3425

Динамика вращательного движения твердого тела

Лекция

Физика

Динамика вращательного движения твердого тела.  Момент инерции. Момент силы. Основное уравнение динамики вращательного движения. Момент импульса.  Момент инерции. (Рассмотрим опыт со скатывающимися цилиндрами.) При рассмотрении вращательно...

Русский

2012-10-31

200.5 KB

147 чел.

Динамика вращательного движения твердого тела.

  1.  Момент инерции.

Момент силы. Основное уравнение динамики вращательного движения.

Момент импульса.

  1.  Момент инерции.

(Рассмотрим опыт со скатывающимися цилиндрами.)

При рассмотрении вращательного движения необходимо ввести новые физические понятия: момент инерции, момент силы, момент импульса.

Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси.

Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения равен произведению её массы на квадрат расстояния до рассматриваемой оси вращения (рис.1):

.

зависит только от массы материальной точки и её положения относительно оси вращения и не зависит от наличия самого вращения.

Момент инерции - скалярная и аддитивная величина

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его точек

.

В случае непрерывного распределения массы эта сумма сводится к  интегралу:

,

где - масса малого объема тела ,   плотность тела,  - расстояние от элемента  до оси вращения.

Момент инерции является аналогом массы при вращательном движении. Чем больше момент инерции тела, тем труднее изменить угловую скорость вращаемого тела. Момент инерции имеет смысл только при заданном положении оси вращения.

Бессмысленно говорить просто о “моменте инерции”. Он зависит :

1)от положения оси вращения;

2)от распределения массы тела относительно оси вращения, т.е. от формы тела и его размеров.

Экспериментальным доказательством этого является опыт со скатывающимися цилиндрами.

Произведя интегрирование для некоторых однородных тел, можно получить следующие формулы (ось вращения проходит через центр масс тела):

  1.  Момент инерции обруча (толщиной стенок пренебрегаем) или полого цилиндра:

  1.  Момент инерции диска или сплошного цилиндра радиуса R:

,

где   .

  1.  Момент инерции шара

  1.  Момент инерции стержня

Если для тела известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси, параллельной первой, находится по теореме Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции J0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

,

где d расстояние от центра масс до оси вращения.

Центр масс - воображаемая точка, положение которой характеризует распределение массы данного тела. Центр масс тела движется так же, как двигалась бы материальная точка той же массы под действием всех внешних сил, действующих на данное тело.

Понятие момента инерции было введено в механику отечественным ученым Л. Эйлером в середине XVIII века и с тех пор широко используется при решении многих задач динамики твердого тела. Значение момента инерции необходимо знать на практике при расчете различных вращающихся узлов и систем (маховиков, турбин, роторов электродвигателей, гироскопов). Момент инерции входит в уравнения движения тела (корабля, самолета, снаряда, и т.п.). Его определяют, когда хотят узнать параметры вращательного движения летательного аппарата вокруг центра масс при действии внешнего возмущения (порыва ветра и т.п.). Для тел переменной массы (ракеты) с течением времени изменяется масса и момент инерции.

2.Момент силы.

Одна и та же сила может сообщать вращающемуся телу разные угловые ускорения в зависимости от её направления и точки приложения. Для характеристики вращающего действия силы вводят понятие момента силы.

Различают момент силы относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси. Моментом силы относительно точки О (полюса) называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора  проведенного из точки О в точку приложения силы, на вектор силы:

Поясняющий это определение рис. 3 выполнен в предположении, что точка О и вектор  лежат в плоскости чертежа, тогда вектор  так же располагается в этой плоскости, а вектор к ней и направлен от нас (как векторное произведение 2-х векторов; по правилу правого буравчика).

Модуль момента силы численно равен произведению силы на плечо:

,

где  - плечо силы относительно точки О, - угол между направлениями  и , .

Плечо - кратчайшее расстояние от центра вращения до линии действия силы.

Вектор момента силы сонаправлен с поступательным движением правого буравчика, если его рукоятку вращать по направлению вращающего действия силы. Момент силы - аксиальный (свободный) вектор, он направлен вдоль оси вращения, не связан с определенной линией действия, его можно переносить в

пространстве параллельно самому себе.

Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется проекция вектора  на эту ось (проходящую через точку О).

Если на тело действуют несколько сил, то результирующий момент сил относительно неподвижной оси Z равен алгебраической сумме моментов относительно этой оси всех сил, действующих на тело.

Если сила, приложенная к телу, не лежит в плоскости вращения, её можно разложить на 2 компоненты: лежащую в плоскости вращения  и к ней Fn. Как видно из рисунка 4, Fn вращения не создает, а приводит только к деформации тела; вращение тела обусловлено только составляющей F .

Вращающееся тело можно представить как совокупность материальных точек.

Выберем произвольно некоторую точку с массой mi , на которую действует сила , сообщая точке ускорение  (рис. 5). Поскольку вращение создает только тангенциальная составляющая, для упрощения вывода  направлена перпендикулярно оси вращения.

В этом случае

.

Согласно второму закону Ньютона: . Умножим обе части равенства на ri;

,

,

где  - момент силы, действующей на материальную точку,

- момент инерции материальной точки.

Следовательно, .

Для всего тела: ,

,

,          (1)

т.е. угловое ускорение тела прямо пропорционально моменту действующих на него внешних сил и обратно пропорционально его моменту инерции. Уравнение

(1) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси, или второй закон Ньютона для вращательного движения.

3. Момент импульса.

При сравнении законов вращательного и поступательного движений усматривается аналогия.

.

Аналогом импульса является момент импульса. Понятие момента импульса также можно ввести относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси, однако в большинстве случаев его можно определить следующим образом. Если материальная точка вращается вокруг неподвижной оси, то её момент импульса относительно этой оси по модулю равен

где mi - масса материальной точки,

i - её линейная скорость

ri - расстояние до оси вращения.

Т.к. для вращательного движения

,

,

,

где  - момент инерции материальной точки относительно этой оси.

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси равен сумме моментов импульсов всех его точек относительно этой оси:

,       (2)

где - момент инерции тела.

Т.о., момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения равен произведению его момента инерции относительно этой оси на угловую скорость и сонаправлен с вектором угловой скорости.

Продифференцируем уравнение (2) по времени:

или   .                (3)

Уравнение (3) - ещё одна форма основного уравнения динамики вращательного  движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента

импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения равна моменту внешних сил относительно той же оси

Это уравнение является одним из важнейших уравнений ракетодинамики. В процессе движения ракеты положение ее центра масс непрерывно изменяется, вследствие чего возникают различные моменты сил: лобового сопротивления, аэродинамической силы, сил создаваемых рулем высоты. Уравнение вращательного движения ракеты под действием всех приложенных к ней моментов сил совместно с уравнениями движения центра масс ракеты и уравнениями кинематики с известными начальными условиями позволяют определить положение ракеты в пространстве в любой момент времени.

Рис. 1

1

2

2

1

Рис.2

R

R

dr

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис.6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72135. Вхождение Грузии, Армении и Азербайджана в состав России 18.79 KB
  Вхождение Грузии Армении и Азербайджана в состав России. В этих условиях вхождение в состав России в начале XIX в. приоритетное место во внешней политике России занимал восточный вопрос. Особое значение в процессе утверждения России на Черном море в Крыму и на Северном Кавказе приобретало...
72136. Польский вопрос во внутренней политике РИ (1830-1917) 20.74 KB
  Постановка польского вопроса во внутренней политике РИ не случайно производится именно с 1830 г. поскольку до первого польского национального восстания национального вопроса в общероссийском масштабе не существовало в чем заключается особенность национальной обстановки в России.
72137. Формирование финской нации в составе Российского государства 21.06 KB
  Начало этому процессу было положено предоставлением автономии ВКФ на Боргоском сейме когда император обязался нерушимо хранить и оберегать финляндские законы после чего сейм принес присягу Александру I как императору всероссийскому и Великому князю Финляндскому и присягнул...
72138. Новороссия: управление, заселение, хозяйственное освоение (конец 18- начало 20 века) 30 KB
  Освоение Новороссии принимает массовый характер начиная с конца 18 века что зачастую связанно с имеем знаменитого государственного деятеля князя Потемкина которого Екатерина 2 наделила неограниченными полномочиями в отношении Новороссии.
72139. Присоединение Крыма к России. Политика царизма по отношению к коренному населению Тавриды. Формы и методы переселенческой политики Российского государства в Крыму (конец 18-19 вв.) 39.5 KB
  Русско-турецкая война 1768 1774 годов ознаменовалась присоединением Новороссии ныне южная Украина северного Кавказа и Крымского ханства которое формально обрело независимость но де-факто стало зависеть от России. С позицией России в отношении Крымского ханства не могла смириться Турция...
72140. Образование СССР. Советские республики в 1921-1922 гг.: необходимость, возможности и трудности объединения. Первый Всесоюзный Съезд Советов (30 декабря 1922 г.) 32 KB
  Для начала нужно выделить предпосылки образования СССР: однотипная экономика давние хозяйственные связи разделение труда между народами; смешанное население прочные родственные связи природа советской власти дружественные отношения; однотипная власть советы; единая партия РКПб единая армия...
72141. Присоединение Прибалтики к России. Эстляндия и Лифляндия в составе России 33 KB
  Прибалтика, состоящая из Эстляндии, Курляндии и Лифляндии, была присоединена к России в ходе Северной войны (1700-1721), которую вела Россия со Швецией за выход к Балтийскому морю. В результате победы России, по Ништадтскому мирному договору 1721 г., в состав империи вошли Эстония...
72142. Административные наказания 45.5 KB
  Установлено и новое административное взыскание административное выдворение за пределы Российской Федерации иностранного гражданина или лица без гражданства. Административное выдворение за пределы Российской Федерации иностранных граждан и лиц без гражданства заключается в принудительном...
72143. Понятие и принципы гражданского процессуального права 32.5 KB
  Таким образом нормы этой отрасли права регламентируют общественные отношения возникающие в сфере гражданского судопроизводства гражданско-процессуальные отношения. Следует иметь в виду что в рамках гражданского судопроизводства обеспечивается реализация норм не только гражданского но и ряда других...