3438

Лекционный курс по начертательной геометрии

Конспект

Математика и математический анализ

Лекционный курс по Начертательной Геометрии предназначен для освоения студентами Химико-биологических и Электротехнических специальностей техники геометрического и графического моделирования используемой при чтении и выполнении проектной документации...

Русский

2012-10-31

1.92 MB

102 чел.

Лекционный курс по Начертательной Геометрии предназначен для освоения студентами Химико-биологических и Электротехнических специальностей техники геометрического и графического моделирования используемой при чтении и выполнении проектной документации./ Автор Деветериков Ю.Л. – Тольятти: ТГУ, 2003. – С.

1.1. Вопросы организации изучения курса

Изготовление любого объекта начинают с инженерной разработки его проекта. Проект представляет собой комплект конструкторско-технологических документов, необходимых для изготовления объекта. Все документы проекта выполняют строго в соответствии со всероссийскими правилами: ГОСТ ЕСКД (Государственный Стандарт Единой Системы Конструкторской Документации).

Стержневыми документами проекта являются чертежи изделия и его частей, т.е. чертежи сборочных единиц и их деталей.

Рассмотрим блок-схему пути создания машиностроительного объекта – изделия.

Блок-схем пути создания машиностроительного объекта

Деталь, как составной элемент любого изделия, имеет стандартное технологическое определение (ГОСТ 2.101):

« Деталь - изделие, выполненное из однородного по наименованию и марке материала без применения сборочных операций».

С позиции конструирования: деталь - это некоторый объём материала, ограниченный набором определённых поверхностей, необходимых для решения соответствующих функциональных задач в проектируемом изделии.

Сборочная единица - это несколько соединённых между собой деталей, решающих технологические задачи сборки изделия.

Главной информацией на чертеже является изображение изделия, т.е. его геометрический образ. Изображение изделия можно представить, как совокупность изображений всех его поверхностей. Следовательно, в основе техники составления изображения изделия лежит умение изображать любую его поверхность.

Поэтому освоение техники выполнения чертежа начинают с освоения теории построения изображения поверхности на чертеже, а инженерное образование в ВУЗе начинают с освоения базового общеинженерного курса «Инженерная графика».

Задачу курса «Инженерная графика» можно сформулировать, как освоение техники стандартного оформления конструкторской (проектной) документации.

Согласно ГОСТ 2.102 при проектировании разрабатывают рабочую конструкторскую документацию двух видов: основную и дополнительную. К основной документации относят чертежи деталей и спецификации сборочных единиц. К дополнительной документации относят, например, чертежи сборочных единиц, дополняющие спецификации.

Инженерная графика, как учебный курс, представляет собой комплекс взаимосвязанных трёх дисциплин (учебных модулей):

Начертательная геометрия, обучающая технике геометрического и графического моделирования реальных поверхностей изделий, которая позволяет строить изображения на чертеже.

Инженерная графика (машиностроительное черчение), которая обучает технике чтения и изготовления конструкторской документации согласно правилам ГОСТ ЕСКД.

Машинная графика, обучающая технике автоматизации и механизации процесса разработки и копирования конструкторской документации с помощью ЭВМ.

Начертательная геометрия является частью общей Геометрии и, как наука, занимается теорией геометрического и графического моделирования реальных поверхностей. Эта наука предназначена для приобретения навыков организации передачи информации о геометрии объекта.

Процесс передачи информации можно поэтапно представить следующим образом.

В нашем воображении осуществляется абстрактный переход от реальной поверхности объекта к её геометрическому образу, модели.

Производится отображение этой геометрической модели на поле чертежа с помощью линий, т.е. строится её изображение или можно сказать, что создаётся её материальная графическая модель, которая является вторичной моделью.

Человек, получающий информацию, производит считывание изображения с чертежа и в своём воображении создаёт представление о геометрическом образе и соответствующей реальной поверхности.

1.2. Основные элементы геометрического моделирования

Геометрическая модель поверхности - это воображаемая геометрическая фигура, адекватная по определённым параметрам реальной поверхности.

Геометрическое моделирование - это процесс перехода от реальной поверхности к абстрактной геометрической фигуре.

В основе геометрического моделирования лежит кинематический метод образования геометрических фигур, рассматривая их, как траекторию движения определённого элемента моделирования. При этом вводятся следующие элементы моделирования, заимствованные из математической теории множеств: Точка, Линия и Поверхность, как геометрическая фигура.

Точка - простейший (базовый) элемент. Представляет собой некоторую часть пространства, которая имеет во всех направлениях бесконечно малые размеры.

Линия - простейшая геометрическая фигура, которую можно представить (смоделировать), как траекторию непрерывного движения точки по определённому закону.

.Прямая (линия) - частный вид линии, которую моделируют траекторией непрерывного прямолинейного движения точки.

Поверхность - геометрическая фигура, которую можно представить (смоделировать), как траекторию непрерывного перемещения некоторой линии - образующей.

В процессе перемещения образующая может оставаться неизменной или непрерывно менять свою форму по определённому закону. Графически перемещение образующей можно задать определёнными линиями - направляющими.

Плоскость - частный вид поверхности. Представляет собой траекторию непрерывного прямолинейного перемещения образующей прямой в направлении, не совпадающем с образующей.

1.3. Условные обозначения и символы

Условные обозначения и символы вводятся для краткости описания алгоритмов построения изображений.

A, B, C,.....(латинские) - обозначение точек.

a, b, c,....... (латинские) - обозначение линий.

x, y, z - обозначение координатных осей пространственной прямоугольной системы (абсцисса, ордината, аппликата).

O - начало координатных осей.

,… (греческие) - обозначение поверхностей.

,… (греческие) - обозначение углов.

 - символ принадлежности точки или линии какой-либо геометрической фигуре.

- символ пересечения геометрических фигур.

= - символ совпадения, равенства, результата геометрической операции ( построения ).

||- символ параллельности.

 - символ перпендикулярности.

- символ логического следствия (если..., то ...).

- плоскость проекций.

Примечание. Основными плоскостями проекций считаются плоскости, образуемые пересекающимися координатными осями: x, y, z . Основные плоскости проекций (ортогональные между собой):

(xy) - горизонтальная плоскость проекций;

(xz) - фронтальная плоскость проекций;

(yz) - профильная плоскость проекций.

1.4. Основы графического моделирования

Графическая модель объекта - это изображение на плоскости чертежа геометрической модели данного объекта. Изображение строится методом проецирования.

Проецирование - это процесс точечного отображения геометрической модели на плоскость чертежа. Условно, проецирование можно представить, как прямолинейный перенос некоторого множества точек объекта на плоскость чертежа.

Виды (способы) проецирования

Центральное проецирование (рис. 1.1). Считается, что проецирование производится с помощью лучей, исходящих из одной точки пространства - центра проецирования.

Рис. 1.1

Такое проецирование является необратимым: точка пространства определяет положение её проекции, в то время как проекция точки не определяет положение этой точки в пространстве, так как проекция может принадлежать одновременно множеству точек, расположенных на проецирующем луче.

Параллельное проецирование. Проецирование производится с помощью параллельных лучей. При этом подразумевается, что плоскость проекций может составлять с проецирующими лучами любой угол. Этот вид проецирования является также необратимым.

Прямоугольное проецирование. Этот способ является частным случаем параллельного проецирования, когда проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций. Этот вид проецирования принят в машиностроении для построения изображений на чертеже. Однако необратимость проецирования сохраняется.

1.5. Свойства ортогонального проецирования

Любая точка пространства имеет на заданной плоскости единственную проекцию.

Проекция прямой линии на плоскость есть прямая линия.

Если некоторая точка принадлежит некоторой прямой, то и проекция заданной точки принадлежит проекции заданной прямой.

Если точка в пространстве делит отрезок в данном отношении, то проекция этой точки делит проекцию заданного отрезка в том же отношении.

Проекции параллельных прямых - параллельны.

При параллельном переносе плоскостей проекций (или фигуры) проекция фигуры не изменяется.

Точка пересечения проекций пересекающихся прямых является проекцией точки пересечения этих прямых.

Если хотя бы одна из сторон прямого угла параллельна данной плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость без искажения.

Длина отрезка, в общем случае, больше длины его проекции.

Если плоскость окружности не параллельна плоскости проекций, то проекция этой окружности есть эллипс.

Геометрическую фигуру называют проецирующей, если одна из её проекций имеет на единицу меньшее измерение. Например, прямая линия, перпендикулярная плоскости проекций, проецируется на неё в виде точки (рис. 1.2).

Рис. 1.2

1.6. Разновидности графических задач

Все графические задачи, встречающиеся при построении и чтении изображений, условно можно разделить на следующие группы.

ПЗ - позиционные задачи, которые связаны с определением по чертежу взаимного расположения геометрических фигур и их элементов (точек и линий):

ПЗ.1 - разновидность позиционных задач, связанных с определением по чертежу порядка взаимного расположения объектов проецирования: левее, правее, дальше, ближе, выше, ниже.

ПЗ.2 - задачи, связанные с определением по чертежу принадлежности геометрическим фигурам их элементов: точек или линий.

ПЗ.3 - задачи, связанные с определением по чертежу результатов взаимного пересечения геометрических фигур. Эти задачи получили название: главные позиционные задачи (ГПЗ).

МЗ - метрические задачи, которые связаны с определением по чертежу мерных характеристик проецируемых объектов (длин, расстояний, величин углов, площадей).

Всё многообразие МЗ решается с использованием двух базовых задач, получивших название основных метрических задач (ОМЗ):

ОМЗ.1 - задачи на определение по чертежу длины отрезка.

ОМЗ.2 - задачи на определение по чертежу перпендикулярности прямых линий между собой.

КомЗ - комплексные задачи, содержащие в себе несколько задач, как позиционных, так и метрических.

КонЗ - конструктивные задачи, которые связаны с построением чертежа геометрических фигур и их элементов, отвечающих определённым заданным конструктивным условиям (например, построить чертёж поверхности, все точки которой равноотстояли бы от заданной прямой линии).

2. Получение обратимого чертежа, задание на нём точки

Следует отметить, что на чертеже рассматриваемый объект (например, точка) должен быть задан таким образом, чтобы можно было представить его пространственное положение. Для этого чертёж должен быть обратимым, т. е. содержать трёхмерную информацию об объекте.

Задачу обратимости чертежа можно решить следующими двумя способами.

Получение обратимого чертежа путём использования

аксонометрического проецирования - проецирования, при котором строят не только изображение объекта (например, точки), но и осей принятой системы координат ( x, y, z ), с которой условно связывают объект.

Существует множество положений плоскости чертежа относительно осей координат. Но в любом случае на чертеже координатные оси отобразятся, как пучок из трёх прямых.

Если плоскость чертежа расположить так, чтобы  она имела одинаковые углы со всеми осями, то на чертеже координатные оси будут составлять между собой углы по 120 и иметь одинаковые коэффициенты уменьшения (искажения) своего изображения по отношению к оригиналу. Для удобства принято считать этот коэффициент равным единице. Такое аксонометрическое проецирование называют изометрическим.

При аксонометрическом изображении точку (объект) рассматривают относительно начала координат, определяя расстояние между ними по осям x, y, z . Эти расстояния получили название координаты заданной точки.

Возможность определения по чертежу трёхмерного положения любой точки рассматриваемого объекта и делает такой чертёж обратимым.

На рис 2.1 представлен изометрический чертёж точек А и В.

Рис. 2.1

2.2 Получение обратимого чертежа путём проецирования объекта не на одну, а на две взаимно перпендикулярные (ортогональные) плоскости проекций (рис. 2.2). Для этого можно использовать любую пару плоскостей, образуемых координатными осями, которые получили следующие названия и обозначения:

горизонтальная плоскость проекций (xy) -,

фронтальная плоскость проекций (xz) - ,

профильная плоскость проекций (yz) -  .

Эти три плоскости получили называние: основные плоскости проекций.

Рис. 2.2

Две основные проекции (картины) объекта можно поместить на поле (плоскости) чертежа, условно поворачивая одну из плоскостей проекций вокруг общей координатной оси до совмещения со второй (рис. 2.3). Если на этом чертеже провести линии связи проекций, то они образуют с общей координатной осью прямой угол.

Рис. 2.3

Такой чертёж получил название «обратимый двухкартинный чертёж», или «эпюр Монжа».

Гаспар Монж (французский геометр) в 1798 году опубликовал первый в мире курс «Начертательная геометрия», где и развил схему построения такого чертежа.

Основные плоскости проекций (с изображениями) можно условно повернуть на своих осях, а затем совместить с плоскостью чертежа, принимая одну из них за базовую (главную), относительно которой и будет происходить разворот остальных двух.

Здесь возможны 3 варианта развёрток картин.

1.С горизонтальной базовой плоскостью проекций (рис. 2.4).

2.С фронтальной базовой плоскостью проекций (рис. 2.5).

3.С профильной базовой плоскостью проекций (рис. 2.6).

Рис. 2.4

Рис. 2.5

Рис. 2.6

В машиностроении для выполнения чертежей принят второй вариант.

Как уже отмечалось, для получения обратимого чертежа достаточно использовать только две плоскости проекций (картины): комплекс  - , или комплекс  - .

Если на двух картинном чертеже (рис. 2.7) изобразить проекции каких либо двух точек, (например, A и B,) то на их положение относительно друг друга не влияют ни размеры плоскостей проекций, ни границы между ними.

Рис. 2.7

Поэтому, контуры плоскостей проекций и их общую ось можно не изображать на чертеже. Такой чертёж получил название «безосный комплексный чертёж». При переходе к безосному чертежу теряется картина расположения заданных точек относительно системы координат, но сохраняется точность и удобство трёхмерного представления их взаимного положения при значительном упрощении изображения.

При необходимости, могут использоваться комплексные безосные чертежи с числом картин больше двух.

Чтобы воссоздать по чертежу реальную картину, соответствующую оригиналу (например, взаимное положение точек А и В), требуется работа воображения, требуется «прочитать» чертёж, решая позиционные задачи ПЗ.1 о взаимном положении точек (левее, правее, ближе, дальше, выше, ниже). Для удобства работы с комплексным чертежом используют линии связи проекций между собой ( например, линии связи проекций A и A, или проекций B и B). Используя эти линии связи, можно легко определить по чертежу разницу координат заданных точек, т. е. на сколько одна точка левее, правее, ближе, дальше, выше, ниже другой.

Точки, расположенные на одном проецирующем луче, называют конкурирующими. Понятие о конкурирующих точках вводится для определения видимости отдельных элементов фигур при рассмотрении их взаимного расположения.

Различают горизонтально конкурирующие, фронтально конкурирующие и профильно конкурирующие точки. Например, горизонтально конкурирующие точки А и В (рис. 2.8) расположены на одном горизонтально проецирующем луче.

Рис. 2.8

На горизонтальной плоскости их проекции сливаются (A = B), а на фронтальной плоскости видно, какая из них выше другой ( Z > Z). Точки А и С - фронтально конкурирующие, точки B и D – профильно конкурирующие. Изображение точки в скобках означает, что оно закрыто.

3. Прямые линии на чертеже

Чтобы задать положение прямой линии в пространстве, достаточно задать положение любых двух её точек (или одной точки при известном направлении).

По расположению прямых относительно основных плоскостей проекций различают прямые общего и частного положения.

3.1. Прямые частного положения на чертеже

Прямые частного положения - это прямые, лежащие в плоскости, параллельной одной из основных плоскостей проекций.

Среди прямых частного положения есть прямые, занимающие особое положение: они перпендикулярны какой-либо из основных плоскостей проекций и совпадают с проецирующим лучом на эту плоскость. Поэтому их назвали проецирующими прямыми. Различают следующие их разновидности.

Горизонтально проецирующие прямые, которые перпендикулярны горизонтальной плоскости (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Фронтально проецирующие прямые, которые перпендикулярны фронтальной плоскости (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Профильно проецирующие прямые, которые перпендикулярны профильной плоскости

Рис. 3.3

Проекция проецирующей прямой на перпендикулярную ей плоскость представляет собой точку. Эту проекцию называют главной проекцией прямой. Она обладает собирательным свойством - является геометрическим местом проекций всех точек этой прямой.

Другие проекции (не главные) совпадают с линиями связи с главной проекцией, составляя с ними угол 0. Не главные проекции проецирующей прямой равны истинной величине прямой, поскольку прямая параллельна этим плоскостям проекций.

Решим задачу (рис. 3.4). Через т. А провести фронтально проецирующий отрезок АВ длиной 20 мм так, чтобы т. В была бы фронтально невидимой (закрытой).

Рис. 3.4.

Все остальные (не проецирующие) прямые, лежащие в плоскостях, параллельных основным плоскостям проекций, называются прямые уровня. Уровень - это положение, когда все точки прямой находятся на одинаковом расстоянии от параллельной ей плоскости проекций. В зависимости от плоскости, которой они параллельны, прямые уровня получили свои названия и обозначения:

Горизонталь ( h ) - прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций ( рис. 3.5 ).

Рис. 3.5

Фронталь ( f ) - прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций ( рис. 3.6 ).

Рис. 3.6

Профильная ( p ) - прямая, параллельная профильной плоскости проекций ( рис. 3.7 ).

Рис. 3.7

Прямая уровня проецируется на плоскость, которой она параллельна, в натуральную величину. На этой же плоскости без искажения изображаются и углы наклона прямой к другим плоскостям проекций ( углы ).

Проекция прямой уровня на плоскость, которой она не параллельна, занимает особое положение: она перпендикулярна линиям связи с параллельной плоскостью проекций. Эту проекцию называют определяющей. Она характеризует прямую уровня, определяет на чертеже её положение в пространстве.

Решим задачу (рис. 3.8). Через т. А провести горизонталь h под углом  = 60 (к плоскости ) так, чтобы прямая h правее т. А располагалась ближе к наблюдателю. Отложить на ней вправо от т. А отрезок АВ длиной 20 мм.

Рис. 3.8

3.2. Прямые общего положения на чертеже. Решение с ними метрических задач

Прямая общего положения расположена произвольно относительно основных плоскостей проекций, а её проекции образуют с линиями связи углы, отличные от 0 и 90.

Любая проекция отрезка такой прямой всегда меньше самого отрезка (свойство ортогонального проецирования). Поэтому определение по чертежу истинной величины отрезка прямой общего положения (решение первой основной метрической задачи ОМЗ.1) осуществляется путём дополнительных построений.

Если рассмотреть (рис. 3.9) процесс проецирования некоторого отрезка АВ на какую либо плоскость проекций, например, на плоскость , то очевидно, что отрезок АВ и его проекция AB образуют горизонтально проецирующую плоскость.

Рис. 3.9

Проведя в этой плоскости прямую АК || AB, мы получим прямоугольный треугольник АВК, у которого один катет - АК (назовём его первым) равен проекции AB, другой - ВК (назовём его вторым) равен разности расстояний концов отрезка до плоскости проекции AB (Z - Z), величина которой определяется с помощью фронтальной проекции AB. Гипотенуза этого прямоугольника есть сам отрезок АВ в истинную величину. Угол между гипотенузой и первым катетом (проекцией AB) есть угол наклона заданного отрезка к плоскости проекции (угол ).

Для сокращения графической работы рассмотренный прямоугольник строят на комплексном чертеже отрезка (рис. 3.10), обычно на соответствующей его проекции (на первом катете).

Рис. 3.10

Этот способ определения истинной величины отрезка прямой общего положения и угла его наклона к плоскости проекций получил название метод прямоугольного треугольника.

Решим задачу (рис. 3.11). Заданы проекции отрезка: АВ и АВ. Определить угол наклона отрезка АВ к профильной плоскости проекций (угол ).

Рис. 3.11

Алгоритм решения:

1. Строится профильная проекция АВ.

2. На базе проекции АВ, как на первом катете, строится вспомогательный прямоугольник АВА.

3. Искомый угол  - угол между гипотенузой АВ и первым катетом АВ.

3.3. Определение по чертежу взаимного положения прямой и точки

Это позиционные задачи, связанные с определением положения: принадлежит заданная точка прямой или располагается вне её. При этом пользуются признаком (свойством) принадлежности: если точка принадлежит заданной прямой, то её проекции принадлежат проекциям этой прямой.

Решим задачи.

Задача 1 (рис.3.12). Определить взаимное положение прямой m и точек А, В, С, D.

Рис. 3.12

Решение.

1. А  m .

2. Точка В - выше прямой m (В и М  m - горизонтально конкурирующие точки).

3. Точка С - за прямой m (С и N  m - фронтально конкурирующие точки).

Точка D - ниже и дальше прямой линии m .

Задача 2 (рис. 3.13). Определить взаимное положение точки С и отрезка АВ.

Решение.

1. Так как отрезок АВ принадлежит профильной прямой и расположен на одном уровне с точкой С относительно профильной плоскости проекций, то необходимо построить профильные проекции заданных отрезка и точки.

2. С  АВ  С  АВ.

Рис. 3.13

3.3. Определение по чертежу взаимного положения прямых линий

Такое определение связано с решением позиционных и метрических задач.

Прямые линии в пространстве могут занимать одно из следующих трёх возможных взаимных положений:

1) Прямые параллельны.

2) Прямые пересекаются.

2.1) Прямые пересекаются под прямым углом.

3) Прямые скрещиваются.

3.1) Прямые скрещиваются под прямым углом.

3.3.1. Определение по чертежу параллельных прямых линий (позиционные задачи)

Признак параллельности прямых линий на чертеже (рис. 3.14): одноимённые проекции таких прямых - параллельны.

Рис. 3.14

3.3.2. Определение по чертежу пересекающихся прямых линий (позиционные задачи)

Признак пересекающихся прямых на чертеже (рис.3.15): точки пересечения одноимённых проекций пересекающихся прямых лежат на одной линии связи, являясь проекциями точки пересечения этих прямых.

Рис. 3.15

Определение по чертежу перпендикулярно пересекающихся прямых (комплексные задачи)

Определение таких прямых базируется на признаке пересекающихся прямых (позиционная задача) и на свойстве проецирования прямого угла (ОМЗ-2): прямой угол проецируется на плоскость без искажения только в том случае, если хотя бы одна из его сторон параллельна этой плоскости.

Признак перпендикулярно пересекающихся прямых (рис. 3.16): если одна из перпендикулярно пересекающихся прямых является прямой уровня, то на плоскости проекций, которой она параллельна, прямой угол изображается без искажения.

Рис. 3.16

3.3.3. Определение по чертежу скрещивающихся прямых (позиционные задачи)

Признак скрещивающихся прямых на чертеже (рис. 3.17): точки пересечения одноимённых проекций скрещивающихся прямых не лежат на одной линии связи, а являются слиянием двух проекций конкурирующих точек этих прямых.

Рис. 3.17

3.3.4. Определение по чертежу перпендикулярно скрещивающихся прямых (комплексные задачи)

Признак перпендикулярно скрещивающихся прямых (рис. 3.18): если одна из перпендикулярно скрещивающихся прямых параллельна какой-либо плоскости проекций, то на этой плоскости угол между их проекциями остаётся без искажения прямым .

Рис. 3.18

3.3.5. Примеры решения задач о взаимном положении прямых

Задача 1 (рис. 3.19). Определить взаимное положение отрезков АВ и CD , если заданы их горизонтальные и фронтальные проекции.

Рис. 3.19

Решение задачи.

Так как заданные отрезки принадлежат профильным прямым, то построим профильные проекции этих отрезков, которые показывают, что заданные прямые линии скрещиваются.

Задача 2 (рис. 3.20). Заданную прямую a пересечь фронталью f , проходящей через точку M .

Рис. 3.20

Решение задачи.

1. M f  л.с., f  a = N;

2. N a, f= NM.

Задача 3 (рис. 3.21). Провести через точку М, у которой задана её фронтальная проекция М, горизонталь h так, чтобы h a , h  a . Определить горизонтальную проекцию М.

Рис. 3.21

Решение задачи .

1. М hл.с. , ha= N;

2. N a, MN = ha  MNa.

Задача 4 (рис. 3.22). Заданы профильно конкурирующие точки А и В, через которые проходят взаимно перпендикулярные прямые a и b. Построить недостающие проекции этих прямых.

Рис. 3.22

Решение задачи.

1. В hл.с.

ah  А  аh .

4. Кривые линии на чертеже

Кривая линия, как и прямая, - это простейшая геометрическая фигура (элемент моделирования), которую можно представить, как траекторию непрерывного движения точки по определённому закону. Построение кривых линий на чертеже производят с помощью достаточно большого числа её точек.

Различают плоские и пространственные кривые линии. Чтобы определить по чертежу вид кривой, необходимы дополнительные построения (рис. 4.1). Если на заданной кривой m взять 4 произвольные точки A , B , C , D , то, соединив эти точки хордами АС и BD, можно получить 2 варианта:

Рис. 4.1

1. Хорды пересекаются. Это значит, что они образуют плоскость, в которой лежит заданная кривая, т.е. эта кривая - плоская.

2. Хорды не пересекаются, а скрещиваются. Это значит, что заданная кривая – пространственная кривая.

В нашем примере кривая – пространственная.

Среди пространственных кривых широко известна в машиностроении цилиндрическая винтовая линия (рис. 4.2). Она моделируется траекторией непрерывного сложного движения образующей точки: вращательного (при постоянном радиусе и скорости) и поступательного параллельно оси вращения (тоже с постоянной скоростью). Расстояние, на которое переместится образующая точка вдоль оси вращения за один оборот, называют ходом винтовой линии.

Рис.4.2

Примером плоских кривых линий являются: окружность, эллипс, парабола, гипербола. Эти кривые описываются уравнениями второго порядка и поэтому их называют кривые второго порядка.

Плоские кривые (рис. 4.3), составленные из нескольких сопрягаемых дуг кривых линий различных уравнений называют обводами (обводы корпуса корабля, яхты, лодки).

Рис. 4.3. Обводы судна

Если плоские кривые линии составлены из сопряжённых дуг окружностей различных радиусов, то их называют коробовыми.

Решим задачу (рис. 4.4): через заданные точки A, B, C, D провести коробовую линию.

Рис. 4.4. Коробовая линия

Замкнутые коробовые кривые линии, имеющие не более двух точек пересечения с произвольной прямой, называются овалами (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Овал

Свойства проекций кривых

1. Если точка принадлежит кривой линии, то проекции этой точки принадлежат проекциям кривой.

2. Секущая и касательная к плоской кривой проецируются соответственно в секущую и касательную к проекции кривой.

3. Плоская кривая проецируется в линию того же порядка. Например, проекция окружности - эллипс или окружность, проекция параболы - парабола.

5. Плоские поверхности на чертеже

Любая поверхность (геометрическая фигура) создаётся в нашем воображении траекторным способом: поверхность моделируется путём непрерывного перемещения в пространстве некоторой линии, которая, в общем случае, может менять свою форму. Эту линию, производящую поверхность, называют образующей. Многообразие поверхностей зависит как от вида образующей, так и от закона её перемещения, который графически задаётся определёнными линиями - направляющими.

Совокупность элементов моделирования поверхности, обеспечивающая закон её образования, называют определителем поверхности. Например, записывают: плоскость (l, a || b). Здесь в скобках указаны параллельные направляющие прямые a и b, по которым перемещается прямая линия l, образующая плоскость .

Все поверхности (геометрические фигуры) условно разделяют на два вида: плоские и кривые.

В этом разделе рассмотрим плоские поверхности.

5.1. Разновидности плоских поверхностей

Различают плоские поверхности простые и составные.

Простые плоские поверхности бывают двух видов: плоскости и грани.

Плоскость - неограниченная плоская поверхность. На чертеже её

задают изображением элементов определителя.

Плоскость моделируют как траекторию непрерывного перемещения прямой образующей (прямолинейного или вращательного вокруг оси, перпендикулярной образующей прямой).

Перемещение образующей можно задавать следующим образом.

1) Параллельными прямыми - (l, a || b).

2) Двумя пересекающимися прямыми - (l, a b).

3) Вращением вокруг оси, перпендикулярной образующей прямой - (l  i).

4) Точкой и прямой - (l, A, b). Этот вариант может быть преобразован в любой из первых трёх.

Грань - плоскость, ограниченная замкнутой линией. На чертеже грань изображают линиями её границ (контуром, очерком).

На рис. 5.1 – 5.3 представлены изображения граней: треугольника, четырёхугольника и круга.

Рис. 5.1

Рис. 5.2

Рис. 5.3

Составные плоские поверхности (многогранные) – представляют собой несколько граней (не лежащих в одной плоскости), состыкованных между собой. Линию стыка каждой пары граней называют рёбром, которое является общей линией границ этих граней (их общей образующей).

Составные плоские поверхности подразделяют на монотипные и комплексные многогранные поверхности.

Монотипные многогранные поверхности моделируют с помощью направляющей ломаной прямой линии. При этом различают следующие варианты таких поверхностей.

Призматическая поверхность. Моделирование призматической поверхности производят путём параллельного перемещения образующей прямой l по направляющей ломаной прямой m (все рёбра между собой параллельны).

На рис. 5.4 представлен аксонометрический чертёж призматической поверхности.

Рис. 5.4

Комплексный чертёж определителя призматической поверхности представлен на рис. 5.5.

Рис. 5.5

Комплексный чертёж призматической поверхности выполнен на рис. 5.6.

Рис. 5.6

Частным случаем призматической поверхности является призма, которая представляет собой замкнутую призматическую поверхность (направляющая ломаная прямая – замкнута).

На рис. 5.7 приведён чертёж прямой трёхгранной призмы.

Рис. 5.7

Пирамидальная поверхность. Поверхность моделируется перемещением прямой образующей l по ломаной направляющей прямой m , когда другой её конец остаётся в точке S - вершине призматической поверхности (все рёбра пересекаются в одной точке).

На рис. 5.8 представлен комплексный чертёж пирамидальной поверхности.

Рис. 5.8

Частным случаем пирамидальной поверхности является пирамида, которая представляет собой замкнутую пирамидальную поверхность (направляющая ломаная прямая – замкнута).

На рис. 5.9 представлен комплексный чертёж трёхгранной пирамиды.

Рис.5.9

Комплексные многогранные поверхности получают стыковкой многогранных поверхностей и граней разного типа.

5.2. Определение по чертежу положения плоскостей относительно основных плоскостей проекций

По расположению рассматриваемых плоскостей относительно основных плоскостей проекций различают плоскости частного и общего положения.

Плоскости частного положения разделяют на следующие два типа.

1. Проецирующая плоскость, перпендикулярная какой-либо из основных плоскостей проекций.

2. Плоскость уровня, параллельная какой-либо плоскости проекций.

Проецирующая плоскость на перпендикулярной ей плоскости проекций изображается в виде прямой линии, т.е. геометрической фигурой на единицу меньшего измерения. Эту проекцию принято называть главной проекцией проецирующей плоскости. Здесь же без искажения изображены и углы её наклона к другим плоскостям проекций.

Среди проецирующих плоскостей различают следующие плоскости.

Горизонтально проецирующая плоскость (рис. 5.10).

Рис. 5.10

Фронтально проецирующая плоскость (рис. 5.11).

Рис. 5.11

Профильно проецирующая плоскость (рис. 5.12).

Рис. 5.12

На чертеже проецирующей плоскости определены углы её наклона к основным плоскостям проекций.

Среди плоскостей уровня различают следующие плоскости.

Горизонтальная плоскость (рис. 5.13).

Рис.5.13

Фронтальная плоскость (рис. 5.14).

Рис. 5.14

Профильная плоскость (рис. 5.15).

Рис. 5.15

Проекция плоскости уровня на плоскость проекций, которой она не параллельна, а, следовательно, перпендикулярна, изображается прямой, перпендикулярной линиям связи с параллельной плоскостью проекций. Эту проекцию принято называть главной и определяющей.

На плоскости проекций, которой параллельна грань, определены истинная форма грани и её площадь.

Плоскости общего положения (относительно основных плоскостей проекций) на чертеже изображаются с искажением их метрических параметров (например, длин отрезков, углов их наклона к плоскостям проекций) и для определения этих параметров требуются дополнительные построения.

Например, если необходимо определить угол наклона заданной плоскости общего положения  (рис. 5.16) к плоскости проекций (угол ), то для этого используют так называемую “линию (прямую) наклона” плоскости  к плоскости проекций .

Рис. 5.18

Эту прямую обозначают буквой g и она пересекает горизонтали заданной плоскости под прямым углом (на горизонтальную плоскость проекций этот прямой угол проецируется без искажения).

Теперь, если на прямой g взять отрезок, то с помощью этого отрезка, используя метод «прямоугольного треугольника», можно определить угол наклона прямой g к плоскости проекций , а это значит и угол наклона заданной плоскости  к плоскости проекций  (угол ).

Для определения углов наклона плоскости  к другим плоскостям проекций ( и ) на заданной плоскости строят соответствующие прямые линии наклона g и g, которые перпендикулярны соответственно фронталям и профильным прямым.

Решим задачу (рис. 5.17). Через точку В (ABC) провести линию наклона g и определить угол наклона заданной плоскости  к горизонтальной плоскости проекций .

Рис. 5.19

Алгоритм решения.

1.В  gh = AC  В g  AC.

2.g  AC = D  g = BD.

3.Угол  определяют методом прямоугольного треугольника на базе

первого катета BD.

5.3. Определение по чертежу принадлежности плоской поверхности её элементов

Процесс определения принадлежности связан с решением позиционных задач второго типа ( ПЗ.2 ). На чертеже точку и линию, принадлежащих поверхности, можно задать (определить), только связав их с другими элементами этой поверхности, изображёнными на чертеже.

Правила определения принадлежности

1.Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой линии этой плоскости.

2.Линия принадлежит плоскости, если она проходит через соответствующие точки этой плоскости. Точек должно быть достаточно для вычерчивания проекций рассматриваемой линии (например, прямая должна проходить через две точки этой плоскости или через одну точку, но в известном направлении).

Пример (рис. 5.20). Построить недостающие проекции точек M и D, расположенных в плоскости треугольника (ABC). Провести через точку D в плоскости заданного треугольника прямую a || AB.

Рис. 5.20

Алгоритм решения

1. M C  M C;

2. D AC  D AC;

3. D a || AB, D a || AB  AB || a .

5.4. Определение по чертежу взаимного положения плоскостей и прямых линий

Определение параллельности геометрических фигур на чертеже связано с решением позиционных задач.

5.4.1. Параллельные прямая и плоскость на чертеже

Признак: прямая параллельна заданной плоскости, если она параллельна одной из прямых этой плоскости.

Пример (рис. 5.21). Через точку M провести прямую a || (ABC).

Рис. 5.21

Алгоритм решения:

1. a || AB;

2. a|| AB  a || (ABC).

5.4.2. Параллельные плоскости на чертеже

Признак: плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответствующим двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Пример (рис. 5.22). Через точку М провести плоскость ||(a || b).

Рис. 5.22

Алгоритм решения:

1. ha;

2. Mh || h;

3. Mc || a  M = h c =  || .

5.4.3. Пересечение плоской поверхности с прямой линией на чертеже

Определение результатов пересечения геометрических фигур на чертеже связано с решением позиционных задач третьего типа, получивших название «главные позиционные задачи» – ГПЗ. В зависимости от типа пересекающихся фигур различают две группы ГПЗ:

1. Задачи на пересечение плоскостей (плоских поверхностей) с прямыми линиями (1.ГПЗ). Результаты пересечения – точки.

2. Задачи на пересечение плоских поверхностей (2.ГПЗ). Результаты пересечения – прямые линии.

При этом различают ГПЗ с тремя вариантами расположения геометрических фигур относительно основных плоскостей проекций:

ГПЗ.1 - обе пересекающиеся геометрические фигуры занимают проецирующее положение (, );

ГПЗ.2 - одна из пересекающихся фигур занимает проецирующее, а другая - общее положение (, не );

ГПЗ.3 - обе пересекающиеся фигуры занимают общее положение (не , не ).

Для каждого варианта и разновидности ГПЗ разработан свой типовой порядок (алгоритм) решения задач.

В данном разделе рассматриваются задачи на пересечение прямой линии с плоской поверхностью (1.ГПЗ).

Решение задач 1.ГПЗ. 1 (, )

Алгоритм решения

1.Искомые проекции точек пересечения проецирующих геометрических фигур уже изображены на чертеже по принадлежности их главным проекциям.

2.Определяют (при необходимости) видимость элементов геометрических фигур.

Пример (рис. 5.25). На трёх картинном чертеже определить проекции точки пересечения прямой a с плоскостью (ABC).

Рис. 5.25

Алгоритм решения:

1. a   P = a;

2.   P= a;

3. P a.

Решение задач 1.ГПЗ . 2 ( , не )

Алгоритм решения

1.Одна из искомых проекций точки пересечения геометрических фигур уже изображена на чертеже по её принадлежности главной проекции проецирующей фигуры.

2.Вторую проекцию строят по признаку её принадлежности геометрической фигуре общего положения.

3.Определяют видимость элементов заданных фигур.

Пример 1 (рис. 5.26). Определить проекции точки пересечения прямой а с плоскостью (ABC).

Рис. 5.26

Алгоритм решения:

1.   P=a

2. P  a.

Пример 2 (рис. 5.27). Определить проекции точек пересечения

прямой а с пирамидой (ABC).

Рис. 5.27

Алгоритм решения:

1. a    a= P;

2. P  SAB;

3. P  SBC.

Решение задач 1.ГПЗ . 3 (не , не )

Эти главные позиционные задачи решают с использованием метода введения дополнительной (вспомогательной) плоскости – посредника.

Алгоритм решения

Заданную прямую заключают во вспомогательную проецирующую плоскость – посредник.

Строят линию пересечения заданной поверхности с плоскостью – посредником.

Определяют точку (точки) пересечения заданной прямой с полученной линией, которая и является искомым решением задачи.

Определяют видимость элементов заданных геометрических фигур.

Пример (рис. 5.28). Определить точку пересечения прямой а с плоскостью общего положения (АВС).

Рис. 8.28

Алгоритм решения:

1. a;

2.  = 12 = m ;

3. a  m =P  a  m = P; P a .

5.4.4. Пересечение плоских поверхностей на чертеже

Решение задач 2.ГПЗ. 1 (, )

Алгоритм решения

1.Искомые проекции линии пересечения проецирующих плоскостей уже изображены на чертеже по принадлежности их главным проекциям.

2.Определяют видимость элементов геометрических фигур.

Пример (рис. 5.29). Построить трёх картинный чертёж пересекающихся проецирующих граней   .

Рис. 5.29

Алгоритм решения:

1.     = 12  12 ;

12  ;

12  .

Решение задач 2.ГПЗ . 2 ( , не )

Алгоритм решения

1.Одна из искомых проекций линии пересечения геометрических фигур уже изображена на чертеже по её принадлежности главной проекции проецирующей фигуры.

2.Вторую проекцию строят по признаку её принадлежности геометрической фигуре общего положения.

3.Определяют видимость элементов заданных фигур.

Пример (рис. 5.30). Построить линию пересечения граней: m = .

Рис. 5.30

Алгоритм решения:

1.    m= ;

m  .

Решение задач 2.ГПЗ . 3 (не , не )

Эти главные позиционные задачи решают с использованием метода введения дополнительной плоскости – посредника.

Следует отметить, что пересечение плоских поверхностей любой сложности всегда сводится к рассмотрению пересечения каждой пересекающейся пары граней этих поверхностей.

Рассмотрим последовательность построения линии пересечения двух плоскостей (граней).

Алгоритм решения

1.Строят вспомогательную проецирующую плоскость – посредник так, чтобы она пересекла обе заданные геометрические фигуры.

2.Определяют обе линии пересечения посредника с заданными геометрическими фигурами, т.е. решают две задачи 2. ГПЗ. 2.

3.Определяют точки пересечения построенных линий. Эти точки – общие для заданных геометрических фигур.

4.Для получения необходимой второй точки линии пересечения заданных поверхностей вводится ещё одна проецирующая плоскость – посредник. По полученным двум точкам строят искомую линию пересечения.

5.Определяют видимость элементов заданных геометрических фигур.

Пример (рис. 5.31). Построить линию пересечения грани  с пирамидой: m = .

Рис. 5.31

Алгоритм решения:

1. = nP; = nP; = nP;

2. = m = PPP.

5.4.5. Взаимно перпендикулярные прямая линия и плоскость общего положения на чертеже

Признак: если на чертеже прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым уровня заданной плоскости, то эта прямая действительно перпендикулярна заданной плоскости. При этом согласно свойству проецирования прямого угла, прямой угол между проекциями заданной прямой и соответствующими проекциями прямых уровня плоскости изображается без искажения.

Пример (рис. 5.32). Через точку А (АВС) провести прямую n .

Алгоритм решения:

1. A  nAC = h;

A  n  AB = f  n (ABC).

Примечание: такие задачи часто встречаются при решении комплексных графических задач.

5.4.6. Взаимно перпендикулярные плоскости общего положения на чертеже

Признак: на чертеже плоскости общего положения взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, т.е. перпендикулярную её двум пересекающимся прямым уровня.

Пример (рис. 5.33). Через точку М провести плоскость (n  m) так, чтобы (АВС) и  || AC .

Рис. 5.33

Алгоритм решения:

1. M  m || AC;

2. M  n  AC = h;

3. M  n  f  (mn)  , ||AC.

6. Кривые поверхности на чертеже

Многообразие кривых поверхностей (геометрических фигур) зависит от вида их образующих и направляющих. С другой стороны, одну и ту же поверхность часто можно моделировать различными образующими и направляющими линиями. Например, один и тот же конус вращения можно смоделировать следующими способами (рис. 6.1):

Рис.6.1

1. Вращением образующей прямой l вокруг оси i, пересекающей образующую под некоторым углом .

2. Перемещением образующей прямой l, проходящей через вершину S, по направляющей окружности m.

3. Перемещением образующей прямой l по трём направляющим окружностям m , m, m.

4. Перемещением образующей кривой n , взятой на поверхности, по трём направляющим окружностям m , m, m.

5. Перемещением образующей окружности m переменного радиуса по трём направляющим лучам l, l, l, проходящим через точку S.

На чертеже любую кривую поверхность можно задать двумя способами:

1. Изображением элементов определителя.

2. Изображением границы (очерка, контура) поверхности, строя её краевые и концевые линии (образующие и направляющие).

На рис. 6.2 приведены примеры задания на чертеже конуса вращения определителем и очерком.

Рис. 6.2

Более наглядным является очерковое изображение поверхности, поэтому оно принято в машиностроении для выполнения изображений на проектных чертежах. Когда говорят «построить чертёж поверхности», то подразумевают построение его очерков. Очерк (контур) поверхности можно представить, как линию пересечения с плоскостью проекций некоторой проецирующей поверхности, касательной к рассматриваемой. Для фронтального изображения в примере такой касательной поверхностью является трёхгранная фронтально проецирующая призма, а для горизонтального - горизонтально проецирующий цилиндр вращения.

6.1. Основные разновидности кривых поверхностей

1. Кривые поверхности с прямолинейными образующими (линейчатые поверхности)

1.1.Цилиндрическая поверхность

Цилиндрическая поверхность моделируется параллельным движением образующей прямой по направляющей кривой (плоской или пространственной). На рис. 6.3а представлен её аксонометрический чертёж, на рис. 6.3б – комплексный чертёж определителя этой поверхности, а на рис. 6.3в – чертёж самой поверхности.

Рис. 6.3

Частный случай цилиндрической поверхности - цилиндр вращения (рис. 6.4).

Рис. 6.4

1.2. Коническая поверхность

Коническая поверхность моделируется образующей прямой, проходящей через общую точку (вершину) и перемещающейся по направляющей кривой (плоской или пространственной). Её Аксонометрический чертёж такой поверхности представлен на рис.6.5а, комплексный чертёж её определителя – на рис. 6.5б, чертёж очерка конической поверхности – на рис. 6.5в .

Рис. 6.5

Частный случай конической поверхности – конус вращения (рис. 6.6).

Рис 6.6

1.3. Поверхности вращения с прямолинейными образующими

В зависимости от взаимного положения образующей и оси вращения различают следующие варианты поверхностей.

1. Цилиндр вращения (l || i), представленный на рис. 6.7).

2. Конус вращения (l i), см. рис. 6.8.

3. Однополостный гиперболоид вращения (li), см. рис. 6.9.

Рис. 6.7

Рис. 6.8

 

Рис. 6.9

1.5. Винтовые поверхности с прямолинейными образующими (геликоиды)

Эти поверхности моделируют винтовым движением образующей, пересекающей направляющие: винтовую линию и ось вращения. Образующая совершает при этом сложное движение: вращательное вокруг оси и поступательное вдоль оси, одновременно.

Если угол между образующей и осью вращения равен 90, то при моделировании получают прямой геликоид, у которого имеется плоскость параллелизма, перпендикулярная оси вращения. Все образующие косого геликоида параллельны этой плоскости.

Если угол между образующей и осью вращения не равен 90, то получают косой геликоид, у которого имеется конус параллелизма. Все образующие этого конуса вращения параллельны соответствующим образующим косого геликоида. Пример косого геликоида представлен на рис. 6.10.

Винтовые поверхности используют при образовании резьбовых поверхностей деталей машин.

2. Поверхности вращения с криволинейной образующей

Рассмотрим такую поверхность общего вида (рис. 6.11). Обратим внимание на то, что при вращении образующей линии l каждая её точка описывает траекторию в виде окружности. Для удобства описания построения поверхности и решения с ней задач вводят собственные названия для некоторых линий поверхности:

1. Параллель a – траекторная окружность какой-либо точки образующей l.

2. Экватор b – параллель с наибольшим радиусом.

3. Горло c – параллель с наименьшим радиусом.

4. Меридиан l – образующая линия. Главный меридиан - меридиан, лежащий в плоскости, параллельной какой-либо основной плоскости проекций.

Примечание: при изображении таких поверхностей удобно располагать их так, чтобы относительно основных плоскостей проекций ось вращения занимала проецирующее положение.

Рис. 6.10

Рис. 6.11

Частные разновидности поверхностей вращения

Это поверхности, получаемые вращением плоской кривой образующей второго порядка (окружности, эллипса, параболы и гиперболы) вокруг оси, лежащей в плоскости образующей кривой.

1. Торовая поверхность

Торовая поверхность моделируется вращением вокруг оси образующей окружности или её дуги.

Разновидности торовых поверхностей:

Сфера (m, i = d), представленная на рис. 6.12.

Рис. 6.12

Кольцо (m, i d), см. рис. 6.13.

Рис. 6.13

Галтель (m, i), см. рис. 6.14.

Рис. 6.14

2.Эллипсоид вращения

Эллипсоид вращения моделируется вращением вокруг своей оси образующего эллипса.

Различают:

2.1. Сжатый эллипсоид (m, i), см. рис. 6.15.

Рис. 6.15

2.2. Вытянутый эллипсоид (m, i), см. рис. 6.16.

Рис. 6.16

3. Параболоид вращения

Параболоид вращения (рис. 6.17), моделируется вращением образующей параболой вокруг её оси.

Рис. 6.17

4. Гиперболоид вращения

Различают:

4.1.Однополостный гиперболоид вращения (m, i), у которого образующая гипербола вращается вокруг её действительной оси (рис. 6.18).

Рис. 6.18

4.2. Двухполостный гиперболоид вращения (m, i), у которого образующая гипербола вращается вокруг её мнимой оси (рис. 6.19).

Рис. 6.19

2. Каналовые поверхности

Эти поверхности моделируются замкнутым плоским контуром (прямолинейным или криволинейным), который перемещается своим центром по направляющей линии. При этом угол между направляющей и плоскостью образующего контура остаётся постоянным (например, 90). Образующий контур при перемещении может оставаться неизменным или изменять свои размеры, оставаясь подобным исходному контуру.

Аксонометрический чертёж такой поверхности представлен на рис. 6.20.

Рис. 6.20

Каналовые поверхности с неизменным образующим контуром называют трубчатыми (рис. 6.21).

Рис. 6.21

Частным случаем каналовых поверхностей являются циклические каналовые поверхности, у которых образующим контуром является окружность или эллипс (рис. 6.22).

Рис. 6.22

6.2. Принадлежность кривой поверхности её элементов на чертеже

Как для любой поверхности, так и для кривой справедливы рассмотренные выше правила определения принадлежности:

1.Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-либо линии этой поверхности, удобной для изображения её на чертеже (например, прямой линии или окружности).

2.Линия принадлежит поверхности, если она проходит через соответствующие точки этой поверхности. Точек должно быть достаточно для вычерчивания проекций рассматриваемой линии.

Пример (рис. 6.23). Построить недостающие профильные проекции линий m и n, а также точек А и В на сфере .

Рис. 6.23

Профильные проекции точек А и В определяем по принадлежности их соответственно главному фронтальному и главному профильному меридианам.

Так как проекции mи n выглядят, как отрезки ломаной прямой, то это значит, что линии m и n представляют собой две дуги окружностей, соединённых в ломаную окружность в точке А. Плоскости этих дуг окружностей занимают фронтально проецирующее положение. Плоскость дуги n параллельна профильной плоскости проекций, поэтому на ней дуга n изобразится в истинную величину. Плоскость дуги m не параллельна профильной плоскости проекций, поэтому проекция на неё m представляет собой дугу эллипса. Эту проекцию строят по точкам, выбранным на фронтальной проекции m, привязывая их к параллелям и меридианам заданной сферы.

6.3. Пересечение кривой поверхности с прямой линией на чертеже (1.ГПЗ)

Определение результатов пересечения геометрических фигур на чертеже связано с решением позиционных задач третьего типа, так называемых главных позиционных задач.

В данном разделе рассматриваются задачи на пересечение прямой линии с кривой поверхностью (1.ГПЗ).

Решение задач 1.ГПЗ. 1 (, )

Алгоритм решения

1.Искомые проекции точек пересечения проецирующих геометрических фигур уже изображены на чертеже по принадлежности их главным проекциям.

2.Определяют видимость элементов геометрических фигур.

Пример (рис. 6.24). Построить трёх картинный чертёж пересекающихся прямой линии а и цилиндра вращения .

Рис. 6.24

Алгоритм решения:

1.   P = a  ;

2. a  P = a;

3. P = a.

Решение задач 1.ГПЗ . 2 ( , не )

При пересечении кривой поверхности с прямой линией для нахождения точек их пересечения используется тот же алгоритм решения, что и при пересечении прямой с плоской поверхностью:

1. Одна из искомых проекций точки пересечения геометрических фигур уже изображена на чертеже по её принадлежности главной проекции проецирующей фигуры.

2. Вторую проекцию строят по признаку её принадлежности геометрической фигуре общего положения.

3. Определяют видимость элементов заданных фигур.

Пример (рис. 6.25). Определить проекции точек пересечения прямой линии а с цилиндром вращения .

Рис. 6.25

Алгоритм решения:

1.   P =   a.

2. P  a.

Решение задач 1.ГПЗ . 3 (не , не )

Эти главные позиционные задачи решают с использованием метода введения дополнительной плоскости – посредника, как и при решении задач на пересечение прямой линии с плоской поверхностью.

Алгоритм решения

1. Заданную прямую заключают во вспомогательную проецирующую плоскость – посредник.

2. Строят линию пересечения заданной поверхности с плоскостью-посредником.

3. Определяют точки пересечения заданной прямой с полученной линией, которые и являются искомым решением задачи.

Определяют видимость элементов заданных геометрических фигур.

Пример (рис. 6.26). Определить проекции точек пересечения прямой линии а с конусом вращения .

Рис. 6.26

Алгоритм решения:

1. a ;  = l;

2. la= P; la= P;

3. P l.

6.4. Пересечение кривой поверхности с плоскостью на чертеже (2.ГПЗ)

Решение задач 2.ГПЗ. 1 (, )

Алгоритм решения

1. Искомые проекции линии пересечения проецирующих геометрических фигур уже изображены на чертеже по принадлежности их главным проекциям.

2. Определяют видимость элементов геометрических фигур.

Пример. Определить возможные варианты линий пересечения цилиндра вращения  с плоскостью . Принять, что геометрические фигуры занимают проецирующее положение.

Возможны три варианта линий пересечения.

Вариант 1 (рис 6.27). Заданная плоскость || i.

Результат пересечения: k =  - прямые линии.

Рис. 6.27

Вариант 2 (рис. 6.28). Заданная плоскость i.

Результат пересечения: m =  - окружность.

Рис. 6.28

Вариант 3 (рис. 6.29). Заданная плоскость l.

Результат пересечения: n = - эллипс.

Рис. 6.29

Решение задач 2.ГПЗ . 2 ( , не )

Алгоритм решения тот же, что и при решении задач на пересечение плоских поверхностей:

1. Одна из искомых проекций линии пересечения геометрических фигур уже изображена на чертеже по её принадлежности главной проекции проецирующей фигуры.

2. Вторую проекцию строят по признаку её принадлежности геометрической фигуре общего положения.

3. Определяют видимость элементов заданных фигур.

Пример. Построить возможные варианты линий пересечения конуса вращения  с плоскостью  (принять секущую плоскость  проецирующей).

Таких вариантов пять.

Вариант 1 (рис. 6.30). ,   S .

Результат пересечения - прямые образующие l и l.

Рис. 6.30

Вариант 2 (рис. 6.31). , ||  i.

Результат пересечения - окружность m.

Рис. 6.31

Вариант 3 (рис. 6.32). ,   l.

Результат пересечения - эллипс n .

Рис. 6.32

Вариант 4 (рис. 6.33). ,  || l.

Результат пересечения - парабола m .

Рис. 6.33

Вариант 5 (рис. 6.34). , ||,  || l.

Результат пересечения - гипербола n .

Рис. 6.34

Решение задач 2.ГПЗ . 3 (не , не )

Эти главные позиционные задачи решают, как и при решении задач на пересечение плоских поверхностей, с использованием метода введения дополнительных плоскостей – посредников.

Алгоритм решения

1.Строят вспомогательную проецирующую плоскость - посредник так, чтобы она пересекла обе заданные геометрические фигуры (поверхности).

2.Определяют обе линии пересечения посредника с заданными геометрическими фигурами, т.е. решают две задачи 2. ГПЗ. 2.

3.Определяют точки пересечения построенных линий. Эти точки - общие для заданных геометрических фигур.

4.Для получения достаточного числа общих точек пересекающихся фигур определяют и строят необходимое количество посредников. По полученным точкам строят искомую линию пересечения. Для пересекающихся плоскостей достаточно двух посредников, так как две общие точки определяют положение прямой пересечения.

5.Определяют видимость элементов заданных геометрических фигур.

Пример (рис. 6.35). Определить и построить линию пересечения конуса вращения  с плоскостью (АВС).

Рис. 6.35

Решение.

1. Результат пересечения: плоская кривая - эллипс, у которого малая ось является профильной прямой, а большая ось - линией наклона плоскости эллипса (т.е. плоскости ) к плоскости основания конуса (к плоскости проекций ).

2. Выбираем первую плоскость - посредник  так, чтобы эта плоскость, например, проходила через ось конуса i параллельно фронтальной плоскости проекций (||). При этом посредник пересечёт заданную плоскость (АВС) по фронтали f, а конус - по его образующим l. Получаем точки эллипса P.

3. Проводя несколько плоскостей-посредников по полученным точкам строим линию пересечения - эллипс.

4. Определяем видимость элементов грани и конуса.

6.5. Взаимное пересечение кривых поверхностей на чертеже (2.ГПЗ)

Решение задач 2.ГПЗ. 1 (, )

Алгоритм решения

1.Искомые проекции линии пересечения проецирующих геометрических фигур уже изображены на чертеже по принадлежности их главным проекциям.

2.Определяют видимость элементов геометрических фигур.

Пример. Рассмотреть варианты пересечения кривых поверхностей на базе проецирующих цилиндров вращения. Результатом пересечения, в общем случае, являются пространственные кривые линии.

Вариант 1 (рис. 6.36). Проницание: m = .

Рис. 6.36

Вариант 2 (рис. 6.37). Вмятие: n = .

Рис. 6.37

Вариант 3 (рис. 6.38). Проницание с касанием: k = .

Рис. 6.38

Решение задач 2.ГПЗ . 2 ( , не )

Алгоритм решения:

1.Одна из искомых проекций линии пересечения геометрических фигур уже изображена на чертеже по её принадлежности главной проекции проецирующей фигуры.

2.Вторую проекцию строят по признаку её принадлежности геометрической фигуре общего положения.

3.Определяют видимость элементов заданных фигур.

Пример (рис. 6.39). Построить проекции линии проницания с касанием m при пересечении сферы  с цилиндром вращения , если .

Рис. 6.39

Алгоритм решения.

1. m = .

2. На профильной проекции линии пересечения фигур выбираем несколько её точек (1, 1, 2, 3, 3, 4, 4). Строим их фронтальные проекции (по принадлежности точек сфере). Через построенные проекции точек проводим кривую линию (с учётом видимости её частей), являющейся проекцией m.

Решение задач 2.ГПЗ . 3 (не , не )

Эти главные позиционные задачи решают, применяя дополнительные построения. Чаще всего используют при этом метод введения дополнительных плоскостей – посредников.

Алгоритм решения

1.Строят вспомогательную проецирующую плоскость - посредник так, чтобы она пересекала обе заданные геометрические фигуры (поверхности).

2.Определяют обе линии пересечения посредника с заданными поверхностями, т.е. решают две задачи 2. ГПЗ. 2.

3.Определяют точки пересечения построенных линий. Эти точки - общие для заданных геометрических фигур.

4.Для получения достаточного числа общих точек пересекающихся фигур определяют и строят необходимое количество посредников. По полученным точкам строят искомую линию пересечения.

5.Определяют видимость элементов заданных геометрических фигур.

В данном разделе рассматривается порядок расчёта 2.ГПЗ.3 с пересекающимися поверхностями вращения.

Степень сложности решения этих задач зависит от взаимного положения осей вращения пересекающихся поверхностей.

Возможны следующие четыре варианта взаимного положения осей:

1.Оси вращения поверхностей совпадают: i = i.

2.Оси параллельны: i || i.

3.Оси пересекаются: i  i.

4.Оси вращения являются скрещивающимися прямыми: i  i.

Рассмотрим примеры решения некоторых задач подобного типа.

Пример 1(рис. 6.40). Построить линию пересечения m полусферы  с конусом вращения . Их оси вращения i и i совпадают.

Рис. 6.40

Решение

Линиями пересечения таких поверхностей являются общие параллели, т.е. траектории вращения общих точек образующих заданных поверхностей.

Пример 2 (рис. 6.41). Построить линию пересечения полусфер  и , у которых оси вращения i и i параллельны.

Рис. 6.41

Решение

Задачу решаем с использованием дополнительных проецирующих плоскостей - посредников, перпендикулярных осям вращения заданных полусфер. При этом задача сводится к решению нескольких задач типа 2.ГПЗ.2.

Плоскости - посредники рассекают заданные поверхности по параллелям. Точки пересечения параллелей являются искомыми общими точками заданных поверхностей (например, точки P параллелей m). Через построенные точки A,B,P, … проводим искомую линию пересечения заданных поверхностей - n.

Пример 3(рис. 6.42). Построить линию пересечения конуса  с цилиндром вращения , если их оси i и i пересекаются.

Рис. 6.42

Решение

Для решения подобных задач вместо проецирующих плоскостей-посредников рациональнее использовать концентрические секущие сферы-посредники с центрами в точке пересечения осей вращения заданных поверхностей.

Концентрические сферы пересекают заданные фигуры по параллелям - окружностям. При этом задача сводится к решению нескольких задач с поверхностями вращения, у которых совпадают оси вращения

(смотри ранее рассмотренный Пример 1).

Точки пересечения построенных параллелей являются искомыми общими точками заданных фигур: точками линии их пересечения.

Особенности решения задач на пересечение поверхностей вращения, описанных вокруг сферы (теорема Г. Монжа)

Две поверхности вращения второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной кривой четвёртого порядка. Однако в некоторых частных случаях эта кривая распадается на две плоские кривые второго порядка. Известный французский геометр Г. Монж доказал следующую теорему: Если две поверхности вращения описаны вокруг сферы, то результатом их взаимного пересечения являются две плоские кривые второго порядка.

Пример (рис. 6.43). Построить фронтальные проекции линий пересечения двух цилиндров  и , описанных вокруг сферы .

Рис. 6.43

Решение

Плоскости кривых линий пересечения фигур m проходят через прямую, соединяющую точки двойного соприкосновения. Точками двойного соприкосновения называют 2 точки, в которых сфера одновременно касается обеих поверхностей. В нашем случае точками двойного соприкосновения являются точки А и В. Они определяются как точки пересечения окружностей a и b, по которым цилиндры касаются вписанной сферы . Плоскости кривых пересечения фигур m занимают фронтально - проецирующее положение и проходят через точки пересечения главных меридиан, т.е. через точки C, D, E, F. Линии пересечения заданных фигур m являются эллипсами.

7. Решение задач с преобразованием чертежа

Любые задачи (позиционные, метрические, комплексные) значительно упрощаются, если геометрические фигуры занимают частное положение относительно плоскостей проекций, т.е. они или параллельны, или перпендикулярны им. Такое положение фигур позволяет сразу получить на чертеже требуемое решение. Его называют решающим положением.

Например, истинная величина отрезка определится сразу по чертежу, если отрезок займёт положение прямой уровня.

Чтобы получить решающее положение фигуры, чертёж преобразовывают, строя новые (дополнительные) проекции фигуры на основе имеющихся проекций.

Применяют следующие способы преобразования чертежа.

1. Вращение заданной фигуры вокруг проецирующей оси (рис. 7.1).

Рис. 7.1

2. Вращение фигуры вокруг прямой уровня (рис. 7.2).

Рис. 7.2

3. Введение новых, дополнительных плоскостей проекций, ортогональных к уже используемым в чертеже плоскостям проекций и относительно которых рассматриваемая геометрическая фигура займёт решающее положение.

7.1. Решающие положения прямых линий и плоскостей

на чертеже

Решающие положения для прямых линий

Вариант 1 (рис. 7.3). Преобразовать чертёж так, чтобы прямая общего положения стала прямой уровня.

Это положение прямой используется для определения по чертежу истинной величины её отрезка или угла её наклона к плоскости проекций.

Рис. 7.3

Вариант 2. Преобразовать чертёж так, чтобы прямая линия общего положения стала проецирующей прямой. Это положение прямой линии используется для определения следующих мерных величин геометрических фигур.

Расстояние между прямой и точкой (рис. 7.4).

Рис. 7.4

2. Расстояние между параллельными прямыми (рис. 7.5).

Рис. 7.5

3. Расстояние между скрещивающимися прямыми линиями (рис. 7.6).

Рис. 7.6

4. Величина гранных углов (рис. 7.7).

Рис. 7.7

Решающие положения для плоскостей

Вариант 1. Преобразовать чертёж так, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей. Это положение заданной плоскости позволяет определять следующие мерные величины геометрических фигур.

Расстояние от точки до плоскости (рис. 7.8)

Рис. 7.8

Расстояние между параллельными плоскостью и прямой (рис. 7.9).

Рис. 7.9

Расстояние между параллельными плоскостями (рис. 7.10).

Рис. 7.10

Величина гранных углов (рис. 7.11).

Рис. 7.11

Углы наклона заданной плоскости к плоскостям проекций (рис. 7.12).

Рис. 7.12

Вариант 2 (рис. 7.13). Преобразовать чертёж так, чтобы плоскость общего положения стала плоскостью уровня. Это положение плоскости позволяет определять истинную величину плоских фигур и их площадь.

Рис. 7.13

7.2. Преобразование чертежа методом введения дополнительных ортогональных плоскостей проекций

Сущность данного способа состоит в том, что заданные геометрические фигуры сохраняют своё положение в пространстве относительно принятой (основной) системы ортогональных плоскостей проекций. Но при этом вводятся новые (дополнительные) ортогональные плоскости проекций так, чтобы в новой паре взаимно перпендикулярных плоскостей проекций заданные фигуры располагались бы уже частным образом (наиболее удобным для решения поставленной задачи): геометрические фигуры занимали бы решающее положение.

Пример 1 (рис. 7.14). Задан чертёж отрезка прямой общего положения АВ.

Рис. 7.14

Требуется:

1) определить истинную длину этого отрезка и угол его наклона к горизонтальной плоскости проекций (угол );

2) определить расстояние от заданной точки М до прямой АВ.

Решение первой задачи

Прямое решение первой задачи методом прямоугольного треугольника ранее нами уже было рассмотрено. Теперь решим эту задачу путём введения дополнительной плоскости проекций .

Решающим положением для отрезка АВ будет положение, когда он станет отрезком прямой уровня. Поэтому, дополнительную плоскость проекций  расположим ортогонально к плоскости  и параллельно отрезку АВ. Тогда проекция АВ будет равна истинной величине самого отрезка АВ.

На этой же дополнительной плоскости проекций  будет изображён и угол  - угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций .

При построении нового изображения отрезка на плоскости  координатные расстояния по оси z концов отрезка до плоскости  переносятся с изображения на плоскости .

Решение второй задачи

Решающим положением заданных элементов будет такое, когда отрезок АВ станет проецирующим относительно дополнительной плоскости  и относительно которой перпендикуляр из точки М на прямую отрезка АВ (отрезок МК) займёт положение прямой уровня, т.е. изобразится в истинную величину. В общем случае, для этого сначала вводится первая дополнительная плоскость проекций , получая положение отрезка: AB ||  (это решение первой задачи примера). Затем вводится вторая дополнительная плоскость проекций , получая положение: AB , МК || .

Пример 2 (рис 7.15). Задан чертёж треугольной грани АВС общего положения и точка М вне грани.

Требуется:

1) построить перпендикуляр МК к плоскости (АВС) и определить его величину;

2) определить площадь треугольника АВС.

Решение первой задачи

Решающим положением будет такое, когда плоскость (АВС) станет перпендикулярной относительно дополнительной плоскости проекций  и ортогональной , например, к основной плоскости . В этом случае все фронтали, лежащие в заданной плоскости , станут перпендикулярными к дополнительной плоскости проекций .

Рис. 7.15

Для построения на чертеже дополнительной плоскости  используем одну из этих фронталей, например, проходящую через т. А . Проекции точек А, В, С и М на плоскость  строим, используя их координатные расстояния до плоскости проекций , которые определены на основной плоскости . Убеждаемся, что изображение плоскости (АВС) вырождается в прямую ВАС. Перпендикуляр МК, опущенный на плоскость (АВС), является прямой уровня относительно дополнительной плоскости . Следовательно, проекция МК - истинная величина перпендикуляра МК.

Решение второй задачи

Решающим положением для неё будет, когда плоскость (ABC) станет параллельной новой плоскости проекций. Для этого вначале чертёж нужно преобразовать так, чтобы плоскость  заняла бы положение проецирующей относительно новой плоскости проекций . Это было сделано при решении первой задачи.

Далее, проводим новую плоскость проекций: ; ||. Расстояния всех точек на плоскости проекций  до плоскости  берём с плоскости проекций . При этом проекция АВС является истинной величиной треугольной грани АВС и определяет её площадь.

8. Конструктивные задачи графического моделирования

Конструктивными называют задачи, связанные с конструированием геометрических фигур, их взаимного положения, а так же взаимного положения их элементов по заданным условиям. Эти задачи являются, обычно, разновидностью комплексных, включая в себя, как правило, несколько позиционных и метрических задач. Решение конструктивных задач связано с реализацией на чертеже заданных геометрических условий.

При описании геометрических условий и решений конструктивных задач геометрические фигуры (линии и поверхности) удобно моделировать, как множество точек или множество прямых, отвечающих заданным условиям.

8.1. Примеры конструктивных задач со множеством точек (ВМТ)

Пример 1 (рис. 8.1). Построить на заданной плоскости всё множество точек (ВМТ), равноудалённых от заданной на ней точки O.

Решение.

Это окружность m на заданной плоскости с центром в точке О.

Рис. 8.1

Пример 2 (рис. 8.2). Построить ВМТ, равноудалённых от заданной пространственной точки О.

Решение.

Это сфера  с центром в т. О.

Рис. 8.2

Пример 3 (рис 8.3). Построить ВМТ, равноудалённых от заданной прямой i .

Решение.

Это цилиндр вращения  с осью i .

Рис. 8.3

Пример 4 (рис. 8.4). Построить ВМТ, равноудалённых от двух заданных точек А и В.

Решение.

Это плоскость , проходящая перпендикулярно отрезку АВ через его середину (точку М).

Рис. 8.4

Пример 5 (рис. 8.5). Построить прямую a, все точки которой были бы равноудалены от заданных точек А и В.

Решение.

Прямая а расположена в плоскости  предыдущего примера. Она перпендикулярна отрезку АВ.

Рис. 8.5

Пример 6 (рис. 8.6). Построить ВМТ, равноудалённых от двух заданных пересекающихся плоскостей:  и .

Решение.

Это две биссекторные плоскости:  и .

Рис. 8.6

8.2. Примеры конструктивных задач со множеством прямых линий (ВМП)

Пример 1 (рис.8.7). Построить всё множество прямых (ВМП), проходящих через заданную точку A перпендикулярно заданной прямой b .

Решение.

Это плоскость (hf), проходящая через заданную точку А перпендикулярно прямой b .

Рис. 8.7

Пример 2 (рис. 8.8). Даны скрещивающиеся прямые линии: а и b. Построить ВМП, пересекающих прямую a и параллельных прямой b.

Решение.

Это плоскость (ca), проходящая через прямую a параллельно прямой b .

Рис. 8.8

Пример 3 (рис. 8.9). Построить ВМП, равноудалённых от заданной прямой а.

Решение.

Это цилиндр вращения , у которого заданная прямая а - ось вращения.

Рис. 8.9

Пример 4 (рис. 8.10). Построить ВМП, проходящих через заданную т. А и пересекающих заданную плоскость под одинаковым углом.

Решение.

Это конус вращения , у которого ось i расположена перпендикулярно заданной плоскости .

Рис. 8.10

Пример 5 (рис. 8.11). Построить ВМП, равнонаклонённых к пересекающимся плоскостям  и .

Решение.

Это биссекторные и перпендикулярные им плоскости  и .

Рис. 8.11

Пример 6. Определить геометрическую фигуру, представляющую собой ВМП, скрещивающихся с заданной прямой i под одинаковым углом и равноотстоящих от неё.

Решение.

Это однополостный гиперболоид вращения с осью вращения i .

8.3. Примеры решения конструктивных задач

Пример 1 (рис. 8.12). Построить ВМТ, равноудалённых от двух заданных параллельных прямых а и b.

Решение.

Это плоскость , проходящая через середину их общего перпендикуляра и перпендикулярно ему.

Рис. 8.12

Пример 2 (рис. 8.13). В заданной грани АВС построить ВМТ, равноудалённых от заданных точек М и К, расположенных вне плоскости (АВС).

Решение.

Это прямая m – результат пересечения плоскости (АВС) плоскостью , проходящей через середину отрезка МК перпендикулярно ему.

Рис. 8.13

Пример 3 (рис. 8.14). В плоскости (А, b) через точку А провести прямую l под углом  к плоскости проекций .

Решение.

Всё множество прямых l, которые проходят через точку А под углом  к плоскости , есть конус вращения , у которого A i , угол ( l ) = . Искомая прямая – одна из двух образующих l, являющихся результатом пересечения этого конуса  с плоскостью (A, b).

Дано:

Решение:

Рис. 8.14

Пример 4 (рис. 8.15). Построить ВМП, проходящих через заданную точку М и касательных к заданной сфере .

Решение.

Это конус  с вершиной в точке М и касательный к сфере  по линии m - окружности. Оси конуса и сферы совпадают: i = i.

Рис. 8.15

Пример 5 (рис. 8.16). На прямой а определить точки, равноудалённые от заданной точки А на заданном расстоянии r .

Решение.

Это точки пересечения с прямой а окружности m радиусом r и с центром в точке А, лежащей в плоскости (А, а).

Рис. 8.16

9. Построение развёрток геометрических фигур

Развёртка – это плоская фигура, которую получают путём последовательного совмещения прямолинейных образующих развёртываемой фигуры с некоторой плоскостью.

Развёртки используют для раскроя листовых заготовок при изготовлении оболочковых изделий (химических аппаратов, ёмкостей, воздуховодов и т.п.).

9.1. Построение развёрток гранных поверхностей

Последовательность построения.

1.Определяют истинные величины всех сторон граней (для четырёхугольных граней дополнительно определяют их диагонали или высоты).

2.Используя полученные параметры граней, строят одну из них.

3.Последовательно к первой пристраивают все остальные грани.

Пример 1 (рис. 9.1). Построить развёртку пирамиды(S,ABC).

Рис. 9.1

Алгоритм построения.

1.Стороны основания пирамиды изображены на чертеже как отрезки горизонталей.

2.Рёбра SA и SC изображены на чертеже как отрезки фронталей.

3.Ребро SB определяем методом прямоугольника.

4.Развёртку начинаем с построения грани SAC. Далее пристраиваем с обеих сторон грани SAB и SCB.

Пример 2 (рис. 9.2). Построить развёртку призмы .

Рис. 9.2

Алгоритм построения.

1.Через точку С проведём секущую плоскость (1,С,2) параллельно горизонтальной плоскости проекций, т.е. перпендикулярно рёбрам. Все стороны треугольника сечения 1С2 являются высотами соответствующих граней призмы и определены на чертеже как отрезки горизонталей. Рёбра призмы тоже определены на чертеже как горизонтально проецирующие отрезки.

2.Строим грань ACCA и пристраиваем к ней последовательно все остальные грани.

9.2. Построение развёрток кривых поверхностей

Среди кривых поверхностей есть развёртываемые (у них образующие – прямые линии) и не развёртываемые поверхности (например, сфера).

Пример 1 (рис. 9.3). Построить развёртку цилиндра вращения  с радиусом окружности основания r и высотой h .

Алгоритм построения.

Поверхность развёртываема. Её развёртка представляет собой прямоугольник высотой h и с основанием, равным длине окружности основания цилиндра (2r).

Рис. 9.3

Пример 2 (рис. 9.4). Построить развёртку конуса вращения  с радиусом окружности основания r и длиной образующей l .

Алгоритм построения.

Поверхность развёртываема. Развёртка конуса вращения представляет собой сегмент (вершина S) радиусом R = l и с углом при вершине сегмента  = 2r / R (рад).

Рис. 9.4

Пример 3 (рис. 9.5). Построить развёртку конуса общего вида , основание которого представляет собой горизонтально расположенную окружность m .

Алгоритм построения.

Поверхность развёртываема, но поскольку образующие конуса имеют переменную длину, то для построения развёртки используют приближённый метод, при котором развёртка конуса заменяется развёрткой вписанной n-гранной пирамиды.

Рис. 9.5

Пример 4 (рис. 11.6). Построить развёртку цилиндра общего вида , у которого плоскость одного основания (окружности) занимает горизонтальное положение, а плоскость другого – профильное.

Рис. 9.6

Алгоритм построения.

Поверхность развёртываема. Однако образующие цилиндра имеют переменную длину, поэтому развёртку строят приближенным методом, заменяя развёртку цилиндра развёрткой вписанной в цилиндр n - гранной призмы.

10. Построение аксонометрических изображений

Аксонометрическое проецирование обладает простотой построения изображения и его наглядностью.

«Аксонометрия» - с греческого языка означает «измерение по осям».

Суть этого метода проецирования (рис. 10.1): объект относят к некоторой системе координат, а затем вместе с координатной системой параллельно проецируют его на плоскость чертежа.

Рис. 10.1

При аксонометрическом проецировании изображение точек на чертеже, по существу, фиксирует их положение относительно центра О принятой системы координат. Это и делает такой чертёж обратимым.

Отрезки координатных осей при их проецировании на плоскость чертежа искажаются в зависимости от направления вектора проецирования по отношению к координатной системе, с одной стороны, и к плоскости чертежа, с другой. При этом угол между плоскостью чертежа и вектором проецирования может быть равен 90 (прямоугольная аксонометрия) или не равен 90 (косоугольная аксонометрия). В машиностроении принята прямоугольная аксонометрия.

В прямоугольной аксонометрии при проецировании отрезки осей координат изменяют свою длину. Поэтому вводят понятие «коэффициент искажения» оси, который определяют отношением длины проекции отрезка оси к его истинной длине:

K = ; K = ; K = .

В зависимости от соотношения коэффициентов искажения осей аксонометрические проекции могут быть:

изометрические (K= K= K);

диметрические (K =K  K);

триметрические (K  K  K).

В машиностроении (согласно рекомендациям ГОСТ 2.317-69) используют прямоугольную изометрию или прямоугольную диметрию.

В прямоугольной изометрии коэффициенты искажения по осям:

К= К= К= 0,82.

Однако, изометрическую проекцию строят без сокращения размеров по осям, что приводит к увеличению изображения против оригинала в 1,22 раза.

В прямоугольной диметрии коэффициенты искажения по осям:

К= К= 0,95; К= 0,47.

При реальном построении проекций рекомендуется принимать:

К= К= 1; К= 0,5,

при этом изображение увеличивается против оригинала в 1,06 раза.

Расположение осей координат в изометрии приведено на рис. 10.2, а в диметрии – на рис. 10.3.

Рис. 10.2

Рис. 10.3

Окружность в аксонометрии изображается в виде эллипса, который удобно строить с помощью параллелограмма, отображающего квадрат, описывающий окружность.

В изометрии (рис. 10.4) эллипсы на всех координатных плоскостях одинаковы между собой.

Рис. 10.4

В диметрии (рис. 10.5) на плоскостях XY и ZY эллипсы одинаковы между собой и отличаются от эллипса на плоскости XZ .

Рис. 12.5

Согласно рекомендациям ГОСТа при выполнении аксонометрических чертежей принято эллипсы заменять овалами. На рис. 10.6, 10.7 и 10.8 приведены способы построения овалов на координатных плоскостях при изометрии и диметрии.

Рис. 10.6

Рис. 10.7

Рис. 10.8

Техника построения аксонометрического изображения сводится к умению строить следующие элементы изображаемого объекта.

1.Точки строят по их координатам.

2.Линии строят по их точкам.

2.1.Прямые линии строят по 2-м точкам или по 1-й точке и известному направлению.

2.2.Кривые линии строят по многим точкам, достаточным для их качественного воспроизведения.

Примечание. Окружности, трансформируемые на чертеже в эллипс, строят с помощью овалов. Для того чтобы при построении аксонометрии иметь координаты точек изображаемого объекта (детали), предварительно строят обычный двух картинный чертёж детали и условно привязывают к ней систему координат.

Закрытые поверхности детали условно раскрывают путём выреза её части 2-мя взаимно перпендикулярными (координатными) плоскостями.

На рис. 10.9 приведён пример построения изометрии полой цилиндрической детали (втулки).

Рис. 10.9


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40586. Методология функционального моделирования SADT. Состав и функции моделей SADT 61.84 KB
  Состав и функции моделей SDT. Взаимодействие блоков друг с другом описываются посредством интерфейсных дуг выражающих ограничения которые в свою очередь определяют когда и каким образом функции выполняются и управляются; строгость и точность. отделение организации от функции т. Методология SDT может использоваться для моделирования широкого круга систем и определения требований и функций а затем для разработки системы которая удовлетворяет этим требованиям и реализует эти функции.
40587. Методология функционального моделирования SADT. Состав и функции моделей SADT. Типы связей 40.5 KB
  Вендрова Проектирование ПО Ход урока Организационный момент 24 мин: Приветствие оформление документов к занятию Повторение пройденного материала применяемая методика выводы1520 минзанятие 22 п.5 Сообщение темы урока постановка цели и задачи:13 мин: Методология функционального моделирования SDT; Состав и функции моделей SDT. Изложение нового материала применяемая методика: 5060 мин. лекция: Состав функциональной модели Иерархия диаграмм Типы связей между функциями Моделирование потоков данных процессов...
40588. Психологические особенности профессионального общения сотрудников ОВД 92 KB
  Чтобы профессиональное общение сотрудника ОВД было эффективным и успешным, он обязан разбираться в психологии общения, обладать умением делать выводы на основании фактов и собственных наблюдений.
40589. Создание SADT-диаграмм по произвольным проектам 48 KB
  Организационный момент 23 мин: Приветствие фиксация отсутствующих проверка санитарного состояния аудитории заполнение журнала рапортички проверка подготовленности студентов к занятию. Напоминание правил техники безопасности при работе с ПК; 2. Сообщение темы цели и задач практикума 23 мин: Цели: Приобретение навыков создания SDT моделей по методологии IDEF0. Актуализация опорных знаний и умений студентов 1015 мин: устный опрос занятие 24 п.
40590. Метод моделирования IDEF1 35.48 KB
  Сущность в методологии IDEF1X является независимой от идентификаторов или просто независимой если каждый экземпляр сущности может быть однозначно идентифицирован без определения его отношений с другими сущностями. Сущность называется зависимой от идентификаторов или просто зависимой если однозначная идентификация экземпляра сущности зависит от его отношения к другой сущности рисунок 1. Сущности Каждой сущности присваивается уникальное имя и номер разделяемые косой чертой и помещаемые над блоком. Связь может дополнительно определяться с...
40591. Создание ERD диаграмм методом IDEF I 48.5 KB
  Организационный момент 23 мин: Приветствие фиксация отсутствующих проверка санитарного состояния аудитории заполнение журнала рапортички проверка подготовленности студентов к занятию. Напоминание правил техники безопасности при работе с ПК; 2. Сообщение темы цели и задач практикума 23 мин: Цели: Приобретение навыков создания SDT моделей по методологии IDEF0. Актуализация опорных знаний и умений студентов 1015 мин: устный опрос занятие 27 п.
40592. Сущность объектно-ориентированного подхода 16.76 KB
  Объектноориентированный подход использует объектную декомпозицию при этом статическая структура системы описывается в терминах объектов и связей между ними а поведение системы описывается в терминах обмена сообщениями между объектами. Каждый объект системы обладает своим собственным поведением моделирующим поведение объекта реального мира. Абстрагирование это выделение существенных характеристик некоторого объекта которые отличают его от всех других видов объектов и таким образом четко определяют его концептуальные границы...
40593. Унифицированный язык UML 17.75 KB
  Например нотация диаграммы классов определяет каким образом представляются такие элементы и понятия как класс ассоциация и множественность. Определение классов и объектов одна из самых сложных задач объектноориентированного проектирования. Наследование означает построение новых классов на основе существующих с возможностью добавления или переопределения данных и методов. Наследование и полиморфизм обеспечивают возможность определения новой функциональности классов с помощью создания производных классов потомков базовых классов.
40594. Диаграммы вариантов использования 52.06 KB
  Суть диаграммы вариантов использования состоит в следующем. Проектируемая система представляется в виде множества сущностей или актеров взаимодействующих с системой с помощью вариантов использования. Вариант использования служит для описания сервисов которые система предоставляет актеру.