35025

Датчики случайных чисел

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

В ряде шифровальных алгоритмов используется бесконечная гамма случайных чисел, обладающих рядом качеств и параметров (диапазон изменений, максимальное и минимальное значение, частотность и другие).

Русский

2014-03-24

811.54 KB

26 чел.

Лабораторная работа №3

Датчики случайных чисел.

Цель работы.

Изучение датчиков случайных чисел, математическая реализация простого датчика случайных чисел в MathCad.

Теоретическая часть.

В ряде шифровальных алгоритмов используется бесконечная гамма случайных чисел, обладающих рядом качеств и параметров (диапазон изменений, максимальное и минимальное значение, частотность и другие).

В основе этих методов получения случайных чисел, распределенных по любым законам, так же лежит использование генератора случайных чисел в интервале 0…1. Наибольшее распространение получили следующие методы генерирования:

  1. квадратов;
  2. произведений;
  3. мультипликативный конгруэнтный;
  4. смешанный конгруэнтный.

Метод квадратов. В квадрат возведено текущее случайное число и из результатов средних разрядов выделяется следующее число.
Метод произведений. Два следующих друг за другом случайных числа умножают а из произведения средних разрядов выделяют следующее случайное число.
Мультипликативный конгруэнтный метод. В качестве текущего значения случайного числа выделяют остаток от деления произведения предыдущего случайного числа и постоянного множителя a на постоянное число m:

yi=a*yi-1*(mod m),

где a, m -постоянные числа; yi - случайное число.
Смешанный конгруэнтный метод. Этот метод отличается от предыдущего прибавлением к остатку от деления постоянного числа m:

yi=a*yi-1+m*(mod m),

Перечисленные методы также обладают своими недостатками, поэтому датчики случайных чисел, реализованные на их основе проверяют. Различают три типа проверки: 

  1. на периодичность;
  2. на случайность;
  3. на равномерность.

Для определения длины периода генерируют случайные числа и сравнивают их с зарегистрированным числом, подсчитывая количество случайных чисел, полученных до совпадения с зарегистрированным числом.

При проверке на случайность используют совокупность тестов проверки: частот; пар; комбинаций; серий; корреляции.   
В первых четырех тестах осуществляется разбиение диапазона распределения на t интервалов и выполняется подсчет количества попаданий случайных чисел в выделенные интервалы. Полученное эмпирическое распределение сравнивается с теоретическим. Для сравнения используются критерии согласия Колмогорова и c2.

Тест проверки корреляции заключается в определении коэффициента корреляции. При этом выполняются следующие действия: запускают два генератора случайных чисел на отрезке апериодичности с некоторой разницей между собой, затем подсчитывают коэффициент корреляции между собой.
При поверке на равномерность используется тест проверки частот, так как гистограмма хорошо отражает равномерность распределения.

В данной лабораторной работе необходимо ознакомиться с двумя датчиками случайных чисел, один из которых – встроенный датчик случайных чисел RND в системе MathCad, а второй датчик реализующий мультипликативный конгруэнтный датчик.

Так называемый мультипликативный конгруэнтный датчик задается двумя параметрами: модулем m и множителем k. Обычно это достаточно большие целые числа.

При заданных m, k числа z1, z2, ..., вычиcляются по рекуррентной формуле:

Ai = (kAi -1) mod m, i = 1, 2,...,                     

zi = Ai / m,

где m - модуль, k - множитель, A0 - начальное значение, mod - операция вычисления остатка от деления kAi -1 на m.

Таким образом, A1 определяется как остаток от деления  kA0 на m; A2 - как остаток от деления kA1 на m и т.д. Поскольку все числа Ai - это остатки от деления на m, то 0 Ј  Ai < m. Разделив последнее неравенство на m, видим, что 0 Ј Ai / m< 1, т. е. 0 Ј zi <1.

Из неравенства 0 Ј Ai < m вытекает также, что датчик дает периодическую последовательность Ai. Действительно, число всех возможных остатков от 0 до m - 1 равно m и, рано или поздно, на каком-то шаге i обязательно появится значение Ai, уже встречавшееся ранее. С этого момента последовательность Ai “зациклится".

Длина периода T будет не больше m - 1. Например, если встретится остаток Ai= 0, то далее, согласно рекуррентной формуле , будет Ai+ 1 = 0, Ai+ 2 = 0, ... , т.е. длина периода T = 1. Ненулевых же остатков в интервале 0Ј Ai < m всего m - 1, и, если все они войдут в период, будет T = m - 1. Это имеет место, например, при m = 13, k = 7; в этом случае ряд Ai выглядит так:

                        1, 7, 10, 5, 9, 11, 12, 6, 3, 8, 4, 2,            1, 7,... .
\_________________________/

            T = m - 1 = 12

Поскольку в качестве случайной можно использовать лишь подпоследовательность Ai внутри одного периода, то параметры датчика выбирают так, чтобы длина периода T была максимальной. С учетом ограничения TЈ m - 1 модуль m берут максимально возможным. Чтобы упростить вычисление остатков по (2.5), для двоичных ЭВМ часто берут m = 2n. Рекомендуется также брать достаточно большой множитель k, причем взаимно простой с m.

В [30] можно найти подробные рекомендации по выбору параметров m, k и начального значения A0 . Заметим, однако, что в настоящее время не известны правила, которые гарантировали бы высокое качество датчика без его специального статистического тестирования.

Датчик называют мультипликативно-конгруэнтным потому, что он использует две основные операции - умножение (англ. multiplication) и вычисление остатка (в теории чисел - получение конгруэнтного числа). Можно было бы поэтому перевести его название и как "множительно-остатковый датчик".

Обратим внимание также и на то, что операция вычисления остатка воплощает здесь неймановский принцип вытаскивания цифр. Это становится очевидным, если записывать числа в системе счисления с основанием m. Тогда операция X mod m означает выбор последней цифры из числа X. Для m = 2n операция X mod m означает также выделение последних n цифр из двоичной записи числа X.

Функцию выполняющую роль датчика случайных чисел в системе MathCad, является функция rnd(x), где х максимальное значение случайного числа. Для получения характеристик гаммы так же понадобятся функции: mean(x), max(x), stdev(x), var(x), min(x).

Для наглядной иллюстрации равномерности распределения, а так же гистограммы распределения необходимо применить графический аппарат MathCad.

В математической системе MathCad есть возможность построение 2х и 3х мерных графиков.

Рис.1 Общий вид графика функции

Рис.2 меню форматирования графика

Рис.3 меню управления графиками функций

Задание для лабораторной  работы.

1)Используя датчик случайных чисел системы MathCad, получить последовательность из 1000 чисел, в диапазоне от 0 до 10, и построить гистограмму распределения случайных чисел, при помощи встроенной функции hist(int,x).

2)Реализовать мультипликативный конгруэнтный датчик, выдающий последовательность из 1000 случайных чисел, по заданному числу А, и фиксированных m=2^36, k=5^15, при условии, что случайные числа должны находится в диапазоне от 0 до 10.

Порядок выполнения работ.

1-ое задание

  1. Согласно заданию необходимо задать диапазон последовательности от 0 до 1000.
  2. При помощи функции “rnd” задаем диапазон от  0 до 10.
  3. Вывести последовательность из 1000 чисел.

  1. Задать диапазон от 0 до 10 и присвоить его значению intj.
  2. Присваиваем переменной (например f) функцию hist(int,y)
  3. Строим гистограмму распределения случайных чисел.

2-ое задание

  1. Задать согласно заданию на лабораторную работу модуль - m, множитель - k, начальное значение – A0 (любое число от 1 до 20).
  2. Согласно заданию необходимо задать диапазон последовательности от 1 до 1000.
  3. Записать рекуррентную формулу (Ai, zi).
  4. Вывести zi последовательность из 1000 чисел.

  1. Вывести zi последовательность из 1000 чисел в виде графика.

  1. Задать диапазон от 0 до 10 и присвоить его значению intj.
  2. Присваиваем переменной (например f) функцию hist(int,x)
  3. Строим гистограмму распределения случайных чисел.

Контрольные вопросы.

  1. Где применяются датчики случайных чисел?
  2. Четыре методы генерирования случайных чисел?
  3. Построение декартова графика в системе MathCad, форматирование графика, реализация нескольких графиков функций от одного аргумента на одном графике?
  4. Три типа проверки с генерированных датчиков случайных чисел?
  5. Реализация мультипликативного конгруэнтного метода?

Содержание отчета.

1.Отчет должен быть выполнен на бумаге формата А4.

2.Отчет должен содержать  краткую теорию по теме работы.

3.Отчет должен содержать текст программ MathCad с комментариями.

4.Отчет должен содержать выводы о проделанной лабораторной работе.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29092. Источники гражданского права. Гражданское законодательство. Действие гражданских законов 37 KB
  Источники гражданского права. Источники гражданского права внешнее выражение гражданскоправовых норм. Являются источниками гражданского права: Конституция РФ ГК РФ ФЗ и законы субъектов Подзаконные акты Указы президента Постановления правительства Ведомственные акты Общепризнанные принципы и нормы международного права Обычаи делового оборота Не являются источниками гражданского права постановления Пленумов Верховного Суда РФ постановления Высшего Арбитражного Суда РФ. При этом нормы гражданского права содержащиеся в других...
29093. Гражданское правоотношение (понятие, структура, виды) 31 KB
  Гражданское правоотношение это урегулированное нормами гражданского права правоотношение возникающее между юридически равными субъектами по поводу имущества а также нематериальных благ выражающаяся в наличие у них субъективных прав и обязанностей. Структура гражданских правоотношений: Субъект: Физические лица граждане иностранцы лица без гражданства Юридические лица российские иностранные Публичноправовые образования органы МСУ Объект: Имущественные вещи деньги ценные бумаги Интеллектуальные права Личные...
29094. Юридические факты в гражданском праве. Законодательные основания возникновения гражданских прав и обязанностей 31 KB
  Юридические факты делятся на: события обстоятельства не зависящие от воли человека стихийные бедствия действия обстоятельства зависящие от воли человека.
29095. Физические лица как субъекты гражданского права (правоспособность, дееспособность, ограничение и лишение дееспособности, эмансипация) 33.5 KB
  Физические лица как субъекты гражданского права правоспособность дееспособность ограничение и лишение дееспособности эмансипация. Физические лица как субъекты гражданского права: граждане РФ иностранцы лица без гражданства Правосубъектность способность лица иметь и осуществлять непосредственно или через представителя юридические права и обязанности т. быть субъектом права. Правосубъектность включает в себя: Правоспособность потенциальная способность физического лица иметь гражданские права и нести обязанности возможность иметь...
29096. Понятие и признаки юридического лица 13.33 KB
  лица: организационное единство внутренняя структура организации факт государственной регистрации наличие органов управления наличие учредительных документов имущественная обособленность обязательный учёт имущества на самостоятельном балансе либо по смете наличие имущества правовой режим имущественного допуска право собственности у большинства право оперативного управления Рап РФ право хозяйственного ведения Муниципальных унитарных предприятий самостоятельная имущественная ответственность возможность обращения кредиторами...
29097. Теории создания и юридических лиц 24.5 KB
  Теория фикции юридическое лицо это искусственное образование фактически не существующее так как за ним стоит лицо его создавшее. Фридрих фон Савинье Реалистическая теория особый организм с собственной волей. Теория социалистической реальности юридическое лицо служит решению государственных задач Генкин Теория коллектива работники воспринимаются как единое целое имеющие много прав. Теория директора руководитель представляет юридическое лицо.
29098. Классификация юр.лиц 13.31 KB
  В зависимости от формы собственности: государственные частные негосударственные По составу учредителей: Юридические лица учредителями которых являются только юридические лица союзы и ассоциации Только государственные унитарные предприятия Любые субъекты гражданского права все остальные юридические лица В зависимости от форм собственности: оперативного управления на имущество учреждения казённые предприятия хозяйственного ведения государственные и муниципальные предприятия кроме казённых собственности на имущество все...
29099. Признаки и виды некоммерческих предприятий 13.83 KB
  Виды некоммерческих организаций: потребительских кооперативов общественных или религиозных организаций объединений учреждений благотворительных и иных фондов а также в других формах предусмотренных законом. Допускается создание объединений коммерческих и или некоммерческих организаций в форме ассоциаций и союзов. Признаки некоммерческой организации: не имеющая в качестве основной цели своей деятельности извлечение прибыли и не распределяющая полученную прибыль между участниками могут создаваться для достижения социальных...
29100. Признаки и виды коммерческих организаций 13.09 KB
  Обладают обособленным имуществом на права собственности хозяйственного ведения или оперативного управления иного вещного права; имущество может быть арендованным; Отвечают по своим обязательствам принадлежащим им имуществом; Приобретают и осуществляют от своего имени имущественные и неимущественные права; несут обязанности; Могут быть истцом и ответчиком в суде.