35025

Датчики случайных чисел

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

В ряде шифровальных алгоритмов используется бесконечная гамма случайных чисел, обладающих рядом качеств и параметров (диапазон изменений, максимальное и минимальное значение, частотность и другие).

Русский

2014-03-24

811.54 KB

33 чел.

Лабораторная работа №3

Датчики случайных чисел.

Цель работы.

Изучение датчиков случайных чисел, математическая реализация простого датчика случайных чисел в MathCad.

Теоретическая часть.

В ряде шифровальных алгоритмов используется бесконечная гамма случайных чисел, обладающих рядом качеств и параметров (диапазон изменений, максимальное и минимальное значение, частотность и другие).

В основе этих методов получения случайных чисел, распределенных по любым законам, так же лежит использование генератора случайных чисел в интервале 0…1. Наибольшее распространение получили следующие методы генерирования:

  1. квадратов;
  2. произведений;
  3. мультипликативный конгруэнтный;
  4. смешанный конгруэнтный.

Метод квадратов. В квадрат возведено текущее случайное число и из результатов средних разрядов выделяется следующее число.
Метод произведений. Два следующих друг за другом случайных числа умножают а из произведения средних разрядов выделяют следующее случайное число.
Мультипликативный конгруэнтный метод. В качестве текущего значения случайного числа выделяют остаток от деления произведения предыдущего случайного числа и постоянного множителя a на постоянное число m:

yi=a*yi-1*(mod m),

где a, m -постоянные числа; yi - случайное число.
Смешанный конгруэнтный метод. Этот метод отличается от предыдущего прибавлением к остатку от деления постоянного числа m:

yi=a*yi-1+m*(mod m),

Перечисленные методы также обладают своими недостатками, поэтому датчики случайных чисел, реализованные на их основе проверяют. Различают три типа проверки: 

  1. на периодичность;
  2. на случайность;
  3. на равномерность.

Для определения длины периода генерируют случайные числа и сравнивают их с зарегистрированным числом, подсчитывая количество случайных чисел, полученных до совпадения с зарегистрированным числом.

При проверке на случайность используют совокупность тестов проверки: частот; пар; комбинаций; серий; корреляции.   
В первых четырех тестах осуществляется разбиение диапазона распределения на t интервалов и выполняется подсчет количества попаданий случайных чисел в выделенные интервалы. Полученное эмпирическое распределение сравнивается с теоретическим. Для сравнения используются критерии согласия Колмогорова и c2.

Тест проверки корреляции заключается в определении коэффициента корреляции. При этом выполняются следующие действия: запускают два генератора случайных чисел на отрезке апериодичности с некоторой разницей между собой, затем подсчитывают коэффициент корреляции между собой.
При поверке на равномерность используется тест проверки частот, так как гистограмма хорошо отражает равномерность распределения.

В данной лабораторной работе необходимо ознакомиться с двумя датчиками случайных чисел, один из которых – встроенный датчик случайных чисел RND в системе MathCad, а второй датчик реализующий мультипликативный конгруэнтный датчик.

Так называемый мультипликативный конгруэнтный датчик задается двумя параметрами: модулем m и множителем k. Обычно это достаточно большие целые числа.

При заданных m, k числа z1, z2, ..., вычиcляются по рекуррентной формуле:

Ai = (kAi -1) mod m, i = 1, 2,...,                     

zi = Ai / m,

где m - модуль, k - множитель, A0 - начальное значение, mod - операция вычисления остатка от деления kAi -1 на m.

Таким образом, A1 определяется как остаток от деления  kA0 на m; A2 - как остаток от деления kA1 на m и т.д. Поскольку все числа Ai - это остатки от деления на m, то 0 Ј  Ai < m. Разделив последнее неравенство на m, видим, что 0 Ј Ai / m< 1, т. е. 0 Ј zi <1.

Из неравенства 0 Ј Ai < m вытекает также, что датчик дает периодическую последовательность Ai. Действительно, число всех возможных остатков от 0 до m - 1 равно m и, рано или поздно, на каком-то шаге i обязательно появится значение Ai, уже встречавшееся ранее. С этого момента последовательность Ai “зациклится".

Длина периода T будет не больше m - 1. Например, если встретится остаток Ai= 0, то далее, согласно рекуррентной формуле , будет Ai+ 1 = 0, Ai+ 2 = 0, ... , т.е. длина периода T = 1. Ненулевых же остатков в интервале 0Ј Ai < m всего m - 1, и, если все они войдут в период, будет T = m - 1. Это имеет место, например, при m = 13, k = 7; в этом случае ряд Ai выглядит так:

                        1, 7, 10, 5, 9, 11, 12, 6, 3, 8, 4, 2,            1, 7,... .
\_________________________/

            T = m - 1 = 12

Поскольку в качестве случайной можно использовать лишь подпоследовательность Ai внутри одного периода, то параметры датчика выбирают так, чтобы длина периода T была максимальной. С учетом ограничения TЈ m - 1 модуль m берут максимально возможным. Чтобы упростить вычисление остатков по (2.5), для двоичных ЭВМ часто берут m = 2n. Рекомендуется также брать достаточно большой множитель k, причем взаимно простой с m.

В [30] можно найти подробные рекомендации по выбору параметров m, k и начального значения A0 . Заметим, однако, что в настоящее время не известны правила, которые гарантировали бы высокое качество датчика без его специального статистического тестирования.

Датчик называют мультипликативно-конгруэнтным потому, что он использует две основные операции - умножение (англ. multiplication) и вычисление остатка (в теории чисел - получение конгруэнтного числа). Можно было бы поэтому перевести его название и как "множительно-остатковый датчик".

Обратим внимание также и на то, что операция вычисления остатка воплощает здесь неймановский принцип вытаскивания цифр. Это становится очевидным, если записывать числа в системе счисления с основанием m. Тогда операция X mod m означает выбор последней цифры из числа X. Для m = 2n операция X mod m означает также выделение последних n цифр из двоичной записи числа X.

Функцию выполняющую роль датчика случайных чисел в системе MathCad, является функция rnd(x), где х максимальное значение случайного числа. Для получения характеристик гаммы так же понадобятся функции: mean(x), max(x), stdev(x), var(x), min(x).

Для наглядной иллюстрации равномерности распределения, а так же гистограммы распределения необходимо применить графический аппарат MathCad.

В математической системе MathCad есть возможность построение 2х и 3х мерных графиков.

Рис.1 Общий вид графика функции

Рис.2 меню форматирования графика

Рис.3 меню управления графиками функций

Задание для лабораторной  работы.

1)Используя датчик случайных чисел системы MathCad, получить последовательность из 1000 чисел, в диапазоне от 0 до 10, и построить гистограмму распределения случайных чисел, при помощи встроенной функции hist(int,x).

2)Реализовать мультипликативный конгруэнтный датчик, выдающий последовательность из 1000 случайных чисел, по заданному числу А, и фиксированных m=2^36, k=5^15, при условии, что случайные числа должны находится в диапазоне от 0 до 10.

Порядок выполнения работ.

1-ое задание

  1. Согласно заданию необходимо задать диапазон последовательности от 0 до 1000.
  2. При помощи функции “rnd” задаем диапазон от  0 до 10.
  3. Вывести последовательность из 1000 чисел.

  1. Задать диапазон от 0 до 10 и присвоить его значению intj.
  2. Присваиваем переменной (например f) функцию hist(int,y)
  3. Строим гистограмму распределения случайных чисел.

2-ое задание

  1. Задать согласно заданию на лабораторную работу модуль - m, множитель - k, начальное значение – A0 (любое число от 1 до 20).
  2. Согласно заданию необходимо задать диапазон последовательности от 1 до 1000.
  3. Записать рекуррентную формулу (Ai, zi).
  4. Вывести zi последовательность из 1000 чисел.

  1. Вывести zi последовательность из 1000 чисел в виде графика.

  1. Задать диапазон от 0 до 10 и присвоить его значению intj.
  2. Присваиваем переменной (например f) функцию hist(int,x)
  3. Строим гистограмму распределения случайных чисел.

Контрольные вопросы.

  1. Где применяются датчики случайных чисел?
  2. Четыре методы генерирования случайных чисел?
  3. Построение декартова графика в системе MathCad, форматирование графика, реализация нескольких графиков функций от одного аргумента на одном графике?
  4. Три типа проверки с генерированных датчиков случайных чисел?
  5. Реализация мультипликативного конгруэнтного метода?

Содержание отчета.

1.Отчет должен быть выполнен на бумаге формата А4.

2.Отчет должен содержать  краткую теорию по теме работы.

3.Отчет должен содержать текст программ MathCad с комментариями.

4.Отчет должен содержать выводы о проделанной лабораторной работе.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73981. Режим «народної демократії» в Польщі (1945-1948) 258.5 KB
  Зі створенням ПОРП у країні фактично розпочався процес формування тоталітарного політичного режиму. Узявши за взірець сталінську модель соціалізму керівництво ПОРП намагалося силовими методами в надзвичайно стислі строки здійснити перебудову польського суспільства.
73982. ПОЛЬСЬКА ДЕРЖАВА В ПЕРІОД ПРАВЛІННЯ ДИНАСТІЇ ЯГЕЛЛОНІВ (КІНЕЦЬ ХIV-ХVІ ст.) 519 KB
  Політичний розвиток Польщі наприкінці XIV в першій половині XV ст. Боротьба з німецькою експансією Формування становопредставницької монархії Соціальноекономічний розвиток Польщі Польськолитовські відносини. Польська культура ПОЛІТИЧНИЙ РОЗВИТОК ПОЛЬЩІ НАПРИКІНЦІ XIV В ПЕРШІЙ ПОЛОВИНІ ХV СТ. З метою зміцнення позицій нової королівської династії у Великій Польщі Ельжбета здійснила ряд нововведень: заснувала спеціальні суди які розглядали справи щодо повернення шляхті конфіскованих у неї маєтків; надала привілеї деяким...
73983. Національно-визвольний рух у польських землях наприкінці ХVІІІ–в 60-х роках ХІХст 222 KB
  Відсутність власної держави відчули на собі всі верстви польського суспільства. Шляхту було позбавлено громадянських і політичних прав, якими вона користувалася протягом кількох століть, зокрема можливості брати участь у законотворчості і встановленні розміру податків
73984. Річ Посполита XVII - наприкінці XVIII століттях 247 KB
  Нову династію в Речі Посполитій започаткували вибори на польський престол у 1587 р., на яких обрали фактично двох королів. Примас (глава католицької церкви) Станіслав Карнковський проголосив королем шведського принца Сигіз-мунда. РІЧ ПОСПОЛИТА В XVII - НАПРИКІНЦІ XVIII століттях
73985. Технология приготовления изделия из слоеного теста с начинкой «Курник» 218 KB
  Познакомиться с ассортиментом блюд из птицы. Дать общую характеристику мясных блюд из птицы и изделий из слоеного теста. Показать технологию приготовления куриного рулета. Изучить классификацию блюд из слоеного теста...
73986. Оптимизация системы ведения полеводства в КФХ «Прогресс» Красноперекопского района Республики Крым 5.84 MB
  Оптимальная структура посевных площадей и научно обоснованное чередование культур занимает одно из ведущих мест в повышении их урожайности. Структура посевных площадей (процентное соотношение площадей, засеваемых различными группами культур) определяется производственной направленностью уровнем материально-технического снабжения хозяйства
73987. Проведение уроков информатики по теме: «Кодирование информации» с использованием интернет-технологий 1.03 MB
  В данной дипломной работе показаны примерные уроки для изучения темы «Кодирование информации» в средней школе. Достигнута цель работы изучение и применение методов обучения темы «Кодирование информации» в средней школе. Не смотря на сложность материала большого объема информации на тему «Кодирование информации» в школьном планирование уделено крайне мало часов
73988. Специфика партиципарной коммуникации в газетах мурманской области (на примере городской газеты города Мурманска «Вечерний Мурманск») 354 KB
  Выявить особенности развития партиципарной журналистики в современных российских печатных СМИ, рассмотреть приемы и специфику организации взаимоотношений регионального печатного издания и его аудитории, выявить перспективные методы реализации принципов партиципарности...