3465

Изучение статистических закономерностей и методов обработки результатов эксперимента

Лабораторная работа

Физика

Изучение статистических закономерностей и методов обработки результатов эксперимента Моделирование нормального распределения случайной величины на примере измерения сопротивлений резисторов. Освоение методики статистической обработки результатов пря...

Русский

2012-11-01

158.5 KB

68 чел.

Изучение статистических закономерностей и методов обработки результатов эксперимента

Моделирование нормального распределения случайной величины на примере измерения сопротивлений резисторов. Освоение методики статистической обработки результатов прямых измерений случайной величины. Получение навыков составления статистических рядов и оценки достоверности результатов измерений.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

В данной работе продолжается рассмотрение случайных величин. Случайной величиной здесь является результат измерения сопротивления  одного из резисторов. Несмотря на то, что на маркировке резисторов указано одинаковое значение сопротивления (номинал), фактические сопротивления отличаются от указанного номинала.

Представим себе, что мы производим измерения сопротивления резисторов одного номинала, причем число таких измерений (т.е. число обмеренных резисторов) велико и равно . Обозначим результат одного измерения через ().

Очевидно, что все результаты измерений заключены в пределах интервала от наименьшего значения  до наибольшего :

   (3.1.1)

Разобъем этот интервал на  равных интервалов , .

Пусть при измерeнии сопротивлений определенное количество  результатов попали в интервал . Это будем считать событием. Поскольку количество опытов ограничено, то можем определить статистическую вероятность  такового события, пользуясь формулой (3.1.2):

    (3.1.2)

Иными словами,  представляет собой частоту попадания измеряемой величины  в интервал значений . Предполагается, что при возрастании числа измерений  величина  стремится к определенному пределу. Мы будем считать, что значение  существенно не изменится, если число измерений  удвоится или утроится.

Из определения вероятности следует, что вероятность принятия измеряемой величиной  какого–либо значения равна 1, поэтому сумма всех вероятностей:

    (3.1.3)

Говорят, что вероятность нормирована на единицу.

Среднее значение измеряемой величины  определим как:

 (3.1.4)

Выделим внутри суммы  слагаемые, попадающие в интервал , и найдем их сумму, которую обозначим . Пусть число слагаемых в этой сумме есть , тогда, используя определение (3.1.4) можно записать:

   (3.1.5)

где – среднее значение величины на интервале .

Таким образом, выражение (3.1.4) приобретает вид:

.   (3.1.6)

Если взять величину интервала  достаточно малой, то средним значением  на интервале можно считать середину интервала:

.    (3.1.7)

Равенство (3.1.6) выполняется тем точнее, чем меньше интервал.

Разброс значений случайной величины  около среднего значения  характеризуется величиной, называемой дисперсией . Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонения случайной величины  от её среднего значения :

.  (3.1.8)

Квадратный корень из этой величины называется средним квадратичным отклонением :

.     (3.1.9)

Измеряемая нами случайная величина  может принимать любое значение из интервала , причем заранее нельзя просчитать ее возможные значения. Такую случайную величину называют непрерывной.

Непрерывная случайная величина  определяется заданием интервала , содержащего все возможные значения этой величины, и функции , которая называется плотностью вероятностей случайной величины  (или плотностью распределения ).

Физический смысл  следующий. Пусть – произвольный интервал, содержащийся в . Тогда вероятность того, что  окажется в интервале , равна интегралу:

.        (3.1.10)

Плотность вероятностей  должна удовлетворять двум условиям, вытекающим из ее свойств:

1.

2.              (3.1.11)

Нормальной, или гауссовой случайной величиной называется случайная величина, определенная на всей оси  и имеющая плотность вероятностей (получено на основе формулы (1.26)):

,        (3.1.12)

где – среднее значение, или математическое ожидание случайной величины,   дисперсия,  среднеквадратичная ошибка, или стандартное отклонение.

На рис.3.1.1 представлены две нормальные плотности, соответствующие одному среднему  и двум различным стандартным отклонениям  и .

График нормальной плотности симметричен относительно . Это означает равновероятность отклонения результатов как вправо, так и влево относительно среднего значения. График достигает максимума при , т.е. наиболее вероятным является среднее значение . Малые отклонения от среднего более вероятны, чем большие.

Нормальные случайные величины очень часто встречаются при исследовании самых различных по своей природе вопросов. Например, ошибка измерения, как правило, представляет собой нормальную случайную величину.

Нетрудно вычислить, что для нормального распределения всегда выполняется следующее равенство:

.        (3.1.13)

Вероятность 0,997 настолько близка к единице, что иногда выражение (3.1.13) интерпретируют так. При одном испытании практически невозможно получить значение случайной величины , отличающееся от  более, чем на  – правило “трех сигм”. Другими словами, практически все достоверные результаты помещаются в интервале  от среднего значения (математического ожидания). Если полученный результат не находится в указанном интервале , то, вероятнее всего, такой результат является промахом и в дальнейших расчетах не учитыватся.

Результаты измерений сопротивлений резисторов можно представить графически. Для этого разобьем интервал возможных значений  на  равных малых конечных интервалов . В прямоугольной системе координат составим диаграмму по следующему принципу: на оси абцисс отметим точки  и построим прямоугольники с основанием, равным длине интервала  и высотой, равной числу результатов , попадающих в этот интервал. Такая диаграмма называется гистограммой. Она имеет вид ступенчатой фигуры, пример гистограммы приведен на рис. 3.1.2.

Очевидно, что высота отдельного прямоугольника из гистограммы пропорциональна вероятности обнаружить резистор из числа измеренных, сопротивление которого попадает в интервал значений .

Если увеличить число измерений  и уменьшить ширину интервала , равную , то огибающая гистограммы перейдет в плавную линию.Эта линия является графиком некоторой функции , что также показано на рис.3.1.2.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ

В данной лабораторной работе осуществляется расчет функции распределения случайной величины (сопротивления резистора) в предположении, что это распределение является нормальным, или гауссовым. Технология изготовления резисторов в большую или меньшую сторону от среднего значения равновероятны, и малые отклонения более вероятны, чем большие.

Это позволяет считать, что сопротивления резисторов одинакового номинала, взятых из одной партии, распределены по нормальному закону.

Для измерения сопротивлений используется стандартный цифровой прибор с малой погрешностью измерений. Подключение различных сопротивлений производится с помощью соответствующих переключателей на передней панели блока (магазина) резисторов.

Работа выполняется бригадами студентов на установках двух типов.

Установка С11

На установке располагается три переключателя сопротивлений. Первый переключатель (крайний слева) при переводе в положение 1,2,…,16 поочередно коммутирует резисторы №№ 1–16 с цифровым прибором, работающим в режиме омметра. После определения сопротивления этих резисторов первый переключатель устанавливается в положение “переход”. При этом в процессе измерений включается точно такой же второй переключатель и определяются сопротивления резисторов №№ 1732 и т.д. Всего производится измерение 49 резисторов.

Установка С12

Установка позволяет работать с сопротивлениями двух номиналов. На передней панели установлено по два магазина переключателей для каждого номинала, всего четыре. Магазины №№ 1 и 2 содержат резисторы номиналом в 500 Ом; магазины №№ 3 и 4 содержат резисторы номиналом в 1000 Ом. Каждый магазин состоит из пяти переключателей. Каждый переключатель можно установить в десять позиций, из которых только девять позиций подключают сопротивления к измерительному прибору, а одна позиция (нулевая) отключает переключатель. Сначала выбирается номинал измеряемых сопротивлений (отдельный тумблер на передней панели). Затем все переключатели данного номинала устанавливаются в нулевое положение. После этого, самый левый переключатель устанавливается в положение 1, снимается показание цифрового прибора и так далее до положения 9. Затем переключатель устанавливается в нулевое положение, работа продолжается на следующем переключателе и т.д. Всего производится измерения 90 резисторов.

После окончания эксперимента необходимо выключить стенд.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Включить измерительный прибор. При работе на установке  С32 выбрать номинал сопротивлений (500 или 1000 Ом).

2. Провести измерение сопротивлений  резисторов ( для установки С31 и  для установки С32), и результаты измерений  занести в таблицу 1а (для установки С32) или 1б (для установки С32).

Таблица 1а

Результаты измерений

переключателя

П о л о ж е н и е

1

2

3

4

5

16

1

2

3

Таблица 1б

Результаты измерений

переключателя

П о л о ж е н и е

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

10

3. Составить статистический ряд по следующей схеме:

– определить максимальное и минимальное значения среди полученных результатов и разбить диапазон принимаемых значений на  одинаковых интервалов с границами , ().

– подсчитать число  значений сопротивлений, попавших в интервал.

– вычислить частоту попаданий результатов в интервал с номером  в общем числе измерений, используя формулу (3.1.2).

4. Рассчитать среднее значение  для каждого интервала по формуле: .

5. Используя выражение (3.1.6) по полученным выше результатам, вычислить среднее значение  (или математическое ожидание случайной величины).

6. По формулам (3.1.8) и (3.1.9) определить дисперсию , среднее квадратичное отклонение  и величину .

7. Результаты вычислений пп. 3–6 занести в таблицу 2.

8. Вычислить границы интервала . Определить значения сопротивлений, не попадающие в этот интервал.

9. Аккуратно зачеркнуть значения сопротивлений, выпадающих из интервала , в таблице 1.

10. Выполнить п.п.37 без учета вычеркнутых значений. Результаты занести в таблицу 3, построенную аналогично таблице 2.

8. Используя вычисленные величины  и , рассчитать значения  для средних значений  малых интервалов . Результаты занести в таблицу 3.

9. По полученным расчетным данным построить гистограмму и график функции .

10. Сравнить форму огибающей гистограммы и графика . Объяснить качественные различия и сходство зтих двух кривых.

Таблица 2

Результаты вычислений

1

2

7

=

=

=

=

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какой процесс называется случайным?

2. Что такое случайная величина?

3. Какая величина называется частотой события?

4. Что называется законом распределения случайной величины?

5. Что такое функция распределения случайной величины?

6. Запишите основные свойства функции распределения случайной величины.

7. Укажите основные числовые параметры, характеризующие закон распределения случайной величины и объясните их смысл.

8. Что называется математическим ожиданием случайной величины?

9. Дайте определение величины дисперсии.

10. Что называется средним квадратичным отклонением?

11. В чем удобство использования среднего квадратичного отклонения по сравнению с использованием дисперсии?

12. Какова связь между функцией распределения и плотностью распределения?

13. Для каких случайных величин существует плотность распределения– дискретных или непрерывных?

14. Запишите основные свойства плотности распределения.

15. Что такое кривая распределения?

16. Запишите выражение для функции плотности распределения непрерывной случайной величины.

17. Какова вероятность принятия случайной величиной конкретного значения при дискретном распределении? При непрерывном распределении?

18. Как влияет дисперсия случайной величины на форму кривой распределения?

19. Укажите аналог кривой распределения для дискретных случайных величин.

20. Укажите оценку основных параметров распределения.

21. Какая оценка называется точечной?

22. Какая оценка называется несмещённой?

23. Что такое доверительная вероятность или надежность измерения?

24. Как измеряется доверительный интервал для среднего значения измеряемой величины и что он обозначает?

25. В классической физике имеет место классическое распределение Максвелла. Что это за распределение и чем оно отличается от нормального распределения?

26. В чем заключается «правило трех сигм»?

27. Как «правило трех сигм» позволяет отсеивать недостоверные результаты?

28. Как составляется статистический ряд?

29. Как производится построение гистограммы?

30 Как по гистограмме получить характеристики распределения случайной величины?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34759. Противоречие как источник развития. Закон единства и борьбы противоположностей. Принцип антагонистической регуляции функций 28.5 KB
  Принцип антагонистической регуляции функций Противоречие как источник развития диалектика Гераклита. О том что реальный процесс развития научного знания связан с этапами преодоления возникающих противоречий говорят многочисленные факты истории математики физики и др. Закон единства и борьбы противоположностей Движущую силу развития выражает закон единства и борьбы противоположностей.
34760. Диалектическое отрицание, закон отрицания отрицания. Цикличность и поступательность изменений 56.5 KB
  Раздвоение единого на отрицающие друг друга отрицание и опосредствующие одна другую отрицание отрицания противоположности постигается в учении о сущности. Своя мудрость и смысл заключены и в диалектическом принципе отрицания отрицания неразрывно связанном с принципом диалектической противоречивости. Отрицание отрицания.
34761. Категории диалектики, общая характеристика. Категории сущности и явления и их методологическое значение для медицины. Феномен кажимости - видимости 28.5 KB
  Феномен кажимости видимости Категории диалектики Философское мышление открывает всеобщие черты отношения присущие не какимто отдельным видам явлений процессов а всему бытию. Философские понятия в которых универсальные связи бытия осмысливаются в их сложной гибкой противоречивой динамике образуют группу категорий диалектики. Для диалектики характерно формирование парных категорий отражающих полярные стороны целостных явлений процессов.
34762. Синергетика как новое мировоззрение 26.5 KB
  Даже если бы новацией было только название появление синергетики было бы оправдано. Предложенное Хакеном выразительное название нового междисциплинарного направления привлекало к этому новому направлению гораздо больше внимания чем любое правильное но скучное и понятное лишь узкому кругу специалистов название. Предложенное им название сочтенное пуристами чрезмерно зазывным и рекламным оказалось особенно для нематематиков намного более привлекательным чем существовавший до Тома вариант теория особенностей дифференцируемых...
34763. Диалектика случайности и необходимости, содержания и формы, единичного и общего, возможности и действительности 52.5 KB
  вещь явление в их всеобщей закономерной связи; отражение преимущественно внутренних устойчивых повторяющихся всеобщих отношений действительности основных направлений её развития: выражение такой ступени движения познания в глубь объекта когда вскрываются его сущность закон; способ превращения возможности в действительность при котором в определенном объекте при данных условиях имеется только одна возможность превращающаяся в действительность. отражение в основном внешних несущественных неустойчивых единичных связей...
34764. Причинные связи. Категории причины и следствия. Проблема причинности в медицине 47.5 KB
  Категории причины и следствия. в схеме показано что причинноследственная связь направлена от причины к порожденному ею следствию. Имеется в виду что причины вызывают не любые а определенные соответствующие им следствия. Графическая модель такого соотношения выглядит следующим образом: Некоторые причины вызывают многочисленные долго развивающиеся следствия например катастрофические стихийные бедствия такие как ураганы землетрясения или взрыв атомной бомбы над Хиросимой в 1945 году.
34765. Теория познания, ее предмет и основные принципы. Критика агностицизма 37.5 KB
  Критика агностицизма Теория познания есть общая теория уясняющая саму природу познавательной деятельности человека в какой бы области науки искусства или житейской практики она ни осуществлялась. Агностицизм от греческого ágnōstos недоступный познанию философское учение согласно которому не может быть окончательно решен вопрос об истинности познания получена объективная характеристика окружающей человека действительности. Позиция Агностицизм разделялась в истории философии представителями идеализма в особенности субъективного а в...
34766. Знание как гносеологический таксон. Условие адекватности, обоснованности, убежденности. Мнение. Вера знание 24 KB
  Условие адекватности обоснованности убежденности. Стандартная трактовка того что ктото знает чтото включает в себя следующие три условия: условие истинности адекватности условие убежденности условие обоснованности. Условие убежденности веры приемлемости если S знает Р то S убежден верит в Р Когда я говорю например что знаю что в России есть президент то я верю что он действительно существует. Условие обоснованности S знает Р когда может обосновать свое убеждение в Р Это условие позволяет отграничить знание от...
34767. Научное познание и его специфические признаки. Методы научного познания 46 KB
  Методы научного познания. Так в зависимости от роли и места в процессе научного познания можно выделить методы формальные и содержательные эмпирические и теоретические методы исследования и изложения и т. Выделяют также качественные и количественные методы методы непосредственного и опосредованного познания оригинальные и производные и т. В этом плане все методы научного познания по степени общности и сфере действия могут быть разделены на пять основных групп: Философские методы среди которых наиболее древними являются диалектический и...