34653

Введение в теорию графов

Реферат

Информатика, кибернетика и программирование

Граф – это множество вершин V и множество ребер(дуг) Е. Вершины графа - объекты любой природы; поскольку их должно быть конечное число, то мы будем обозначать их натуральными числами. Ребра (дуги) графа соединяют некоторые из его вершин. Если ребра имеют направление, то граф называется ориентированным (орграфом) – рисунок А; в противном случае он неориентированный.

Русский

2013-09-08

56 KB

5 чел.

Введение в теорию графов.

Граф – это множество вершин V и множество ребер(дуг) Е. Вершины графа - объекты любой природы; поскольку их должно быть конечное число, то мы будем обозначать их натуральными числами. Ребра (дуги) графа соединяют некоторые из его вершин. Если ребра имеют направление, то граф называется ориентированным (орграфом) – рисунок А; в противном случае он неориентированный – рисунок Б.

 

А)

Б)

 

V={1, 2, 3, 4}

Е={(1,2), (1,4), (2,3), (3,1), (4,1), (4,3)}

У орграфа дуга имеет начало и конец.

Дуга, соединяющая вершину с собой, называется петлей (вершина 3 рис.Б имеет петлю)

 

 

 Граф удобно изображать в виде рисунка, где вершины соответствуют точкам, а ребра – линиям, соединяющим соответствующие точки.

Замкнутый путь, состоящий из различных ребер, называется циклом.

Граф называется связным, если любые две его вершины соединены путем. Компонентой связности графа называется такой его связный подграф, для которого не существует другого связного подграфа, включающего данный в качестве своего подграфа. Ребро графа, удаление которого увеличивает число компонент связности, называется мотом или перешейком.

Связный граф без циклов называется деревом. Граф, все вершины и ребра которого принадлежат другому графу, называется подграфом. С помощью графа можно изобразить различные объекты: схемы шоссейных, железных дорог, электрические и электронные схемы, химические молекулы, результаты спортивных турниров, отношение между людьми, расписания работ и т.д.

Граф называется пустым, если в нем нет ребер. Граф называется полным, если любая пара вершин в нем соединена ребром. Граф называется двудольным, если множество его вершин можно разбить на две части таким образом, что каждое ребро соединяет вершины различных долей.

1

2

3

4

1

0

1

0

1

2

0

0

1

0

3

1

0

0

0

4

1

0

1

0

Корневым деревом называют ориентированный граф, в одну вершину W которого не входит ни одна дуга, а в любую другую вершину входит ровно одна дуга. Вершину W называют корнем дерева, вершины, из которых не выходят дуги, называют листьями. Очевидно, что корень соединен с любой вершиной корневого дерева единственным путем.

Представление графов в виде матрицы смежности. Смотри таблицу: строчки – начало дуг, столбцы – конец дуг. Матрица смежности составлена по рисунку А.

Некоторые алгоритмы работают на взвешенных графах, у которых каждому ребру сопоставлено число (вес ребра) – расстояние, масса и т.д.

Поиск путей в графе:

  •  найти путь между начальной и конечной вершиной (эта задача называется задачей поиска пути в лабиринте) – поиск в ширину, поиск в глубину;
  •  найти минимальный путь между заданными вершинами (алгоритм Дейкстры, алгоритм Флойда);
  •  найти максимальный путь между заданными вершинами;
  •  найти цикл Эйлера:

Граф, в котором найдется маршрут, начинающийся и заканчивающийся в одной вершине, и проходящий по всем ребрам графа ровно один раз, называется эйлеровым графом.

Последовательность вершин через которые проходит искомый маршрут, как и сам маршрут, называется эйлеровым циклом.

Теорема: Цикл Эйлера существует тогда и только тогда, когда в нем нет вершин нечетной степени.

  •  найти цикл Гамильтона:

Граф, в котором найдется маршрут, проходящий через каждую вершину графа в точности один раз, называется гамильтоновым графом.

Гамильтоновы графы служат моделью при составлении расписания движения поездов, для телекоммуникационных сетей и т.д.

  •  поиск минимального остова:

Остовом (каркасом) графа называется его частичный граф типа дерево.




Найти число различных маршрутов из городов Х в
Y.

Program grl;

const

msa: array [1..3,1..2] of integer=((1,1),(1,1),(0,1));

msb: array [1..3,1..2] of integer=((1,0),(1,1),(1,0));

var i,j,k,l:integer;

a,b,c:array[1..3,1..2] of integer;

begin

writeln('Ввод авиамаршрутов:');

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 2 do

begin

if msa[i,j]<>0 then

begin

writeln('авиалинии-X',i,'Y',j);

readln(a[i,j]);

end;

end;

writeln('Ввод водных маршрутов:');

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 2 do

begin

if msb[i,j]<>0 then

begin

writeln('Водных маршрутов-X',i,'Y',j);

readln(b[i,j]);

end;

end;

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 2 do

c[i,j]:=a[i,j]+b[i,j];

writeln('Ответ: способы попадания из городов Х в город Y');

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 2 do

begin

writeln('X',i,'Y',j,'=',c[i,j]);

end; end.

Найти число различных маршрутов из Х в Z через Y

program grl;

var i,j,k,s:integer;

msa,a:array [1..2,1..3] of integer;

msb,b:array [1..3,1..2] of integer;

c:array [1..2,1..2] of integer;

begin

for i:=1 to 2 do

for j:=1 to 3 do

msa[i,j]:=1;msa[1,3]:=0;

for i:=1 to 3 do

for j:=1 to 2 do

msb[i,j]:=1;msb[3,2]:=0;msb[1,2]:=0;

for i:=1 to 2 do

for j:=1 to 2 do

begin

s:=0;

for k:=1 to 3 do

begin

s:=s+msa[i,k]*msb[k,j];

end;

c[i,j]:=s;

end;

writeln('Способ попадания из Х в Z');

for i:=1 to 2 do

for j:=1 to 2 do writeln('X',i,'Z',j,'=',c[i,j]);

end.

Нахождение кратчайшего пути (алгоритм Дейкстры)

program dis;

uses Crt;

const Nmax=50;

var f:text;

name:string[8];

a:word;

i,j,t,n,x,y,min,nmin:integer;

flag,d,predoc,way:array [1..Nmax] of integer;

mv:array [1..Nmax,1..Nmax] of integer;

begin

clrscr;

writeln('введите имя файла:');

readln(name);

assign(f,name);

reset(f);

read(f,a);

n:=a;

writeln('Граф с кол-вом вершин:',n);

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to n do

begin

read(f,a);

mv[i,j]:=a;

if (i<>j) and (a=0)

then mv[i,j]:=255;

write(mv[i,j]:4);

end;

writeln;

end;

read(f,x);

read(f,y);

write('вход-',x,'выход-',y);

close(f);

t:=x;

for i:=1 to n do

begin

flag[i]:=1;

d[i]:=mv[t,i];

predoc[i]:=0;

end;

flag[t]:=0;

for i:=1 to n-1 do

begin

min:=100;

nmin:=t;

for j:=1 to n do

begin

if (flag[j]<>0) and (min>d[j])

then begin

min:=d[j];

nmin:=j;

end;

end;

t:=nmin;

flag[t]:=0;

for j:=1 to n do

begin

if (flag[j]<>0) and (d[j]>mv[t,j]+d[t])

then

begin

d[j]:=mv[t,j]+d[t];

predoc[j]:=t;

end;

end;

end;

writeln;

if d[y]=255 then

begin

writeln('net pyti');

exit;

end

else writeln('длина кратчайшего пути=',d[y]);

{находим путь}

t:=1;

j:=y;

for i:=1 to n do

way[i]:=0;

for i:=1 to n do

begin

if (predoc[j]<>0) then

begin

t:=t+1;

j:=predoc[j];

way[t]:=j;

end;

end;

writeln('Путь:');write(x,' ');

for i:=n downto 1 do

if way[i]<>0 then write(way[i],' ');

write(y);

end.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68028. Нарушение эмоционально-волевой сферы 32.19 KB
  Гипербулия – это общее повышение воли, затрагивающее все основные влечения человека. Гипобулия – понижение волевой активности (вялость, отсутствие потребности в общение. Ступор – полная или частичная обездвиженность, к нарушением воли так же можно отнести негативизм. Клептомания – кража ненужных вещей.
68029. Матвей Иванович Афонин (1739-1810 гг.) 494.24 KB
  XVIII век в истории России - это жестокий, даже беспощадный век правления Петра I, решившего в короткие сроки изменить Россию, время стрелецких бунтов и дворцовых переворотов, правления Екатерины Великой, крестьянских войн и усиления крепостного права. Но в то же время для этого периода русской...
68030. Клубна діяльність – одна з активних форм самореалізації особистості 121 KB
  Кожен його учасник поставлений в однакові умови для всіх вироблені спільно єдині вимоги і правила оформлені як Статут клубу. Є ще одна значима особливість клубу: участь у ньому добровільна кількість членів не визначається як наприклад у гуртку чи спортивній секції.
68032. Сценарій свята «Книга – твій друг» 44 KB
  Книга – одне з найбільших див, створених людиною. Завдячуючи їй, ми дізнаємося про минуле та день сьогоднішній, вона веде нас у захоплюючу подорож по країні Знань, розповідає про те, як вирощують хліб і зводять будинки, варять сталь і приборкують ріки, створюють машини та літають у космос.
68033. Розробка бібліотечного уроку для учнів 3-х класів вчителя початкових класів 98 KB
  Мета: Ознайомити учнів з історією виникнення книги з першодрукарями; розвивати звязне мовлення школярів спостережливість допитливість; прищеплювати бажання поповнювати свій словниковий запас; виховувати дбайливе ставлення до книги. Без слова немає людської мови а без мови книги.
68034. Інтелектуально-розважальна гра „Що ми знаємо про Кобзаря?” 41 KB
  Оскільки підлітковий вік це час самоутвердження формування особистості то зважаючи на це пропонуємо в ненавязливій формі гри вивчати Шевченка позмагатися хто краще знає долю і творчість поета. Клас або актова зала прибрані відповідно до відзначення дня народження Тараса Григоровича Шевченка...
68035. Вшановуємо Великого Кобзаря 153.5 KB
  Мета уроку: розширити знання учнів про творчість та життєвий шлях Т.Г.Шевченка; виробити вміння осмислити та зрозуміти тяжку долю поету, прищепити повагу та любов до нього, до України, до її чудової природи, до співучої солов’їної мови; поповнювати словник дітей образними виразами...
68036. Ми чуємо тебе, Кобзарю, крізь століття... 312 KB
  Музичне оформлення: пісня Ми йдемо до Тараса В.Шевченко Відеоролик лунає уривок пісні Ми йдемо до Тараса В. Немає з нами великого Кобзаря та слова його бентежать і тривожать душу Тарас Шевченко був одним із тих кого ми називаємо провісником нового життя народним пророком титаном духу.