3486

Определение ускорения свободного падения при помощи оборотного и математического маятников

Лабораторная работа

Физика

Определение ускорения свободного падения при помощи оборотного и математического маятников, изучение законов колебания маятника, ознакомление с косвенными методами измерения ускорения свободного падения при помощи математического и оборотного...

Русский

2012-11-02

443.96 KB

20 чел.

Определение ускорения свободного падения при помощи оборотного и математического маятников

  1.  изучение законов колебания маятника; ознакомление с косвенными методами измерения ускорения свободного падения при помощи математического и оборотного маятников.
  2.  изучение колебательных процессов при наличии сил трения, экспериментальное определение коэффициента затухания, логарифмического декремента и добротности крутильного маятника.

Приборы и принадлежности: маятник универсальный ФПМ-04 (далее - маятник), стандартная установка ФПМ-С9.

Элементы теории

Наиболее точные измерения ускорения свободного падения g выполняются с помощью косвенных методов. Многие из них основаны на использовании формулы для периода колебаний физического маятника. Массу маятника и период его колебаний можно измерить с очень высокой точностью, но точно измерить момент инерции не удается. Указанного недостатка лишен метод оборотного маятника, который позволяет исключить момент инерции из расчетной формулы для g.

Рассмотрим тело массы m, способное колебаться относительно точки О и отклоненное от положения равновесия на угол а (рис. 1). Это тело представляет собой физический маятник с моментом инерции I (относительно оси О, перпендикулярной плоскости рисунка).

Приведенная длина физического маятника l - это длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника:

(1) ;

Отсюда , где I - момент инерции маятника относительно оси качаний, т - его масса, S1 - расстояние от центра масс до точки подвеса.

Измерить приведенную длину можно перераспределением масс маятника или изменением положения точки его подвеса.

Точка К, лежащая на перпендикуляре к оси качаний, проходящем через центр тяжести физического маятника на расстоянии l от этой оси, называется центром качаний (математический маятник длины l, подвешенный к оси качаний физического маятника, будет колебаться синхронно с центром качаний).

Приведенная длина маятника

2) .

По теореме Штейнера

3) .

Если заставить маятник колебаться около горизонтальной оси, проходящей через К, его приведенная длина

4) ,

где S2=KC - расстояние от новой оси вращения до центра масс маятника; I0 -момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через центр масс маятника. Из рис. 1 следует, что

5) .

Подставим это выражение в формулу (4) и найдем приведенную длину l2:

6) .

Таким образом, центр качаний обладает следующим свойством: если ось пройдет через центр качаний, то новый центр качаний будет расположен на месте старой оси.

Рис. 1

Рис. 2

Из равенства приведенных длин следует равенство периодов колебаний.

Оборотным маятником называется физический маятник, центр качаний которого расположен в пределах колеблющегося тела. Такой маятник можно подвешивать в любой из двух точек О и К (рис. 2) без изменения периода колебаний: T1=T2=T. Взаимозаменяемые точки О и К расположены по обе стороны от центра масс С на расстояниях S1 и S (рис. 2). Моменты инерции относительно осей, проходящих через эти точки, различны:

7) Il=I0+mS1 и I2=I0+mS2.

Периоды колебаний оборотного маятника могут быть выражены:

8) и .

Учитывая равенство периодов, и решая эту систему уравнений, легко получить выражение для ускорения свободного падения:

9) ,

где l = S1 + S2 - приведенная длина маятника.

Крутильный маятник представляет собой массивное тело, скажем диск или брусок (рис. I) подвешенное на тонкой упругой струне или кварцевой нити. При выводе такого маятника из положения равновесия на некоторый угол θ на него со стороны нити начинает действовать упругий момент

(1)

пропорциональный углу поворота θ.

- постоянная, характеризующая момент характеризующая момент упругих сил.

Если струна достаточно тонкая и длинная, то, как показывает опыт, зависимость (1) справедлива и для довольно больших углов закручивания, например θ >2π. Кроме того, затухание крутильного маятника обычно мало. Все это делает его удобным прибором для измерение различных физических величин. Затухание маятника определяется моментом, сил трения, пропорциональным угловой скорости .

(2),

где - коэффициент пропорциональности.

Движение маятника списывается уравнением моментов

(3)

которое с .учетом (1) и (2) легко привести к уравнению осциллятора с вязким трением:

(4)

где J - момент инерции маятника .относительно оси вращения.

 

коэффициент затухания,

 

собственная циклическая частота колебаний маятника.

Период-слабозатухающих колебаний маятника (β << ) примерно равен периоду собственных незатухающих колебаний, т.е. .

(5)

Это выражение указывает простой путь для вычисления если известен момент инерции J, измерить период колебаний маятника T. И наоборот, если измерено, то с помощью (5) можно определить момент инерции J.

Решением уравнения (4) является функимя вида

(6),

где - амплитуда колебаний в момент времени t, - циклическая частота этих колебаний, - начальная фаза, причем

(7)

График функции (6) представлен на рис. 2. Характер движения маятника, т.е. вид функции , сильно зависят от соотношения между коэффициентом затухания и собственной частотой колебаний .

Если << (трение мало), то представляет собой медленно затухающую синусоиду.

Строго говоря, затухающие колебания не являются периодическими, т.к. с течением времени их амплитуда убывает. Амплитудой колебания в момент времени T по аналогии с незатухающими колебаниями называют величину

.

т.е коэффициент при функции в выражении (6). Это определение амплитуды имеет смысл только для слабо затухающих колебаний, когда уменьшение амплитуды за один период является незначительным.

Уменьшение затухающих колебаний за один период T характеризуется логарифмическим декрементом затухания .

(8)

Так как

,

то очевидно, что

(9)

Пусть - число колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в e≈2,7 раза.

Тогда

или

откуда следует, что

(11)

Для характеристики колебательной системы используется также величина называемая добротностью системы.

(12)

Очевидно, что чем больше добротность системы, тем больше колебаний она совершит при выведении ее из положения равновесия.

ti,с

ti-<ti>,c

(ti - <t>)2,c2

Ni

Ni

1

32,601

-0,0182

3,312410-4

20

0

2

32,611

-0,0082

6,72410-5

20

0

3

32,627

0,0058

3,36410-5

20

0

4

32,639

0,0192

3,686410-4

20

0

5

32,618

0,0012

1,4410-6

20

0

<ti>,c

(ti - <t>),

c

(ti - <t>)2,

c2

<Ni>

(Ni - <N>),

32,6192

-0,0002

8,02210-4

20

0

; (c)

Вычислим случайную составляющую среднеквадратичной погрешности ().

;

= 0,00633 (c)

Подсчитаем суммарную среднеквадратичную погрешность .

; (c)

Вычислим случайную погрешность (сл).

сл = tc; сл = 2,78 (c)

Оценим полную погрешность (h).

t = ; t = (c)

Расчёт среднего значения величины .

<>; <>

<>; < >=0,030656

(мм3)

Расчёт абсолютной погрешности величины .

;   

<Q>;<Q>=3,141520=62,83185 В итоге:

= 0,05

=<>; =0,030656 (мм3)

Q =62,83185

Расчётная часть

l = 0,39 м. (расстояние между крепёжными призмами);

l = 0,4 м. (расстояние между крепёжными призмами);

l = 0,37 м. (длина подвеса маятника);

Вначале рассчитаем погрешность измерения времени t, при c = 10-3 с, k = 1,1 и tc = 4,3:

 

 

с.

 

Вычислим погрешность однократного (сл = 0) измерения величины l для физического маятника, при c = 10-2 м.:

м.

 

Теперь по формуле 0(9) подсчитаем значение g по данным снятым с физического маятника (а):

;

м/с2.

Далее подсчитаем значение g по данным снятым с физического маятника (б):


м/с2.

Вычисления с физическим маятником завершим вычислением (по упрощённой формуле) погрешности косвенной величины g. За относительную погрешность периода колебаний T, примем относительную погрешность измерения времени t:

;

м/с2

Итого для физического маятника получен результат:

g = 9,810,194 м/с2.

Вычислим погрешность однократного измерения величины l для математического маятника, при c = 10-3 м.:

м.

 

Пользуясь тем же выражением, вычислим значение g по данным снятым с математического маятника:

м/с2.


Теперь для математического маятника найдём погрешность величины
g:

м/с2

Для математического маятника получен результат:

g = (9800,521)10-2 м/с2.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22115. Синтез конечных автоматов 31.5 KB
  В ЦА выходные сигналы в данный момент времени зависят не только от значения входных сигналов в тот же момент времени но и от состояния схемы которое в свою очередь определяется значениями входных сигналов поступивших в предшествующие моменты времени. Понятие состояния введено в связи с тем что часто возникает необходимость в описании поведения систем выходные сигналы которых зависят не только от состояния входов в данный момент времени но и от некоторых предысторий т. Состояния как раз и соответствуют некоторой памяти о прошлом...
22116. Способы задания автомата 362 KB
  Существует несколько способов задания работы автомата но наиболее часто используются табличный и графический. Совмещенная таблица переходов и выходов автомата Мили: xj ai a0 an x1 a0x1 a0x1 anx1 anx1 xm a0xm a0xm anxm anxm Задание таблиц переходов и выходов полностью описывает работу конечного автомата поскольку задаются не только сами функции переходов и выходов но и также все три алфавита: входной выходной и алфавит состояний. Для задания автомата Мура требуется одна таблица поскольку в этом...
22117. Частичные автоматы 194 KB
  Оказывается что для любого автомата Мили существует эквивалентный ему автомат Мура и обратно для любого автомата Мура существует эквивалентный ему автомат Мили. Рассмотрим алгоритм перехода от произвольного конечного автомата Мили к эквивалентному ему автомату Мура. Требуется построить эквивалентный ему автомат Мура Sb = {Ab Xb Yb b b} у которого Xb = Xa Yb = Ya т. Для определения множества состояний Ab автомата Мура образуем всевозможные пары вида ai yg где yg – выходной сигнал приписанный входящей в ai дуге.
22118. Абстрактный синтез конечных автоматов 25.5 KB
  Составить аналогичную таблицу описывающую работу конечного автомата не представляется возможным т. множество допустимых входных слов автомата вообще говоря бесконечно. Мы рассмотрим один из возможных способов формального задания автоматов а именно задание автомата на языке регулярных событий. Представление событий в автоматах.
22119. Операции в алгебре событий 24.5 KB
  Дизъюнкцией событий S1 S2 Sk называют событие S = S1vS2vvSk состоящее из всех слов входящих в события S1 S2 Sk. Произведением событий S1 S2 Sk называется событие S = S1 S2 Sk состоящее из всех слов полученных приписыванием к каждому слову события S1 каждого слова события S2 затем слова события S3 и т. слова входящие в события S1S2 и S2S1 различны: т. Итерацией события S называется событие{S} состоящее из пустого слова e и всех слов вида S SS SSS и т.
22120. Система основных событий 28.5 KB
  Событие состоящее из всех слов входного алфавита всеобщее событие. F = {x1 v x2 v v xm} Событие содержащее все слова оканчивающиеся буквой xi. Событие содержащее все слова оканчивающиеся отрезком слова l1 S = F l1 Событие содержащее все слова начинающиеся с отрезка слова l1и оканчивающиеся на l2: S = l1 F l2 Событие содержащее только однобуквенные слова входного алфавита S = x1 v x2 v v xm Событие содержащее только двухбуквенные слова входного алфавита S = x1 v x2 v v xm x1 v x2 v v xm Событие содержащее все...
22121. Генетические основы эволюции 118.5 KB
  Комбинативная изменчивость – изменчивость в основе которой лежит образование комбинаций генов которых не было у родителей. Комбинативная изменчивость обуславливается следующими процессами: независимым расхождением гомологичных хромосом в мейозе; случайным сочетанием хромосом при оплодотворении; рекомбинацией генов в результате кроссинговера. Частота мутаций не одинакова для разных генов и для разных организмов. Поскольку генов в каждой гамете много например у человека в геноме содержится около 30 тысяч генов то в каждом поколении около...
22122. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФАКТОРЫ ЭВОЛЮЦИИ 88 KB
  Тогда частота аллеля b в популяции будет медленно но неуклонно возрастать в каждом поколении на одну десятитысячную если этому возрастанию не будут препятствовать или способствовать другие факторы эволюции. В принципе только благодаря мутационному процессу новый аллель может практически полностью вытеснить старый аллель из популяции. Однако в одной популяции растущей на вершине урансодержащих гор вблизи Большого Медвежьего озера Канада обнаружены многочисленные мутантные растения с бледнорозовыми цветками. Изоляция – это прекращение...
22123. ИСКУССТВЕННЫЙ ОТБОР 51.5 KB
  Количество часов: 2 ИСКУССТВЕННЫЙ ОТБОР Понятие об искусственном отборе Формы искусственного отбора Понятие об искусственном отборе Искусственный отбор – выбор человеком наиболее ценных в хозяйственном отношении особей животных и растений данного вида пород или сорта для получения от них потомства с желательными свойствами. Таблица Формы отбора Показатели Искусственный отбор Естественный отбор Исходный материал для отбора Индивидуальныепризнаки организма Индивидуальные признаки организма Отбирающийфактор Человек Условия среды живаяи...