3499

Инженерная графика как учебная дисциплина

Контрольная

Архитектура, проектирование и строительство

В число дисциплин, составляющих основу инженерного образования, входит "Инженерная графика". Инженерная графика - это условное название учебной дисциплины, включающей в себя основы начертательной геометрии и основы специального вида технического чер...

Русский

2012-11-02

596 KB

166 чел.

В число дисциплин, составляющих основу инженерного образования, входит "Инженерная графика".

Инженерная графика - это условное название учебной дисциплины, включающей в себя основы начертательной геометрии и основы специального вида технического черчения.

Начертательная геометрия – наука, изучающая закономерности изображения пространственных форм на плоскости и решения пространственных задач протекционно-графическими методами.

Метрическая (измерительная) геометрия, созданная, как известно, трудами Евклида, Архимеда и других математиков древности, выросла из потребностей землемерия и мореплавания.

Всестороннее и глубокое научно-теоретическое обоснование начертательная геометрия получила только после рождения геометрии на псевдосфере. Создал его великий русский геометр Лобачевский (1793-1856г.).

В России начертательную геометрию стали изучать с 1810 года в институте корпуса инженеров путей сообщения в Петербурге. Курс на французском языке читал инженер Портье.

С 1816 года профессором  этого института Севостьянов Я.А. преподавание велось на русском языке, и был выпущен первый учебник. Особой заслугой Севостьянова Я.А. было создание русской терминологии по начертательной геометрии.

Т.о., начертательная геометрия – это наука, изучающая способы графического изображения предметов на плоскости. Начертательная геометрия является разделом геометрии, изучающим пространственные формы по их проекциям на плоскости. Ее основными элементами являются:

  1.  Создание метода изображения
  2.  Разработка способов решения позиционных и метрических задач при помощи их изображения.

Начертательная геометрия является связующим звеном между математикой, техническим черчением и другими предметами. Дает возможность построения геометрических форм на плоскости и по плоскому изображению представить форму изделия.

Студенты при изучении курса начертательной геометрии наряду с освоением теоретических положений приобретают навыки точного графического решения пространственных задач метрического и позиционного характера. Умение найти более короткий путь решения графической задачи формирует общую инженерную культуру молодого специалиста.

Изучение начертательной геометрии позволяет:

  1.  Научиться составлять чертежи, т.е. изучать способы графического изображения существующих и создаваемых предметов.
  2.  Научиться читать чертежи, т.е. приобрести навыки мысленного представления по чертежу формы и размеров предмета в натуре.
  3.  Приобрести навыки в решении пространственных задач на проекционном чертеже.
  4.  Развить пространственное и логическое мышление.

Инженерная графика является тем фундаментом, на котором в дальнейшем будут основываться все технические проекты науки и техники, и которая дает возможность студенту, а затем инженеру выполнять конструкторскую работу и изучать техническую литературу, насыщенную чертежами.

Прочесть или составить чертежи можно лишь в том случае, если известны приемы и правила его составления. Одна категория правил имеет в основе строго определенные приемы изображения, имеющие силу методов, другая категория – это многочисленные, часто не связанные между собой условности, принятые при составлении чертежей и обусловленные ГОСТами.

ГОСТы – это государственные общесоюзные  стандарты, комплекс которых составляет Единую систему конструкторских документов, принятых в России. Основное назначение стандартов ЕСКД заключается в установлении на всех предприятиях России единых правил выполнения, оформления и обращения конструкторской документации.

Теоретической основой черчения является начертательная геометрия. Основной целью начертательной геометрии является умение изображать всевозможные сочетания геометрических форм на плоскости, а так же умение производить исследования и их измерения, допуская преобразование изображений. Изображения, построенные по правилам начертательной геометрии, позволяют мысленно представить форму предметов и их взаимное расположение в пространстве, определить их размеры, исследовать геометрические свойства, присущие изображаемому предмету. Начертательная геометрия передает ряд своих выводов в практику выполнения технических чертежей, обеспечивает их выразительность и точность, а, следовательно, и возможность осуществления изображенных предметов.

Изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственного воображения, необходимое инженеру для глубокого понимания технического чертежа, для возможности создания новых технических объектов. Без такого понимания чертежа немыслимо никакое творчество. В любой области техники, в многогранной инженерной деятельности человека чертежи являются единственными и незаменимыми средствами выражения технических идей.

Начертательная геометрия является одной из дисциплин, составляющих основу инженерного образования.

Т.о., предмет "Инженерная графика" складывается из двух частей:

  1.  Рассмотрения основ проецирования геометрических образов по курсу начертательной геометрии и
  2.  Изучения законов и правил выполнения чертежей по курсу технического черчения.

Символика

º

совпадают

   

  

касательные

:

подобны

принадлежат, являются элементом

^

перпендикулярны

×

¾

скрещивание

@

конгруэнтны

Ì

пересечение множеств

||

параллельны

Ð

угол

®

отображаются

.

d

прямой угол

/

отрицание знака

Ì

включает, содержит

A, B, C, D... -  точки                                              a,b, c, Q,  R, S....   -  плоскости

a , a/ , a//          -  проекции точек                         QH , RV , SW  -  следы плоскостей

МЕТОД ПРОЕКЦИЙ

В основе начертательной геометрии лежит метод проекций.

Правила построения изображений, излагаемые в начертательной геометрии, основаны на методе проекций. Всякое правильное изображение предметов на плоскости (например, лист бумаги, кран монитора) является проекцией его на эту плоскость.

Правильным мы называем изображение, построенное в соответствии с законами геометрической оптики, действующими в реальном мире. Т.о., проекцией являются: технический рисунок, фотография, технический чертеж, тень, падающая от предмета, изображение на сетчатке глаза и т.д. Существуют изображения, выполненные с отклонением от этих законов. Таковыми, например, являются рисунки первобытных людей, детские рисунки, картины художников различных нереалистических направлений и т.д. Такие изображения на являются проекциями и к ним не могут быть применены методы геометрического исследования.

Латинская основа слова "проекция" означает "бросание вперед".

Начертательная геометрия рассматривает несколько видов проецирования. Основными являются центральное и параллельное проецирование.

Центральное проецирование  

Для получения центральных проекций необходимо задаться плоскостью проекций H и центром проекций S.

                                        Рис. 1                                                    Рис. 2

Центр проекций действует как точечный источник света, испуская проецирующие лучи. Точки пересечения проецирующих лучей с плоскостью проекций H называются проекциями. Проекций не получается, когда центр проецирования лежит в данной плоскости или проецирующие лучи параллельны плоскости проекций.

Глаз, фотоаппарат являются примерами этой системы изображения. Одна центральная проекция точки не дает возможность судить о положении самой точки в пространстве, и поэтому в техническом черчении это проецирование почти не применяется.

Для определения положения точки  при данном способе необходимо иметь две ее центральные проекции, полученные из двух различных центров ( рис. 2).

Центральные проекции применяют для изображения предметов в перспективе. Изображения в центральных проекциях наглядны, но для технического черчения неудобны.

Параллельное проецирование

                                            Рис. 3                                                    Рис. 4

Параллельное проецирование – частный случай центрального проецирования, когда центр проецирования перемещен в несобственную точку т.е. в бесконечность. При таком положении центра проекций все проецирующие прямые будут параллельны между собой  (рис. 3). В связи с параллельностью проецирующих прямых рассматриваемый способ называется параллельным, а полученные с его помощью проекции – параллельными проекциями. Аппарат параллельного проецирования полностью определяется положением плоскости проецирования (H) и направлением проецирования.

Параллельное проецирование, как и центральное при одном центре проецирования, также не обеспечивает обратимости чертежа.

Применяя приемы параллельного проецирования точки и линии, можно строить параллельные проекции поверхности и тела.

Параллельные проекции применяют для построения наглядных изображений различных технических устройств и их деталей.

Параллельное проецирование делится на косоугольное (проецирующие лучи расположены под любым углом к плоскости проекций) и прямоугольное или ортогональное (проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций).

В данном курсе рассматривается преимущественно прямоугольное проецирование.

Прямоугольное (ортогональное проецирование) проецирование

Частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, называется прямоугольным или ортогональным проецированием. Прямоугольной (ортогональной) проекцией точки называют основание перпендикуляра, проведенного из точки на плоскость проекций. Прямоугольная проекция точек А и В показана на рис. 5.

Для определения положения точки в пространстве по ее параллельным проекциям необходимо иметь две параллельные плоскости , полученные при двух направлениях проецирования.

                               Рис. 5                                                Рис. 6

Т.к. через точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную плоскости, то, очевидно, при ортогональном проецировании для получения двух проекций одной точки необходимо иметь две не параллельные плоскости проекций (рис. 6).   

Ортогональное проецирование обладает рядом преимуществ перед центральным и параллельным проецированием. К ним в первую очередь следует отнести:

  1.  Простоту графических построений для определения ортогональных проекций точек.
  2.  Возможность при определенных условиях сохранить на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры.

Отмеченные преимущества обеспечили широкое применение ортогонального проецирования в технике, в частности, для составления машиностроительных чертежей.

В машиностроении для того чтобы иметь возможность по чертежу судить о форме и размерах изображаемых предметов, при составлении чертежей, как правило, пользуются не двумя, а несколькими плоскостями проекций.

Положение точки в пространстве, а следовательно, и любой геометрической фигуры может быть определено, если будет задана какая-либо координатная система отнесения. Плоскости проекции делят пространство на восемь частей – октантов. Их условно нумеруют римскими цифрами (рис. 7).

Плоскости проекции делят пространство на восемь частей – октантов. Их условно нумеруют римскими цифрами (рис. 7).

                                              

                                 Рис. 7                                                    Рис. 8      

Наиболее удобной для фиксирования положения геометрической фигуры в пространстве  и выявления ее формы по ортогональным проекциям является декартова система координат, состоящая из трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. В связи с тем, что начертательная геометрия призвана передавать результаты своих теоретических исследований для практического использования, ортогональное проецирование целесообразно       рассматривать также в системе трех плоскостей проекций.

              Для удобства проецирования в качестве трех плоскостей проекций выбирают три взаимно перпендикулярные плоскости (рис.8). Одну из них принято располагать горизонтально – ее называют горизонтальной плоскостью проекций, другую – вертикально, параллельно плоскости чертежа, ее называют фронтальной плоскостью проекций и третью, перпендикулярную двум имеющимся –ее называют профильной плоскостью проекций. Эти плоскости проекций пересекаются по линиям, называемыми  осями проекций.

У нас принята правая система расположения плоскостей проекций. При этом положительными направлениями осей считают: для оси х (пересечение горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций) – влево от начала координат, для оси y (пересечение горизонтальной и профильной плоскостей проекций) – в сторону наблюдателя от фронтальной плоскости проекций, для оси z  (пересечение фронтальной и профильной плоскостей проекций) – вверх от горизонтальной плоскости проекций, противоположные направление осей считают отрицательными.

Проекцией точки является основание перпендикуляра, опущенного из точки на соответствующую плоскость проекций. Горизонтальной проекцией точки  называют прямоугольную проекцию точки на горизонтальной плоскости проекций, фронтальной проекцией – соответственно на фронтальной плоскости проекций и профильной – на профильной плоскости проекций.

Пользоваться этим пространственным макетом для изображения ортогональных проекций геометрических фигур неудобно ввиду его громоздкости, а также из-за того, что на отдельных (горизонтальной и профильной) происходит искажение формы и размеров проецируемой фигуры. Поэтому вместо изображения на чертеже пространственного макета пользуются комплексным чертежом (эпюр Монжа) составленным из трех связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры.

Преобразование пространственного макета в эпюр осуществляется путем совмещения горизонтальной и профильной плоскостей проекций с фронтальной плоскостью проекции (рис. 7).                                                      

       Так как плоскости не имеют границ, в совмещенном положении (на эпюре) границы плоскостей не показывают, нет необходимости оставлять надписи, указывающие положение плоскостей проекций (рис. 10).

Перейдя к эпюру утратилась пространственная наглядность. Эпюр дает больше – точность и удобоизмереимость изображений, при простоте построений. Однако, чтобы представить пространственную картину требуется работа воображения.

Проецирование точки

Точка, как математическое понятие, не имеет размеров. Очевидно, если объект проецирования является нульмерным объектом, то говорить о его проецировании бессмысленно.

                   Рис.9                                                                          Рис.10

     

         В геометрии под точкой целесообразно принимать физический объект, имеющий линейные измерения. Условно за точку можно принять шарик с бесконечно малым радиусом. При такой трактовке понятия точки можно        говорить о ее проекциях.

     При построении ортогональных проекций точки следует руководствоваться первым инвариантным свойством ортогонального проецирования: ортогональная проекция точки есть точка.

         Положение точки в пространстве определяется тремя координатами: X, Y, Z, показывающие величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций. Чтобы определить эти расстояния, достаточно определить точки встречи этих прямых с плоскостями проекций и измерить соответствующие величины, которые укажут соответственно значения абсциссы X , ординаты Y и аппликаты Z точки (рис. 10).

 Проекцией точки является основание перпендикуляра, опущенного из точки на соответствующую плоскость проекций. Горизонтальной проекцией точки  а называют прямоугольную проекцию точки на горизонтальной плоскости проекций, фронтальной проекцией а / – соответственно на фронтальной плоскости проекций и профильной а// на профильной плоскости проекций.

Прямые Аа,  Аa / и Аa // называются проецирующими прямыми. При этом прямую Аа,  проецирующую точку А на  горизонтальную плоскость проекций, называют горизонтально- проецирующей прямой,   Аa / и Аa // - соответственно: фронтально и профильно-проецирущими прямыми.

Две проецирующие прямые, проходящие через точку А определяют плоскость, которую принято называть проецирующей.

При преобразовании пространственного макета, фронтальная проекция точки А – а / остается на месте, как принадлежащая плоскости, которая не менят своего положения при рассматриваемом преобразовании. Горизонтальная проекция – а вместе с горизонтальной плоскостью проекции повернется понаправлению движения часовой стрелки и расположится на одном перепендикуляре к оси Х с фронтальной проекцией. Профильная проекция - a // будет вращаться вместе с профильной плоскостью и к концу преобразования займет положение, указанное на рисунке 10. При этом - a // будет принадлежать перпендикуляру к оси Z , проведенному из точки а / и будет удалена от оси Z на такое же расстояние, на какое горизонтальная проекция  а удалена от оси Х. Поэтому связь между горизонтально и профильной проекциями точки может быть установлена с помощью двух ортогональных отрезков ааy    и аy a // и сопрягающей их дуги окружности с центром в точке пересечения осей ( О – начало координат). Отмеченной связью пользуются для нахождения недостающей проекции ( при двух заданных). Положение профильной (горизонтальной) проекции по заданным горизонтальной (профильной) и фронтальной проекциям может быть найдено с помощью прямой, проведенной под углом 450 из начала координат к оси Y  ( эту биссектрису называют прямой k – постоянной Монжа). Первый из указанных способов предпочтителен, как более точный.

Из этого следует:

1. Точка в пространстве удалена:  

                    от горизонтальной плоскости H на величину заданной координаты Z,

              от фронтальной плоскости V на величину заданной координаты Y,

            от  профильной плоскости W на величину координаты .X.  

2. Две проекции любой точки принадлежат одному перпендикуляру (одной линии связи):

        горизонтальная и фронтальная – перпендикуляру к оси X,

    горизонтальная и профильная – перпендикуляру к оси Y,

    фронтальная и профильная – перпендикуляру к оси  Z.

3. Положение точки в пространстве вполне определяется положением ее двух ортогональных проекций. Из этого следует – по двум любым заданным ортогональным проекциям точки всегда иожно построить недостающую ее третью проекцию .

Если точка имеет три определенные координаты, то такую точку называют точкой общего положения. Если у точки одна или две координаты имеют нулевое значение, то такую точку называют точкой частного положения.

    Рис. 11                                                                               Рис. 12

На рисунке 11 дан пространственный чертеж точек частного положения, на рисунке 12 – комплексных чертеж (эпюр) этих точек. Точка А принадлежит фронтальной плоскости проекций, точка В – горизонтальной плоскости проекций, точка С – профильной плоскости проекций и точка D – оси абсцисс (Х ).

Проецирование отрезка прямой линии

При построении проекций прямой следует исходить из инвариантного свойства ортогонального проецирования, что проекция прямой есть прямая.

При ортогональном проецировании на плоскость прямая, не перпенди- Рис.13                                               Рис. 14                                                          кулярная плоскости проекций, проецируется в прямую. Поэтому, для проецирования отрезка прямой достаточно найти проекции концов отрезка.

Наглядное (пространственное) изображение отрезка АВ показано на рисунке 13 и его ортогональное проецирование на три плоскости проекций – на рисунке 14. Отрезок АВ, определяющий прямую, занимает произвольное (общее) положение по отношению к плоскостям проекций (углы наклона прямой к плоскостям проекций произвольные, но отличные от 00 и 900). Такая прямая называется прямой общего положения.

Отметим, что если какая-либо точка принадлежит прямой, то ее проекции принадлежат соответственным проекциям данной прямой

                                                       

Проецирование прямых частного положения.

Кроме рассмотренного общего случая, существуют частные случаи расположения прямой по отношению к плоскостям проецирования.

Прямые частного положения имеют очень важное значение. Необходимо усвоить положение проекций этих прямых на эпюре и уметь безошибочно определять положение таких прямых в пространстве.

Прямые уровня.

Прямая, параллельная какой-либо из плоскостей проекций, называется прямой уровня.

                                                       Рис.16                                                          

                                                      

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций (точки A и В удалены от горизонтальной плоскости проекций на одинаковое расстояние, т.е. ZA  = ZB)  называется  прямой  горизонтального  уровня или горизонталью 

                                                              Рис. 17

(рис 16). Прямая, параллельная фронтальной плоскости (YA = YB) фронталь (рис. 17). Прямая, параллельная профильной плоскости  (XA = XB ) профильная прямая.                                                 

На комплексных чертежах данных прямых уровня, видны углы наклона прямых к плоскостям проекций.

  •  - угол наклона прямой к горизонтальной плоскости,

b -  угол наклона прямой к фронтальной плоскости.

Если прямая параллельна плоскости, то на эту плоскость она проецируется без искажения, т.е  своей натуральной величиной. Горизонтальная проекция горизонтали равна длине самой горизонтали, ее фронтальная проекция параллельна оси ОХ. Длина фронтальной проекции фронтали равна длине самой фронтали, ее горизонтальная проекция параллельна оси ОХ. Профильная проекция профильной прямой равна самой прямой, горизонтальная и фронтальная ее проекции перпендикулярны оси ОХ.

                                                            

Прямые перпендикулярные плоскостям проекций

Рис.18

 

Такие прямые называются проецирующими прямыми (рис. 23). АВ – горизонтально-проецирующая прямая. На горизонтальную плоскость проекций такая прямая проецируется в точку, на фронтальную – в саму себя перпендикулярно оси ОХ.  CD – фронтально-проецирующая прямая, На фронтальную плоскость проекций она проецируется в точку, на горизонтальную в саму себя перпендикулярно оси ОХ (рис. 18).

Взаимное положение прямых

Прямые в пространстве могут быть параллельны, пересекаться и скрещиваться.

Параллельные прямые

                                                           

                                                         Рис. 19

Исходя из  одного  из инвариантных свойств ортогонального проецирования: их одноименные проекции параллельны между собой. если прямая АВ параллельна прямой CD, то, образуя вместе со своими проекциями плоскости перпендикулярные горизонтальной плоскости проекций, они дадут ав параллельно сd (рис. 19)           

Параллельные прямые лежат в одной плоскости.

Пересекающиеся прямые                                                                                                                               

Если прямые пересекаются, то они имеют одну общую точку (рис.20).

Исходя из одного из инвариантных свойств ортогонального проецирования, если прямые  в пространстве пересекаются, то их проекции пересекаются в точках, лежащих на одном перпендикуляре к оси (на одной проекционной линии связи их разделяющей). Это положение безусловно только для прямых общего положения.

                                                

                                                       Рис. 20

Т.к. прямые пересекаются, то точка К – общая для двух прямых, а исходя из свойства принадлежности точки прямой, проекции точки должны лежать на одном перпендикуляре к оси.

 

Скрещивающиеся прямые            

         Такие прямые не параллельны и не пересекаются между собой.

                                                    Рис. 21

Проекции таких прямых могут пересекаться, но точки пересечения проекций не находятся на одном перпендикуляре к оси (рис. 21).

Точки пересечения проекций у скрещивающихся прямых называются конкурирующими. В действительности конкурирующие точки принадлежат разным прямым.

Конкурирующие точки дают возможность судить о положении прямых друг относительно друга в пространстве, а именно используются  для определения видимости ребер гранных геометрических тел ( призм, пирамид ) на отдельных плоскостях проекций. Каждая проекция представляет собой проекции двух точек, из которых одна принадлежит первой прямой, а другая – второй.  

 

Определение видимости гранного тела

                Рис. 22                                                              Рис.23

На рисунке 22 с помощью конкурирующих точек определена видимость граней треугольной призмы. Точки 1 и 2,  принадлежащие соответственно ребрам AB и SC служат для определения видимости на фронтальной плоскости проекций. Обозначив их на фронтальной проекции ребер, находятся их горизонтальные проекции. Точка 2, принадлежащая ребру AB  имеет большую угрековую координату нежели точка, следовательно находится ближе к наблюдателю и вместе с ней  и ребро  ABребро AB  на фронтальной плоскости видимо.  Другая пара конкурирующих точек 3 и 4 служит для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций. Точка 4, принадлежащая ребру  SC, находится выше точки 3 (у нее больше координата Z чем у точки 3 ), следовательно ребро SC на горизонтальной плоскости видимо.

Проецирование плоских углов

В общем случае плоский угол ни на одну из плоскостей проекций не будет проецироваться без искажения.

Любой плоский угол проецируется в натуральную величину, если обе его стороны параллельны какой-либо плоскости проекций (АВС угол лежит в плоскости, параллельной плоскости проекций) (рис.23). Одно из инвариантных свойств ортогонального проецирования утверждает, что прямой угол проецируется в натуральную величину, если хотя бы одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций.

Имеется несколько способов доказательства данного положения. Возьмем, пожалуй, самый простой. Прямой угол АВС расположен так, что обе его стороны параллельны плоскости H, тогда угол abc – прямой. Возьмем на перпендикуляре Aa любую точку D и соединим ее с точкой В. Угол DBC = 900 , т.к. ВС перпендикулярен плоскости ABba. Проекции углов АВС и DBC совпадают, т.к. точки А и D находятся на одном перпендикуляре к плоскости H, т.о. <  abc = < dbc = 900.

Комплексный чертеж угла, одна из сторон которого  ( АВ параллельна горизонтальной плоскости проекций) дан на рисунке 23.  

                                                                

 Плоскость

Способы задания плоскостей

Плоскостью является простейшая поверхность. Положение плоскости в пространстве однозначно определяется тремя различными точками А, В, С, не принадлежащими одной прямой. Поэтому для задания плоскости на эпюре Монжа (комплексном чертеже),  (рис. 24 ) достаточно указать проекции:

  1.   трех различных, не принадлежащих одной прямой точек (рис. 24 а ),
  2.  прямой и не принадлежащей ей точки (рис. 24 б ),
  3.  двух параллельнымых прямых (рис. 24 в),
  4.  двух  пересекающихся  прямых (рис. 24 г),
  5.  проекциями любой плоской фигуры ( рис. 24 д).

      Все эти способы задания плоскости равноценны. Нетрудно, имея одну комбинацию элементов перейти к любой другой.

Например, проведя через точки А  и В прямую, получим задание плоскости прямой и точкой. От него можно перейти к двум последующим  или к последнему – быть заданной на чертеже любой плоской фигурой( треугольником, четырехугольником, кругом  и т. д.).

В некоторых случаях бывает целесообразным задавать плоскость не произвольными пересекающимися прямыми, а прямыми, по которым эта

       а                                          б                                                в

Рис.24

                                                                         

                          г                                                   д

                      Рис. 25                                                         Рис. 26

пересекает плоскость проекций.

Такой вариант задания плоскости называют заданием плоскости следами. На рисунке 25  показана плоскость Q. Прямые, по которым плоскость пересекает плоскости проекций, называются следами плоскости:

QH – горизонтальный след плоскости Q,

QV  -  фронтальный след плоскости Q,

Q W – профильный след плоскости Q.

Точки пересечения плоскости с  осями проекций (Qx , Qy ,Qz ) называются точками схода следов.

Чтобы построить след плоскости, необходимо построить одноименные следы двух прямых, лежащих в этой плоскости (рис 26).

         Сопоставляя между собой наглядное изображение ( рис.25) и его плоскостную модель – эпюр Монжа (рис. 26), мы видим, что задание плоскости следами обладает преимуществом перед другими вариантами. Ее изображение на эпюре:

во-первых, сохраняет наглядность изображения, что позволяет легко представить положение плоскости в пространстве;

во-вторых – при задании плоскости следами требуется указать только две прямые вместо четырех (рис. 24 в , 24г ), или шести (рис. 24д ).

Показанная на рисунке 25 и 26 плоскость Q,  занимает общее (произвольное) положение по отношению к плоскостям проекций (углы наклона этой плоскости к плоскостям проекций – произвольные, но отличные от 0 и 900). Такая плоскость называется плоскостью общего положения.

На рис 26   видно, что на эпюре Монжа следы плоскости общего положения составляют с осью проекции также произвольные углы. Угол между следами плоскости на эпюре не равен углу, образованному ими в пространстве. Действительно, в точке схода следов находится вершина трехгранного угла, две грани которого совпадают с плоскостями проекций. Сумма двух плоских углов данного трехгранного угла больше третьего плоского угла.

Частные случаи расположения плоскостей

Кроме рассмотренного общего случая, плоскость по отношению к плоскостям проекций может занимать следующие частные положения:

  1.  перпендикулярное к плоскости проекции,
  2.  параллельное плоскости проекции.

Плоскости, перпендикулярные к плоскостям проекций, называются проецирующими. При этом плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей (рис.45), плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций – фронтально-проецирующей (рис. 27).   

Рисунки 27 и 28 дают наглядное представление о проецирующих плоскостях и их задании на эпюре Монжа, причем одна и та же горизонтально-проецирующая плоскость Q задана следами и треугольником (рис. 45), и фронтально-проецирую Р – следами и треугольником ВСК (рис. 46). 

На ту плоскость проекций, к которой плоскость перпендикулярна, она проецируется в прямую линию. Эту проекцию можно рассматривать и как

                                                         

                                                  Рис. 27

след плоскости. Кроме того, на эту плоскость проекций в натуральную величину проецируются углы наклона данной плоскости к двум другим плоскостям проекций.                                                                

                                                    Рис. 28

                           

Рис.29

Плоскости, параллельные плоскости проекций, называют плоскостями уровня. 

Рис. 30

Плоскость Q (рис. 29), параллельную фронтальной плоскости проекций (эта плоскость одновременно перпендикулярна двум другим плоскостям проеций), называют плоскостью фронтального уровня или фронтальной. На горизонтальную плоскость проекций она проецируется в прямую, параллельную оси ОХ, все что в ней находится ( вданном случае треугольник АВС ) проецируется в эту линию – ее горизонтальный след. На фронтальную плоскость проекций геометрические образы, находящиеся в этой плоскости, проецируются без искажения ( в натуральную величину – вданном случае величина фронтальной проекции треугольника равна величине сомого треугольника). Эта плоскость не имеет фронтального следа.

Плоскость R  (рис. 30), параллельную горизонтальной плоскости проекций, называют горизонтальной или плоскость горизонтального уровня или горизонтальной. На горизозонтальную плоскость  проекций треугольник АВС, находящийся в плоскости фронтального уровня R, проецируется без искажения, а на фронтальную – в линию параллельную оси ОХ, являющуюся фронтальным следом плоскости R.

Параллельные плоскости.

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

На рисунке 31 построена плоскость, проходящая через точку К параллельная плоскости, заданной пересекающимися прямыми АВ и АС.

                 Рис. 31                                                            Рис. 32

.  

СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГОЧЕРТЕЖА

Многие  задачи решаются легко и просто, если прямые линии, плоские фигуры (основания, грани, ребра, оси) рассматриваемых геометрических тел находятся в частном положении. Такое частное, наивыгоднейшее взаимное расположение геометрического элемента и плоскостей проекций может быть обеспечено преобразованием чертежа.

Трудоемкость и, как следствие, точность графического решения задач часто зависит не только от сложности задачи, но и от того, какое положение занимают геометрические образы, входящие в условие задачи, по отношению к плоскостям проекций.

Для упрощения решения метрических и позиционных задач применяют различные методы преобразования ортогональных проекций. После таких преобразований новые проекции позволяют решать задачу минимальными графическими средствами.

Переход от общего положения геометрического образа к частному можно осуществить изменением взаимного положения проецируемого объекта и плоскости проекции. При ортогональном проецировании это может быть достигнуто двумя путями:

во-первых – перемещением в пространстве проецируемого объекта так, чтобы он занял частное положение относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения в пространстве;

во-вторых – выбором новой плоскости проекций, по отношению к которой проецируемый объект, не меняющий своего положения в пространстве, окажется в частном положении.

Первый способ лежит в основе метода вращения (и как частные случаи: совмещения и плоско-параллельного перемещения); второй – составляет теоретическую базу способа замены плоскостей проекций.

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.

Метод перемены плоскостей проекций

Способ замены плоскостей проекций состоит в том, что одна из плоскостей заменяется на новую. Эта плоскость выбирается перпендикулярно оставшейся плоскости проекций. Геометрический элемент при этом не меняет своего положения в пространстве. Новую плоскость располагают так, чтобы по отношению к ней геометрический элемент занимала частное положение, удобное для решения задачи.  

Перемену плоскостей проекций можно производить несколько раз.

На рисунке 33 показано преобразование проекции точки А из системы HV в систему HV1 , в которой вместо фронтальной плоскости проекций введена новая вертикальная плоскость V1, а горизонтальная плоскость проекций осталась неизменной. Получаем новую систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей H и V1. В новой системе горизонтальная проекция точки осталась неизменной. Проекция a1/ точки А на новую плоскость V1 находится от плоскости H на том же расстоянии что и проекция a / точки А на плоскости V. Это условие позволяет легко строить проекции точки на комплексном чертеже (рис. 34) на новой плоскости проекций.

Используя вышеизложенное сделаем заключение: расстояние от старой проекции точки до старой оси, равно расстоянию от новой проекции точки до новой оси.

                                                        Рис. 35

На рисунке 35 показано нахождение натуральной величины отрезка АВ и углов наклона его к горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций.

При замене фронтальной плоскости проекций V на новую V1 (она вводится перпендикулярной оставшейся горизонтальной плоскости проекйи H и параллельно отрезку АВ ) новая ось x1 проводится параллельно горизонтальной проекции отрезка (x1 // ab ). Используя правило ортогонального проецирования (проекционные линии связи всегда перпендикулярны оси проекций) и условие получения новой проекции точки при замене плоскостей проекций,   находим новую проекцию прямой АВ – a1 / b1/

Полученная проекция по величине есть натуральная величина отрезка АВ, здесь же находится угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости проекций.

При замене горизонтальной плоскости проекций (новая плоскость вводится параллельной отрезку в пространстве и перпендикулярно оставшейся фронтальной плоскости проекций), получаем опять-таки натуральную величину отрезка и угол наклона его к фронтальной плоскости проекций.

При замене последовательно горизонтальной и фронтальной плоскостей проекции получаем в новой системе плоскостей прямую АВ в виде точки, т. е. в новой системе апрямая становится проецирующей.

                                           

 Многогранники

Гранной поверхностью называется поверхность, образованная перемещением прямолинейной образующей по ломаной направляющей. Гранные поверхности можно подразделить на два вида: пирамидальные и призматические.

Часть пространства, ограниченная со всех сторон поверхностью, называется телом.

Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Рассмотрение многогранников ограничим рассмотрением призм и пирамид.

Призмой называется многогранник, у которого одинаковые взаимно параллельные грани – основания, а остальные – боковые грани – параллелограммы. Если ребра боковых граней перпендикулярны основанию, то призму называют прямой. Для задания призмы достаточно задать одно ее основание и боковое ребро.

Пирамида представляет собой многогранник, у которого одна грань – произвольный многоугольник, принимающейся за основание, а остальные грани (боковые) – треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды.

Сечение многогранников плоскостью

В сечении гранных поверхностей плоскостями получаются многоугольники, вершины которых определяются как точки пересечения ребер гранных поверхностей с секущей плоскостью.

Многоугольник сечения может быть найден двумя путями:

  •  вершины многоугольника находятся как точки пересечения прямых (ребер) с секущей плоскостью;
  •  стороны многоугольника находятся как линии пересечения плоскостей (граней) многогранника с секущей плоскостью.

                             

                                                          Рис.36

На рисунке 36 построено сечение  пирамиды фронтально проецирующей плоскостью.

Секущая плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, следовательно, все линии, лежащие в этой плоскости, в том числе и фигура сечения на фронтальной проекции, совпадут с фронтальным следом плоскости. Таким образом, фронтальная проекция фигуры сечения 1,2,3,4 определится при пересечении фронтальных проекций ребер пирамиды со следом  плоскости. Горизонтальные проекции этих точек находим, проводя проекционные линии связи на горизонтальную проекцию соответствующих ребер.

Пирамида с вырезом

На рисунке 37  показано построение пирамиды с вырезом (как результат сечения пирамиды несколькими проецирующими плоскостями). В данном случае вырез образован тремя плоскостями: горизонтальной (плоскость горизонтального уровня) - Q, фронтально проецирующей - R и профильной – H. Горизонтальная плоскость Q пересекает боковую поверхность пирамиды по пятиугольнику 1 11 12 4 13, стороны которого параллельны сторонам основания пирамиды, в пределах выреза имеет ломаную линию 2 1 6 5 4 3. Фронтально проецирующая плоскость R в пределах выреза пересекает боковую поверхность пирамиды по ломаной линии 3 8 9 10 2.  Профильная плоскость H пересекает в пределах выреза боковую поверхность пирамиды по ломаной линии 6 7 5. Полученные точки соединяют с учетом видимости в указанной последовательности (чтобы две точки принадлежали одной секущей плоскости и одной грани пирамиды).  

Рис. 37

Тела вращения

Рассмотрим некоторые из многочисленных поверхностей вращения.

Поверхности, образованные вращением прямой линии. К таковым относятся цилиндр и конус.

Цилиндр вращения поверхность, полученная вращением прямой вокруг параллельной ей оси и ограниченная двумя взаимно параллельными плоскостями.

Сечение цилиндра плоскостью.

При сечении цилиндра вращения плоскостью, параллельной оси вращения, в сечении получается пара прямых (образующих). Если секущая плоскость перпендикулярна к оси вращения, в сечении получается окружность. В общем случае, когда секущая плоскость наклонена к оси вращения цилиндра, в сечении получается эллипс.

                                                   Рис.  38

На рисунке 38 показан пример построения проекций линии сечения цилиндра фронтально проецирующей плоскостью Q, когда в сечении получается эллипс.

Фронтальная проекция фигуры сечения в этом случае совпадает с фронтальным следом плоскости, а горизонтальная – с горизонтальной проекцией поверхности цилиндра – окружностью. Профильная проекция строится по двум имеющимся проекциям – горизонтальной и фронтальной.

Конус вращения – поверхность, образованная вращением прямой (образующая) вокруг пересекающейся с ней осью (направляющая).

Сечение конуса плоскостью

В зависимости от положения секущей плоскости в сечении конуса вращения могут получиться различные линии, называемые линиями конических сечений.

Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, в его сечении получается пара прямых – образующих (треугольник). В результате пересечения конуса плоскостью, перпендикулярной к оси конуса, получается окружность. Если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса и не проходит через ее вершину, в сечении конуса могут получиться эллипс (секущая плоскость пересекает все образующие конуса); парабола (секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса)  или гипербола (в этом случае секущая плоскость параллельна двум образующим конуса) в зависимости от угла наклона секущей плоскости (рис.39).

Рис. 39

Известно, что точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-либо линии этой поверхности. Для конуса графически наиболее простыми линиями являются образующие и окружности. Следовательно, если по условию задачи требуется найти горизонтальные проекции точек, принадлежащих поверхности конуса, то нужно через точки провести одну из этих линий.

                                                    Рис.40

На рисунке 40 дан пример построения проекций линии сечения конуса фронтально проецирующей плоскостью, когда в сечении получается эллипс.

Для построения кривой линии, получаемой при пересечении конической поверхности плоскостью, в общем случае находят точки пересечения образующих конической поверхности с секущей плоскостью. Для этого можно поделить основание конуса на равное число частей (обычно 12), провести горизонтальные проекции образующих  s1,s2,.... s12 и строят их фронтальные проекции. На фронтальной проекции отмечают фронтальные проекции точек пересечения построенных образующих с фронтальным следом секущей плоскости Q. Горизонтальные проекции строят в проекционной связи на соответствующих проекциях образующих. Профильная проекция линии сечения конуса  плоскость Q построена по фронтальной и горизонтальной проекциям точек в проекционной связи.

Конус с вырезом.

               На рисунке 41 показан конус, в котором выполнен вырез, образованный тремя плоскостями частного положения.

                                                          Рис. 41

При сечении конуса горизонтально проецирующей плоскостью Р в сечении образуется окружность соответствующего радиуса. Горизонтальные проекции точек 1,2,9,10,11,12  находятся на горизонтальной проекции этой окружности. Точки 11,12 принадлежат профильному очерку конуса. Линия выреза от этой плоскости в пределах выреза с одной сторону конуса – 1,11,9 и с другой – 2,12,10.

При сечении конуса фронтально проецирующей плоскость R в сечении образуется парабола. Точки 3,4,7,8 находятся путем проведения через них образующих конуса. Найдя на горизонтальной плоскости эти образующие, проецируем на них соответствующие точки. Профильные проекции этих точек находим по полученным фронтальным и горизонтальным. Соответственно линии сечения от этой плоскости в пределах выреза получаем с одной стороны конуса: 3,5,7,9 и с другой – 4,6,8,10.

При сечении конуса  плоскостью профильного уровня Q в образуется гипербола. Конечные точки данной линии уже получены, для более точного построения можно взять еще пару промежуточных (13,14). Линия сечения от этой плоскости в пределах выреза 3,1 с одной стороны и 1,4 – с другой.

Полученные куски линии сечения шара с вырезом соединяем с учетом видимости. Принимая конус за сплошное тело, проводим на проекциях невидимые линии перегибов плоскостей, образующих вырез.

Примером поверхностей, образованных вращением окружности вокруг неподвижной оси является сфера.

Сфера поверхность, полученная вращением окружности вокруг ее диаметра.

Сечение шара плоскостью

Если шар пересекать плоскостью, то в сечении всегда получается окружность. Эта окружность может спроецироваться:

  •  в прямую, если секущая  плоскость перпендикулярна к плоскости проекций;
  •  в окружность с радиусом, равным расстоянию от оси вращения шара до очерка, если секущая плоскость параллельна какой-либо плоскости проекций;
  •  в эллипс, если секущая плоскость не параллельна ни одной из плоскостей проекций.

Чтобы построить проекции точки, лежащей на поверхности шара, необходимо через нее провести секущую плоскость, параллельную какой-либо плоскости проекций, и построить окружность, на которой находится эта точка

На рисунке 42 показано построение проекций линии сечения шара фронтально проецирующей плоскость.

Рис. 42

Построение начинаем с определения характерных точек. Точки 1 и 2 находятся на фронтальном очерке шара (главном меридиане). Эти точки – концы малой оси эллипса, а также самая высокая и самая низкая точки. Их горизонтальные и профильные проекции находятся на соответствующих окружностях шара, которые на горизонтальной и профильной плоскостях совпадают с осями. Точки 3 и 4 находятся на профильном очерке шара (профильном меридиане) и служат для определения видимости на профильной плоскости проекций. Горизонтальные проекции этих точек находятся по фронтальным и профильным. Точки 5 и 6 находятся на горизонтальном очерке шара (экваторе) и служат для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций. Профильные проекции этих точек находим по горизонтальным и фронтальным проекциям. Точки 7 и 8 принадлежат концам большой оси эллипса. Они строятся следующим образом. Вначале найдена фронтальная проекция точки 0', центра окружности сечения, как середина отрезка 1'2', затем ее горизонтальная проекция точка 0. Отрезки 0¢1¢ и 0'¢2'  на фронтальной проекции равны истиной величине радиуса этой окружности. На горизонтальной проекции диаметр окружности изображается без искажения, поэтому откладываем отрезки 07 и 08, равные 0'1'. Для точного построения линии сечения необходимо найти несколько дополнительных точек. Для их построения используются вспомогательные секущие плоскости (например, плоскости горизонтального уровня T и P, которые в сечении дают окружность на горизонтальной плоскости. Полученные точки соединяют плавной кривой с учетом их видимости.

Шар с вырезом

На рисунке 43 показано построение проекций  шара с вырезом, образованным тремя плоскостями частного положения.

                                                       Рис. 43

При сечении шара горизонтально проецирующей плоскость Р в сечении образуется окружность соответствующего радиуса. Горизонтальные проекции точек 1,2,15,16,13,14 находятся на горизонтальной проекции полученной окружности. Профильные проекции этих точек находятся из уже построенных фронтальных и горизонтальных. Кусочки линии сечения от этой плоскости с одной стороны шара: 1,15,13 и с другой – 2,16,14.

При сечении шара плоскость профильного уровня Q в сечении получается окружность, которая на горизонтальную плоскость проецируется в прямую, а на профильную – в окружность соответствующего радиуса. Точки 9,11,13, находящиеся на этой окружности образуют кусок линии сечения в пределах выреза с одной стороны и точки 10,12,14 – с другой. Точки 11,12 находятся на горизонтальном очерке шара.

При сечении шара фронтально проецирующей плоскость R в сечении образуются эллипсы на горизонтально и профильных плоскостях проекций. Точки 3,4 находятся на горизонтальном очерке шара. Тогда по имеющимся фронтальной и горизонтальной проекциям этих точек строим соответственно профильные. Куски линии сечения шара в пределах выреза от соответствующей плоскости с одной стороны шара: 1,3,5,7,9 и с другой – 2,4,6,8,10.

Соединяем соответствующие куски линии сечения с учетом видимости. Принимая шар за сплошное тело, проводим невидимые линии перегибов плоскостей выреза.

Литература

  1.  Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии: Учеб. пособие. –М.:Наука.1988.
  2.  Бубенников А.В., Громов М.Я. Начертательная геометрия. М.: Высшая школа, 1973.
  3.  Фролов С.А. Начертательная геометрия: Учеб. для вузов. – М.: Машиностроение, 1983.  

























  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75051. Берегите око от монитора 505 KB
  Целью моей исследовательской работы стало изучение влияния компьютера на здоровье школьников а именно влияние компьютера на зрение ребёнка исходя из этого были поставлены следующие задачи: Задачи: Проанализировать влияние компьютера на зрение учащихся.
75052. Исследование динамики распространения вируса гриппа среди населения 114.5 KB
  В последние дни апреля 2009 года в средствах массовой информации появилось сообщение о появлении в Мексике нового вируса гриппа. Жертвами заболевания в Мексике стали в основном взрослые люди от 25 до 45 лет отличительная черта пандемического гриппа. человек 165 населения том числе...
75053. Формирование желаемого поведения (на примере кошки) 92 KB
  Цель моей работы - изучение теории подкрепления и её практическое применение в воспитании домашней кошки Василисы. Мной поставлены задачи: познакомиться с теорией подкрепления желаемого поведения, изучить законы подкрепления, применить принципы подкрепления на практике.
75054. Памятники 63 KB
  Памятники –- это не только архитектурные сооружения со своими композиционными особенностями но это прежде всего история. А история нашего города –- это памятники которые могут о многом поведать: и смутные годы гражданской войны и героические страницы Великой Отечественной и давно забытый...
75055. Каспий. Карты прошлого и настоящего 970.5 KB
  Свое название море получило от имени древних племен - каспиев, населявших среднее и юго-восточное Закавказье во втором тысячелетии до нашей эры. В первом тысячелетии до нашей эры соседние племена оттеснили каспиев в юго-западную часть побережья, которое получило название Каспиана.
75056. Диета и ее последствия 656.5 KB
  Цель работы: Определить позитивные и негативные стороны диет. Гипотеза: Не каждая диета является подходящей для любого организма. Задачи: Проследить историю диет. Изучить виды диет. Опросить девушек разных возрастных групп Провести анкетирование среди девушек нашей школы «Как я отношусь к диетам»
75057. Особенности почв участка Кожуховского затона 334 KB
  Существенным и неотъемлемым качеством почвы является её плодородие. Плодородие почвы называют её способность обеспечивать растения необходимым количеством питательных элементов воды и воздуха.
75058. Абак. Реконструкция римского абака 348 KB
  Первыми приспособлениями для вычислений были вероятно всем известные счётные палочки которые и сегодня используются в начальных классах многих школ для обучения счёту. Абак - счётная доска применявшаяся для арифметических вычислений приблизительно с IV века до н.
75059. Инновации и информационные технологии в образовании 873.89 KB
  Одаренность –- системное развивающееся в течение жизни качество психики которое определяет возможность достижения человеком более высоких результатов в одном или нескольких видах деятельности по сравнению с другими людьми.