34653

Введение в теорию графов

Реферат

Информатика, кибернетика и программирование

Граф – это множество вершин V и множество ребер(дуг) Е. Вершины графа - объекты любой природы; поскольку их должно быть конечное число, то мы будем обозначать их натуральными числами. Ребра (дуги) графа соединяют некоторые из его вершин. Если ребра имеют направление, то граф называется ориентированным (орграфом) – рисунок А; в противном случае он неориентированный.

Русский

2013-09-08

56 KB

5 чел.

Введение в теорию графов.

Граф – это множество вершин V и множество ребер(дуг) Е. Вершины графа - объекты любой природы; поскольку их должно быть конечное число, то мы будем обозначать их натуральными числами. Ребра (дуги) графа соединяют некоторые из его вершин. Если ребра имеют направление, то граф называется ориентированным (орграфом) – рисунок А; в противном случае он неориентированный – рисунок Б.

 

А)

Б)

 

V={1, 2, 3, 4}

Е={(1,2), (1,4), (2,3), (3,1), (4,1), (4,3)}

У орграфа дуга имеет начало и конец.

Дуга, соединяющая вершину с собой, называется петлей (вершина 3 рис.Б имеет петлю)

 

 

 Граф удобно изображать в виде рисунка, где вершины соответствуют точкам, а ребра – линиям, соединяющим соответствующие точки.

Замкнутый путь, состоящий из различных ребер, называется циклом.

Граф называется связным, если любые две его вершины соединены путем. Компонентой связности графа называется такой его связный подграф, для которого не существует другого связного подграфа, включающего данный в качестве своего подграфа. Ребро графа, удаление которого увеличивает число компонент связности, называется мотом или перешейком.

Связный граф без циклов называется деревом. Граф, все вершины и ребра которого принадлежат другому графу, называется подграфом. С помощью графа можно изобразить различные объекты: схемы шоссейных, железных дорог, электрические и электронные схемы, химические молекулы, результаты спортивных турниров, отношение между людьми, расписания работ и т.д.

Граф называется пустым, если в нем нет ребер. Граф называется полным, если любая пара вершин в нем соединена ребром. Граф называется двудольным, если множество его вершин можно разбить на две части таким образом, что каждое ребро соединяет вершины различных долей.

1

2

3

4

1

0

1

0

1

2

0

0

1

0

3

1

0

0

0

4

1

0

1

0

Корневым деревом называют ориентированный граф, в одну вершину W которого не входит ни одна дуга, а в любую другую вершину входит ровно одна дуга. Вершину W называют корнем дерева, вершины, из которых не выходят дуги, называют листьями. Очевидно, что корень соединен с любой вершиной корневого дерева единственным путем.

Представление графов в виде матрицы смежности. Смотри таблицу: строчки – начало дуг, столбцы – конец дуг. Матрица смежности составлена по рисунку А.

Некоторые алгоритмы работают на взвешенных графах, у которых каждому ребру сопоставлено число (вес ребра) – расстояние, масса и т.д.

Поиск путей в графе:

  •  найти путь между начальной и конечной вершиной (эта задача называется задачей поиска пути в лабиринте) – поиск в ширину, поиск в глубину;
  •  найти минимальный путь между заданными вершинами (алгоритм Дейкстры, алгоритм Флойда);
  •  найти максимальный путь между заданными вершинами;
  •  найти цикл Эйлера:

Граф, в котором найдется маршрут, начинающийся и заканчивающийся в одной вершине, и проходящий по всем ребрам графа ровно один раз, называется эйлеровым графом.

Последовательность вершин через которые проходит искомый маршрут, как и сам маршрут, называется эйлеровым циклом.

Теорема: Цикл Эйлера существует тогда и только тогда, когда в нем нет вершин нечетной степени.

  •  найти цикл Гамильтона:

Граф, в котором найдется маршрут, проходящий через каждую вершину графа в точности один раз, называется гамильтоновым графом.

Гамильтоновы графы служат моделью при составлении расписания движения поездов, для телекоммуникационных сетей и т.д.

  •  поиск минимального остова:

Остовом (каркасом) графа называется его частичный граф типа дерево.




Найти число различных маршрутов из городов Х в
Y.

Program grl;

const

msa: array [1..3,1..2] of integer=((1,1),(1,1),(0,1));

msb: array [1..3,1..2] of integer=((1,0),(1,1),(1,0));

var i,j,k,l:integer;

a,b,c:array[1..3,1..2] of integer;

begin

writeln('Ввод авиамаршрутов:');

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 2 do

begin

if msa[i,j]<>0 then

begin

writeln('авиалинии-X',i,'Y',j);

readln(a[i,j]);

end;

end;

writeln('Ввод водных маршрутов:');

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 2 do

begin

if msb[i,j]<>0 then

begin

writeln('Водных маршрутов-X',i,'Y',j);

readln(b[i,j]);

end;

end;

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 2 do

c[i,j]:=a[i,j]+b[i,j];

writeln('Ответ: способы попадания из городов Х в город Y');

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 2 do

begin

writeln('X',i,'Y',j,'=',c[i,j]);

end; end.

Найти число различных маршрутов из Х в Z через Y

program grl;

var i,j,k,s:integer;

msa,a:array [1..2,1..3] of integer;

msb,b:array [1..3,1..2] of integer;

c:array [1..2,1..2] of integer;

begin

for i:=1 to 2 do

for j:=1 to 3 do

msa[i,j]:=1;msa[1,3]:=0;

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 2 do

msb[i,j]:=1;msb[3,2]:=0;msb[1,2]:=0;

for i:=1 to 2 do

for j:=1 to 2 do

begin

s:=0;

for k:=1 to 3 do

begin

s:=s+msa[i,k]*msb[k,j];

end;

c[i,j]:=s;

end;

writeln('Способ попадания из Х в Z');

for i:=1 to 2 do

for j:=1 to 2 do writeln('X',i,'Z',j,'=',c[i,j]);

end.

Нахождение кратчайшего пути (алгоритм Дейкстры)

program dis;

uses Crt;

const Nmax=50;

var f:text;

name:string[8];

a:word;

i,j,t,n,x,y,min,nmin:integer;

flag,d,predoc,way:array [1..Nmax] of integer;

mv:array [1..Nmax,1..Nmax] of integer;

begin

clrscr;

writeln('введите имя файла:');

readln(name);

assign(f,name);

reset(f);

read(f,a);

n:=a;

writeln('Граф с кол-вом вершин:',n);

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to n do

begin

read(f,a);

mv[i,j]:=a;

if (i<>j) and (a=0)

then mv[i,j]:=255;

write(mv[i,j]:4);

end;

writeln;

end;

read(f,x);

read(f,y);

write('вход-',x,'выход-',y);

close(f);

t:=x;

for i:=1 to n do

begin

flag[i]:=1;

d[i]:=mv[t,i];

predoc[i]:=0;

end;

flag[t]:=0;

for i:=1 to n-1 do

begin

min:=100;

nmin:=t;

for j:=1 to n do

begin

if (flag[j]<>0) and (min>d[j])

then begin

min:=d[j];

nmin:=j;

end;

end;

t:=nmin;

flag[t]:=0;

for j:=1 to n do

begin

if (flag[j]<>0) and (d[j]>mv[t,j]+d[t])

then

begin

d[j]:=mv[t,j]+d[t];

predoc[j]:=t;

end;

end;

end;

writeln;

if d[y]=255 then

begin

writeln('net pyti');

exit;

end

else writeln('длина кратчайшего пути=',d[y]);

{находим путь}

t:=1;

j:=y;

for i:=1 to n do

way[i]:=0;

for i:=1 to n do

begin

if (predoc[j]<>0) then

begin

t:=t+1;

j:=predoc[j];

way[t]:=j;

end;

end;

writeln('Путь:');write(x,' ');

for i:=n downto 1 do

if way[i]<>0 then write(way[i],' ');

write(y);

end.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72159. Руководство и лидерство в организации 332.65 KB
  Основой руководства являются лидерство власть и влияние. Власть - возможность влиять на поведение других людей. С получением формальных полномочий руководитель получает определенную власть. Власть руководителя проявляется в том что от него в значительной степени зависит...
72160. Конфликты и стрессы как объекты управления 36.77 KB
  К межличностным методам преодоления конфликтов принадлежат: уклонение человек уклоняется от конфликта сглаживание погашение стремления к конфликту принуждение ликвидация конфликта силой власти или другим принудительным способом компромисс сближение точек зрения разрешение проблемы которая привела к конфликту.
72161. Гражданские правоотношения. Понятие, содержание, объекты, субъекты 28 KB
  Таких правоотношений большинство они реализуют нормы гражданского права регулируя имущественные и связанные с ними неимущественные отношения содействуют их развитию в нужном направлении. Так как права и обязанности принадлежат этим субъектам то они именуются объективными правами и обязанностями.
72162. Источники гражданского права 25.5 KB
  Источники гражданского права довольно многообразны по своему составу и разнообразны по содержанию. Вся совокупность гражданско-правовых актов может быть подразделена на следующие группы: Конституция Российской Федерации. Гражданский кодекс Российской Федерации.
72163. Основы конституционного строя 34.5 KB
  Основное социальное содержание Конституции Российской Федерации определяется ее принципами главными стержневыми идеями Основного Закона закрепленными в ее нормах и статьях. Принципы Конституции Российской Федерации наиболее концентрированно закреплены в ее главе...
72164. Права и свободы человека и гражданина 35.5 KB
  В регулировании деятельности человека и гражданина в российском обществе и государстве принимают участие все отрасли российского права определяющие правовой статус личности в Российской Федерации всю совокупность их прав и обязанностей. Совокупность конституционных норм закрепляющих положе ние человека...
72165. Федеративное устройство государства 34 KB
  Таким образом государственное устройство это важнейший элемент государства представляющий собой способ организации его территории правовое положение частей государства и систему их взаимоотношений с центром.
72166. Понятие и принципы гражданского права 25.5 KB
  Авторы названных результатов творчества имеют имущественные права на вознаграждение а также на определенные льготы так как между создателями объектов творчества и компетентными субъектами возникают имущественные отношения.
72167. Правоспособность и дееспособность 32 KB
  Разумеется способность иметь права и обязанности не равнозначна фактическому обладанию ими. Гражданская дееспособность это способность своими действиями приобретать и осуществлять гражданские права создавать для себя гражданские обязанности и исполнять их.