35025

Датчики случайных чисел

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

В ряде шифровальных алгоритмов используется бесконечная гамма случайных чисел, обладающих рядом качеств и параметров (диапазон изменений, максимальное и минимальное значение, частотность и другие).

Русский

2014-03-24

811.54 KB

29 чел.

Лабораторная работа №3

Датчики случайных чисел.

Цель работы.

Изучение датчиков случайных чисел, математическая реализация простого датчика случайных чисел в MathCad.

Теоретическая часть.

В ряде шифровальных алгоритмов используется бесконечная гамма случайных чисел, обладающих рядом качеств и параметров (диапазон изменений, максимальное и минимальное значение, частотность и другие).

В основе этих методов получения случайных чисел, распределенных по любым законам, так же лежит использование генератора случайных чисел в интервале 0…1. Наибольшее распространение получили следующие методы генерирования:

  1. квадратов;
  2. произведений;
  3. мультипликативный конгруэнтный;
  4. смешанный конгруэнтный.

Метод квадратов. В квадрат возведено текущее случайное число и из результатов средних разрядов выделяется следующее число.
Метод произведений. Два следующих друг за другом случайных числа умножают а из произведения средних разрядов выделяют следующее случайное число.
Мультипликативный конгруэнтный метод. В качестве текущего значения случайного числа выделяют остаток от деления произведения предыдущего случайного числа и постоянного множителя a на постоянное число m:

yi=a*yi-1*(mod m),

где a, m -постоянные числа; yi - случайное число.
Смешанный конгруэнтный метод. Этот метод отличается от предыдущего прибавлением к остатку от деления постоянного числа m:

yi=a*yi-1+m*(mod m),

Перечисленные методы также обладают своими недостатками, поэтому датчики случайных чисел, реализованные на их основе проверяют. Различают три типа проверки: 

  1. на периодичность;
  2. на случайность;
  3. на равномерность.

Для определения длины периода генерируют случайные числа и сравнивают их с зарегистрированным числом, подсчитывая количество случайных чисел, полученных до совпадения с зарегистрированным числом.

При проверке на случайность используют совокупность тестов проверки: частот; пар; комбинаций; серий; корреляции.   
В первых четырех тестах осуществляется разбиение диапазона распределения на t интервалов и выполняется подсчет количества попаданий случайных чисел в выделенные интервалы. Полученное эмпирическое распределение сравнивается с теоретическим. Для сравнения используются критерии согласия Колмогорова и c2.

Тест проверки корреляции заключается в определении коэффициента корреляции. При этом выполняются следующие действия: запускают два генератора случайных чисел на отрезке апериодичности с некоторой разницей между собой, затем подсчитывают коэффициент корреляции между собой.
При поверке на равномерность используется тест проверки частот, так как гистограмма хорошо отражает равномерность распределения.

В данной лабораторной работе необходимо ознакомиться с двумя датчиками случайных чисел, один из которых – встроенный датчик случайных чисел RND в системе MathCad, а второй датчик реализующий мультипликативный конгруэнтный датчик.

Так называемый мультипликативный конгруэнтный датчик задается двумя параметрами: модулем m и множителем k. Обычно это достаточно большие целые числа.

При заданных m, k числа z1, z2, ..., вычиcляются по рекуррентной формуле:

Ai = (kAi -1) mod m, i = 1, 2,...,                     

zi = Ai / m,

где m - модуль, k - множитель, A0 - начальное значение, mod - операция вычисления остатка от деления kAi -1 на m.

Таким образом, A1 определяется как остаток от деления  kA0 на m; A2 - как остаток от деления kA1 на m и т.д. Поскольку все числа Ai - это остатки от деления на m, то 0 Ј  Ai < m. Разделив последнее неравенство на m, видим, что 0 Ј Ai / m< 1, т. е. 0 Ј zi <1.

Из неравенства 0 Ј Ai < m вытекает также, что датчик дает периодическую последовательность Ai. Действительно, число всех возможных остатков от 0 до m - 1 равно m и, рано или поздно, на каком-то шаге i обязательно появится значение Ai, уже встречавшееся ранее. С этого момента последовательность Ai “зациклится".

Длина периода T будет не больше m - 1. Например, если встретится остаток Ai= 0, то далее, согласно рекуррентной формуле , будет Ai+ 1 = 0, Ai+ 2 = 0, ... , т.е. длина периода T = 1. Ненулевых же остатков в интервале 0Ј Ai < m всего m - 1, и, если все они войдут в период, будет T = m - 1. Это имеет место, например, при m = 13, k = 7; в этом случае ряд Ai выглядит так:

                        1, 7, 10, 5, 9, 11, 12, 6, 3, 8, 4, 2,            1, 7,... .
\_________________________/

            T = m - 1 = 12

Поскольку в качестве случайной можно использовать лишь подпоследовательность Ai внутри одного периода, то параметры датчика выбирают так, чтобы длина периода T была максимальной. С учетом ограничения TЈ m - 1 модуль m берут максимально возможным. Чтобы упростить вычисление остатков по (2.5), для двоичных ЭВМ часто берут m = 2n. Рекомендуется также брать достаточно большой множитель k, причем взаимно простой с m.

В [30] можно найти подробные рекомендации по выбору параметров m, k и начального значения A0 . Заметим, однако, что в настоящее время не известны правила, которые гарантировали бы высокое качество датчика без его специального статистического тестирования.

Датчик называют мультипликативно-конгруэнтным потому, что он использует две основные операции - умножение (англ. multiplication) и вычисление остатка (в теории чисел - получение конгруэнтного числа). Можно было бы поэтому перевести его название и как "множительно-остатковый датчик".

Обратим внимание также и на то, что операция вычисления остатка воплощает здесь неймановский принцип вытаскивания цифр. Это становится очевидным, если записывать числа в системе счисления с основанием m. Тогда операция X mod m означает выбор последней цифры из числа X. Для m = 2n операция X mod m означает также выделение последних n цифр из двоичной записи числа X.

Функцию выполняющую роль датчика случайных чисел в системе MathCad, является функция rnd(x), где х максимальное значение случайного числа. Для получения характеристик гаммы так же понадобятся функции: mean(x), max(x), stdev(x), var(x), min(x).

Для наглядной иллюстрации равномерности распределения, а так же гистограммы распределения необходимо применить графический аппарат MathCad.

В математической системе MathCad есть возможность построение 2х и 3х мерных графиков.

Рис.1 Общий вид графика функции

Рис.2 меню форматирования графика

Рис.3 меню управления графиками функций

Задание для лабораторной  работы.

1)Используя датчик случайных чисел системы MathCad, получить последовательность из 1000 чисел, в диапазоне от 0 до 10, и построить гистограмму распределения случайных чисел, при помощи встроенной функции hist(int,x).

2)Реализовать мультипликативный конгруэнтный датчик, выдающий последовательность из 1000 случайных чисел, по заданному числу А, и фиксированных m=2^36, k=5^15, при условии, что случайные числа должны находится в диапазоне от 0 до 10.

Порядок выполнения работ.

1-ое задание

  1. Согласно заданию необходимо задать диапазон последовательности от 0 до 1000.
  2. При помощи функции “rnd” задаем диапазон от  0 до 10.
  3. Вывести последовательность из 1000 чисел.

  1. Задать диапазон от 0 до 10 и присвоить его значению intj.
  2. Присваиваем переменной (например f) функцию hist(int,y)
  3. Строим гистограмму распределения случайных чисел.

2-ое задание

  1. Задать согласно заданию на лабораторную работу модуль - m, множитель - k, начальное значение – A0 (любое число от 1 до 20).
  2. Согласно заданию необходимо задать диапазон последовательности от 1 до 1000.
  3. Записать рекуррентную формулу (Ai, zi).
  4. Вывести zi последовательность из 1000 чисел.

  1. Вывести zi последовательность из 1000 чисел в виде графика.

  1. Задать диапазон от 0 до 10 и присвоить его значению intj.
  2. Присваиваем переменной (например f) функцию hist(int,x)
  3. Строим гистограмму распределения случайных чисел.

Контрольные вопросы.

  1. Где применяются датчики случайных чисел?
  2. Четыре методы генерирования случайных чисел?
  3. Построение декартова графика в системе MathCad, форматирование графика, реализация нескольких графиков функций от одного аргумента на одном графике?
  4. Три типа проверки с генерированных датчиков случайных чисел?
  5. Реализация мультипликативного конгруэнтного метода?

Содержание отчета.

1.Отчет должен быть выполнен на бумаге формата А4.

2.Отчет должен содержать  краткую теорию по теме работы.

3.Отчет должен содержать текст программ MathCad с комментариями.

4.Отчет должен содержать выводы о проделанной лабораторной работе.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35754. Котел-утилизатор для охлаждения конвертерных газов В-90Б 364.5 KB
  Рациональное использование топливно-энергетических ресурсов-важнейшая задача, значимость которой все возрастает. Значительная экономия топливно-энергетических ресурсов может быть достигнута при более широком вовлечении в топливно-энергетический баланс страны вторичных..
35755. Дорожный набор. Творческий проект 162.5 KB
  5 Развитие идеи6 Изготовление набора6 Инструкция по сборке скрепера 7 Оценка стоимости готового изделия.Процес изготовления изделия.Анализ готового изделия. Своей задачей я ставлю увеличение функций данного набора и увеличение прочности изделия.
35756. Скрепер волокуша. Творческий проект 190.5 KB
  Инструменты и оборудование Круглопильный станок Сверлильный станок Электрическая дрель Рубанок Ножницы по металлу Напильник драчевый Отвёртка Набор свёрл Кернер Киянка Молоток Стамеска Инструкция по изготовлению скрепера.5мм 055метр 500 руб. 110 руб.7 м 30 руб.
35757. Проектирование и разработка фирменного блюда 353.5 KB
  Выполнение теоретической части предусматривает самостоятельный выбор рецепта фирменного блюд, выполнение технологических расчётов по составлению рецептуры на данное блюдо, с чётом потерь при механической и тепловой обработках, расчетов массы полуфабриката и выхода готового изделия. По окончании выполнения расчётов, они проверяются и утверждаются преподавателем.
35758. Подари радость детям 20.55 MB
  Хорошево 2012 Содержание Введение Аннотация Характеристика территории БДОУ План работ Бюджет проекта Предполагаемые результаты Вывод Введение Дошкольный возраст время когда закладываются самые глубинные оценки окружающего мира. Проект Подари радость детям предусматривает благоустройство и декоративное оформление участков территории детского сада в деревне Хорошево Грязовецкого района Вологодской области приобретение игрового комплекса и его установка строительство нового забора и ремонт...
35759. Вишивка ікони бісером 174.5 KB
  Призначення виробу різноманітне. По-перше кому не подобається гарна яскрава картина, та ще й ікона? Це може бути дуже гарним і приємним подарунком мамі, бабусі, сестрі, татові та і будь-якій близькій тобі людині
35760. Хрящи гортани, особенности их строения и развития у детей, изменения в период мутации 15.64 KB
  Наибольший из них — непарный щитовидный хрящ, у которого различают две соединённых между собой под почти прямым (у мужчин) или тупым (120° у женщин) углом четырёхугольные пластинки. От задних краёв пластинок отходит две пары рожек (верхние и нижние).
35761. Ференц Ліст 315.5 KB
  Біографія Ференц Ліст народився в селі Доборьян австрійська назва Райдинг біля міста Шопрон Угорщина Батьки 1 Батьки Франца Ліста Адам Ліст 1776 1826 служив у князя Естергазі доглядачем поголів'я овець. Після закінчення католицької гімназії в Прессбурзі нині Братислава Адам Ліст став послушником в францисканському ордені але через два роки вирішив з нього піти. Він на все життя зберіг дружбу з одним із францисканців що як припускають деякі дослідники надихнуло його назвати сина Францем а сам Ліст також підтримуючи зв'язки...
35762. Вітраж «Вічність». Творчий проект 10.02 MB
  Історія вітража і вітражного мистецтва сягає своїм корінням у часи раннього середньовіччя. Спрощення стосується лише технології але не до художніх достоїнств вітража тут все залежить від здібностей і смаку. Розмір і форма вітража завжди залежать від того місця куди його встановлять. Слід зменшити краю шаблонів на товщину металу з якого виготовляють жилку що скріпляє окремі частини вітража.