3464

Изучение свободных колебаний пружинного маятника

Лабораторная работа

Физика

Изучение свободных колебаний пружинного маятника. Цель работы: на примере пружинного маятника изучить основные законы колебательного движения, проверить формулу периода колебаний пружинного маятника, определить основные характеристики его затухающих...

Русский

2012-11-01

177.5 KB

47 чел.

Изучение свободных колебаний пружинного маятника.

Цель работы: на примере пружинного маятника изучить основные законы колебательного движения, проверить формулу периода колебаний пружинного маятника, определить основные характеристики его затухающих колебаний.

Свободные колебания.

   Периодические или почти периодические во времени движения или процессы, протекающие в ограниченной области пространства, называются колебаниями. Колебания широко распространены в природе и технике и играют большую роль в разнообразных явлениях.

   В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

   Колебания в системе, на которую не действуют переменные внешние силы, а возникающие в результате начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия называются свободными. Если в системе отсутствуют диссипативные силы (силы трения), то при колебаниях не происходит потерь энергии. Такие свободные колебания будут незатухающими.

   Рассмотрим основные черты свободных незатухающих колебаний на примере пружинного маятника. В этом случае колебания возникают только под действием сил упругости. Уравнение движения колеблющегося тела (груза на пружине) имеет вид

                          (1)

где m – масса, - мгновенное ускорение, х – смещение тела из положения равновесия в момент времени t, k – жесткость пружины.

   Уравнение (1) можно переписать в иной форме

                                           (2)

   Тогда решение уравнения (2) удобно искать в виде функции

         (3)

   Дважды продифференцировав выражение (3) по времени получаем

         (4)

   Подставив (4) в (2) убеждаемся, что функция (3) будет являться решением уравнения движения (2), если

                          (5)

   Таким образом колебания груза на пружине можно описать функциями

       (6)

или

          (7)

где А0 – амплитуда колебаний, - циклическая частота,  - фаза, I0 и I – начальные фазы колебаний.

   Колебания, совершаемые по закону косинуса или синуса, принято называть гармоническими.

   По известному значению циклической частоты  (5) нетрудно получить формулу для периода свободных колебаний пружинного маятника

       (8)

   В реальных колебательных системах всегда присутствуют силы трения. Их наличие приводит к рассеянию энергии, занесенной в системе и, как следствие, к уменьшению амплитуды колебаний. Такие колебания называют затухающими и не являются гармоническими.

   Рассмотрим затухающие колебания пружинного маятника. Во многих случаях с достаточной степенью точности можно считать, что силы трения пропорциональны скорости движения. Тогда вместо уравнения (1) имеем

            (9)

где  - сила трения,  - коэффициент пропорциональности, постоянный для данной системы.

   Перепишем (9) в иной форме

                      (10)

здесь введены обозначения

               и     (11)

Решение уравнения (10) имеет вид

                                                                (12)

   Выражение (12) описывает затухающие колебания. График затухающих колебаний изображен на рисунке 1. Величину  принимают за амплитуду затухающих колебаний.

   С течением времени она уменьшается по экспоненциальному закону (пунктирные кривые на рис.1). Частота затухающих колебаний  меньше частоты соответствующих свободных колебаний и с течением времени остается неизменной.

Рис.1

   Затухающие колебания не являются периодическими и гармоническими. Однако, для их описания удобно сохранить понятие условного периода , понимая под ним удвоенный  промежуток времени между двумя последовательными прохождениями системой положения равновесия (см. рис.1).

   Для характеристики затухающих колебаний вводят следующие величины:

  1.  Время затухания (релаксации) . Это время, в течении которого амплитуда А уменьшается в е=2.71 раза

   откуда  или   (13)

              Большим значениям соответствует меньшее время           

             затухания . Поэтому  называют коэффициентом

             затухания.

  1.  Логарифмический декремент затухания æ. Это натуральный логарифм отношения двух последующих амплитуд, разделенных промежутком времени равным периоду             (14)
  2.  Число колебаний за время затухания                                                          (15)         Для характеристики колебательной системы вводят понятие добротности. Добротность Q, с точностью до коэффициента 2 равна отношению энергии Е, запасенной в колебательной системе, к энергии, рассеиваемой за период Ер                                     (16) Можно показать, что добротность                                                           (17)

Описание установки.

          

Работа выполняется на установке, изображенной на рис.2. В качестве колеблющейся системы взят пружинный маятник, представляющий собой вертикально расположенную пружину 1, на которую подвешена платформа 2. Масса платформы m0=(75,0±0,5)г. На платформу 2 можно помещать грузы 3 различной массы. Амплитуда колебаний измеряется по шкале 4.

 Рис.2

Выполнение работы.

Упражнение 1. Проверка формулы периода колебаний пружинного маятника.

   Для маятников с массами m1 и m2 согласно (8) будем иметь

                           и   

откуда следует равенство

                                       (18)

Соотношение (18) и проверяется в данном упражнении. Для более определения периода колебаний измеряют время t , за которое совершается N полных колебаний и используют формулу

   (19)

  1.  Поместить на платформу груз массой m´. Тогда масса маятника m1 = m´+m0, где m0 масса платформы.
  2.  Вывести маятник из положения равновесия на 40-70мм и измерить время, в течении которого совершается 10-15 полных колебаний. Опыт проделать не менее 5 раз. Результаты измерений занести в таблицу и по формуле (19) определить период колебаний.
  3.  Поместить на платформу груз иной массы m и снова выполнить пункт 2.
  4.  Вычислить  и  и проверить справедливость равенства (18).
  5.  По указанию преподавателя пункты 1-4 проделать для другой пары грузов.

Упражнение 2: Определение основных характеристик затухающих колебаний пружинного маятника.

  1.  Положить на платформу несколько грузов и определить период Т колебаний маятника, как указано в упражнении 1.
  2.  Вывести тело из положения равновесия на А0 и определить время t0 за которое амплитуда колебаний уменьшится да значения An (за величину конечной амплитуды An удобно взять значение примерно в 10 раз меньше А0. При отсчете амплитуды колебаний луч зрения должен быть перпендикулярен к плоскости шкалы). Измерения повторить не менее 5 раз. Результаты занести в таблицу (составить самостоятельно).
  3.  По формуле  определить логарифмический декремент затухания.
  4.  Используя формулы (13-17) вычислить коэффициент затухания , время затухания , число колебаний за время затухания Ne и добротность Q системы. Сделать выводы.

Контрольные вопросы.

  1.  Свободные колебания. Физические величины их характеризующие. Графики зависимости амплитуды, скорости и ускорения от времени для свободных гармонических колебаний.
  2.  Затухающие колебания. Физические величины, используемые для описания затухающих колебаний. Их физический смысл.
  3.  Апериодическое движение тел. Условие его возникновения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39971. Разработка организации технического обслуживания и ремонта МТП в ЦРМ хозяйства с годовым объемом работ 56000 часов 205.66 KB
  В курсовом проекте рассчитана центральная ремонтная мастерская хозяйства обоснован технологический процесс технического обслуживания и ремонта машинного парка в ЦРМ хозяйства с годовым объемом работ 56000 часов разработан компоновочный план ЦРМ технологическая планировка участка ТО и диагностики разработан генеральный план РОБ хозяйства спроектирован технологический процесс восстановления оси произведена техникоэкономическая оценка ЦРМ. Распределение годового объема работ по объектам ремонта 1. Технологический процесс ТО и ремонта...
39972. Процесс деятельности предприятия, в области управления персоналом, отраженный на диаграммах нотации IDEF0 692.17 KB
  В рамках деятельности по управлению персоналом возникает закономерная потребность оценки состояния человеческого ресурса. Соответственно основной целью является не только проведение процедуры оценки но и процесс использования результатов. В рамках данной темы планируется рассмотреть в теоретической части: привязка процесса оценки к конкретной категории персонала или подразделению организации; установление взаимосвязи деловой оценки с другими направлениями деятельности службы управления персоналом: обучением управлением карьерой...
39973. Классификация причин уязвимости Windows NT 36.89 KB
  Классификация пользователей Unix Суперпользователь Обычные пользователи Специальные пользователи Псевдопользователи Классификация пользователей Windows Администраторы Обычные пользователи Специальные пользователи Псевдопользователи Анонимный пользователь Уязвимости Unix Наличие демонов Механизм SUID SGIDпроцессов Излишнее доверие Человеческий фактор Уязвимости Windows Серверы Системные процессы Анонимный пользователь Человеческий фактор Совместимость с другими ОС Классификация причин уязвимости Windows...
39976. Сравнение средств разграничения доступа к файлам в Unix и Windows 194.26 KB
  Они включают в себя начальную интерактивную процедуру отображающую начальный диалог с пользователем на экране и удаленные процедуры входа которые позволяют удаленным пользователям получить доступ с рабочей станции сети к серверным процессам Windows. Угрозы безопасности в сети Интернет: анализ сетевого трафика и шторм ложных TCPзапросов 4. Анализ сетевого трафика сети Internet В сети Internet основными базовыми протоколами удаленного доступа являются TELNET и FTP File Trnsfer Protocol. Особенностью протоколов FTP и TELNET является то что...
39977. Различия между семействами операционных систем Windows для рабочих станций 200.82 KB
  Различия между семействами операционных систем Windows для рабочих станций Рабочая станция Рабо́чая ста́нция англ. Microsoft Windows Все версии традиционно делятся на 4 группы: 16ти разрядные расширения MSDOS – 1.0 windows 2.11 с 1986 по 1997 Windows9x с остатками MSDOS – win95 98 ME с 1995 по 2003 WindowsNT современная линейка для ПК – NT3.
39978. Методы увеличения вычислительной производительности 92.37 KB
  Однако процесс обработки команд и данных нельзя нашинковать в произвольных местах на любое число кусков хотя авторы последних модификаций Pentium 4 сделали такую попытку получив в результате очень горячий и высокочастотный но умеренно производительный процессор. При возникновении в программе любого ветвления что по статистике происходит каждые 710 команд специальная схема предсказатель переходов первая стадия конвейера должна за 1 такт сообразить сработает ли этот переход и если да то куда при том что данные для...
39979. Сервер (аппаратное обеспечение) 56.21 KB
  Консоль обычно монитор клавиатура мышь и участие человека необходимы серверам только на стадии первичной настройки при аппаратнотехническом обслуживании и управлении в нештатных ситуациях штатно большинство серверов управляются удаленно. Надёжность Серверное оборудование зачастую предназначено для обеспечения работы сервисов в режиме 24 7 поэтому часто комплектуется дублирующими элементами позволяющими обеспечить пять девяток 99999 ; время недоступности сервера или простой системы составляет менее 6 минут в год. Повышение...