34653

Введение в теорию графов

Реферат

Информатика, кибернетика и программирование

Граф – это множество вершин V и множество ребер(дуг) Е. Вершины графа - объекты любой природы; поскольку их должно быть конечное число, то мы будем обозначать их натуральными числами. Ребра (дуги) графа соединяют некоторые из его вершин. Если ребра имеют направление, то граф называется ориентированным (орграфом) – рисунок А; в противном случае он неориентированный.

Русский

2013-09-08

56 KB

5 чел.

Введение в теорию графов.

Граф – это множество вершин V и множество ребер(дуг) Е. Вершины графа - объекты любой природы; поскольку их должно быть конечное число, то мы будем обозначать их натуральными числами. Ребра (дуги) графа соединяют некоторые из его вершин. Если ребра имеют направление, то граф называется ориентированным (орграфом) – рисунок А; в противном случае он неориентированный – рисунок Б.

 

А)

Б)

 

V={1, 2, 3, 4}

Е={(1,2), (1,4), (2,3), (3,1), (4,1), (4,3)}

У орграфа дуга имеет начало и конец.

Дуга, соединяющая вершину с собой, называется петлей (вершина 3 рис.Б имеет петлю)

 

 

 Граф удобно изображать в виде рисунка, где вершины соответствуют точкам, а ребра – линиям, соединяющим соответствующие точки.

Замкнутый путь, состоящий из различных ребер, называется циклом.

Граф называется связным, если любые две его вершины соединены путем. Компонентой связности графа называется такой его связный подграф, для которого не существует другого связного подграфа, включающего данный в качестве своего подграфа. Ребро графа, удаление которого увеличивает число компонент связности, называется мотом или перешейком.

Связный граф без циклов называется деревом. Граф, все вершины и ребра которого принадлежат другому графу, называется подграфом. С помощью графа можно изобразить различные объекты: схемы шоссейных, железных дорог, электрические и электронные схемы, химические молекулы, результаты спортивных турниров, отношение между людьми, расписания работ и т.д.

Граф называется пустым, если в нем нет ребер. Граф называется полным, если любая пара вершин в нем соединена ребром. Граф называется двудольным, если множество его вершин можно разбить на две части таким образом, что каждое ребро соединяет вершины различных долей.

1

2

3

4

1

0

1

0

1

2

0

0

1

0

3

1

0

0

0

4

1

0

1

0

Корневым деревом называют ориентированный граф, в одну вершину W которого не входит ни одна дуга, а в любую другую вершину входит ровно одна дуга. Вершину W называют корнем дерева, вершины, из которых не выходят дуги, называют листьями. Очевидно, что корень соединен с любой вершиной корневого дерева единственным путем.

Представление графов в виде матрицы смежности. Смотри таблицу: строчки – начало дуг, столбцы – конец дуг. Матрица смежности составлена по рисунку А.

Некоторые алгоритмы работают на взвешенных графах, у которых каждому ребру сопоставлено число (вес ребра) – расстояние, масса и т.д.

Поиск путей в графе:

  •  найти путь между начальной и конечной вершиной (эта задача называется задачей поиска пути в лабиринте) – поиск в ширину, поиск в глубину;
  •  найти минимальный путь между заданными вершинами (алгоритм Дейкстры, алгоритм Флойда);
  •  найти максимальный путь между заданными вершинами;
  •  найти цикл Эйлера:

Граф, в котором найдется маршрут, начинающийся и заканчивающийся в одной вершине, и проходящий по всем ребрам графа ровно один раз, называется эйлеровым графом.

Последовательность вершин через которые проходит искомый маршрут, как и сам маршрут, называется эйлеровым циклом.

Теорема: Цикл Эйлера существует тогда и только тогда, когда в нем нет вершин нечетной степени.

  •  найти цикл Гамильтона:

Граф, в котором найдется маршрут, проходящий через каждую вершину графа в точности один раз, называется гамильтоновым графом.

Гамильтоновы графы служат моделью при составлении расписания движения поездов, для телекоммуникационных сетей и т.д.

  •  поиск минимального остова:

Остовом (каркасом) графа называется его частичный граф типа дерево.




Найти число различных маршрутов из городов Х в
Y.

Program grl;

const

msa: array [1..3,1..2] of integer=((1,1),(1,1),(0,1));

msb: array [1..3,1..2] of integer=((1,0),(1,1),(1,0));

var i,j,k,l:integer;

a,b,c:array[1..3,1..2] of integer;

begin

writeln('Ввод авиамаршрутов:');

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 2 do

begin

if msa[i,j]<>0 then

begin

writeln('авиалинии-X',i,'Y',j);

readln(a[i,j]);

end;

end;

writeln('Ввод водных маршрутов:');

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 2 do

begin

if msb[i,j]<>0 then

begin

writeln('Водных маршрутов-X',i,'Y',j);

readln(b[i,j]);

end;

end;

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 2 do

c[i,j]:=a[i,j]+b[i,j];

writeln('Ответ: способы попадания из городов Х в город Y');

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 2 do

begin

writeln('X',i,'Y',j,'=',c[i,j]);

end; end.

Найти число различных маршрутов из Х в Z через Y

program grl;

var i,j,k,s:integer;

msa,a:array [1..2,1..3] of integer;

msb,b:array [1..3,1..2] of integer;

c:array [1..2,1..2] of integer;

begin

for i:=1 to 2 do

for j:=1 to 3 do

msa[i,j]:=1;msa[1,3]:=0;

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 2 do

msb[i,j]:=1;msb[3,2]:=0;msb[1,2]:=0;

for i:=1 to 2 do

for j:=1 to 2 do

begin

s:=0;

for k:=1 to 3 do

begin

s:=s+msa[i,k]*msb[k,j];

end;

c[i,j]:=s;

end;

writeln('Способ попадания из Х в Z');

for i:=1 to 2 do

for j:=1 to 2 do writeln('X',i,'Z',j,'=',c[i,j]);

end.

Нахождение кратчайшего пути (алгоритм Дейкстры)

program dis;

uses Crt;

const Nmax=50;

var f:text;

name:string[8];

a:word;

i,j,t,n,x,y,min,nmin:integer;

flag,d,predoc,way:array [1..Nmax] of integer;

mv:array [1..Nmax,1..Nmax] of integer;

begin

clrscr;

writeln('введите имя файла:');

readln(name);

assign(f,name);

reset(f);

read(f,a);

n:=a;

writeln('Граф с кол-вом вершин:',n);

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to n do

begin

read(f,a);

mv[i,j]:=a;

if (i<>j) and (a=0)

then mv[i,j]:=255;

write(mv[i,j]:4);

end;

writeln;

end;

read(f,x);

read(f,y);

write('вход-',x,'выход-',y);

close(f);

t:=x;

for i:=1 to n do

begin

flag[i]:=1;

d[i]:=mv[t,i];

predoc[i]:=0;

end;

flag[t]:=0;

for i:=1 to n-1 do

begin

min:=100;

nmin:=t;

for j:=1 to n do

begin

if (flag[j]<>0) and (min>d[j])

then begin

min:=d[j];

nmin:=j;

end;

end;

t:=nmin;

flag[t]:=0;

for j:=1 to n do

begin

if (flag[j]<>0) and (d[j]>mv[t,j]+d[t])

then

begin

d[j]:=mv[t,j]+d[t];

predoc[j]:=t;

end;

end;

end;

writeln;

if d[y]=255 then

begin

writeln('net pyti');

exit;

end

else writeln('длина кратчайшего пути=',d[y]);

{находим путь}

t:=1;

j:=y;

for i:=1 to n do

way[i]:=0;

for i:=1 to n do

begin

if (predoc[j]<>0) then

begin

t:=t+1;

j:=predoc[j];

way[t]:=j;

end;

end;

writeln('Путь:');write(x,' ');

for i:=n downto 1 do

if way[i]<>0 then write(way[i],' ');

write(y);

end.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52432. Чотирикутники. Урок – проект 125.5 KB
  Геометрично точно естетично гарно Сторони в нього паралельні попарно Рівні завжди і кути протилежні Паралелепіпеди від нього залежні. У паралелограма протилежні сторони та кути рівні. Кути паралелограма які прилягають до однієї сторони є внутрішніми односторонніми їх сума дорівнює 180. Знайти його кути.
52434. Четырёхугольник и его элементы. Параллелограмм и его свойства 270.5 KB
  Найти градусную меру неизвестного угла. Найти градусную меру неизвестного угла. Найти неизвестный угол четырёхугольника если три его угла равны 60 100 50. Найти: АД и СД.
52436. We wish you a Merry Christmas and a Happy New Year! 374 KB
  Wht pretty little mitten Does nybody live here Ніхто не відповідає. Wht pretty little mitten Does nybody live here Mouse. Come nd live here with me. Wht pretty little mitten Does nybody live here Mouse.
52437. Marry Christmas 61.5 KB
  МАКІЇВКА 2011 Mrry Christms The wrmest Christms greetings Especilly for you To hope you hve hppy time Tht lsts ll New Yer through Christms is on the 25 th of December. Trditionlly Christms festivities lsted 12 dys. Ply snowblls nd dnce He hs crrot for his nose Round the Christms tree He hs funny ht.
52438. CHRISTMAS COMES BUT ONCE A YEAR 44 KB
  Celebrte holidys hve prties enjoy fun on the snow Decorte fire tree get presents Mke fireworks visit reltives go to church So tody our lesson will be dedicted to the coming holidy Christms. Id like to introduce the epigrph of the lesson: Its Christms time Songs tht rhyme...
52439. Christmas In English-Speaking Countries 57 KB
  Equipment: tperecorder music of the songs posters Christms decortions sheets of pper crds with the poem Techer: Good morning. Tody well spek bout Christms in Englishspeking countries. First prt is the presenttion of Christms youve prepred.
52440. Сім чудес України 682.5 KB
  2010 рік Мета: розширити знання учнів про Україну як державу в якій ми живемо; ознайомити дітей з історично відомими місцями України; формувати і розвивати патріотичні почуття учнів любов та повагу до рідної землі; виховувати почуття громадянськості й гордості за свою Батьківщину за історичне минуле українського народу; розвивати пізнавальний інтерес до минулого і сьогодення.Симоненко ; на мультимедійному екрані фотозображення семи чудес України і напис Сім чудес України . Раді вітати вас на виховному заході Сім чудес України .Усок виконує...