3465

Изучение статистических закономерностей и методов обработки результатов эксперимента

Лабораторная работа

Физика

Изучение статистических закономерностей и методов обработки результатов эксперимента Моделирование нормального распределения случайной величины на примере измерения сопротивлений резисторов. Освоение методики статистической обработки результатов пря...

Русский

2012-11-01

158.5 KB

68 чел.

Изучение статистических закономерностей и методов обработки результатов эксперимента

Моделирование нормального распределения случайной величины на примере измерения сопротивлений резисторов. Освоение методики статистической обработки результатов прямых измерений случайной величины. Получение навыков составления статистических рядов и оценки достоверности результатов измерений.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

В данной работе продолжается рассмотрение случайных величин. Случайной величиной здесь является результат измерения сопротивления  одного из резисторов. Несмотря на то, что на маркировке резисторов указано одинаковое значение сопротивления (номинал), фактические сопротивления отличаются от указанного номинала.

Представим себе, что мы производим измерения сопротивления резисторов одного номинала, причем число таких измерений (т.е. число обмеренных резисторов) велико и равно . Обозначим результат одного измерения через ().

Очевидно, что все результаты измерений заключены в пределах интервала от наименьшего значения  до наибольшего :

   (3.1.1)

Разобъем этот интервал на  равных интервалов , .

Пусть при измерeнии сопротивлений определенное количество  результатов попали в интервал . Это будем считать событием. Поскольку количество опытов ограничено, то можем определить статистическую вероятность  такового события, пользуясь формулой (3.1.2):

    (3.1.2)

Иными словами,  представляет собой частоту попадания измеряемой величины  в интервал значений . Предполагается, что при возрастании числа измерений  величина  стремится к определенному пределу. Мы будем считать, что значение  существенно не изменится, если число измерений  удвоится или утроится.

Из определения вероятности следует, что вероятность принятия измеряемой величиной  какого–либо значения равна 1, поэтому сумма всех вероятностей:

    (3.1.3)

Говорят, что вероятность нормирована на единицу.

Среднее значение измеряемой величины  определим как:

 (3.1.4)

Выделим внутри суммы  слагаемые, попадающие в интервал , и найдем их сумму, которую обозначим . Пусть число слагаемых в этой сумме есть , тогда, используя определение (3.1.4) можно записать:

   (3.1.5)

где – среднее значение величины на интервале .

Таким образом, выражение (3.1.4) приобретает вид:

.   (3.1.6)

Если взять величину интервала  достаточно малой, то средним значением  на интервале можно считать середину интервала:

.    (3.1.7)

Равенство (3.1.6) выполняется тем точнее, чем меньше интервал.

Разброс значений случайной величины  около среднего значения  характеризуется величиной, называемой дисперсией . Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонения случайной величины  от её среднего значения :

.  (3.1.8)

Квадратный корень из этой величины называется средним квадратичным отклонением :

.     (3.1.9)

Измеряемая нами случайная величина  может принимать любое значение из интервала , причем заранее нельзя просчитать ее возможные значения. Такую случайную величину называют непрерывной.

Непрерывная случайная величина  определяется заданием интервала , содержащего все возможные значения этой величины, и функции , которая называется плотностью вероятностей случайной величины  (или плотностью распределения ).

Физический смысл  следующий. Пусть – произвольный интервал, содержащийся в . Тогда вероятность того, что  окажется в интервале , равна интегралу:

.        (3.1.10)

Плотность вероятностей  должна удовлетворять двум условиям, вытекающим из ее свойств:

1.

2.              (3.1.11)

Нормальной, или гауссовой случайной величиной называется случайная величина, определенная на всей оси  и имеющая плотность вероятностей (получено на основе формулы (1.26)):

,        (3.1.12)

где – среднее значение, или математическое ожидание случайной величины,   дисперсия,  среднеквадратичная ошибка, или стандартное отклонение.

На рис.3.1.1 представлены две нормальные плотности, соответствующие одному среднему  и двум различным стандартным отклонениям  и .

График нормальной плотности симметричен относительно . Это означает равновероятность отклонения результатов как вправо, так и влево относительно среднего значения. График достигает максимума при , т.е. наиболее вероятным является среднее значение . Малые отклонения от среднего более вероятны, чем большие.

Нормальные случайные величины очень часто встречаются при исследовании самых различных по своей природе вопросов. Например, ошибка измерения, как правило, представляет собой нормальную случайную величину.

Нетрудно вычислить, что для нормального распределения всегда выполняется следующее равенство:

.        (3.1.13)

Вероятность 0,997 настолько близка к единице, что иногда выражение (3.1.13) интерпретируют так. При одном испытании практически невозможно получить значение случайной величины , отличающееся от  более, чем на  – правило “трех сигм”. Другими словами, практически все достоверные результаты помещаются в интервале  от среднего значения (математического ожидания). Если полученный результат не находится в указанном интервале , то, вероятнее всего, такой результат является промахом и в дальнейших расчетах не учитыватся.

Результаты измерений сопротивлений резисторов можно представить графически. Для этого разобьем интервал возможных значений  на  равных малых конечных интервалов . В прямоугольной системе координат составим диаграмму по следующему принципу: на оси абцисс отметим точки  и построим прямоугольники с основанием, равным длине интервала  и высотой, равной числу результатов , попадающих в этот интервал. Такая диаграмма называется гистограммой. Она имеет вид ступенчатой фигуры, пример гистограммы приведен на рис. 3.1.2.

Очевидно, что высота отдельного прямоугольника из гистограммы пропорциональна вероятности обнаружить резистор из числа измеренных, сопротивление которого попадает в интервал значений .

Если увеличить число измерений  и уменьшить ширину интервала , равную , то огибающая гистограммы перейдет в плавную линию.Эта линия является графиком некоторой функции , что также показано на рис.3.1.2.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ

В данной лабораторной работе осуществляется расчет функции распределения случайной величины (сопротивления резистора) в предположении, что это распределение является нормальным, или гауссовым. Технология изготовления резисторов в большую или меньшую сторону от среднего значения равновероятны, и малые отклонения более вероятны, чем большие.

Это позволяет считать, что сопротивления резисторов одинакового номинала, взятых из одной партии, распределены по нормальному закону.

Для измерения сопротивлений используется стандартный цифровой прибор с малой погрешностью измерений. Подключение различных сопротивлений производится с помощью соответствующих переключателей на передней панели блока (магазина) резисторов.

Работа выполняется бригадами студентов на установках двух типов.

Установка С11

На установке располагается три переключателя сопротивлений. Первый переключатель (крайний слева) при переводе в положение 1,2,…,16 поочередно коммутирует резисторы №№ 1–16 с цифровым прибором, работающим в режиме омметра. После определения сопротивления этих резисторов первый переключатель устанавливается в положение “переход”. При этом в процессе измерений включается точно такой же второй переключатель и определяются сопротивления резисторов №№ 1732 и т.д. Всего производится измерение 49 резисторов.

Установка С12

Установка позволяет работать с сопротивлениями двух номиналов. На передней панели установлено по два магазина переключателей для каждого номинала, всего четыре. Магазины №№ 1 и 2 содержат резисторы номиналом в 500 Ом; магазины №№ 3 и 4 содержат резисторы номиналом в 1000 Ом. Каждый магазин состоит из пяти переключателей. Каждый переключатель можно установить в десять позиций, из которых только девять позиций подключают сопротивления к измерительному прибору, а одна позиция (нулевая) отключает переключатель. Сначала выбирается номинал измеряемых сопротивлений (отдельный тумблер на передней панели). Затем все переключатели данного номинала устанавливаются в нулевое положение. После этого, самый левый переключатель устанавливается в положение 1, снимается показание цифрового прибора и так далее до положения 9. Затем переключатель устанавливается в нулевое положение, работа продолжается на следующем переключателе и т.д. Всего производится измерения 90 резисторов.

После окончания эксперимента необходимо выключить стенд.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Включить измерительный прибор. При работе на установке  С32 выбрать номинал сопротивлений (500 или 1000 Ом).

2. Провести измерение сопротивлений  резисторов ( для установки С31 и  для установки С32), и результаты измерений  занести в таблицу 1а (для установки С32) или 1б (для установки С32).

Таблица 1а

Результаты измерений

переключателя

П о л о ж е н и е

1

2

3

4

5

16

1

2

3

Таблица 1б

Результаты измерений

переключателя

П о л о ж е н и е

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

10

3. Составить статистический ряд по следующей схеме:

– определить максимальное и минимальное значения среди полученных результатов и разбить диапазон принимаемых значений на  одинаковых интервалов с границами , ().

– подсчитать число  значений сопротивлений, попавших в интервал.

– вычислить частоту попаданий результатов в интервал с номером  в общем числе измерений, используя формулу (3.1.2).

4. Рассчитать среднее значение  для каждого интервала по формуле: .

5. Используя выражение (3.1.6) по полученным выше результатам, вычислить среднее значение  (или математическое ожидание случайной величины).

6. По формулам (3.1.8) и (3.1.9) определить дисперсию , среднее квадратичное отклонение  и величину .

7. Результаты вычислений пп. 3–6 занести в таблицу 2.

8. Вычислить границы интервала . Определить значения сопротивлений, не попадающие в этот интервал.

9. Аккуратно зачеркнуть значения сопротивлений, выпадающих из интервала , в таблице 1.

10. Выполнить п.п.37 без учета вычеркнутых значений. Результаты занести в таблицу 3, построенную аналогично таблице 2.

8. Используя вычисленные величины  и , рассчитать значения  для средних значений  малых интервалов . Результаты занести в таблицу 3.

9. По полученным расчетным данным построить гистограмму и график функции .

10. Сравнить форму огибающей гистограммы и графика . Объяснить качественные различия и сходство зтих двух кривых.

Таблица 2

Результаты вычислений

1

2

7

=

=

=

=

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какой процесс называется случайным?

2. Что такое случайная величина?

3. Какая величина называется частотой события?

4. Что называется законом распределения случайной величины?

5. Что такое функция распределения случайной величины?

6. Запишите основные свойства функции распределения случайной величины.

7. Укажите основные числовые параметры, характеризующие закон распределения случайной величины и объясните их смысл.

8. Что называется математическим ожиданием случайной величины?

9. Дайте определение величины дисперсии.

10. Что называется средним квадратичным отклонением?

11. В чем удобство использования среднего квадратичного отклонения по сравнению с использованием дисперсии?

12. Какова связь между функцией распределения и плотностью распределения?

13. Для каких случайных величин существует плотность распределения– дискретных или непрерывных?

14. Запишите основные свойства плотности распределения.

15. Что такое кривая распределения?

16. Запишите выражение для функции плотности распределения непрерывной случайной величины.

17. Какова вероятность принятия случайной величиной конкретного значения при дискретном распределении? При непрерывном распределении?

18. Как влияет дисперсия случайной величины на форму кривой распределения?

19. Укажите аналог кривой распределения для дискретных случайных величин.

20. Укажите оценку основных параметров распределения.

21. Какая оценка называется точечной?

22. Какая оценка называется несмещённой?

23. Что такое доверительная вероятность или надежность измерения?

24. Как измеряется доверительный интервал для среднего значения измеряемой величины и что он обозначает?

25. В классической физике имеет место классическое распределение Максвелла. Что это за распределение и чем оно отличается от нормального распределения?

26. В чем заключается «правило трех сигм»?

27. Как «правило трех сигм» позволяет отсеивать недостоверные результаты?

28. Как составляется статистический ряд?

29. Как производится построение гистограммы?

30 Как по гистограмме получить характеристики распределения случайной величины?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21742. Проектирование организации очистных работ 23.5 KB
  Режим работы очистных забоев является исходным для составления проекта организации работ на добычном участке который включает графики организации производственных процессов в очистных и подготовительных забоях. Составление графиков организации очистных работдля случая когда режим работ и число циклов в сутки задано:для составления или корректировки необходимо посчитать объемы работ по каждому процессу и время для их выполнения; численность рабочих необходимых для выполнения каждого процесса комплексную норму выработки расценки. Для...
21743. Методика по выполнению раздела проекта: проектирование и организация работ в очистных забоях 65.5 KB
  Зависит от того задан ли режим работы рудника и число циклов в сутки либо режим работы и число циклов определяется как возможные в данных условиях. 1 Уточнить определить исходные данные задан ли режим работы и число циклов в скутки 2 Осуществляется анализ существующей организации производственных предприятий. Число производственных циклов в сутки по формуле: Кцп = 24 число часов в сутки. коэффициент повторяемости число повторений процессов подготовки на 1 цикл выемки полезного компонента.
21744. Организация производства подготовительных забоев 22 KB
  Время в течении которого выполняются все процессы проходческого цикла составляют продолжительность цикла. Процессы проходческого цикла могут выполняться последовательно или параллельно. При 2 способе продолжительность проходческого цикла сокращается и скорость в единицу времени повышается.
21745. Графики организации работ в подготовительных забоях 23 KB
  Анализ технологической проходки позволяет по ряду признаков классифицировать их на группы: по способу механизации проходческих работ графики делятся на: графики с применением БВР; графики с применением проходческих комбайнов; по степени совмещения отдельных процессов во времени: с последовательным выполнением основных процессов; с частичным совмещением; степень совмещения процессов во времени характеризуется коэффициентом совмещения равным отношению суммарной продолжительности полного проходческого цикла с учетом совмещенных...
21746. Методика проектирования организации работ в подготовительном забое 33.5 KB
  Методика зависит от необходимой величины суточного подвигания забоя выработки. Различают два случая суточного подвигания забоя выработки величина суточного подвигания забоя выработки задана величина суточного подвигания забоя выработки определяется как возможная в данных условиях. Методика проектирования организации работ в подготовительном забое в случае если величина суточного подвигания забоя выработки задана состоит из следующих пунктов Выбор технологической схемы проведения проходческих работ способа механизации отдельных...
21747. Обслуживание рабочих мест 23.5 KB
  Различают рабочие места: стационарные полустационарные подвижные Особенность горного производства: рабочие места подвижные и протяжённые. Организация рабочего места включает их планировку и оснастку. Правильное планирование заключается в приспособлении рабочего места средств труда и производственной среды к возможностям человека. Под технологической оснасткой понимают обеспечение рабочего места исправным производственным оборудованием и инструментом.
21748. Передовые методы организации работ по добыче полезного ископаемого 66 KB
  Структура рабочих мест на участке: начальник участка 1 чел.; заместитель начальника участка 1 чел.; геолог 1 чел.; маркшейдер 1 чел.
21750. Организация и планирование ремонта оборудования 24 KB
  Основными задачами ремонтных работ на шахте являются: обеспечение безаварийной и безопасной работы оборудования; сохранности состояния устойчивой работоспособности; продление срока службы оборудования; увеличение производительности и степени использования оборудования во времени срок службы и производительность оборудования должны соответствовать расчетным. Ремонтные работы и обслуживание должны быть организованы так чтобы они обеспечивали квалифицированный уход за оборудованием в процессе эксплуатации а также систематический осмотр и...