3464

Изучение свободных колебаний пружинного маятника

Лабораторная работа

Физика

Изучение свободных колебаний пружинного маятника. Цель работы: на примере пружинного маятника изучить основные законы колебательного движения, проверить формулу периода колебаний пружинного маятника, определить основные характеристики его затухающих...

Русский

2012-11-01

177.5 KB

53 чел.

Изучение свободных колебаний пружинного маятника.

Цель работы: на примере пружинного маятника изучить основные законы колебательного движения, проверить формулу периода колебаний пружинного маятника, определить основные характеристики его затухающих колебаний.

Свободные колебания.

   Периодические или почти периодические во времени движения или процессы, протекающие в ограниченной области пространства, называются колебаниями. Колебания широко распространены в природе и технике и играют большую роль в разнообразных явлениях.

   В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

   Колебания в системе, на которую не действуют переменные внешние силы, а возникающие в результате начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия называются свободными. Если в системе отсутствуют диссипативные силы (силы трения), то при колебаниях не происходит потерь энергии. Такие свободные колебания будут незатухающими.

   Рассмотрим основные черты свободных незатухающих колебаний на примере пружинного маятника. В этом случае колебания возникают только под действием сил упругости. Уравнение движения колеблющегося тела (груза на пружине) имеет вид

                          (1)

где m – масса, - мгновенное ускорение, х – смещение тела из положения равновесия в момент времени t, k – жесткость пружины.

   Уравнение (1) можно переписать в иной форме

                                           (2)

   Тогда решение уравнения (2) удобно искать в виде функции

         (3)

   Дважды продифференцировав выражение (3) по времени получаем

         (4)

   Подставив (4) в (2) убеждаемся, что функция (3) будет являться решением уравнения движения (2), если

                          (5)

   Таким образом колебания груза на пружине можно описать функциями

       (6)

или

          (7)

где А0 – амплитуда колебаний, - циклическая частота,  - фаза, I0 и I – начальные фазы колебаний.

   Колебания, совершаемые по закону косинуса или синуса, принято называть гармоническими.

   По известному значению циклической частоты  (5) нетрудно получить формулу для периода свободных колебаний пружинного маятника

       (8)

   В реальных колебательных системах всегда присутствуют силы трения. Их наличие приводит к рассеянию энергии, занесенной в системе и, как следствие, к уменьшению амплитуды колебаний. Такие колебания называют затухающими и не являются гармоническими.

   Рассмотрим затухающие колебания пружинного маятника. Во многих случаях с достаточной степенью точности можно считать, что силы трения пропорциональны скорости движения. Тогда вместо уравнения (1) имеем

            (9)

где  - сила трения,  - коэффициент пропорциональности, постоянный для данной системы.

   Перепишем (9) в иной форме

                      (10)

здесь введены обозначения

               и     (11)

Решение уравнения (10) имеет вид

                                                                (12)

   Выражение (12) описывает затухающие колебания. График затухающих колебаний изображен на рисунке 1. Величину  принимают за амплитуду затухающих колебаний.

   С течением времени она уменьшается по экспоненциальному закону (пунктирные кривые на рис.1). Частота затухающих колебаний  меньше частоты соответствующих свободных колебаний и с течением времени остается неизменной.

Рис.1

   Затухающие колебания не являются периодическими и гармоническими. Однако, для их описания удобно сохранить понятие условного периода , понимая под ним удвоенный  промежуток времени между двумя последовательными прохождениями системой положения равновесия (см. рис.1).

   Для характеристики затухающих колебаний вводят следующие величины:

  1.  Время затухания (релаксации) . Это время, в течении которого амплитуда А уменьшается в е=2.71 раза

   откуда  или   (13)

              Большим значениям соответствует меньшее время           

             затухания . Поэтому  называют коэффициентом

             затухания.

  1.  Логарифмический декремент затухания æ. Это натуральный логарифм отношения двух последующих амплитуд, разделенных промежутком времени равным периоду             (14)
  2.  Число колебаний за время затухания                                                          (15)         Для характеристики колебательной системы вводят понятие добротности. Добротность Q, с точностью до коэффициента 2 равна отношению энергии Е, запасенной в колебательной системе, к энергии, рассеиваемой за период Ер                                     (16) Можно показать, что добротность                                                           (17)

Описание установки.

          

Работа выполняется на установке, изображенной на рис.2. В качестве колеблющейся системы взят пружинный маятник, представляющий собой вертикально расположенную пружину 1, на которую подвешена платформа 2. Масса платформы m0=(75,0±0,5)г. На платформу 2 можно помещать грузы 3 различной массы. Амплитуда колебаний измеряется по шкале 4.

 Рис.2

Выполнение работы.

Упражнение 1. Проверка формулы периода колебаний пружинного маятника.

   Для маятников с массами m1 и m2 согласно (8) будем иметь

                           и   

откуда следует равенство

                                       (18)

Соотношение (18) и проверяется в данном упражнении. Для более определения периода колебаний измеряют время t , за которое совершается N полных колебаний и используют формулу

   (19)

  1.  Поместить на платформу груз массой m´. Тогда масса маятника m1 = m´+m0, где m0 масса платформы.
  2.  Вывести маятник из положения равновесия на 40-70мм и измерить время, в течении которого совершается 10-15 полных колебаний. Опыт проделать не менее 5 раз. Результаты измерений занести в таблицу и по формуле (19) определить период колебаний.
  3.  Поместить на платформу груз иной массы m и снова выполнить пункт 2.
  4.  Вычислить  и  и проверить справедливость равенства (18).
  5.  По указанию преподавателя пункты 1-4 проделать для другой пары грузов.

Упражнение 2: Определение основных характеристик затухающих колебаний пружинного маятника.

  1.  Положить на платформу несколько грузов и определить период Т колебаний маятника, как указано в упражнении 1.
  2.  Вывести тело из положения равновесия на А0 и определить время t0 за которое амплитуда колебаний уменьшится да значения An (за величину конечной амплитуды An удобно взять значение примерно в 10 раз меньше А0. При отсчете амплитуды колебаний луч зрения должен быть перпендикулярен к плоскости шкалы). Измерения повторить не менее 5 раз. Результаты занести в таблицу (составить самостоятельно).
  3.  По формуле  определить логарифмический декремент затухания.
  4.  Используя формулы (13-17) вычислить коэффициент затухания , время затухания , число колебаний за время затухания Ne и добротность Q системы. Сделать выводы.

Контрольные вопросы.

  1.  Свободные колебания. Физические величины их характеризующие. Графики зависимости амплитуды, скорости и ускорения от времени для свободных гармонических колебаний.
  2.  Затухающие колебания. Физические величины, используемые для описания затухающих колебаний. Их физический смысл.
  3.  Апериодическое движение тел. Условие его возникновения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50452. Создание коллажа из текста и графики, удаление муара 1.08 MB
  В настоящей работе идейной проработки не требуется задача стоит проще: студентам предлагается создать коллаж объединив графические файлы из имеющегося набора и сделав текстовые вставки различного шрифтового начертания. Создайте холст для коллажа в окне File Файл → New Новый установив здесь необходимые параметры. Затем в соответствии с указаниями преподавателя откройте папку Коллаж не в Windows а в Photoshop в списке Тип файлов: поставьте JPEG в окне Вид Эскизы страниц. Откройте файл отсюда надо перенести мяч в наш коллаж.
50453. Дополнительные возможности Adobe Photoshop 109.5 KB
  В этой работе описаны такие опции как создание Gifанимации и работа с векторными контурами. Создание Gifанимации Gifанимация самый простой и исторически первый способ компьютерной анимации она появилась в 1989 году. Суть этого вида анимации в том что формат Gif позволяет помещать в одном файле последовательность отдельных кадров которые можно чередовать на экране через определенное время. Для создания Gifанимации имеется множество программ.
50454. Основные сведения об электрических машинах и аппаратах 1.1 MB
  Обмотка электромагнитного реле контактора магнитного пускателя. обмотка реле тока. обмотка реле напряжения. обмотка статорная обмотка двигателя постоянного тока ДПТ последовательного возбуждения.
50455. Исследование способов пуска асинхронного двигателя 144 KB
  Исследование способов пуска асинхронного двигателя. Цель работы: Исследовать особенности различных способов пуска и использования результатов для практических задач. Пуск асинхронного двигателя является кратковременным до 5 сек. Поэтому снижение токов нагрузки в период пуска при одновременном сохранении механических параметров электродвигателя является крайне желательно особенно для двигателей большей мощности свыше 50 кВТ.
50456. Объектно-ориентированное программирование. Методические указания 298.5 KB
  Возвращаемое значение - объект FormattedString который содержит копию nCount символов, начиная с индекса 0. Возвращаемый объект CString может быть пустым. Параметры nCount - количество символов, подлежащих копированию.
50458. Определение радиуса кривизны линзы с помощью колец Ньютона. Ознакомление с явлением интерференции в тонких прозрачных пластинках 39 KB
  Минимум освещенности темное кольцо 3 Как связаны величины с радиусом линзы R и радиусами колец rk Из рис. видно: Учитывая малость величины R и разлагая в ряд получим: Таким образом оптическая разность хода между двумя интерферирующими лучами равна: 4 Принимая во внимание условие интерференции 3 получим для темных колец Аналогично можно найти и для радиусов светлых колец.
50459. Определение показателя преломления плоско-параллельной пластинки при помощи микроскопа 39.5 KB
  Цель работы: изучение законов геометрической оптики применение закона преломления для определения коэффициента преломления прозрачных объектов. 3 синус угла падения i относится к синусу угла преломления r как скорость света в первой среде относится к скорости света во второй среде Последний закон говорит о том что свет распространяется в различных средах с разной скоростью. Для двух данных сред и для луча данной длины волны отношение скорости света в среде 1 к скорости света в среде 2 или...
50460. Туристский рынок как объект управления. Международные туристские организации 104.5 KB
  Принятие необходимых мер для обеспечения выполнения всех решений и рекомендаций генеральной ассамблеи, а также отчет об этом перед ассамблеей; разработка и представление предложений генеральной ассамблее; рассмотрение общей программы работы организации перед ее направлением на обсуждение генеральной ассамблее;