3432

Методы решения нелинейного уравнения

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Данное руководство предназначено для студентов, изучающих предмет «Численные методы» и выполняющих лабораторные работы по курсу «Информатика». В методических указаниях рассмотрены ряд методов нахождения корней нелинейного ура...

Русский

2012-10-31

43.57 KB

7 чел.

Данное руководство предназначено для студентов,  изучающих предмет «Численные методы»  и выполняющих лабораторные работы по курсу   «Информатика». В методических указаниях рассмотрены ряд методов нахождения корней нелинейного уравнения и приведены примеры решения задач на языке программирования и в среде Mathcad.


ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ.

Множество значений переменной х, при которых уравнение F(x)=0 является тождеством, называется решением уравнения. При этом каждое значение х из этого множества называется корнем этого уравнения. Нахождение точных значений корней возможно, как правило, только в исключительных случаях. Поэтому большое значение имеют методы приближенного решение уравнения с заданной точностью. При этом решение задачи можно разбить на два этапа:

!) отделение корней т.е выделение промежутков внутри которых содержится только один корень уравнения;

2) вычисление корня, принадлежащего выделенному промежутку с заданной точностью.

Решение задачи отделения корней для непрерывной функции основано на том, что, если функция на концах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, то внутри этого отрезка функция проходит через нуль, т. е  содержится корень уравнения. Таким образом, чтобы произвести отделение корней необходимо разбить область предполагаемого нахождения корней на равные отрезки длиной h и вычислить значение функции на концах отрезка. Если будет выполнятся условие F(x)*F(x+h)<=0, то корень внутри отрезка [x,x+h]. Величина шага разбиения подбирается интуитивно; при большом шаге разбиения возможно пропустить корень; при маленьком – увеличивается время вычислений.

Ниже приведена программа на языке Паскаль, решающая задачу отделения корней для произвольной функции. ( В программе рассматривается уравнение: x3 +2*x2 – 6*x+1=0 ).

uses crt;

const m=100; {отрезок [-m,m]}

     h=0.1;  {шаг разбиения }

var x:real;

function f(x:real):real;

{функция, задающая решаемое уравнение }

begin

 f:=x*x*x+2*x*x-6*x+1;

end;

{-------------------------------------------------------------------}

begin { main }

 clrscr;

 x:=-m;

 while x<m do

   begin

     if f(x)*f(x+h)<=0 then

        begin

          { здесь следует разместить вызов функции уточняющий корень

             на отрезке [x,x+h]  }

           writeln('корень находится внутри отрезка [',x:5:1,x+h:5:1,']');

        end;

      x:=x+h;

   end;

  repeat until keypressed;

 end.

3


МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ.

Рассмотрим методы нахождения корня уравнения на заданном отрезке. Все методы предполагают, что предварительно произведено отделение корней и на отрезке находится только один корень.

Метод половинного деления состоит в том, что мы уменьшаем длину отрезка так, что корень остается внутри отрезка; процесс продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной точности. Уменьшение длины отрезка производится самым естественным образом: делением отрезка пополам и выбором той половины, внутри которой находится корень( т.е на концах которой функция имеет разный знак.)

Алгоритм:

   WHILE | a-b| > epsi

         Вычисляем середину отрезка x=(a+b)/2;

         Выбираем половину, где корень:

                 Если F(a)*F(x)<=0  то корень в [а,х], поэтому b переносим в x b=x   

                 Если F(b)*F(x)<=0  то корень в [b,х], поэтому a переносим в x a=x

    END

МЕТОД НЬЮТОНА (КАСАТЕЛЬНЫХ).

Суть метода:

 За начальное приближение принимается какая-либо точка заданного отрезка, для которой     ;

 Из этой точки проводится касательная к графику функции F(x). Уравнение касательной  

Точка пересечения касательной с осью 0X (y=0) задает следующее приближение  

 Процесс продолжается до тех пор пока расстояние между двумя последовательными приближениями не станет меньше заданной точности
|xi-1-xi|<epsi

Условия применимости метода:

  В интервале есть корень

  В интервале существуют  

  За начальное приближение принимается точка, в которой

Алгоритм

 X0 – начальное приближение

 X1 – последующее приближение

 F(x) – функция, задающая уравнение

 Fp(x) – производная

 X1=a x2=0 { необходимо для первоначальной проверки условия цикла}

 WHILE |X1-X0|>epsi

     X0=X1

     X1=X0-F(X0)/Fp(X0)

 END.

4


РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ В MATHCAD.

Для решения уравнения необходимо прежде всего построить график функции, задающий уравнение и по графику визуально определить начальное приближение корня.

Уточнение корня производится стандартной функцией

 root(F(x),x),

 где F(x) – функция, задающий уравнение.

        x –  имя переменной, варьируя которую ищется корень; перед использованием переменной обязательно должно быть присвоено начальное значение; для уравнения с несколькими корнями, ищется  корень, наиболее близкий к начальному значению.

Пример решения уравнения x3 +2*x2 – 6*x+1=0

Решение кубического уравнения

   

График

Уточнение графика на интервале 0 ..2

C помощью функции root ( требуется начальное приближение)

   

      

      

5


Примеры написание программ

Метод половинного деления

Метод Ньютона


ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

Требуется решить уравнение в Mathcadе, написать и отладить программу нахождения всех корней уравнения, предложенным преподавателем методом.

1. 2*x3+12*x2+13*x+15=0

2. 2*x3-3*x2+4*x+9=0

3.  x3-4*x2-4*x-5=0

4. 2*x4+3*x3+8*x2+6*x+5=0  

5. 2*x4-3*x3+2*x2-15*x+14=0

6. 15*x4-4*x3-6*x2-4*x-1=0

7. 2*x4-x3+3*x2-x+1=0

8. x4+3*x3-44*x2+15*x+25=0

9. 6*x4+25*x3+12*x2-25*x+6=0

10. x4-2*x3-11*x2+12*x+36=0

11. 100*x3+45*x2-12*x+2.5=0

12. 10*x3+20*x2-0.1*x-0.2=0

13.  x3+4.05*x2-0.03*x+0.02=0

14.  x3+79.9*x2-1988*x-200=0

15.  x3-4.6*x2-52*x-20=0

16.  x3-0.5*x2-0.5*x=0

17. 200*x3+78*x2-41.2*x+0.42=0

18. 2*x3-0.6*x2+0.06*x-0.002=0

19. 0.5*x3-2.3*x2-26*x-10=0

20. -0.1*x3+0.405*x2+0.003*x-0.002=0

ЛИТЕРАТУРА.

1. Mathcad 6.0 plus. Руководство пользователя. М., Филинъ.1998.

2. Ракитин В. И. , Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений. М., Высшая школа 1998.

3. Попов В. Б.  Turbo Pascal 7.0 для школьников

М.; Финансы и статистика, 1996. -464


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21969. Китай в III-VIII-XII вв. 74 KB
  – в Северном Китае образовали свое государство в 316 г. ХоуЧжаю государство гуннов пало под ударами сяньбийцев. создали государство ЦяньЯнь просуществовало до 370 г. сяньбийские племена объединились под властью вождя Тоба Тобар Тобагуй и появилось государство ХоуВэй т.
21970. Китай в эпоху правления династии Юань (1271-1368 гг.) 71 KB
  на территории современного Китая сосуществовали 4 государства: на севере – чжуржэньская империя Цзинь на северозападе – тангутское государство Западное Ся на юге – Южносунская империя и государственное образование Ианьчжао Дали. – китайцысеверяне и ассимилированные кидане чжурчжэни корейцы и т. Этому способствовали политика властей власть монголов ослабла вместо единой монгольской империи было 4 государства: собственно Монголия Маньчжурия Китай Тибет входили в состав одного из них – государства великих ханов и стихийные...
21971. Контрреформация 39.5 KB
  пойти на реорганизацию внутренней структуры системы власти и управления она создала новые инструменты в частности появились новые религиозные ордена инквизиция книжная цензура постановления Тридентского собора. Некоторые ордена были реформированы. был реорганизован орден камальдулов ответвления бенедиктинцев в 1528 г. часть обсервантов францисканцы образовали орден капуцинов для деятельности в миру проповеди и служения среди простонародья.
21972. Крестовые походы 76 KB
  Наименование крестовых походов в истории получили военноколонизационные походы западноевропейских феодалов в страны Восточного Средиземноморья а также в пределы земель западных славян и прибалтийских народов. Современники не говорили крестовый поход называя это движение – войной за Гроб господень странствование заморское поход по стезе Господней путь в Святую землю. Термин крестовый поход появился в XVII в.
21973. Культура Западной Европы в XVI-XVII вв. 185 KB
  XVI в. XVI в. В XVIXVII вв.
21974. Австрийские земли в XVI-первой половине XVII вв. 54.5 KB
  в Австрии вместе с Чехией и Моравией проживало 55 млн. В Австрии население было распределено равномерно и все области были одинаково развиты в экономическом отношении. Австрийские правители добились чтобы экспортируемые из Венгрии медь и серебро в значительной мере обрабатывались в самой Австрии. был в Австрии бурным периодом перехода от ремесленного производства к ранней мануфактуре от аграрного хозяйства производящего на общину к производству на рынок.
21975. Австрийские земли в X-XV вв. 62 KB
  Хлебопашество играло определяющую роль на востоке – в Нижней Австрии оставаясь в рамках чиншевой системы. в Австрии было достаточное количество мелких и средних городов и один крупный – Вена. Формируется специализация городов и экономических зон Австрии. Ассортимент экспорта – бумазея вуаль из Вены и Тульна изделия из металла – иглы цепи кухонная утварь с х утварь ножи из Нижней Австрии – изделия из кожи стекло бумага кроме того австрийские купцы занимались экспорт и реэкспортом с х продуктов.
21976. Доколумбовая Америка. Ацтеки 228 KB
  Во влажных тропических лесах юга Месоамерики на сравнительно краткий исторический срок пышно расцвела цивилизация майя оставившая после себя обширные города и множество великолепных произведений искусства. Майя исторический и современный индейский народ создавший одну из самых высокоразвитых цивилизаций Америки и в целом Древнего мира. Некоторые культурные традиции древних майя сохраняют около 25 млн. народ майя говорящий на различных языках семьи майякиче расселился на обширной территории включающей южные штаты Мексики Табаско...
21977. Англия в XI-XV вв. 184.5 KB
  В Англии шла борьба за влияние на короля между Годвинами и норманнами. – подробно информировать короля о размерах и распределении богатств земель и доходов его вассалов. Некоторые из этих поместий были непосредственным владением короля остальные он раздавал своим многочисленным вассалам те в свою очередь имели большее или меньшее число субвассалов которые и являлись фактическими держателями поместий. Это объяснялось наличием большого королевского домена особенностью вассальной системы – все рыцари – вассалы короля Солсберийская присяга...