3464

Изучение свободных колебаний пружинного маятника

Лабораторная работа

Физика

Изучение свободных колебаний пружинного маятника. Цель работы: на примере пружинного маятника изучить основные законы колебательного движения, проверить формулу периода колебаний пружинного маятника, определить основные характеристики его затухающих...

Русский

2012-11-01

177.5 KB

51 чел.

Изучение свободных колебаний пружинного маятника.

Цель работы: на примере пружинного маятника изучить основные законы колебательного движения, проверить формулу периода колебаний пружинного маятника, определить основные характеристики его затухающих колебаний.

Свободные колебания.

   Периодические или почти периодические во времени движения или процессы, протекающие в ограниченной области пространства, называются колебаниями. Колебания широко распространены в природе и технике и играют большую роль в разнообразных явлениях.

   В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

   Колебания в системе, на которую не действуют переменные внешние силы, а возникающие в результате начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия называются свободными. Если в системе отсутствуют диссипативные силы (силы трения), то при колебаниях не происходит потерь энергии. Такие свободные колебания будут незатухающими.

   Рассмотрим основные черты свободных незатухающих колебаний на примере пружинного маятника. В этом случае колебания возникают только под действием сил упругости. Уравнение движения колеблющегося тела (груза на пружине) имеет вид

                          (1)

где m – масса, - мгновенное ускорение, х – смещение тела из положения равновесия в момент времени t, k – жесткость пружины.

   Уравнение (1) можно переписать в иной форме

                                           (2)

   Тогда решение уравнения (2) удобно искать в виде функции

         (3)

   Дважды продифференцировав выражение (3) по времени получаем

         (4)

   Подставив (4) в (2) убеждаемся, что функция (3) будет являться решением уравнения движения (2), если

                          (5)

   Таким образом колебания груза на пружине можно описать функциями

       (6)

или

          (7)

где А0 – амплитуда колебаний, - циклическая частота,  - фаза, I0 и I – начальные фазы колебаний.

   Колебания, совершаемые по закону косинуса или синуса, принято называть гармоническими.

   По известному значению циклической частоты  (5) нетрудно получить формулу для периода свободных колебаний пружинного маятника

       (8)

   В реальных колебательных системах всегда присутствуют силы трения. Их наличие приводит к рассеянию энергии, занесенной в системе и, как следствие, к уменьшению амплитуды колебаний. Такие колебания называют затухающими и не являются гармоническими.

   Рассмотрим затухающие колебания пружинного маятника. Во многих случаях с достаточной степенью точности можно считать, что силы трения пропорциональны скорости движения. Тогда вместо уравнения (1) имеем

            (9)

где  - сила трения,  - коэффициент пропорциональности, постоянный для данной системы.

   Перепишем (9) в иной форме

                      (10)

здесь введены обозначения

               и     (11)

Решение уравнения (10) имеет вид

                                                                (12)

   Выражение (12) описывает затухающие колебания. График затухающих колебаний изображен на рисунке 1. Величину  принимают за амплитуду затухающих колебаний.

   С течением времени она уменьшается по экспоненциальному закону (пунктирные кривые на рис.1). Частота затухающих колебаний  меньше частоты соответствующих свободных колебаний и с течением времени остается неизменной.

Рис.1

   Затухающие колебания не являются периодическими и гармоническими. Однако, для их описания удобно сохранить понятие условного периода , понимая под ним удвоенный  промежуток времени между двумя последовательными прохождениями системой положения равновесия (см. рис.1).

   Для характеристики затухающих колебаний вводят следующие величины:

  1.  Время затухания (релаксации) . Это время, в течении которого амплитуда А уменьшается в е=2.71 раза

   откуда  или   (13)

              Большим значениям соответствует меньшее время           

             затухания . Поэтому  называют коэффициентом

             затухания.

  1.  Логарифмический декремент затухания æ. Это натуральный логарифм отношения двух последующих амплитуд, разделенных промежутком времени равным периоду             (14)
  2.  Число колебаний за время затухания                                                          (15)         Для характеристики колебательной системы вводят понятие добротности. Добротность Q, с точностью до коэффициента 2 равна отношению энергии Е, запасенной в колебательной системе, к энергии, рассеиваемой за период Ер                                     (16) Можно показать, что добротность                                                           (17)

Описание установки.

          

Работа выполняется на установке, изображенной на рис.2. В качестве колеблющейся системы взят пружинный маятник, представляющий собой вертикально расположенную пружину 1, на которую подвешена платформа 2. Масса платформы m0=(75,0±0,5)г. На платформу 2 можно помещать грузы 3 различной массы. Амплитуда колебаний измеряется по шкале 4.

 Рис.2

Выполнение работы.

Упражнение 1. Проверка формулы периода колебаний пружинного маятника.

   Для маятников с массами m1 и m2 согласно (8) будем иметь

                           и   

откуда следует равенство

                                       (18)

Соотношение (18) и проверяется в данном упражнении. Для более определения периода колебаний измеряют время t , за которое совершается N полных колебаний и используют формулу

   (19)

  1.  Поместить на платформу груз массой m´. Тогда масса маятника m1 = m´+m0, где m0 масса платформы.
  2.  Вывести маятник из положения равновесия на 40-70мм и измерить время, в течении которого совершается 10-15 полных колебаний. Опыт проделать не менее 5 раз. Результаты измерений занести в таблицу и по формуле (19) определить период колебаний.
  3.  Поместить на платформу груз иной массы m и снова выполнить пункт 2.
  4.  Вычислить  и  и проверить справедливость равенства (18).
  5.  По указанию преподавателя пункты 1-4 проделать для другой пары грузов.

Упражнение 2: Определение основных характеристик затухающих колебаний пружинного маятника.

  1.  Положить на платформу несколько грузов и определить период Т колебаний маятника, как указано в упражнении 1.
  2.  Вывести тело из положения равновесия на А0 и определить время t0 за которое амплитуда колебаний уменьшится да значения An (за величину конечной амплитуды An удобно взять значение примерно в 10 раз меньше А0. При отсчете амплитуды колебаний луч зрения должен быть перпендикулярен к плоскости шкалы). Измерения повторить не менее 5 раз. Результаты занести в таблицу (составить самостоятельно).
  3.  По формуле  определить логарифмический декремент затухания.
  4.  Используя формулы (13-17) вычислить коэффициент затухания , время затухания , число колебаний за время затухания Ne и добротность Q системы. Сделать выводы.

Контрольные вопросы.

  1.  Свободные колебания. Физические величины их характеризующие. Графики зависимости амплитуды, скорости и ускорения от времени для свободных гармонических колебаний.
  2.  Затухающие колебания. Физические величины, используемые для описания затухающих колебаний. Их физический смысл.
  3.  Апериодическое движение тел. Условие его возникновения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25836. Сплавы цветных металлов, обрабатываемые давлением 319.5 KB
  К цветным металлам и сплавам относятся практически все металлы и сплавы, за исключением железа и его сплавов, образующих группу чёрных металлов. Цветные металлы встречаются реже, чем железо и часто их добыча стоит значительно дороже, чем добыча железа. Однако цветные металлы часто обладают такими свойствами, какие у железа не обнаруживаются, и это оправдывает их применение.
25837. Аудит операций на расчетном, валютном и других счетах банка 37.5 KB
  Целью аудиторской проверки операций по расчетному валютному и других счетам в банке является формирование мнения о достоверности бухгалтерской отчетности по разделу Денежные средства и соответствии применяемой методики учета денежных средств на счетах в банке действующим в Российской Федерации нормативным документам. Аудитор при проверке операций по счетам в банке должен учитывать основные нормативные документы регулирующие порядок проведения операций на расчетном валютном и других счетах в банках и бухгалтерский учет этих операций....
25838. Аудит прочих доходов и расходов 58.5 KB
  Целью аудиторской проверки прочих доходов и расходов является формирование мнения о правильности учета прочих доходов и расходов. Задача аудиторской проверки прочих доходов и расходов состоит из следующих вопросов на которые должен ответить аудитор: Бухгалтерский учет прочих доходов и расходов соответствует положениям нормативных актов Данные аналитического и синтетического учета по счету 91 Прочие доходы и расходы соответствуют данным главной книги и баланса Корреспонденция счетов по счету 91 Прочие доходы и расходы составлена в...
25839. Учет расчетов по авансам выданным и полученным 36.5 KB
  Согласно положениям Плана счетов Инструкции по применению Плана счетов бухгалтерский учет сумм полученных и или выданных авансов организуется на балансовых счетах связанных с расчетами за отгруженную продукцию выполненные работы оказанные услуги. Для учета сумм авансовых платежей предварительной оплаты к балансовым счетам открываются обособленные субсчета учета. В частности суммы выданных поставщикам и подрядчикам авансов учитываются обособленно на балансовом счете 60 Расчеты с поставщиками и подрядчиками суммы полученных...
25840. Аудит расчетов по авансам выданным 27.5 KB
  Так например выдавая авансы поставщику предприятие изымает из оборота денежные средства до момента поступления ТМЦ выполнения работ оказания услуг также возрастает вероятность непоступления данных ценностей на предприятие вопреки договору поставки. На счете 61 €œРасчеты по авансам выданным€ обобщается информация о расчетах по выданным авансам под поставку продукции либо под выполнение работ а также по оплате продукции и работ принятых от заказчиков по частичной готовности. Суммы выданных авансов а также произведенной оплаты и работ...
25841. Аудит расчетов по претензиям 30 KB
  Можно выделить несколько видов претензий: при выявлении ошибок в счетах поставщиков неправильно указаны тарифы и цены арифметические ошибки и др. Аудитору необходимо проверить: обоснованность своевременность и правильность оформления документов несоблюдение сроков предъявления претензий может быть использовано для сокрытия фактов хищения материальных ценностей так как при отказе в удовлетворении претензий числящиеся суммы списываются на издержки производства; обоснованность претензий предъявляемых к проверяемому предприятию в случае...
25842. Аудит расчетов по совместной деятельности 32.5 KB
  Внесенное товарищами имущество а также произведенная в результате совместной деятельности продукция и полученные от такой деятельности плоды признаются как правило их общей долевой собственностью. Прибыль полученная товарищами в результате их совместной деятельности распределяется пропорционально стоимости вкладов в общее дело если иное не предусмотрено договором или другим соглашением товарищей. Исходя из описанного подхода к организации деятельности простого товарищества в новом Плане счетов поиному решена схема учета операций...
25843. Структура и свойства сталей и чугунов 74 KB
  В углеродистых сталях углерод является основным элементом, определяющим структуру и свойства стали. С увеличением содержания углерода в стали возрастают твердость и предел прочности (НВ, ств), уменьшаются относительное удлинение, относительное сужение и ударная вязкость.
25844. Аудит расчетов с зависимыми (дочерними) обществами 29 KB
  ; организован ли бухгалтерский учет совместной деятельности у одного из участников по доверенности сторон раздельно от его собственного учета раздельный учет раздельный баланс; правильность отражения в учете операций по совместной деятельности; правильность отражения в учете разницы между договорной и балансовой стоимостью имущества переданного в совместную деятельность; правильность распределения прибыли и начислений а также уплаты налогов по результатам совместной деятельности. Проверяя учет внутрихозяйственных расчетов счет 79...