35025

Датчики случайных чисел

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

В ряде шифровальных алгоритмов используется бесконечная гамма случайных чисел, обладающих рядом качеств и параметров (диапазон изменений, максимальное и минимальное значение, частотность и другие).

Русский

2014-03-24

811.54 KB

27 чел.

Лабораторная работа №3

Датчики случайных чисел.

Цель работы.

Изучение датчиков случайных чисел, математическая реализация простого датчика случайных чисел в MathCad.

Теоретическая часть.

В ряде шифровальных алгоритмов используется бесконечная гамма случайных чисел, обладающих рядом качеств и параметров (диапазон изменений, максимальное и минимальное значение, частотность и другие).

В основе этих методов получения случайных чисел, распределенных по любым законам, так же лежит использование генератора случайных чисел в интервале 0…1. Наибольшее распространение получили следующие методы генерирования:

  1. квадратов;
  2. произведений;
  3. мультипликативный конгруэнтный;
  4. смешанный конгруэнтный.

Метод квадратов. В квадрат возведено текущее случайное число и из результатов средних разрядов выделяется следующее число.
Метод произведений. Два следующих друг за другом случайных числа умножают а из произведения средних разрядов выделяют следующее случайное число.
Мультипликативный конгруэнтный метод. В качестве текущего значения случайного числа выделяют остаток от деления произведения предыдущего случайного числа и постоянного множителя a на постоянное число m:

yi=a*yi-1*(mod m),

где a, m -постоянные числа; yi - случайное число.
Смешанный конгруэнтный метод. Этот метод отличается от предыдущего прибавлением к остатку от деления постоянного числа m:

yi=a*yi-1+m*(mod m),

Перечисленные методы также обладают своими недостатками, поэтому датчики случайных чисел, реализованные на их основе проверяют. Различают три типа проверки: 

  1. на периодичность;
  2. на случайность;
  3. на равномерность.

Для определения длины периода генерируют случайные числа и сравнивают их с зарегистрированным числом, подсчитывая количество случайных чисел, полученных до совпадения с зарегистрированным числом.

При проверке на случайность используют совокупность тестов проверки: частот; пар; комбинаций; серий; корреляции.   
В первых четырех тестах осуществляется разбиение диапазона распределения на t интервалов и выполняется подсчет количества попаданий случайных чисел в выделенные интервалы. Полученное эмпирическое распределение сравнивается с теоретическим. Для сравнения используются критерии согласия Колмогорова и c2.

Тест проверки корреляции заключается в определении коэффициента корреляции. При этом выполняются следующие действия: запускают два генератора случайных чисел на отрезке апериодичности с некоторой разницей между собой, затем подсчитывают коэффициент корреляции между собой.
При поверке на равномерность используется тест проверки частот, так как гистограмма хорошо отражает равномерность распределения.

В данной лабораторной работе необходимо ознакомиться с двумя датчиками случайных чисел, один из которых – встроенный датчик случайных чисел RND в системе MathCad, а второй датчик реализующий мультипликативный конгруэнтный датчик.

Так называемый мультипликативный конгруэнтный датчик задается двумя параметрами: модулем m и множителем k. Обычно это достаточно большие целые числа.

При заданных m, k числа z1, z2, ..., вычиcляются по рекуррентной формуле:

Ai = (kAi -1) mod m, i = 1, 2,...,                     

zi = Ai / m,

где m - модуль, k - множитель, A0 - начальное значение, mod - операция вычисления остатка от деления kAi -1 на m.

Таким образом, A1 определяется как остаток от деления  kA0 на m; A2 - как остаток от деления kA1 на m и т.д. Поскольку все числа Ai - это остатки от деления на m, то 0 Ј  Ai < m. Разделив последнее неравенство на m, видим, что 0 Ј Ai / m< 1, т. е. 0 Ј zi <1.

Из неравенства 0 Ј Ai < m вытекает также, что датчик дает периодическую последовательность Ai. Действительно, число всех возможных остатков от 0 до m - 1 равно m и, рано или поздно, на каком-то шаге i обязательно появится значение Ai, уже встречавшееся ранее. С этого момента последовательность Ai “зациклится".

Длина периода T будет не больше m - 1. Например, если встретится остаток Ai= 0, то далее, согласно рекуррентной формуле , будет Ai+ 1 = 0, Ai+ 2 = 0, ... , т.е. длина периода T = 1. Ненулевых же остатков в интервале 0Ј Ai < m всего m - 1, и, если все они войдут в период, будет T = m - 1. Это имеет место, например, при m = 13, k = 7; в этом случае ряд Ai выглядит так:

                        1, 7, 10, 5, 9, 11, 12, 6, 3, 8, 4, 2,            1, 7,... .
\_________________________/

            T = m - 1 = 12

Поскольку в качестве случайной можно использовать лишь подпоследовательность Ai внутри одного периода, то параметры датчика выбирают так, чтобы длина периода T была максимальной. С учетом ограничения TЈ m - 1 модуль m берут максимально возможным. Чтобы упростить вычисление остатков по (2.5), для двоичных ЭВМ часто берут m = 2n. Рекомендуется также брать достаточно большой множитель k, причем взаимно простой с m.

В [30] можно найти подробные рекомендации по выбору параметров m, k и начального значения A0 . Заметим, однако, что в настоящее время не известны правила, которые гарантировали бы высокое качество датчика без его специального статистического тестирования.

Датчик называют мультипликативно-конгруэнтным потому, что он использует две основные операции - умножение (англ. multiplication) и вычисление остатка (в теории чисел - получение конгруэнтного числа). Можно было бы поэтому перевести его название и как "множительно-остатковый датчик".

Обратим внимание также и на то, что операция вычисления остатка воплощает здесь неймановский принцип вытаскивания цифр. Это становится очевидным, если записывать числа в системе счисления с основанием m. Тогда операция X mod m означает выбор последней цифры из числа X. Для m = 2n операция X mod m означает также выделение последних n цифр из двоичной записи числа X.

Функцию выполняющую роль датчика случайных чисел в системе MathCad, является функция rnd(x), где х максимальное значение случайного числа. Для получения характеристик гаммы так же понадобятся функции: mean(x), max(x), stdev(x), var(x), min(x).

Для наглядной иллюстрации равномерности распределения, а так же гистограммы распределения необходимо применить графический аппарат MathCad.

В математической системе MathCad есть возможность построение 2х и 3х мерных графиков.

Рис.1 Общий вид графика функции

Рис.2 меню форматирования графика

Рис.3 меню управления графиками функций

Задание для лабораторной  работы.

1)Используя датчик случайных чисел системы MathCad, получить последовательность из 1000 чисел, в диапазоне от 0 до 10, и построить гистограмму распределения случайных чисел, при помощи встроенной функции hist(int,x).

2)Реализовать мультипликативный конгруэнтный датчик, выдающий последовательность из 1000 случайных чисел, по заданному числу А, и фиксированных m=2^36, k=5^15, при условии, что случайные числа должны находится в диапазоне от 0 до 10.

Порядок выполнения работ.

1-ое задание

  1. Согласно заданию необходимо задать диапазон последовательности от 0 до 1000.
  2. При помощи функции “rnd” задаем диапазон от  0 до 10.
  3. Вывести последовательность из 1000 чисел.

  1. Задать диапазон от 0 до 10 и присвоить его значению intj.
  2. Присваиваем переменной (например f) функцию hist(int,y)
  3. Строим гистограмму распределения случайных чисел.

2-ое задание

  1. Задать согласно заданию на лабораторную работу модуль - m, множитель - k, начальное значение – A0 (любое число от 1 до 20).
  2. Согласно заданию необходимо задать диапазон последовательности от 1 до 1000.
  3. Записать рекуррентную формулу (Ai, zi).
  4. Вывести zi последовательность из 1000 чисел.

  1. Вывести zi последовательность из 1000 чисел в виде графика.

  1. Задать диапазон от 0 до 10 и присвоить его значению intj.
  2. Присваиваем переменной (например f) функцию hist(int,x)
  3. Строим гистограмму распределения случайных чисел.

Контрольные вопросы.

  1. Где применяются датчики случайных чисел?
  2. Четыре методы генерирования случайных чисел?
  3. Построение декартова графика в системе MathCad, форматирование графика, реализация нескольких графиков функций от одного аргумента на одном графике?
  4. Три типа проверки с генерированных датчиков случайных чисел?
  5. Реализация мультипликативного конгруэнтного метода?

Содержание отчета.

1.Отчет должен быть выполнен на бумаге формата А4.

2.Отчет должен содержать  краткую теорию по теме работы.

3.Отчет должен содержать текст программ MathCad с комментариями.

4.Отчет должен содержать выводы о проделанной лабораторной работе.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35444. Проблемы административного расследования в таможенных органах в период реформирования таможенного законодательства 484.5 KB
  Объектом дипломного исследования являются общественные отношения, складывающиеся в процессе производства по делам об административных правонарушениях, связанные с проведением административного расследования, предметом - административное расследование в механизме производства по делам об административных правонарушениях.
35445. Хирургия. Шпаргалка 451 KB
  Предраковые заболевания толстой и прямой кишки. Дивертикулы дивертикулез ободочной кишки. Полипозное поражение ободочной кишки облигатный предрак которое может быть в виде: Одиночных полипов аденоматозный ворсичатый которые малигнизируются в 45 случаев особенно полипы величиной более 2 см; ворсинчатые полипы озлокачествляются чаще. Множественного полипоза ободочной кишки который.
35446. ПСИХИАТР, ПСИХОТЕРАПЕВТ, ПСИХОЛОГ – WHO ЕСТЬ КТО 35.5 KB
  В тот день я подумал идя домой что одна из главных проблем всех заинтересованных в этом споре сторон определиться в терминах к примеру понятие параноидный для психиатра это не совсем то что вкладывает в него психолог и нет числа этим трудностям перевода. При этом все и психиатры и психологи занимаются психотерапией на вполне законных основаниях и порой небезуспешно Еще одна проблема илиили: двух мнений быть не может существует только единственно правильное учение и психотерапевт который его исповедует а все...
35447. СТРОЕНИЕ, РАЗВИТИЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ОТДЕЛОВ НЕРВНОЙ СИСТЕМЫ 15.49 KB
  В центре спинного мозга расположено серое вещество скопление нервных клеток нейронов окруженное белым веществом образованным нервными волокнами. Рефлексы мочеиспускания и дефекации рефлекторного набухания полового члена л иззержснчс семени у мужчины эрекция и ЭЯКУЛЯЦИЯ также связаны с функцией спинного мозга.Спинной мозг осуществляет и проводниковую функцию нервные волокна составляющие основную массу белого вещества образуют проводящее SjTH сииндаго мозга.Деятельность спинного мозга у человека в значительной подчинена координирующим...
35448. My Favourite Film Romeo and Juliet 14.76 KB
  And Ill try to tell you about this film. In the town of Verona there were two rich families, the Capulets and the Montagues. There was an old quarrel between those two families. One day Capulet made a great supper. At that supper Romeo saw Juliet and fell in love with her at ones.
35449. Gone with the wind. My Favourite Film 17.43 KB
  I don't like horror films nd I find them quite disgusting. Sometimes I my wtch police drm or historicl film but I'm not very keen on these types of films. Now let me tell you bout one of my fvourite films Gone with the wind by the novel by Mrgret Mitchell.
35450. Высшая нервная деятельность детей на протяжении первых 3 лет жизни 13.23 KB
  Высшая нервная деятельность детей раннего возраста характеризуется неуравновешенностью двух основных нервных процессов: процессы возбуждения преобладают над процессами торможения. В поведении детей много широко разлитых иррадиированных реакций. Поэтому нельзя требовать от детей быстрого прекращения начатого ими действия или выполнения какоголибо движения и быстрого переключения с одного действия на другое.
35451. Условные и безусловные рефлексы 10.8 KB
  Безусловные рефлексы природный запас готовых стереотипных реакций организма. Безусловные рефлексы одинаковы у всех особей одного вида. Условные рефлексы Но поведение высших животных и человека характеризуется не только врожденными т.
35452. Мотивация и емоции 10.94 KB
  На основании мотиваций формируется поведения ведущее к удовлетворению исходной потребности. Под эмоциями следует понимать определенное состояние организма человека и высших животных которое формируется под влиянием внешней или внутренней потребности или мысленного представления и сопровождается комплексом соматических и вегетативных сдвигов имеющих адаптационное значение. Таким образом эмоции следует рассматривать в качестве своеобразной приспособительной реакции которая формируется в процессе эволюции.