3464

Изучение свободных колебаний пружинного маятника

Лабораторная работа

Физика

Изучение свободных колебаний пружинного маятника. Цель работы: на примере пружинного маятника изучить основные законы колебательного движения, проверить формулу периода колебаний пружинного маятника, определить основные характеристики его затухающих...

Русский

2012-11-01

177.5 KB

53 чел.

Изучение свободных колебаний пружинного маятника.

Цель работы: на примере пружинного маятника изучить основные законы колебательного движения, проверить формулу периода колебаний пружинного маятника, определить основные характеристики его затухающих колебаний.

Свободные колебания.

   Периодические или почти периодические во времени движения или процессы, протекающие в ограниченной области пространства, называются колебаниями. Колебания широко распространены в природе и технике и играют большую роль в разнообразных явлениях.

   В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

   Колебания в системе, на которую не действуют переменные внешние силы, а возникающие в результате начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия называются свободными. Если в системе отсутствуют диссипативные силы (силы трения), то при колебаниях не происходит потерь энергии. Такие свободные колебания будут незатухающими.

   Рассмотрим основные черты свободных незатухающих колебаний на примере пружинного маятника. В этом случае колебания возникают только под действием сил упругости. Уравнение движения колеблющегося тела (груза на пружине) имеет вид

                          (1)

где m – масса, - мгновенное ускорение, х – смещение тела из положения равновесия в момент времени t, k – жесткость пружины.

   Уравнение (1) можно переписать в иной форме

                                           (2)

   Тогда решение уравнения (2) удобно искать в виде функции

         (3)

   Дважды продифференцировав выражение (3) по времени получаем

         (4)

   Подставив (4) в (2) убеждаемся, что функция (3) будет являться решением уравнения движения (2), если

                          (5)

   Таким образом колебания груза на пружине можно описать функциями

       (6)

или

          (7)

где А0 – амплитуда колебаний, - циклическая частота,  - фаза, I0 и I – начальные фазы колебаний.

   Колебания, совершаемые по закону косинуса или синуса, принято называть гармоническими.

   По известному значению циклической частоты  (5) нетрудно получить формулу для периода свободных колебаний пружинного маятника

       (8)

   В реальных колебательных системах всегда присутствуют силы трения. Их наличие приводит к рассеянию энергии, занесенной в системе и, как следствие, к уменьшению амплитуды колебаний. Такие колебания называют затухающими и не являются гармоническими.

   Рассмотрим затухающие колебания пружинного маятника. Во многих случаях с достаточной степенью точности можно считать, что силы трения пропорциональны скорости движения. Тогда вместо уравнения (1) имеем

            (9)

где  - сила трения,  - коэффициент пропорциональности, постоянный для данной системы.

   Перепишем (9) в иной форме

                      (10)

здесь введены обозначения

               и     (11)

Решение уравнения (10) имеет вид

                                                                (12)

   Выражение (12) описывает затухающие колебания. График затухающих колебаний изображен на рисунке 1. Величину  принимают за амплитуду затухающих колебаний.

   С течением времени она уменьшается по экспоненциальному закону (пунктирные кривые на рис.1). Частота затухающих колебаний  меньше частоты соответствующих свободных колебаний и с течением времени остается неизменной.

Рис.1

   Затухающие колебания не являются периодическими и гармоническими. Однако, для их описания удобно сохранить понятие условного периода , понимая под ним удвоенный  промежуток времени между двумя последовательными прохождениями системой положения равновесия (см. рис.1).

   Для характеристики затухающих колебаний вводят следующие величины:

  1.  Время затухания (релаксации) . Это время, в течении которого амплитуда А уменьшается в е=2.71 раза

   откуда  или   (13)

              Большим значениям соответствует меньшее время           

             затухания . Поэтому  называют коэффициентом

             затухания.

  1.  Логарифмический декремент затухания æ. Это натуральный логарифм отношения двух последующих амплитуд, разделенных промежутком времени равным периоду             (14)
  2.  Число колебаний за время затухания                                                          (15)         Для характеристики колебательной системы вводят понятие добротности. Добротность Q, с точностью до коэффициента 2 равна отношению энергии Е, запасенной в колебательной системе, к энергии, рассеиваемой за период Ер                                     (16) Можно показать, что добротность                                                           (17)

Описание установки.

          

Работа выполняется на установке, изображенной на рис.2. В качестве колеблющейся системы взят пружинный маятник, представляющий собой вертикально расположенную пружину 1, на которую подвешена платформа 2. Масса платформы m0=(75,0±0,5)г. На платформу 2 можно помещать грузы 3 различной массы. Амплитуда колебаний измеряется по шкале 4.

 Рис.2

Выполнение работы.

Упражнение 1. Проверка формулы периода колебаний пружинного маятника.

   Для маятников с массами m1 и m2 согласно (8) будем иметь

                           и   

откуда следует равенство

                                       (18)

Соотношение (18) и проверяется в данном упражнении. Для более определения периода колебаний измеряют время t , за которое совершается N полных колебаний и используют формулу

   (19)

  1.  Поместить на платформу груз массой m´. Тогда масса маятника m1 = m´+m0, где m0 масса платформы.
  2.  Вывести маятник из положения равновесия на 40-70мм и измерить время, в течении которого совершается 10-15 полных колебаний. Опыт проделать не менее 5 раз. Результаты измерений занести в таблицу и по формуле (19) определить период колебаний.
  3.  Поместить на платформу груз иной массы m и снова выполнить пункт 2.
  4.  Вычислить  и  и проверить справедливость равенства (18).
  5.  По указанию преподавателя пункты 1-4 проделать для другой пары грузов.

Упражнение 2: Определение основных характеристик затухающих колебаний пружинного маятника.

  1.  Положить на платформу несколько грузов и определить период Т колебаний маятника, как указано в упражнении 1.
  2.  Вывести тело из положения равновесия на А0 и определить время t0 за которое амплитуда колебаний уменьшится да значения An (за величину конечной амплитуды An удобно взять значение примерно в 10 раз меньше А0. При отсчете амплитуды колебаний луч зрения должен быть перпендикулярен к плоскости шкалы). Измерения повторить не менее 5 раз. Результаты занести в таблицу (составить самостоятельно).
  3.  По формуле  определить логарифмический декремент затухания.
  4.  Используя формулы (13-17) вычислить коэффициент затухания , время затухания , число колебаний за время затухания Ne и добротность Q системы. Сделать выводы.

Контрольные вопросы.

  1.  Свободные колебания. Физические величины их характеризующие. Графики зависимости амплитуды, скорости и ускорения от времени для свободных гармонических колебаний.
  2.  Затухающие колебания. Физические величины, используемые для описания затухающих колебаний. Их физический смысл.
  3.  Апериодическое движение тел. Условие его возникновения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76795. Сердце — развитие, строение, топография 182.81 KB
  После срастания перегородок образуется вторичное межпредсердное отверстие овальное так как прорывается краниальная часть перегородки. Левое отверстие и митральный двухстворчатый клапан лежат на уровне IIIго реберного хряща правое и трехстворчатый клапан над IVм хрящом у грудины. Аортальное отверстие и его полулунные клапаны находятся кзади от левого края грудины на уровне IIIго межреберья; отверстие легочного ствола с полулунными клапанами над IIIим правым реберным хрящом у правого края грудины. Правое предсердие атриум декстер...
76796. Строение миокарда 183.83 KB
  Проводящая система сердца. В предсердиях и желудочках образуется разное количество слоев с неодинаковым расположением и направлением мышечных волокон сократительных кардиомиоцитов которые начинаются от мягкого соединительнотканного скелета сердца. В сократительном миокарде желудочков различаются: общий поверхностный слой с косо ориентированными волокнами начинающимися от фиброзных колец и уходящими в верхушку сердца где они образуют завиток вортекс и плавно переходят во внутренний слой; средний слой из круговых волокон являющийся...
76797. Сосуды и нервы сердца 180.54 KB
  Они венцом окружают основание сердца отчего нередко называются венечными. Левая венечная артерия проходит между началом легочного ствола и левым ушком и передней межжелудочковой ветвью спускается к верхушке сердца а огибающей ветвью по венечной борозде и задней поверхности. Наиболее выраженные и постоянные анастомозы находятся: в верхней части передней стенки правого желудочка; в передней стенке левого желудочка по левому краю; в верхушке сердца задней межжелудочковой борозде и межжелудочковой перегородке; в стенках предсердий.
76798. Сосуды большого круга 180.76 KB
  Аорта на всем протяжении делится на париетальные и висцеральные ветви и заканчивается бифуркацией на общие подвздошные артерии на уровне IVVго поясничных позвонков. Из ее париетальных и висцеральных ветвей возникают экстра и интраорганные артерии которые подходят к органам как правило с медиальной стороны используя кратчайшие пути. В части паренхиматозных органов: легких печени селезенке почке артерии разветвляются в соответствии с делением на доли сектора сегменты и более мелкие части вплоть до структурнофункциональных единиц ...
76799. Бедренный канал 180.44 KB
  Глубокое кольцо бедренного канала находится в медиальной части сосудистой лакуны под паховой связкой и ограничено: сверху паховой связкой у места прикрепления ее к лобковому бугорку и симфизу; снизу лобковым гребнем и покрывающей его гребенчатой связкой; медиально лакунарной связкой заполняющей внутренний угол сосудистой лакуны; латерально стенкой бедренной вены. В практике хорошо прощупываемая паховая связка выступает как важный клиникоанатомический ориентир позволяющий отличить бедренную грыжу от паховой так как бедренный...
76800. Медиальные и задние мышцы и фасции бедра 180.94 KB
  Медиальная бедренная мышечная группа Хорошо развита в связи с прямохождением и выполняет приведение бедра потому в основном укомплектована приводящими мышцами. Длинная приводящая мышца начинается толстым сухожилием от лобковой кости между гребнем и симфизом. Мышца лежит погранично с медиальной широкой из четырехглавой мышцы бедра. Короткая приводящая мышца с началом от тела и нижней ветви лобковой кости прикреплением к верхнему участку тернистой линии бедренной кости; приводит и сгибает бедро.
76801. Мышцы и фасции голени и стопы 190.57 KB
  Передняя мышечная группа голени Передняя большеберцовая мышца с началом от латерального мыщелка верхнелатеральной поверхности диафиза большеберцовой кости и межкостной мембраны. Мышца в голеностопном суставе разгибает и поворачивает стопу кнаружи поднимает ее медиальный край укрепляет продольный свод его пружинящую часть. От нижней части мышечного брюшка отходит в виде небольшого пучка третья малоберцовая мышца прикрепляющаяся к основанию Y плюсневой кости. Латеральная мышечная группа голени Длинная малоберцовая мышца начинается от...
76802. Развитие пищеварительной системы 184.66 KB
  Они расположены на боковых стенках головной кишки соответственно на уровне формирующейся глоточной камеры поэтому данную часть кишки называют глоточной. Передний отдел ротовой полости возникает из эктодермальных зачатков задний глубокий развивается из энтодермы глоточной кишки. Глотка развивается из краниального отдела первичной кишки путем превращения основной глоточной камеры зародыша в глотку растущего плода при отделении от нее глоточных висцеральных карманов.
76803. Полость рта 192.32 KB
  Через зев полость рта переходит в глотку. Мощная круговая мышца рта вместе с конечными частями мимических мышц смеха поднимающих и опускающих губы и угол рта все мышечные волокна вплетаются в кожу губ. Уздечки губ срединная и боковые это индивидуально выраженные складки слизистой оболочки короткие средние длинные расположенные в преддверии рта между резцовыми участками слизистой оболочки губ и деснами.