3484

Лекційний курс з основ фізики

Конспект

Физика

Тема 1. Фізичні основи механіки. Кінематика Лекція 1. Основи кінематики поступального та обертального рухів Основні визначення В механіці розглядають механічний рух. Під механічним рухом розуміють зміну з часом положення тіла відносно інших тіл в пр...

Украинкский

2012-11-02

2.71 MB

31 чел.

Тема 1. Фізичні основи механіки. Кінематика

Лекція 1. Основи кінематики поступального та обертального рухів

Основні визначення

В механіці розглядають механічний рух. Під механічним рухом розуміють зміну з часом положення тіла відносно інших тіл в просторі з часом. Тіло відліку – це тіло, відносно якого розглядається рух. Тіло відліку, система координат, пов’язана з ним і прилад для вимірювання часу разом становлять систему відліку. На практиці використовують декартову, циліндричну і сферичну системи координат.

Основна задача механіки – визначити положення тіла в будь-який момент часу в просторі. Для цього використовують певні фізичні величини та поняття. Матеріальна точка – це тіло, розмірами якого (але не масою!) за даних умов задачі можна знехтувати. Наприклад, у випадку переміщення автомобіля на відстань, яка набагато більша за розміри самого автомобіля, останній можна вважати матеріальною точкою, проте той самий автомобіль не можна приймати за матеріальну точку, коли в задачі розглядаються рухи в середині самого автомобіля, чи переміщення авто відбувається на відстані, співрозмірні чи менші за розміри транспортного засобу.

Траєкторія – це лінія, яку описує тіло під час свого руху (рис. 1.1). Шлях – це довжина траєкторії або це відстань, яку проходить тіло під час свого руху. Переміщення – це вектор, що сполучає початкове і кінцеве положення тіла.

Швидкість і прискорення

Нехай матеріальна точка рухається з т. А в т. В (рис. 1.2). Тоді  - переміщення, довжина дуги АВ траєкторії між початковим і кінцевим положенням точки є шляхом. Різні тіла за один і той же проміжок часу можуть здійснювати різні переміщення.

Фізична величина:

     (1.1)

називається середньою швидкістю.

Якщо зменшувати проміжок часу , то відношення  буде прямувати до деякої границі. Границя, до якої прямує середня швидкість при умові, що проміжок часу  називається миттєвою швидкістю, або швидкістю в даний момент часу в даній точці траєкторії. За означенням:

    (1.2)

Миттєва швидкість є першою похідною від радіус-вектора по часу. При  модуль вектора переміщення можна вважати приблизно рівним довжині дуги траєкторії, в цьому випадку модуль вектора швидкості буде такий:

,     (1.3)

де  - це шлях, пройдений тілом за час . Фізична величина, яка визначається із співвідношення:

     (1.4)

називається середнім прискоренням тіла на проміжку часу .

  (1.5)

Якщо зменшувати проміжок часу , то при  величина  буде наближатись до деякої границі. Фізична величина, яка визначається із співвідношення:

    (1.6)

називається прискоренням матеріальної точки.

Оскільки , то:

    (1.7)

Нехай за проміжок часу  швидкість точки змінилась від  до :

Як видно з рис. 1.4:

  (1.8)

,(1.9)

де  - тангенціальне прискорення, яке визначає зміну вектора швидкості по модулю та напрямлене по дотичній до траєкторії руху ,

- нормальне прискорення, яке визначає зміну вектора швидкості по напрямку, напрямлене до центру кривизни траєкторії. Відповідно повне прискорення:

   (1.10)

Кінематика обертального руху

Обертальний рух тіл можна характеризувати поворотом на деякий кут Δφ. Для випадку, якщо Δφ є достатньо малим для того, щоб вказувати напрям повороту, величину Δφ зображають вектором , модуль якого рівний , а напрям якого визначається за правилом правого гвинта. Якщо ручку гвинта повертати в напрямку руху тіла, то рух гвинта покаже напрям вектора . Введені таким чином вектори можна складати за правилом паралелограма, а називають їх псевдовекторами.

Фізична величина, яка визначається із співвідношення:

    (1.11)

називається кутовою швидкістю обертального руху тіла. Напрям кутової швидкості визначається за правилом правого гвинта і напрямлена вздовж осі обертання. Якщо , то маємо випадок рівномірного обертання. Для такого обертання . Воно характеризується періодом – тривалістю одного повного обертання:

     (1.12)

Рівномірний рух по колу характеризується частотою обертання – кількістю обертань за одиницю часу:

     (1.13)

Кутова швидкість може змінюватись за рахунок зміни лінійної швидкості обертання тіла навколо осі і внаслідок повороту осі обертання в просторі. Фізична величина, яка визначається із співвідношення:

    (1.14)

називається кутовим прискоренням тіла.

Знайдемо зв’язок між лінійною і кутовою швидкостями тіла. Нехай за час Δt тіло, що обертається навколо осі здійснило поворот на кут Δφ. При цьому його переміщення нехай буде рівним ΔS (рис. 1.5).

Як ми знаємо, модуль швидкості тіла:

  (1.15)

Отже:

Знайдемо вираз, який пов’язує вектори  і . Нехай матеріальна точка обертається навколо деякої осі і її кутова швидкість напрямлена вздовж цієї осі. Як видно з малюнка, вектор швидкості  перпендикулярний до площини, утвореної векторами  і . Знайдемо модуль вектора швидкості:

( - радіус кола)

    (1.16)

    (1.17)

Модуль вектора швидкості дорівнює модулю векторного добутку  і , а напрямок визначається за правилом правого свердлика1:

Рис. 1.6

Так як нормальне прискорення при обертальному русі напрямлене до центра кола вздовж радіуса, то воно визначатиметься із співвідношення:

,     (1.18)

де  - одиничний вектор, який напрямлений по радіусу кола.

    (1.19)

  (1.20)

У векторній формі, відповідно:        (1.21)

Слід відмітити, що зв’язок між лінійним і кутовим прискоренням можна знайти, скориставшись правилом диференціювання векторного добутку:

    (1.22)

Розглянемо приклади руху:

а) рівномірний прямолінійний рух.

,           (1.23)

б) рівномірний рух по колу.

,           (1.24)

в) рівнозмінний прямолінійний рух.

, ,        (1.25)

г) рівнозмінний рух по колу.

, ,        (1.26)

Лекція 2. Основи динаміки матеріальної точки та абсолютно твердого тіла

Перший закон Ньютона.

Кінематика вивчає рух тіл не торкаючись причин виникнення і зміни цього руху. В динаміці вивчається рух тіла2, а також причини зміни цього руху, які є наслідком дії на дане тіло інших тіл. В основі динаміки лежать три закони Ньютона. Перший закон Ньютона називається законом інерції. В свій час Галілей показав, що для підтримки рівномірного і прямолінійного руху не потрібна ніяка дія зі сторони інших тіл. Наприклад, тіло, що котиться по горизонтальній поверхні зупиниться тому, що на нього чинить дію сама ця поверхня (діє сила тертя). Якби цієї дії не було, то тіло котилося б нескінченно довго. Ньютон, узагальнивши всі експериментальні факти, сформував свій перший закон:

Будь-яке тіло зберігає свій стан спокою або прямолінійного і рівномірного руху, доки дія на нього зі сторони інших тіл не змусить його змінити цей стан.

Система відліку, в якій виконується перший закон Ньютона називається інерціальною. Якщо в системі відліку перший закон Ньютона не виконується, то, відповідно, вона називається неінерціальною. По суті, перший закон Ньютона стверджує, що в природі існують інерціальні системи відліку. Найбільш наближається до інерціальної системи відліку система, в якій тіло відліку є Сонце, а осі координат напрямлені на віддалені зорі (геліоцентрична система відліку).

Якщо ж системі відліку пов’язати із Землею, то вона, строго кажучи, не буде інерціальною, оскільки Земля рухається навколо Сонця і навколо своєї осі, а отже рухається із прискоренням. В зв’язку з цим вище сказану систему відліку не можна вважати інерціальною. Однак, в багатьох випадках цими рухами можна нехтувати і таку систему відліку вважають інерціальною.

Сила. Маса. Другий закон Ньютона.

До Галілея вважали, що рух тіл зумовлений дією на них інших тіл з певною силою. Галілей, на основі експериментів показав, що не швидкість, а зміна швидкості тіла має певну причину і саме з цим він пов’язав поняття сили. З досліду відомо, що тіла змінюють свою швидкість в тому випадку, коли на них діють інші тіла. Крім того дія одного тіла на інше може спричинити деформацію останнього. Величина, що характеризує ці явища, є силою. Отже, сила – це фізична величина, що характеризується дією одного тіла на інше, внаслідок чого останнє може змінювати свою швидкість або деформуватись. Сила є векторною величиною, тобто це векторна кількісна характеристика взаємодії тіл.

Якщо на дану матеріальні точку діє кілька тіл, то як показують експерименти, їхня дія є незалежною і сила зумовлена дією цих тіл, рівна геометричній або векторній сумі сил, створених кожним тілом окремо:

   (1.27)

Велична сили визначається по величині деформації або прискорення, яке отримує тіло при взаємодії. На практиці найчастіше силу вимірюють за допомогою пружини, розміщуючи біля незакріпленого кінця пружини шкалу. По її розтягу можна визначити значення діючої сили.

Як показує дослід, під дією одної і тої ж сили різні тіла набувають різних прискорень, але якщо взяти окреме тіло, то відношення діючої на нього сили до прискорення тіла є величина стала. Якщо ж з двох тіл під дією одної і тої ж сили одне набуває меншого прискорення, то кажуть, що воно є більш інертним. Кількісною характеристикою інертності тіл є маса. За одиницю маси в СІ (система інтернаціональна) беруть 1 кг.

З експерименту відомо, що прискорення, якого набуває тіло, прямо пропорційне діючій на нього силі і обернено пропорційне масі цього тіла:

     (1.28)

Це і є математичний запис другого закону Ньютона, який також можна записати у вигляді: .

Якщо на тіло діє не одна, а кілька сил, то другий закон Ньютона можна сформулювати так:

Рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку маси цього тіла на його прискорення: 

     (1.29)

З другого закону Ньютона випливає, що якщо виконується рівність , то . Тобто якщо на тіло не діють ніякі сили, або дія цих сил компенсується, то тіло знаходиться в стані спокою або рівномірного і прямолінійного руху.

Може виникнути враження, що перший закон Ньютона є наслідком другого. Проте, перший закон Ньютона має глибоке самостійне значення тому, що він передбачає існування інерціальної системи відліку, в якій виконується другий закон Ньютона. З цього випливає фундаментальна властивість тіл – інертність.

Третій закон Ньютона.

В другому законі Ньютона йшла мова про сили, що діють на дане тіло. Але, сила характеризує взаємодію принаймні двох тіл. Роль другого тіла в динамічних явищах відображена в третьому законі Ньютона:

Два тіла взаємодіють між собою із силами, які направлені вздовж однієї прямої, рівними за модулем і протилежними за напрямком:

     (1.30)

Необхідно пам’ятати, що в третьому законі Ньютона мова йде про сили, прикладені до різних тіл, тому не можна говорити про рівнодійну цих сил.

Що ж стосується умов виконання всіх трьох законів Ньютона, то слід зазначити, що вони виконуються тільки в нерелятивіському випадку, тобто тоді, коли тіла рухаються повільно (мається на увазі те, що їхня швидкість мала, в порівнянні із швидкістю світла – ).

Сили тертя

Сили тертя виникають при контактній взаємодії тіл. Розрізняють зовнішнє тертя і внутрішнє. Сили зовнішнього тертя виникають між поверхнями двох твердих тіл, які дотикаються. Якщо сила тертя виникає між частинками однієї і тієї ж речовини, то вона називається силою внутрішнього тертя.

Якщо між поверхнями тіл, що дотикаються, немає ніякого прошарку то таке тертя називають сухим. А тертя між поверхнею твердого тіла і рідиною або газом або між шарами рідини або газу називається в'язким тертям.

Сухе тертя в свою чергу поділяється на тертя ковзання і тертя кочення. Сили тертя завжди напрямлені по дотичних до тертьових поверхонь і напрямлені проти відносної швидкості цих поверхонь. Сухе тертя між поверхнями може виникати не тільки при відносному русі двох тіл, а й при намаганні викликати цей рух.

Наприклад, для того щоб зрушити з місця масивне тіло потрібно прикласти достатньо велику силу. Якщо ця сила недостатня, то тіло буде знаходитись в спокої. Але між поверхнею цього тіла і поверхнею, на якій воно знаходиться, виникне сила тертя, яка називається силою тертя спокою.

Якщо зовнішня сила досягне певного значення, то тіло починає ковзати. Сила тертя, рівна по величині зовнішній силі, при якій тіло починає ковзати, називається максимальною силою тертя спокою (рис. 1.73).

Як показує експеримент, максимальна сила тертя спокою пропорційна силі нормального тиску, тобто силі, яка перпендикулярна до поверхні дотичних тіл і притискає ці поверхні одна до одної. Крім того, вона залежить від матеріалу, з якого виготовлені тіла і від способу обробки поверхонь:

,   (1.31)

де μ — коефіцієнт пропорційності, який називається коефіцієнтом тертя, N сила реакції опори, яка за III законом Ньютона по модулю рівна силі нормального тиску (рис. 1.8).

Сили тертя пояснюють взаємодію між нерівностями поверхонь, що дотикаються. Ці нерівності “чіпляються” між собою. У випадку, якщо поверхні оброблені дуже якісно, то сила тертя виникає внаслідок взаємодії між атомами, що знаходяться на цих поверхнях. Якщо зовнішня сила досягне значення, рівного значенню максимального тертя спокою, то тіло починає ковзати по поверхні, але сила тертя при цьому не зникає і вона називається в цьому випадку силою тертя ковзання. Сила тертя ковзання залежить також від природи і способу обробки поверхні. Але вона також залежить і від відносної швидкості тертьових поверхонь. Найбільш характерний вид цієї залежності такий (рис. 1.9):

На практиці часто приймають, що сила тертя ковзання не залежить від швидкості і дорівнює максимальному значенню сили тертя спокою.

У випадку, якщо одне тіло котиться по поверхні іншого, то виникає сила тертя кочення. Формулу, за допомогою якої можна визначити тертя кочення, дослідним шляхом встановив Ньютон. Він показав,

що сила тертя кочення пропорційна силі нормального тиску і обернено пропорційна радіусу тіла:

,     (1.32)

де μkкоефіцієнт тертя кочення.

Як видно із залежності, коефіцієнт тертя кочення має розмірність довжини, він не залежить від швидкості кочення і радіуса тіла, а залежить від матеріалу і стану поверхні тіл.

Експеримент показує, що сила тертя кочення при тих же умовах завжди менша від сили тертя ковзання. Сили тертя відіграють надзвичайно важливу роль в природі, а також в житті і практичній діяльності людини. Завдяки силі тертя ми можемо ходити по поверхні Землі. Вона буває корисною і шкідливою.

При русі тіл в рідині або газі також виникає сила тертя. Можна вважати, що для невеликих швидкостей сила тертя пропорційна швидкості тіла:

,     (1.33)

де k1коефіцієнт в’язкого тертя або коефіцієнт в’язкості. Він залежить від розмірів, форми і стану поверхні тіла, а також властивостей рідини або газу, в якому рухається тіло.

На відміну від сухого, в'язке тертя характерне тим, що в цьому випадку не існує сили тертя спокою. Сила в'язкого тертя стає рівною нулю одночасно із швидкістю. При збільшенні швидкості, сила тертя починає залежати нелінійно від швидкості і для певних швидкостей вона пропорційна квадрату швидкості:

,     (1.33а)

а при ще більших швидкостях пропорційна кубу швидкості:

.     (1.33б)

Сили пружності. Закон Гука.

Всі тверді тіла під дією зовнішньої сили деформуються, якщо після припинення дії сили деформація тіла повністю зникає, і тіло повністю відновлює свою форму то такі тіла називають абсолютно пружними, а саму деформацію пружною. Якщо форма тіла не відновлюється, то такі тіла називають непружними або пластичними.

В природі існує багато твердих тіл, які  при невеликих деформаціях можна вважати абсолютно пружними (метали, каучук, гума), але є і тіла (сира глина, віск, пластилін), які при малих деформаціях поводять себе як пластичні тіла.

В природі існує цілий ряд різних видів деформацій: односторонній або векторний стиск або розтяг, згин, зсув, кручення та інші.

При будь-якій деформації виникають сили, які залежать як від величини так і від типу деформації. Ці сили називаються силами пружності. Найзручніше деформацію тіл вивчати на прикладі тонкого стержня, виготовленого із пружного матеріалу, один кінець якого закріплено (Рис. 1.10).

Якщо до незакріпленого кінця прикласти силу F, то він видовжиться під дією цієї сили, а величина  називається абсолютним видовженням стержня. Величина  називається відносним видовженням стержня.

Ці величини характеризують деформацію тіл. В розтягнутому стержні виникає сила пружності F, яка за третім законом Ньютона .

Фізична величина, яка визначається із співвідношення:

      (1.34)

називається механічною напругою, де S — площа поперечного перерізу стержня.

Як показують експерименти, для невеликих деформацій:

,     (1.35)

тобто механічна напруга пропорційна видовженню, де Е — коефіцієнт пропорційності, який називається модуль Юнга. Даний вираз можна записати так:

,     (1.36)

,     (1.37)

Позначимо:

,     (1.38)

Отже:       ,

а закон Гука можна сформулювати так:

Для малих деформацій сила пружності пропорційна величині деформації і напрямлена в сторону, протилежну до зміщення частинок деформованого тіла

      (1.38)

Як випливає з закону при ε=1 , тобто модуль Юнга чисельно дорівнює механічній напрузі при відносній деформації, рівній одиниці. Він характеризує пружні властивості різних тіл і дається в таблицях. Одиниця вимірювання модуля Юнга:

Як показує експеримент, при поздовжній деформації змінюються також поперечні розміри тіл. Величина

,     (1.39)

де d — діаметр стержня, - зміна цього діаметра при деформації, називається відносним поперечним розтягом або стиском. Для багатьох матеріалів відношення коефіцієнта поперечної деформації до відносної поздовжньої деформації  є величина стала.

Величина

     (1.40)

називається коефіцієнтом Пуассона або модуль поперечного розтягу або стиску. Коефіцієнт Пуассона поряд з модулем Юнга є важливою характеристикою пружних властивостей твердих тіл.

Імпульс. Закон збереження імпульсу

Як відомо за ІІ законом Ньютона: , але , тоді:

   (1.41)

Фізична величина, що визначається з співвідношення

    (1.42)

називається імпульсом тіла. Це векторна величина, напрям її співпадає з напрямом вектора швидкості. Одиниці вимірювання - .

Виходячи з означення імпульсу ІІ закон Ньютона можна записати так:

Дана рівність є більш загальною формою запису ІІ закону Ньютона, оскільки в цьому випадку ІІ закон Ньютона виконується і для тіл змінної маси.

Розглянемо систему з N взаємодіючих матеріальних точок. Для кожної точки цієї системи виконується ІІ закон Ньютона:

      

    (1.43)

    

де - імпульс і- тої матеріальної точки, - сила, що діє з боку k- тої матеріальної точки на і- ту – це є внутрішні сили даної системи, - зовнішня сила, що діє на і-ту матеріальну точку.

    (1.44)

Просумуємо ліві і праві частини рівностей:

  (1.45)

Згідно ІІІ закону Ньютона , тоді:

,     (1.46)

і отже           (1.47)

Якщо на матеріальні точки даної системи не діють зовнішні тіла, або поля, а вони взаємодіють тільки між собою всередині системи, то така система називається замкнутою.

  (1.48)

де - загальний імпульс замкнутої системи матеріальних точок.

Отже для замкнутої системи можна сформулювати закон збереження імпульсу:

Імпульс замкнутої системи матеріальних точок є величиною сталою

    (1.49)

Закон збереження імпульсу є одним із фундаментальних законів природи. Він виконується в будь-якому випадку і виражає одну із фундаментальних симетрій простору, а саме однорідність простору або трансляційну симетрію. Якщо сума проекцій зовнішніх сил, що діють на дану систему на одну із координатних осей рівна нулю, то закон збереження імпульсу буде виконуватись в проекції на цю координатну вісь.

Реактивний рух

В класичній механіці під рухом тіл змінної маси розуміють такий рух, коли маса тіла змінюється за рахунок зміни кількості речовини цього тіла, а його швидкість мала, порівняно із швидкістю світла.

Найбільш типовим прикладом цього руху є рух ракет. Принцип дії ракет дуже простий. Продукти згорання палива викидаються з великою швидкістю з ракети, діючи на неї з певною силою і надаючи їй певного прискорення. При цьому швидкість ракети збільшується, а її маса зменшується, за рахунок зменшення маси палива, що згорає.

Знайдемо рівняння руху ракети. Нехай в момент часу t маса ракети була m, а швидкість - , отже імпульс:.

В момент часу t+dt маса ракети m-dm, а швидкість - , імпульс

Тоді з рівняння ми отримаємо:

  (1.50)

де - імпульс продуктів згорання палива, - маса палива, що згорає за час , - рівнодійна всіх сил, що діють на ракету.

Розкриємо дужки:

 (1.51)

За законами додавання швидкостей: , де - швидкість палива відносно ракети, - швидкість ракети відносно землі.

  (1.51)

Ділимо на  і отримуємо рівняння руху ракети, або рівняння Мещерського:

   (1.51)

Величина називається масою палива, що згорає за одиницю часу.

   (1.52)

- називається реактивною силою.

Розглянемо випадок коли , тоді з рівняння Мещерського

    (1.53)

Позначимо . Рівняння Мещерського є ІІ законом Ньютона для руху тіл змінної маси:

    (1.53)

Рух ракети в безповітряному просторі без дії зовнішніх сил:

,     (1.54)

   (1.54)

при отже . Отримуємо рівняння для швидкості руху ракети, або рівняння Ціолковського:

   (1.55)

Швидкість ракети (кінцева) визначається тільки відносно швидкості витікання продуктів згорання та логарифмом відношення початкової та кінцевої маси.

Швидкість, необхідна для подолання тілом сили тяжіння, внаслідок чого це тіло стане штучним супутником Землі, називається першою космічною швидкістю та становить . Швидкість, необхідна для того щоб тіло вийшло на навколосонячну орбіту називається другою космічною швидкістю та становить . Для того щоб тіло назавжди покинуло Сонячну систему, йому необхідно надати третю космічну швидкість: .

Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу

Розглянемо рух матеріальної точки масою m під дією сил, рівнодійна яких рівна F. За ІІ законом Ньютона:

    (1.56)

Назвемо моментом імпульсу матеріальної точки векторний добуток її радіус-вектора на імпульс:

   (1.56)

Знайдемо похідну:

 (1.56)

Моментом сили відносно даної точки називають векторний добуток радіус-вектора на силу. Тобто:

   (1.57)

Підставивши в (1.56) ми отримаємо теорему про зміну моменту імпульсу матеріальної точки:

Похідна від моменту імпульсу матеріальної точки по часу дорівнює сумі моментів всіх сил, прикладених до цієї матеріальної точки, тобто:

   (1.58)

Якщо , то

Момент імпульсу матеріальної точки є сталим, якщо сума моментів всіх сил, прикладених до цієї матеріальної точки дорівнює нулю.

Закон збереження моменту імпульсу можна сформулювати так:

У замкнутій системі сумарний момент імпульсу всіх тіл системи є величиною сталою:

    (1.58)

Обертальний рух матеріальної точки відносно нерухомої осі

Якщо тіло обертається відносно нерухомої осі, то кожна його точка рухається по колу відповідного радіуса (рис. 1.11). Розглянемо рух матеріальної точки по колу

     (1.59)

Знайдемо роботу сили F:

Роботу виконує тільки тангенціальна складова сили F:

 

Потужність обертального руху:

    (1.59)

Для твердого тіла, оскільки для його точок  є однаковим, то:

,    (1.60)

де M — рівнодійна моментів сил, прикладених до однієї точки.

Знайдемо кінетичну енергію матеріальної точки, що обертається навколо нерухомої осі:

Отже, для обертального руху:

    (1.61)

Величина, що дорівнює добутку маси матеріальної точки на квадрат відстані до осі обертання називається моментом інерції матеріальної точки.

     (1.62)

Відповідно для кінетичної енергії обертального руху можна записати:

    (1.63)

За теоремою про зміну кінетичної енергії:

     (1.64)

У векторній формі:

     (1.64а)

Це є основне рівняння динаміки для обертального руху або ІІ закон Ньютона для обертального руху.

Для  абсолютно твердого тіла, оскільки для нього ω і ε однакові для всіх точок, то:

   (1.65)

    (1.66)

Моментом інерції твердого тіла називається сума моментів інерцій елементів мас з яких це тіло складається. Аналогічно основне рівняння динаміки обертального руху тіла має вигляд:

,

де - рівнодійна моментів всіх сил, прикладених до тіла, I - момент інерції тіла, - кутове прискорення тіла.

Приклад. 

Знайдемо момент інерції стержня довжиною L, масою m відносно осі, що проходить через його центр мас (рис. 1.12). Для цього розділимо стержень на елементи маси dm. Відстань до елемента маси від осі х.

Теорема Штейнера (Гюйгенса)

Нехай нам заданий момент інерції твердого тіла відносно осі, що проходить через центр його мас  (рис. 1.13).

Знайдемо момент інерції цього тіла відносно осі , яка паралельна попередній і віддалена від неї на відстань d. Проведемо через dm площину паралельну XOY:

- момент інерції тіла відносно осі S.

    (1.67)

Отже, момент інерції твердого тіла відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла, що проходить через його центр мас і яка паралельна попередній, і добутку маси тіла на квадрат відстані між осями.

Лекція 3. Робота. Енергія. Потужність

Предметом вивчення природних наук є форми руху матерії. З досліду відомо, що рух може переходити з однієї форми в іншу, але він не знищувальний, оскільки сама матерія знаходиться в безперервному русі. Мірою руху матерії є фізична величина, яка називається енергією.

Як показують експерименти при переході руху з однієї форми в іншу зменшення енергії пов'язане з рухом однієї форми і рівне приросту енергії, пов'язаного з рухом іншої форми. Кількість енергії, яка перейшла з однієї форми в іншу дорівнює різниці енергії до переходу і після переходу. Різниця цих енергій, тобто кількість енергій яка перейшла з однієї форми в іншу називається роботою.

В механіці під роботою сили , під дією якої тіло здійснює переміщення  (рис. 1.14) називається фізична величина, яка визначається із співвідношення:

,    (1.68)

де α — кут між векторами і , - проекція вектора  на переміщення .

Виходячи з поняття скалярного добутку, роботу можна визначити за формулою:

    (1.69)

У випадку якщо тіло рухається по кривій (по криволінійній траєкторії), то для того, щоб знайти роботу сили, що діє на тіло при переміщенні його між двома точками, потрібно цю траєкторію розбити на достатньо малі ділянки, такі, щоб їх можна було вважати прямолінійними, а силу на цих ділянках сталою, знайти роботу на кожній з цих ділянок і результати скласти.

На графіку залежності сили F від переміщення l робота буде рівна площі криволінійної трапеції (рис. 1.15). В загальному випадку роботу тіла при переміщенні тіла з т.1 в т.2 знаходять із співвідношення:

  (1.68)

Якщо на тіло діє не одна, а декілька сил, то тоді рівнодійна:

  (1.69)

і тоді: ,

а робота:

.  (1.70)

Робота, виконана декількома силами, що діють на дане тіло дорівнює алгебраїчній сумі робіт виконаних кожною силою окремо. В СІ одиницею роботи є 1 Дж = 1 Н ∙ 1 м

Величина

     (1.71)

називається кінетичною енергією тіла, а співвідношення:

    (1.72)

називається теоремою про кінетичну енергію: робота сили при переміщенні матеріальної точки дорівнює приросту кінетичної енергії цієї точки.

Робота, виконана силою гравітаційного тяжіння, не залежить від форми траєкторії, по якій рухається тіло, а визначається тільки початковим і кінцевим положенням тіла. Сили, робота яких не залежить від форми траєкторії по якій рухається тіло, називаються консервативними. Якщо залежить, то неконсервативними. А поля, в яких діють консервативні сили – потенціальними. Робота консервативних сил по замкнутому контуру рівна нулю. Це є математичний критерій потенціальності поля консервативних сил:

    (1.73)

Тобто, циркуляція вектора сили по довільному замкненому контуру L дорівнює нулю.

Потенціальна енергія – це функція стану величини, яка визначається тільки положенням, диференціал цієї величини дорівнює елементарній роботі з протилежним знаком.

Потенціальна енергія тіла в полі земного тяжіння:

    (1.74)

Потенціальна енергія тіла, піднятого на висоту h над нульовим рівнем:

    (1.75)

Потенціальна енергія стягнутої (розтягнутої) пружини:

    (1.76)

Робота при обертальному русі.

Нехай до абсолютно твердого тіла прикладено дотичну силу , під дією якої воно повернулось на малий кут  (рис. 1.16). При цьому точка прикладання сили перемісти- ться на відстань . Переміщення  можна визначити через

радіус R та кут :

  (1.77)

З рисунка 1.16 видно, що l — плече сили . Елементарна робота:

   (1.78)

,    (1.79)

тобто елементарна робота при повороті тіла на елементарний кут  чисельно дорівнює добутку моменту діючої сили на цей кут. Якщо тіло повернулось на певний кут  від положення до положення , то повна робота в обертальному русі:

    (1.80)

Якщо М=const, то:

   (1.81)

Закони збереження енергії в механіці

Якщо у механічній системі діють сили тертя або опору, механічна енергія поступово зменшується за рахунок перетворення в інші види енергії (наприклад у теплову). Цей процес називається дисипацією (розсіюванням) енергії.

Механічна енергія не зберігається, а виконується загальнофізичний закон збереження енергії:

Енергія не виникає з нічого і не зникає безслідно: вона може тільки передаватись від одних фізичних систем до інших або переходити з одного виду в інший в еквівалентних кількостях.

Якщо ж в системі сили тертя не діють або ж вони настільки малі, що ними нехтують, то виконується закон збереження механічної енергії:

У замкненій системі консервативних сил повна механічна енергія є величиною сталою:

- для матеріальної точки     (1.82)

- для системи матеріальних точок   (1.83)

Потужність

Одну і ту ж роботу різні сили виконують за різний час. Робота, що виконується за одиницю часу називається потужність або миттєва потужність. Потужність визначається із співвідношення:

                                                    (1.84)

;                                                  (1.85)

                                                (1.86)

В СІ одиницею потужності є 1 Вт = 1 Дж/1с.

Середня потужність —  фізична величина, що визначається відношенням всієї виконаної роботи А до часу Δt, за який цю роботу було виконано:

     (1.87)

При обертальному русі матеріальної точки (абсолютно твердого тіла):

,

де M — момент діючої сили, ω — миттєва кутова швидкість матеріальної точки (абсолютно твердого тіла).


ЛЕКЦІЯ 04

Електростатичне поле та його  характеристики

1. Електричний заряд. Закон збереження електричного заряду замкненої системи

В природі відомо кілька видів взаємодій між елементами матерії (гравітаційна, електрична). Гравітаційна взаємодія універсальна: вона притаманна всій матерії в цілому; електрична взаємодія не настільки універсальна – їй піддаються лише тіла, які мають електричні заряди. Такі тіла називають зарядженими тілами.

На відміну від гравітаційної взаємодії, яка завжди приводить до притягання, яке залежить лише від маси тіла, електрична взаємодія приводить і до притягання, і до відштовхування. Це означає наявність двох типів зарядів, які відрізняються знаком: тіла, заряджені електрикою одного знаку, відштовхуються, різних знаків – притягуються. Таким чином, електричний заряд характеризує здатність тіл чи частинок до електромагнітних взаємодій.

Одиниця   електричного заряду – 1Кл = 1А·с. 1 Кл – електричний заряд, що проходить через поперечний переріз провідника при силі струму 1А за час 1 с. Кулон – похідна одиниця.

Елементарний електричний заряд е = 1,6·10-19Кл. Носій елементарного негативного заряду – електрон; носій елементарного позитивного заряду – протон.

Зазначимо, що атом в цілому не заряджений (оскільки сумарний заряд електронів дорівнює позитивному заряду ядра). А тому може віддавати електрони і ставати позитивно зарядженим іоном. Таким чином, зарядження будь-якого тіла – це перенесення на нього електронів чи іонів або вихід їх з нього.

Результуючий (сумарний) заряд тіла

,

де  і  – число елементарних позитивних і негативних зарядів.

В усіх явищах, в яких беруть участь електричні заряджені тіла і частки, має місце закон збереження електричних зарядів: в замкненій системі (тобто системі, що не обмінюється зарядами з зовнішніми тілами) за будь-яких процесів алгебраїчна сума позитивних і негативних зарядів з плином часу не змінюється, тобто:

.

Це означає, що всередині замкненого об'єму змінити сумарний електричний заряд можна лише шляхом внесення зарядів ззовні або шляхом винесення їх за межі об'єму, що розглядається.

 Фундаментальні властивості електричного заряду такі:

1) Існує в двох видах: позитивний і негативний. Однойменні заряди відштовхуються, різнойменні – притягуються.

2) Електричний заряд інваріантний (його величина не залежить від системи відліку, тобто не залежить від того, рухається він чи перебуває в стані спокою.

3) Електричний заряд дискретний, тобто заряд будь-якого тіла складає ціле кратне від елементарного електричного заряду е.

4) Електричний заряд адитивний (заряд будь-якої системи тіл (частик)  дорівнює сумі зарядів тіл (частинок), що входять в систему).

5) Електричний заряд підкоряється закону збереження заряду.

2. Закон Кулона

Закон Кулона, відкритий Ш. Кулоном в 1785 р., –  це експериментально встановлений закон взаємодії нерухомих точкових зарядів у вакуумі. Він має таке формулювання:

Сила взаємодії двох нерухомих точкових зарядів  і  у вакуумі прямо пропорційна добутку величин цих зарядів, обернено пропорційна квадрату відстані  між ними і спрямована вздовж прямої, яка сполучає ці заряди:

, або в векторній формі:

де ;  – радіус-вектор, спрямований від заряду  до заряду .

Зазначимо, що точковий заряд  – це фізична абстракція. Точковий заряд – це заряд, зосереджений на тілі, лінійні розміри якого настільки малі порівняно з відстанню до інших заряджених тіл, з якими він взаємодіє, що ними можна знехтувати.

Інша форма запису закону Кулона (в системі СІ)

,

де  – електрична стала (діелектрична проникність), яка є фундаментальною фізичною сталою; .

У разі розташування двох точкових зарядів в однорідному і ізотропному середовищі з відносною діелектричною проникністю середовища

.

Тут позначено:  – діелектрична проникність середовища. Це безрозмірна величина, яка показує в скільки разів сила взаємодії F між зарядами в даному середовищі менше їх сили взаємодії F0 у вакуумі: .

Принцип суперпозиції кулонівських сил: сила, яка діє на заряд, дорівнює векторній сумі сил дії інших зарядів на даний заряд:

.

3. Електростатичне поле та його напруженість. Лінії напруженості поля

Визначення електростатичного поля. Між зарядженими тілами діють електричні сили, отже, заряджене тіло створює навколо себе певне силове поле – електричне поле. Електричне поле – це матеріальна складова електромагнітного поля, яке діє на заряд, зумовлена зарядами (а в загальному випадку також змінним у часі магнітним полем). Електричне поле оточує кожне заряджене тіло (з зарядом ) і простягається до нескінченності.

Електростатичне поле – це поле, яке створюється нерухомими зарядами і в кожній точці не змінюється в часі.

Напруженість електростатичного поля – це фізична величина, яка визначається силою, що діє на одиничний позитивний заряд, внесений в дану точку поля:

.

Напруженість поля – це силова векторна характеристика цього поля.

Одиниця  напруженості – 1Н/Кл = 1В/м. 1 Н/Кл – напруженість такого поля, яке на точковий заряд 1 К і діє силою 1 Н.

Для дослідження електростатичного поля вносять в нього маленьке заряджене тіло, яке несе малий електричний заряд (його називають пробний заряд). Пробний точковий заряд практично не спотворює поле (не викликає перерозподілу зарядів, які створюють поле), і тому по силі, яка діє на пробний заряд, можна зробити висновок про поле, створене зарядженим тілом (або сукупністю заряджених тіл).

Напруженість поля точкового заряду в вакуумі визначається залежністю:

,

де – радіус-вектор, який з'єднує дану точку поля з зарядом , або  в скалярній формі запису

.

Напрям вектора співпадає з напрямом сили, яка діє на позитивний заряд. Якщо поле створюється позитивним зарядом, то вектор  направлений уздовж радіусу-вектора від заряду в зовнішній простір (відштовхування пробного позитивного заряду); якщо поле створюється негативним зарядом, то вектор Е направлений до заряду (див. рис. 1).

Рис. 1

Лінії напруженості (силові лінії) електростатичного поля це лінії, дотичні до яких в кожній точці співпадають з напрямом вектора  (рис. 2, а). Густина силових ліній, що проходять через одиницю поверхні, перпендикулярної до них, пропорційна модулю . Лінії  починаються і закінчуються на електричних зарядах і ніде не перехрещуються.

Для однорідного поля (коли вектор напруженості в будь-якій точці постійний по модулю і напряму) лінії напруженості паралельні вектору напруженості. Якщо поле створюється точковим зарядом, то лінії напруженості – радіальні прямі, що виходять із заряду, якщо він позитивний (рис. 2, б), і входять в нього, якщо заряд негативний (рис. 2, в).

Рис. 2

Електричне поле характеризують також електричним зміщенням (або вектором електричної індукції ). Вектор в вакуумі визначається залежністю:

,

а в будь-якому ізотропному середовищі –

.

Одиниця електричного зміщення – Кл/м.

Зазначимо, що обидві характеристики поля ( і ) еквівалентні: із залежності  по одній з них легко визначити другу. Так само і для графічного описання поля замість електричних силових ліній (ліній напруженості електричного поля) можна застосовувати лінії електричного зміщення (оскільки  в  раз відрізняється від , причому ).

Повернемося (з врахуванням введеного вектора ) до визначення поняття однорідного поля: електричне поле називається однорідним, якщо  (або ) однакові (за напрямом і абсолютним значенням) в кожній точці поля, що відповідає однаковій густоті силових ліній. Приклад однорідного поля – електричне поле в середній частині плоского конденсатора.

4. Робота сил електростатичного поля по переміщенню точкового заряду

Точковий заряд q переміщується в полі заряду q0 уздовж довільної траєкторії.

У загальному випадку неоднорідного поля, коли Е змінюється від однієї точки до іншої, на малій ділянці здійснюється така робота (див. рис. 3):

,

Рис. 3

Робота по переміщенню заряду q0  з точки 1 в точку 2:

  (1)

не залежить від траєкторії (форми шляху) переміщення, а визначається тільки положеннями початкової 1 і кінцевої 2 точок. Отже, електростатичне поле точкового заряду є потенціальним, а електростатичні сили – консервативними.

Робота по переміщенню заряду q0  в зовнішньому електростатичному полі по будь-якому замкненому контуру L, згідно з (1)

                                                     (2)    

Циркуляція вектора . Якщо електричний заряд, що переноситься, є одиничним, то елементарна робота сил поля на шляху дорівнює  де – проекція вектора  на напрям елементарного переміщення. Інтеграл   називається циркуляцією вектора напруженості.

Теорема про циркуляцію вектора . Формулу (2) можна записати у такому виді:

Це є теорема про циркуляцію вектора Е. Силове поле, яке має таку властивість, називається потенціальним (ця формула справедлива лише для електростатичного поля).

5. Потенціал електростатичного поля

Визначимо потенціальну енергію заряду (U)

Робота консервативних сил здійснюється за рахунок зменшення потенціальної енергії, тобто А12 можна представити як різницю потенціальних енергій заряду q0 в початковій і кінцевій точках поля заряду q :

Потенціальна енергія заряду q0, що знаходиться в полі заряду q на відстані r від нього, дорівнює

(прийняли, що при ).

Якщо поле створюється системою n точкових зарядів, то потенціальна енергія U заряду q0, що знаходиться в цьому полі, дорівнює сумі його потенціальних енергій Uі, створюваних кожним із зарядів окремо:

Потенціал () в якій-небудь точці електростатичного поля є фізична величина, яка визначається потенціальною енергією одиничного позитивного заряду, поміщеного в дану точку:

Потенціал є енергетичною скалярною характеристикою електростатичного поля

Одиниця потенціалу 1В = 1Дж/Кл. 1В (вольт)—потенціал такої точки поля, в якій заряд в 1 Кл має потенціальну енергією 1 Дж.

1 В = 1 Дж/Кл

Потенціал поля точкового заряду 

 де rвідстань від даної точки до заряду q, що створює поле.

6. Різниця потенціалів. Принцип суперпозиції електростатичних полів 

Робота по переміщенню заряду в полі. Робота сил електростатичного поля по переміщенню точкового заряду  з точки 1 в точку 2:

    (3)

тобто дорівнює добутку заряду, що переміщується, на різницю потенціалів в початковій і кінцевій точках.

Робота сил поля по переміщенню заряду  з точки 1 в точку 2 можна також записати  у вигляді:

.           (4)

Різниця потенціалів двох точок 1 і 2 в електростатичному полі визначається роботою, яка здійснюється силами поля по переміщенню одиничного позитивного заряду з точки 1 в точку 2. Прирівнявши (3) і (4), отримаємо

,

де інтегрування можна проводити уздовж будь-якої лінії, що сполучає початкову і кінцеву точки, оскільки робота сил електростатичного поля не залежить від траєкторії переміщення.

Ще одне формулювання потенціалу. Якщо переміщати заряд з довільної довільної точки за межі поля, тобто в нескінченність, де за умовою потенціал дорівнює нулю, то робота сил  електростатичного поля, згідно з формулою (3), , звідки

.

Потенціал – фізична величина, яка визначається роботою по nepеміщуванню одиничного позитивного заряду у разі віддалення його з даної точки в нескінченність.

Принцип суперпозиції (накладення) електростатичних полів полягає в тому, що у разі створення поля декількома зарядами, потенціал поля системи зарядів дорівнюватиме алгебраїчній сумі потенціалів полів всіх цих зарядів:

.

7. Еквіпотенциальні поверхні

Для наочного графічного зображення поля  замість ліній напруженості поля зручно використовувати поверхні однакового потенціалу (еквіпотенциальні поверхні).

Еквіпотенциальні поверхні – це поверхні, у всіх точках яких потенціал  має однакове значення.

Рис. 4

Точковий заряд: лінії вектора  і еквіпотенціальні поверхні (див. рис. 4).

Вектор : 1)  завжди перпендикулярний еквіпотенціальним поверхням;

                  2) завжди направлений у бік убування потенціалу.

Еквіпотенциальні поверхні зазвичай проводять так, щоб різниці потенціалів між двома сусідніми еквіпотенціальними поверхнями були однаковими. Тоді густина еквіпотенціальних поверхонь наочно характеризує напруженість поля в різних точках: там, де ці поверхні розташовані густіше, напруженість поля більше.

Якщо поле створюється точковим зарядом, то лінії напруженості – радіальні прямі, що виходять із заряду, якщо він позитивний, і входять в нього, якщо заряд негативний .


ЛЕКЦІЯ 05

Теорема Остроградського-Гаусса

Перед розглядом цієї теореми слід зробити деякі попередні зауваження.

Хоча закон Кулона і принцип суперпозиції полів дають можливість визначати вектор напруженності електричного поля будь-якої системи зарядів, проте це пов'язано з досить громіздкими обчисленнями. Для спрощення цієї задачі слід скористатись деякими теоремами про загальні властивості електростатичного поля, однією з яких і є теорема Остроградського-Гаусса, яка дає можливість відмовитись від теорії далекодії (саме на ній базується закон Кулона) і звести рівняння електростатики до диференціальної форми і, таким чином, узгодити їх з теорією близькодії.

Теорема Остроградського-Гаусса пов'язує потік вектора  (або вектора крізь довільну замкнену поверхню з зарядом, який охоплюється цією поверхнею. Для виведення цієї теореми слід ввести поняття потоку.

Потік вектора . Число ліній напруженості електричного поля , що пронизують елементарну площадку  dS, дорівнює

де  – проекція вектора  на нормаль  до площадки dS (рис.1).

Рис. 1

Величина

– це потік вектора напруженості крізь площадку dS,  – вектор, модуль якого дорівнює dS, а напрям вектора співпадає з напрямом нормалі  до площадки.

Потік вектора  крізь довільну замкнену поверхню S:

Потік вектора  – це алгебраїчна величина (залежить від конфігурації поля  і від вибору напряму ).

Теорема Остроградського-Гауса для електростатичного поля у вакуумі

Потік вектора  крізь сферичну поверхню радіусу r дорівнює:

.

Цей результат справедливий для замкненої поверхні будь-якої форми. Так, якщо оточити сферу (див. рис. 2) довільною замкненою поверхнею, то кожна лінія напруженості, яка пронизує сферу, пройде і крізь цю поверхню.

Рис. 2

Загальний випадок: довільна поверхня, що охоплює n зарядів. Відповідно до принципу суперпозиції напруженість  поля, створюваного всіма зарядами, дорівнює сумі напруженостей , створюваних кожним зарядом окремо:  = . Тому неважко показати, що

.

Теорема Остроградського-Гаусса для поля у вакуумі. Потік вектора напруженості електростатичного поля у вакуумі крізь довільну замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі  поміщених  усередині цієї поверхні зарядів, ділених на :

.

Якщо заряд розподілений в просторі з об'ємною густиною ,то теорема Остроградського-Гауса для електростатичного поля у вакуумі матиме вид:

.

Застосування теореми Остроградського-Гаусса  до розрахунку полів у вакуумі

1. Поле рівномірно зарядженої нескінченної площини

 Нескінченна площина заряджена з постійною поверхневою густиною (– заряд, що припадає на одиницю поверхні). Лінії напруженості перпендикулярні даній площині і направлені від неї в обидві сторони. В якості замкненої поверхні подумки побудуємо циліндр, основи якого паралельні зарядженій площині, а вісь перпендикулярна їй (рис. 3). Повний потік крізь циліндр дорівнює сумі потоків крізь його основи (площі основ однакові і для основи  співпадає з Е), тобто дорівнює 2ES. Згідно з теоремою Остроградського-Гаусса , 2ES = =, звідки

.

Цей результат свідчить про те, що напруженість не залежить від довжини циліндра і на будь-яких відстанях від площини напруженість однакова за величиною. Картина ліній напруженості наведена на рис.

Рис. 3

2. Поле рівномірно зарядженої сферичної поверхні

Сферична поверхня радіусу R із загальним зарядом  заряджена рівномірно з поверхневою густиною .

Завдяки рівномірному розподілу заряду по поверхні створюване цим зарядом поле має сферичну симетрію. Тому лінії напруженості направлені радіально (рис. 4, а).

Побудуємо подумки сферу радіусу , яка має спільний центр із зарядженою сферою. Якщо  > R, то всередину поверхні потрапляє весь заряд , що створює дане поле, і, по теоремі Остроградського-Гаусса,

,

звідки

.

При  > R поле спадає з відстанню  по такому ж самому закону, що і для точкового заряду. Графік залежності Е від  наведено на рис. 4, б. Якщо ' < R, то замкнена поверхня не містить усередині зарядів, тому всередині рівномірно зарядженої сферичної поверхні Е = 0.

Рис. 4

3. Поле об'ємно зарядженої кулі

Куля радіусу R із загальним зарядом  заряджена рівномірно з об'ємною густиною  ( – заряд, що припадає на одиницю об'єму). Внаслідок симетрії для напруженості поля ззовні кулі матимемо той же результат, що і у разі сферичної поверхні:

.

Усередині кулі напруженість інша. Сфера радіусу '< R охоплює заряд .

Тому, згідно з теоремою Остроградського-Гаусса,  

.

Враховуючи, що

,

отримаємо

.

Графік залежності Е від  наведено на рис. 5.

Рис. 5

4. Поле рівномірно зарядженого нескінченного циліндра (нитки)

Нескінченний циліндр радіусу R заряджений рівномірно з лінійною густиною  ( – заряд, що припадає на одиницю довжини). Внаслідок симетрії лінії напруженості поля будуть направлені по радіусах кругових перерізів циліндра з однаковою густиною у всі сторони відносно осі циліндра. В якості замкненої поверхні подумки побудуємо коаксіальний із зарядженим циліндр радіусу  і висотою . Потік вектора Е крізь торці циліндра дорівнює нулю (торці паралелі лініям напруженості), а крізь бічну поверхню . По теоремі Остроградського-Гаусса при  > R

звідки

.

Якщо  < R, то замкнена поверхня всередині не містить зарядів, і тому в цій області Е = 0.

Рис. 6

******************************************************************

Принцип суперпозиції. Поле диполя

Принцип суперпозиції (накладення) електростатичних полів

Напруженість Е результуючого поля, створюваного системою зарядів, рівна геометричній сумі напряженностей полів, створюваних в даній крапці кожним із зарядів окремо.

Електричний диполь

Система двох рівних по модулю різнойменних точкових зарядом (+& -0. відстань / між якими значно менше відстані до даних точок поля.

Плече диполя

Вектор, направлений по осі диполя (прямої, що проходить через оОа заряду) від негативного заряду до позитивного і рівні і відстані між ними.

Електричний момент диполя    ______

Вектор

W

співпадаючий по напряму з плечем диполя.

-H+0J

За принципом суперпозиції, напруженість поля диполя . в довільній крапці Е = Е+ + Е_  (Е+ і ?_ — напруженості полів, створюваних відповідно позитивним і негативним зарядами).

Напруженість поля на продовженні осі диполя в крапці А

**********************************


ЛЕКЦІЯ 06

Діелектрики в електричному полі

Термін "діелектрик" (від гр.  – через, крізь і англ. еlесtrіс – електричний) вперше ввів М. Фарадей у 1837 р. для характеристики речовин, в які проникає електричне (електромагнітне) поле. Зазвичай під діелектриками розуміють речовини, крізь які практично погано проходить електричний струм, а в ідеальному випадку – зовсім не проходить. Це зумовлено внутрішньою будовою атомів і молекул діелектриків і, насамперед, відсутністю в них таких зарядів, які б могли під дією поля вільно переміщатись  на макроскопічні відстані.

Діелектрики являють собою електрично нейтральні системи: їх сумарний позитивний заряд, яких зосереджений у ядрах, і негативний заряд в електронних шарах довільного об'єму діелектричної речовини однакові.

За характером просторового розміщення заряджених часток у молекулах діелектрики поділяють на неполярні і полярні.

Діелектрики з неполярними молекулами (наприклад, гази N2, Н2, О2, СО2) – це діелектрики, які мають симетричну будову, тобто у них "центри ваги" позитивних і негативних зарядів за відсутності електричного поля збігаються і, отже, дипольний момент молекул дорівнює нулю.

Діелектрики з полярними молекулами (наприклад, гази СО, Н2О, NН3, SО2) – це діелектрики, молекули яких за відсутності електричного поля мають дипольні моменти , які внаслідок теплового руху зорієнтовані в просторі хаотично і їхній результуючий момент дорівнює нулю.

Іонні діелектрики (наприклад, NaС1, КС1) – це тверді діелектрики, іонні кристали яких є просторовими гратами з правильним чергуванням іонів різних знаків.

Можлива також класифікація діелектриків за типом симетрії і за властивостями структурних одиниць, з яких діелектрик складається (наприклад, рис. 6.1: а – монопольні, б – дипольні, в – квадрупольні, г – октупольні та ін.).

Рис. 6.1

Ні одній із класифікацій діелектриків не можна надати переваги, оскільки жодна з них не є універсальною.

2. Поляризація діелектриків. Вектор поляризації

Для діелектриків характерною є особлива їх поведінка у зовнішньому електричному полі – поляризація. Поляризація – це процес орієнтації диполів чи поява під дією електричного поля орієнтованих по полю диполів.

Відповідно до трьох вище наведених груп діелектриків (з неполярними молекулами, з полярними молекулами, іонні діелектрики) розрізняють три види поляризації:

1) електронну (деформаційну),характерну для діелектриків з неполярними молекулами, яка полягає у виникненні у атомів індукованого дипольного моменту за рахунок деформації електронних орбіт;

2) орієнтаційну (дипольну), характерну для діелектриків з полярними молекулами, яка полягає в орієнтації наявних дипольних моментів по полю. Ця орієнтація тим сильніша, чим більша напруженість електричного поля і чим нижча температура;

3) іонну поляризацію діелектриків з іонними кристалічними ґратками, яка полягає у зміщенні підрешітки позитивних іонів вздовж поля, а негативнихпроти поля, що призводить до виникнення дипольних моментів.

Розглянемо тепер таке поняття, як поляризованість.

Поляризованість це векторна величина, яка визначається дипольним моментом одиниці об'єму діелектрика:

,

де дипольний момент однієї молекули.

Дослідні дані свідчать, що для великого класу ізотропних діелектриків (крім сегнетоелектриків) поляризованість  лінійно залежить від напруженості електричного поля :

,

де  стала, яку називають діелектричною сприйнятливістю діелектрика.

величина безрозмірна, притому  > 0 для більшості діелектриків (наприклад, для спирта  = 25, для води = 80).

Для встановлення кількісних закономірностей поля в діелектрику внесемо пластину з однорідного діелектрика в однорідне електричне поле, створене двома нескінченними разнойменно зарядженими площинами, розмістивши її так, як показано на рис. 6.2.

       Рис. 6.2

Під дією поля діелектрик поляризується, тобто в ньому відбувається зміщення зарядів: позитивні заряди зміщуються по полю, негативні – проти поля. В результаті цього на правій грані діелектрика, оберненого до площини з негативними зарядами, буде надлишок позитивних зарядів з поверхневою густиною +, а на лівій – від'ємного заряду –. Ці нескомпенсовані заряди, які з'явились в результаті поляризації діелектрика, називаються зв'язаними зарядами, причому < . Поле зв'язаних зарядів спрямовано проти зовнішнього поля (тобто, проти поля, створюваного вільними зарядами ) і послаблює його. Результуюче поле всередині діелектрика:

    (1)

Визначивши поверхневу густину зв'язаних зарядів  = Р (оскільки, з одного боку де – площа грані пластинки; – її товщина; а з іншого боку тобто = Р) і підставивши в формулу (1) значення , матимемо:

.

Безрозмірна величина

називається діелектричною проникністю середовища. Вона показує, у скільки разів поле послаблюється діелектриком і таким чином кількісно характеризує властивість діелектрика поляризуватись в електричному полі.

Розглянемо тепер поняття електричного зміщення. Напруженість електростатичного поля, як щойно було доведено, залежить від властивостей середовища (в однорідному ізотропному середовищі Е ~ ). Вектор , переходячи через границю діелектриків, терпить скачкоподібне змінювання, створюючи тим самим незручності під час розрахунків електростатичних полів. Тому виявилось, що крім вектора напруженості електричного поля  необхідно ввести ще нову величину – вектор електричного зміщення

або

Одиниця електричного зміщення – Кл/м2.

3. Лінії електричного зміщення і потік електричного зміщення.

Звернемо увагу на такі поняття, як лінії електричного зміщення і потік електричного зміщення.

Лінії електричного зміщенняце лінії, дотичні до яких в кожній точці співпадають з напрямком вектора . Напрям і густоту цих ліній визначають так само, як і для ліній вектора . Лінії вектора  можуть починатись і закінчуватись на будь-яких зарядах – вільних і зв'язаних; в той же час лінії вектора – лише на вільних зарядах. Через області поля, де знаходяться зв'язані заряди, лінії вектора  проходять не перериваючись.

Потік електричного зміщення для замкненої поверхні

4. Теорема Остроградського-Гаусса для електростатичного поля в діелектриці 

Теорема Остроградського-Гаусса для електростатичного поля в діелектриці має вид:

тобто потік вектора електричного зміщення крізь довільну замкнену поверхню дорівнює алгебраїчній сумі всіх вільних електричних зарядів, розташованих всередині поверхні.

Ця теорема справджується як для однорідного і ізотропного, так і для неоднорідного і анізотропного середовища.

5. Сегнетоелектрики, їх властивості та використання

Сегнетоелектрики – це діелектрики, що мають в певному інтервалі температур спонтанну (мимовільну) поляризованість, тобто поляризованість у відсутності зовнішнього електричного поля. До сегнетоелектриків відносяться, наприклад, детально вивчені І. В. Курчатовым і П. П. Кобеко сегнетова сіль, від якої і отримали свою назву сегнетоелектрики, і титанат барія.

За відсутності зовнішнього електричного поля сегнетоелектрик є мов би мозаїкою з доменів – областей з різними напрямами поляризованої. Це схематично показано на прикладі тнтаната барія (рис. 6.3, а), де стрілки і знаки: крапка в кружечку і плюс в кружечку вказують напрям вектора . Оскільки в суміжних доменах ці напрями різні, то в цілому дипольний момент діелектрика дорівнює нулю. При внесенні сегнетоелектрика в зовнішнє поле відбувається переорієнтація дипольних моментів доменів по полю, а виникле при цьому сумарне електричне поле доменів підтримуватиме їх деяку орієнтацію і після припинення дії зовнішнього поля. Тому сегнетоелектрики мають аномально великі значення діелектричної проникності (для сегнетової солі, наприклад ).

Сегнетоелектричні властивості сильно залежать від температури. Для кожного сегнетоелектрика є певна температура, вище за яку його незвичайні властивості зникають і він стає звичайним діелектриком. Ця температура називається точкою Кюрі. Як правило, сегнетоелектрики мають тільки одну точку Кюрі; виняток становлять лише сегнетова сіль (–18 і +24°С) і ізоморфні з нею з'єднання.

Діелектрична проникність  (а отже, і діелектрична сприйнятливість  сегнетоелектриків залежить від напруженості  поля в речовині.

Для сегнетоелектриків формула  не справджується; для них зв'язок між векторами поляризованності () і напруженості поля () нелінійна і залежить від значень  в попередні моменти часу. В сегнетоелектриках спостерігається явище діелектричного гістерезису ("запізнювання"). Як видно з рис. 6.3, б із збільшенням напруженості  зовнішнього електричного поля поляризованість  зростає, досягаючи насичення (крива 1). Зменшення  із зменшенням  відбувається по кривій 2, і при Е = 0 сегнетоелектрик зберігає залишкову поляризованість , тобто сегнетоелектрик залишається поляризованим у відсутності зовнішнього електричного поля. Для знищення залишкової поляризованості треба прикласти електричне поле зворотного напряму  Величина  називається коерцитивною силою (від лат. соеrticio – утримування). Подальше змінювання  призводить до того, що Р змінюється по кривій 3 петлі гістерезису.

В наш час відомо більше 100 сегнетоелектриків, не рахуючи твердих розчинів. Сегнетоелектрики широко застосовуються як матеріали з великим значенням (наприклад, в конденсаторах).

                                     а                                                     б

Рис. 6.3


ЛЕКЦІЯ 07

Провідники в електричному  полі

1. Напруженість поля всередині провідника. Різні тіла ведуть себе по різному в зовнішньому електричному полі: в діелектриках заряджені частинки   перебувають   у   зв'язаному   стані   і   тому   під   дією   електричного   поля відбувається лише їх невелике зміщення; в провідниках (металах, електронних напівпровідниках, електролітах, іонізованих газах) заряджені частинки під дією зовнішнього    поля    можуть    вільно    переміщуватись.    Рух заряджених частинок провідника, внесеного в постійне зовнішнє електростатичне поле, яке створюється сторонніми нерухомими зарядами, викличе появу струму. Проте цей рух має обов'язково припинитись, оскільки провідник, поміщений в електричне поле, можна було б використати для побудови вічного двигуна першого роду. Дійсно, це неможливо, оскільки в противному разі в провіднику виник би упорядкований рух зарядів без затрати енергії від зовнішнього джерела, що протирічить закону збереження енергії.

Рух зарядів в провіднику відбуватиметься лише протягом дуже короткого часу, а саме: доти, доки не встановиться рівновісний розподіл зарядів, за якого електростатичне поле всередині провідника перетвориться в нуль. Таким чином, напруженість електричного поля у всіх точках всередині провідника дорівнює нулю:

Заряди розміщуються лише на поверхні провідника.

2. Еквіпотенціальність провідника. Оскільки всередині провідника , то це означає, що потенціал у всіх точках всередині провідника постійний (), тобто поверхня провідника в електростатичному полі є еквіпотенціальною. Звідси ж таки витікає,  що вектор      на зовнішній поверхні провідника направлений по нормалі до кожної точки його поверхні. Якби це було не так, то під дією  заряди почали б  переміщуватись по поверхні  провідника,  що  протирічить рівновісному розподілу зарядів.

3.     Зв'язок    між    вектором     Е     поблизу    провідника    і     .    Знайдемо взаємозалежність   між   вектором      поблизу   поверхні   зарядженого   провідника   і поверхневою густиною  зарядів на його поверхні. Для цього застосуємо теорему Остроградського-Гаусса до нескінченно малого циліндра з основою   , який перетинає границю провідник – діелектрик, і ось якого зорієнтована вздовж вектора  (рис. 7.1)

                              

                         Рис. 7.1                                                       Рис. 7.2

Потік вектора  електричного зміщення  через внутрішню частину циліндричної поверхні дорівнює нулю, оскільки всередині провідника Е = D = 0, і тому потік вектора  через замкнену циліндричну  поверхню  визначається  лише  потоком через  зовнішню  основу циліндра. Згідно з теоремою Гаусса для електростатичного поля в діелектриці

цей потік () дорівнює сумі зарядів , що охоплюються циліндричною поверхнею: =, тобто

=

або

,

де  – діелектрична проникність середовища, яке оточує провідник.

Можна показати, що це співвідношення визначає Е електростатичного поля поблизу поверхні провідника будь-якої форми.

Електростатична індукція

З'ясуємо, що саме відбудеться, якщо незаряджений провідник внести в задане електростатичне поле, яке створюється якими-небуть сторонніми нерухомими зарядами. В провіднику, внесеному в таке поле, повинні виникнути вільні електричні заряди (електрони, іони), які будуть переміщуватись: позитивні – в напрямку поля, негативні – проти напрямку поля (рис. 7.2, а). При цьому на одному кінці провідника буде накопичуватись надлишок позитивного заряду, а на іншому – негативного. Ці заряди називаються індукованими.

Переміщення зарядів відбуватиметься доти, доки Е всередині провідника не буде дорівнювати нулю (Е = 0), а лінії вектора напруженості електричного поля іззовні провідника – перпендикулярними до його поверхні (рис. рис. 7.2, б). З цього можна зробити такий висновок: незаряджений провідник, внесений в електростатичне поле, розриває певну частину ліній Е: ці лінії закінчуються на негативних індукованих зарядах і заново починаються на позитивних. При цьому індуковані заряди розподіляються на зовнішній поверхні провідника. Явище перерозподілу поверхневих зарядів на провіднику в зовнішньому електростатичному полі називається електростатичною індукцією.

Зазначимо, що, як це витікає з рис. 7.2, б, індуковані заряди з'являються на провіднику внаслідок зміщення їх під дією поля (тобто  є поверхневою густиною зміщених зарядів), причому, як було показано вище, електричне зміщення  поблизу провідника чисельно дорівнює поверхневій густині зміщених зарядів. Саме тому вектор  отримав назву вектор електричного зміщення.

Слід звернути увагу на використання на практиці властивості зарядів розміщуватися на зовнішній стороні провідника. Так, всередині провідника роблять порожнину (адже в середині провідника завжди Е = 0 і тому створення всередині порожнини не вплине на розподіл зарядів в провіднику). Причому, у випадку заземлення такого провідника з порожниною потенціал у всіх точках порожнини буде нульовим: порожнина буде повністю ізольованою від впливу зовнішніх електростатичних полів. Це так званий електростатичний захист: коли, наприклад, електровимірювальний чи інший прилад хочуть захистити від впливу зовнішніх полів, його оточують провідним футляром (екраном). Такий екран можна зробити не суцільним, а у вигляді густої металевої сітки.

Електрична ємність відокремленого (самотнього) провідника

Відокремлений провідник – це провідник, який віддалений від інших провідників, тіл та зарядів.

 Потенціал такого провідника прямо пропорційний його заряду і, як показують досліди, різні провідники, будучи однаково зарядженими, мають різні потенціали. Тому для самотнього провідника можна записати таку залежність:

.

Величину

називають електроємністю (або просто ємністю) самотнього провідника. Ємність самотнього провідника чисельно дорівнює заряду, надання якого провіднику змінює його потенціал на одиницю.

Ємність провідника залежить від його розмірів і форми і не залежить від матеріалу, форми і розміру порожнини всередині провідника; вона не залежить також від заряду провідника і від його потенціалу.

Одиниця ємності – фарад (Ф). 1 Ф - це ємність такого самотнього провідника, потенціал якого змінюється на 1 В у разі надання йому заряду 1 Кл.

Розрахуємо ємність самотньої кулі радіуса , яка міститься в середовищі з діелектричною проникністю . Оскільки потенціал такої кулі визначається залежністю

,

то скориставшись формулою для ємності  і підставивши в неї вищенаведену залежність для , отримаємо таку формулу для ємності кулі:

.

З цієї формули витікає, що ємність 1 Ф має куля радіусом  = 9·106км, що приблизно в  1400 раз більше радіуса Землі. Ємність Землі приблизно становить 0,7 мФ.

Таким чином, фарад – дуже велика величина, і тому на практиці використовують часткові (дольні) одиниці, а саме: міліфарад (мФ), мікрофарад (ммФ), нанофарад (нФ), пікофарад (пФ).

З формули для ємності кулі випливає, що одиниця електричної сталої  – фарад на метр (Ф/м).

Конденсатори, їх типи та ємність

Самотні провідники мають дуже малу ємність (навіть куля таких розмірів як Земля має ємність лише 0,7 мФ). В той же час на практиці виникає потреба в пристроях, які могли б, маючи невеликі розміри, при невеликому відносно оточуючих тіл потенціалі накопичувати на собі (так би мовити "конденсувати") значні за величиною заряди, тобто мати велику ємність. Такі пристрої називають конденсаторами.

Конденсатори будуються на тому принципі, що ємність провідника зростає у разі наближення до нього інших тіл – внаслідок виникнення на провіднику зарядів, індукованих іншими тілами. Саме тому на практиці застосовуються конденсатори – системи з провідників, розміщених близько один відносно одного. Конденсатором називають систему з двох металевих електродів (обкладинок) з однаковими по модулю, але протилежними по знаку зарядами розміщених на близькій відстані один від одного і розділених шаром діелектрика. Щоб електричне поле в конденсаторах не змінювалось (або точніше майже не змінювалось) під дією зовнішніх полів це поле намагаються зосередити просторі між обкладинками. Цій вимозі задовольняють дві пластини, розміщені близько одна від одної, два коаксіальних циліндра і дві коаксіальні сфери. Відповідно до цього залежно від форми обкладинок конденсатори поділяють на плоскі, циліндричні та сферичні. За природою діелектрика між обкладинками конденсатора їх поділяють на повітряні, паперові, слюдяні, керамічні та електролітичні.

Ємність конденсаторів визначають за формулою:

де заряд однієї з обкладинок конденсатора; різниця потенціалів (або напруга) між ними.

Електричну ємність конденсатора вимірюють у тих самих одиницях, що і ємність самотнього провідника.

Розрахуємо ємність плоского, циліндричного та сферичного конденсаторів.

1) Ємність плоского конденсатора. Плоский конденсатор складається з двох паралельних металевих пластин площею  кожна, які розташовані на відстані  одна від одної і мають заряди + і –(рис 7.3). Відстань  між пластинами будемо вважати малою порівняно з лінійними розмірами цих пластин. Тому крайовими ефектами можна знехтувати і поле між обкладинками вважати однорідним. Це поле неважко розрахувати, скориставшись формулою для поля двох нескінченних паралельних різнойменно заряджених площин. Різниця потенціалів між такими площинами з поверхневою густиною заряду , розташованими одна від одної на відстані  , дорівнює:   

.

Отже,  підставивши в загальну формулу для  обчислення ємності  величину , отримаємо таку формулу для ємності плоского конденсатора:

.

2) Ємність циліндричного конденсатора. Для визначення ємності циліндричного конденсатора, який складається з двох порожнистих коаксіальних циліндрів з радіусами  і  (), вставлених один в другий (рис. 7.4), знову таки знехтуємо крайовими ефектами і вважатимемо поле радіально-симетричним і зосередженим між циліндричними обкладинками. Різницю потенціалів між обкладинками розрахуємо за формулою для поля рівномірно зарядженого нескінченного циліндра з лінійною густиною  ( – довжина обкладинок). У разі наявності діелектрика між обкладинками різниця потенціалів

.

Отже, підставивши цю формулу в формулу для ємності , отримаємо такий вираз для ємності циліндричного конденсатора:

.

3) Ємність сферичного конденсатора. Такий конденсатор складається з двох концентричних обкладинок, розділених сферичним шаром діелектрика (рис. 7.5). Оскільки різниця потенціалів між двома точками, що лежать на відстані  і  () від центра зарядженої сферичної поверхні за наявності діелектрика між обкладинками визначається залежністю:

,

то підставивши цю залежність в формулу для ємності , отримаємо такий вираз для ємності сферичного конденсатора:

.

У випадку малої величини зазора порівняно з радіусом сфери () вирази для ємності сферичного і плоского конденсаторів співпадають (оскільки – площа сферичної обкладинки):

.

 

               Рис. 7. 3                          Рис. 7.4                        Рис. 7.5


Лекція 08

Постійний електричний струм

1. Електричний струм та його характеристики (сила, густина струму).

Умови існування електричного струму

Електричним струмом називається будь-який упорядкований (направлений) рух електричних зарядів.

За напрям струму умовно приймається напрям руху позитивних зарядів.

Розрізняють такі типи  електричного струму:

1) струм провідності – це струм в провіднику, викликаний переміщенням вільних електричних зарядів під дією прикладеного електричного поля : позитивних – по напрямку поля, негативних – проти поля;

2) конвективний струм – це струм, викликаний переміщенням в просторі зарядженого макроскопічного тіла.

Для виникнення електричного струму необхідні дві умови, а саме:

1) наявність вільних носіїв струму – заряджених часток, спроможних переміщуватись;

2) наявність електричного поля, енергія якого відновлюється і яке витрачається на упорядкований рух заряджених часток.

Основна характеристика струму – сила струму.

Сила струму – це скалярна фізична величина, яка визначається електричним зарядом, що проходить через поперечний переріз провідника за одиницю часу:

.

Якщо сила струму і його напрям не змінюються з часом, то такий струм називається постійним: , де – електричний заряд, що проходить за час  через поперечний переріз провідника.

Одиниця сили струму – А.

Визначимо поняття густина струму.

Густина струму – це фізична величина, яка визначається силою струму, що проходить через одиницю площі поперечного перерізу провідника, перпендикулярного напрямку струму:

.

Зазначимо, що сила і густина струму виражаються через швидкість  упорядкованого руху зарядів в провіднику. Так, за час через поперечний переріз провідника переноситься заряд , де  і  – концентрація і заряд носіїв струму.

Отже, сила струму.

Густина струму, або в векторній формі: , тобто густина струму – вектор, напрям якого співпадає з упорядкованим рухом позитивних зарядів.

Одиниця густини струму – ампер на м2 (А/м2).

Сила струму через довільну поверхню визначається як потік вектора , тобто , де  ( – одиничний вектор нормалі до площини , яка складає з вектором кут ).

Сторонні сили. Електрорушійна сила і напруга

Якщо в електричній мережі на носії струму діють лише сили електростатичного поля, то тоді відбувається переміщення цих носіїв (приймемо їх позитивними) від точок з більшим потенціалом до точок з меншим потенціалом, що веде до вирівнювання потенціалів у всіх точках мережі і до зникнення електростатичного поля. Тому для існування постійного струму в електричній мережі обов'язково потрібно мати пристрої, які здатні створювати і підтримувати різницю потенціалів за рахунок роботи сил неелектростатичного походження. Такі сили називаються джерелами струму, а сили  неелектростатичного походження, які діють на заряди з боку джерел струму, – сторонніми силами.

Природа сторонніх сил різна: в гальванічних елементах сторонні сили виникають за рахунок енергії хімічних реакцій між електродами і електролітами; в електричних генераторах – за рахунок механічної енергії обертання ротора генератора.

Зазначимо, що роль джерела струму в електричній мережі подібна до насоса. який необхідний для перекачування рідини в гідравлічній системі.

Таким чином, сторонні сили здійснюють роботу по переміщуванню зарядів.

Фізична величина, яка визначається роботою, що здійснюється сторонніми силами при переміщуванні одиничного позитивного заряду, називається електрорушійною силою (е. р. с.), що діє в мережі:

€ = .

Робота сторонніх сил  по переміщенню заряду  на замкненій частині мережі

,

де напруженість поля сторонніх сил.

Е. р. с., що діє в мережі,

€ =,

тобто визначається як циркуляція вектора напруженості поля сторонніх сил.

Е. р. с. на ділянці 1 – 2 мережі

12 =.

Визначимо тепер поняття напруга. Для цього розглянемо випадок, коли на заряд  діють одночасно сторонні сили і сили електростатичного поля. Тоді результуюча сила дорівнюватиме:

.

Робота результуючої сили на ділянці 1 – 2 мережі над зарядом  

12 .

Для замкненої мережі

.

Напруга на ділянці 1 – 2 мережі – це фізична величина, яка визначається роботою, що здійснюється підсумковим полем електростатичних (кулонівських) і сторонніх сил при переміщенні одиничного позитивного заряду на даній ділянці мережі:

12 .

Поняття напруга – це узагальнене поняття різниці потенціалів: напруга на кінцях ділянки мережі дорівнює різниці потенціалів, якщо на цій ділянці відсутнє джерело струму.

Закон Ома

Німецький фізик Г.Ом експериментально встановив закон, який носить його ім'я. Для однорідної ланки металевого провідника, тобто для такого провідника, який не містить джерела струму, закон Ома формулюється так:

Сила струму в провіднику прямо пропорційна прикладеній напрузі і обернено пропорційна опору провідника:

або в диференціальній формі (з урахуванням того, що ;  – питомий електричний опір,  і  – довжина провідника і його поперечний переріз):

,

де  – густина струму;  – питома провідність.

Закон Ома для замкненої мережі (див. рис. 8.1) має таке формулювання: Сила струму в замкненій мережі дорівнює відношенню е.р.с. джерела струму до сумарного опору всієї мережі:

,

де  – опір зовнішньої мережі;  – внутрішній опір джерела струму.

Напруга на зовнішній мережі:

.

Рис. 8.1

Опір і провідність провідників

Визначення опору: Опір – це величина, яка характеризує опір провідника електричного струму.

Одиниця опору – Ом; 1 Ом – опір такого провідника, в якому при напрузі 1 В протікає постійний струм 1 А.

Електрична провідність . Одиниця електричної провідності – См; 1 См (сіменс) – провідність ланки електричної мережі опором 1 Ом.

Питома провідність (позначається:): . Одиниця провідності См/м.

Залежність  і  від температури:

;

,

де  і ,  і  – відповідно питомий опір і опір провідника при температурі 0 ºС;  – температурний коефіцієнт опору, який для чистих металів наближується до . Отже , де  - термодинамічна температура.

Якісний характер залежності  для металів показано на рис. 8.2 (крива 1). Пізніше було виявлено, що опір багатьох металів, таких як , ,  та ін. і їх сплавів при дуже низьких температурах, названих критичними температурами для кожної речовини, скачкоподібно змінюються до нуля (крива 2), тобто метал стає абсолютним провідником.

Рис.8.2

Надпровідність – це властивість металів та їх сплавів у випадку охолодження нижче критичної температури  (характерної для даного провідника) скачкоподібно змінювати свій опір до нуля.

Явище надпровідності для ртуті вперше в 1911 р. відкрив Г.Камерлінг-Оннес.

Робота та потужність електричного струму

Для визначення роботи і потужності електричного струму розглянемо однорідний провідник опором , до кінців якого прикладено напругу . Тоді за час  через переріз провідника переноситься заряд , і робота струму буде такою:

, або

.  

Робота виражається в Дж.

Потужність струму (виражається в Вт):

.

Закон Джоуля–Ленца

Якщо струм проходить по нерухомому металевому провіднику, то вся робота струму витрачається на його нагрівання і, за законом збереження енергії

.

Використовуючи вираз для роботи струму, одержуємо закон Джоуля–Ленца:

Закон Джоуля–Ленца в диференціальній формі. Виділимо в провіднику елементарний циліндровий об'єм dV = dSdt (вісь циліндра співпадає з напрямом струму), опір якого . За законом Джоуля–Ленца, за час dt в цьому об'ємі виділиться теплота

.

Кількість теплоти, що виділяється за одиницю часу в одиниці об'єму, називається питомою тепловою потужністю струму:

.

.

Використовуючи диференціальну форму закону Ома ( j = ) і співвідношення , отримаємо:

.

Дві останні формули – закон Джоуля–Ленца в диференціальній формі.

Правила Кірхгофа для розгалужених кіл

 Вузол електричного кола – це будь-яка точка розгалуження кола, в якій сходиться  не менше трьох провідників із струмом (див. рис. 8.3). Струм, що входить у вузол, вважається позитивним (струми І1, І3), а струм, що виходить з вузла, – негативним (струми  І2, І4, І5).

Рис. 8.3

Перше правило Кірхгофа. Алгебраїчна сума струмів, що сходяться у вузлі, дорівнює нулю: .

Друге правило Кірхгофа. В будь-якому замкненому контурі, довільно вибраному в розгалуженому електричному колі, алгебраїчна сума добутків сил струмів Іі на опір Rі відповідних ділянок цього контуру дорівнює алгебраїчній сумі е. р. с.  к, що зустрічаються в цьому контурі:

к

Під час розрахунку складних кіл із застосуванням правил Кірхгофа необхідно:

1.  Вибрати довільний напрям струмів на всіх ділянках кола; дійсний напрям струмів визначається під час рішенні задачі: якщо шуканий струм вийде позитивним, то його напрям був вибраний правильно, негативним – його істинний напрям протилежно вибраному.

2.  Вибрати напрям обходу контура і строго його дотримуватись; добуток IR позитивний, якщо струм на даній ділянці співпадає з напрямом обходу, і навпаки, е. р. с., які діють по вибраному напряму обходу, вважаються позитивними, проти – негативними.

3. Скласти таку кількість рівнянь, щоб їх число дорівнювало числу розшуканих величин (в систему рівнянь повинні входити всі опори і е. р. с. даного кола); кожний даний контур повинен містити хоча б один елемент, який відсутній в попередніх контурах, інакше вийдуть рівняння, що є простою комбінацією вже складених.


Лекція 09.

Магнітне поле постійного струму

Загальний опис магнітного поля

Магнітне поле  – це силове поле в просторі, що оточує електричні струми і постійні магніти.

Магнітне пoлe створюється лише зарядами, що рухаються, і діє тільки на електричні заряди, що рухаються в цьому полі. Характер впливу магнітного поля на струм різний – залежно від форми провідника, по якому тече струм,  його розташування, напрямку струму. Тому для характеристики магнітного поля треба розглянути його дію на певний струм.

Під час дослідження магнітного поля використовується замкнений плоский контур зі струмом (рамка зі струмом), розміри якого малі порівнянні з відстанню до струмів, що утворять магнітне поле. Орієнтація контуру в просторі характеризується напрямком нормалі до нього, причому за позитивний напрямок нормалі приймається напрямок, який пов'язаний зі струмом правилом правого гвинта, тобто за позитивний напрямок нормалі приймається напрямок поступального руху гвинта, голівка якого  обертається, у напрямку струму, що тече в рамці (рис. 9.1).

 Вибір напрямку магнітного поля. За напрямок магнітного поля в даній точці приймається напрямок, уздовж якого розташовується позитивна нормаль до вільно підвішеної рамки зі струмом (рис. 9.2) або напрямок, що збігається з напрямком сили, яка діє на північний полюс магнітної стрілки, поміщеної в дану точку. Оскільки обидва полюса магнітної стрілки лежать у близьких точках поля, то сили, що діють на обидва полюси, однакові. Отже, на магнітну стрілку діє пара сил, яка повертає її так, щоб вісь стрілки, що з'єднує південний полюс з північним, збігалася з напрямком поля.

                                 _               

                         Рис. 9.1                                                      Рис. 9.2

2. Потік вектора магнітної індукції. Теорема Остроградського-Гаусса для поля В

 Потік вектора магнітної індукції (магнітний потік) крізь площадку dS – це скалярна фізична величина

,

де – проекція вектора  на напрям нормалі до площадки dS ( – кут між векторами  і ), – вектор, модуль якого дорівнює dS, а напрям співпадає з напрямом   до площадки. 

Знак потоку залежить від cos. Потік вектора  пов'язують з контуром, по якому тече струм. А тоді позитивний напрям нормалі визначено (він зв'язується із струмом правилом правого гвинта). Магнітний потік, створюваний контуром через поверхню, обмежену ним самим, завжди позитивний.

Магнітний потік крізь довільну поверхню S

.

 Якщо поле однорідне, поверхня плоска і перпендикулярна вектору В, то тоді

ФВ = BS.

Одиниця Вб. 1 Вб (вебер) – це магнітний потік, що проходить через плоску поверхню площею 1 м2, розташовану перпендикулярно однорідному магнітному полю, індукція якого дорівнює 1 Тл.

 Теорема Остроградського-Гаусса для поля В. Потік вектора магнітної індукції крізь довільну замкнену поверхню дорівнює нулю:

.

Ця теорема відображає факт відсутності магнітних зарядів, наслідком чого є той факт, що лінії магнітної індукції не мають ні початку, ні кінця і є замкненими.

3. Закон Біо-Савара-Лапласа та приклади його застосування (визначення індукції магнітного поля прямолінійного провідника зі струмом і магнітне поле в центрі кругового струму)

Магнітне поле постійних струмів вивчалось французькими вченими Ж. Біо і Ф. Саваром і результати проведених дослідів були узагальнені П.Лапласом.

Для провідника з струмом , елемент  якого створює в довільній точці А (рис. 9.3) індукцію , матимемо:

,

де  – радіус-вектор, проведений з елемента  провідника в точку А.

Рис. 9.3

Зазначимо, що  і  і направлений вздовж дотичної до лінії магнітної індукції. Напрям  визначають по правилу правого гвинта: напрям обертання головки гвинта дає напрям , якщо поступальний рух гвинта відповідає напряму струму в елементі 

                         ,                                             (1)

де кут між векторами  і .

Розглянемо 2 приклади застосування цього закону.

1. Магнітне поле прямолінійного провідника зі струмом (рис. 9.4). Такий струм створюється нескінченно довгим тонким провідником.

Рис. 9.4

Оскільки для такого провідника, як видно з рис. 9.4

,  ,

то підставивши ці залежності в формулу (1), отримаємо

.

Кут  для всіх елементів прямого проводу змінюється від 0 до . Тоді

.

2. Контур зі струмом в магнітному полі. Магнітний момент струму. Обчислимо магнітну індукцію кругового витка зі струмом на відстані  від його центра (рис. 9.5).

Рис. 9.5

Кожний елемент струму, наприклад елемент 1, створює у точці А магнітну індукцію поля . Індукція двох елементів, розташованих один напроти одного   (1   і   2),  додається   і утворює магнітну індукцію  , направлену уздовж осі,  і  отже,    саме   туди    направлена       і результуюча індукція  В. Проекція  ,   на напрямок В  визначається як

=

Оскільки  , то,  скориставшись (1), при  матимемо

=

Загальна магнітна індукція

,       (2)

де – площа, що охоплюється струмом;  – магнітний момент струму (за аналогією з електричним моментом диполя. У векторному запису , де  – одиничний вектор, направлений уздовж нормалі до .

З формули для В видно, що магнітна індукція кругового струму зменшується з відстанню пропорційно до 23, як і напруженість електричного поля диполя.

3. Магнітна індукція в центрі кругового контуру зі струмом (рис. 9.6) може бути  отримана і безпосередньо. Як видно з рисунка, всі елементи такого провідника створюють в центрі магнітні поля одного і того ж самого напрямку – вздовж нормалі до витка. Тому (як і в попередньому прикладі) додавання векторів  можна замінити додаванням їх модулів.

Рис.

Оскільки всі елементи провідника перпендикулярні  ()  і відстань всіх елементів провідника до центра кругового струму однакова і дорівнює , то

 

і, отже,

.

Цей самий результат можна безпосередньо отримати і з загальної формули (2).

4. Теорема про циркуляцію векторів магнітної індукції та напруженості

магнітного поля

Циркуляція вектора  вводиться аналогічно циркуляції вектора напруженості електростатичного поля.

Циркуляцією вектора  по замкненому контуру називається інтеграл

,

де  – елемент довжини контуру, направлений вздовж обходу контуру,  – складова вектора  в напрямку дотичної до контуру (з врахуванням вибраного напрямку обходу);  – кут між векторами  і .

Теорема про циркуляцію вектора  (або закон повного струму) для магнітного поля в вакуумі формулюється так: циркуляція вектора  по довільному контуру дорівнює добутку вектора магнітної сталої  на алгебраїчну суму струмів, які охоплюються цим контуром:

,

де  – число провідників зі струмом, які охоплюються контуром  довільної форми.

Зауваження до цієї теореми: 

1) Теорема справедлива лише для магнітного поля в вакуумі (оскільки для поля в речовині необхідно враховувати молекулярні струми.

2) Кожен струм враховується стільки разів, скільки раз він охоплюється контуром; при цьому струм вважається додатнім (позитивним), якщо напрям його протікання пов'язано з напрямом обходу контура правилом правого гвинта, струм протилежного напряму вважається від'ємним (негативним).

3) Оскільки циркуляція вектора  магнітного поля не дорівнює нулю, то таке поле називається вихровим полем (на відміну від циркуляції вектора  електростатичного поля, яка дорівнює нулю, а тому електростатичне поле є полем потенціальним.

Аналогічний вид має теорема про циркуляцію вектора  для магнітного поля

.


ЛЕКЦІЯ 10

Дія магнітного поля на рухомі заряди

1. Магнітне поле рухомого заряду

Кожен провідник зі струмом створює в оточуючому просторі магнітне поле. Електричний струм – це упорядкований рух електричних зарядів, і тому можна вважати, що будь-який заряд, що рухається в вакуумі чи середовищі, створює навколо себе магнітне поле.

В результаті узагальнення дослідних даних був встановлений наступний закон, який визначає поле  точкового заряду , який вільно рухається з нерелятивістською швидкістю (тобто  з постійною швидкістю),

, ,

де – радіус-вектор, проведений від заряду  до точки спостереження М (рис. 10.1);  – кут між  і .

Рис. 10.1

2. Дія магнітного поля на рухомий заряд. Сила Лоренца

Сила, яка діє на електричний заряд, що рухається в магнітному полі з швидкістю , називається силою Лоренца і виражається формулою:

, ,

де  – електричний заряд, що рухається із швидкістю  в магнітному полі з індукцією , – кут між  і .

Зазначимо, що магнітне поле не діє на електричний заряд, що покоїться. В цьому полягає істотна відмінність магнітного поля від електричного. Магнітне поле діє тільки на заряди, що рухаються в ньому.

Напрям сили Лоренца визначається за допомогою правила лівої руки: якщо долоню лівої руки розташувати так, щоб в неї входив вектор , а чотири витягнуті пальці направити уздовж вектора  (для  > 0 напрями І і  співпадають, для < 0 – протилежні), то відігнутий великий палець покаже напрям сили, що діє на позитивний заряд (див. рис. 10.2).

Рис. 10.2

Сила Лоренца перпендикулярна векторам  і . На рис. 10.3 показані напрями сил, з якими магнітне поле діє на заряджені рухомі частинки. Сила Лоренца не здійснює роботи.

Магнітне поле не діє на електричний заряд, що покоїться. Цим магнітне поле істотно відрізняється від електричного. Магнітне поле діє тільки на що рухаються в ньому заряди.

Рис. 10. 3

Формула Лоренца визначає силу у випадку, коли на заряд, що рухається, одночасно діють магнітне поле з індукцією  і електричне поле з напруженістю :

.

3. Рух зарядженої частинки в магнітному полі

Вважаємо, що магнітне поле однорідне і на частинку  не діють електричні поля.

1. Заряджена частинка рухається в магнітному полі із швидкістю  уздовж ліній магнітної індукції (кут а між векторами  і  дорівнює 0 або ). Тоді сила Лоренца рівна нулю, тобто магнітне поле на частинку не діє і вона рухається рівномірно і прямолінійно.

2.  Заряджена частинка рухається в магнітному полі із швидкістю , перпендикулярною вектору (кут ). Тоді : постійна по модулю і нормальна до траєкторії частинки. Частинка рухатиметься по колу, радіус  якого визначається з умови

,

звідки

.

Період обертання частинки, тобто час Т, протягом  якого вона здійснює один повний оборот, дорівнює

Підставивши сюди вираз для , отримаємо

.

3. Заряджена частинка рухається із швидкістю  під кутом  до вектора (рис. 10. 4).

Рис. 10. 4

Рух частинки можна представити у вигляді суперпозиції:

1) рівномірного прямолінійного руху уздовж поля з швидкістю ;

2) рівномірного руху із швидкістю  по колу в площині, перпендикулярній полю. В результаті складання обох рухів виникає рух по спіралі, вісь якої паралельна магнітному полю. Крок гвинтової лінії

,

де Т= 2 – період обертання частинки. Підставивши відповідні вирази, отримаємо

.

4. Формула Ампера

Формула Ампера визначає силу , з якою магнітне поле діє на елемент провідника d із струмом І:

,     ,     

де кут між  і . Напрям сили Ампера визначається за правилом лівої руки: якщо долоню лівої руки розташувати так, щоб в неї входив вектор , а чотири витягнуті пальці розташувати             по напряму струму в провіднику, то відігнутий великий палець покаже  напрям сили Ампера (рис. 10.5).

Рис. 10.5

5. Робота по переміщенню провідника  і контуру з струмом в магнітному полі

Робота по переміщенню провідника із струмом. Розглянемо провідник із струмом І  завдовжки , який може вільно переміщуватись і який знаходиться в однорідному магнітному полі (рис. 10.6).  

На цей провідник діє сила Ампера F = IB. Під її дією провідник перемістився на dx з положення 1 в положення 2. Робота, яка здійснюється магнітним полем, дорівнюватиме

dА = Fdx = IBldx = IBdS = ІdФ.

Тут враховано, що dS = Іdx – площа, що пересікається провідником при його переміщенні в магнітному полі; BdS = dФ – потік вектора магнітної індукції, який пронизує цю площу);

                                                                 dА = ІdФ.                                                    (1)

Робота по переміщенню провідника з струмом в магнітному полі дорівнює добутку сили струму на магнітний потік, перерізаний рухомим  провідником.

Рис. 10.6

Робота по переміщенню контуру із струмом. Робота dА сил Ампера при даному переміщенні контуру (рис. 10.7) дорівнює сумі робіт по переміщенню провідників АВС (dА1) і CDA (dА2), тобто

dА = dА1 + dА2.

Рис. 10.7

Згідно з (1)

                                                                 dА2 = І(dФ0 +  dФ2)

Тут позначено: dФ0 – потік, що пересікається провідником CDA при русі крізь заштриховану поверхню;  dФ2 – потік, що пронизує контур в кінцевому положенні).

                                                                 dА1 = – І(dФ0 +  dФ1)

(знак мінус – сили утворюють з напрямом переміщення тупі кути).

                                                                 dА = – І(dФ2  dФ1).

Робота по переміщенню замкнутого контуру із струмом в магнітному полі дорівнює добутку сили струму в контурі на змінювання магнітного потоку, зчепленого з контуром.


ЛЕКЦІЯ 11

Магнітне поле в речовині

1. Магнітний момент електрона і атома

Досліди показують, що всі речовини, внесені в магнітне поле, намагнічуються. Розглянемо причину цього явища з точки зору будови атомів і молекул, поклавши в основу гіпотезу Ампера. Згідно з гіпотезою Ампера в будь-якому тілі існують мікроскопічні струми, зумовлені рухом електронів в атомах і молекулах.

Для якісного пояснення магнітних явищ з достатнім наближенням можна прийняти, що електрон в атомі рухається по кругових орбітах. Електрон, що рухається по одній з таких кругових орбіт, еквівалентний круговому струму і тому він має орбітальний магнітний  момент електрона

,

де позначено: – сила струму;  – частота обертання електрона по орбіті;  S – площа орбіти). Якщо електрон рухається за годинниковою стрілкою (рис. 11.1), то струм направлений проти годинникової стрілки і вектор (відповідно до правила правого гвинта) направлений перпендикулярно площині орбіти електрона, як показано на рис.11.1:

,

де  – гіромагнітне відношення орбітальних моментів (прийнято писати із знаком мінус, який вказує на те, що напрями моментів протилежні);  – орбітальний механічничний  момент електрона. Модуль   (з урахуванням того, що момент імпульсу  відносно нерухомої осі  окремої -ї частинки масою , що рухається по колу постійного радіуса  із швидкістю , визначається формулою =) дорівнює

Lе = mvr = 2mS,

де ,.

Рис. 11.1

Власний механічний момент електрона (спін) – ця невід'ємна властивість електрона подібно його заряду і масі.

Власний (спіновий) магнітний момент ()

(g гіромагнітне відношення спінових  моментів, – власний механічний момент).

Проекція на напрям вектора  може мати одне з двох значень: .

Магнетон Бора – це одиниця магнітного моменту електрона: .

Тут позначено:   – постійна Планка.

2. Типи магнетиків

Всяка речовина є магнетиком, тобто здатна під дією поля набувати магнітний момент (намагнічуватися).

Проте намагнічування відбувається по-різному. В зв'язку з цим розрізняють: парамагнетики, діамагнетики і феромагнетики.

Парамагнетіки. Молекули парамагнетиків мають магнітний момент. Проте внаслідок теплового руху молекул їх магнітні моменти орієнтовані безладно, тому парамагнітні речовини не мають магнітних властивостей. При внесенні парамагнетика в зовнішнє магнітне поле встановлюється переважна орієнтація магнітних моментів атомів по полю (повній орієнтації перешкоджає тепловий рух атомів). Таким чином, парамагнетик намагнічується, створюючи власне магнітне поле, яке співпадає по напряму із зовнішнім полем і підсилює його. Цей ефект називається парамагнітним. До парамагнетиків відносяться рідкоземельні елементи, Pt, A1 та ін.

Діамагнетіки. Молекули діамагнетиків не мають магнітного моменту. В зовнішньому магнітному полі індукуються елементарні кругові струми. Оскільки цей мікрострум індукований зовнішнім магнітним полем, то, згідно з правилом Лєнца, у атома з'являється складова магнітного поля, направлена протилежно зовнішньому полю. Наведені складові магнітних полів атомів (молекул) складаються і утворюють власне магнітне поле речовини, яке ослабляє зовнішнє магнітне поле. Цей ефект отримав назву діамагнітного ефекту, а речовини, що намагнічуються в зовнішньому магнітному полі проти напряму поля, називаються діамагнетиками. До діамагнетиків відносяться багато металів (наприклад, Bi, Ag, Au, Сu), більшості органічних сполук, смоли, вуглець. Діамагнітний момент спостерігається і в парамагнетиках, але він значно слабіше за парамагнітний і тому залишається непомітним.

З механізму діамагнетизму виходить, що він притаманний всім речовинам. Якщо магнітний момент атомів великий, то парамагнітні властивості переважають над діамагнітними і речовина є парамагнетиком; якщо магнітний момент атомів малий, то переважають діамагнітні властивості і речовина є діамагнетиком.

Намагніченість. Магнітне поле в речовині

Намагніченість – це фізична величина, яка визначається магнітним моментом одиниці об'єму магнетика:                                  

,

де  – магнітний момент магнетика, який дорівнює векторній сумі магнітних моментів окремих молекул.

В несильних полях намагніченість прямо пропорційна напруженості поля, яке викликає намагнічування:

.

Магнітна сприйнятливість речовини (). Для діамагнетиків  від'ємна (поле молекулярних струмів протилежно зовнішньому), для парамагнетиків – додатня (поле молекулярних струмів співпадає із зовнішнім). Значення  дуже малі (порядку 10-4 – 10-6).

Магнітне поле  в речовині складається з двох полів: зовнішнього поля  (поля, створюваного намагнічувальним струмом у вакуумі) і поля  намагніченої речовини (поля, створюваного молекулярними струмами):

,

де ( – вектор напруженості, який характеризує магнітне поле макрострумів). Доводиться, що

.

Тоді

,          (1)

або

Підставивши вираз для  в (1), отримаємо

Безрозмірна величина

є магнітною проникністю речовини. Підставивши цей вираз в попередню формулу, прийдемо до співвідношення .

Для діамагнетиків  < 1, для парамагнетиків  > 1.

Феромагнетики та їх властивості

Феромагнетики

Феромагнетики – це тверді (як правило, кристалічні) речовини, такі як залізо, кобальт, нікель, деякі рідкоземельня метали, ряд сплавів, які при не дуже високих температурах мають мимовільну (спонтанну) намагніченість, яка сильно змінюється під впливом зовнішнього магнітного поля, деформації, змінювання температури тощо. На відміну від слабо магнітних діа- і парамагнетиків внутрішнє магнітне поле в них може в сотні і тисячі раз перевершувати зовнішнє поле.

Основні  магнітні властивості феромагнетиків. такі:

а) Нелінійна залежність намагніченості J від напруженості H магнітного поля (рис. 11.2), При H > Нн спостерігається магнітне насичення, тобто J = Jн = const незалежно від значення  Нн  (на відміну від парамагнетиків, значення Нн , при якому наступає магнітне насичення, порівняно невелике).

б)  При Н < Нн залежність магнітної індукції В від напруженості H нелінійна, а при Н > Нн вона стає лінійною (рис. 11.3).

в)  Залежність відносної магнітної проникності  від напруженості H має складний характер (рис. 11.4), причому максимальні значення  дуже великі: макс = 103 ÷106.

г)  Існування магнітного гістерезису – відмінності в значеннях намагніченості J феромагнетика при одному і тому ж самому значенні H напруженості намагнічуваного поля залежно від значення попередньої намагніченості феромагнетика (рис. 11.5).

                                        Рис. 11.2                               Рис. 11.3

                              

                                        Рис. 11.4                                                Рис. 11.5

д)  У кожної феромагнітної речовини є така температура, яка називається точкою Кюрі, вище за яку ця речовина втрачає свої особливі магнітні властивості і поводиться як звичайний парамагнетик.

Петля гістерезису – це показаний на рис. 11.5 графік залежності намагніченості феромагнетика від напруженості магнітного поля при змінюванні напруженості від Нн до – Нн і навпаки, де Нн – напруженість поля, що відповідає магнітному насиченню (рис. 11.5). Намагніченість Jн при Н = Нн називається намагніченістю насичення. Намагніченість ± JR при Н = 0 називається залишковою намагніченістю. Існування залишкової намагніченості у феромагнетика, видаленого з магнітного поля, служить основою для створення постійних магнітів.

Напруженість ± Нк магнітного поля, яке повністю розмагнічує феромагнітний зразок, називається коерцитивною силою (затримуючою напруженістю).  Коерцитивная сила характеризує здатність феромагнетика зберігати намагнічений стан. Велику коерцитивну силу (широку петлю гістерезису) мають магнітотверді матеріали, що використовуються для виготовлення постійних магнітів. Малу коерцитивну силу (відповідно вузьку петлю гістерезису) мають магнітом'які матеріали, що використовуються для виготовлення магнітних кіл (осердь) трансформаторів.

Періодичне перемагнічування феромагнітного зразка пов'язано з витратою енергії на його нагрівання. Площа петлі гістерезису пропорційна кількості теплоти, що виділяється в одиниці об'єму феромагнетика за один цикл перемагнічування.

За температурах нижче за точку Кюрі феромагнітний зразок розбивається на малі області, мимовільної (спонтанної) однорідної намагніченості, які називаються доменами. Лінійні розміри доменів порядку (10-5 ÷ 10-4 м). Усередині кожного домена речовина намагнічена до насичення. За відсутності зовнішнього магнітного поля магнітні моменти доменів орієнтовані в просторі так, що результуючий магнітний момент зразка дорівнює нулю і феромагнетик не намагнічений.

Намагнічення феромагнітного зразка в зовнішньому магнітному полі полягає, по-перше, в зсуві границь доменів і зростанні розмірів тих доменів, вектори магнітних моментів яких близькі у напрямку до магнітної індукції В поля, і, по-друге, в повороті магнітних моментів цілих доменів по напряму поля В. В достатньо сильному магнітному полі досягається стан магнітного насичення, коли весь зразок намагнічений по полю і його намагніченість J не змінюється при подальшому збільшенні В.

Вимірювання гіромагнітного відношення для феромагнетиків показали, що елементарними носіями магнетизму в них є магнітні моменти спінів електронів.


ЛЕКЦІЯ 12

Електромагнітна індукція

1. Явище електромагнітної індукції. Закон Фарадея. Правило Ленца

Досліди Фарадея і наслідки з них.

Дослід I (рис. 12.1). Якщо в замкнений на гальванометр соленоїд всувати або висувати постійний магніт, то в моменти його всування або висування спостерігається відхилення стрілки гальванометра (виникає індукційний струм); напрями відхилення стрілки при всуванні і висовуванні магніта протилежні. Відхилення стрілки  гальванометра тим  більше, чим більше швидкість руху магніта відносно котушки. У разі змінювання полюсів магніта напрям відхилення стрілки зміниться. Для отримання індукційного струму магніт можна залишати нерухомим, тоді потрібно пересувати соленоїд відносно магніта.

Дослід II. Кінці однієї з котушок, вставлених одна в другу, приєднуються до гальванометра, а через іншу котушку пропускається струм. Відхилення стрілки гальванометра спостерігається в моменти ввімкнення або вимкнення струму, в моменти його збільшення або зменшення або у разі переміщування котушок одна відносно одної (рис. 12.2). Напрями відхилень стрілки гальванометра також протилежні у разі  ввімкнення і вимкнення струму, його збільшення і зменшення, зближення і видалення котушок.

                                             

                  Рис. 12.1                                                                  Рис. 12.2

Висновки:

1.  Індукційний струм виникає завжди, коли відбувається змінювання зчепленого з контуром потоку магнітної індукції.

2. Сила індукційного струму абсолютно не залежить від способу змінювання потоку магнітної індукції, а визначається лише швидкістю його змінювання.

Електромагнітна індукція – це явище, яке полягає в тому, що в замкненому контурі у разі змінювання потоку магнітної індукції, що охоплюється цим контуром, виникає струм, який називають індукційним струмом.

Закон Фарадея. Узагальнюючи результати дослідів, М. Фарадей показав, що всякий раз, коли відбувається змінювання зчепленого з контуром потоку магнітної індукції, в контурі виникає індукційний струм; виникнення індукційного струму вказує на наявність в електричному колі е.р.с., яка називається е.р.с. електромагнітної індукції.

Закон Фарадея формулюється так: е.р.с. електромагнітної індукції чисельно дорівнює і протилежна за знаком швидкості змінювання магнітного потоку через поверхню, обмежену цим контуром:

.

Закон Фарадея можна вивести з закону збереження енергії. Для цього слід розглянути провідник з струмом , який вміщено в однорідне магнітне поле, перпендикулярне площині контуру і який може переміщуватись. Згідно з законом збереження енергії робота джерела струму за час  складається з роботи на джоулеве тепло і роботи по переміщенню провідника в магнітному полі:

,

де –  – закон Фарадея.

Встановимо розмірність .

.

Правило Ленца. В законі Фарадея  знак мінус показує, що збільшення магнітного потоку викликає  (тобто поле індукованого струму спрямовано назустріч потоку), зменшення потоку викликає  (тобто напрям потоку і поля індукованого струму співпадають). Знак мінус в законі Фарадея – це і є математичний вираз правила Ленца – загального правила для знаходження напрямку індукованого струму.

Формулювання правила Ленца таке: індукційний струм в контурі завжди має такий напрям, що створюване ним магнітне поле заважає змінюванню магнітного потоку, який викликав цей індукційний струм.

2. Взаємоіндукція. Взаємна індуктивність двох котушок на спільному осерді.

Розглянемо два контури 1 і 2 з струмами  і , які розташовані близько один до одного (рис. 14.4). У разі протікання в контурі 1 струму  магнітний потік (суцільні лінії на рисунку) пронизує контур 2:

.

Аналогічно

.

Коефіцієнти пропорційності , які називаються взаємною індуктивністю контурів, виявились однаковими.

                            

                                    Рис. 12.3                                                 Рис. 12.4

У разі змінювання сили струму в одному з контурів, в другому індукується е.р.с. згідно з законом Фарадея

;

.

Взаємна індукція – це явище виникнення е.р.с. в одному з контурів у разі змінювання сили струму в другому контурі.

Взаємна індуктивність контурів залежить від геометричної форми, розмірів, взаємного розташування контурів, а також від магнітної проникності оточуючого середовища.

Взаємна індуктивність двох котушок на спільному осерді. Розглянемо дві котушки на спільному осерді (рис. 12.5). Магнітна індукція поля, створюваного першою котушкою з числом витків , струмом  и магнітною проникністю осердя, дорівнюватиме

,

де  довжина осердя по середній лінії.

Магнітний потік крізь один виток другої котушки

.

Тоді повний магнітний потік (потокозчеплення) крізь витків вторинної обмотки

.

Поток створюється струмом , тому (оскільки частина потоку, що пронизує витки вторинної обмотки )

.

3. Індуктивність контуру. Самоіндукція. Е. р. с. самоіндукції

Індуктивність контуру. Магнітна індукція  поля, створюваного струмом, по закону Біо-Савара-Лапласа пропорційна силі струму . Саме тому зчеплений з контуром магнітний потік пропорційний струму в контурі:

,

де коефіцієнт пропорційності  називається індуктивністю контуру.

Індуктивність контуру в загальному випадку залежить лише від геометричної форми контуру, його розмірів і магнітної проникності того середовища, в якому він знаходиться.

Одиниця індуктивності – Гн. 1 Гн (генрі – це індуктивність такого контуру, магнітний потік самоіндукції якого у разі протікання по ньому струму в 1 А дорівнює 1 Вт:

1 Гн = 1 Вб/А = 1 В·с/А.

Е.р.с. індукції в нерухомих провідниках.

Згідно з законом Фарадея виникнення е.р.с. електромагнітної індукції можливе також у випадку нерухомого контуру, який знаходиться в змінному магнітному полі. Згідно з трактовкою Максвелла: всяке змінне магнітне поле збуджує в оточуючому просторі електричне поле, яке і є причиною виникнення індукційного струму в нерухомому провіднику. Циркуляція  цього поля по будь-якому нерухомому контуру  провідника є е.р.с. електромагнітної індукції

.

Самоіндукція

Застосовуючи до самоіндукції закон Фарадея у випадку змінювання в провідному контурі сили струму, матимемо залежність:

.

У випадку, коли контур не деформується і магнітна проникність середовища не змінюється, то  і, отже,

,

де знак мінус, обумовлений правилом Ленца, показує, що наявність в контурі індуктивності викликає в ньому уповільнення змінювання струму. Так, у разі зростання струму , тобто струм самоіндукції направлений назустріч струму, обумовленому зовнішнім джерелом, і гальмує його збільшення.

Індуктивність нескінченно довгого соленоїда. Соленоїд – це згорнутий в спіраль ізольований провідник, по якому протікає електричний струм. Повний магнітний потік соленоїда (потокозчеплення)

.

Отже

,

де   – число витків соленоїда;  –  його довжина;  – площа;  – магнітна стала;  – магнітна проникність осердя.

4. Енергія та об'ємна густина енергії магнітного поля

Енергія магнітного поля, зчепленого з контуром, локалізована в просторі і виражається формулою

.

Об'ємна густина енергії магнітного поля соленоїда, яке однорідне і зосереджене всередині нього, виражається залежністю

.

Тут враховано, що енергія магнітного поля соленоїда

.

– об'єм соленоїда.


ЛЕКЦІЯ 13

Власні незгасаючі коливання

1. Коливання та їх типи

Коливання – це рух, або процеси, які характеризуються певною повторюваністю в часі.

Вільні коливання (власне коливання) – це коливання, що здійснюються за рахунок власної енергії  при наступній відсутності зовнішніх впливів на коливальну систему. тобто систему. яка здійснює коливання.

За характером фізичних процесів розрізняють  механічні, електромагнітні та інші типи коливань.

Гармонічні коливання. Гармонічні коливання величини  описуються рівнянням такого типу

,або ,

де   – амплітуда коливань;  – початкова фаза в момент ;  – фаза коливань в момент часу .

Фаза коливань визначає значення величини, що коливається, в даний момент часу.

Визначимо поняття періоду і частоти коливань.

Період гармонічного коливання – це проміжок часу Т, протягом якого фаза коливань отримує приріст , тобто

.

Звідси

.

Частота коливань – це число повних коливань, які здійснюються за одиницю часу

.

Одиниця коливань – 1Гц. 1Гц (герц) – це частота періодичного процесу, за якого за 1 с здійснюється один цикл процесу.

2. Механічні вільні гармонічні коливання, їх диференціальне рівняння

та розв'язок

Нехай матеріальна точка здійснює прямолінійні гармонічні коливання вздовж осі х біля положення рівноваги, яке приймемо за початок координат. Тоді залежність координати х від часу  визначається рівнянням:

.

Визначимо швидкість  та прискорення  точки, що коливається.

;

.

З наведених формул видно, що аммлітуда швидкості  та прискорення  дорівнють  і . При цьому фаза швидкості  відрізняється від фази  на , а фаза прискорення  – на  . В моменти часу, коли х = 0,  приймає своє найбільше значення; якщо х досягає свого найбільшого від'ємного значення, то   досягає найбільшого додатнього значення (див. рис. 13.1).

З виразу для  випливає таке диференціальне рівняння гармонічних коливань:

Розв'язок цього рівняння  .

Рис. 13.1

Сила, що діє на матеріальну точку, що коливається,

пропорційна зміщенню матеріальної точки і направлена в протилежну сторону (до положення рівноваги).

3. Енергія гармонічних коливань

Розглянемо енергію гармонічних коливань.

Кінетична енергія

.

Потенціальна енергія

.

Повна енергія

.

4. Електричний коливальний контур. Диференціальне рівняння власних електричних коливань та його розв'язок

Вільні коливання в коливальному контурі, що ідеалізується

Коливальний контур – це коло, що складається з ввімкнених послідовно котушки індуктивністю L, конденсатора ємністю С і резистора опором . Такий контур застосовується для збудження і підтримки електромагнітних коливань (періодичних процесів перетворення енергії електричного поля в енергію магнітного поля і навпаки). В ідеалізованому контурі опор = 0.

Послідовні стадії коливального процесу в ідеалізованому контурі і аналогія між електромагнітними і механічними коливаннями наведені на рис. 13.2.

Рис. 13.2

Оскільки R 0, то згідно з законом збереження, повна енергія

.

За відсутності втрат енергії в контурі здійснювались би періодичні незгасаючі коливання, тобто періодично змінювались (коливались) заряд  на обкладаннях конденсатора, напруга на конденсаторі і сила струму , що протікає через котушку індуктивності. Отже, в контурі виникають електричні коливання, причому коливання супроводжуються перетвореннями енергій електричного і магнітного полів.

Диференціальне рівнянні електромагнітних коливань для ідеалізованого контура.

Для ідеалізованого контура (R 0) згідно з другим правилом Кирхгофа

UС =

де  UС = – напруга на конденсаторі;   – е.р.с. самоіндукції, яка виникає в котушці у разі протікання в ній змінного струму. Підставивши ці вирази в UС =і врахувавши, що  і , отримаємо диференціальне рівняння коливань заряду в контурі:

коливання вільні (в контурі відсутні зовнішні е. р. с. ) гармонічні (R 0)). Заряд  на обкладаннях конденсатора змінюється по гармонічному закону

,

де   – амплітуда коливань заряду конденсатора з циклічною частотою , яка називається власною частотою контура

і періодом

формула Томсона.

Сила струму в коливальному контурі

.

Напруга на конденсаторі

.

З двох останніх виразів випливає, що коливання струму І випереджають по фазі коливання заряду  на /2, тобто якщо струм досягає максимального значення, то заряд (і напруга) перетворюються в нуль, і навпаки.

Згідно з законом збереження енергії

.

ЛЕКЦІЯ 13 (додаткова)

Додавання гармонічних коливань

1. Метод векторних діаграм

Гармонічні коливання можна зобразити графічно, застосувавши метод векторних діаграм. Для цього з довільної точки О на осі х під кутом , який дорівнює початковій фазі коливання, відкладають вектор , модуль якого дорівнює амплітуді А даного коливання (рис. 13.1). Якщо цей вектор почати обертати з кутовою швидкістю , яка дорівнює циклічній частоті коливань, то проекція кінця вектора переміщуватиметься по осі z і прийматиме значення від – А до +А, а величина, що коливається, змінюватиметься з часом за законом

,

Рис. 13.1

У фізиці часто застосовують інший метод, який відрізняється від методу векторних амплітуд лише формою. В цьому методі величину, що коливається, представляють комплексним числом. Згідно з формулою Ейлера, для комплексних чисел

,

де – уявна одиниця.

Тому рівняння гармонічного коливання  можна записати в комплексній формі:

.

Дійсна частина цього виразу

якраз і є гармонічним коливанням. Позначення Re дійсної частини опускають, тобто  записують у вигляді:

і вважають, що величина s, що коливається, дорівнює дійсній частині комплексного виразу, що стоїть в цьому рівнянні справа.

2. Додавання гармонічних коливань одного напрямку

В ряді випадків необхідно знати результуюче коливання, тобто підсумувати два гармонічні коливання одного напрямку і однакової частоти:

;

.

Рівняння результуючого коливання найпростіше знайти скориставшись векторних діаграм (рис 13.2):

Рис. 13.2

,                                      (1)

де амплітуда А і початкова фаза задаються співвідношеннями: 

;

.

Результуюче коливання (1) – гармонічне і воно здійснюється в тому ж самому напрямку і з тією ж самою частотою, що й коливання, які підсумовуються.

Розглянемо два характерних випадки коливань:

  1.  , … . Тоді ;
  2.  , … . Тоді .

3. Биття

Для практики важливим є випадок, коли додаються два гармонічних коливання з близькими частотами. Саме тоді виникає биття, тобто періодичне змінювання амплітуди коливань, яке виникає при підсумовуванні двох гармонічних коливання з близькими частотами. 

Розглянемо додавання наступних коливань:

;

          ;

, початкові фази обох коливань дорівнюють нулю

Результуюче коливання буде таким:

.

Амплітуда биття: ; період биття:  (рис. 13.3).

Рис. 13.3

4. Додавання взаємно перпендикулярних гармонічних коливань.

Поняття про фігури Ліссажу

Додаються гармонічні коливання однакової частоти , що відбуваються у взаємно перпендикулярних площинах

Рівняння траєкторії результуючого коливання можна отримати шляхом виключення параметра :

.

Це рівняння еліпса, осі якого орієнтовані відносно координатних осей довільно.

Розглянемо два частинні випадки:

І. … . Це випадок лінійно поляризованих коливань: еліпс вироджується у відрізок прямої лінії , де знак плюс відповідає нулю і парним значенням  (рис. 13.4, а), а мінус – непарним значенням  (рис. 13.4, б),  .

Рис. 13.4

ІІ. 1) … . 2) . Це випадок циркулярно поляризованих коливань: у разі виконання умови 1) матимемо еліпс, орієнтований відносно координатних осей; у разі виконання ще й умови 2) – еліпс вироджується в коло.

Фігури Ліссажу. Фігури Ліссажу – це замкнені траєкторії, які прочерчуються точкою, що здійснює одночасно два взаємно перпендикулярні коливання (рис. 13.5). Форма цих коливань залежить від співвідношення амплітуд, частот (на рисунку вказані зліва) і різниці фаз (на рисунку вказані зверху; різниця фаз приймається такою, що дорівнює ).

Рис. 13.5


ЛЕКЦІЯ 14

Згасаючі коливання

1. Згасаючі механічні коливання

Згасаючі коливання – це коливання, амплітуда яких внаслідок втрати енергії реальної коливальної системи з плином часу зменшується, перетворюючись в теплоту через тертя в механічних коливальних системах, омічні втрати та випромінювання електромагнітної енергії в електричних коливальних системах.

Закон згасаючих коливань визначається властивостями систем, що коливаються. Серед таких систем найпоширенішими є лінійні системи. Лінійні системи – це ідеалізовані реальні системи, в яких параметри, що визначають фізичні властивості системи, під час процесу коливань не змінюються (на відміну від нелінійних систем, в яких ці параметри змінюються нелінійно).

Різні за своєю природою лінійні системи описуються однаковими рівняннями, що дає можливість застосувати єдиний підхід до вивчення коливань різної фізичної природи.

Гармонічні коливання величини  описуються рівнянням такого типу

, ,

де   – амплітуда коливань;  – початкова фаза в момент ;  – фаза коливань в момент часу .

Визначення періоду і частоти коливань:

; ; .

Швидкість  та прискорення  точки

;

.

Сила, що діє на матеріальну точку

.

Енергія гармонічних коливань

Кінетична енергія

.

Потенційна енергія

.

Повна енергія

.

Маятники

Рівняння гармонічного осцилятора

.

Пружний маятник

Рівняння руху маятника під дією сили :

має розв'язок

; ; .

Математичний маятник

Період малих коливань такого маятника

,

де  – довжина маятника;  – прискорення вільного падіння.

Фізичний маятник

Момент сили, що вертає, дорівнює

,

де  – момент інерції відносно осі, що проходить через точку 0;  – відстань між точкою підвісу і центром мас маятника;  – сила, що вертає;  відповідає малим коливанням маятника.

Рівняння фізичного маятника

; ,

де .

Фізичний маятник здійснює коливання з циклічною частотою  і періодом

; ,

де  – приведена довжина фізичного маятника.

2. Диференціальне рівняння вільних згасаючих коливань лінійної системи

та його розв'язок

Величина , яка описує коливальний фізичний процес в лінійній системі, задовольняє диференціальному рівнянню:

,

де  – коефіцієнт згасання ( – для механічних коливань і  – для електричних коливань);  – циклічна частота вільних коливань.

Розв'язок цього рівняння такий:

,

де  – частота загасаючих коливань;  – амплітуда згасаючих коливань.

Характеристики згасання такі:  – коефіцієнт згасання;  – час релаксації – це час, протягом якого амплітуда згасаючих коливань зменшиться в е раз.

Період згасаючих коливань .

Вимушені коливання

Для пружного маятника, на який діє змушуюча сила :

,

або, враховуючи те, що , ,

.

Розв'язок цього рівняння:

,

де ; .

Резонансна частота ()

Ця частота визначається так:

,

звідки

.

Електричні коливання. Електричний коливальний контур

Згідно з законом Ома

,

де  – напруга на резисторі;  – напруга на конденсаторі;  – е. р. с. самоіндукції. Отже

або

; ; ;

.

Це рівняння має такий розв'язок:

,

де .

Згідно з законом збереження енергії

.


ЛЕКЦІЯ 15

Вимушені коливання

1. Вимушені механічні коливання, диференціальне рівняння і його розв'язок. Характеристики вимушених коливань (частота, амплітуда, фаза)

Вимушені коливання – це незгасаючі коливання, що виникають під дією зовнішньої сили F, яка періодично змінюється (F0 — амплітудне значення змушувальної сили).

Вимушені механічні коливання розглянемо на прикладі пружинного маятника.

Закон руху пружинного маятника. Для пружного маятника масою , який здійснює малі коливання під дією пружної сили , сила тертя пропорційна швидкості:

,

де  – коефіцієнт опору; знак мінус вказує на протилежні напрями сили тертя і швидкості.

Отже, закон руху пружинного маятника з врахуванням змушувальної сили F,  такий

.

З урахуванням того, що  коефіцієнт згасання , а , отримаємо диференційне рівняння:

.

Розв'язок цього рівняння:

,

де амплітуда  (1); фаза .

2. Механічний резонанс

Розглянемо явище механічного  резонансу. Це явище має місце за частоти, коли амплітуда зміщення досягне максимума. Така частота називається резонансно частотою (). Ця частота визначається з такої умови: : треба продиференціювати підкорінний вираз у формулі (1) по  і прирівняти його нулю:

,

звідки

.

Визначимо поняття механічний резонанс. Механічний резонанс – це явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти змушувальної сили до частоти, яка дорівнює або наближається до власної частоти коливальної системи.

Резонансні криві – це криві залежності амплітуди А вимушених коливань від частоти   при різних . При 0 всі криві досягають одного і того ж самого, відмінного від нуля, граничного значення , яке називається статичним відхиленням (див. рис. 15.1).

Рис. 15.1

3. Вимушені електромагнітні коливання, диференціальне рівняння

і його розв'язок і характеристики

Вимушені коливання – це незгасаючі коливання, що виникають під дією зовнішньої напруги , що періодично змінюється.

Закон Ома для контура з R, L, С. З урахуванням прикладеної напруги

,

де  – напруга на резисторі;  – напруга на конденсаторі;  – е.р.с. самоіндукції; .

Отже

.

Для виведення диференціального рівняння розділимо останнє рівняння на  і підставимо , , ; . В результаті отримаємо

;

Це рівняння має такий розв'язок:

,

де ;   ;  – зсув по фазі між зарядом і прикладеною напругою.

Сила струму у разі сталих коливань дорівнюватиме:

,

де

.

Таким чином, сила струму має такий вид:

де    – зсув по фазі між струмом і прикладеною напругою. Тоді можна показати, що

.

4. Електричний резонанс і його використання в техніці

Розрізняють резонанс напруг і резонанс струмів. Розглянемо ці види резонансу докладніше.

Резонанс напруг (послідовний резонанс) може мати місце в колі змінного струму, що містить послідовно включені резистор, котушку індуктивності та конденсатор (див. рис. 15.2)

Рис. 15.2

Як видно з цього рисунка кут зсуву визначає різницю фаз між струмом і напругою

.

З прямокутного трикутника випливає, що

,

звідки амплітудне значення сили струму

.

Якщо напруга в електричному колі змінюється по закону , то струм в цьому колі буде такий:

.

Величина

називається повним опором (імпедансом), а величина

          (2)

реактивним опором.

Якщо в електричному колі з послідовно ввімкненими R, L, С 

,

то, згідно з формулою

кут зсуву фаз між струмом і напругою стає таким, що дорівнює нулю: змінювання струму і напруги відбуваються синфазно. Умові (2) задовольняє резонансна частота:

.

В даному випадку повний опір Z = R і тому струм електричного кола визначається лише активним опором, приймаючи максимальні (можливі при даному ) значення.

Резонанс напруг – це явище різкого зростання амплітуди сили струму в контурі при збігу циклічної частоти  зовнішньої змінної напруги з власною частотою 0 коливального контура.

Резонанс виразно проявляється лише при малому активному опорі контура (див. рис. 15.3).

Рис. 15. 3

У випадку резонансу напруг , тобто однакові по амплітуді і протилежні по фазі   (див. рис. 15.4).

Рис. 15.4

Резонанс струмів (паралельний резонанс). Цей резонанс може відбутися в колі змінного струму, що містить паралельно ввімкнені конденсатор ємністю С і котушку індуктивністю L (див. рис. 15.5).Прикладена до кола напруга U = Um cost. Активним опором обох гілок нехтуємо.

Рис. 15.5

Гілка 1 (в ній протікає струм І1)

(враховано, що R = 0 і L = 0).

,

, де n = 1, 2, ... .

Гілка 2 (в ній протікає струм І2)

(враховано, що R = 0 і C = ).

,

, де n = 1, 2, ... .

Різниця фаз струмів в гілках: , тобто струми в гілках протилежні по фазі. Амплітуда сили струму в зовнішньому (нерозгалуженому) колі

.

Якщо , то і .

Резонанс струмів (паралельний резонанс) – це явище різкого зменшення амплітуди сили струму в зовнішньому ланцюзі, що живить паралельно включені конденсатор і катушку індуктивності, при наближенні частоти з прикладеної напруги до резонансної частоти з    .

Амплітуда сили струму  виявилася рівною нулю, тому що активним опором контура нехтуємо. Якщо врахувати опір R, то різниця фаз не буде дорівноювати , тому при резонансі струмів амплітуда сили струму буде відмінна від нуля, але прийме якнайменше можливе значення.

Автоколивання. Параметричний резонанс. Їх використання в техніці

В техніці в ряді випадків важливо підтримувати коливання незгасаючими. Для цього необхідно заповнювати втрати енергії реальної коливальної системи. Це досягається шляхом неперервного поповнення втрат в такій системі. Особливо важливими і широко застосовуваними в практиці є так звані автоколивання –  незгасаючі коливання, які підтримуються в дисипативній системі за рахунок  постійного діючого зовнішнього джерела енергії, причому властивості цих коливань визначаються самою системою.

Автоколивання принципово відрізняються від вільних незгасаючих коливань, що відбуваються без дії сил, а також від вимушених коливань, що відбуваються під дією періодичної сили. Автоколивальна система сама управляє зовнішніми діями, забезпечуючи узгодженість надходження енергії певними порціями в потрібний момент часу (в такт з її коливаннями).

Приклад автоколивальної системи – годинник, у якого храповий механізм підштовхує маятник в такт з його коливаннями. Енергія, що передається при цьому маятнику, поповнюється або за рахунок пружини, що розкручується, або за рахунок вантажу, що опускався. Коливання повітря в духових інструментах і органних трубах також виникають внаслідок автоколивань, підтримуваних повітряним струменем.

Автоколивальними системами є також двигуни внутрішнього згоряння, парові турбіни, ламповий генератор та ін.


Лекція 16

Пружні хвилі

1. Хвильовий процес. Види хвиль. Хвильова поверхня, фронт хвилі. Промінь

Коливання, збуджені в якій-небудь точці середовища, розповсюджуються в ньому з кінцевою швидкістю, яка залежить від властивостей середовища, передаючись від однієї точки середовища до іншої. Чим далі розташована частинка середовища від джерела коливань, тим пізніше вона почне коливатися. Отже, фази коливань частинок середовища і джерела тим більше відрізняються один від одного, чим більше ця відстань.

Хвильовий процес (хвиля)це процес розповсюдження коливань в суцільному середовищі. Суцільне середовище – це неперервно розподілене в просторі середовище з пружними властивостями.

Під час розповсюдження хвиль частинки середовища не рухаються разом з хвилею, а коливаються біля своїх положень рівноваги. При цьому разом з хвилею від частинки до частинки середовища передаються лише стани коливального руху і його енергія. Тому основною властивістю всіх хвиль, незалежно від їх природи, є перенесення енергії без перенесення речовини.

Пружні (механічні) хвилі – це механічні збурення, що розповсюджуються в пружному середовищі.

Розрізняють такі види хвиль: поздовжні – в них частинки середовища коливаються у напрямі розповсюдження хвилі; поперечні – в них частинки середовища коливаються в площинах, перпендикулярних напряму розповсюдження хвилі.

Поздовжні хвилі можуть розповсюджуватися в середовищах, в яких виникають пружні сили під час деформації стиснення і розтягування, тобто в твердих, рідких і газоподібних тілах. Поперечні хвилі можуть розповсюджуватися в середовищі, в якому виникають пружні сили під час деформації зсуву, тобто тільки в твердих тілах.

2. Гармонічна хвиля та її характеристики

Розглянемо пружну гармонічну хвилю, тобто хвилю, для якої відповідні їй коливання частинок середовища є гармонічними.

Характеристики гармонічної хвилі:

довжина хвилі – це відстань між двома найближчими частинками, що коливаються в однаковій фазі. Довжина хвилі  дорівнює відстані, на яку розповсюджується певна фаза коливання за період: , де – частота коливань;

– хвильовий фронт – це геометричне місце точок, до яких доходять коливання до моменту часу .

– хвильова поверхня – це геометричне місце точок середовища, що коливаються в однаковій фазі.

Зазначимо, що хвильовий фронт також є хвильовою поверхнею.

Графік гармонічної поперечної хвилі, що розповсюджується із швидкістю v уздовж осі х, виражає графічну залежність між зміщенням  частинок середовища, що беруть участь в хвильовому процесі, і відстанню х цих частинок (наприклад, частинки В) від джерела коливань О для якогось фіксованого моменту часу . Хоча цей графік (рис. 16.1) схожий на графік гармонічного коливання, прте вони різні за своєю суттю. Якщо графік хвилі визначає залежність зміщення всіх частинок середовища від відстані до джерела коливань в даний момент часу, то графік коливань – це залежність зміщення даної частинки від часу.

Рис. 16.1

3. Принцип Гюйгенса

Якщо відомо положення фронту хвилі в деякий момент часу  і швидкість , то положення фронту в наступний момент часу  можна визначити за допомогою принципа Гюйгенса: кожна точка, до якої доходить хвиля, служить центром вторинних хвиль, а огинаюча цих хвиль дає положення хвильового фронту в наступний момент часу. Таким чином, згідно з цим принципом всі точки поверхні , через які проходить фронт хвилі в момент часу , слід розглядати як джерела вторинних хвиль, а розшукуване положення  фронту в момент  співпадає з поверхнею, що огинає всі вторинні хвилі. При цьому приймається, що в однорідному середовищі вторинні хвилі випромінюються лише вперед. тобто в напрямах, які складають гострі кути із зовнішньою нормаллю до фронту хвилі. В однорідному ізотропному середовищі вторинні хвилі є сферичними (рис. 16.2).

Рис. 16.2

4. Рівняння плоскої та сферичної хвиль

Плоска хвиля – це хвиля, для якої хвильові поверхні являють собою сукупність паралельних площин, перпендикулярних напряму розповсюдження хвилі.  

Сферична хвиля – це хвиля, для якої хвильові поверхні являють собою сукупність паралельних концентричних сфер, перпендикулярних напряму розповсюдження хвилі.  

Рівняння плоскої хвилі, що розповсюджується уздовж позитивного напряму осі х, має такий вид:

,

де позначено: – зміщення точок середовища з координатою х у момент часу ;   А – амплітуда хвилі; – циклічна (кругова) частота;  – хвильове число;  – довжина хвилі; – фазова швидкість; – період коливань;  – початкова фаза коливань.

Розглянемо поняття фазової швидкості. Щоб визначити це поняття, припустимо, що фаза хвилі постійна, тобто

і продиференціюємо цей вираз по t. Тоді отримаємо

,

де v є не що інше, як швидкість переміщення фази хвилі, яку називають фазовою швидкістю.

Зазначимо, що з виразу для хвильового числа , що фазова швидкість . Якщо фазова швидкість хвиль в середовищі залежить від частоти, то це явище називають дисперсією хвиль, а середовище, в якому спостерігається дисперсія хвиль, диспергуючим середовищем.

Рівняння сферичної хвилі має вид:

,

де  – відстань від центру хвилі до даної точки середовища.

4. Хвильове рівняння пружної хвилі

Диференціальне рівняння в частинних похідних, яке описує розповсюдження хвиль в однорідному ізотропному середовищі, має такий вид:

,

де  – оператор Лапласа;  – фазова швидкість.

Розв'язок хвильового рівняння – це є рівняння будь-якої хвилі. Хвильове рівняння для плоскої хвилі, що розповсюджується уподовж осі :

.

Принцип суперпозиції (накладення) хвиль:  при розповсюдженні в лінійному середовищі декількох хвиль кожна з них розповсюджується так, як ніби інші хвилі відсутні, а результуюче зміщення частинки середовища у будь-який момент часу дорівнює геометричній сумі зміщень, які отримують частинки, що беруть участь в кожному з складників хвильових процесів.

Виходячи з принципа суперпозиції і розкладення в ряд Фур'є будь-яка хвиля може бути представлена у вигляді суми гармонічних хвиль, тобто пакета, або групи хвиль.   

Хвильовим пакетом називається суперпозиція хвиль, що мало розрізняються одна від одної за частотою, яка займає в кожний момент часу обмежену область простору.

Введемо поняття групова швидкість. Групова швидкість  – це швидкість руху групи хвиль, які створюють в кожний момент часу локалізований в просторі хвильовий пакет, або швидкість руху центру хвильового пакету. Групова швидкість виражається залежністю:

.

Зв'язок групової і фазової швидкостей такий:

,

або

.

В недиспергуючому середовищі, тобто середовищі, в якому фазова швидкість хвиль не залежить від їх частоти,  і .

Поглинання хвиль. Поглинання хвиль – це перетворення енергії пружних хвиль в інші види енергії внаслідок внутрішнього тертя і теплопровідності під час розповсюдження хвиль в середовищі. Амплітуда  і інтенсивність  плоскої хвилі, що розповсюджується вздовж позитивного напряму осі , змінюються за експоненціальним законом:

 і   ,

де  і  – амплітуда і інтенсивність хвилі в точці ;  – лінійний коефіцієнт поглинання пружних хвиль, який залежить від властивостей середовища і частоти хвилі.


ЛЕКЦІЯ 17

Рівняння Максвелла

1. Аналіз явища електромагнітної індукції. Вихрове електричне поле.

Циркуляція вектора напруженості вихрового електричного поля

Згідно з гіпотезою Максвелла будь-яке змінне магнітне поле збуджує в оточуючому просторі електричне поле, яке і є причиною виникнення індукованого струму в контурі.

При цьому контур, в якому з'являється е. р. с., відіграє лише другорядну роль – фактично він є лише "приладом", який знаходить це поле.

Таким чином, змінюване в часі магнітне поле породжує електричне поле , циркуляція якого

, (*)

де  – проекція вектора  на напрям .

Зазначимо, що електричне поле в загальному випадку може бути як потенціальним (), так і вихровим (), і тому    =  + . Оскільки циркуляція вектора  дорівнює нулю (як потенціального поля), то ми й отримуємо (*).

Підставивши в цю залежність , отримаємо

.                         (1)

Останнє рівняння записано з урахуванням того, що у випадку нерухомої поверхні і контуру операції диференціювання і інтегрування можна поміняти місцями; символ частинної похідної підкреслює той факт, що інтеграл  є функцією лише часу.

Таким чином, циркуляція вектора  не дорівнює нулю, тобто електричне поле , яке збуджується змінним магнітним полем, як і саме магнітне поле, є вихровим.

Рівняння (1) – це перше рівняння Максвелла. Воно показує, що джерелами електричного поля можуть бути не лише електричні заряди, а й змінювані в часі магнітні поля.

Симетрія у взаємозалежності електричних і магнітних полів. Згідно з Максвеллом, якщо всяке змінне магнітне поле збуджує в навколишньому просторі вихрове електричне поле, то повинно існувати і зворотне явище: всяке змінювання електричного поля повинно викликати появу в навколишньому просторі вихрового магнітного поля.

2. Струм зміщення. Закон повного струму. Друге рівняння Максвелла

Струм зміщення, введений Максвелом, необхідний для встановлення кількісних співвідношень між змінюваним електричним полем і викликаним ним магнітним полем.

По Максвелу, в колі змінного струму, що містить конденсатор, змінне електричне поле в конденсаторі в кожний момент часу створює таке магнітне поле, неначебто між обкладинками конденсатора існує струм зміщення, який дорівнює струму в проводах, що підводяться до конденсатора. Тоді можна стверджувати, що струми провідності (І) і зміщення (Ізм) дорівнюють один одному: Ізм = І.

Струм провідності поблизу обкладинок конденсатора

.

Тут враховано, що поверхнева густина заряду  на обкладинках дорівнює електричному зміщенню D в конденсаторі.

Сила струму крізь довільну поверхню S може бути визначена як потік вектора густини струму:

І =.

Тоді  І = Ізм = . Порівнявши цей вираз з виразом , отримаємо такий вираз для густини струму зміщення:

.

Густина струму зміщення в діелектриці визначається з виразу для електричного зміщення , де  – напруженість електростатичного поля;  – поляризованість. Отже, густина струму зміщення

,

 

де – густина струму зміщення  у вакуумі;густина струму поляризації струму, обумовленого впорядкованим рухом електричних зарядів в діелектриці (зміщення зарядів в неполярних молекулах або поворот диполів в полярних молекулах). Збудження магнітного поля струмами поляризації правомірно, оскільки струми поляризації за своєю природою не відрізняються від струмів провідності.

обумовлена лише змінюванням електричного поля в часі, проте також збуджує магнітне поле. Це принципово нове твердження Максвела. Навіть у вакуумі всяке змінювання в часі електричного поля приводить до виникнення в навколишньому просторі поля магнітного.

Густина повного струму

.

По Максвелу, повний струм завжди замкнений, тобто на кінцях провідника обривається лише струм провідності, а в діелектриці (вакуумі) між кінцями провідника є струм зміщення, який замикає струм провідності.

Зі всіх фізичних властивостей, притаманних струму провідності, Максвел приписав струму зміщення лише одне – здатність створювати в навколишньому просторі магнітне поле.

Друге рівняння Максвелла – це  узагальнена Максвеллом теорема про циркуляцію вектора . Максвелл узагальнив теорему про циркуляцію вектора , ввівши в її праву частину 

.

З урахуванням цього узагальнена теорема про циркуляцію вектора має такий вид:

                                     .                                       (2)

Ця теорема показує, що магнітні поля можуть збурюватись або рухомими зарядами (електричними струмами), або змінними електричними полями.

3. Система рівнянь Максвелла для електромагнітного поля в інтегральній формі.

Електромагнітне поле

Повна система рівнянь Максвела складається з рівнянь (1), (2), а також з теорем Остроградського-Гаусса для поля   і  :

;               ;                        

                                         ;          .

Величини, що входять в рівняння Максвела, не є незалежними і зв'язані так:

    ;      .

Джерелами електричного поля можуть бути або електричні заряди, або змінювані в часі магнітні поля, а магнітні поля можуть збуджуватися або рухомими електричними зарядами (електричними струмами), або змінними електричними полями.

Рівняння Максвела не симетричні відносно електричного і магнітного полів. Це зв'язано з тим, що в природі існують електричні заряди, але немає зарядів магнітних.

Якщо заряди і струми розподілені в просторі безперервно, то обидві форми рівнянь Максвела – інтегральна і диференціальна – еквівалентні. Проте, коли є поверхні розриву – поверхні, на яких властивості середовища або полів змінюються стрибкоподібно, – то тоді необхідно рівняння Максвелла доповнювати граничними умовами, яким повинне задовольняти електромагнітне поле на границі розділу двох середовищ. Інтегральна форма рівнянь Максвелла має ці умови. Ці умови  (їх виведення ми опускаємо)  мають такий вид:

,           ,       ,         ,

Тут перше  та останнє рівняння записані з урахуванням того, що на границі розділу двох середовищ є вільні заряди, які характеризуються поверхневою густиною , і струми провідності, які характеризуються поверхневою густиною струму

Зазначимо, що з рівнянь Максвелла випливає, що змінюване магнітне поле завжди пов'язано з породжуваним ним електричним полем, а змінюване електричне поле завжди пов'язане з  породжуваним ним магнітним полем, тобто електричне та магнітне поля нерозривно зв'язані одне з одним – вони створюють єдине електромагнітне поле.

4. Вихрові струми (струми Фуко). Скін-ефект

Індукційний струм виникає не тільки в лінійних провідниках, але і в масивних провідниках, поміщених в змінне магнітне поле. Ці струми виявляються замкненими в товщі провідника і тому називаються вихровими. Їх також називають струмами Фуко – на ім'я першого дослідника.

Вихрові струми підкоряються  правилу Лєнца: їх магнітне поле направлено так, щоб протидіяти змінюванню магнітного потоку, що індукує вихрові струми. Наприклад, якщо між полюсами невключеного електромагніту масивний мідний маятник здійснює практично незгасаючі коливання, то при ввімкненні струму він дуже гальмується і дуже швидко зупиняється. Це пояснюється тим, що виниклі струми Фуко мають такий напрям, що діючі на них з боку магнітного поля сили гальмують рух маятника. Цей факт використовується для заспокоєння (демпфування) рухомих частин різних приладів. Якщо в описаному маятнику зробити радіальні вирізи, то вихрові струми ослабляються і гальмування майже відсутнє.

Вихрові струми крім гальмування (як правило, небажаного ефекту) викликають також нагрівання провідників. Тому для зменшення втрат на нагрівання якоря генераторів і сердечники трансформаторів роблять не суцільними, а виготовляють з пластин, відокремлених одна від одної шарами ізолятора, і встановлюють їх так, щоб вихрові струми були направлені упоперек пластин. Джоульова теплота, що виділяється струмами Фуко, використовується в індукційних металургійних печах.  Індукційна піч є тиглем, що поміщається всередину котушки, в якій пропускається струм високої частоти. В металі виникають інтенсивні вихрові струми, здатні розігріти його до плавлення. Такий спосіб дозволяє плавити метали у вакуумі, внаслідок чого отримують надчисті матеріали.

Вихрові струми виникають і в проводах, по яких тече змінний струм. Напрям цих струмів можна визначити за правилом Лєнца. На рис. 17.1,а показаний напрям вихрових струмів при зростанні первинного струму в провіднику, а на рис. 17.1,б – при його спаданні. В обох випадках напрям вихрових струмів такий, що вони протидіють змінюванню первинного струму усередині провідника і сприяють його змінюванню поблизу поверхні. Таким чином, внаслідок виникнення вихрових струмів швидкозмінний струм виявляється розподіленим по перерізу проводу нерівномірно – він як би витісняється на поверхню провідника. Це явище отримало назву скін-ефекту (від англ. skin – шкіра) або поверхневого ефекту. Оскільки струми високої частоти практично протікають в тонкому поверхневому шарі, то проводи для них виготовляють порожнистими.

Рис. 17.1

Якщо суцільні провідники нагрівати струмами високої частоти, то в результаті скін-ефекту відбувається нагрівання тільки їх поверхневого шару. На цьому заснований метод поверхневого гарту металів. Змінюючи частоту поля, він дозволяє проводити гарт на будь-якій необхідній глибині.


ЛЕКЦІЯ 18

Електромагнітні хвилі

1. Рівняння Максвелла в диференціальній формі

На попередній лекції розглядались рівняння Максвелла в інтегральній формі. Розглянемо тепер  рівняння Максвелла в диференціальній формі. Для цього слід скористатись відомими з векторного аналізу теоремами Стокса та Гаусса:

;          .

Тоді повна система рівнянь Максвелла в диференціальній формі, яка характеризує поле в кожній точці простору, матиме такий вид:

                                 

Якщо заряди і струми розподілені в просторі неперервно, то обидві форми рівнянь Максвелла – інтегральна і диференціальна – еквівалентні. Проте, якщо є поверхні розриву, тобто поверхні, на яких властивості середовища або полів змінюються скачкоподібно, то тоді  інтегральна форма рівнянь є більш загальною.

Рівняння Максвела – найбільш загальні рівняння для електричних і магнітних полів в нерухомих середовищах. Вони відіграють у вченні про електромагнетизм таку ж саму роль, як і закони Ньютона в механіці.

Теорія Максвела, будучи узагальненням основних законів електричних і магнітних явищ, не тільки змогла пояснити вже відомі експериментальні факти, що також є важливим її наслідком, але й передбачила нові явища. Одним з важливих висновків цієї теорії з'явилося існування магнітного поля струмів зміщення, що дозволило Максвелу передбачити існування електромагнітних хвиль  – змінюваного електромагнітного поля, що розповсюджується в просторі з кінцевою швидкістю. Надалі було доведене, що швидкість розповсюдження вільного електромагнітного поля (не пов'язаного із зарядами і струмами) у вакуумі дорівнює швидкості світла с = 3·108 м/с. Цей висновок і теоретичне дослідження властивостей електромагнітних хвиль привели Максвела до створення електромагнітної теорії світла, згідно з якою світло є також електромагнітними хвилями. Електромагнітні хвилі дослідним шляхом були отримані німецьким фізиком Г. Герцем (1857 – 1894), який довів, що закони їх збудження і розповсюдження повністю описуються рівняннями Максвела. Таким чином, теорія Максвела була експериментально підтверджена.

2. Диференціальне рівняння електромагнітної хвилі  та його дослідження

Для однорідного і ізотропного середовища вектори напруженостей  і змінного електромагнітного поля задовольняють хвильовому рівнянню типу :

                                                        (1)

                                                       (2)

де  – оператор Лапласа;  – фазова швидкість.

Всяка функція, яка задовольняє рівнянням (1) і (2), описує певну хвилю, Отже, електромагнітні поля дійсно можуть існувати у виді електромагнітних хвиль. При цьому

,    (3)

де , і  – відповідно електрична і магнітна сталі, і  – відповідно електрична і магнітна проникності середовища.

В вакуумі () швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль співпадає зі швидкістю с; в речовині  і тому швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль в речовині завжди менша, ніж в вакуумі.

Як наслідок з рівнянь Максвелла витікає поперечність електромагнітних хвиль: вектори напруженостей  і змінного електромагнітного поля взаємно перпендикулярні (на рис. 18.1 показана моментальна "фотографія" плоскої  електромагнітної хвилі ) і лежить в площині , перпендикулярній вектору  швидкості розповсюдження хвилі, причому вектори ,  і  створюють правогвинтову систему.

Рис. 18.1

З рівнянь Максвелла також випливає, що в електромагнітній хвилі вектори   і завжди коливаються в однакових фазах (див. рисунок), причому миттєві значення  і в будь-якій точці зв'язані між собою співвідношенням:

.         (4)

Отже,  і одночасно досягають максимуму, обертаються в нуль і т. д.

Від рівнянь (1) і (2) можна перейти  до наступних рівнянь:

   

  

яким  задовольняють, зокрема, плоскі монохроматичні електромагнітні хвилі, тобто електромагнітні хвилі однієї строго визначеної частоти, які описуються рівняннями:

де  і  – відповідно амплітуди напруженостей електричного і магнітного поля хвилі;  – кругова частота хвилі; – хвильове число;  – початкові фази коливань в точці з координатою . Зазначимо, що в цих рівняннях   однакове, оскільки коливання електричного і магнітного векторів в електромагнітній хвилі відбуваються з однаковою фазою (див. також рис. 1.18).

3. Енергія електромагнітних хвиль (об'ємна густина, потік, вектор Умова-Пойнтінга)

Можливість виявлення електромагнітних хвиль  вказує на те, що вони переносять енергію. Об'ємна густина  енергії електромагнітної хвилі складається з  об'ємних густин  і  електричного і магнітного полів:

.

З врахуванням (4) отримаємо, що густини енергії електричного і магнітного полів в кожний момент часу однакові, тобто   = . Тому

.

Якщо помножити густину енергії  на  швидкість розповсюдження хвилі в середовищі (3), отримаємо модуль густини потоку енергії:

.

Оскільки вектори   і  взаємно перпендикулярні і створюють з напрямом розповсюдження хвилі  правогвинтову систему, то напрям вектора   співпадає з напрямом перенесення енергії, а модуль вектора дорівнює .

Вектор густини потоку енергії називається вектором Умова-Пойнтінга:

.

Вектор Умова-Пойнтінга направлений в сторону розповсюдження електромагнітної хвилі, а його модуль дорівнює енергії, яка переноситься  електромагнітною хвилею за одиницю часу через одиничну площадку, перпендикулярну напряму розповсюдження хвилі.

4. Тиск електромагнітних хвиль. Імпульс електромагнітного поля

Якщо електромагнітні хвилі поглинаються або відбиваються тілами (ці явища підтверджені дослідами Р. Герца), то з теорії Максвелла випливає, що електромагнітні хвилі повинні тиснути на тіла. Тиск електромагнітних хвиль пояснюється тим, що під дією електричного поля хвилі заряджені частинки речовини починають впорядковано рухатися і піддаються з боку магнітного поля хвилі дії сил Лоренца. Проте значення цього тиску надто мале. Можна оцінити, що при середній потужності сонячного випромінювання, що приходить на Землю, тиск для абсолютно поглинаючої поверхні складає приблизно 5 мкПа.

Існування тиску електромагнітних хвиль приводить до висновку про те, що електромагнітному полю властивий механічний імпульс. Імпульс електромагнітного поля виражається залежністю:

,

де  –  енергія електромагнітного поля.

5. Шкала електромагнітних хвиль

Електромагнітні хвилі, мають широкий діапазон частот (довжин хвиль) і відрізняються за способами їх генерації і реєстрації, а також за своїми властивостями. В таблиці представлені різні види електромагнітних хвиль, хоча слід зазначити, що межі між різними їх видами умовні.

Вид випромінювання

Довжина хвилі, м

Частота хвилі, Гц

Джерело випромінювання

Радіохвилі

10-3 – 10-4 

3·105 – 3·1012 

Коливальний контур

Вібратор Герца

Ламповий генератор

Світлові хвилі:

інфрачервоне випромінювання

видиме світло

ультрафіолетове випромінювання

5·10 – 4 –  8·10 –7 

8·10 –7 – 4·10 –7 

4·10 –7 – 10 –9  

6·1011 –  3,75·1014

3,75·1014 – 7,5·1014

7,5·1014  – 3·1017     

Лампи

Лазери

Рентгенівське випромінювання

2·10-9 –  6·10-12 

l,5·1017  – 5·1019  

Трубка Рентгена       

Радіоактивний  розпад

- випромінювання

< 6·10 –12 

> 5·1019  

Ядерні та космічні процеси


Лекція 19

Інтерференція хвиль

1. Інтерференція хвиль. Умови виникнення максимумів та мінімумів інтерференції. Оптична довжина шляху, оптична різниця ходу

Узгоджене протікання в часі і просторі декількох коливальних або хвильових процесів пов'язують з поняттям когерентності.  

Когерентні хвилі – це хвилі, у яких різниця їх фаз залишається постійною в часі. Такими хвилями можуть бути лише хвилі, що мають однакову частоту, тобто цій умові задовольняють монохроматичні хвилі, тобто хвилі, які необмежені в просторі і мають лише одну визначену і строго постійну частоту.

Зазначимо, що жодне реальне джерело не дає строго   монохроматичного світла. Тому хвилі, що випромінюються будь-яким незалежним джерелом світла, завжди некогерентні.

Розглянемо накладення двох когерентних хвиль.

Явище накладення в просторі двох (або декількох) когерентних хвиль в різних точках цього простору, при якому  відбувається посилення або ослаблення результуючої хвилі – залежно від співвідношення між фазами цих хвиль називається інтерференцією хвиль.

Розглянемо накладення двох когерентних сферичних хвиль  і  , тобто хвиль, хвильові поверхні яких мають вид концентричних сфер, які збуджуються точковими джерелами  і  (рис. 19.1), що коливаються з однаковими амплітудою  і частотою  і постійною різницею фаз:

де  і  – відстані від джерел хвиль до точки В , що розглядається;  –  хвильове число;  і  – початкові фази обох сферичних хвиль, що накладаються.

Рис. 19.1

Квадрат амплітуди результуючої хвилі в точці В дорівнює:

.

Оскільки для когерентних джерел різниця початкових фаз , результат накладення двох хвиль в різних точках залежить від величини , яка називається різницею ходу хвиль.

В точках, де

(*)

спостерігається інтерференційний максимум: амплітуда результуючого коливання .

В точках, де

(**)

спостерігається інтерференційний мінімум: амплітуда результуючого коливання .

Величина називається відповідно порядком інтерференційного максимума або мінімума.

Умови (*) і (**) зводяться до того, що

.

Це рівнянням гіперболи з фокусами в точках  і . Отже, геометричне місце точок, в яких спостерігається посилення або послаблення результуючого коливання, є сімейством гіпербол (рис.  19.1), що відповідають  умові . Між двома інтерференційними максимумами (на рис. 19.1 суцільні лінії) знаходяться інтерференційні мінімуми (на рис. 19.1 штрихові лінії).

3. Стоячі хвилі

Особливим випадком інтерференції є стоячі хвилі, тобто хвилі, що утворюються при накладенні двох біжучих хвиль, що розповсюджуються назустріч одна одній з однаковими частотами і амплітудами, а у разі поперечних хвиль – і однаковою поляризацией.

Нехай дві плоскі хвилі розповсюджуються назустріч одна одній уздовж осі х в середовищі без загасання, причому обидві хвилі характеризуються однаковими амплітудами і частотами. Крім того, початок  координат виберемо в точці, в якій обидві хвилі мають однакову початкову фазу, а відлік часу почнемо з моменту, коли початкові фази обох хвиль дорівнюють нулю. Тоді відповідно рівняння хвилі, що розповсюджується уздовж позитивного напряму осі х, і хвилі, що розповсюджується їй назустріч, матимуть вигляд

Склавши ці рівняння і врахувавши, що , отримаємо рівняння стоячої хвилі:

,

з якого витікає, що в кожній точці цієї хвилі відбуваються коливання тієї ж самої частоти  з амплітудою , яка залежить від координати х точки, що розглядається.

В точках середовища, де

 

амплітуда результуючого коливання досягає свого максимального значення, якедорівнює .

В точках середовища, де

 

амплітуда результуючого коливання дорівнює нулю.

Зазначимо, що точки, в яких амплітуда коливань максимальна , називаються пучностями стоячої хвилі, а точки, в яких амплітуда коливань дорівнює нулю , називаються вузлами стоячої хвилі. Точки середовища, що знаходяться в вузлах, не коливаються.

Координати пучностей та координати вузлів неважко отримати з двох останніх виразів:

З цих виразів витікає, що відстань пучність – пучність дорівнює , а відстань пучність – вузол дорівнює .


Лекція 20

           Дифракція хвиль

1. Закони геометричної оптики. Дифракція світла. Принцип Гюйгенса- Френеля

Дифракція – це обгинання хвилями перешкод, що зустрічаються на їх шляху;  в більш широкому значенні – будь-яке відхилення розповсюдження хвиль поблизу перешкод від законів геометричної оптики.

Завдяки дифракції хвилі можуть потрапляти в область геометричної тіні, огинати перешкоди, проникати через невеликі отвори в екранах і т. д. Наприклад, звук добре чутний за рогом будинку, тобто звукова хвиля його огинає.

Геометрична оптика розглядає закони поширення світла в прозорих середовищах на основі уявлення про світловий промінь як лінію, вздовж якої переноситься світлова енергія. Хоча світловий промінь є абстрактним поняттям, а геометрична оптика – граничним (окремим) випадком хвильової оптики, все ж вона  являє собою простий наближений метод побудови зображень в оптичних системах.

В основі геометричної оптики лежать такі закони.

1.  Закон прямолінійного поширення світла. В однорідних середовищах світло поширюється прямолінійно.

2.  Закон відбивання світла. Промінь падаючий, промінь відбитий і нормаль, поставлена в точку падіння, лежать в одній площині, а кут падіння дорівнює куту відбивання.

3. Закон заломлення світла. Промінь падаючий, промінь заломлений і перпендикуляр, поставлений у точку падіння, лежать в одній площині. При будь-якому куті падіння відношення синуса кута падіння до синуса кута заломлення є величиною, сталою для двох певних середовищ, і називається відносним   показником   заломлення   другого   середовища відносно першого.

4. Закон незалежності поширення світлових променів. Світлові промені, поширюючись у просторі, при перетині не впливають один на одного.

5.  Закон оборотності (принцип оборотності) світлових променів. Якщо промінь падає з першого середовища на межу другого під кутом і, заломлюється на межі і переходить у друге середовище під кутом r, то промінь, пущений у зворотному напрямі з другого середовища під кутом r, вийде в першому середовищі під кутом і. Аналогічно буде і при відбиванні. Принцип оборотності виконується при будь-якій кількості заломлень і відбивань на межах оптичних систем.

Розглянемо дифракцію світла.

Явище дифракції світла пояснюється за допомогою принципу Гюйгенса, згідно з яким кожна точка, до якої доходить хвиля, служить центром вторинних хвиль, а огинаюча (обвідниця) цих хвиль задає положення хвильового фронту в наступний момент часу. Це – геометричний принцип; він вирішує лише задачу про напрям розповсюдження хвильового фронту, а не піднімає питання про амплітуду, а отже, і про інтенсивність хвиль, що розповсюджуються по різних напрямах.

Френель вклав в принцип Гюйгенса фізичний смисл, доповнивши його ідеєю інтерференції вторинних хвиль.

Згідно принципу Гюйгенса-Френеля, світлова хвиля, яка збуджується яким-небудь джерелом S, може бути представлена як результат суперпозиції когерентних вторинних хвиль, "випромінюваних" фіктивними джерелами. Такими джерелами можуть служити нескінченно малі елементи будь-якої замкненої поверхні, що охоплює джерело S. Зазвичай в якості цієї поверхні вибирають одну з хвильових поверхонь, тому всі фіктивні джерела діють синфазно.

Таким чином, хвилі, що розповсюджуються від джерела, є результатом інтерференції всіх когерентних вторинних хвиль. Френель виключив можливість виникнення зворотних вторинних хвиль і припустив, що якщо між джерелом і точкою спостереження знаходиться непрозорий екран з отвором, то на поверхні екрану амплітуда вторинних хвиль дорівнюватиме нулю, а в отворі вона буде такою ж самою, як за відсутності екрану.

Врахування амплітуд і фаз вторинних хвиль дозволяє у кожному конкретному випадку знайти амплітуду (інтенсивність) результуючої хвилі в будь-якій точці простору, тобто визначити закономірності розповсюдження світла.

2. Дифракція в паралельних променях на щілині

Дифракція в паралельних променях на щілині (дифракція Фраунгофера) спостерігається тоді, коли джерело світла і точка спостереження нескінченно віддалені від перешкоди, що викликала дифракцію. Практично: точкове джерело світла поміщають у фокусі збираючої лінзи, а дифракцію спостерігають у фокальній площині іншої лінзи, встановленої за перешкодою.

Плоска монохромна хвиля падає нормально до площини вузької нескінченно довгої щілини завширшки а (рис. 20.1). Оптична різниця ходу між крайнім промінням МС і ND, що йдуть від щілини в довільному напрямі , становить

.

Рис. 20.1

Розіб'ємо відкриту частину хвильової поверхні в площині щілини МN на зони Френеля, що мають вид смуг, паралельних ребру М щілини. Ширина кожної зони вибирається так, щоб різниця ходу від країв цих зон дорівнювала , тобто всього на ширині щілини уміщатиметься

зон. Оскільки світло на щілину падає нормально, то площина щілини співпадає з хвильовим фронтом; отже, всі точки хвильового фронту в площині щілини коливатимуться в однаковій фазі.

Амплітуди вторинних хвиль в площині щілини будуть однаковими, оскільки вибрані зони Френеля мають однакові площі і однаково нахилені до площини спостереження.

Число зон Френеля, що укладаються на відкритій частині хвильового фронту, залежить, згідно з вище наведеною формулою , від кута . Від числа зон Френеля, у свою чергу залежить результат накладення всіх вторинних хвиль, іншими словами визначається дифракційна картина.

Розглянемо умови максимумів і мінімумів.

Якщо число зон Френеля парне, то                    

і на екрані (див. рис. 20.1) в точці  В спостерігається дифракційний мінімум – повна темнота (коливання від кожної пари сусідніх зон взаємно гасять одна одну).

Якщо число зон Френеля непарне, то                    

і спостерігається дифракційний максимум (одна зона Френеля не скомпенсована).

У напрямі  щілина діє як одна зона Френеля, і в цьому напрямі світло розповсюджується з найбільшою інтенсивністю, тобто в точці В0 спостерігається центральний дифракційний максимум (див. рис. а нас. 20.1).

З наведених вище умов максимуму і мінімуму можна визначити напрями на точки екрану, де амплітуда (а отже й інтенсивність) максимальна:  і мінимальна: .

Розподіл інтенсивності на екрані, який отримано внаслідок дифракції, називається дифракційним спектром (див. рис. б на рис. 20.1).

Розрахунки показують, що інтенсивності в центральному і подальших максимумах відносяться як 1 : 0,047 : 0,017 : 0,0083 : ..., тобто основна частина світлової енергії зосереджена в центральному максимумі. У разі звуження щілини центральний (і всі інші) максимум розпливається (його інтенсивність зменшується). Навпаки, у разі розширення щілини (а > ) – дифракційні смуги стають вужчими, а картина — яскравішою. При а  в центрі має місце різке зображення джерела світла (має місце прямолінійне розповсюдження світла).

Положення максимумів залежить від довжини хвилі , тому при освітленні щілини білим світлом центральний максимум спостерігається у вигляді білої смужки; він загальний для всіх довжин хвиль (при  = 0 різниця ходу дорівнює нулю для всіх ). Бічні максимуми веселково забарвлені, оскільки умова максимуму при будь-якому  різна для різних . Відчутного розділення різних довжин хвиль за допомогою дифракції на одній щілині отримати неможливо, оскільки максимуми розпливчасті.


ЛЕКЦІЯ 21

Квантова теорія теплового випромінювання

1. Теплове випромінювання, його рівноважність, характеристики

Теплове випромінювання – це світіння тіл, зумовлене нагріванням. Це практично єдиний вид випромінювання, яке перебуває в термодинамічній рівновазі з речовиною, тобто тіло в одиницю часу поглинає стільки ж енергії, скільки і випромінює.

Теплове випромінювання характеризується суцільним спектром, положення максимуму якого залежить від температури. У випадку високих температур випромінюються короткі (видимі та ультрафіолетові електромагнітні хвилі, у випадку низьких – переважно довгі (інфрачервоні)).

Кількісною характеристикою теплового випромінювання   служить спектральна густина енергетичної світимості (випромінюваності) тіла – потужність випромінювання з площі 1 м2 поверхні тіла в інтервалі частот одиничної ширини:

,

де  – енергія електромагнітного випромінювання, що випромінюється за 1 с (потужність випромінювання) з площі 1 м2 поверхні тіла в інтервалі частот від  до ).

Одиниця спектральної густини енергетичної світимості – Дж/м2.

По спектральній густині енергетичної світимості  можна розрахувати інтегральну енергетичну світимість, підсумувавши по всіх частотах:

.

2. Абсолютно чорне тіло. Розподіл енергії в спектрі випромінювання абсолютно чорного тіла. Закони Кірхгофа і Стефана-Больцмана

Тіло, здатне поглинати за будь-якої температури все падаюче на нього випромінювання будь-якої частоти, називається чорним тілом. Отже, для чорного тіла спектральна поглинальна здатність для всіх частот і температур тотожно дорівнює одиниці . В природі немає абсолютно чорних тіл, проте сажа, чорний бархат та деякі інші тіла  в певному інтервалі частот за своїми властивостями наближаються до них.

Поряд з поняттям чорного тіла використовують також поняття сірого тіла, тобто тіла, поглинальна здатність якого менше одиниці, але однакова для всіх частот і залежить тільки від температури, матеріалу і стану поверхні тіла.

.

Розглянемо тепер закони Кірхгофа та Стефана-Больцмана.

Закон Кірхгофа формулюється так: відношення спектральної густини енергетичної світимості до спектральній поглинальної здатності не залежить від природи тіла; воно є для всіх тіл універсальною функцією частоти (довжини хвилі) і температури:                                                                   

,

де спектральна густина енергетичної світимості чорного тіла.

Скориставшись законом Кірхгофа, вираз для інтегральної енергетичної світимості тіла  можна записати у вигляді:

.

Тоді інтегральна енергетична світимість сірого тіла буде такою:

,

де – інтегральна енергетична світимість чорного тіла.

Закон Стефана—Больцмана формулюється так: енергетична світимість чорного тіла пропорційна четвертому ступеню термодинамічної температури:

,

де – стала Стефана–Больцмана, експерименальне значення якої дорівнює  = 5,67·10-8 Вт/(м2·К4) .

3. Розподіл енергії в спектрі випромінювання абсолютно чорного тіла.

Закон зміщення Віна

Закон зміщення Віна формулюється так: довжина хвилі , яка відповідає максимальному значенню спектральної густини енергетичної світимості  чорного тіла, обернено пропорційна його термодинамічній температурі

,

де b = 2,9·10-3 м·К – стала Віна.

За законом Віна довжина хвилі , на яку припадає максимум спектральної випромінювальної здатності, у разі підвищення температури зміщується в бік коротких хвиль.

Розподіл енергії у спектрі випромінювання чорного тіла для різних температур (рис. 21.1) показує, що для наведених температур максимуми кривих припадають на інфрачервону частину спектра. На рисунку також заштриховано площі під кривими розподілу для інтервалу довжин хвиль від 0,4 до 0,76 мкм. Вони показують, яка саме частина енергії випромінювання припадає на видиму частину спектра при заданих температурах.

Рис. 21.1

Щоб одержати закони теплового випромінювання, Дж. Релей і Дж. Джінс застосували, на відміну від своїх попередників, методи статистичної фізики, а саме: класичний закон рівномірного розподілу енергії зао ступенями свободи і отримали для спектральної густини енергетичної світимості формулу Релея – Джінса:

,

де  – середня енергія осцилятора з власною частотою .

Цей вираз узгоджується з досвідом тільки в області малих частот і високих температур.

Згідно з законом Стефана – Больцмана

,

а обчислення з використанням формули дає такий результат:

тобто в рамках класичної фізики не вдається пояснити закони розподілу енергії в спектрі чорного тіла. Цей факт було названо "катастрофою класичної фізики".

4. Квантова гіпотеза Планка. Формула Планка

Недоліки формул Віна і Релея - Джінса вказують на те, що для одержання функції розподілу енергії в спектрі випромінювання треба враховувати додаткові дані, що стосуються механізму випромінювання.

У 1900 р. М. Планк спочатку за результатами дослідних даних одержав емпіричний вираз функції , а потім теоретично і формулу, відмовившись від усталеного положення класичної фізики, що енергія будь-якої системи змінюється неперервно. При цьому він основувався на таких припущеннях:

  •  випромінювання є результатом коливання атомних лінійних вібраторів, які збуджують електромагнітні хвилі будь-яких частот подібно до вібраторів Герца;
  •  вібратор випромінює енергію не безперервно, а певними порціями – квантами;
  •  енергія кванта, яка випромінюється вібратором, залежить від частоти випромінювання.

Згідно з гіпотезою Планка атомні осцилятори випромінюють енергію не безперервно, а певними порціями квантами: енергія кванта

,

де  = 6,625·10-34 Дж·с – стала  Планка.

При цьому енергія осцилятора може приймати лише певні дискретні значення, які кратні цілому числу елементарних порцій енергії :

,

Формула Планка має такий вид:

.

Враховуючи, що   (; ),

отримаємо

.

Зазначимо, що формула Планка блискуче узгоджується з дослідом.

Оскільки формула Планка справедлива для будь-яких частот і температур, то з неї можна вивести всі відомі закони випромінювання абсолютно чорного тіла (закон Стефана – Больцмана, закон зміщення Віна та ін.).


ЛЕКЦІЇ 22
, 23 

Квантова теорія атома водню.

Розвиток теорії Бора. Атоми із  багатьма електронами

1. Спектр випромінювання атома водню. Серіальна формула

Наведемо спочатку визначення понять атома таі іона.

Атом називається якнайменша частинка речовини, що має всіма хімічними властивості даного хімічного елемента. До складу атома входить позитивно заряджене ядро і електрони, що рухаються в електричному полі ядра. Заряд ядра Ze (Z – порядковий номер в системі Менделєєва; e – елементарний заряд)  по абсолютній величині дорівнює сумарному заряду всіх електронів атома.

Іоном називається електрично заряджена частинка, яка утворюється при втраті або придбанні електронів атомом або молекулою.

Атом водню є найпростішим атомом. Він складається з одного протона в ядрі і одного електрона, що рухається в кулонівському електричному полі ядра. Воднеподібними іонами  є іони Не+, Li++, Ве+++  і т. д., що мають ядро із зарядом Ze і один електрон.

Перша спроба створення моделі атома на основі накопичених експериментальних даних належить Дж. Дж. Томсону (1903 р.). Згідно з цією моделлю атом являє собою неперервно заряджену позитивним зарядом кулю радіусом порядка 10 –10 м, всередині якої навколо своїх положень рівноваги коливаються електрони; сумарний від'ємний заряд електронів дорівнює позитивному заряду кулі, тому атом в цілому нейтральний. Через декілька років дослідами Резерфорда по розсіюванню -часток в речовині було доведено, що уявлення про те, що позитивний заряд неперервно розподілений всередині атома,  є помилковим.

На основі своїх досліджень Резерфорд в 1911 р. запропонував ядерну (планетарну) модель атома. Згідно з цією моделлю навколо позитивного ядра із зарядом  Ze, розміром 10–15 – 10–14 і масою, яка практично дорівнює масі атома, в області з лінійними розмірами порядка 10–10 м по замкненим орбітам рухаються електрони, що утворюють електронну оболонку атома. Оскільки атоми нейтральні, то заряд ядра дорівнює заряду електронів, тобто навколо ядра обертається Z електронів (Z – порядковий номер в системі Менделєєва).

Для простоти припустимо, що електрон рухається навколо ядра по круговій орбіті радіуса . При цьому кулонівська сила взаємодії між ядром і електроном надає електрону доцентрове прискорення. На основі другого закону Ньютона для електрона, що рухається навколо ядра по круговій орбіті під дією кулонівської сили, матимемо

,

де  і   – маса і швидкість електрона на орбіті радіуса ;  – електрична стала.

Ця умова містить дві невідомі:  і  . Отже, величини  і   (а також і енергія) можуть змінюватись неперервно, тобто спектри атомів мають бути суцільними. Проте атоми мають лінійчасті спектри. Тому модель атома Резерфорда протирічила дослідним даним. Подолання труднощів, що виникли, затребувало створення якісно нової – квантової – теорії атома.

Перейдемо до розгляду лінійчастого спектру атома водню.

Зазначимо, що дослідження спектрів випромінювання розріджених газів (тобто спектрів випромінювання окремих атомів) показали, що кожному газу притаманний свій лінійчастий спектр, який складається з окремих спектральних ліній чи груп близько розташованих ліній.  

Спектр випромінювання водню є його найважливішою оптичною властивістю. Частоти ліній  в дискретному лінійчатому спектрі атома водню описуються емпіричною формулою Бальмера — Рідберга:

,

де  – постійна Рідберга. Цілі числа  і  називаються головними квантовими числами, причому  і т.д.

Група ліній з однаковими  називається серією. Серії ліній водневого спектру: – серия Лаймана; – серія Бальмера;  – серія Пашена; – серія Брекета; – серія Пфунда;  – серія Хемфрі.

Спектр  водню (а також енергетичні рівні його атомів) вперше були пояснені за допомогою постулатів Бора.  

2. Постулати Бора. Борівська теорія атома водню

Перший постулат Бора (постулат стаціонарних станів): в атомі існує набір стаціонарних станів, перебуваючи в яких атом не випромінює електромагнітних хвиль.

Стаціонарним станам відповідають стаціонарні орбіти, по яких прискорено рухаються електрони, проте випромінювання світла при цьому не відбувається.

В стаціонарному стані атома електрон, рухаючись по круговій орбіті, повинен мати дискретні квантові значення моменту імпульсу, що задовольняють умові:

, ,

де  – маса електрона;  – швидкість електрона по -ій орбіті радіуса ; .

Другий постулат Бора (правило квантування орбіт, або правило частот): при переході електрона з однієї стаціонарної орбіти на іншу орбіту випромінюється (поглинається) один фотон з енергією

,

яка дорівнює різниці відповідних стаціонарних станів ( – відповідно енергії стаціонарних станів атома до і після випромінювання (поглинання).

При  відбувається випромінювання фотона (перехід атома із стану з більшою енергією в стан з меншою енергією, тобто перехід электрона з більш видаленої від ядра орбіти на більш близьку; при  – поглинання фотона (перехід атома в стан з більшою енергією, тобто перехід електрона на більш віддалену від ядра орбіту).

Набір можливих дискретних частот

квантових переходів визначає лінійчастий спектр атома.

3. Квантово-механічний опис атома водню

Розв'язок задачі про енергетичні рівні електрона для атома водню зводиться до задачі про рух електрона в кулонівському полі ядра.

Потенційна енергія взаємодії електрона з ядром, що має заряд Ze (для атома водню Z = 1)

,

де  – відстань між електроном і ядром.

Графічно функція показана у вигляді жирної кривої на рис. 22.1. З графіка цієї функції видно, що  із зменшенням  (при наближенні електрона до ядра) необмежено спадає.

Стан електрона в атомі водню описується хвильовою функцією , яка задовольняє  стаціонарному рівнянню Шредінгера:

,

де m – маса електрона; Е – повна енергія електрона в атомі.

Оскільки поле, в якому рухається електрон, є центральносиметричним, то для розв'язку цього рівняння слід скористатись  сферичною системою координат .

З розв'язку цієї задачі (який тут не наводиться) випливають результати, які стосуються енергії та квантових чисел.

Результати щодо енергії такі.

Енергія. В теорії диференціальних рівнянь доводиться, що рівняння такого типу мають розв'язки, що задовольняють вимогам однозначності, скінченності і неперервності хвильової функції  лише  при таких власних значеннях:

,

тобто для дискретного набору від'ємних значень енергії.

Таким чином, як і у разі "потенціальної ями" з нескінченно високими "стінками" і гармонічного осцилятора, розв'язок рівняння Шредінгера для атома водню приводить до появи дискретних енергетичних рівнів.

Можливі значення показані на рис. 30.1 у вигляді горизонтальних прямих. Самий нижній рівень , який відповідає мінімальній можливій енергії, – основний, всі інші 1, 2, 3, ...) – збуджені. При  рух електрона є зв'язаним –  він перебуває усередині гіперболічної "потенціальної ями". У міру зростання головного квантового числа  енергетичні рівні розташовуються тісніше і при . При  рух електрона є вільним; область неперервного спектру  (заштрихована на рис. 30.1) відповідає іонізованому атому. Енергія іонізації атома водню дорівнює

.

                                                    Рис. 22.1

4. Квантові числа: головне, орбітальне і магнітне квантові числа.

Правила відбору

В квантовій механіці доводиться, що наведеному вище рівнянню Шредінгера задовольняють власні функції , які визначаються трьома квантовими числами: головним , орбітальним  і магнітним .

Головне квантове число  визначає енергетичні рівні електрона в атомі і може приймати будь-які цілочисельні значення починаючи з одиниці: 1, 2, 3, ...

З розв'язку рівняння  Шредінгера витікає, що момент імпульсу (механічний орбітальний момент) електрона квантується, тобто не може бути довільним, а приймає дискретні значення, які визначаються  формулою

,

де  – орбітальне квантове число, яке при заданому  приймає значення

0,1,..., (–1),

тобто всього  значень, і визначає момент імпульсу електрона в атомі.

З розв'язку  рівняння Шредінгера випливає також, що вектор  моменту імпульсу електрона може мати лише такі орієнтації в просторі, при яких його проекція  на напрям  зовнішнього магнітного поля приймає квантовані значення, кратні :

                                                  

де  – магнітне квантове число, яке при заданому  може приймати значення

,

тобто всього  значень. Таким чином, магнітне квантове число  визначає проекцію моменту імпульсу електрона на заданий напрям, причому вектор моменту імпульсу електрона в атомі може мати в просторі  орієнтацій.

Наявність квантового числа  повинна привести в магнітному полі до розщеплювання рівня з головним квантовим числом  на  підрівнів. Відповідно в спектрі атома повинно спостерігатися розщеплювання спектральних ліній. Дійсно, розщеплювання енергетичних рівнів в магнітному полі було знайдено в 1896 р. голландським фізиком П. Зеєманом і отримало назву ефекту Зєємана. Розщеплювання рівнів енергії в зовнішньому електричному полі, теж доведене експериментально, називається ефектом Штарка.

Квантові числа і їх значення є наслідком розв'язків рівнянь Шредінгера і умов однозначності, неперервності і скінченності, що накладається на хвильову функцію . Крім того, оскільки при русі електрона в атомі істотними є хвильові властивості електрона, то квантова механіка взагалі відмовляється від класичного уявлення про електронні орбіти. Згідно з квантовою механікою, кожному енергетичному стану відповідає хвильова функція, квадрат модуля якої визначає вірогідність виявлення електрона в одиниці об'єму.

Вірогідність виявлення електрона в різних частинах атома різна. Електрон при своєму русі ніби "розмазаний" по всьому об'єму, утворюючи електронну хмару, густина якої характеризує вірогідність перебування електрона в різних точках об'єму атома. Квантові числа  і  характеризують розмір і форму електронної хмари, а квантове число  характеризує орієнтацію електронної хмари в просторі.

3. Спектр. Квантові числа  і  дозволяють більш повно описати спектр випускання (поглинання) атома водню, отриманий в теорії Бора (рис. 22.2).

Рис. 22.2

В квантовій механіці вводяться так звані правила відбору, які обмежують число можливих переходів електронів в атомі, що пов'язані з випусканням і поглинанням світла. Теоретично доведено і експериментально підтверджено, що для дипольного випромінювання електрона, що рухається в центрально-симметричному полі ядра, можуть здійснюватися тільки такі переходи, для яких:

1) змінювання орбітального квантового числа  задовольняє умові

=;

2) змінювання магнітного квантового числа  задовольняє умові

=.

В оптичних спектрах вказані правила відбору в основному виконуються. Проте у принципі можуть спостерігатися і слабкі "заборонені лінії", наприклад, лінії, що виникають при переходах з = 2. Поява цих ліній пояснюється тим, що строга теорія, забороняючи дипольні переходи, дозволяє переходи, що відповідають випромінюванню складніших систем зарядів, наприклад квадруполей. Вірогідність же квадрупольних переходів (переходи з  = 2) у багато разів менше вірогідності дипольних переходів, тому "заборонені лінії" і є слабкими.

Враховуючи число можливих станів, що відповідають даному , і правило відбору =, розглянемо спектральні лінії атома водню  (рис. 22.3): серії Лаймана відповідають переходи

;

серії Бальмера –

і т. д.

Зазначимо, що перехід електрона з основного стану в збуджений зумовлений збільшенням енергії атома і може відбуватись лише у випадку надання атому енергії ззовні, наприклад за рахунок поглинання атомом фотона. Оскільки поглинаючий атом зазвичай перебуває в основному стані, то спектр атома водню повинен складатись з ліній, які відповідають переходам , що повністю узгоджується з дослідними даними.

Рис. 22.3

5. Орбітальні механічний та магнітний моменти електрона

Згідно з гіпотезою Ампера, в будь-якому тілі існують мікроскопічні струми, зумовлені рухом електронів в атомах і молекулах.

Для якісного характеру розгляду приймається, що електрон в атомі рухається по кругових орбітах.

Електрон, що рухається по круговій орбіті, еквівалентний круговому струму.

Орбітальні магнітний () і механічний ( ) моменти електрона визначаються так:

,

де  – частота обертання електрона по орбіті; – площа орбіти).

Орбітальний магнітний момент  має напрям, що відповідає правилу правого гвинта (див. рис. 22.4):

,

де gгіромагнітне відношення орбітальних моментів.

,

де .

Власний механічний момент Lls електрона (спин) буде визначено в наступній лекції.

Рис. 22.4

6. Спін електрона. Спінове квантове число

Фізики О. Штерн і В. Герлах, виміряючи магнітні моменти атомів, зробили відкриття, що вузький пучок атомів водню, який явно що знаходиться в s-стані, тобто в такому стані електрона в атомі водню, який є сферично симетричним (не залежить від кутів  і  ),  в неоднорідному магнітному полі розщеплюється на два пучки. В цьому стані момент імпульсу електрона . Магнітний момент пропорційний механічному моменту, тому він дорівнює нулю, і магнітне поле не повинно впливати на рух атомів водню в основному стані і розщеплювання не повинно бути. Проте згодом було доведено, що спектральні лінії атома водню виявляють тонку структуру (є дублетами) навіть у відсутність магнітного поля.

Для пояснення цієї структури спектральних ліній американські фізики Д. Уленбек і С. Гаудсмит висловили припущення, що електрон має власний незнищуваний механічний момент імпульсу, не пов'язаний з рухом електрона в просторі, – спін.

Спін електрона – це власний незнищуваний механічний момент імпульсу, не пов'язаний з рухом електрона в просторі.

Спін електрона (та інших мікрочастинок) – це квантова величина, у неї немає класичного аналога; це – внутрішня невід'ємна властивість електрона.

Спін квантується згідно із законом

,

де s квантове число спіна.

По аналогії з орбітальним моментом імпульсу, проекція  квантується так, що вектор  може приймати 2s + 1 орієнтації. В дослідах Штерна і Герлаха спостерігалося дві орієнтації, тому 2s + 1 = 2, звідки s = . Оскільки квантове число спіна має єдине значення, то воно, не вносячи відмінності між станами, для їх опису разом з іншими квантовими числами звичайно не використовується.

Проекція спину на напрям зовнішнього магнітного поля квантується згідно із законом

де ms  магнітне квантове число спину: .

Спіну електрона  відповідає власний магнітний момент .

Для повного опису стану електрона в атомі використовуються чотири квантові числа: головне, орбітальне, магнітне і магнітний спін.

7. Принцип Паулі. Розподіл електронів в атомі за станами. Характерні квантові числа

Стан електрона в атомі однозначно визначається набором 4 квантових чисел:

головного п (п = 1, 2, 3...);

орбітального l (l = 0, 1, 2 ..., n – 1);

магнітного ml, (ml = – l, ..., – 1, 0 +1, ..., +l);

магнітного спіну mz (mz = +, –).

Розподіл електронів в атомі підпорядковується принципу Паулі: в одному і тому ж самому атомі не може бути більше одного електрона з однаковим набором чотирьох квантових чисел n, l, ml i mz , тобто

або 1,

де – число електронів, що знаходяться в квантовому стані, який описується набором чотирьох квантових чисел: n, l, ml i mz . Отже, принцип Паулі стверджує, що два електрона, зв'язані в одному і тому ж самому атомі, розрізняються значеннями в крайньому разі одним квантовим числом.

Максимальне число електронів Z(n), які знаходяться в станах, що визначаються даним головним квантовим числом п, дорівнює:

.

Сукупність електронів в багатоелектронному атомі, що мають одне і те ж саме головне квантове число п, називається електронною оболонкою. 

 В кожній з оболонок електрони розподіляються по підоболонках, що відповідають даному l. Оскільки орбітальне квантове число приймає значення від 0 до n–1, число підоболонок дорівнює порядковому номеру п оболонки. Кількість електронів в підоболонці визначається магнітним і магнітним спіновим квантовими числами: максимальне число електронів в підоболонці з даним l дорівнює  2(2l + 1). Позначення оболонок, а також розподіл електронів по оболонках і підоболонках представлені в таблиці.

                                                                                                   Таблиця

Головне квантове число n

1

2

3

4

5

Символ оболонки

К

L

M

N

O

Максимальне число електронів в підоболонці

2

8

18

32

50

Орбітальне квантове число l

0

0

1

0

1

2

0

1

2

3

0

1

2

3

4

Символ оболонки

1s

2s

2р

3s

3р

3d

4s

4р

4d

4f

5s

5р

5d

5f

5g

Максимальне число електронів в підоболонці

2

2

6

2

6

10

2

6

10

14

2

6

10

14

18


ЛЕКЦІЯ 24

Хвильові властивості мікрочастинок

1. Гіпотеза де Бройля про корпускулярно-хвильовий дуалізм властивостей речовини та її експериментальне підтвердження

Французький учений Луї де Бройль (1892 – 1987), усвідомлюючи існуючу в природі симетрію і розвиваючи уявлення про подвійну корпускулярно-хвильову природу світла, висунув в 1923 р. гіпотезу про універсальність корпускулярно-хвильового дуалізму. Де Бройль стверджував, що не тільки фотони, але і електрони і будь-які інші частинки матерії разом з корпускулярними (енергія Е і імпульс p) мають також хвильові характеристики (частота  та довжина хвилі ). При цьому кількісні співвідношення, що зв'язують корпускулярні і хвильові властивості частинок, такі ж самі, як для фотонів:

,  ,

де  Дж·с – стала Планка.

Це співвідношення постулювалось де Бройлем не лише для фотонів, але і для інших мікрочастинок, зокрема для таких, які мають масу спокою.

Таким чином, будь-якій частинці, якій притаманний імпульс, зіставляють хвильовий процес з довжиною хвилі, яка визначається за формулою де Бройля:

.

Це співвідношення справедливе для будь-якої частинки з імпульсом .

Незабаром гіпотеза де Бройля була підтверджена експериментально: дослідами Девіссона і Джермера було доведено, що пучок електронів, розсіяний на просторових дифракційних гратках – кристалі нікелю, – дає дифракційну картину. Дифракційні максимуми відповідали формулі Вульфа – Бреггов, а бреггівська довжина хвилі виявилася однаковою з де бройлівською. Згодом було доведено, що хвильові властивості притаманні не лише потоку електронів, але і кожному електрону окремо. Дифракційна картина виявлена також для нейтронів і протонів.

На частинки речовини переноситься зв'язок між повною енергією  частинки і частотою  хвиль де Бройля

,

тобто це – універсальне співвідношення, яке справедливе як для фотонів, так і для будь-яких інших мікрочастинок. Його справедливість підтверджується узгодженістю з дослідом тих теоретичних результатів, які отримані в квантовій механіці, атомній і ядерній фізиці.

Експериментальний доказ наявності хвильових властивостей мікрочастинок дозволив зробити висновок, що перед нами універсальне явище, загальна властивість матерії.

Уявлення про подвійну корпускулярно-хвильову природу частинок речовини поглиблюється ще тим, що на частинки речовини переноситься зв'язок між повною енергією частинки і частотою  хвиль де Бройля:

.

Це свідчить про те, що співвідношення між енергією і частотою в цій формулі має характер універсального співвідношення, справедливого як для фотонів, так і для будь-яких інших мікрочастинок.

Таким чином, всім мікрооб'єктам властиві і корпускулярні, і хвильові властивості; в той же час будь-яку з мікрочастинок не можна вважати ні частинкою, ні хвилею в класичному розумінні.

2. Деякі властивості хвиль де Бройля

Розглянемо частинку масою , що вільно рухається із швидкістю і обчислимо для неї  фазову і групову швидкості хвиль де Бройля.

Фазова швидкість хвиль де Бройля:

.

Тут враховано, що , де  – хвильове число.

Оскільки , то фазова швидкість хвиль де Бройля перевищує швидкість світла у вакуумі (фазова швидкість хвиль може бути як менше, так і більше  на відміну від групової швидкості хвиль). 

Групова швидкість хвиль де Бройля

Оскільки

і для вільної частинки і, отже,

Тобто, групова швидкість хвиль де Бройля дорівнює швидкості частинки, або, іншими словами, хвилі де Бройля переміщуються разом з частинкою.

Фазова швидкість фотона

Групова швидкість фотона

.

  Дисперсія хвиль де Бройля. Підставивши у вираз для фазової швидкості  формули для енергії (як для нерелятивістського, так і релятивістського випадку), отримаємо, що швидкість хвиль де Бройля залежить від довжини хвилі (хвильового числа), тобто спостерігається дисперсія хвиль де Бройля. При спробі зв'язати корпускулярні властивості частинок з хвильовими пропонувалося розглядати частинки як "вузькі хвильові пакети" (оскільки ). Проте все це виявилося неспроможним через сильну дисперсію хвиль де Бройля (приблизно за 10-26 с хвильовий пакет розпливався!)

3. Співвідношення невизначеностей Гейзенберга

Мікрочастинкам притаманні як корпускулярні, так і хвильові властивості. Але приписувати їм всі властивості частинок і всі властивості хвиль не можна. Тому необхідно внести деякі обмеження в застосуванні до об'єктів мікросвіту понять класичної механіки. Так, не можна говорити про рух мікрочастинки по певній траєкторії і неправомірно говорити про одночасно точні значення її координат і імпульсу.

В. Гейзенберг, враховуючи хвильові властивості мікрочастинок і пов'язані з хвильовими властивостями обмеження в їхній поведінці. прийшов у 1927 році до таких співвідношень (їх називають співвідношення невизначеностей Гейзенберга): мікрочастинка (мікрооб'єкт) не може мати одночасно і певну координату (х, у, z), і певну відповідну проекцію імпульсу ? причому невизначеності цих величин задовольняють умовам:

тобто добуток невизначеностей координати і відповідної їй проекції імпульсу не може бути менше величини порядку .

Співвідношення невизначеностейквантове обмеження в застосуванні класичної механіки до мікрооб'єктів.

Звідси витікає, що якщо частинка перебуває в стані з точним значенням координати , то в цьому стані відповідна проекція її імпульсу виявляється абсолютно невизначеною , і навпаки. Для мікрочастинки не існує станів, в яких її координати і відповідні їм проекції імпульсу мали б одночасно точні значення.

В квантовій теорії розглядається також співвідношення невизначеностей для енергії і часу, тобто невизначеності енергії  і часу  задовольняють умові:

,

де – невизначеність енергії даного квантового стану; – час перебування системи в даному стані.

Частота випромінюючого фотона повинна мати невизначеність , тобто лінії спектру повинні характеризуватися частотою . Досвід показує, що всі спектральні лінії дійсно розмиті.

4. Хвильова функція, її статистичний зміст та властивості.

Статистичний (ймовірнісний) опис мікрочастинок за допомогою хвильової функції

Обмеженість застосування законів класичної механіки до мікрооб'єктів, породжена співвідношеннями невизначеностей, а також протиріччя цілого ряду експериментів зі застосовуваними на початку ХХ століття теоріями привели до нового розвитку квантової теорії – створенню квантової механіки, яка описує закони руху і взаємодії мікрочастинок з урахуванням їх хвильових властивостей.

Дослідження хвиль де Бройля показують, що дифракційна картина для мікрочастинок є проявом статистичної (вірогідностної) закономірності, згідно з  якою частинки потрапляють в ті місця, де інтенсивність хвиль де Бройля найбільша.

Необхідність вірогіднісного підходу до опису мікрочастинок є найважливішою характерною особливістю квантової теорії. Чи можна хвилі де Бройля тлумачити як хвилі вірогідності, тобто  вважати, що вірогідність знайти мікрочастинку в різних точках простору міняється по хвильовому закону?

Таке тлумачення хвиль де Бройля вже невірно хоча б тому, що тоді вірогідність знайти частинку в деяких точках простору може бути негативною, що не має сенсу.

Німецький фізик М. Борн в 1926 році припустив, що за хвильовим законом змінюється не сама вірогідність, а амплітуда вірогідності, яку  прийнято позначати  і називати  хвильовою функцією (або - функцією).

Амплітуда вірогідності може бути комплексною і вірогідність  пропорційна квадрату її модуля:

||2.

Квадрат модуля хвильової функції (квадрат модуля амплітуди хвиль де Бройля) визначає вірогідність перебування частинки у момент часу  в області з координатами  і ,  і , і  і .

Зазначимо, що хвильова функція – це основний носій інформації про корпускулярні і хвильові властивості мікрочастинок.

Вірогідність перебування частинки в елементі об'ємом дорівнює:

,

де  – хвильова функція, що описує стан частинки;  – функція, комплексно спряжена з  з ; квадрат модуля хвильової функції.

Вірогідність перебування частинки в об'ємі V дорівнює:

Хвильова функція повинна бути скінченною (вірогідність не може бути більше одиниці), однозначною (вірогідність не може бути неоднозначною величиною), неперервною (вірогідність не може змінюватися стрибком).

Умова нормування вірогідності така:

Тут інтегрування проводиться по всьому нескінченному простору, тобто по координатах  від  до .

Величина  має смисл  вірогідності перебування частинки в околі точки з  координатами х, у, z.

Квадрат модуля хвильової функції задає інтенсивність хвиль де Бройля.

Середні значення фізичних величин. Хвильова функція дозволяє обчислювати середні значення фізичних величин, що характеризують даний мікрооб'єкт. Наприклад, середня відстань визначається залежністю:

.


Лекція 25

Рівняння Шредінгера та його застосування

1. Головне рівняння нерелятивістської квантової механіки

 Головне рівняння нерелятивістської квантової механіки було сформульоване в 1926 році Е. Шредінгером. Воно має такий вигляд:

,

де ,  –  маса частинки;  – оператор Лапласа ,  – уявна одиниця; – потенційна функція частинки в силовому полі;  – розшукувана хвильова функція частинки.

Це рівняння доповнюється умовами, що накладаються на хвильову функції, а саме:

1) хвильова функція повинна бути скінченною, однозначною і неперервною;

2)  похідні повинні бути неперервними;

3) функція повинна інтегруватися; ця умова в найпростіших умовах зводиться до умови нормування вірогідності.

2. Стаціонарне рівняння Шредінгера

Для багатьох фізичних явищ, що відбуваються в мікросвіті, головне рівняння Шредінгера  можна спростити, виключивши залежність  від часу. Тоді матимемо  стаціонарне рівняння Шредінгера, тобто рівняння Шредінгера для стаціонарних станів – станів з фіксованими значеннями енергії. В такому  випадку силове поле, в якому частинка рухається, буде стаціонарним, тобто  має смисл потенційній енергії.

Розв'язок рівняння Шредінгера представимо у вигляді добутку двох функцій, одна з яких є функцією тільки координат, друга –  тільки часу, причому залежність від часу виражається множником :

де  – повна енергія частинки.

Підставивши в загальне рівняння Шредінгера, і виконавши нескладні перетворення отримаємо рівняння Шредінгера для стаціонарних станів:

.

Наклавши граничні умови на розв'язок, відбирають рішення, що мають фізичний смисл. Для рівняння Шредінгера такими умовами є умови регулярності хвильових функцій: хвильові функції повинні бути скінченними, однозначними і неперервними разом зі своїми першими похідними.

Реальний фізичний смисл мають тільки такі розв'язки, які виражаються регулярними функціями . Проте регулярні розв'язки мають місце не при будь-яких значеннях параметра Е, а лише при певному їх наборі, характерному для даної задачі. Ці значення енергії називаються власними. Розв'язки, які відповідають власним значенням енергії, називаються власними функціями. Власні значення Е можуть утворювати як неперервний, так і дискретний ряд. В першому випадку говорять про неперервний спектр, в другому – про дискретний спектр.

3. Рух вільної частинки

Розглянемо рух вільної частинки, тобто частинки, що рухається у відсутність зовнішніх полів вздовж осі . Оскільки зовнішні сили на частинку не діють, то її потенційна енергія  і її можна прирівняти нулю. В такому випадку рівняння Шредінгера для стаціонарних станів матиме вигляд:

Прямою підстановкою можна впевнитись, що частинним розв'язок цього рівняння є функція

,

де  і , з власними значеннями

.

Залежна від часу хвильова функція

,

де позначено: .

Ця функція є плоскою монохроматичною хвилею  де Бройля.

Густина вірогідності виявлення частинки в даній точці простору 

не залежить від часу, тобто всі положення вільної частинки в просторі рівноімовірні.

Енергетичний спектр вільної частинки. З формули   витікає, що залежність енергії від імпульсу

є звичайною для нерелятивістських частинок. Енергія вільної частинки може приймати будь-які значення (адже хвильове число  може приймати будь-які позитивні, значення), тобто енергетичний спектр вільної частинки неперервний.

4. Мікрочастинка в одновимірній прямокутній "потенційній ямі" з нескінченно високими "стінками"

Нехай мікрочастинка рухається вздовж осі  в  "ямі", яка описується потенціальною енергією виду (рис. 25.1):

де  – ширина ями, енергія відлічується від її дна.

     

Рис. 25.1

Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів в межах ями (0 < х < l) має такий вид:

Розв'язок рівняння

.

Граничні умови

З  отримаємо

,

а   виконується лише при  .

Власні функції:

.

Нормовані власні функції:

 .

На рис. 25.2 зображені графіки власних функцій , а також густина вірогідності виявлення частинки на різних відстанях від стінок ями, яка визначається виразом

.

Власні значення енергії

,

– головне квантове число.

Рис. 25.2

5. Проходження частинки через потенціальний бар'єр прямокутної форми. Тунельний ефект

Розглянемо найпростіший потенціальний бар'єр прямокутної форми (рис. 25.3, а) для однорідного по осі х руху частинки. Для потенціального бар'єра прямокутної форми висоти   і ширини  можна записати:

Рис. 25.3

Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів для кожної з виділених на рис. 25.3, а областей має вид:

Загальний розв'язок цих рівнянь

Аналіз розв'язків для різних областей

Область 1: повна хвильова функція

,

де перший член – плоска хвиля, що розповсюджується в позитивному напрямі осі х (відповідає частинці, що рухається у бік бар'єру), а другий – хвиля, що розповсюджується в протилежному напрямі, тобто відбита від бар'єру (відповідає частинці, що рухається від бар'єру наліво).

Область 2: розв'язок залежить від співвідношень (енергія частинки менша, ніж висота потенціального бар'єру) чи (енергія частинки більша, ніж висота потенціального бар'єру). Фізичний смисл має розв'язок , оскільки закони класичної фізики не дозволяють частинці проникнути крізь бар'єр.

Область 3: в області 3 є лише хвиля, яка пройшла крізь бар'єр і яка розповсюджується зліва направо, тому  у формулі для  слід прийняти рівним нулю.

Маючи розв'язки рівнянь, розглянемо проходження частинки крізь потенційний бар'єр.

Якщо енергія частинки менше висоти потенційного бар'єру, то поклавши в формулі для , справедливій для області 2, , де

а також врахувавши, що  у формулі для  дорівнює нулю, розв'язок рівнянь Шредінгера для трьох областей можна представити  в такому вигляді:

В області 2 функція вже не відповідає плоским хвилям (показники експонент дійсні). Можна показати, що для високого і широкого бар'єру  .

Вид функцій ,  і  (з урахуванням того, що ) показано на рис. 25.3, б. Хвильова функція не дорівнює нулю і усередині бар'єру, а в області 3 (у випадку не дуже широкого бар'єру) має вид хвиль де Бройля з тією ж самою довжиною хвилі, але меншою амплітудою.

Таким чином, частинка має відмінну від нуля вірогідність проходження крізь потенційний бар'єр кінцевої ширини.

Квантова механіка приводить до специфічного квантового ефекту тунельного ефекту, в результаті якого мікрооб'єкт може "пройти"  крізь потенційний бар'єр.

Для опису тунельного ефекту використовують поняття коефіцієнта прозорості  тунельного ефекту, який визначають як відношення густини потоку частинок, що пройшли, до густини потоку падаючих частинок.

В наближенні  цей коефіцієнт має такий вираз:

,

де  – постійний множник, який зазвичай приймається  таким, що дорівнює одиниці.

З цього виразу видно, що коефіцієнт прозорості   сильно залежить від маси т частинки, ширини  бар'єру і від ; чим ширше бар'єр, тим менше вірогідність проходження крізь нього частинки.


ЛЕКЦІЯ 26

Зонна теорія твердих тіл

1. Кристалічні і аморфні тверді тіла. Кристалічна гратка

Твердими тілами називаються тіла, які характеризуються постійністю форми і об'єму, причому теплові рухи частинок в них є хаотичними коливаннями частинок щодо положень рівноваги.

Розрізняються кристалічні і аморфні тверді тіла.

 Кристалічні тіла – це тверді тіла, що мають впорядковане розташування частинок (атомів, молекул, іонів), що періодично повторюється.

Характерною ознакою кристалічних тіл є кристалічні гратки.

Кристалічні гратки – це структура, для якої характерним є регулярне розташування частинок з періодичною повторюваністю в трьох вимірах.

Кристали обмежені впорядковано розташованими один щодо одного плоскими гранями, які сходяться в ребрах і вершинах. Вузлами кристалічних граток є точки, в яких розташовані частинки, а точніше – точки, щодо яких частинки в твердих тілах здійснюють коливання.

Крупні одиночні кристали, що мають форму правильних многогранників, називаються монокристалами. Їх форма визначається хімічним складом кристала. Полікрістали мають дрібнокристалічну структуру – складаються з великого числа зрощених дрібних, хаотично розташованих кристалів (кристалічні зерна, кристалліти).

 Аморфні тіла – це тверді тіла, фізичні властивості яких однакові по всіх напрямах (тобто спостерігається ізотропія властивостей). Для них, як і для рідин, характерний ближній порядок в розташуванні частинок; в них на відміну від рідин рухливість частинок досить мала. Аморфні тверді тіла (вар, скло та ін.) є переохолодженими рідинами і не мають чітко виражених властивостей кристалів.

Особливістю аморфних тіл є відсутність у них певної точки плавлення, тобто неможливо вказати певну температуру, вище за яку можна було б констатувати рідкий стан, а нижче – твердий. З досвіду відомо, що в аморфних тілах з часом може спостерігатися процес кристалізації, наприклад в склі з'являються кристали; воно, втрачаючи пластичність, починає каламутніти і перетворюється в полікристалічне тіло.                                                     

Надалі мова піде про кристалічні тверді тіла.

2. Види кристалічних зв'язків (іонний, ковалентний, металевий, молекулярний)

Кристали класифікують за крісталлографічними та за фізичними ознаками.

1. Крісталлографічна ознака. Вона здійснюється лише за  просторовою періодичністю в розташуванні частинок (а тому частинки можна розглядати як геометричні точки).

Кристалічні гратки можуть мати різні види симетрії.

Симетрія кристалічних граток – це їх властивість поєднуватися з собою при деяких просторових переміщеннях, наприклад паралельних перенесеннях, поворотах, віддзеркаленнях або їх комбінаціях і т.д. Кристалічним граткам властиві 230 комбінацій елементів симетрії, або 230 різних просторових груп. З переносною симетрією в тривимірному просторі пов'язані поняття тривимірної періодичної структури – просторових граток, або граток Браве. Всякі просторові гратки можуть бути складені повторенням в трьох різних напрямах одного і того ж структурного елемента – елементарного осередку. Всього існує 14 типів граток Браве, що розрізняються по виду переносної симетрії. Вони розподіляються по семи кристалографічних системах або сингоніях, таких як триклинна, моноклинна, ромбічна, тетрагональна, ромбоедрична (тригональна), гексагональна, кубічна.

2. Фізична ознака. Вона здійснюється за природою частинок, розташованих  у вузлах граток, і за характером сил взаємодії між ними.

Типи кристалів за фізичною ознакою такі:

1). Іонні кристали. У вузлах кристалічних граток по черзі розташовуються іони протилежного знака (типові представники – NaCl (його структура представлена на рис. 26.1), вуглекислий кальцій та ін. солі). Зв'язок, зубумовлений кулонівськими силами тяжіння між різнойменно зарядженими іонами, називається іонним. Тут не можна виділити окремі молекули: кристал є як би однією гігантською молекулою.

Рис. 26.1

2). Атомні кристали. У вузлах кристалічних граток розташовуються нейтральні атоми, що утримуються у вузлах граток ковалентными зв'язками квантово-механічного походження (у сусідніх атомів усуспільнені валентні електрони, якнайменше пов'язані з атомом). Типові представники: алмаз, графіт, германій і т.д. Структура граток алмаза приведена на рис. 26.2.

Рис. 26.2

3). Металеві кристали (Na, А1 та ін.). У вузлах кристалічних граток розташовуються позитивні іони металу. При утворенні кристалічних граток валентні електрони, слабо пов'язані з атомами, відділяються від атомів і колективізуються: вони вже належать не одному атому, як у разі іонного зв'язку, і не парі сусідніх атомів, як у разі ковалентного зв'язку, а всьому кристалу в цілому.

4). Молекулярні кристали. У вузлах кристалічних граток розташовуються нейтральні молекули речовини, сили взаємодії між якими зумовлені незначним взаємним зсувом електронів в електронних оболонках атомів. Ці сили називають ван-дер-ваальсовими, оскільки вони мають ту ж саму природу, що і сили тяжіння між молекулами, що призводять до відхилення газів від ідеальності.

Характерною особливістю монокристалів є їх анізотропія (анізотропія кристалів) – залежність фізичних властивостей твердих тіл (теплових, пружних, електричних, оптичних) від напрямів в кристалі.

3. Квантова теорія  електропровідності металів

В класичній теорії металів було прийнято, що електрони провідності можуть мати будь-які значення енергії, тоді як згідно з квантовою теорією енергія електронів в будь-якому кристалічному тілі (зокрема, в металі) так само, як і енергія електронів в атомі, квантується. Це означає, що енергія може приймати лише дискретні (тобто розділені кінцевими проміжками) значення, які називаються рівнями енергії.

Дозволені рівні енергії в кристалі групуються в зони.

Щоб   зрозуміти   походження   зон,    розглянемо   уявний процес   об'єднання    атомів   в   кристал.   Нехай    спочатку є N  ізольованих однакових атомів якої-небудь речовини. Кожний   електрон   будь-якого  атома   має  одне  з  дозволених значень енергії, тобто займає один з дозволених енергетичних рівнів.   В основному,   незбудженому  стані  атома  сумарна енергія електронів має мінімальне можливе значення. Тому, здавалося б,   всі електрони  повинні   перебувати   на найнижчому рівні.    Проте    електрони   підкоряються   принципу заборони Паулі,   який  свідчить,   що  в  будь-якій  квантовій системі (атомі, молекулі,   кристалі  і  т. д.)  на кожному  енергетичному  рівні може  перебувати не більше  двох електронів, причому власні моменти (спіни) електронів, що займають одночасно один і той же самий рівень, повинні мати протилежні напрями.

Отже,    на найнижчому    рівні   атома може розміститися лише два електрони,  інші  заповнюють попарно більш високі рівні.

На рис. 26.3 показано розміщення електронів по рівнях в основному стані атома, який має 5 електронів. Схема рівнів зображена умовно, без дотримання масштабу. Електрони позначені кружечками зі стрілкою. Різні напрями стрілок відповідають   протилежним   напрямам спінів.

Рис. 26.3

Поки   атоми   ізольовані   один   від  одного, вони мають  повністю  співпадаючі  схеми  енергетичних   рівнів. Заповнення рівнів електронами здійснюється в кожному атомі незалежно від заповнення аналогічних рівнів в інших атомах.   У міру  зближення атомів  між ними виникає взаємодія, яка, посилюючись, призводить до зміни положення рівнів. Замість одного однакового для всіх N атомів рівня виникають N дуже близьких, але не співпадаючих рівнів. Таким чином, кожний рівень ізольованого атома розщеплюється в кристалі на N густо розташованих рівнів, що створюють смугу або зону.

Величина розщеплювання для різних рівнів не однакова. Рівні, заповнені в атомі більш близькими до ядра (внутрішніми) електронами, збурюються менше, ніж рівні, заповнені зовнішніми електронами.

На рис. 26.4 показано розщеплювання різних рівнів як функція відстані r між атомами. Відзначені на рисунку значення r1 і r2 відповідають відстаням між атомами в двох різних   кристалах.   З  схеми видно, що виникаюче в кристалі розщеплювання рівнів,   зайнятих   внутрішніми    електронами,     дуже    мало. Помітно розщеплюються лише рівні,  займані валентними електронами. Такому ж розщеплюванню піддаються і більш високі рівні, не зайняті електронами в основному стані атома.

Рис. 26.4

При достатньо малих відстанях між атомами може відбутися перекриття зон, що відповідають двом сусіднім рівням атома (див. пунктирну пряму, що відповідає відстані r2  між атомами). Число рівнів в такій зоні, що злилася, дорівнює сумі кількостей рівнів, на які розщеплюються обидва рівні атома.

Взаємодіючі атоми є єдиною квантовою системою, в межах якої діє принцип заборони Паулі. Отже, 2N електронів, які заповнювали якийсь рівень в ізольованих атомах, розмістяться в кристалі попарно (з протилежними  спінами)  на  N   рівнях   відповідної  смуги.

Нижні, утворені слабо розщепленими рівнями зони, заповнюються електронами, кожний з яких і в кристалі не втрачає міцного зв'язку зі своїм атомом. Ці зони і електрони, що їх заповнюють, надалі цікавити нас не будуть.

Дозволені значення енергії валентних електронів в кристалі об'єднуються в зони, розділені проміжками, в яких дозволених значень енергії немає. Ці проміжки називаються забороненими зонами. Ширина дозволених і заборонених зон не залежить від розмірів кристала. Таким чином, чим більше атомів містить кристал, тим тісніше розташовуються рівні в зоні. Ширина дозволених зон має величину порядка декількох електронвольт. Отже, якщо кристал містить 1023 атомів, відстань   між   сусідніми   рівнями   в   зоні  складає ~ 10 еВ. При абсолютному нулі енергія кристала повинна бути мінімальною. Тому валентні електрони заповнять попарно нижні рівні дозволеної зони, що виникла з того рівня, на якому знаходяться валентні   електрони   в основному стані атома   (ми називатимемо   її   валентною   зоною).   Більш   високі   дозволені   зони будуть від електронів вільні.

Залежно від ступеня заповнення валентної зони електронами і ширини забороненої зони можливі три   випадки,   зображені   на   рис.    26.5.  

Рис. 26.5

 У   випадку   а)   електрони заповнюють валентну зону не повністю. Тому достатньо надати електронам, що знаходяться на верхніх рівнях, зовсім невелику енергію (~10-23–10-22 еВ) для того, щоб перевести їх на більш високі рівні. Енергія теплового руху (kT) при 1°К становить величину порядка 10-4 еВ (за кімнатної температури ~1/40 еВ). Отже, за температур, відмінних від 0 °К, частина електронів переводиться на більш високі рівні. Додаткова енергія, викликана дією на електрон електричного поля, також виявляється достатньою для переведення електрона на більш високі рівні. Тому електрони можуть прискорюватись електричним полем і набувати додаткову швидкість в напрямі, протилежному напряму поля. Таким чином, кристал з подібною схемою енергетичних рівнів являє собою метал.

Часткове заповнення валентної зони (у випадку металу її називають також зоною провідності) може відбутися, якщо на останньому зайнятому рівні в атомі знаходиться тільки один електрон; або має місце перекриття зон (див. рис. 26.4, відстань r2 ). В  першому   випадку   N електронів  провідності  заповнюють  попарно лише половину рівнів валентної зони, в другому випадку число рівнів в зоні провідності буде більше N,  так що, навіть тоді, коли кількість електронів провідності дорівнюватиме 2N,  вони не зможуть зайняти всі рівні зони.

У  випадках б)   і  в)  рівні  валентної  зони   повністю  зайняті електронами – зона  заповнена.  Для збільшення енергії електрона необхідно  надати йому  кількість енергії,  не меншу,   ніж   ширина   забороненої   зони    .    Електричне    поле (в усякому разі, такої напруженості, за якої не відбувається електричний пробій кристала) надати електрону таку енергію не в змозі.   За  цих  умов   електричні  властивості  кристала   визначаються   шириною   забороненої   зони   .   Якщо  ширина   забороненої   зони     невелика (порядка декількох десятих еВ), енергія теплового руху  виявляється достатньою для того, щоб перевести частину електронів у верхню вільну зону.   Ці електрони перебуватимуть   в   умовах,   аналогічних   тим,   в   яких   перебувають валентні  електрони в  металі.   Вільна зона виявиться для них зоною провідності. Одночасно стане можливим перехід електронів валентної зони на її верхні рівні, що звільнилися. Така речовина називається електронним напівпровідником.

Якщо ширина забороненої зони  велика (порядка декількох еВ), тепловий рух не зможе закинути у вільну зону помітне число електронів. В цьому випадку кристал виявляється ізолятором.

Таким чином, квантова теорія пояснює з єдиної точки зору існування хороших провідників (металів), напівпровідників і ізоляторів.

Розглянемо розподіл електронів по рівнях зони провідності в металі. При абсолютному нулі на кожному з N/2 нижніх рівнів   знаходитиметься по два електрони, інші рівні будуть вільні. Такий розподіл показано на рис. 34.4 суцільною лінією.

Рис. 34.4

По осі ординат відкладено число електронів на даному рівні. Як індекс    для    позначення рівня використана його енергія W. Власне, відповідно до того, що рівні енергії дискретні, розподіл зображається зліва від Wmax сукупністю точок з ординатою 2, а справа від Wmax – точкою з ординатою 0. Проте, оскільки відстані між рівнями дуже малі, ці точки розташовуються досить густо і утворюють суцільну лінію.

Для  верхнього  заповненого  при  абсолютному  нулі рівня квантова теорія дає значення

,

де  дж·сек,   т – маса електрона,   п – число вільних   електронів   в   одиниці об'єму. Прийнявши n = 1029 м-3, отримаємо, що    Wmax.

Якби рівні зони розподілялися по осі енергії з постійною  густиною (тобто число рівнів dz, що припадають на інтервал енергій dW, не залежало від W), середнє значення енергії електронів дорівнювало б половині максимального. Насправді ж густина рівнів пропорційна , тобто  ~ . Обчислення дають для середньої   енергії   електронів при абсолютному нулі значення . Отже, навіть при   0°К   електрони провідності в металі  мають  величезну кінетичну енергію, яка дорівнює в середньому приблизно 5 еВ. Щоб надати класичному електронному газу таку енергію, його потрібно нагрівати до температури порядка 4000 °К. Настільки ж швидко рухаються і валентні електрони в ізоляторах. Проте вони знаходяться в таких умовах, що електричне поле не може змінити їхній стан і викликати переважний рух в одному напрямі.

З'ясуємо, яка вірогідність знаходження електронів на різних рівнях за температур, що відрізняються від 0°К. В класичній фізиці  розподіл  частинок  по  станах  з  різною енергією характеризується функцією Больцмана:

(*),

де А – коефіцієнт пропорційності. Ця функція визначає  вірогідність того,   що частинка буде знаходитись в стані з енергією W.

Розподіл (*) було отримано в припущенні, що в кожному стані з даною енергією може знаходитись необмежена кількість частинок. Функція розподілу, що враховує принцип заборони Паулі, була знайдена Фермі. Вона має вигляд

(**),

де W – енергія даного   рівня,   WF  –  параметр системи, який називається рівнем   Фермі.

Функція (**)  дає вірогідність заповнення електронами даного рівня. Легко переконатися в тому, що суцільна крива на рис. 34.4 з точністю до множника 2 співпадає з графіком функції (**) для Т = 0. Насправді, в цьому випадку f(W)=1,    якщо    W < WF  і  f(W)= 0,    якщо    W > WF .

Таким чином, при 0°К рівень Фермі співпадає з верхнім заповненим електронами рівнем Wmax.

Для W = WF  функція (**) за будь-якої температури має значення, яке дорівнює 1/2. Отже, рівень Фермі співпадає з тим енергетичним рівнем, вірогідність заповнення якого дорівнює половині (на такому рівні в середньому знаходиться один електрон). Значення WF можна знайти з умови

(***),

де N повне число валентних електронів в кристалі. Кожний доданок є середнім числом електронів на к-му рівні. Підсумовування проводиться по всіх рівнях валентної зони і решти зон, розташованих над нею.

Рівні в межах дозволених зон лежать досить густо. Тому суму (***) можна замінити інтегралом.

Замінивши цю суму інтегралом і виконавши відповідні розрахунки для металів, можна впевнитись, що  за температур, відмінних від 0°К, розподіл, що описується функцією (**),  має   вигляд,   показаний   на  рис.  34.4  пунктирною кривою. Ордината   цієї кривої   характеризує середню за часом зайнятість рівня;   тому,   наприклад,   ордината,  що дорівнює 0,25, означає, що 1/4  часу   рівень   зайнято   одним електроном (або 1/8  часу – двома електронами), а  решта часу рівень залишається порожнім.

В області великих енергій (тобто при   W – WF > kT, що виконується   в області "хвоста"    кривої    розподілу)   одиницею  в знаменнику можна знехтувати. Тоді функція (**), приймає вигляд

,

тобто переходить у функцію (*) розподілу Больцмана.

Розподіл електронів за рівнями можна зробити досить наочним, зобразивши,   як   це   зроблено   на рис. 34.5, криву розподілу Фермі спільно з схемою енергетичних зон.

Рис. 34.5

Чим вищою буде  температура,   тим пологіше йтиме спадаюча ділянка кривої. Проте помітна відмінність розподілу за температури T від розподілу за температури 0°К спостерігається лише в області порядка kT. Отже, тепловий рух впливає на кінетичну енергію лише невеликої частини всіх електронів. Тому середня енергія електронів слабо залежить від температури. Цим пояснюється той факт, що електрони провідності не вносять помітного внеску в теплоємність металу. Таким чином, квантова теорія усуває одне з основних утруднень, якого не могла подолати класична теорія.

Для залежності електропровідності металу від температури квантова теорія також дає результати, що добре узгоджуються з досвідом.

Напівпровідники

Напівпровідники зобов'язані своєю назвою тій обставині, що по величині електропровідності вони займають проміжне положення між металами і ізоляторами. Проте характерною для них є не величина провідності, а то, що їх провідність росте з підвищенням температури (нагадаємо, що у металів «на зменшується). Напівпровідниками є речовини, у яких

************************************************************

3. Зонна структура металів, діелектриків та напівпровідників

Точний розв'язок рівняння Шредінгера для системи багатьох частинок в кристалі неможливий. Ця задача розв'язується наближено: задача багатьох частинок зводиться до задачі про один електрон, що рухається в заданому зовнішньому полі. Цей шлях приводить до зонної теорії твердого тіла.

Розглянемо подумки "процес утворення" твердого тіла з ізольованих атомів. Поки атоми ізольовані, тобто перебувають один від одного на макроскопічних відстанях, вони мають співпадаючі схеми енергетичних рівнів (див. малюнок).

У міру "стиснення"  даної моделі до кристалічних граток, тобто коли відстані між атомами стануть дорівнювати міжатомним відстаням в твердих тілах, взаємодія між атомами призведе до того, що енергетичні рівні атомів почнуть зміщуватись, розщеплюватись і розширюватись в зони, утвориться зонний енергетичний спектр. З малюнка, на якому показано розщеплювання рівнів як функція відстані г між атомами, видно, що помітно розщеплюються і розширяються лише рівні зовнішніх, валентних електронів, які найслабкіше пов'язані з ядром і мають найбільшу енергію, а також більш високі рівні, які в основному стані атома взагалі електронами не зайняті. Рівні ж внутрішніх електронів або зовсім не розщеплюються, або розщеплюються слабо.

Утворення зонного енергетичного спектру – квантово-механічний ефект і наслідок співвідношення невизначеностей: ~  (для валентного електрона в атомі кристала  (для ізольованого атома )). Тому в кристалі ÷, тобто енергетичні рівні валентних електронів розширяються в зони. Заштриховані зони – дозволені енергетичні зони. В них стільки дискретних рівнів, скільки атомів містить кристал. Відстань між рівнями ~; воно нікчемне мало, але факт дискретності важливий для розподілу електронів по станах. Дозволені зони розділені забороненими енергетичними зонами (в них електрони перебувати не можуть).

Метали, діелектрики напівпровідники по зонній теорії

Існування металів, діелектриків і напівпровідників зонна теорія  пояснює: 1) неоднаковим заповненням електронами дозволених зон; 2) шириною заборонених зон.

Метали

Сама верхня зона, що містить електрони, заповнена лише частково (мал. а). Електрон, наприклад, за рахунок теплового руху (при 1 К енергія теплового руху , а відстань між енергетичними рівнями ~ може перейти на більш високий енергетичний рівень тієї ж самої зони, тобто стати вільним і брати участь в провідності.

Валентна зона перекривається вільною зоною (мал. б), що призводить до неповністю заповненої зони. Це характерно для лужно-земельних елементів; їх металеві властивості зумовлені перекриттям валентної і вільної зон.

Валентна зона – це зона, повністю заповнена електронами. Утворюється з енергетичних рівнів внутрішніх електронів вільних атомів.

Зона провідності (вільна зона) – це зона, яка або частково заповнена електронами, або вільна. Утворюється з енергетичних рівнів зовнішніх "колективізованих електронів" ізольованих атомів.

Діелектрики і напівпровідники

У випадку діелектрика (мал. в) ширина забороненої зони декілька ; тепловий рух не може перекинути електрони з валентної зони в зону провідності.

У випадку напівпровідника (мал. г) ширина забороненої зони ~, тому таке перекидання можливе за рахунок теплового збудження або за рахунок зовнішнього джерела, здатного передати електронам енергію .

******************************************************************


ЛЕКЦИЯ 27

Квантова статистика

1. Поняття про квантові статистики

Квантовою статистикою називається статистичний метод дослідження, який застосовується до систем, що складаються з великого числа частинок і підкоряються законам квантової механіки.

На відміну від початкових положень класичної статистичної фізики квантова статистика будується на принципі нерозрізнюваності тотожних частинок: всі однакові частинки (наприклад, всі електрони в металах, всі протони в ядрах атомів) вважаються такими, що принципово не відрізняються одна від одної. Таким чином, в квантовій механіці однакові частинки втрачають свою індивідуальність.

Тотожні частинки експериментально розрізнити неможливо. Цей принцип – не просто наслідок інтерпретації вірогідності хвильової функції; він вводиться в квантову механіку як новий  фундаментальний принцип.

Враховуючи фізичне значення квадрата модуля хвильової функції , принцип нерозрізнюваності тотожних частинок можна записати у вигляді

,

де  і  – відповідно сукупність просторових і спінових координат першої і другої частинок. Таким чином, можливі два випадки:

тобто принцип нерозрізнюваності тотожних частинок веде до певної властивості симетрії хвильової функції.

Симетрична хвильова функція – це хвильова функція, яка при зміні частинок місцями не змінює знак.

Антисиметрична хвильова функція – це хвильова функція, яка при зміні частинок місцями змінює знак.

Зміна знака хвильової функції не означає зміни стану, оскільки фізичне значення має лише квадрат модуля хвильової функції. Частинки з напівцілим спіном (наприклад, електрони, протони, нейтрони) описуються антисиметричними хвильовими функціями і підкоряються статистиці Фермі – Дірака; ці частинки називають ферміонами. Частинки з нульовим або цілочисельним спіном (наприклад, -мезони, фотони) описуються симетричними хвильовими функціями і підкоряються статистиці Бозе – Эйнштейна; ці частинки називають бозонами. Складні частинки (наприклад, атомні ядра), складені з непарного числа ферміонів, є ферміонами (сумарний спін – напівцілий), а з парного – бозонами (сумарний спін цілий).

2. Функція розподілу Бозе – Ейнштейна

Функцією розподілу Бозе – Ейнштейна  називається середня "заселеність" бозонами станів з даною енергією, тобто середнє число частинок в одному стані:

,

де  – число частинок з енергією в інтервалі від  до ;  –  число квантових станів в цьому інтервалі енергій.

Для знаходженя функції  розглядається термодинамічна вірогідність Р  розподілу частинок системи по квантових станах і знаходиться найвірогідніший розподіл за умови збереження числа частинок  в системі і енергії  системи:

 

Підсумовування проводиться по всіх квантових станах системи.

Застосовуючи метод невизначених множників Лагранжа при відшуканні умовного екстремуму, можна отримати такий вираз для функції розподілу Бозе — Ейнштейна:

,

де   – середнє число частинок (бозонів) в квантовому стані з енергією ;  – постійна Больцмана; Т — абсолютна температура;  – хімічний потенціал, який не залежить від енергії, а визначається лише температурою  і густиною числа частинок.

3. Функція розподілу Фермі – Дірака

Ця функція визначається аналогічно функція розподілу Бозе – Ейнштейна і має такий вид:

,

де  – середнє число частинок (ферміонів) в квантовому стані з енергією ;  – хімічний потенціал, який, на відміну від хімічного потенціалу, що входить в  функцію розподілу Бозе – Ейнштейна , може мати додатнє значення.

Якщо , то розподіли Бозе – Ейнштейна і Фермі — Дірака переходять в класичний розподіл Максвела – Больцмана:

,

де

.

Таким чином, при високих температурах обидва "квантованих" газа ведуть себе подібно класичному газу.

4. Поняття про виродження систем частинок, що описуються квантовими статистиками

Система частинок (зокрема, ідеальний газ) називається виродженою, якщо її властивості суттєво відрізняються від властивостей систем, що підкоряються законам класичної статистики. Відступ в поведінці бозе- і ферми-газів від класичного максвел-больцманівського газу називається виродженням газів (вироджений газ). Виродження газів стає істотним при дуже низьких температурах і великій густині.

Параметром виродження називається величина .

Температурою виродження  називається температура, нижче за яку чітко проявляються квантові властивості ідеального газу, зумовлені тотожністю частинок, тобто  – це температура, за якої виродження стає суттєвим. Якщо , то поведінка системи частинок (газу) описується класичними законами.

5. Поняття про виродження електронного газу в металах

Розподіл електронів по різних квантових станах підкоряється принципу Паулі, згідно з яким в одному стані не може бути двох однакових (з однаковим набором чотирьох квантових чисел) електронів; вони повинні відрізнятися якоюсь характеристикою, наприклад, напрямом спіну. Отже, по квантовій теорії, електрони в металі не можуть розташовуватися на найнижчому енергетичному рівні навіть при 0 К. Згідно з принципом Паулі, електрони вимушені підійматися вгору "по енергетичних сходах".

Електрони провідності в металі можна розглядати як ідеальний газ, що підкоряється розподілу Фермі – Дірака

,

Якщо  – хімічний потенціал електронного газу при , то середнє число  електронів в квантовому стані з енергією Е дорівнює

.

Для ферміонів (а електрони є ферміонами) середнє число частинок в квантовому стані і вірогідність заселеної квантового стану співпадають, оскільки квантовий стан або може бути не заселений, або в ньому знаходитиметься одна частинка. Це означає, що для ферміонів , де  – функція розподілу електронів по станах.

З вище наведеної формули  витікає, що при  функція розподілу , якщо . Графік цієї функції наведено на рис. 27.1, а. В області енергій від 0 до  функція  дорівнює одиниці. При  вона стрибкоподібно змінюється до нуля. Це означає, що при всі нижні квантові стани, аж до стану з енергією  заповнені електронами, а всі стани з енергією, більшою за , вільні. Отже,   є не що інше, як максимальна кінетична енергія, яку можуть мати електрони провідності в металі при . Ця максимальна кінетична енергія називається енергією Фермі і позначається . Тому розподіл Фермі – Дірака зазвичай записується у вигляді

.

Рис. 27.1

Найвищий енергетичний рівень, зайнятий електронами, називається рівнем Фермі. Рівню Фермі відповідає енергія Фермі , яку мають електрони на цьому рівні. Рівень Фермі, очевидно, буде тим вище, чим більше густина електронного газу. Роботу виходу електрона з металу потрібно відлічувати не від дна "потенціальної ями", як це робилося в класичній теорії, а від рівня Фермі, тобто від верхнього із зайнятих електронами енергетичних рівнів.

Для металів при не дуже високих температурах виконується нерівність . Це означає, що електронний газ в металах практично завжди знаходиться в стані сильного виродження. Температура  виродження визначається з умови . Вона визначає межу, вище за яку квантові ефекти перестають бути істотними. Відповідні розрахунки показують, що для електронів в металі , тобто для всіх температур, при яких метал може існувати в твердому стані, електронний газ в металі вироджений.

При температурах, відмінних від , функція розподілу Фермі –Дірака плавно змінюється від 1 до 0 у вузькій області (порядку кТ) в околиці EF (рис. 27.1, б). (Тут же для порівняння пунктиром наведено функцію розподілу при .) Це пояснюється тим, що при Т > 0 невелике число електронів з енергією, близькою до , збуджується унаслідок теплового руху і їх енергія стає більшою за . Поблизу межі Фермі при  заповнення електронами менше одиниці, а при більше нуля. В тепловому русі бере участь лише невелике число електронів, наприклад при кімнатній температурі і температурі виродження , — це 10-5 від загального числа електронів.

Якщо  ("хвіст" функції розподілу), то одиницею в знаменнику функції розподілу Фермі –Дірака можна знехтувати  порівняно з експонентою і тоді розподіл Ферма — Дірака переходить в розподіл Максвела – Больцмана. Таким чином, при , тобто при великих значеннях енергії, до електронів в металі справджується класична статистика, в той же час, коли , для них можливо застосувати лише квантову статистику Фермі – Дірака.


ЛЕКЦІЯ 28

Електропровідність металів

1. Класична теорія електропровідності металів

Носіями струму в металах є вільні електрони, тобто електрони, які слабо пов'язані з іонами кристалічних граток металу. Це уявлення про природу носіїв струму в металах грунтується на електронній теорії провідності металів, створеній німецьким фізиком П. Друде і згодом удосконаленій нідерландським фізиком X. Лоренцем, а також на ряді класичних дослідів, що підтверджують положення електронної теорії.

Перший з таких дослідів – досвід Рікке (1901), в якому протягом року електричний струм пропускався через три послідовно сполучених з добре відшліфованими торцями металевих циліндрів (Сu, А1, Сu) однакового радіусу. Загальний заряд, що пройшов через ці циліндри, досягав величезного значення (3,5·106 Кл), проте навіть мікроскопічних слідів перенесення речовини не виявилося, чим було доведено, що:

 іони в металах не беруть участь в перенесенні електрики, а перенесення заряду в металах здійснюється частинками, які є спільними для всіх металів, а саме: електронами, відкритими в 1897 р. англійським фізиком Д. Томсоном.

Носії струму в металах. Якщо в металі є рухомі, слабо пов'язані з гратками носії струму, то при різкому гальмуванні провідника ці частинки повинні за інерцією зміщуватися вперед, як зміщуються вперед пасажири, що стоять у вагоні при його гальмуванні. Результатом зсуву зарядів має бути імпульс струму; по напряму цього струму можна визначити знак носіїв струму, а знаючи розміри і опір провідника, можна обчислити питомий заряд носіїв. Виявилося, що значення питомого заряду і маси носіїв струму і електронів, що рухаються у вакуумі, співпадали. Таким чином, було остаточно доведено, що:

 носіями електричного струму в металах є вільні електрони.

Існування вільних електронів в металах можна пояснити таким чином: при утворенні кристалічних граток металу (в результаті зближення ізольованих атомів) валентні електрони, порівняно слабо пов'язані з атомними ядрами, відриваються від атомів металу, стають "вільними" і можуть переміщуватись по всьому об'єму. Таким чином, у вузлах кристалічних граток розташовуються іони металу, а між ними хаотично рухаються вільні електрони, утворюючи своєрідний електронний газ, який має, згідно з електронною теорією металів, властивості ідеальног