3464

Изучение свободных колебаний пружинного маятника

Лабораторная работа

Физика

Изучение свободных колебаний пружинного маятника. Цель работы: на примере пружинного маятника изучить основные законы колебательного движения, проверить формулу периода колебаний пружинного маятника, определить основные характеристики его затухающих...

Русский

2012-11-01

177.5 KB

53 чел.

Изучение свободных колебаний пружинного маятника.

Цель работы: на примере пружинного маятника изучить основные законы колебательного движения, проверить формулу периода колебаний пружинного маятника, определить основные характеристики его затухающих колебаний.

Свободные колебания.

   Периодические или почти периодические во времени движения или процессы, протекающие в ограниченной области пространства, называются колебаниями. Колебания широко распространены в природе и технике и играют большую роль в разнообразных явлениях.

   В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

   Колебания в системе, на которую не действуют переменные внешние силы, а возникающие в результате начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия называются свободными. Если в системе отсутствуют диссипативные силы (силы трения), то при колебаниях не происходит потерь энергии. Такие свободные колебания будут незатухающими.

   Рассмотрим основные черты свободных незатухающих колебаний на примере пружинного маятника. В этом случае колебания возникают только под действием сил упругости. Уравнение движения колеблющегося тела (груза на пружине) имеет вид

                          (1)

где m – масса, - мгновенное ускорение, х – смещение тела из положения равновесия в момент времени t, k – жесткость пружины.

   Уравнение (1) можно переписать в иной форме

                                           (2)

   Тогда решение уравнения (2) удобно искать в виде функции

         (3)

   Дважды продифференцировав выражение (3) по времени получаем

         (4)

   Подставив (4) в (2) убеждаемся, что функция (3) будет являться решением уравнения движения (2), если

                          (5)

   Таким образом колебания груза на пружине можно описать функциями

       (6)

или

          (7)

где А0 – амплитуда колебаний, - циклическая частота,  - фаза, I0 и I – начальные фазы колебаний.

   Колебания, совершаемые по закону косинуса или синуса, принято называть гармоническими.

   По известному значению циклической частоты  (5) нетрудно получить формулу для периода свободных колебаний пружинного маятника

       (8)

   В реальных колебательных системах всегда присутствуют силы трения. Их наличие приводит к рассеянию энергии, занесенной в системе и, как следствие, к уменьшению амплитуды колебаний. Такие колебания называют затухающими и не являются гармоническими.

   Рассмотрим затухающие колебания пружинного маятника. Во многих случаях с достаточной степенью точности можно считать, что силы трения пропорциональны скорости движения. Тогда вместо уравнения (1) имеем

            (9)

где  - сила трения,  - коэффициент пропорциональности, постоянный для данной системы.

   Перепишем (9) в иной форме

                      (10)

здесь введены обозначения

               и     (11)

Решение уравнения (10) имеет вид

                                                                (12)

   Выражение (12) описывает затухающие колебания. График затухающих колебаний изображен на рисунке 1. Величину  принимают за амплитуду затухающих колебаний.

   С течением времени она уменьшается по экспоненциальному закону (пунктирные кривые на рис.1). Частота затухающих колебаний  меньше частоты соответствующих свободных колебаний и с течением времени остается неизменной.

Рис.1

   Затухающие колебания не являются периодическими и гармоническими. Однако, для их описания удобно сохранить понятие условного периода , понимая под ним удвоенный  промежуток времени между двумя последовательными прохождениями системой положения равновесия (см. рис.1).

   Для характеристики затухающих колебаний вводят следующие величины:

  1.  Время затухания (релаксации) . Это время, в течении которого амплитуда А уменьшается в е=2.71 раза

   откуда  или   (13)

              Большим значениям соответствует меньшее время           

             затухания . Поэтому  называют коэффициентом

             затухания.

  1.  Логарифмический декремент затухания æ. Это натуральный логарифм отношения двух последующих амплитуд, разделенных промежутком времени равным периоду             (14)
  2.  Число колебаний за время затухания                                                          (15)         Для характеристики колебательной системы вводят понятие добротности. Добротность Q, с точностью до коэффициента 2 равна отношению энергии Е, запасенной в колебательной системе, к энергии, рассеиваемой за период Ер                                     (16) Можно показать, что добротность                                                           (17)

Описание установки.

          

Работа выполняется на установке, изображенной на рис.2. В качестве колеблющейся системы взят пружинный маятник, представляющий собой вертикально расположенную пружину 1, на которую подвешена платформа 2. Масса платформы m0=(75,0±0,5)г. На платформу 2 можно помещать грузы 3 различной массы. Амплитуда колебаний измеряется по шкале 4.

 Рис.2

Выполнение работы.

Упражнение 1. Проверка формулы периода колебаний пружинного маятника.

   Для маятников с массами m1 и m2 согласно (8) будем иметь

                           и   

откуда следует равенство

                                       (18)

Соотношение (18) и проверяется в данном упражнении. Для более определения периода колебаний измеряют время t , за которое совершается N полных колебаний и используют формулу

   (19)

  1.  Поместить на платформу груз массой m´. Тогда масса маятника m1 = m´+m0, где m0 масса платформы.
  2.  Вывести маятник из положения равновесия на 40-70мм и измерить время, в течении которого совершается 10-15 полных колебаний. Опыт проделать не менее 5 раз. Результаты измерений занести в таблицу и по формуле (19) определить период колебаний.
  3.  Поместить на платформу груз иной массы m и снова выполнить пункт 2.
  4.  Вычислить  и  и проверить справедливость равенства (18).
  5.  По указанию преподавателя пункты 1-4 проделать для другой пары грузов.

Упражнение 2: Определение основных характеристик затухающих колебаний пружинного маятника.

  1.  Положить на платформу несколько грузов и определить период Т колебаний маятника, как указано в упражнении 1.
  2.  Вывести тело из положения равновесия на А0 и определить время t0 за которое амплитуда колебаний уменьшится да значения An (за величину конечной амплитуды An удобно взять значение примерно в 10 раз меньше А0. При отсчете амплитуды колебаний луч зрения должен быть перпендикулярен к плоскости шкалы). Измерения повторить не менее 5 раз. Результаты занести в таблицу (составить самостоятельно).
  3.  По формуле  определить логарифмический декремент затухания.
  4.  Используя формулы (13-17) вычислить коэффициент затухания , время затухания , число колебаний за время затухания Ne и добротность Q системы. Сделать выводы.

Контрольные вопросы.

  1.  Свободные колебания. Физические величины их характеризующие. Графики зависимости амплитуды, скорости и ускорения от времени для свободных гармонических колебаний.
  2.  Затухающие колебания. Физические величины, используемые для описания затухающих колебаний. Их физический смысл.
  3.  Апериодическое движение тел. Условие его возникновения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74791. Степени свободы молекул. Распределение энергии по степеням свободы. Молекулярно-кинетическая теория теплоемкости газов. Удельная и молярная теплоемкости 61.5 KB
  Различают теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении если в процессе нагревания вещества его объем или давление поддерживается постоянным В молекулярно-кинетической теории пользуются моделью идеального газа удовлетворяющей следующим условиям...
74792. Барометрическая формула. Больцмановское распределение частиц в потенциальном поле 41.5 KB
  При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и максвелловского распределения молекул по скоростям предполагалось что на молекулы газа внешние силы не действуют поэтому молекулы равномерно распределены по объему.
74793. Опыт Перрена. Число столкновений, среднее время между столкновениями и средняя длина свободного пробега молекул. Статистическое понятие вакуума 45.5 KB
  Число столкновений среднее время между столкновениями и средняя длина свободного пробега молекул. Используя молекулярно-кинетическую теорию разработал теорию броуновского движения. Опыты Перрена показали что закономерности броуновского движения предсказанные...
74794. Распределение частиц (молекул) по скоростям в системах с большим количеством частиц. Формула Максвелла 39 KB
  При выводе закона распределения молекул по скоростям Максвелл предполагал, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Предполагалось также, что силовые поля, действующие на газ, отсутствуют.
74795. Характеристические скорости молекул (среднеарифметическая, среднеквадратичная, вероятная). Cреднеквадратичная скорость движения молекул 34.5 KB
  Интересен вопрос о скорости движения молекул газа. В газен царит полный хаос, молекулы движутся по всем направлениям с самыми разными скоростями. Оказывается, что в газе есть молекулы с очень маленькими скоростями и с очень большими, но их сравнительно мало.
74796. Внутренняя энергия реального газа. Эффект Джоуля-Томсона. Точка инверсии 66 KB
  Рассмотрим эффект Джоуля — Томсона. На рис. 93 представлена схема их опыта. В теплоизолированной трубке с пористой перегородкой находятся два поршня, которые могут перемешаться без трения.
74797. Фазовые переходы. Параметры критического состояния 48.5 KB
  Фазой называется термодинамически равновесное состояние вещества отличающееся по физическим свойствам от других возможных равновесных состояний того же вещества. Переход вещества из одной фазы в другую фазовый переход всегда связан с качественными изменениями свойств вещества.
74798. Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Критические параметры 51.5 KB
  Учитывая собственный объем молекул и силы межмолекулярного взаимодействия голландский физик И. Учет собственного объема молекул. Наличие сил отталкивания которые противодействуют проникновению в занятый молекулой объем других молекул сводится к тому что фактический свободный...