35025

Датчики случайных чисел

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

В ряде шифровальных алгоритмов используется бесконечная гамма случайных чисел, обладающих рядом качеств и параметров (диапазон изменений, максимальное и минимальное значение, частотность и другие).

Русский

2014-03-24

811.54 KB

25 чел.

Лабораторная работа №3

Датчики случайных чисел.

Цель работы.

Изучение датчиков случайных чисел, математическая реализация простого датчика случайных чисел в MathCad.

Теоретическая часть.

В ряде шифровальных алгоритмов используется бесконечная гамма случайных чисел, обладающих рядом качеств и параметров (диапазон изменений, максимальное и минимальное значение, частотность и другие).

В основе этих методов получения случайных чисел, распределенных по любым законам, так же лежит использование генератора случайных чисел в интервале 0…1. Наибольшее распространение получили следующие методы генерирования:

  1. квадратов;
  2. произведений;
  3. мультипликативный конгруэнтный;
  4. смешанный конгруэнтный.

Метод квадратов. В квадрат возведено текущее случайное число и из результатов средних разрядов выделяется следующее число.
Метод произведений. Два следующих друг за другом случайных числа умножают а из произведения средних разрядов выделяют следующее случайное число.
Мультипликативный конгруэнтный метод. В качестве текущего значения случайного числа выделяют остаток от деления произведения предыдущего случайного числа и постоянного множителя a на постоянное число m:

yi=a*yi-1*(mod m),

где a, m -постоянные числа; yi - случайное число.
Смешанный конгруэнтный метод. Этот метод отличается от предыдущего прибавлением к остатку от деления постоянного числа m:

yi=a*yi-1+m*(mod m),

Перечисленные методы также обладают своими недостатками, поэтому датчики случайных чисел, реализованные на их основе проверяют. Различают три типа проверки: 

  1. на периодичность;
  2. на случайность;
  3. на равномерность.

Для определения длины периода генерируют случайные числа и сравнивают их с зарегистрированным числом, подсчитывая количество случайных чисел, полученных до совпадения с зарегистрированным числом.

При проверке на случайность используют совокупность тестов проверки: частот; пар; комбинаций; серий; корреляции.   
В первых четырех тестах осуществляется разбиение диапазона распределения на t интервалов и выполняется подсчет количества попаданий случайных чисел в выделенные интервалы. Полученное эмпирическое распределение сравнивается с теоретическим. Для сравнения используются критерии согласия Колмогорова и c2.

Тест проверки корреляции заключается в определении коэффициента корреляции. При этом выполняются следующие действия: запускают два генератора случайных чисел на отрезке апериодичности с некоторой разницей между собой, затем подсчитывают коэффициент корреляции между собой.
При поверке на равномерность используется тест проверки частот, так как гистограмма хорошо отражает равномерность распределения.

В данной лабораторной работе необходимо ознакомиться с двумя датчиками случайных чисел, один из которых – встроенный датчик случайных чисел RND в системе MathCad, а второй датчик реализующий мультипликативный конгруэнтный датчик.

Так называемый мультипликативный конгруэнтный датчик задается двумя параметрами: модулем m и множителем k. Обычно это достаточно большие целые числа.

При заданных m, k числа z1, z2, ..., вычиcляются по рекуррентной формуле:

Ai = (kAi -1) mod m, i = 1, 2,...,                     

zi = Ai / m,

где m - модуль, k - множитель, A0 - начальное значение, mod - операция вычисления остатка от деления kAi -1 на m.

Таким образом, A1 определяется как остаток от деления  kA0 на m; A2 - как остаток от деления kA1 на m и т.д. Поскольку все числа Ai - это остатки от деления на m, то 0 Ј  Ai < m. Разделив последнее неравенство на m, видим, что 0 Ј Ai / m< 1, т. е. 0 Ј zi <1.

Из неравенства 0 Ј Ai < m вытекает также, что датчик дает периодическую последовательность Ai. Действительно, число всех возможных остатков от 0 до m - 1 равно m и, рано или поздно, на каком-то шаге i обязательно появится значение Ai, уже встречавшееся ранее. С этого момента последовательность Ai “зациклится".

Длина периода T будет не больше m - 1. Например, если встретится остаток Ai= 0, то далее, согласно рекуррентной формуле , будет Ai+ 1 = 0, Ai+ 2 = 0, ... , т.е. длина периода T = 1. Ненулевых же остатков в интервале 0Ј Ai < m всего m - 1, и, если все они войдут в период, будет T = m - 1. Это имеет место, например, при m = 13, k = 7; в этом случае ряд Ai выглядит так:

                        1, 7, 10, 5, 9, 11, 12, 6, 3, 8, 4, 2,            1, 7,... .
\_________________________/

            T = m - 1 = 12

Поскольку в качестве случайной можно использовать лишь подпоследовательность Ai внутри одного периода, то параметры датчика выбирают так, чтобы длина периода T была максимальной. С учетом ограничения TЈ m - 1 модуль m берут максимально возможным. Чтобы упростить вычисление остатков по (2.5), для двоичных ЭВМ часто берут m = 2n. Рекомендуется также брать достаточно большой множитель k, причем взаимно простой с m.

В [30] можно найти подробные рекомендации по выбору параметров m, k и начального значения A0 . Заметим, однако, что в настоящее время не известны правила, которые гарантировали бы высокое качество датчика без его специального статистического тестирования.

Датчик называют мультипликативно-конгруэнтным потому, что он использует две основные операции - умножение (англ. multiplication) и вычисление остатка (в теории чисел - получение конгруэнтного числа). Можно было бы поэтому перевести его название и как "множительно-остатковый датчик".

Обратим внимание также и на то, что операция вычисления остатка воплощает здесь неймановский принцип вытаскивания цифр. Это становится очевидным, если записывать числа в системе счисления с основанием m. Тогда операция X mod m означает выбор последней цифры из числа X. Для m = 2n операция X mod m означает также выделение последних n цифр из двоичной записи числа X.

Функцию выполняющую роль датчика случайных чисел в системе MathCad, является функция rnd(x), где х максимальное значение случайного числа. Для получения характеристик гаммы так же понадобятся функции: mean(x), max(x), stdev(x), var(x), min(x).

Для наглядной иллюстрации равномерности распределения, а так же гистограммы распределения необходимо применить графический аппарат MathCad.

В математической системе MathCad есть возможность построение 2х и 3х мерных графиков.

Рис.1 Общий вид графика функции

Рис.2 меню форматирования графика

Рис.3 меню управления графиками функций

Задание для лабораторной  работы.

1)Используя датчик случайных чисел системы MathCad, получить последовательность из 1000 чисел, в диапазоне от 0 до 10, и построить гистограмму распределения случайных чисел, при помощи встроенной функции hist(int,x).

2)Реализовать мультипликативный конгруэнтный датчик, выдающий последовательность из 1000 случайных чисел, по заданному числу А, и фиксированных m=2^36, k=5^15, при условии, что случайные числа должны находится в диапазоне от 0 до 10.

Порядок выполнения работ.

1-ое задание

  1. Согласно заданию необходимо задать диапазон последовательности от 0 до 1000.
  2. При помощи функции “rnd” задаем диапазон от  0 до 10.
  3. Вывести последовательность из 1000 чисел.

  1. Задать диапазон от 0 до 10 и присвоить его значению intj.
  2. Присваиваем переменной (например f) функцию hist(int,y)
  3. Строим гистограмму распределения случайных чисел.

2-ое задание

  1. Задать согласно заданию на лабораторную работу модуль - m, множитель - k, начальное значение – A0 (любое число от 1 до 20).
  2. Согласно заданию необходимо задать диапазон последовательности от 1 до 1000.
  3. Записать рекуррентную формулу (Ai, zi).
  4. Вывести zi последовательность из 1000 чисел.

  1. Вывести zi последовательность из 1000 чисел в виде графика.

  1. Задать диапазон от 0 до 10 и присвоить его значению intj.
  2. Присваиваем переменной (например f) функцию hist(int,x)
  3. Строим гистограмму распределения случайных чисел.

Контрольные вопросы.

  1. Где применяются датчики случайных чисел?
  2. Четыре методы генерирования случайных чисел?
  3. Построение декартова графика в системе MathCad, форматирование графика, реализация нескольких графиков функций от одного аргумента на одном графике?
  4. Три типа проверки с генерированных датчиков случайных чисел?
  5. Реализация мультипликативного конгруэнтного метода?

Содержание отчета.

1.Отчет должен быть выполнен на бумаге формата А4.

2.Отчет должен содержать  краткую теорию по теме работы.

3.Отчет должен содержать текст программ MathCad с комментариями.

4.Отчет должен содержать выводы о проделанной лабораторной работе.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1619. Основы получения здорового приплода и профилактики болезней новорожденных 20.26 KB
  Получение крепких и жизнеспособных телят во многом зависит от состояния здоровья коров, их кормления и содержания в период осеменения и беременности. Особое значение имеет правильный и своевременный запуск беременных коров.
1620. Особенности строения половых органов коров 20.02 KB
  Вульва коров морщинистой кожей, дорсальный угол половой щели закругленный, а вентральный - острый и несколько свисает в области седалищных бугров.
1621. Оценка качества спермы по интенсивности дыхания 19.87 KB
  Активность спермы оценивают по скорости обесцвечивания (восстановления) метиленовой синьки, смешанной со спермой. При дыхании спермии потребляют кислород, растворенный в смеси, в результате этого синька обесцвечивается.
1622. Плацентарный барьер 19.59 KB
  Плацентарный барьер - совокупность морфологических и функциональных особенностей плаценты, обусловливающих ее способность избирательно пропускать вещества из крови матери к плоду и в обратном направлении.
1623. Подготовка к оказанию акушерской помощи 19.88 KB
  Акушерскую помощь оказывают чаще во время родов и реже при беременности и в послеродовом периоде. Обычно она бывает неотложной, подлежащей быстрому и точному исполнению.
1624. Половой акт (половые рефлексы самцов) 20.76 KB
  Половой акт — это комплекс условных и безусловных половых рефлексов, обеспечивающих выделение спермы из половых органов самца и внедрение ее в половые пути самки.
1625. Половой цикл у разных видов животных, его стадии 20.82 KB
  Половой цикл - сложный нейрогуморальный рефлекторный процесс, сопровождающийся комплексом физиологических и морфологических изменений в пол органах и во всем организме самки от одной стадии возбуждения до других.
1626. Положение, предлежание, позиция и членорасположение плода во время родов 18.8 KB
  Положение плода — расположение продольной оси тела плода по отношению к продольной оси тела матери. Продольное расположение правильное, вертикальное и поперечное — патологические.
1627. Понятие о ветеринарной гинекологии и андрологии. Их задачи в профилактике и ликвидации бесплодия с/х животных 20.83 KB
  Ветеринарная гинекология как отрасль клинической ветеринарии изучает патологические процессы в половых и других органах вне беременности, родов и послеродового периода и процессы, приводящие к бесплодию самок.