35109

Дифференциальные уравнения

Конспект

Математика и математический анализ

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенными дифференциальными уравнениями о. называются уравнения вида: 1 где известная функция – независимая переменная – неизвестная функция. Порядком дифференциального уравнения д.

Русский

2013-09-09

4.15 MB

22 чел.

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

1.1 Общие понятия. Примеры.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями (о.д.у.) называются уравнения вида:

 (1)

где  - известная функция,  – независимая переменная,  – неизвестная функция.

Порядком дифференциального уравнения (д.у.) называется наивысший порядок производной неизвестной функции , входящей в уравнение.

Функция  называется решением (или интегралом) д.у. (1), если она  раз непрерывно дифференцируема на некотором интервале  и при  удовлетворяет уравнению. Процесс нахождения решения д.у. называется его интегрированием .

Если задача об отыскании всех решений о.д.у. сводится к вычислению конечного числа интегралов и производных от известных функций и к алгебраическим операциям, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. Класс этих уравнений узок, поэтому для исследования д.у. как правило применяются приближенные и численные методы. 

В нашем курсе мы не будем подробно останавливаться на таких методах. Ниже лишь коротко рассмотрим на конкретных примерах два метода нахождения приближенного решения о.д.у., разрешенных относительно производной.

1.2 Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной.

Уравнение, относящееся к этому классу имеет вид:

 (2)

В дальнейшем будет доказано, что при некоторых ограничениях, налагаемых на функцию , уравнение (6) имеет единственное решение, удовлетворяющее данному условию:

.

Общее решение уравнения (6), содержащее все без исключения решения, зависит от одной произвольной постоянной.

Дифференциальное уравнение  устанавливает зависимость между координатами точки и угловым коэффициентом касательной  к графику решения в этой точке. Следовательно, дифференциальное уравнение рассматриваемого вида определяет поле направлений и задача интегрирования д.у. заключается в том, чтобы найти кривые, называемые интегральными кривыми1, направление касательных к которым в каждой точке совпадает с направлением поля. Поле направлений изображают единичными векторами, образующими с осью Ox угол , а касательные к интегральным кривым в каждой их точке должны совпадать по направлению с этими единичными векторами.

На этой идее основан первый (графический) метод построения приближенного решения д.у. вида (6), называемый методом изоклин. Он бывает полезен в тех случаях, когда необходимо «прикинуть» вид интегральных кривых д.у., неинтегрируемого в квадратурах.

 Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым имеют одинаковое направление. Т.е. в каждой точке изоклины векторы поля направлений имеют одинаковый наклон. Таким образом нахождение изоклин позволяет графически изобразить поле направлений, задаваемое д.у., а следовательно, и интегральные кривые.

Пример1 . Методом изоклин найти решение следующего д.у.:

 

Здесь изоклинами являются гиперболы или  причем при k=1 гипербола распадается на пару прямых x=0 и y=0. При k=0 получаем изоклину ; эта гипербола разбивает плоскость на части, в каждой из которых y сохраняет постоянный знак. Интегральные кривые  пересекая гиперболу переходят из области возрастания функции y(x) в область её убывания или наоборот, и, следовательно, на ветвях этой гиперболы расположены точки максимума и минимума интегральных кривых. Определим теперь знаки второй производной в различных областях плоскости:

  или  

Кривая    или

 (3)

разбивает плоскость на две части, в одной из которых y<0, и, следовательно, интегральные кривые выпуклы вверх, а в другой y>0, и значит, интегральные кривые выпуклы вниз. При переходе через кривую (3) интегральные кривые переходят от выпуклости к вогнутости, и, следовательно, на этой кривой расположены точки перегиба интегральных кривых.

В результате проведенного исследования известны области возрастания и убывания интегральных кривых, известно расположение точек максимума и минимума, известны области выпуклости и вогнутости и расположение точек перегиба. Этих сведений вполне достаточно для того, чтобы сделать набросок расположения интегральных кривых.

Второй метод нахождения приближенного решения о.д.у основывается на теории возмущений и подходит для решения нелинейных д.у., а также систем д.у, разрешенных относительно производной. Он состоит в нахождении стационарных состояний или точек равновесия неизвестной функции (функций), т.е. точек, в которых производная неизвестной функции по времени обращается в ноль, и последующем разложении правой части д.у., разрешенного относительно производной, в ряд Тейлора в окрестности этих точек. Это позволяет аппроксимировать исходное нелинейное д.у. линейным д.у., которое всегда можно легко решить аналитически. Рассмотрим этот метод на примере решения часто встречающейся на практике нелинейной системы о.д.у.

Пример 2. Модель типа хищник-жертва. Рассмотрим динамику популяции двух видов, взаимодействующих между собой по типу хищник-жертва. При этом предполагается, что жертва может найти достаточно пищи, но и при каждой встрече с хищником последний убивает жертву.

Пусть  и  - количество жертв и хищников в момент времени  соответственно. Пусть также коэффициент рождаемости жертв  и коэффициент естественной смертности (т.е. без учета уничтожения хищником)  являются константами, причем . Таким образом, в отсутствие хищников популяция жертв будет расти со скоростью . Кроме того, предположим, что число случаев, когда хищник убивает жертву зависит от вероятности их встречи и, следовательно, пропорционально произведению .

Таким образом, популяция жертв удовлетворяет следующему д.у.:

 

где , а

Относительно хищников предположим, что их число при отсутствии жертв по естественным причинам убывает со скоростью . В результате встреч с жертвами число хищников увеличивается. Таким образом, имеем уравнение:

 

где , а

Итак, модель хищник-жертва сводится к системе 2-х нелинейных о.д.у.

 (4)

где 0, 0, 0, 0. Эти уравнения называют уравнениями Лотки-Вольтерра. Для однозначной разрешимости систему (а) необходимо дополнить начальными условиями

. (5)

Явное аналитическое решение задачи (4), (5) неизвестно. Найдем приближенное решение этой задачи, основываясь на теории возмущений.

Первый шаг, как уже отмечалось, состоит в нахождении точек равновесия (, ). Эти точки находятся из условий:

 

откуда

. (6)

Кроме того, точкой равновесия будет так называемое тривиальное решение или точка покоя

.

Разложим правые части уравнений (4) в ряды Тейлора в окрестности точки (,). С учетом (6) получим

 

.

Таким образом, в окрестности этой точки исходные уравнения (а) можно аппроксимировать линейными

 (7)

Положим  

Тогда система (7) примет вид:

  (8)

Продифференцируем по t, например, первое уравнение и подставим в него второе

.

Легко проверить, что общим решением этого уравнения является

, (9)

где  и  - постоянные, определяемые из начальных условий (5). Из (8) получаем:

. (10)

Исключая из (9) и (10) время, имеем:

 

Возвращаясь к исходным обозначениям

, (11)

где . Соотношение (11) – это уравнение эллипсов (в зависимости от с2, т.е. от начальных условий) с центром в точке ). Стрелки указывают направление, соответствующее возрастанию времени. Из (7) видно, что при , растет  (т.к. >0) и наоборот.

Видно, что изменение популяций носит циклический характер: через определенное время популяция возвращается к первоначальному уровню.

1.2.1 Уравнения 1-ого порядка, интегрируемые в квадратурах

Рассмотрим теперь некоторые уравнения 1-ого порядка, которые интегрируются в квадратурах.

  1.  Уравнения с разделяющимися переменными.

  Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

 (12)

будем считать, что функции ,  непрерывны при , и , т.к. если при , , то из (13) следует, что  есть решение. Запишем уравнение (13) в виде:

 

и проинтегрируем

. (13)

Это и есть общее решение уравнения (12).

  1.  Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

В таких уравнениях переменные можно разделить, выполнив некоторую подходящую замену.

а) Рассмотрим уравнение вида:

,

где .

Перейдем к новым переменным , в результате будем иметь

 т.е.

или

 

т.е. переменные разделились. Интегрируя, получим:

 

б) Рассмотрим теперь следующее уравнение

,

где  - однородная функция нулевого порядка. Такое уравнение называют однородным д.у. 1-ого порядка.

Функция  называется однородной функцией нулевого порядка, если

 

Выполним замену , т.е. , тогда

.

Таким образом, мы снова получили д.у. с разделенными переменными. После интегрирования получим:

 .

в) Уравнение вида

 

будет являться однородным, если

,

т.е. , - однородные функции одного порядка, (), и будет уравнением с разделяющимися переменными, если

.

2. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение 1-го порядка, линейное относительно неизвестной функции и её производной.

 (1)

где  – непрерывны в области, где ищется решение уравнения (1).

Если , то уравнение (1) называется линейным однородным, в противном случае это уравнение называется линейным неоднородным. В линейном однородном уравнении переменные разделяются, и его решение не составляет труда:

, т.е.

Таким образом,

 

и общее решение однородного уравнения имеет вид:

 (2)

При делении на y мы потеряли решение y=0, однако оно может быть включено в (2), если считать, что C может быть равно нулю.

Для интегрирования же неоднородных уравнений применяются метод вариации произвольной постоянной и метод подстановки, которые и будут рассмотрены ниже.

2.1 Метод вариации произвольной постоянной

Для интегрирования неоднородного уравнения (1) можно применять метод вариации произвольной постоянной.

В соответствии с этим методом вначале находится решение соответствующего однородного уравнения, которое задается формулой (2). Затем в полученном решении «варьируют постоянную», т.е. полагают , и подставляют это решение в исходное неоднородное уравнение (1). Тогда, учитывая что:

,

будем иметь:

,

или

.

Таким образом, мы получили линейное однородное д.у. относительно C(x), интегрируя которое, находим

,

и, следовательно,

. (3)

Итак из формулы (3) видно, что общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения 1-го порядка равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

 

и частного решения неоднородного уравнения

,

получающегося из (3) при .

Пример 1. Методом вариации произвольной постоянной найдем решение неоднородного уравнения

.

Вначале интегрируем соответствующее однородное уравнение:

 т.е. , следовательно .

Затем полагаем , тогда  и  подставляя эти выражения исходное уравнение, получим:

, т.е.  ,

и после интегрирования будем иметь:

.

Таким образом, общее решение имеет вид:

.

2.2. Метод подстановки (Даламбера)

Для решения линейного неоднородного уравнения 1-ого порядка (1) можно применять также метод подстановки (Даламбера). В соответствии с этим методом в уравнении (1) применяют подстановку , тогда это уравнение примет вид:

 

Выберем функцию U так, чтобы первая скобка обратилась в нуль:

или .

Обозначим через  одно из частных решений этого уравнения, тогда для нахождения V имеем уравнение:

.

Находим общее решение этого уравнения . Теперь общее решение уравнения (1) будет иметь вид:

.

2.3. Уравнения, сводящиеся к линейным

Многие нелинейные дифференциальные уравнения после замены переменных могут быть сведены к линейным.

1) Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется нелинейное относительно неизвестной функции уравнение вида:

,

или

. (4)

Выполним замену переменной

тогда .

Подставив эти выражения в (4), получим линейное дифференциальное уравнение:

.

Пример 2. Найдем решение следующего уравнения Бернулли:

 

Перепишем его в виде: .

Выполним замену:  Тогда и мы получим линейное уравнение из примера 1:

,

которое может быть решено как методом вариации произвольной постоянной, так и методом подстановки.

Отметим, что уравнение Бернулли можно решать и непосредственно методом подстановки.

2) Уравнение Риккати

Уравнением Риккати называется нелинейное относительно неизвестной функции уравнение вида:

.

В общем виде это уравнение не интегрируется в квадратурах, однако, заменой переменной может быть преобразовано в уравнение Бернулли, если известно одно частное решение  этого уравнения.

Полагая , получим:

,

но так как , то для z(x) получим уравнение Бернулли:

.

2.4 Уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение вида:

 (5)

называется уравнением в полных дифференциалах, если

.

В этом случае уравнение (5) примет вид:

.

Если  – решение уравнения (5), то

,

следовательно

, (6)

(где C=const) - общий интеграл уравнения (5).

Если даны начальные значения , то постоянная С определится из уравнения (6): ,

т.е.           (7)

является искомым частным интегралом.

Если  в точке, то уравнение (7) определяет y как неявную функцию x в окрестности точки .

Известно, что для того, чтобы левая часть (5)

 

являлась полным дифференциалом необходимо и достаточно (в односвязной области), чтобы функции  и  были непрерывно дифференцируемы и чтобы:

 (8)

Необходимость условия (8) очевидна. Достаточность: пусть

=,

где путь интегрирования – ломаная со звеньями, параллельными осям координат; тогда

 

,

т.е.   а

.

Таким образом, если выполняются эти условия, уравнение (5) является уравнением в полных дифференциалах и легко интегрируется. Действительно,

.

С другой стороны,  .

Следовательно, для нахождения  имеем систему из двух дифференциальных уравнений

,

откуда   .

Для определения С(y) дифференцируем функцию U(x,y) по y:

 

т.е.    

Интегрируя это уравнение, находим С(y).

2.5 Интегрирующий множитель

В некоторых случаях левая часть уравнения

 (5)

не является полным дифференциалом, однако можно подобрать функцию (x, y), после умножения на которую левая часть уравнения (5) превращается в полный дифференциал

,

т.е. .

Такая функция называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель (x, y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль. Интегрирующий множитель всегда существует локально (Из теоремы о существовании и единственности (см. ниже) следует, что (5) имеет единственное решение, если  удовлетворяет условиям теоремы).

Пусть U(x, y)=C – общий интеграл уравнения (5), тогда

,   т.е.  , откуда

 

Поэтому , т.е. - интегрирующий множитель.

Заметим, что найти его в явном виде, вообще говоря, трудно.

Пример. Найдем решение следующего уравнения, предварительно приведя его к уравнению в полных дифференциалах:

.  (9)

Интегрирующий множитель будет иметь вид .

Действительно ,

т.к. ,

то это уравнение в полных дифференциалах, поэтому, интегрируя, имеем:

 

 т.е.

.

Итак,     

откуда окончательно имеем  

3. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности.

Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядка вида:

.

Положим

 

тогда это уравнение сведется к системе n дифференциальных уравнений I порядка, разрешенных относительно производной:

 

Эта система является частным случаем системы дифференциальных уравнений:

 (1)

Система (1) называется нормальной системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Для выделения единственного решения система (1) дополняется начальными условиями:

. (2)

Задача (1) и (2) называется задачей Коши. Условия (2) называются начальными данными Коши.

Ниже будет доказана теорема существования и единственности решения задачи (1)-(2), которая, очевидно, будет справедлива и при n=1, т.е. для одномерных д.у., разрешенных относительно производной, рассматриваемых в разделе 1.2.

3.1 Условие Липшица

Говорят, что функция  удовлетворяет условию Липшица в некотором интервале [a,b], если существует такое число A>0, что для

.

Это условие – более слабое, чем, например, условие непрерывной дифференцируемости. Так, функция

,

удовлетворяет условию Липшица в окрестности x=0, но её производная в точке x=0 имеет разрыв.

Если функция n переменных  удовлетворяет условию Липшица по каждой из этих переменных в соответствующем диапазоне их изменения, т.е. если

, (*)

то эта функция удовлетворяет условию Липшица также и по совокупности переменных , т.е. постоянная А, для которой

.

Действительно, из неравенства (*), учитывая тождество

 

 

 

следует неравенство

 

Обозначив через , наибольшую из , получим требуемое неравенство.

3.2 Теорема существования и единственности для нормальных систем дифференциальных уравнений

Имеет место следующая фундаментальная теорема (Пикара):

Пусть даны система дифференциальных уравнений вида (1) и начальные условия (2); если можно найти такие положительные числа a и b, что в области , определенной неравенствами

 

, (3)

функции  непрерывны и удовлетворяют условию Липшица по переменным , то можно определить такое число (0<a), что в интервале  система (1) обладает одним и только одним решением, удовлетворяющим начальным условиям (2).

Приведем схему доказательства этой теорему. Предварительно покажем, что система (1), (2) эквивалентна, следующей системе n (нелинейных) интегральных уравнений Вольтерра:

 (4)

Действительно, дифференцируя i-е уравнение (4) по x, получим i-е уравнение системы (1), а полагая в (4) , получим, что , т.е. начальные условия (2). Обратно, интегрируя i-е уравнение системы (1) с учетом (2), получим (4).

Будем решать систему (4) методом последовательных приближений для этого выберем начальное приближение  и определим из него последующие приближения по формулам:

,

 (5)

Далее доказывается, что при m система функций (5) равномерно сходится к некоторой системе функций

 (6)

т.е. для  можно найти такое , что для всех  и всех i=1,…,n при , будет выполнено неравенство

.

Затем доказывается, что система функций (6) удовлетворяет системе интегральных уравнений (4), т.е. равенства

 (7)

являются тождествами.

В завершение проводится доказательство того, что система функций (6) является единственным решением системы (4). На этом доказательство теоремы Пикара завершается.

Часто вместо условия Липшица

 

вводят более грубое, но обычно легко проверяемое условие существования ограниченной по модулю производной F(x) на отрезке [a,b].

Действительно, если при x[a, b] выполняется неравенство  то, пользуясь теоремой о конечных приращениях (формулой Лагранжа), получим

 

где , т.е. [a, b], поэтому , а следовательно,

 

Приведенный выше пример функции , для которой условие Липшица выполняется, но производная  при x=0 не существует, говорит о том, что условие  является более грубым, чем условие Липшица.

4. Теорема о дифференцируемости решений дифференциальных
уравнений, разрешенных относительно производной.

Теорема. Если в окрестности точки  функция  имеет непрерывные производные до m-ого порядка включительно, то решение  уравнения

 (1)

удовлетворяющее начальному условию , в некоторой окрестности точки  имеет непрерывные производные до (m+1) порядка включительно.

 Доказательство. Подставляя решение  в уравнение (1), получим тождество

 (1a)

и, следовательно,  имеет в некоторой окрестности рассматриваемой точки непрерывную производную, равную . Тогда в силу существования непрерывных производных функции f, будет существовать непрерывная вторая производная решения

 

Если m>1, то, в силу существования непрерывных производных второго порядка, можно, еще раз дифференцируя тождество (1а), обнаружить существование и непрерывность третьей производной

 

Повторяя это рассуждение m раз, докажем утверждение теоремы.

4.1 Особые точки

Рассмотрим теперь точки , в окрестности которых решение уравнения (1), удовлетворяющего условию , не существует, или решение существует, но оно не единственно. Такие точки называются особыми точками уравнения.

Кривая, состоящая из особых точек, называется особой кривой. Очевидно, что особые точки будут среди тех, в которых нарушаются условия теоремы существования и единственности решения уравнения (1) (см. разд. 3.2 при n=1).

Первое условие теоремы нарушается, если функция  имеет разрывы. Однако, если переменные x и y равноправны, то в случае, когда при  функция , уравнение (1) может быть заменено уравнением   правая часть которого будет непрерывна в точке, если считать, что  .

Поэтому в тех задачах, в которых переменные x и y равноправны, особые точки могут быть только среди тех, в которых обе функции  и  разрывны.

Рассмотрим поведение интегральных кривых в окрестности особой точки указанного выше типа на примере следующего простого уравнения:

 (2)

Пусть  (т.к. в противном случае ) (т.е. при этом ).

Уравнение (2) эквивалентно следующей системе дифференциальных уравнений:

   

с матрицей   .

Найдем особые точки этой системы, для этого рассмотрим различные возможные случаи.

1. Корни характеристического уравнения

, (3)

где  – единичная матрица, различны: .

В этом случае существует линейное преобразование

 

с невырожденной матрицей , такое, что:

,

Или   ,

т.е. . (4)

Таким образом, система (4), а следовательно, и уравнение (2), сводится к уравнению

. (5)

Очевидно, первое условие теоремы существования и единственности для этого уравнения нарушается в точке , , т.е. эта точка является особой. Уравнение (5) решается разделением переменных:

откуда . (6)

Из (6) видно, что существование и единственность этого решения зависят от характера корней . Рассмотрим возможные варианты.

1.1. Корни - действительные и одного знака. 

Без ограничения общности можно считать, что . В этом случае решение существует , но может быть не единственным. Действительно, все интегральные кривые (6) проходят через особую точку . Все они в начале координат касаются оси , т.к.  .

Кроме семейства (6), куда входит и решение =0, существует также, как видно из (5), интегральная кривая =0.

Через особую точку , (или в первоначальных координатах ,)  проходит бесконечно много интегральных кривых уравнения (3), такая особая точка называется узлом.

1.2. Корни  - действительные разных знаков. 

Тогда , и решение (6) имеет вид:  В этом случае через особую точку , проходят только два решения =0 и =0. Остальные интегральные кривые не проходят через начало координат. Такая особая точка называется седлом.

1.3. Корни  – комплексно сопряженные:

 

В этом случае, как видно из (4), мы можем считать, что . Таким образом, решение системы уравнений (4) мы можем записать в следующем виде:

,

где  - вещественная постоянная.

Получившиеся новые переменные , принимают комплексные значения при вещественных x и y, поэтому перейдем к вещественным переменным U, V при помощи невырожденного преобразования

 

В результате будем иметь:

, (7)

Или .

В полярных координатах () имеем .

Это семейство логарифмических спиралей в плоскости U, V с асимптотической точкой в начале; все кривые примыкают к началу, но без определенной предельной касательной. Они делают у особой точки (0,0) бесконечное количество оборотов. Такая особая точка называется фокусом.

1.4. Корни  чисто мнимые: .

Из (7) имеем   Семейство интегральных кривых есть семейство замкнутых кривых, окружающих особую точку; через саму особую точку не проходит ни одной интегральной кривой. Такая особая точка называется центром.

2. Корни  - равные действительные:

.

В этом случае дискриминант характеристического уравнения (3) равен нулю:

.

Последнее, в свою очередь, возможно лишь в случае, когда , а также либо a=0, либо d=0, либо a=d=0. Рассмотрим отдельно эти случаи.

2.1. , a=0, либо d=0. Пусть для определенности d=0, . В случае, когда a=0, , картина будет качественно такой же.

В рассматриваемом случае из уравнения (2) имеем

,

откуда .

Решая второе уравнение, получим  . Таким образом, исключая t, будем иметь

. (8)

Из (9) следует, что , где знак (+) или  зависит от знака . Это вырожденный узел. Здесь, в отличие от узла (1), все интегральные кривые имеют одну касательную. В случае (1) одна кривая имела другую касательную. На рисунке изображен случай, соответствующий >0.

2.2. b=c=, a=d=0. В этом случае уравнение (3) имеет следующий вид

,

а его общее решение . Таким образом все интегральные кривые проходят через особую точку и представляют из себя прямые, такая особая точка называется дикритическим узлом.

Второе условие теоремы существования и единственности – условие Липшица – чаще всего нарушается в точках, в окрестности которых  неограниченно возрастает, т.е. в точках, где .

Уравнение , вообще говоря, определяет некоторую кривую, в точках которой может быть нарушена единственность решения. Если такая кривая является интегральной кривой для рассматриваемого уравнения, то соответствующее решение называется особым решением.

 Пример . Найдем особые решения уравнения:

 

Здесь         

  т.е.  при y=x.

Заменим переменные: , тогда , т.е. . Откуда , или  .

Кривые этого семейства проходят через точки прямой , являющейся решением дифференциального уравнения. Следовательно, в каждой точке этой прямой единственность нарушена, и функция  является особым решением. Таким образом, одной непрерывности правой части в уравнении

 

недостаточно для единственности решения основной начальной задачи, но этого достаточно для существования решения.

5. Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной.

Рассмотрим дифференциальные уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной, вида

. (1)

Очевидно, что для таких уравнений через некоторую точку , вообще говоря, проходит уже не одна, а несколько интегральных кривых , т.к., разрешая уравнение (1) относительно y, мы, как правило, получаем не одно, а несколько действительных значений  и если каждое из уравнений  в окрестности точки  удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности (см. разд. 3.2), то для каждого из этих уравнений найдется единственное решение, удовлетворяющее условию. Поэтому свойство единственности решения уравнения (1), удовлетворяющего условию, обычно понимается в том смысле, что через данную точку  по данному направлению, задаваемому , проходит не более одной интегральной кривой уравнения (1).

 Теорема. Если в замкнутой окрестности точки  функция  удовлетворяет условиям:

  1.   непрерывна по всем аргументам;
  2.  Производная  непрерывна и ;
  3.  Существует ограниченная по модулю производная , т.е. ;

то уравнение (1) имеет единственное решение ,  (где  достаточно мало) удовлетворяющее условию , для которого , где  – один из действительных корней уравнения .

 Доказательство. В соответствии с теоремой о неявной функции условия 1) и 2) гарантируют существование единственной непрерывной в окрестности точки  функции , определяемой уравнением (1) и удовлетворяющей условию . Далее из той же теоремы о неявных функциях следует, что производная  существует и может быть вычислена по правилу дифференцирования неявной функции. Дифференцируя тождество  по y и учитывая, что , получим

,

следовательно,

откуда с учетом условий 2) и 3) теоремы получаем, что  в замкнутой окрестности точки , а поэтому в той же окрестности функция  удовлетворяет условию Липшица по переменной y и, следовательно, в соответствии с теоремой существования и единственности (см. разд. 3.2) существует единственная интегральная кривая уравнения (1), проходящая через точку  и имеющая в ней угловой коэффициент касательной, равный . Ч.т.д.

5.1 Особые решения

Множество точек , в которых нарушается единственность решения уравнения (1), называется особым множеством.

В точках особого множества должно быть нарушено, по крайней мере, одно из условий теоремы. Как правило, условия 1) и 3) выполняются, а условие 2), т.е.  нарушается. Если условия 1) и 3) выполнены, то в точках особого множества должны одновременно быть справедливы равенства

. (2)

Исключая из этих равенств y, получим уравнение

, (3)

которому должны удовлетворять точки особого множества. Однако не в каждой точке, удовлетворяющей (3), обязательно нарушается единственность решения уравнения (1), т.к. условия 1)-3) теоремы лишь достаточны, но не являются необходимыми.

Итак, только среди точек кривой , называемой p-дискриминантной кривой (т.к. уравнения (2) часто записывают в виде ), могут быть точки особого множества.

Если какая-нибудь ветвь  кривой  принадлежит особому множеству и в то же время является интегральной кривой, то она называется особой интегральной кривой, а функция  – особым решением.

Таким образом, для нахождения особого решения уравнения (1) надо найти p-дискриминантную кривую, определяемую уравнениями (2), выяснить путем непосредственной подстановки в уравнение (1), есть ли среди ветвей p-дискриминантной кривой интегральные кривые и, если есть, то еще проверить, нарушена ли в точках этих кривых единственность или нет. Если единственность нарушена, то такая ветвь p-дискриминантной кривой является особой интегральной кривой.

Если  – семейство интегральных кривых уравнения (1), то огибающая Q этого семейства всегда является особой интегральной кривой. Действительно, в точках Q значения  совпадают со значениями  интегральной кривой, касающейся огибающей в точке , и, следовательно, в любой точке кривой Q значения  удовлетворяют уравнению , т.е. огибающая является интегральной кривой. В любой точке кривой Q нарушена единственность, т.к. через точки кривой Q по одному направлению проходят по крайней мере две интегральные кривые: Q и касающаяся ее в рассматриваемой точке интегральная кривая семейства. Следовательно, Q является особой интегральной кривой.

5.2 Огибающая семейства кривых.

     Огибающей однопараметрического семейства кривых называется кривая Q, которая: 1) в каждой своей точке касается только одной кривой семейства; 2) в разных точках касается различных кривых указанного семейства.

Если  – семейство интегральных кривых уравнения (1), то огибающая Q этого семейства является особой интегральной кривой. Действительно, как уже говорилось, в точках Q значения x, y и y совпадают со значениями x, y и y для интегральной кривой, касающейся огибающей в точке (x,y), и, следовательно, в каждой точке Q значения x, y и y удовлетворяют уравнению  т.е. огибающая является интегральной кривой. В каждой точке Q нарушена единственность, т.к. через точки Q по одному направлению проходят, по крайней мере 2 интегральные кривые: Q и касающаяся ее в рассматриваемой точке интегральная кривая семейства. Следовательно, Q является особой интегральной кривой.

Пусть задано однопараметрическое семейство кривых

 (8)

и пусть функция  дифференцируема в области задания. Рассмотрим случай, когда любые две кривые семейства (8) пересекаются. Пусть  и  – две кривые семейства (8), отвечающие значениям параметра С и С+С соответственно. Координаты (x,y) точки N их пересечения удовлетворяют следующей системе уравнений

 

Или, что то же самое

.

При C0 NM вдоль кривой .

Так как  ,

то координаты точки M удовлетворяют уравнениям

,. (9)

Точка M(x,y) называется характеристической точкой кривой семейства (8), отвечающей данному значению параметра С, если ее координаты удовлетворяют системе (9).

Геометрическое место характеристических точек семейства кривых называется дискриминантной кривой этого семейства.

Если все кривые семейства (8) и дискриминантная кривая не имеют особых точек, то эта дискриминантная кривая является огибающей.

Точка  называется обыкновенной точкой кривой семейства (8), если в этой точке

 (10)

В противном случае точка  называется особой (т.е. при   т.к. ).

Достаточные условия того, чтобы дискриминантная кривая была огибающей семейства :

  1.  
  2.  

6. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка.

Уравнение вида

    (1)

линейное относительно неизвестной функции и её производных, называется линейным дифференциальным уравнением n – ого порядка.

Если правая часть (x)0, при axb, то уравнение называется линейным однородным.

Если  при axb, то на этом отрезке однородное уравнение (1) эквивалентно следующему

                                                          (2)

где . Уравнение (2) запишем также в виде

                                                       (2a)

Если коэффициенты  непрерывны на отрезке [a,b], то в окрестности любых начальных значений

где  – любая точка интервала a<x<b, удовлетворяется условие теоремы существования и единственности (см. раздел 3).

Действительно, правая часть (2а) непрерывна по совокупности аргументов и существуют  ограниченные по модулю частные производные, т.к. функции  - непрерывны на отрезке [a,b] и, следовательно, ограничены по модулю. Таким образом, функция  удовлетворяет условию Липшица по всем переменным, начиная со второй.

Запишем линейное однородное уравнение

коротко в виде , где

-

линейный дифференциальный оператор (линейное дифференциальное выражение).

Линейный дифференциальный оператор обладает свойствами:

1.

т.к. 

              

2.

т.к. 

Из 1) и 2) следует, что

где  – постоянные.

Опираясь на свойства линейного оператора L, установим ряд теорем о решениях линейных однородных дифференциальных уравнений (л. о. д. у.).

Теорема 1. Если  является решением л. о. д. у.  , то и  , где С – произвольная постоянная, является решением того же уравнения.

 Доказательство. В соответствии со свойством 1):  , ч.т.д.

Теорема 2. Сумма  решений л. о. д. у. L[y]=0 является решением того же уравнения.

 Доказательство. Воспользуемся свойством 2):  ч. т. д.

Следствие. Линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами  решений  л. о. д. у. L[y]=0 является решением того же уравнения.

Теорема 3. Если л. о. д. у. L[y]=0 с действительными коэффициентами  имеет комплексное решение , то его действительная U(x) и мнимая V(x) части в отдельности являются решениями того же уравнения.

 Доказательство. Используя свойства 1) и 2) имеем:

                

откуда L[U]0, L[V]0, т.к. комплексная величина тождественно равна нулю, тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части тожественно равны нулю.

 Определение. Функции  называются линейно зависимыми (предполагается, что ни одна из функций  тождественно не равна нулю на [a,b]) на некотором отрезке axb если существуют постоянные числа  такие, что на этом отрезке

      ,                                      (3)

причем хотя бы одно .

Если тождество (3) справедливо лишь при , то функции  называются линейно независимыми на отрезке axb.

Пример 1.

Функции  линейно независимы на любом отрезке [a,b], т.к. тождество

 

возможно лишь, если все . Если  хотя бы одно , то слева стоял бы многочлен степени не выше n, который может иметь не более n различных корней и, следовательно, обращаться в нуль не более чем в n точках отрезка.

Пример 2.

Функции , где , если ij, линейно независимы на любом отрезке axb.

Допустим, что эти функции линейно зависимы, т.е.

,   

причем не все  равны нулю. Пусть, например, . Разделим тождество на , а результат продифференцируем, получим

Продолжая эту процедуру (т.е. деля на  и дифференцируя и т.д.) (n-1) раз, получим

         

что невозможно, т.к.  при ij, а  по предположению, т.к. в качестве  можно выбрать любой коэффициент, то свойство доказано.

Теорема 4. Если функции  линейно зависимы на отрезке , то на этом  отрезке определитель Вронского

тождественно равен нулю.

 Доказательство. Известно, что

                                                                       (4)

На отрезке [a,b], примем не все  равны нулю. Дифференцируя тождество (4) (n-1) раз, получим

                                                      (5)

Эта линейная алгебраическая система имеет нетривиальное решение (по предположению) при любом x[a,b]. следовательно, её определитель, являющийся определителем Вронского, тождественно равен нулю при  x[a,b], ч. т. д.

Теорема 5. Если линейно независимые функции  являются решениями  л. о. д. у.

                                              (6)

c непрерывными на отрезке  коэффициентами , то определитель Вронского этой системы функций не может обратиться в нуль ни в одной точке отрезка.

 Доказательство. Пусть в некоторой точке  отрезка [a,b] определитель Вронского . Выберем постоянные  так, чтобы удовлетворялась система уравнений. Рассмотрим систему алгебраических уравнений:

                       (7)

и чтобы не все  равнялись нулю. Это всегда возможно, т.к. определитель системы (7) равен нулю, т.е. нетривиальное решение системы (7). При таком выборе  линейная комбинация

Будет решением л. о. д. у. (6), удовлетворяющим, в силу уравнений системы (7), нулевым начальным условиям

                                                   (8)

Таким условиям, очевидно, удовлетворяет тривиальное решение y=0 уравнения (6) и по теореме единственности начальным условиям (8) удовлетворяет только это решение. Следовательно,  и решения , вопреки условию теоремы, линейно зависимы.

 Замечание 1. Из теорем 4 и 5 следует, что линейно независимые на отрезке [a,b] решения  уравнения (6) линейно независимы и на любом отрезке .

 Замечание 2. В теореме 5, в отличие от теоремы 4 предполагалось, что функции  являются решениями л. о. д. у. (6) с непрерывными коэффициентами. Отказаться от этого требования и считать функции  произвольными (n-1) раз непрерывно дифференцируемыми нельзя. Легко привести примеры линейно независимых функций, не являющихся решениями уравнения (6) с непрерывными коэффициентами, для которых определитель Вронского не только обращается в нуль в некоторых точках, но даже тождественно равен нулю.

Теорема 6. Общим решением при  л. о. д. у.

                                      (6)

с непрерывными на отрезке [a,b] коэффициентами , i=1,2,..,n, является линейная комбинация  из n линейно независимых на том же отрезке частных решений  с произвольными постоянными коэффициентами .

 Доказательство. Уравнение (6) при x[a,b] удовлетворяет условиям теоремы существования  и единственности. Поэтому решение  при  будет общим, т.е. будет содержать все частные решения, если удастся подобрать произвольные постоянные  так, чтобы удовлетворялись произвольно заданные начальные условия

                                   (9)

где  - любая точка (a,b).

Из условия (9) получим систему n линейных относительно ,  i=1,..,n уравнений

с n неизвестными , определитель которой отличен от нуля, т.к. это определитель Вронского  для n линейно независимых решений уравнения (6). Следовательно, эта система разрешима (и однозначно) относительно  при любом выборе  и при любых правых частях.

 Следствие. Максимальное число линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения равно его порядку.

 Замечание. Любые n линейно независимые частные решения л. о. д. у. n – ого порядка называются его фундаментальной системой решений.

      Для построения  фундаментальной системы решений произвольно зададим  чисел

Подчинив их лишь условию

где  любая точка (a,b). Тогда решения , определяемые начальными значениями  образуют фундаментальную систему, т.к. их определитель Вронского W(x) в точке  отличен от нуля и, следовательно, в силу теорем 4 и 5 решения  линейно независимы.

6.1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Будем рассматривать линейные неоднородные уравнения вида

                                  (1)

Это уравнение, сохраняя прежние обозначения, запишем в виде

Если при  в уравнении (1) все коэффициенты  и правая часть  непрерывны, то оно имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям

где  – любые действительные числа, а  – любая точка интервала .

Действительно, правая часть уравнения

                (1a)

В окрестности рассматриваемых начальных значений удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности:

  1.  правая часть непрерывна по аргументам
  2.  имеет ограниченные частные производные по всем

, т.к. эти производные равны непрерывным по предположению на отрезке [a, b] коэффициентам

На начальные значения  не налагается никаких ограничений.

Из 2-х основных свойств линейного оператора

 

где C=const, следует

  1.  Сумма  решения  неоднородного уравнения

                                                                                  (1)

и решения  соответствующего однородного уравнения  является решением неоднородного уравнения (1).

Доказательство.

но , а , поэтому

 

  1.  Если  является решением уравнения ,

то  является решением уравнения

где  – постоянные.

Доказательство.

                                                                         (2)

но , поэтому 

Это свойство называется принципом суперпозиции. Оно сохраняется и при m, если ряд  сходится и допускает n- кратное почленное дифференцирование, т.к. при этом возможен предельный переход в (2).

3. Если уравнение  где все коэффициенты

и функции  и V(x) действительные, имеет решение , то действительная  и мнимая часть  решения  являются соответственно решениями уравнений L[y]=U(x); L[y]=V(x).

Доказательство.                   

т.е.                        

поэтому

 Теорема. Общее решение на отрезке  уравнения L[y]=f(x) с непрерывными на этом отрезке коэффициентами и правой частью f(x) равно сумме общего решения  соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения  неоднородного уравнения.

 Доказательство. Требуется доказать, что

                                                                      (3)

где  – произвольные постоянные, а  - линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения, является общим решением неоднородного уравнения L[y]=f(x).

Принимая во внимание свойство 1) и справедливость для рассматриваемого уравнения теоремы существования и единственности, надо доказать, что подбором постоянных  в (3) можно удовлетворить произвольно заданным начальным условиям.

                                          (4)

где . Требуя, чтобы решение (3) удовлетворяло условию (4), перейдем к системе уравнений

                                               (5)

Эта линейная по отношению к постоянным  система n уравнений с n неизвестными при произвольных правых частях допускает единственность решения, т.к. её определитель, будучи определителем Вронского  линейно независимой системы решений соответственного однородного уравнения с непрерывными коэффициентами отличен от нуля при  что и требовалось  доказать.

6.1.1. Метод вариации произвольных постоянных.

 Этот метод применяется для решения неоднородных д. у. с непрерывными коэффициентами. В соответствии с этим методом решение неоднородного д. у. ищется в виде

                                                           (1)

т.е. в общем решении однородного д.у. коэффициенты  полагаются зависящими от x.

Так как подбором функций надо удовлетворить лишь одному уравнению

                                      (2)

То можно потребовать, чтобы эти n функций  удовлетворяли бы ещё каким – нибудь (n-1) уравнениям, которые мы выберем так, чтобы производные функции (1) имели бы по возможности такой же вид, какой они имеют при постоянных .

Итак, поскольку

то наложим на  условие          

Тогда     

Т.е. y имеет такой же вид, как и при постоянных . Теперь т.к.

то полагаем    

Продолжая вычислять производные функции  до (n-1) – порядка включительно и требуя каждый раз обращения в нуль суммы :

                                             (3)

Получим

                                          (4)

В последнем равенстве мы не можем потребовать, чтобы , т.к. функции  уже подчинены (n-1) условиям (3), а надо ещё удовлетворить исходному уравнению (2). Подставляя  из (4) в уравнение (2), получим:

        

                  

Или

                   (5)

Все  являются частными решениями соответствующих однородных уравнений. Поэтому

 

 Таким образом, уравнение (5) принимает вид

 

Итак, функции  определяются из системы n линейных уравнений

                                                              (6)

с отличным от нуля определителем системы

,

т.к. это – определитель Вронского для линейно независимых решений соответствующего однородного уравнения. Определив из (6) все , квадратурами находим

Итак, знание n линейно независимых частных решений соответствующего однородного уравнения позволяет методом вариации постоянных проинтегрировать неоднородное уравнение

6.1.2. Метод Коши решения линейного неоднородного уравнения.

Этот метод позволяет найти частное решение уравнения

                                                                          (1)

если известно зависящее от одного параметра решение K(x, t) соответствующего однородного уравнения  удовлетворяющее условиям (n2)

                                         (2)

                                                                      (3)

В этом случае

                                                           (4)

Будет частным решением уравнения (1), удовлетворяющим нулевым начальным условиям

Действительно, дифференцируя (4) и принимая во внимание условия (2) и (3), получим

                 (5)

Подставляя (4) и (5) в уравнение (1), имеем

т.к.  – решение соответствующего однородного уравнения, т.е. L[]0.

Решение  может быть выделено из общего решения  однородного уравнения, если выбрать произвольные постоянные  так, чтобы удовлетворялись условия (2) и (3).

Функцию  называют в литературе функцией влияния.

6.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Если в линейном однородном  дифференциальном уравнении

                                                    (1)

Все коэффициенты  постоянны, то его частные решения легко могут быть найдены.

Рассмотрим уравнение

                                                                                 (2)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Мы видели, что его частным решением является функция

                                                                                  (3)

Пусть в (1)  (в противном случае уравнение (1) было бы уравнением  порядка, меньшего, чем n), тогда уравнение (1) можно привести к виду

                                      (1a)

где , L – линейный оператор.

Оператор L можно представить в следующем виде

                   (1б)

где  – корни характеристического уравнения

                                                   (4)

a  – их кратности.

Представление оператора L в виде (1б) называется факторизацией этого оператора. Доказательство возможности подобной факторизации проводится по индукции. При n=2 имеем

причем , где  – корни характеристического уравнения

Далее

Пусть теперь при некотором n2:

где мы занумеровали подряд все корни (с учетом их кратности) от 1 до n. Теперь

Уравнение (1а) в результате (с использованием представления (1б)) примет вид

                                                    (5)

Пусть сначала все корни  уравнения (4) – однократные, тогда, как видно из (5) L[y]=0, если   

т.е.  (см. (3)), j=1,…,n – есть частные решения уравнения (1а).

Рассмотрим теперь случай, когда какой-нибудь корень, например, , имеет кратность . В этом случае требуется, чтобы

      (6)

Положим

           (7)

Тогда из (6) имеем   

И таким образом, . Теперь,  Воспользуемся методом подстановки:

тогда      

т.е.      

Таким образом,

.

Аналогично, при :

Снова полагаем (7), тогда

,

откуда

поэтому

.

Действуя по той же схеме, имеем

 

т.е.     

значит,     ,

т.е.  , а

Аналогично по индукции можно показать, что для r

,

а общее решение уравнения (1а) имеет, таким образом, следующий вид

    (8)

где m – число различных корней характеристического уравнения (4).

Соотношение (8) является общим решением уравнения (1а), поскольку можно показать, что функции

                                                      (9)

где m – число различных корней характеристического уравнения (4), линейно независимы.

Можно не приводить уравнение (1) к виду (1а), а иметь дело непосредственно с ним, тогда  будут корнями характеристического уравнения

                                        (4a)

Покажем, что система функций (9) линейно независима на отрезке .

Доказывая от противного, допустим, что эти функции линейно зависимы. Тогда

                                   (10)

где  – многочлен степени не выше (, причем хотя бы один полином, например,  не равен нулю тождественно (т.е. хотя бы один из коэффициентов при , отличен от нуля). Разделим тождество (10) на  и продифференцируем  раз. Тогда первое слагаемое в тождестве (10) исчезнет, и мы получим линейную зависимость такого же вида, но с меньшим числом функций

                                                   (11)

При этом степени многочленов  и  совпадают, т.к. при дифференцировании произведения , получим , т.е. коэффициент при старшем члене многочлена  после дифференцирования приобретет лишь не равный нулю множитель q. В частности, совпадают степени многочленов  и , и, следовательно, многочлен  не равен нулю тождественно. Деля тождество (11) на  и дифференцируя  раз, получим линейную зависимость с ещё меньшим числом функций. Продолжая этот процесс m-1 раз, получим

что невозможно, т.к. степень многочлена  равна степени многочлена  и, следовательно, многочлен  не равен нулю тождественно.

Доказательство не изменится и при комплексных .  

Т.к. коэффициенты уравнения (1) действительны, то комплексные корни характеристического уравнения могут появляться лишь сопряженными парами.

Комплексные решения , соответствующие паре комплексно сопряженных корней

                                                                              (12)

могут быть заменены двумя действительными решениями (см. теорему 3 лекции 7)

.

Таким образом, паре комплексно сопряженных корней (12) соответствуют два действительных решения .

6.2.1. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и специальным видом правой части.

Вообще говоря, при решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений применяют метод вариации постоянных или метод Коши. В случае уравнения с постоянными коэффициентами часто легко удается подобрать частные решения и тем самым свести задачу к решению соответствующего однородного уравнения. Пусть, например, уравнение имеет вид

        (1)

где все  – постоянные.

Если , то частное решение уравнения (1), также имеющее вид многочлена степени p. Действительно, подставляя

в уравнение (1) и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа, (т.к.  – линейно независимы) получаем для определения коэффициентов  всегда разрешимую, если  систему линейных уравнений:

откуда определяется  и т.д.

откуда определяется .

Итак, если , то существует частное решение, имеющее вид многочлена, степень которого равна степени многочлена, стоящего в правой части.

Пусть теперь , а также , но , т.е.  является r - кратным корнем характеристического уравнения, причем может быть r=1. Уравнение (1) принимает вид

                       (2)               

Полагая , мы приходим к предыдущему случаю, и, следовательно, частное решение уравнения (2), для которого

а значит y(x) является многочленом степени p+r, причем члены, начиная со степени (r-1) и ниже будут иметь произвольные постоянные коэффициенты, которые могут быть выбраны, в частности, равными нулю. Тогда частное решение примет вид

7. Системы линейных дифференциальных уравнений.

Напомним, что достаточными условиями существования и единственности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений

                                                             (1)

удовлетворяющего начальным условиям

                                                     (2)

являются:

  1.  непрерывность всех функций  в окрестности начальных значений;
  2.  выполнение условия Липшица для всех функций  по всем аргументам, начиная со второго, в той же окрестности.

Условие 2)  можно заменить более сильным, но легче проверяемым

Решение системы:  является n - мерной вектор-функцией X(t), а правая часть F – вектор-функция с координатами , т.е. система (1) имеет вид

а начальное условие:

где  – n - мерный вектор с координатами .

В пространстве () решение X(t) определяет так называемую интегральную кривую, причем при выполнении условий 1) и 2) через каждую точку пространства проходит единственная интегральная кривая.

Совокупность интегральных кривых образует n-параметрическое семейство. В качестве параметров этого семейства могут быть взяты, например, начальные значения .

В евклидовом пространстве с прямоугольными координатами  решение  определяет закон движения по некоторой траектории в зависимости от изменения параметра t, который можно считать временем. Тогда  – скорость движения точки, а  – координаты скорости этой точки. Пространство  называют фазовым, а кривую X=X(t) – фазовой траекторией.

Система (1) в заданный момент времени t определяет в пространстве поле скоростей.

Система (1) называется линейной, если все функции  – линейные, т.е. она имеет вид

                                             (3)

или

                                                                       (4)

подробнее:

            .                            (4а)

Если все функции  и  в (3) непрерывны на отрезке , то в достаточно малой окрестности каждой точки (), где , выполняются условия теоремы существования и единственности, т.к. правые части в (3) непрерывны, а их частные производные по любому  ограничены, т.к. эти частные производные равны непрерывным на  коэффициентам .

Определим линейный оператор L равенством

тогда уравнение (4) может быть записано в виде

                                                                               (5)

Если все , т.е. вектор F=0, то система (5) называется линейной однородной. Линейная однородная система имеет вид

                                                                               (6)

Оператор L обладает следующими свойствами:

1)         

где с – произвольная постоянная,

2)       

Действительно,

    

Следствие:

                           

где  – произвольные постоянные.

 Теорема 1. Если X является решением линейной однородной системы   то и cX, с – произвольная постоянная, является решением той же системы.

 Доказательство. в силу свойства (1)

                      

 ч.т.д

 Теорема 2. Сумма  двух решений  и  однородной линейной системы дифференциальных уравнений является решением той же системы.

Доказательство: в силу свойства (2)

 

Следствие. Линейная комбинация  с произвольными постоянными коэффициентами решений  линейной однородной системы L[X]=0 является решением той же системы.

 Теорема 3. Если линейная однородная система (6) с действительными коэффициентами  имеет комплексное решение X=U+iV, то действительная и мнимая части

      и        

в отдельности являются решениями этой же системы.

Доказательство: из свойств 1) и 2) оператора L имеем

 L[U+iV]L[U]+iL[V]0

поэтому L[U]0 и L[V]0.

Определение. Векторы , где

называются линейно зависимыми на отрезке , если существуют постоянные , такие, что

                                                        (7)

при , причем хотя бы одно . Если же (7) справедливо лишь при , то векторы  называются линейно независимыми.

Тождество (7) эквивалентно n тождествам

                     (7а)

Отсюда вытекает

Теорема 4. Если векторы  линейно зависимы, т.е. существует нетривиальная совокупность , удовлетворяющая системе n линейных однородных уравнений (7а), то её определитель   

,

называемый определителем Вронского  для системы векторов , должен быть равен нулю для всех .

 Теорема 5. Если линейно независимые векторы  являются решениями линейной однородной системы (6) с непрерывными на отрезке [a, b] коэффициентами, то определитель Вронского W этой совокупности векторов не может обратиться в нуль ни в одной точке отрезка .

Доказательство. Пусть в некоторой точке  , тогда можно подобрать коэффициенты , такие, чтобы

.

Тогда линейная комбинация  является решением системы (6), удовлетворяющим нулевым начальным условиям . Таким условиям удовлетворяет тривиальное решение , а в силу теоремы единственности этим условиям удовлетворяет только это решение, т.е.  – линейно зависимы, вопреки условию, ч. т. д.

 Замечание. Эта теорема не верна для произвольных векторов , не являющихся решением системы (6) с непрерывными коэффициентами.

 Теорема 6. Линейная комбинация  n линейно независимых решений  линейной однородной системы (6) с непрерывными на отрезке [a, b] коэффициентами  является общим решением системы (6) на этом отрезке.

Доказательство. Так как система удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, то для доказательства теоремы достаточно убедиться, что подбором постоянных  в решении  можно удовлетворить произвольно выбранным начальным условиям где    .

Векторное уравнение

                                                   

эквивалентно системе

                                                  

которая разрешима при любых  т.к. ее определитель является определителем Вронского для линейно независимой  системы решений  а потому не обращается в нуль ни в одной точке отрезка  Что и требовалось доказать.

          Теорема 7. Если   является решением линейной неоднородной системы

                                                                                                 (5)

а   - решением соответствующей однородной системы  

то сумма    также будет решением неоднородной системы   

 Доказательство. Имеем      ч. т. д.

          Теорема 8. Общее решение на отрезке  неоднородной системы (5) с непрерывными на том же отрезке коэффициентами  и правыми частями  равно сумме общего решения соответствующей однородной системы и частного решения  рассматриваемой неоднородной системы.

          Доказательство. Условия теоремы существования и единственности выполнены, поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что подбором произвольных постоянных  в решении   можно удовлетворить произвольно заданным начальным условиям

                                                    .

Но уравнение

                                                             

эквивалентное системе

      (8)

всегда имеет единственное решение  при любой правой части, т.к. определитель системы (8) – это Вронскиан для линейно независимых решений  соответствующей однородной системы в точке , а он по теореме 5 отличен от нуля, ч. т. д.

          Теорема 9 (принцип суперпозиции). Решением системы линейных уравнений

                                           

является сумма  решений систем уравнений

                                              

          Доказательство. Имеем   ч. т. д.

 Замечание. Теорема (9) верна и при , если ряд  сходится и допускает почленное дифференцирование.

7.1. Метод вариации постоянных.

Пусть  является при произвольных постоянных  общим решением соответствующей однородной системы с непрерывными коэффициентами

                                                                        (6)

и, следовательно,  - линейно независимые частные решения той же однородной системы. Решение неоднородной системы

                                                                        (9)

будем искать в виде

                 

где  - новые неизвестные функции. Подстановка в уравнение (9) дает

            

или т.к. , получим          

Последнее уравнение эквивалентно системе

                                                                   (10)

Из этой системы n уравнений с n неизвестными  с определителем W, являющимся определителем Вронского для линейно независимых решений  и, следовательно, отличным от нуля, определяются все :

 

откуда, интегрируя, получим

 

7.2.  Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Система дифференциальных уравнений вида

                или       

в которой матрица  постоянна, называется линейной системой с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим сначала соответствующую однородную систему

                                  (1)

или

                        .                                                                     (1a)

В линейной алгебре доказывается следующая

 Теорема. Пусть  - линейный оператор, действующий в n – мерном векторном пространстве V. Существует базис (состоящий из собственных и присоединенных2 векторов оператора ), в котором матрица A оператора  имеет так называемую каноническую жорданову форму

                    ,                                                   (2)

где клетка  представляет собой следующею матрицу (жорданов блок)

                                                                    (3)

размера , причем

                                       ,                                                        (3a)

а  – корень характеристического уравнения

                                                                            (4)

Если все корни  уравнения (4) различны, то матрица A приводится к диагональному виду (все ).

Пусть В – невырожденная матрица замены базиса, в результате которой матрица A принимает жорданову или диагональную форму. Если через  мы обозначим вектор X в новом базисе, то, как известно

                                                                                                 (5)

Подставляя (5) в (1), получим

                                                                                   (1а)

В уравнении (1а) матрица   теперь либо диагональная (в случае различных ), либо жорданова. Рассмотрим сначала случай, когда все корни  уравнения (4) различны. В этом случае система (1а) имеет следующий вид

                                                                                (1б)

Решая уравнение (1б), имеем    где

В соответствии с (5) для вектора X в исходном базисе имеем

                                                          (6)

Векторы

являются, как известно, собственными векторами оператора, соответствующими собственным значениям .

Итак, общее решение однородной системы (1) имеет вид (6), причем векторы

                                                                                  (7)                                                

частные решения системы (1), которые могут быть получены следующим образом. Подставим в уравнение (1) выражение (7), в котором  заменим на пока неопределенный параметр . В результате получим

                              

или

                                                                                          (8)

где  – неопределенный пока вектор столбец, I – единичная матрица. Для того чтобы уравнение (8) имело нетривиальные решения (собственный вектор ), необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство (4). Найдя корни  характеристического уравнения (4), из (8) найдем соответствующие собственные векторы . В результате получим набор частных решений вида (7). Векторы  в случае различных  линейно независимы. Покажем, что и  также линейно независимы.

Пусть

                              

т.е.

                                                                                                (9)

Тогда в силу линейной независимости функций  на отрезке [a, b] (см. выше), из (9) следовало бы, что

                                                    (10)

Но т.к. при каждом j хотя бы одно из чисел  отлично от нуля, то из (10) следует, что  для .

         Итак, решения  линейно независимы, и общее решение системы (1) имеет вид (6), где  - произвольные постоянные.

 Комплексному корню характеристического уравнения (4)  соответствует комплексное решение вида (7), которое, если все коэффициенты  действительные, может быть заменено двумя действительными решениями:  и . Комплексно сопряженный корень  не дает новых линейно независимых решений.

Прейдем теперь к случаю, когда уравнение (4) имеет кратные корни. В этом случае, как отмечено выше, матрица A приводится к жордановой форме  (2). При этом в системе (1а) «связанными» оказываются лишь составляющие вектора  в пределах одной жордановой ячейки. Рассмотрим поэтому систему вида

                                                                                   (11)

в которой, как это следует из (3а) , где  – кратность корня .

Система (11) легко решается:   

откуда, полагая ,   получаем , т.е.

.

Поступая аналогично, будем иметь   …

                    .             (12)

Таким образом, для нахождения общего решения системы (1) следует для каждого корня  характеристического уравнения (4) составить выражения следующего вида

      (13)

(где - кратность корня ) с неопределенными коэффициентами  и подставить их в систему (1). В результате, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, мы получим алгебраическую систему для нахождения . Число неизвестных, остающихся произвольными при решении этой системы, не более кратности корня. Общее решение системы (1) будет иметь следующий вид

.      (14)

Пример. Решить систему уравнений

                                                 (15)

Характеристическое уравнение

имеет корни:

Поэтому . Подставляя в (15), получим        

откуда: , т.е. .

Для двукратного корня в соответствии с (14а)  

Подставив в (15) и сокращая на , имеем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим

            

Вторая из выписанных систем позволяет определить составляющие собственного вектора матрицы исходной системы дифференциальных уравнений, а первая – присоединенного.

Из правого столбца, полагая , имеем: . Тогда из левого столбца, полагая , имеем  

Итак, общее решение имеет вид:

8. Матричная экспонента.

Решение системы (1а) предыдущего раздела   можно записать в виде

где  – вектор начальных значений, т.е.

, а  – матрица, j – й столбец которой есть решение системы (1а)

с начальными условиями , т.е. матрица   имеет вид

и удовлетворяет уравнению .

Тогда вектор (t) – решение системы (1а) с начальным условием  может быть записан в виде

,

т.е. в виде

Если все корни характеристического уравнения

различны, то для матрицы   можно получить другое представление. В самом деле, в этом случае решения  дифференциального уравнения (1а) линейно независимы. Запишем их в виде (7) предыдущей лекции, т.е.

где  - собственные векторы матрицы А, соответствующие собственным значениям , и образуем матрицу

.

Запишем теперь j-е решение  уравнения (1а)

удовлетворяющее начальному условию , где  – диагональная матрица,  - вектор столбец коэффициентов, и положим

где  – матрица коэффициентов .

Тогда при t=0 будем иметь     откуда .

Теперь окончательно имеем

где  – матрица, составленная из линейно независимых собственных векторов матрицы А, т.е. решений уравнения (8) предыдущей лекции

соответствующих различным собственным значениям .

8.1. Матрицы и дифференциальные уравнения. Существование и единственность решения векторного дифференциального уравнения.

Соответствующая теорема была нами доказана ранее. Здесь мы её докажем в векторно-матричных обозначениях, что представляет самостоятельный интерес, т.к. в случае линейных систем решение существует и единственно на всем отрезке, где выполняются условия теоремы существования.

 Теорема 1. Если матрица А(t) непрерывна при , то решение векторного дифференциального уравнения

                                                                 (3)

существует для всех , единственно и может быть записано в виде

                                                                                (9)

где X(t) – матрица, определенная единственным образом и удовлетворяющая матричному дифференциальному уравнению

                                                            (10)

Доказательство здесь также проводится при помощи метода последовательных приближений. Рассмотрим вместо (10) эквивалентное интегральное уравнение

                                                                (11)

Решая уравнение (11) методом последовательных приближений, положим

                                (12)

Далее снова проводится доказательство сходимости последовательности  к некоторой матрице . Затем доказывается, что  удовлетворяет уравнению (11) и что других решений нет.

Матрица X называется фундаментальной матрицей системы (3) или матрицей Коши. Иногда матрицу X называют матрицантом системы (3). Для матрицанта X в соответствии с выше изложенным имеем следующий равномерно сходящийся на отрезке  ряд (см. (12)).

.     (13)

Легко убедиться, что матрицант (13) удовлетворяет уравнению

                                                                  (10)

8.2. Матричная экспонента.

      Рассмотрим ряд (13), в котором A – постоянная матрица. Мы получим

  .                           (14)

По аналогии с соответствующим функциональным рядом ряд (14) называют матричной экспонентой и обозначают

                         .                                        (15)

В силу (10)

 

Имеет место следующая

 Теорема 2. Матричный ряд (15) существует для всех матриц А при любом фиксированном t, и для фиксированной матрицы А он равномерно сходится в любой конечной области комплексной плоскости t.

Доказательство. Имеем

                                                                    (16)

Из (16) видно, что ряд (15) мажорируется равномерно сходящимся рядом (разложением экспоненты ) и, следовательно, сам равномерно сходится в любой конечной области плоскости t. Ч. т. д.

Для матричной экспоненты имеет место тождество

                                                                              (17)

В самом деле,

Полагая в (17) , имеем

                                                                       (25)

Следовательно, матрица  всегда невырождена и её обратная равна . Это матричный аналог того, что скалярная экспонента никогда не обращается в нуль.

8.3. Неоднородное векторное дифференциальное уравнение.

  1.  Случай системы с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим задачу решения неоднородной системы

                                                                    (1)

где А – постоянная матрица. Умножим уравнение (1) слева на матрицу :

(т.к. А и  коммутируют), следовательно,

откуда

                                                                              (2)

  1.  Система с переменными коэффициентами.

Пусть теперь требуется найти решение системы

                                                                        (3)

Воспользуемся методом вариации постоянных и будем искать решение уравнения (3) в виде

                                                                                                               (4)

где  – переменный вектор, а X(t) – фундаментальная матрица (матрицант) соответствующей однородной системы, т.е. решение  уравнения

                                                                       (5)

Подставим (4) в (3), тогда получим (с учетом (5))

откуда      

а, следовательно,

                                                                                       (6)

(, см. (4)).

Матрица X невырождена, т.к. она составлена из линейно независимых векторов. Интегрируя (6), получим

Таким образом, окончательно имеем

                                                            (7)

Формула (7) является обобщением соотношения (2).

9. Понятие об устойчивости решений дифференциальных уравнений.

Исследование реальных явлений или систем обычно проводится при помощи математических моделей, при разработке которых исследуемое явление упрощается, идеализируется и т.п. При этом весьма важно, как влияют неучтенные факторы на решение.

Пусть некоторое явление или система может быть описана системой дифференциальных уравнений

                                             (1)

с начальными условиями , которые обычно задаются с некоторой погрешностью, т.к. получены на основе эксперимента.

Если окажется, что сколь угодно малые изменения начальных данных могут сильно изменить решение, то такое решение не имеет никакой  ценности, т.к. оно не может описывать изучаемое явление.

Если параметр t изменяется на конечном отрезке , то в условиях справедливости теоремы существования и единственности решение непрерывно зависит от начальных значений и, следовательно, при малом изменении начальных значений решение изменится также мало.

Если же t может быть сколь угодно большим, то на соответствующие вопросы ответ дает теория устойчивости.

Решение  системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для  можно подобрать такое , что для всякого решения , той же системы, начальные значения которого удовлетворяют неравенствам

,

для всех  справедливы неравенства

                                                                (2)

т.е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими при всех .

Если при сколь угодно малом  хотя бы для одного решения  неравенства (2) не выполняются, то решение  называется неустойчивым.

Если решение  не только устойчиво, но также удовлетворяет условию

                        ,                                     (3)

когда , то решение  называется асимптотически устойчивым.

Заметим, что из одного условия (3) ещё не следует устойчивости решения .

Исследование на устойчивость некоторого решения

Системы уравнений

                                             (1)

может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального решения – точки покоя, расположенной в начале координат.

Действительно, преобразуем систему уравнений (1) к новым переменным

                                                             (4)

где  – решение системы (1) с начальным условием . Новыми неизвестными функциями  являются отклонения  “возмущенных” известных функций  от функций, определяющих исследуемое на устойчивость решение.

При этом система (1) преобразуется к виду

                                 (5)

или

                                                          (5а)

Очевидно, что исследуемому на устойчивость решению  системы (1), в силу зависимости  соответствует тривиальное решение , системы (5), причем исследование на устойчивость решения  системы (1) может быть заменено исследованием на устойчивость тривиального решения системы (5), т.е. расположенной в начале координат точки покоя системы уравнений.

Сформулируем условия устойчивости в применении к точке покоя .

Точка покоя  системы (5) устойчива в смысле Ляпунова, если для каждого  можно подобрать  такое, что из неравенства

следует           при .

Иначе: точка покоя  устойчива в смысле Ляпунова, если для    , такое, что из неравенства

следует     

при , т.е. траектория, начальная точка которой находится в -окрестности начала координат, при  не выходит за пределы -окрестности начала координат.

9.1. Простейшие типы точек покоя.

         Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя x=0, y=0 системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

                                                                              (6)

где

Решение ищем в виде . Тогда имеем характеристическое уравнение

 т.е.  

а и с точностью до постоянного множителя определяются из одного из уравнений

                                                                                             (7)

Рассмотрим следующие случаи.

а) Корни характеристического уравнения  и  действительны и различны.

Общее решение имеет вид

                                                                                (8)  

где  – постоянные, определяемые из уравнений (7) соответственно при  и при , а  – произвольные постоянные.

При этом возможны следующие случаи.

1) Если , то точка покоя x=0, y=0 асимптотически устойчива, т.к. из-за множителей  и  в (8) все точки, находящиеся в начальный момент  в любой - окрестности начала координат при достаточно большом t переходят в точки, лежащие в сколь угодно малой –окрестности  начала координат, а при t стремятся к началу  координат. Точка покоя рассматриваемого типа   называется устойчивым  узлом.

2) Пусть  и . Этот случай переходит в предыдущий при замене t на -t . Следовательно, траектории имеют такой же вид, как и  в предыдущем случае, но только точки по траекториям движутся в противоположном направлении. Очевидно, что с возрастанием t точки, сколь угодно близкие к началу координат, удаляются из –окрестности    начала  координат – точка покоя неустойчива в смысле Ляпунова. Такая точка покоя называется неустойчивым узлом.

3) Если , то точка покоя тоже неустойчива, т.к. движущаяся по траектории

                                                                     (9)

точка при сколь угодно малых значениях  с возрастанием t выходит из – окрестности начала координат.

                                 В рассматриваемом случае существуют движения, приближающиеся к началу координат, а именно   .

При различных значениях  получаем различные движения по одной и той же прямой . При возрастании t точки на этой прямой движутся по направлению к началу координат. Точки траектории (9) движутся с возрастанием t по прямой , удаляясь от начала координат. Если же  и , то как при , так и при  траектория покидает окрестность точки покоя. Точка покоя рассматриваемого типа называется   седлом, т.к. траектории в окрестности такой точки напоминают линии уровня в окрестности седловой точки поверхности z=f(x,y).

б) Корни характеристического уравнения комплексные:

Общее решение системы (6) в этом случае можно представить в виде

                                                                     (10)

где  – произвольные постоянные, а  – некоторые линейные комбинации  и . При этом возможны 3 случая:

1)                   

Множитель , а второй - периодический множитель в соотношении (10) - ограничен. При p=0 траектории в силу периодичности вторых множителей в (10) были бы замкнутыми кривыми, окружающими точку покоя . Из-за наличия множителя   при  замкнутые кривые превращаются в спирали (направление закручивания траекторий определяется по вектору скорости  в какой-либо точке (x,y)), асимптотически приближающиеся при  к началу координат, причем при достаточно большом t точки, находившиеся при  в любой – окрестности начала координат, попадают в заданную - окрестность точки покоя x=0, y=0, а при дальнейшем увеличении t стремятся к точке покоя. Следовательно, точка покоя асимптотически устойчива - это устойчивый фокус. Фокус отличается от узла тем, что касательная к траектории не стремится к определенному пределу при приближении точки касания к точке покоя.

2)    

Этот случай переходит в предыдущий при замене t на –t. Следовательно, траектории имеют тот же вид, что и в предыдущем случае, но движение по ним при возрастании t происходит в противоположном направлении (стрелки направлены от центра). Из-за наличия возрастающего множителя  точки, находившиеся в начальный момент сколь угодно близко к началу координат, с возрастанием t удаляются из -окрестности начала координат. Точка покоя неустойчива – это неустойчивый фокус.

3)    

В этом случае траекториями являются, как отмечалось в пункте б)1), замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку покоя, называемую в этом случае центром. Центр является устойчивой точкой покоя, т.к. для данного  можно подобрать  такое, что замкнутые траектории, начальные точки которых лежат в -окрестности начала координат, не выходят за пределы -окрестности начала координат или что то же самое, можно подобрать столь малые  и , что решения

                                                            (11)

будут удовлетворять неравенству  .

Однако асимптотической устойчивости в рассматриваемом случае нет, т.к. x(t) и y(t) в (11) не стремятся к нулю при .

в) Корни кратные: .

1)      .

Общее решение имеет вид

причем может быть , но тогда  и  будут произвольными постоянными, чтобы удовлетворить произвольным начальным условиям.

Напомним, что в этом случае (кратных корней) в жордановом базисе система (6) будет иметь следующий вид:

                                                  

и иметь решение , либо .

Из-за наличия множителя  при произведения  стремятся к нулю при , причем при достаточно большом t все точки любой – окрестности начала координат попадают в заданную – окрестность начала

координат и, следовательно, точка покоя, асимптотически устойчива. Точка покоя рассматриваемого типа так же, как и в случае а)1) называется вырожденным устойчивым узлом. Этот узел занимает промежуточное положение между узлом а)1) и фокусом б)1), т.к. при сколь угодно малом изменении действительных коэффициентов  он может превратиться как в устойчивый фокус, так и в устойчивый узел типа а)1), ибо при сколь угодно малом изменении коэффициентов кратный корень может перейти как в пару комплексно сопряженных корней, так и в пару действительных различных корней. Если , то тоже получается устойчивый узел - дикритический узел.

2) Если , то замена t на –t приводит к предыдущему cлучаю, т.е. вид траекторий тот же, но движение происходит в противоположном направлении. В этом случае точка покоя, так же,  как и в случае а)2) – неустойчивый узел.

         Таким образом, исчерпаны все возможности, возникающие в случае , т.к. при этом характеристическое уравнение     не имеет корней =0.

9.2. Замечания по поводу классификации точек покоя.

  1.  Если         то характеристическое уравнение

имеет нулевой корень .

Предположим, что , а . Тогда общее решение системы

                                                                                    (1)

Имеет вид

Исключая t, получим семейство параллельных прямых

.

При  получаем однопараметрическое семейство точек покоя, расположенных на прямой . Если , то при  на каждой траектории точки приближаются к лежащей на этой траектории точке покоя . Точка покоя  устойчива, но асимптотической устойчивости нет. Если же , то траектории – те же, но движение по ним происходит в противоположном направлении – точка покоя  неустойчива.

  1.  Если , то возможны два случая:
  2.  Общее решение имеет вид  – все точки являются точками покоя, т.е. все решения устойчивы.
  3.  Общее решение имеет вид , где  – линейные комбинации постоянных  и . Точка покоя  неустойчива.

         Классификация точек покоя тесно связана с классификацией особых точек. Действительно, в рассматриваемом случае система (1), в которой  путем исключения t могла быть сведена к уравнению

                                                                                    (2)

Интегральные кривые которого совпадают с траекториями движения системы (1). При этом точка покоя x=0, y=0 системы (1) является особой точкой уравнения (2).

Итак, если оба корня характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть (случаи а)1); б)1); в)1)), то точка покоя асимптотически устойчива.

Если же хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную действительную часть (случаи а)2); а)3); б)2); в)2)), то точка покоя неустойчива.

9.3. Однородная система n линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Для системы n линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

                                                                     (3)

проведенный в предыдущей лекции анализ переносится почти без изменений.

Если действительные части всех корней характеристического уравнения системы (3) отрицательны, то тривиальное решение  асимптотически устойчиво.

В самом деле, частные решения, соответствующие некоторому корню  характеристического уравнения, имеют вид  если , или  если , и, наконец, в случае кратных корней приведенные решения домножаются на некоторые многочлены  (см. п. 7.2). Очевидно, что все решения такого вида при  или  (если ) стремятся к нулю при  не медленнее, чем , где С – постоянный множитель, а –m<0 и больше наибольшей действительной части корней характеристического уравнения. Следовательно, при достаточно большом t точки траекторий, начальные значения которых находятся в любой -окрестности начала координат, попадают в сколь угодно малую -окрестность начала координат, а при  - неограниченно приближаются к началу координат, т.е. точка покоя  асимптотически устойчива.

Если же хотя бы для одного корня характеристического уравнения , то соответствующее этому корню решение вида  или в случае комплексного  - его действительная (или мнимая) часть  при сколь угодно малых по модулю С неограниченно возрастает по модулю при , т.е. точки, расположенные в начальный момент в -окрестности начала координат при возрастании t покидают любую заданную -окрестность начала координат, т.е. в этом случае точка покоя  системы (3) неустойчива.

9.4. Теоремы Ляпунова об устойчивости.

      Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида

                                                            (4)

 Теорема 1. Если существует дифференцируемая функция , называемая функцией Ляпунова, удовлетворяющая в окрестности начала координат условиям:

1) , причем V=0 лишь при , т.е. функция V имеет строгий минимум в начале координат (положительно определенная функция),

2)  при ,

то точка покоя  устойчива.

Производная в условии 2) взята вдоль интегральной кривой, т.е. в предположении, что аргументы  функции  заменены решением  системы (4). При этом

 Доказательство. В окрестности начала координат как в окрестности точки строгого минимума поверхности уровня  являются замкнутыми поверхностями, внутри которых находится точка минимума – начало координат. Зададим . При достаточно малом C>0 поверхность уровня V=C целиком лежит в -окрестности начала координат (точнее, по крайней мере одна замкнутая компонента поверхности V=C лежит в -окрестности начала координат), но не проходит через него, следовательно, можно выбрать такое , что -окрестность начала координат целиком лежит внутри поверхности V=C, причем в этой окрестности V<C. Если начальная точка с координатами  выбрана в -окрестности начала координат, т.е. , то при  точка траектории, определяемой этими начальными условиями, не может выйти за пределы поверхности уровня V=C, т.к. в силу условия 2) теоремы, функция V вдоль траектории не возрастает и, следовательно, при

                                  

Что и требовалось доказать.

 Теорема 2 (об асимптотической устойчивости). Если существует дифференцируемая функция Ляпунова , удовлетворяющая в некоторой окрестности начала координат условиям:

1)  и имеет строгий минимум в начале  координат: ;

2) производная функции V, вычисленная вдоль интегральной кривой системы (4)

                         

причем вне сколь угодно малой окрестности начала координат, т.е. при , производная , где , то точка покоя  системы (4) асимптотически устойчива.

Доказательство. Так как условия теоремы 1 выполнены, то для  можно подобрать такое , что траектория, начальная точка которой находится в -окрестности начала координат, при  не выходит за пределы -окрестности начала координат. Следовательно, вдоль такой траектории при  выполнено условие 2), поэтому вдоль траектории функция V монотонно убывает с возрастанием t и ограничена снизу, и вдоль траектории существует предел функции V при :

                                 

Если , то из условия 1) будет следовать, что , т.е. точка покоя  асимптотически устойчива.

Допустим, что , тогда траектория при  находится в области , следовательно, вне некоторой  – окрестности начала координат, т.е. там, где по условию 2)  при . Умножая неравенство  на dt и, интегрируя вдоль траектории в пределах от  до t, получим                

или                       

При достаточно большом t правая часть становится отрицательной, т.е. , что противоречит условию 1). Ч.т.д.

Теорема 3 (Четаева) о неустойчивости. Если существует дифференцируемая функция , удовлетворяющая в замкнутой h-окрестности начала координат следующим условиям:

1)  и в окрестности начала координат существует область (), в которой ;

2)  причем в области , где >0 – любое, , то точка покоя  системы (4) неустойчива.

Доказательство. Начальную точку  возьмем в области . Т.к. вдоль траектории , то функция V вдоль траектории возрастает. Допустим, что траектория не покидает h-окрестности начала координат. Тогда умножая неравенство  на dt и интегрируя, имеем

                 

т.е. при  функция V вдоль траектории неограниченно возрастает, что невозможно, т.к. дифференцируемая в замкнутой области функция V ограничена. Таким образом, траектория покидает h-окрестность точки покоя, т.е. точка покоя неустойчива. Ч.т.д.

Общего метода построения функции Ляпунова не существует. Часто её можно построить в виде квадратичной формы . 

9.5. Исследование на устойчивость по первому приближению.

Рассмотрим нелинейную нормальную систему дифференциальных уравнений

                                                         (1)

где  – дифференцируемые в окрестности начала координат  функции.

Напомним, что исследование на устойчивость точки покоя  системы (1) эквивалентно исследованию на устойчивость некоторого решения  системы дифференциальных уравнений

                             (2)

т.к. система (1) может быть получена из (2) после замены

                     

в результате, которой из (2) имеем

                                              (3)

Обозначив правую часть в (3) через  получим систему (1). Из (3) и (2) видно, что в точке покоя, т.е. при  правые части системы (1) обращаются в нуль:.

Теперь, с учетом этого обстоятельства и пользуясь дифференцируемостью функций , представим систему (1) в окрестности начала координат  в следующем виде

                                                  (4)

где  имеют порядок выше первого относительно .

Будем исследовать на устойчивость точку покоя  линейной системы

                                                                            (5)

называемой системой уравнений первого приближения для системы (4).

Если все коэффициенты , т.е. система (1) стационарна в первом приближении, то исследование на устойчивость линейной системы (5) не представляет принципиальных затруднений (см. лекцию 14). В отношении системы (4) имеют место следующие теоремы.

 Теорема 1. Если система уравнений (4) стационарна в первом приближении, все члены  в достаточно малой окрестности начала координат (при ) удовлетворяют неравенствам , где N и - постоянные, причем , и все корни характеристического уравнения

                                                                                                 (6)

имеют отрицательные действительные части, то тривиальные решения  системы (4) и системы уравнений (5) асимптотически устойчивы, следовательно, в этом случае возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

 Теорема 2. Если система уравнений (4) стационарна в I приближении, все функции  удовлетворяют условиям предыдущей теоремы, и хотя бы один корень характеристического уравнения (6) имеет положительную действительную часть, то точки покоя  системы (4) и системы (5) неустойчивы, следовательно, и в этом случае возможно исследование на устойчивость по I приближению.

В так называемом критическом случае, когда все действительные части корней характеристического уравнения неположительные, причем действительная часть хотя бы одного корня равна нулю, на устойчивость тривиального решения системы (4) начинают влиять нелинейные члены , и исследование на устойчивость по первому приближению, вообще говоря, невозможно.

Докажем теорему 1 в предположении, что все корни  характеристического уравнения (6) действительны и различны                 при .

В векторных обозначениях системы (4) и (5) примут соответственно следующий вид

                                                                                    (4а)

                                    ,                                                                         (5а)

где

С помощью невырожденного линейного преобразования с постоянными коэффициентами X=BY, где

преобразуем систему (5а) к виду   или в котором матрица  - диагональная

                          

т.е. система (5) примет вид

                                 

а система (4) при том же преобразовании переходит в

                                                                 (7)

где ,  - постоянная величина,  (т.к. ).

Для системы (7) функцией Ляпунова, удовлетворяющей условиям теоремы об асимптотической устойчивости, является

Действительно,

1)

2)

при достаточно малых , т.к. все , а величина  при достаточно малых  может быть сделана по модулю меньше суммы .

Наконец, вне некоторой окрестности начала координат . Таким образом, тривиальные решения системы (7), а, следовательно, и (4), как и системы (5), асимптотически устойчивы. Ч.т.д.

10. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка

Наиболее общее уравнение с частными производными I порядка с n независимыми переменными может быть записано в виде

                                             ,                                            (1)

где F – заданная функция,  - искомая функция,  - независимые переменные.

Линейным неоднородным уравнением или квазилинейным уравнением I порядка в частных производных называется уравнение вида:

                   .             (2)

Это уравнение линейно относительно производных, но может быть нелинейным  относительно неизвестной функции Z.

Если , а коэффициенты Xi не зависят от z, то уравнение (2) называется линейным однородным.

Рассмотрим вначале квазилинейное уравнение с двумя независимыми переменными

                      P(x, y, z) + Q(x, y, z) = R(x, y, z),                                       (3)

где P, Q, R непрерывны в некоторой области изменения переменных и не обращаются в нуль одновременно.

Рассмотрим непрерывное векторное поле

.

Векторные линии этого поля (т.е. линии, касательные к которым в каждой точке имеют направление, совпадающее с направлением вектора  в той же точке) определяются из условия коллинеарности вектора , направленного по касательной к искомым линиям, и вектора поля :

                                 =  = .                                   (4)

Поверхности, составленные из векторных линий, точнее, поверхности целиком содержащие векторные линии, имеющие хотя бы одну общую точку с поверхностью, называются векторными поверхностями.

Очевидно, векторные поверхности можно получить, рассматривая множество точек, лежащих на произвольно выбранном непрерывно зависящем от параметра однопараметрическом семействе векторных линий. Векторная поверхность характеризуется тем, что вектор , направленный по нормали к поверхности в любой ее точке, ортогонален вектору поля :

                                                           () = 0.                                                  (5)

Если векторная поверхность задана уравнением z = f(x,y), то вектор

(, а т.к.  направлен по касательной к , то ), и условие (5) принимает вид:

                  .                                           (3)

Если же векторная поверхность задана уравнением u(x,y,z) = 0 (неявно), т.е.

    ,

то условие (5) имеет следующий вид:

.                       (6)

Следовательно, для нахождения векторных поверхностей надо проинтегрировать квазилинейное уравнение (3) или линейное однородное уравнение (6) в зависимости от того, ищем ли мы уравнение искомых векторных поверхностей в явном или неявном виде.

Т.к. векторные поверхности могут быть составлены из векторных линий, то интегрирование уравнений (3) или (6) сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений векторных линий (4).

10.1. Первые интегралы систем дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

                                                         .                                       (7)

Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием системы (7), но уже легко интегрирующееся, например, являющееся уравнением вида

dФ(t,) = 0

или уравнением, которое может быть сведено путем замены переменных к какому-нибудь интегрируемому типу уравнений с одной неизвестной функцией.

Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно соотношение

Ф1(t,) = ,

связывающее неизвестные функции и независимую переменную; такое соотношение называется первым интегралом системы (7).

     Итак, первым интегралом

                                                                                             (8)

системы уравнений (7) называется соотношение, не равное тождественно постоянной, содержащее в левой части независимую переменную и искомые функции и принимающее постоянное значение, если вместо искомых функций подставить какое-нибудь решение системы (7).

Геометрически первый интеграл (8) при фиксированном С можно интерпретировать как n-мерную поверхность в (n+1)-мерном пространстве с координатами , обладающую тем свойством, что каждая интегральная кривая, имеющая общую точку с этой поверхностью, целиком лежит на поверхности.

При переменном С получаем семейство непересекающихся поверхностей, состоящих из точек некоторого (n-1)-параметрического семейства интегральных кривых системы (7).

Если найдено k интегрируемых комбинаций, то получаем k первых интегралов

                                                                                     (9)

Если все эти интегралы независимы, то есть если хотя бы один из определителей

,

где  какие-нибудь k функций из ,  не равен нулю, то из системы (9) можно выразить k неизвестных функций через остальные и, подставив в систему (7), понизить ее размер. Если k=n и все интегралы независимы, то все неизвестные функции определяются из (9).

Для нахождения интегрируемых комбинаций часто удобно переходить к так называемой симметричной форме записи системы уравнений (7)

,

где (t,) = .

10.2. Характеристики

     Вернемся к системе дифференциальных уравнений векторных линий

                       =  = .                                                  (1)

Пусть  - два независимых I-х интеграла системы (1). Выделим из двухпараметрического семейства векторных линий ,

называемых характеристиками уравнения (3) (или (6)) предыдущего раздела произвольным способом однопараметрическое семейство, устанавливая какую-нибудь (произвольную) непрерывную зависимость  между параметрами С1 и С2 . Исключая из системы

параметры С1 и С2 , получаем искомое уравнение векторных поверхностей

                                       ,                                                 (2)

где - произвольная функция. Тем самым найден общий интеграл квазилинейного уравнения (3) предыдущей лекции, зависящий от произвольной функции.

    Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля

,

а поверхность, проходящую через заданную линию, определяемую уравнениями , то функция в (2) будет уже не произвольной, а определится путем исключения переменных x,y,z из системы уравнений

,

которые должны одновременно удовлетворяться в точках заданной линии , через которую мы проводим характеристики, определяемые уравнениями .

Пример. Найти интегральную поверхность того же уравнения, проходящую через окружность

                                                       .                                               (3)

Заданная кривая является одной из векторных линий (характеристик), таким образом, задача неопределенна. Действительно, интегральными поверхностями рассматриваемого уравнения являются, например, всевозможные поверхности вращения , ось которых совпадает с осью Оz. Существует бесконечное множество таких поверхностей, проходящих через окружность (3), например, параболоиды вращения   , сфера  и т.д.

Таким образом, мы видим, что задача становится неопределенной, если заданная линия  является характеристикой, т.к. в этом случае эту линию можно включить в различные однопараметрические семейства характеристик и тем самым получить различные интегральные поверхности, проходящие через эту линию.

Итак, характеристики – это кривые, через которые проходит бесконечное множество интегральных поверхностей.

Общий интеграл квазилинейного уравнения

                                       P(x,y,z)+Q(x,y,z)=R(x,y,z),                               (4)

зависящий от произвольной функции, может быть получен следующим образом: интегрируем вспомогательную (эквивалентную) систему обыкновенных дифференциальных уравнений

                                         =  =                                   (1)

и, найдя, два независимых первых интеграла этой системы ,

получаем искомый интеграл в виде , где - произвольная функция.

Уравнение интегральной поверхности уравнения (4), проходящей через заданную линию , можно найти, если взять функцию не произвольно, а определив функцию  путем исключения x,y,z из уравнений

,

в результате чего получим уравнение , и искомым интегралом будет .

10.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных I порядка с n независимыми переменными

     Рассмотрим уравнение вида

                            ,             (1)

где - заданные функции, непрерывные и дифференцируемые в рассматриваемой области изменения независимых переменных  искомая функция. Наряду с уравнением (1) запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

                                                ,                                                 (2)        

которую будем называть соответствующей уравнению (1).

Задачи интегрирования уравнения (1) и системы (2) эквивалентны. Имеет место следующая

Теорема 1. Левая часть любого первого интеграла системы (2) есть решение уравнения (1); обратно, всякое решение уравнения (1), приравненное произвольной постоянной, дает первый интеграл системы (2).

Доказательство. Пусть

- совокупность (n-1) независимых первых интегралов системы (2). В пространстве с координатами эта система интегралов определяет (n-1)- параметрическое семейство линий – характеристик уравнения (1). Докажем сначала первое утверждение теоремы.

Вдоль любой интегральной кривой системы (2) имеем

                                          .                              (3)

Но вдоль интегральной кривой системы (2) дифференциалы  пропорциональны функциям , следовательно, в силу однородности относительно  левой части тождества

дифференциалы  могут быть заменены пропорциональными им величинами , при этом получим, что вдоль интегральных кривых системы (2)

                                       .                                        (4)

Интегральные кривые системы (2) проходят через каждую точку рассматриваемой области изменения переменных  (в силу теоремы существования). Левая часть (4) не зависит от постоянных  и, следовательно, не меняется при переходе от одной интегральной кривой к другой, значит, тождества (4) справедливы не только вдоль некоторой интегральной кривой, но и во всей рассматриваемой области изменения переменных , а это и означает, что функция  является решением исходного уравнения

                                            .                                                            (1)

Обратно, пусть некоторая функция  обращает уравнение (1) в тождество (во всей области изменения переменных ):

                                       .                                                          (4а)

Поскольку вдоль любой интегральной кривой системы (2)  и  пропорциональны, то

,

а следовательно  вдоль интегральной кривой, а это значит (в силу теоремы единственности), что  есть первый интеграл системы (2) (по определению). Ч.т.д.

Теорема 2. , где - произвольная функция, - независимые первые интегралы системы (2), является общим решением уравнения (1), т.е. решением, содержащим все без исключения решения этого уравнения.

Доказательство. Пусть  есть некоторое решение уравнения (1). Докажем, что существует функция , такая, что . Так как  являются решениями уравнения (1), то

                                                                                                        (5)

Однородная система (5) в каждой точке  рассматриваемой области имеет нетривиальное решение, т.к.  по предположению не обращаются в нуль одновременно. Поэтому определитель

тождественно равен нулю в рассматриваемой области. Но это означает, что между функциями  имеется функциональная зависимость

                                                        .                                         (6)

В силу независимости первых интегралов  системы (2) по крайней мере один из миноров (n-1)-го порядка якобиана  вида

отличен от нуля. Следовательно, уравнение (6) можно представить в виде

                                                     .   

Ч.т.д.

Список литературы

[1] В.В. Степанов.  Курс дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1953.

[2] А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников. Дифференциальные уравнения. М.: Наука. Физматлит, 1998.

[3] Л.Э.Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1965. 

[4] Р.Беллман. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1978.

[5] Л.С.Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва-Ижевск: РХД, 2001.

[6] В.Ф.Филиппов Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1990.

[7] Сборник задач по математике для ВТУЗов. Под редакцией А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича. Т.2. М.:Наука, 1995 .

1) Пусть  – это решение уравнения (2) на отрезке [a,b] оси х. График этой функции, т.е. кривая , называется интегральной кривой уравнения (2).

2) Вектор  называется присоединенным вектором порядка m оператора, соответствующим собственному значению , если , т.е.  – собственный вектор оператора ).

9

PAGE  63


EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED Photoshop.Image.5 \s

EMBED Photoshop.Image.5 \s

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81904. Проблемы оптимизации соотношения централизации и децентрализации в структуре органов управления фирмы 39.29 KB
  Быстрая разработка и принятие решений адекватно отражающих реальную ситуацию максимальное использование опыта и знаний персонала более простое управление менее бюрократизированное. децентрализации: узость и тактический характер решений слабый учет или даже игнорирование в принимаемых решениях интересов других участников управления и организации в целом вследствие обособленности процесса их выработки. Таким образом появляется проблема оптимизации соотношения централизации и децентрализации проблема поиска золотой...
81905. Мотивация в менеджменте 41.86 KB
  Материальная мотивация стремление к достатку более высокому уровню жизни зависит от уровня личного дохода его структуры дифференциации доходов в организации и обществе действенности системы материальных стимулов применяемых в организации. Трудовая мотивация порождается непосредственно работой ее содержанием условиями организацией трудового процесса режимом труда. Это внутренняя мотивация человека совокупность его внутренних движущих сил поведения связанных с работой как таковой. Статусная мотивация является внутренней движущей...
81906. Эволюция подходов к мотивации в рамках научных школ управления 40.55 KB
  На основании анализа и сопоставления существующих подходов можно выделить следующие концепции мотивации в рамках которых происходила исторически оправданная эволюция понятий мотивации: традиционный подход основывающийся на использовании метода кнута и пряника и рассматривающий модели поведения человека работника: верующий человек экономический человек и механистический человек ; подход с позиций человеческих отношений основывающийся на использовании в управлении методов психологии и рассматривающий модели поведения человека ...
81907. Основные подходы к мотивации труда, используемые в менеджменте 41.1 KB
  Концепция верующего человека относится к периоду капитализма первоначального накопления состоит в том что в соответствии с духом протестантской этики при помощи веры обосновывалось поддерживалось и оправдывалось приумножение капитала честным путем как самоцель. Концепцию верующего человека в XIX в. сменила концепция экономического человека которая в упрощенном виде сводилась к тому что если работнику платить больше за сделанную работу он...
81908. Содержательные теории мотивации 41.35 KB
  К ним относятся теория иерархии потребностей А. Маслоу теория приобретенных потребностей МакКлелланда двухфакторная теория Герцберга и некоторые другие. Что касается вторичных потребностей высших уровней мотивации то несмотря на различия в формулировках все три автора содержательных теорий сходились во мнении что они активно воздействуют на поведение человека. Основными недостатками данной группы теорий является то что в реальной жизни проявление потребностей не осуществляется в строгой иерархической последовательности а является...
81910. Мотивационная теория подкрепления 40.74 KB
  Теория подкрепления исходит из того что у любого действия или поведения есть последствия: негативные и позитивные. При этом люди повторяют поведение которое приносило удовольствие было позитивно подкреплено и избегают поведения которое доставило им неприятности. Подкрепление определяется как любые действия которые вызывают повторение или напротив подавление определенных образцов поведения. Позитивное подкрепление представляет собой вознаграждение желательного для руководства организации поведения с целью формирования или закрепление у...
81911. Контроль как функция менеджмента 41.93 KB
  Существует три аспекта управленческого контроля: установление стандартов точное определение целей которые должны быть достигнуты в определенный отрезок времени. Необходимость контроля обусловлена следующими обстоятельствами: потребностью организации процесса производства в соответствии с имеющимися резервами и ресурсами; требованиями потребителей к качеству стандарту и сертификации выпускаемой продукции; изменяющимися внутренними и внешними условиями производства необходимостью выявления тенденций меняющегося спроса и предложения...