3465

Изучение статистических закономерностей и методов обработки результатов эксперимента

Лабораторная работа

Физика

Изучение статистических закономерностей и методов обработки результатов эксперимента Моделирование нормального распределения случайной величины на примере измерения сопротивлений резисторов. Освоение методики статистической обработки результатов пря...

Русский

2012-11-01

158.5 KB

68 чел.

Изучение статистических закономерностей и методов обработки результатов эксперимента

Моделирование нормального распределения случайной величины на примере измерения сопротивлений резисторов. Освоение методики статистической обработки результатов прямых измерений случайной величины. Получение навыков составления статистических рядов и оценки достоверности результатов измерений.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

В данной работе продолжается рассмотрение случайных величин. Случайной величиной здесь является результат измерения сопротивления  одного из резисторов. Несмотря на то, что на маркировке резисторов указано одинаковое значение сопротивления (номинал), фактические сопротивления отличаются от указанного номинала.

Представим себе, что мы производим измерения сопротивления резисторов одного номинала, причем число таких измерений (т.е. число обмеренных резисторов) велико и равно . Обозначим результат одного измерения через ().

Очевидно, что все результаты измерений заключены в пределах интервала от наименьшего значения  до наибольшего :

   (3.1.1)

Разобъем этот интервал на  равных интервалов , .

Пусть при измерeнии сопротивлений определенное количество  результатов попали в интервал . Это будем считать событием. Поскольку количество опытов ограничено, то можем определить статистическую вероятность  такового события, пользуясь формулой (3.1.2):

    (3.1.2)

Иными словами,  представляет собой частоту попадания измеряемой величины  в интервал значений . Предполагается, что при возрастании числа измерений  величина  стремится к определенному пределу. Мы будем считать, что значение  существенно не изменится, если число измерений  удвоится или утроится.

Из определения вероятности следует, что вероятность принятия измеряемой величиной  какого–либо значения равна 1, поэтому сумма всех вероятностей:

    (3.1.3)

Говорят, что вероятность нормирована на единицу.

Среднее значение измеряемой величины  определим как:

 (3.1.4)

Выделим внутри суммы  слагаемые, попадающие в интервал , и найдем их сумму, которую обозначим . Пусть число слагаемых в этой сумме есть , тогда, используя определение (3.1.4) можно записать:

   (3.1.5)

где – среднее значение величины на интервале .

Таким образом, выражение (3.1.4) приобретает вид:

.   (3.1.6)

Если взять величину интервала  достаточно малой, то средним значением  на интервале можно считать середину интервала:

.    (3.1.7)

Равенство (3.1.6) выполняется тем точнее, чем меньше интервал.

Разброс значений случайной величины  около среднего значения  характеризуется величиной, называемой дисперсией . Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонения случайной величины  от её среднего значения :

.  (3.1.8)

Квадратный корень из этой величины называется средним квадратичным отклонением :

.     (3.1.9)

Измеряемая нами случайная величина  может принимать любое значение из интервала , причем заранее нельзя просчитать ее возможные значения. Такую случайную величину называют непрерывной.

Непрерывная случайная величина  определяется заданием интервала , содержащего все возможные значения этой величины, и функции , которая называется плотностью вероятностей случайной величины  (или плотностью распределения ).

Физический смысл  следующий. Пусть – произвольный интервал, содержащийся в . Тогда вероятность того, что  окажется в интервале , равна интегралу:

.        (3.1.10)

Плотность вероятностей  должна удовлетворять двум условиям, вытекающим из ее свойств:

1.

2.              (3.1.11)

Нормальной, или гауссовой случайной величиной называется случайная величина, определенная на всей оси  и имеющая плотность вероятностей (получено на основе формулы (1.26)):

,        (3.1.12)

где – среднее значение, или математическое ожидание случайной величины,   дисперсия,  среднеквадратичная ошибка, или стандартное отклонение.

На рис.3.1.1 представлены две нормальные плотности, соответствующие одному среднему  и двум различным стандартным отклонениям  и .

График нормальной плотности симметричен относительно . Это означает равновероятность отклонения результатов как вправо, так и влево относительно среднего значения. График достигает максимума при , т.е. наиболее вероятным является среднее значение . Малые отклонения от среднего более вероятны, чем большие.

Нормальные случайные величины очень часто встречаются при исследовании самых различных по своей природе вопросов. Например, ошибка измерения, как правило, представляет собой нормальную случайную величину.

Нетрудно вычислить, что для нормального распределения всегда выполняется следующее равенство:

.        (3.1.13)

Вероятность 0,997 настолько близка к единице, что иногда выражение (3.1.13) интерпретируют так. При одном испытании практически невозможно получить значение случайной величины , отличающееся от  более, чем на  – правило “трех сигм”. Другими словами, практически все достоверные результаты помещаются в интервале  от среднего значения (математического ожидания). Если полученный результат не находится в указанном интервале , то, вероятнее всего, такой результат является промахом и в дальнейших расчетах не учитыватся.

Результаты измерений сопротивлений резисторов можно представить графически. Для этого разобьем интервал возможных значений  на  равных малых конечных интервалов . В прямоугольной системе координат составим диаграмму по следующему принципу: на оси абцисс отметим точки  и построим прямоугольники с основанием, равным длине интервала  и высотой, равной числу результатов , попадающих в этот интервал. Такая диаграмма называется гистограммой. Она имеет вид ступенчатой фигуры, пример гистограммы приведен на рис. 3.1.2.

Очевидно, что высота отдельного прямоугольника из гистограммы пропорциональна вероятности обнаружить резистор из числа измеренных, сопротивление которого попадает в интервал значений .

Если увеличить число измерений  и уменьшить ширину интервала , равную , то огибающая гистограммы перейдет в плавную линию.Эта линия является графиком некоторой функции , что также показано на рис.3.1.2.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ

В данной лабораторной работе осуществляется расчет функции распределения случайной величины (сопротивления резистора) в предположении, что это распределение является нормальным, или гауссовым. Технология изготовления резисторов в большую или меньшую сторону от среднего значения равновероятны, и малые отклонения более вероятны, чем большие.

Это позволяет считать, что сопротивления резисторов одинакового номинала, взятых из одной партии, распределены по нормальному закону.

Для измерения сопротивлений используется стандартный цифровой прибор с малой погрешностью измерений. Подключение различных сопротивлений производится с помощью соответствующих переключателей на передней панели блока (магазина) резисторов.

Работа выполняется бригадами студентов на установках двух типов.

Установка С11

На установке располагается три переключателя сопротивлений. Первый переключатель (крайний слева) при переводе в положение 1,2,…,16 поочередно коммутирует резисторы №№ 1–16 с цифровым прибором, работающим в режиме омметра. После определения сопротивления этих резисторов первый переключатель устанавливается в положение “переход”. При этом в процессе измерений включается точно такой же второй переключатель и определяются сопротивления резисторов №№ 1732 и т.д. Всего производится измерение 49 резисторов.

Установка С12

Установка позволяет работать с сопротивлениями двух номиналов. На передней панели установлено по два магазина переключателей для каждого номинала, всего четыре. Магазины №№ 1 и 2 содержат резисторы номиналом в 500 Ом; магазины №№ 3 и 4 содержат резисторы номиналом в 1000 Ом. Каждый магазин состоит из пяти переключателей. Каждый переключатель можно установить в десять позиций, из которых только девять позиций подключают сопротивления к измерительному прибору, а одна позиция (нулевая) отключает переключатель. Сначала выбирается номинал измеряемых сопротивлений (отдельный тумблер на передней панели). Затем все переключатели данного номинала устанавливаются в нулевое положение. После этого, самый левый переключатель устанавливается в положение 1, снимается показание цифрового прибора и так далее до положения 9. Затем переключатель устанавливается в нулевое положение, работа продолжается на следующем переключателе и т.д. Всего производится измерения 90 резисторов.

После окончания эксперимента необходимо выключить стенд.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Включить измерительный прибор. При работе на установке  С32 выбрать номинал сопротивлений (500 или 1000 Ом).

2. Провести измерение сопротивлений  резисторов ( для установки С31 и  для установки С32), и результаты измерений  занести в таблицу 1а (для установки С32) или 1б (для установки С32).

Таблица 1а

Результаты измерений

переключателя

П о л о ж е н и е

1

2

3

4

5

16

1

2

3

Таблица 1б

Результаты измерений

переключателя

П о л о ж е н и е

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

10

3. Составить статистический ряд по следующей схеме:

– определить максимальное и минимальное значения среди полученных результатов и разбить диапазон принимаемых значений на  одинаковых интервалов с границами , ().

– подсчитать число  значений сопротивлений, попавших в интервал.

– вычислить частоту попаданий результатов в интервал с номером  в общем числе измерений, используя формулу (3.1.2).

4. Рассчитать среднее значение  для каждого интервала по формуле: .

5. Используя выражение (3.1.6) по полученным выше результатам, вычислить среднее значение  (или математическое ожидание случайной величины).

6. По формулам (3.1.8) и (3.1.9) определить дисперсию , среднее квадратичное отклонение  и величину .

7. Результаты вычислений пп. 3–6 занести в таблицу 2.

8. Вычислить границы интервала . Определить значения сопротивлений, не попадающие в этот интервал.

9. Аккуратно зачеркнуть значения сопротивлений, выпадающих из интервала , в таблице 1.

10. Выполнить п.п.37 без учета вычеркнутых значений. Результаты занести в таблицу 3, построенную аналогично таблице 2.

8. Используя вычисленные величины  и , рассчитать значения  для средних значений  малых интервалов . Результаты занести в таблицу 3.

9. По полученным расчетным данным построить гистограмму и график функции .

10. Сравнить форму огибающей гистограммы и графика . Объяснить качественные различия и сходство зтих двух кривых.

Таблица 2

Результаты вычислений

1

2

7

=

=

=

=

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какой процесс называется случайным?

2. Что такое случайная величина?

3. Какая величина называется частотой события?

4. Что называется законом распределения случайной величины?

5. Что такое функция распределения случайной величины?

6. Запишите основные свойства функции распределения случайной величины.

7. Укажите основные числовые параметры, характеризующие закон распределения случайной величины и объясните их смысл.

8. Что называется математическим ожиданием случайной величины?

9. Дайте определение величины дисперсии.

10. Что называется средним квадратичным отклонением?

11. В чем удобство использования среднего квадратичного отклонения по сравнению с использованием дисперсии?

12. Какова связь между функцией распределения и плотностью распределения?

13. Для каких случайных величин существует плотность распределения– дискретных или непрерывных?

14. Запишите основные свойства плотности распределения.

15. Что такое кривая распределения?

16. Запишите выражение для функции плотности распределения непрерывной случайной величины.

17. Какова вероятность принятия случайной величиной конкретного значения при дискретном распределении? При непрерывном распределении?

18. Как влияет дисперсия случайной величины на форму кривой распределения?

19. Укажите аналог кривой распределения для дискретных случайных величин.

20. Укажите оценку основных параметров распределения.

21. Какая оценка называется точечной?

22. Какая оценка называется несмещённой?

23. Что такое доверительная вероятность или надежность измерения?

24. Как измеряется доверительный интервал для среднего значения измеряемой величины и что он обозначает?

25. В классической физике имеет место классическое распределение Максвелла. Что это за распределение и чем оно отличается от нормального распределения?

26. В чем заключается «правило трех сигм»?

27. Как «правило трех сигм» позволяет отсеивать недостоверные результаты?

28. Как составляется статистический ряд?

29. Как производится построение гистограммы?

30 Как по гистограмме получить характеристики распределения случайной величины?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52861. What do you do? 47.5 KB
  James is lazy. He doesn’t like going to school. He has a quick shower every morning. He puts on his clothes, watches a cartoon. He never does his morning exercises to the radio. He eats bread and honey for breakfast. He has tea or coffee with a bar of chocolate. He never cleans his teeth. He catches the bus to school. He arrives at school late.
52862. Формування ключових та предметних компетентностей молодших школярів у контексті викликів сьогодення 90 KB
  Велику роль у цьому відіграють навчальні ігри. Їх використання підвищує інтерес дітей до навчання, сприяє створенню сприятливого психологічного клімату на уроці та розвитку активності учнів, а також дозволяє сконцентрувати увагу на головному – опануванні мовленнєвими навичками
52864. Guidelines to training students for Independent Assessment 35.5 KB
  In terms of requirements to Independent Assessment in English we offer strategies on completing tests in reading and writing with comments on the order of their fulfilling which enables students to minimize time and increase efficiency.
52865. Креативне письмо на уроці іноземної мови 67.5 KB
  Мета даної статті – проаналізувати навчальний потенціал креативного письма в вивченні іноземної мови, дослідити переваги роботи з креативним письмом на уроці іноземної мови, визначити цінність написання креативного тексту для розвитку учня як особистості.
52867. Конкурсна програма «Who knows English better» 517.5 KB
  Мета: формувати мовну й мовленнєву компетенції в рамках вивчених тем, удосконалювати вміння учнів з аудіювання, читання та усного мовлення; розвивати вміння переносити знання та навички в нову ситуацію; формувати здатність працювати в парі, групі; виховувати любов до навчання.
52868. Свято англійської мови для 1-4 класів 172 KB
  Storyteller: Dear children! Hope you like fairy-tales very much! You know an old story about the wolf and 7 little kids, don’t you? Now the play begins! Once upon a time there lived Mother Goat and her 7 little kids. ( Mother Goat has a milk can in her hand. She wants to go to the market. Her kids are around her.)