3461

Изучение нормального распределения случайной величины на доске Гальтона

Лабораторная работа

Физика

Изучение нормального распределения случайной величины на доске Гальтона Получение экспериментальной кривой распределения случайной величины, сравнение ее с теоретической кривой нормального распределения. Расчет оценочных значений числовых параметров...

Русский

2012-11-01

168.5 KB

57 чел.

Изучение нормального распределения случайной величины на доске Гальтона

Получение экспериментальной кривой распределения случайной величины, сравнение ее с теоретической кривой нормального распределения. Расчет оценочных значений числовых параметров распределения случайной величины. Изучение и экспериментальная проверка правил, применяемых при обработке результатов измерений.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

Данная работа посвящена определению по ограниченному количеству опытов неизвестных параметров, от которых зависит распределение случайной величины. Надо отметить, что любое значение искомого параметра, вычисленное на основании ограниченного числа опытов, всегда будет содержать элемент случайности. Такое приближенное, случайное значение называется оценкой параметра. Например, оценкой для математического ожидания может служить среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины в  независимых опытах. При очень большом числе опытов среднее арифметическое будет с большой вероятностью весьма близким к математическому ожиданию. Если же количество опытов  невелико, то замена математического ожидания средним значением приведет к некоторой ошибке. Эта ошибка будет тем больше, чем меньше число опытов. Так же будет обстоять дело и с оценками других параметров. Любая из таких оценок случайна, при пользовании ею неизбежны ошибки. Желательно выбрать такую оценку, чтобы ошибки были по возможности минимальными.

Возьмем случайную величину , закон распределения которой содержит неизвестный параметр . Требуется найти подходящую оценку для параметра  по результатам  независимых опытов, в которых величина  принимает определенное значение. Обозначим наблюденные значения случайной величины:

.          (3.3.1)

Обозначим как  оценку для параметра . Любая оценка
должна представлять собой функцию величин :

.         (3.3.2)

Ясно, что  сама является случайной величиной. Закон распределения  зависит, во–первых, от закона распределения , а вовторых– от числа опытов. При этом оценка  должна удовлетворять ряду требований, чтобы быть в какомто смысле доброкачественной оценкой. Требование первое: оценка  при увеличении количества опытов должна приближаться к параметру . Оценка, обладающая таким свойством, называется состоятельной. Требование второе: при использовании величины  вместо , мы не должны делать систематическую ошибку в сторону завышения или занижения. Оценка, удовлетворяющая такому условию, называется несмещенной. В качестве оценки для математического ожидания, удовлетворяющей вышеприведенным требованиям, можно взять среднее арифметическое наблюдаемых значений :

.          (3.3.3)

Для оценки дисперсии можно взять величину, определяемую согласно выражению:

.         (3.3.4)

Здесь в знаменателе стоит , а не , т.к. в противном случае, как показывает теория, оценка дисперсии получается смещенной.

Мы рассмотрели вопрос об оценке неизвестного параметра одним числом. Такая оценка называется точечной. В ряде задач требуется не только найти для параметра  подходящее численное значение, но и оценить его точность и надежность. Требуется узнать, к каким ошибкам приведет замена параметра  его точечной оценкой  и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы. Такие задачи особенно актуальны при малом числе наблюдений, когда точечная оценка в значительной мере случайна и приближенная замена  на  может привести к серьезным ошибкам. Чтобы дать представление о точности и надежности оценки , в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Рассмотрим задачу о доверительном интервале для математического ожидания. Пусть произведено  независимых опытов над случайной величиной , характеристики которой (математическое ожидание  и дисперсия ) неизвестны. Для этих параметров получаем оценки:

; .        (3.3.5)

Требуется построить доверительный интервал , соответствующий доверительной вероятности  для математического ожидания  величины . При решении этой задачи воспользуемся тем, что величина  представляет собой сумму  независимых, одинаково распределенных случайных величин , и согласно центральной предельной теореме при большом  ее закон распределения близок к нормальному. На практике даже при небольшом числе слагаемых (порядка 1020) закон распределения можно приблизительно считать нормальным. Будем исходить из того, что величина  распределена по нормальному закону.

Характеристики этого закона – математическое ожидание  и дисперсия . Предположим, что величина  нам известна, и найдем такую величину, для которой

.         (3.3.6)

Применяя распределение Гаусса, получим:

,          (3.3.7)

где – среднее квадратичное отклонение оценки ;

 – функция, определяемая из распределения Гаусса.

Дисперсия , через которую выражается величина , нам точно неизвестна, и в качестве ее ориентировочного значения можно воспользоваться приближенным, оценочным значением :

.         (3.3.8)

Таким образом, задача построения доверительного интервала решена:

.         (3.3.9)

Равенство (3.3.9) означает, что неизвестное значение математического ожидания  попадет в интервал  с вероятностью .

При этом необходимо отметить, что ранее мы рассматривали вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Здесь дело обстоит иначе: значение математического ожидания – величина не случайная, зато случаен интервал . Случайно его положение на оси абсцисс, определяемое его центром ; случайна и длина интервала, равная , т.к. величина  вычисляется, как правило, по опытным данным. Поэтому в данном случае лучше будет толковать величину  не как вероятность попадания точки  в интервал , а как вероятность того, что случайный интервал  накроет точку .

Мы рассмотрели приближенный метод построения доверительного интервала для математического ожидания . Идея точных построений доверительных интервалов сводится к следующему. Любой доверительный интервал находится из условия, выражающего вероятность выполнения некоторых неравенств, в которые входит интересующая нас оценка . Закон распределения оценки  зависит от самих неизвестных параметров величины . Однако иногда удается перейти от случайной величины  к какойлибо другой функции наблюдаемых значений , закон распределения которой не зависит от неизвестных параметров, а зависит только от количества опытов  и от вида закона распределения .


Например, доказано, что при нормальном распределении величины случайная величина

,        (3.3.10)

где

       (3.3.11)

подчиняется так называемому закону распределения Стьюдента. Плотность этого распределения зависит только от числа . Поэтому доверительный интервал для математического ожидания  можно точно определить, пользуясь распределением Стьюдента. Можно показать, что процедура определения его аналогична рассмотренной в предыдущем случае, только вместо значения функции , определяемой из распределения Гаусса, берутся значения функции , определяемой из распределения Стьюдента. Значения функции  обычно называют коэффициентами Стьюдента. Значения  определяются не только вероятностью , но и количеством опытов . Распределением Стьюдента пользуются, в основном, когда число измерений невелико, т.е. . Значения функции  являются табличной величиной, зависящей от доверительной вероятности  и количества опытов  (см.Приложение).

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Работа выполняется на так называемой доске Гальтона, изображенной на рис.3.3.1.

Установка состоит из вертикальной доски1, на которой закреплены в шахматном порядке стержни2, служащие для рассеивания шариков, поступающих из хранилища3, расположенного вверху доски. Под стержнями расположены 15 одинаковых ячеек, разделенных перегородками одинаковой высоты4. Шарики удерживаются в хранилище стерженьком5, закрывающим отверстие, через которое шарики высыпаются из хранилища. Лицевая часть доски закрыта стеклом. Выпускное отверстие хранилища шариков расположено над 8й ячейкой.

Если бы не было стержней, то шарики, выпущенные из хранилища, попали бы в 8ю ячейку. В нашем же опыте шарик, соударяясь с рядом стержней, может попасть практически в любую ячейку. Иначе говоря, попадание шарика в ту или другую ячейку носит случайный характер. Если выпустить три шарика, то, скорее всего, они попадут в разные ячейки, номера которых будут отличаться от номера ячейки, над которой расположено выпускное отверстие. Чаще всего даже средние значения будут отличаться от истинного значения, т.е. . При повторении этого опыта несколько раз вероятнее всего получатся иные результаты, нежели в первый раз. В каждой серии измерений, состоящих из трех опытов , можно найти доверительный интервал по формуле Стьюдента.

Подсчитаем, сколько шариков находится в каждой ячейке. Тогда статистическая вероятность попадания шарика в любую ячейку равна отношению количества шариков, попавших в эту ячейку к сумме шариков во всех ячейках. Для определения вероятности попадания шариков в ту или иную ячейку неудобно считать количество шариков в ячейках. Поэтому поступают следующим образом: измеряют высоту столбика шариков в каждой ячейке– , а затем суммируют высоты по всем 15 ячейкам , тогда вероятность  попадания
шарика в ю ячейку равна:

       (3.3.12)

Если выпустить все шарики,то на доске Гальтона они расположатся так, как показано на рис.3.3.2.

Итак, мы получаем экспериментальную кривую вероятности  в зависимости от номера ячеек . По форме она напоминает форму распределения шариков по ячейкам (рис.3.3.2). Если опыт проведен аккуратно, то полученная кривая должна совпасть с теоретической кривой распределения случайной величины Гаусса.

Работа состоит из двух частей. В первой части работы по экспериментальным данным необходимо построить кривую распределения Гаусса . Во второй части работы нужно определить доверительный интервал для координаты выпускного отверстия при двух значениях надежности (доверительной вероятности) –  и . Также надо показать, что при надежности  примерно в половине ячеек (их будет пять) истинное значение измеряемой величины (координаты выпускного отверстия) не попадают в доверительный интервал, а при  практически все опыты дают правильный результат.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Перед началом работы необходимо убедиться, что в ячейках нет шариков.

Часть 1

1. Постепенно выпустить из хранилища все шарики.

2. С помощью линейки измерить высоты получившихся столбиков шариков в каждой ячейке –  и занести результаты, округлив их до 0,5 см, в таблицу 1.

3. Перевернув доску Гальтона, пересыпать все шарики в хранилище, расположенное в верхней части доски.

Таблица 1

п/п

1

2

3

15

Часть 2

1. Выпустить из хранилища поочередно 3 шарика и записать в таблицу 3 значения координаты , т.е. номера ячеек, куда попали шарики.

2. Аналогичные опыты проделать еще 4 раза и заполнить четыре таблицы, аналогичные таблице 2 (3,4,5,6).

Таблица 2

Доверительный интервал

1

2

3

Среднее

Обработка реЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Часть 1

1. Подсчитать сумму высот  во всех ячейках .

2. По формуле (3.3.12) определить экспериментальное значение вероятности попадания шарика в каждую ячейку . Результаты занести в таблицу 1.

3. Вычислить произведение  и тоже занести в соответствующие столбцы таблицы 1. Подсчитать математическое ожидание определяемой координаты выпускного отверстия по формуле (1.11), взяв , полученное в предыдущем пункте.

4. Вычислить величину  и занести в таблицу 1.

5. Вычислить и занести в таблицу 2 значения

6. По формуле (1.23) определить среднее квадратичное отклонение .

7. Для каждого  подсчитать по формуле (1.26) значение функции , где  и .

8. В одних осях координат построить график вероятности  в зависимости от координаты  и график функции . Сравнить полученные кривые.

Часть 2

1. Найти оценку математического ожидания  координаты выпускного отверстия по формуле (3.3.3) для каждой из пяти серий измерений.

2. Найти погрешность :

,

а также  для каждого измерения и занести результаты в таблицы 26.

3. По формуле (3.3.7), заменив предварительно величину  на коэффициент Стьюдента , и с использованием формулы (3.3.8) вычислить  отдельно для  и , т.е. использовать формулу:

.

4. Записать в каждой таблице, соответственно, для двух надежностей ответы в виде:

.

5. В виде вывода по пяти сериям экспериментов записать отдельно для двух надежностей 0,5 и 0,95 количество случаев, в которых доверительный интервал перекрывает истинное значение координаты выпускного отверстия .

Контрольные вопросы

1. Какой процесс называется случайным?

2. Что такое случайная величина?

3. Какая величина называется частотой события?

4. Что называется законом распределения случайной величины?

5. Что такое функция распределения случайной величины?

6. Запишите основные свойства функции распределения случайной величины.

7. Укажите основные числовые параметры, характеризующие закон распределения случайной величины и объясните их смысл.

8. Что называется математическим ожиданием случайной величины?

9. Дайте определение величины дисперсии.

10. Что называется средним квадратичным отклонением?

11. В чем удобство использования среднего квадратичного отклонения по сравнению с использованием дисперсии?

12. Какова связь между функцией распределения и плотностью распределения?

13. Для каких случайных величин существует плотность распределения– дискретных или непрерывных?

14. Запишите основные свойства плотности распределения.

15. Что такое кривая распределения?

16. Запишите выражение для функции плотности распределения непрерывной случайной величины.

17. Какова вероятность принятия случайной величиной конкретного значения при дискретном распределении? При непрерывном распределении?

18. Как влияет дисперсия случайной величины на форму кривой распределения?

19. Укажите аналог кривой распределения для дискретных случайных величин.

20. Укажите оценку основных параметров распределения.

21. Какая оценка называется точечной?

22. Какая оценка называется несмещённой?

23. Что такое доверительная вероятность или надежность измерения?

24. Как измеряется доверительный интервал для среднего значения измеряемой величины и что он обозначает?

25. В классической физике имеет место классическое распределение Максвелла. Что это за распределение и чем оно отличается от нормального распределения?

26. Рассмотрев систему материальных точек с массами , располагающимися на оси  в точках , укажите механическую интерпретацию математического ожидания.

27. Воспользовавшись условиями предыдущего вопроса, укажите механическую интерпретацию дисперсии.

28. Как составляется статистический ряд?

29. Как производится построение гистограммы?

30. Как по гистограмме получить характеристики распределения случайной величины?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32227. Подготовка следователя к проведению следственного эксперимента 30 KB
  Подготовка следователя к проведению следственного эксперимента. При этом подготовительные действия обеспечиваемые следователем можно подразделить на два этапа: подготовка до выезда на место проведения эксперимента и непосредственно на месте до совершения самих опытных действий. На первом этапе следователь должен определить цель эксперимента т. Тщательное изучение этих материалов позволяет определить место время и условия производства эксперимента круг его участников и роль каждого из них.
32228. Составление плана расследования. Основные и вспомогательные формы планов 35 KB
  Составление плана расследования. Это приводит к необходимости планирования расследования различных дел во времени подготовка документов отчётов и т. 2 План расследования по конкретному преступлению. Составляется план расследования по версиям.
32229. Каноническое представление уравнения Эйлера 137.5 KB
  Например требуется определить закон изменения якорного тока и скорости вращения двигателя постоянного тока который поворачивает платформу экскаватора. Динамика двигателя описывается уравнением равновесия моментов – момент развиваемый двигателем уравновешивается динамическим моментом и моментом сопротивления: п.1 где Мдв=Смi – момент развиваемый двигателем См – постоянная двигателя i – якорный ток J – момент инерции приведенный к валу двигателя скорость вращения...
32230. Синтез оптимального управления при ограничениях на управляющее воздействие 163 KB
  Более эффективно решение задач синтеза оптимального управления при ограничениях управляющих воздействий осуществляется путем использования принципа максимума предложенного в 1956 году академиком Л. Принцип максимума является дальнейшим развитием вариационного исчисления. Это условие положено в основу принципа максимума. Рассмотрим применение принципа максимума Понтрягина для решения задач оптимизации.
32231. Метод динамического программирования Р. Беллмана 1.14 MB
  6 величина определяется в соответствии с уравнениями 7.10 При условиях ; Оптимальное уравнение определяется в результате решения уравнения 7.10 можно заменить уравнениями в частных производных 7.4 получим Из уравнения получим П 7.
32232. Связь между принципами максимумами и динамическим программированием 359.5 KB
  17 является скалярным произведением векторов Ψ и X: Н = ψ 8. Вектор касателен к траектории t и нормален к векторам ψ и –ψ что определяет оптимальный процесс перехода из в . Максимальное быстрое уменьшение J будет происходить очевидно что если вектор скорости Хточка в направлении убывании убывание J будет максимальным. Для обеспечения этого необходимо чтобы проекция вектора скорости движения изображающей точки Хточка на вектор отрицательной нормалям к поверхности J...
32233. Синтез оптимального по быстродействию программного управления 211 KB
  3 Где уравнение динамики объекта управления Поскольку то максимум функции Н реализуется одновременно с максимумом функции: 9. Решим задачу определения оптимального по быстродействию программного управления на примере объекта второго порядка: .1 То структурная схема объекта представлена на рис. Структурная схема объекта управления В соответствии со структурной схемой на рис.
32234. Синтез замкнутых систем управления, оптимальных по быстродействию 147 KB
  невозможно путём интегрирования уравнений объекта найти уравнения траекторий в nмерном пространстве.6 в этом случае можно представить относительно других координат: где i = 12n Тогда уравнения проекций фазовых траекторий на координатные плоскости при U = const будут иметь вид: Интегрируя это выражение получим: где ; координаты точек через которые проходит проекция 10.2 С помощью уравнений проекций фазовых траекторий определяем координаты точек переключений U.6 получим выражение...
32235. Аналитическое конструирование регуляторов (АКОР) 137.5 KB
  он ограничивает и отклонение переменных состояния объекта управления и управляющего воздействие данная задача определения оптимального регулятора получила широкое распространение. Задана динамика объекта управления: ; 1 или 1 где А=[nn] коэффициентная матрица динамики объекта B=[nm] – матрица коэффициентов управляющих воздействий xiн=xi0 xiк=xitк – граничные условия. Критерий...