3432

Методы решения нелинейного уравнения

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Данное руководство предназначено для студентов, изучающих предмет «Численные методы» и выполняющих лабораторные работы по курсу «Информатика». В методических указаниях рассмотрены ряд методов нахождения корней нелинейного ура...

Русский

2012-10-31

43.57 KB

7 чел.

Данное руководство предназначено для студентов,  изучающих предмет «Численные методы»  и выполняющих лабораторные работы по курсу   «Информатика». В методических указаниях рассмотрены ряд методов нахождения корней нелинейного уравнения и приведены примеры решения задач на языке программирования и в среде Mathcad.


ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ.

Множество значений переменной х, при которых уравнение F(x)=0 является тождеством, называется решением уравнения. При этом каждое значение х из этого множества называется корнем этого уравнения. Нахождение точных значений корней возможно, как правило, только в исключительных случаях. Поэтому большое значение имеют методы приближенного решение уравнения с заданной точностью. При этом решение задачи можно разбить на два этапа:

!) отделение корней т.е выделение промежутков внутри которых содержится только один корень уравнения;

2) вычисление корня, принадлежащего выделенному промежутку с заданной точностью.

Решение задачи отделения корней для непрерывной функции основано на том, что, если функция на концах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, то внутри этого отрезка функция проходит через нуль, т. е  содержится корень уравнения. Таким образом, чтобы произвести отделение корней необходимо разбить область предполагаемого нахождения корней на равные отрезки длиной h и вычислить значение функции на концах отрезка. Если будет выполнятся условие F(x)*F(x+h)<=0, то корень внутри отрезка [x,x+h]. Величина шага разбиения подбирается интуитивно; при большом шаге разбиения возможно пропустить корень; при маленьком – увеличивается время вычислений.

Ниже приведена программа на языке Паскаль, решающая задачу отделения корней для произвольной функции. ( В программе рассматривается уравнение: x3 +2*x2 – 6*x+1=0 ).

uses crt;

const m=100; {отрезок [-m,m]}

     h=0.1;  {шаг разбиения }

var x:real;

function f(x:real):real;

{функция, задающая решаемое уравнение }

begin

 f:=x*x*x+2*x*x-6*x+1;

end;

{-------------------------------------------------------------------}

begin { main }

 clrscr;

 x:=-m;

 while x<m do

   begin

     if f(x)*f(x+h)<=0 then

        begin

          { здесь следует разместить вызов функции уточняющий корень

             на отрезке [x,x+h]  }

           writeln('корень находится внутри отрезка [',x:5:1,x+h:5:1,']');

        end;

      x:=x+h;

   end;

  repeat until keypressed;

 end.

3


МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ.

Рассмотрим методы нахождения корня уравнения на заданном отрезке. Все методы предполагают, что предварительно произведено отделение корней и на отрезке находится только один корень.

Метод половинного деления состоит в том, что мы уменьшаем длину отрезка так, что корень остается внутри отрезка; процесс продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной точности. Уменьшение длины отрезка производится самым естественным образом: делением отрезка пополам и выбором той половины, внутри которой находится корень( т.е на концах которой функция имеет разный знак.)

Алгоритм:

   WHILE | a-b| > epsi

         Вычисляем середину отрезка x=(a+b)/2;

         Выбираем половину, где корень:

                 Если F(a)*F(x)<=0  то корень в [а,х], поэтому b переносим в x b=x   

                 Если F(b)*F(x)<=0  то корень в [b,х], поэтому a переносим в x a=x

    END

МЕТОД НЬЮТОНА (КАСАТЕЛЬНЫХ).

Суть метода:

 За начальное приближение принимается какая-либо точка заданного отрезка, для которой     ;

 Из этой точки проводится касательная к графику функции F(x). Уравнение касательной  

Точка пересечения касательной с осью 0X (y=0) задает следующее приближение  

 Процесс продолжается до тех пор пока расстояние между двумя последовательными приближениями не станет меньше заданной точности
|xi-1-xi|<epsi

Условия применимости метода:

  В интервале есть корень

  В интервале существуют  

  За начальное приближение принимается точка, в которой

Алгоритм

 X0 – начальное приближение

 X1 – последующее приближение

 F(x) – функция, задающая уравнение

 Fp(x) – производная

 X1=a x2=0 { необходимо для первоначальной проверки условия цикла}

 WHILE |X1-X0|>epsi

     X0=X1

     X1=X0-F(X0)/Fp(X0)

 END.

4


РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ В MATHCAD.

Для решения уравнения необходимо прежде всего построить график функции, задающий уравнение и по графику визуально определить начальное приближение корня.

Уточнение корня производится стандартной функцией

 root(F(x),x),

 где F(x) – функция, задающий уравнение.

        x –  имя переменной, варьируя которую ищется корень; перед использованием переменной обязательно должно быть присвоено начальное значение; для уравнения с несколькими корнями, ищется  корень, наиболее близкий к начальному значению.

Пример решения уравнения x3 +2*x2 – 6*x+1=0

Решение кубического уравнения

   

График

Уточнение графика на интервале 0 ..2

C помощью функции root ( требуется начальное приближение)

   

      

      

5


Примеры написание программ

Метод половинного деления

Метод Ньютона


ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

Требуется решить уравнение в Mathcadе, написать и отладить программу нахождения всех корней уравнения, предложенным преподавателем методом.

1. 2*x3+12*x2+13*x+15=0

2. 2*x3-3*x2+4*x+9=0

3.  x3-4*x2-4*x-5=0

4. 2*x4+3*x3+8*x2+6*x+5=0  

5. 2*x4-3*x3+2*x2-15*x+14=0

6. 15*x4-4*x3-6*x2-4*x-1=0

7. 2*x4-x3+3*x2-x+1=0

8. x4+3*x3-44*x2+15*x+25=0

9. 6*x4+25*x3+12*x2-25*x+6=0

10. x4-2*x3-11*x2+12*x+36=0

11. 100*x3+45*x2-12*x+2.5=0

12. 10*x3+20*x2-0.1*x-0.2=0

13.  x3+4.05*x2-0.03*x+0.02=0

14.  x3+79.9*x2-1988*x-200=0

15.  x3-4.6*x2-52*x-20=0

16.  x3-0.5*x2-0.5*x=0

17. 200*x3+78*x2-41.2*x+0.42=0

18. 2*x3-0.6*x2+0.06*x-0.002=0

19. 0.5*x3-2.3*x2-26*x-10=0

20. -0.1*x3+0.405*x2+0.003*x-0.002=0

ЛИТЕРАТУРА.

1. Mathcad 6.0 plus. Руководство пользователя. М., Филинъ.1998.

2. Ракитин В. И. , Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений. М., Высшая школа 1998.

3. Попов В. Б.  Turbo Pascal 7.0 для школьников

М.; Финансы и статистика, 1996. -464


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38708. Построение обобщенных моделей Марковица, а также разработка методов оптимизации портфеля по этим моделям 1.48 MB
  Развитие математической модели нечеткой случайной величины для решения задач портфельного анализа. В первой главе диссертации развивается модель нечеткой случайной величины разработанная в работе [72]. Основное внимание направлено на представление нечеткой случайной величины и разработку исчисления позволяющего оценивать основные числовые характеристики нечеткой случайной величины: ожидаемое значение коэффициенты ковариации и дисперсию. Определение нечеткой случайной величины.
38709. ЛИНГВОСТАТИСТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ И ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЮРИДИЧЕСКОЙ ТЕРМИНОЛОГИИ В НЕСПЕЦИАЛЬНОЙ СФЕРЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ 2.51 MB
  Грамматические категории юридических терминов и словосочетаний58 2. ПРИНЦИПЫ СОСТАВЛЕНИЯ ЧАСТОТНОГО СЛОВАРЯ ЮРИДИЧЕСКИХ ТЕРМИНОВ ИЗ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ДЖ. О модели частотного словаря юридических терминов из произведений Дж.178 ПРИЛОЖЕНИЕ 2: Частотный словарь юридических терминов из произведений Дж.
38710. ДЕРМАТОСКОПИЯ В РАННЕЙ ДИАГНОСТИКЕ И СКРИНИНГЕ МЕЛАНОМЫ КОЖИ 401 KB
  Барсуков Актуальность темы Несмотря на то что частота МК составляет лишь 35 от всех первичных злокачественных опухолей кожи она относится к категории наиболее агрессивных опухолей метастазирующих как лимфогенным так и гематогенным путем Давыдов М. Нет четкого представления о дифференциальнодиагностических критериях доброкачественных и злокачественных пигментированных новообразований кожи. Цель исследования Разработка метода неинвазивной ранней диагностики МК на основе комплексного использования цифровой и Zoomфотографии кожи...
38711. ФОРМИРОВАНИЕ НАЛОГОВЫХ ДОХОДОВ ГОСУДАРСТВЕННОГО СЕКТОРА 743.5 KB
  Налоги — один из древнейших финансовых институтов. Их возникновение связано с возникновением и становлением государственности. Известно, что в VII—VI вв. до н. э. в Древней Греции уже были введены налоги на доходы в размере десятой или двадцатой части доходов. В понятии «налог» переплелись не только экономический и философский смысл, но и конкретная форма правовых взаимоотношений
38712. МЕТОД ТЕПЛОВОГО РАСЧЕТА БОЛЬШИХ КОСМИЧЕСКИХ ТЕЛЕСКОПОВ И ЕГО ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ 4.57 MB
  ЛЕБЕДЕВА На правах рукописи Шаенко Александр Юрьевич МЕТОД ТЕПЛОВОГО РАСЧЕТА БОЛЬШИХ КОСМИЧЕСКИХ ТЕЛЕСКОПОВ И ЕГО ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ Специальность 05.3] МЕТОД ТЕПЛОВОГО РАСЧЕТА [0. Существующие программные комплексы теплового расчета предназначены в основном для расчета космических аппаратов с небольшим разбросом температур. Прямая реализация расчета космических аппаратов с большим разбросом температур и сложной геометрической конфигурацией по классической вычислительной схеме приводит к необходимости использовать суперЭВМ в то время как...
38713. Определение биохимических и фармакокинетических свойств эритроцитов-переносчиков антрациклиновых антибиотиков 236.5 KB
  Преимущества использования нагруженных антрациклиновыми антибиотиками эритроцитов по сравнению со стандартными формами этих препаратов показаны в ряде экспериментов на культурах клеток и на животных [Zocchi 1988 1989 Bentti 1989 Gudreult 1989 tullkhnov 1992 1994]. Описаны случаи использования эритроцитов нагруженных доксорубицином в ветеринарии [Mtherne 1994] а также единичные случаи применения их в клинической практике [Tonetti 1992 tullkhnov 1997 Куликова 1998]. Однако несмотря на обнадеживающие результаты существует проблема...
38714. ФИЛОСОФСКИЙ СКЕПТИЦИЗМ И ПРОБЛЕМА ДОСТОВЕРНОСТИ ЗНАНИЯ 849.5 KB
  01 Онтология и теория познания Диссертация на соискание ученой степени кандидата философских наук Научный руководитель – доктор философских наук профессор Никоненко С. Логика практических контекстов знания . Философское сомнение и логические категории знания.
38716. ОПТИНСКИЕ И ГЛИНСКИЕ СТАРЦЫ КАК ПРОДОЛЖАТЕЛИ ДУХОВНОГО ДЕЛАНИЯ ПРЕПОДОБНОГО ПАИСИЯ (ВЕЛИЧКОВСКОГО) 22.89 MB
  Например высоко отзывался о Глинской пустыни преподобный Серафим Саровский который нередко направлял к преподобному игумену Филарету Данилевскому просивших благословения на поступление в монастырь указывая на обитель его как на великую школу иноческой жизни3. А знаменитый миссионер преподобный Макарий Глухарев писал об этой обители так: Это школа Христова это одна из светлых точек на земном шаре в которую дабы войти надлежит умалиться до Христова младенчества4. Схиархимандрит Иоанн Маслов в своём труде Преподобный Амвросий...