооперации. Диаграмма последовательности это диаграмма взаимодействия отображающая сценарий поведения в системе и обеспечивающая более наглядное представление порядка передачи сообщений. Графически диаграмма последовательности это разновидность таблицы которая показывает объекты размешенные вдоль оси икс и сообщения упорядоченные во времени вдоль оси...
31136. Модели реализации объектно-ориентированных программных систем 34.82 KB
  Модели реализации обеспечивают представление системы в физическом мире рассматривая вопросы упаковки логических элементов в компоненты и размещения компонентов в аппаратных узлах. Рисунок 1 обозначение компонента Сходные характеристики: наличие имени; реализация набора интерфейсов; участие в отношения зависимости; возможность быть вложенными; наличие экземпляров экземпляры у компонентов только у диаграмм размещения № Описание различий 1 Классы логические абстракции компоненты физические предметы. 2 Компоненты являются...
31137. Стандартные методы совместного доступа к базам и программам в сложных информационных системах 150.16 KB
  ODBC это программный интерфейс PI доступа к базам данных разработанный фирмой X Open. ODBC это широко распространенный комплекс драйверов фирмы Microsoft для связи с разнородными базами данных удовлетворяющий стандартом ISO. Технологии связи с разнородными базами данных в условиях архитектуры клиент сервер с использованием ODBC. Клиентская часть состоит из: Управляющий модуль ODBC.
31138. Проектирование интегрированных ИС 68.03 KB
  Требование к корпоративным информационным системам: Функциональная часть: это функциональная интеграция и полнота; функциональная локализация; мониторинг функционирования. Организационное обеспечение: модульность; интеграция структуры; информационная безопасность. Применительно к промышленному предприятию состав систем составляющих корпоративную информационную систему во взаимосвязи с пользователями на различных уровнях управления может быть представлен в следующем виде: Интеграция функциональной части системы предполагает решение...
31139. Архитектура ЭИС 33.93 KB
  ЭИС совокупность организационных технических программных и информационных средств объединенных в единую систему с целью сбора обработки хранения и выдачи необходимой информации предназначенной для выполнения функций управления. ЭИС связывает объект и систему управления между собой и внешней средой через информационные потоки: ИП1 нормативная информация создаваемая государственными учреждениями в части законодательства; поток информации о конъюнктуре рынка создаваемые конкурентами потребителями поставщиками; ИП2 отчетная...
31140. Общая характеристика процесса проектирования ИС 32.86 KB
  Экономикоорганизационные принципы: Принцип эффективности ИС. Принцип стандартизации. Принцип системного подхода. Принцип интеграции.
31141. Технология проектирования ИС 82.83 KB
  Состав компонентов технологии проектирования Таким образом проектирование ИС задается регламентированной последовательностью технологических операций выполняемых в процессе создания проекта на основе того или иного метода в результате чего стало бы ясно не только что должно быть сделано для создания проекта но и как кому и в какой последовательности это должно быть сделано. Методология проектирования ИС предполагает наличие некоторых концепций принципов проектирования реализуемых набором методов проектирования которые в свою очередь...
31142. Понятия и процессы ЖЦ ПО 43.11 KB
  Он охватывает работы по созданию ПО и его компонентов в соответствии с данными требованиями включая оформление проектной и эксплуатационной документации подготовку материалов необходимых для проверки работоспособности и соответствующего качества программных продуктов материалов необходимых для организации обучения персонала и т. Определение компонентов ее оборудования ПО и операций выполняемых эксплуатирующим систему персоналом. Разработка и документирование программных интерфейсов ПО и БД разработка предварительной версии...
31143. Модель ЖЦ 86.63 KB
  Стадия создания ПО это часть процесса создания ПО ограниченная некоторыми временными рамками и заканчивающаяся выпуском конкретного продукта модели ПО программных компонентов и документация определяемого заданными для данной стадии требованиями. Состав ЖЦ ПО обычно включает следующие стадии: Формирование требований к ПО. TOBE как должно быть модель SIS с устраненными недостатками Результат стадии техникоэкономическое обоснование. Стадии 2 и 3 иногда объединяют в одну и называют технорабочим проектированием или системным...