3432

Методы решения нелинейного уравнения

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Данное руководство предназначено для студентов, изучающих предмет «Численные методы» и выполняющих лабораторные работы по курсу «Информатика». В методических указаниях рассмотрены ряд методов нахождения корней нелинейного ура...

Русский

2012-10-31

43.57 KB

7 чел.

Данное руководство предназначено для студентов,  изучающих предмет «Численные методы»  и выполняющих лабораторные работы по курсу   «Информатика». В методических указаниях рассмотрены ряд методов нахождения корней нелинейного уравнения и приведены примеры решения задач на языке программирования и в среде Mathcad.


ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ.

Множество значений переменной х, при которых уравнение F(x)=0 является тождеством, называется решением уравнения. При этом каждое значение х из этого множества называется корнем этого уравнения. Нахождение точных значений корней возможно, как правило, только в исключительных случаях. Поэтому большое значение имеют методы приближенного решение уравнения с заданной точностью. При этом решение задачи можно разбить на два этапа:

!) отделение корней т.е выделение промежутков внутри которых содержится только один корень уравнения;

2) вычисление корня, принадлежащего выделенному промежутку с заданной точностью.

Решение задачи отделения корней для непрерывной функции основано на том, что, если функция на концах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, то внутри этого отрезка функция проходит через нуль, т. е  содержится корень уравнения. Таким образом, чтобы произвести отделение корней необходимо разбить область предполагаемого нахождения корней на равные отрезки длиной h и вычислить значение функции на концах отрезка. Если будет выполнятся условие F(x)*F(x+h)<=0, то корень внутри отрезка [x,x+h]. Величина шага разбиения подбирается интуитивно; при большом шаге разбиения возможно пропустить корень; при маленьком – увеличивается время вычислений.

Ниже приведена программа на языке Паскаль, решающая задачу отделения корней для произвольной функции. ( В программе рассматривается уравнение: x3 +2*x2 – 6*x+1=0 ).

uses crt;

const m=100; {отрезок [-m,m]}

     h=0.1;  {шаг разбиения }

var x:real;

function f(x:real):real;

{функция, задающая решаемое уравнение }

begin

 f:=x*x*x+2*x*x-6*x+1;

end;

{-------------------------------------------------------------------}

begin { main }

 clrscr;

 x:=-m;

 while x<m do

   begin

     if f(x)*f(x+h)<=0 then

        begin

          { здесь следует разместить вызов функции уточняющий корень

             на отрезке [x,x+h]  }

           writeln('корень находится внутри отрезка [',x:5:1,x+h:5:1,']');

        end;

      x:=x+h;

   end;

  repeat until keypressed;

 end.

3


МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ.

Рассмотрим методы нахождения корня уравнения на заданном отрезке. Все методы предполагают, что предварительно произведено отделение корней и на отрезке находится только один корень.

Метод половинного деления состоит в том, что мы уменьшаем длину отрезка так, что корень остается внутри отрезка; процесс продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной точности. Уменьшение длины отрезка производится самым естественным образом: делением отрезка пополам и выбором той половины, внутри которой находится корень( т.е на концах которой функция имеет разный знак.)

Алгоритм:

   WHILE | a-b| > epsi

         Вычисляем середину отрезка x=(a+b)/2;

         Выбираем половину, где корень:

                 Если F(a)*F(x)<=0  то корень в [а,х], поэтому b переносим в x b=x   

                 Если F(b)*F(x)<=0  то корень в [b,х], поэтому a переносим в x a=x

    END

МЕТОД НЬЮТОНА (КАСАТЕЛЬНЫХ).

Суть метода:

 За начальное приближение принимается какая-либо точка заданного отрезка, для которой     ;

 Из этой точки проводится касательная к графику функции F(x). Уравнение касательной  

Точка пересечения касательной с осью 0X (y=0) задает следующее приближение  

 Процесс продолжается до тех пор пока расстояние между двумя последовательными приближениями не станет меньше заданной точности
|xi-1-xi|<epsi

Условия применимости метода:

  В интервале есть корень

  В интервале существуют  

  За начальное приближение принимается точка, в которой

Алгоритм

 X0 – начальное приближение

 X1 – последующее приближение

 F(x) – функция, задающая уравнение

 Fp(x) – производная

 X1=a x2=0 { необходимо для первоначальной проверки условия цикла}

 WHILE |X1-X0|>epsi

     X0=X1

     X1=X0-F(X0)/Fp(X0)

 END.

4


РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ В MATHCAD.

Для решения уравнения необходимо прежде всего построить график функции, задающий уравнение и по графику визуально определить начальное приближение корня.

Уточнение корня производится стандартной функцией

 root(F(x),x),

 где F(x) – функция, задающий уравнение.

        x –  имя переменной, варьируя которую ищется корень; перед использованием переменной обязательно должно быть присвоено начальное значение; для уравнения с несколькими корнями, ищется  корень, наиболее близкий к начальному значению.

Пример решения уравнения x3 +2*x2 – 6*x+1=0

Решение кубического уравнения

   

График

Уточнение графика на интервале 0 ..2

C помощью функции root ( требуется начальное приближение)

   

      

      

5


Примеры написание программ

Метод половинного деления

Метод Ньютона


ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

Требуется решить уравнение в Mathcadе, написать и отладить программу нахождения всех корней уравнения, предложенным преподавателем методом.

1. 2*x3+12*x2+13*x+15=0

2. 2*x3-3*x2+4*x+9=0

3.  x3-4*x2-4*x-5=0

4. 2*x4+3*x3+8*x2+6*x+5=0  

5. 2*x4-3*x3+2*x2-15*x+14=0

6. 15*x4-4*x3-6*x2-4*x-1=0

7. 2*x4-x3+3*x2-x+1=0

8. x4+3*x3-44*x2+15*x+25=0

9. 6*x4+25*x3+12*x2-25*x+6=0

10. x4-2*x3-11*x2+12*x+36=0

11. 100*x3+45*x2-12*x+2.5=0

12. 10*x3+20*x2-0.1*x-0.2=0

13.  x3+4.05*x2-0.03*x+0.02=0

14.  x3+79.9*x2-1988*x-200=0

15.  x3-4.6*x2-52*x-20=0

16.  x3-0.5*x2-0.5*x=0

17. 200*x3+78*x2-41.2*x+0.42=0

18. 2*x3-0.6*x2+0.06*x-0.002=0

19. 0.5*x3-2.3*x2-26*x-10=0

20. -0.1*x3+0.405*x2+0.003*x-0.002=0

ЛИТЕРАТУРА.

1. Mathcad 6.0 plus. Руководство пользователя. М., Филинъ.1998.

2. Ракитин В. И. , Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений. М., Высшая школа 1998.

3. Попов В. Б.  Turbo Pascal 7.0 для школьников

М.; Финансы и статистика, 1996. -464


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80744. Categorial Structure of the Word 29.65 KB
  The most general meanings rendered by L. expressed by systemic correlations of word-forms are interpreted as categorial grammatical meanings. The forms themselves are identified within definite paradigmatic series. The categorial meaning (e.g. the gram. number) unites the individual meanings of the correlated paradigmat...
80745. Verb. Grammatical category of voice 27.15 KB
  The verbal category of voice shows the direction of the process as regards the participants of the situation perfect in the syntactic construction. The voice of the English verb is expressed by the opposition of the passive form is the combination of the auxiliary “be” with past participle of the verb.
80746. LANGUAGE VARIETIES 28.23 KB
  The actual situation of the communication has two varieties of languages - the spoken and the written. The situation in which the spoken variety of language is used and in which it develops can be described as the presence of an interlocutor. The absence of an interlocutor.
80747. The semantic structure and semantic changes of English words 28.43 KB
  Meaning can be described as a component of the word through which a concept is communicated. The complex relationships between referent (object, denoted by the word), concept and word are represented by a triangle: No immediate relation between word and referent it is established only through the concept.
80748. Word-building. Principle ways of word formation 30.03 KB
  The branch of lex-ly that studies word-building patterns is known as word-building or word formation. There are several types of Modern Eng. Word-building: Affixation consists in coining a new word by adding an affix or several affixes to some root morphemes. From the etymological O A are class-d into native and borrowed.
80749. Stylistics of the text 31.44 KB
  But there may be rearrangement of the plot structure. Two literary kinds of technique are used in presenting plot development: 1) retardation – withholding of the information until the appropriate time; 2) forshadowing – a look towards the future, a hint, a remark: The plot is simple (complicated), intricate...
80750. Adjective.Semantic and structural classification 28.26 KB
  In the sentence the adj. performs the function of an atribute and a predicative. As for morphological features, the Eng. Adj. having lost all its forms of gram. Argument with the noun, is distinguished only by the category of comparison. All the adj. are devided into 2 groups: qualitative and relative.
80752. The Periods in the History of English 26.74 KB
  The evolution of English in the 1,500 years of its existence in England has been an unbroken one. Within this development, however, it is possible to recognize three main periods. Like all divisions in history, the periods of the English language are matters of convenience and the dividing lines between them purely arbitrary.