35111

МЕХАНИКА

Конспект

Физика

Кинематика вращательного движения 1 Виды движения твердого тела. Основные понятия по теме При описании вращательного движения в кинематике удобно пользоваться угловыми кинематическими величинами: и Если за время тело совершает поворот на малый угол то углу формально ставиться в соответствие вектор модуль которого равен углу поворота тела за время . Существуют такие системы отсчета в которых материальная точка тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор пока взаимодействие с другими...

Русский

2013-09-09

1.35 MB

3 чел.

МЕХАНИКА

Тема 1 Кинематика материальной точки

1 Задачи кинематики.

2 Способы описания движения материальной точки.

3 Законы движения.

4 Тангенциальное, нормальное и полное ускорения.

Основные понятия по теме

В механике для описания движения материальной точки используют три способа: векторный, координатный и естественный. В наиболее общем векторном способе положение точки М относительно точки О, принятой за точку отсчета, определяется радиус-вектором

                                                 (1.1)

проведенным из точки О в точку М (рисунок 1.1). Выражение (1.1) называют законом движения точки в векторной форме.

   В этом случае траекторией точки является линия, описываемая концом радиус-вектора, а изменение радиус-вектора

                                      (1.2)

определяет вектор перемещения  точки М за время

В координатном способе с точкой отсчета О связывают начало выбранной системы координат. Чаще всего используют декартову систему координат, ортонормированный базис которой образован тремя единичными по модулю и взаимно ортогональными векторами    задающими направления осей X, Y, Z (рисунок 1.2). В этом случае радиус-вектор

                 (1.3)

и положение точки М в момент времени t определяется ее координатами

            (1.4)

то есть проекциями радиус-вектора на координатные оси. Уравнения (1.4) называют кинематическими уравнениями движения материальной точки или законами движения точки в координатной форме.

Соответственно вектор перемещения точки

                            (1.5)

где   и изменение координат точки за время

Уравнение траектории точки можно получить, исключив время из системы кинематических уравнений движения (1.4).

Для того чтобы охарактеризовать, как быстро изменяется положение точки в пространстве, в кинематике вводится понятие скорости.

Скорость- это векторная величина, которая определяет как быстроту движения, так и его направление в данный момент.

Вектором средней скорости  за интервал времени  называется отношение приращения  радиус-вектора точки к промежутку времени

                                                   (1.6)

Мгновенная скорость

.                                             (1.7)

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки (рисунок 1.2).

В координатном способе описания вместо вектора мгновенной скорости  используют его проекции на координатные оси

                            (1.8)

В этом случае модуль мгновенной скорости

                                           (1.9)

При неравномерном движении модуль мгновенной скорости изменяется. В связи с этим вводят скалярную величину  среднюю скорость неравномерного движения. Очень часто эту величину называют средней путевой скоростью.

В общем случае модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени

                                                     (1.10)

Выражения аналогичные (1.6) ‒ (1.10) имеют место и для ускорения  векторной величины, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению.

Вектор среднего ускорения

                                                 (1.11)

Мгновенное ускорение

;                                        (1.12)

                    (1.13)

Модуль вектора мгновенного ускорения

                                           (1.14)

При естественном способе, в случае криволинейного движения, ускорение  точки разлагается на две составляющие (рисунок 1.3)

                           (1. 15)

Тангенциальное (касательное) ускорение  характеризует быстроту изменения скорости по модулю. Его величина

                             (1.16)

Нормальное (центростремительное) ускорение  направлено по нормали к траектории к центру

ее кривизны и характеризует быстроту изменения направления вектора скорости точки. Модуль вектора нормального ускорения

                                                 (1.17)

где радиус кривизны траектории.

Модуль полного ускорения

                                            (1.18)

Тема 2 Кинематика вращательного движения

1 Виды движения твердого тела.

2 Угловые кинематические величины.

3 Связь линейных и угловых кинематических величин.

Основные понятия по теме

При описании вращательного движения в кинематике удобно пользоваться угловыми кинематическими величинами: , и

Если за время  тело совершает поворот на малый угол , то углу  формально ставиться в соответствие вектор , модуль которого равен углу поворота тела за время . Вектор  направлен по оси вращения, а его ориентация, по договоренности, определяется правилом правого винта.

Угловая скорость

                                                    (2.1)

Вектор  направлен вдоль оси вращения так же как и вектор  то есть по правилу правого винта.

Угловое ускорение

                                             (2.2)

показывает, как быстро изменяется вектор угловой скорости. Вектор  направлен вдоль оси вращения в сторону вектора приращения угловой скорости (при ускоренном вращении вектор  сонаправлен вектору  а при замедленном – противоположен ему). Ориентация векторов   и  (для случая ускоренного вращения) показана на рисунке 2.1.

В случаях равномерного вращения и вращения с постоянным ускорением для угловых кинематических величин имеют место те же соотношения, что и для линейных величин в кинематике прямолинейного движения.

При равномерном вращении

      (2.3)

Дополнительно равномерное вращение характеризуется периодом вращения и частотой.

Период вращения время, за которое тело совершает один полный оборот.

Частота вращения число оборотов совершаемых телом в единицу времени.

Период, частота и угловая скорость связаны очевидными соотношениями

                                                 (2.4)

При равноускоренном вращении

                  (2.5)

Линейные и угловые кинематические величины связаны соотношениями

                                           (2.6)

                               (2.7)

.                                          (2.8)

Здесь радиус-вектор точки М (рисунок 2.1), радиус окружности по которой движется точка М. Заметим, что  и  являются полярными координатами точки М с полюсом О* лежащим на оси вращения.

Тема 3 Кинематика относительного движения

1 Абсолютное, относительное и переносное движения.

2 Осестремительное и кориолисово ускорения.

3 Относительная скорость движения двух материальных точек.

Основные понятия по теме

Рассмотрим движение материальной точки М относительно двух систем отсчета: неподвижной системы отсчета  и движущейся относительно системы  системы . Будем считать, что начало  системы  совершает произвольное движение, а сама эта система вращается с постоянной угловой скоростью  (рисунок 3.1).

В механике движение точки М относительно системы  и относительно системы  называют абсолютным и относительным движением соответственно. Движение системы  относительно системы  называется переносным движением.

Пусть   и  радиус-вектор, скорость и ускорение точки М при ее абсолютном движении.        и       ‒  аналогичные

величины, характеризующие относительное движение точки М. Радиус-вектор, скорость и ускорение начала отсчета  подвижной системы  по отношению к неподвижной системе  обозначим через   и . Тогда кинематические соотношения между перечисленными величинами имеют вид

                                                    (3.1)

                                        (3.2)

                    (3.3)

Выражения (3.2) и (3.3) упрощаются в следующих частных случаях:

    ̶  при поступательном движении системы , когда , из (3.2) и (3.3) получаем

                                                   (3.4)

                                                   (3.5)

̶  если материальная точка М жестко связана с движущейся системой

отсчета , то есть  то

                                             (3.6)

                                     (3.7)

В этом случае ускорение  называют переносным ускорением. Как ясно из (3.7), переносное ускорение обусловлено как движением начала отсчета системы , так и ее вращением.

Второе слагаемое в формуле (3.7) можно преобразовать к виду

                                           (3.8)

где составляющая радиус вектора  точки М, перпендикулярная вектору  Вектор  направлен от точки М к оси вращения движущейся системы .В связи с этим второе слагаемое в (3.7) принято называть осестремительным ускорением.

Последнее слагаемое в формуле (3.3)

                                                (3.9)

называют кориолисовым ускорением. Кориолисово ускорение отлично от  нуля только для точки, движущейся относительно вращающейся системы отсчета.

Учитывая (3.7) и (3.9), формулу (3.3) можно переписать в виде

                                        (3.10)

Таким образом, в общем случае абсолютное ускорение материальной точки равно сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений.

В заключение рассмотрим вопрос об относительной скорости движения двух материальных точек. Пусть  и  абсолютные скорости точек 1 и 2 относительно некоторой системы отсчета . Связав начало  движущейся системы отсчета  с точкой 2, для скорости абсолютного движения точки 1 согласно (3.4) можем записать

где скорость движения точки 1 в системе

Отсюда следует, что

                                        (3.11)

то есть скорость движения точки 1 относительно точки 2 равна разности скоростей абсолютного движения этих точек.

Тема 4 Динамика материальной точки

1 Прямая и обратная задачи динамики.

2 Законы Ньютона.

3 Принцип независимости действия сил.

4 Силы в механике.

Основные понятия по теме

Основная задача динамики состоит в определении законов движения материальной точки (1.1) или (1.4) по известным силам, действующим на эту точку со стороны других тел. Основную задачу динамики принято называть обратная задача динамики. Кроме того, в динамике рассматривается прямая задача – определение силы, действующей на точку, по известному закону ее движения. Решение как прямой, так и обратной (основной) задач динамики основано на использовании трех законов Ньютона.

Первый закон Ньютона постулирует существование инерциальных систем отсчета, то есть таких систем отсчета, в которых причиной изменения механического движения является только взаимодействие тел.

Существуют такие системы отсчета, в которых материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока взаимодействие с другими телами не заставит изменить ее это состояние. Мерой взаимодействия является сила.

Второй закон Ньютона (основной закон динамики) отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки под действием приложенной к ней силы. Сила, действующая на материальную точку, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы и имеет направление силы.

В аналитической форме этот закон записывается в виде основного уравнения динамики

   или    ,                                   (4.1)

где сила, действующая на материальную точку, масса материальной точки, являющаяся мерой ее инертных свойств.

Третий закон Ньютона отражает парный характер проявления сил. Силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по величине, противоположно направлены и действуют вдоль прямой соединяющей эти точки. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.

Наряду с законами Ньютона фундаментальное значение для всей динамики имеет принцип независимости действия сил: если на материальную точку действуют несколько сил, то ускорение точки равно векторной сумме ускорений, которые приобретает точка под действием каждой из этих сил в отдельности.

Принцип независимости действия сил позволяет заменить силы, действующие на точку, их равнодействующей

                                 (4.2)

Согласно этому принципу силы и ускорения можно разлагать на составляющие, что существенно упрощает решение задач.

Силы, с которыми приходится иметь дело в механике, обусловлены двумя видами взаимодействия: гравитационным и электромагнитным. К гравитационным силам относятся:

сила тяжести – сила, с которой тело притягивается Землей

,                                                       (4.3) 

где  масса тела,  ускорение свободного падения;

вес тела – сила, с которой тело действует на опору или растягивает подвес вследствие притяжения к Земле.

Примерами сил электромагнитной природы могут служить:

силы упругости – силы, возникающие в результате взаимодействия тел приводящего к их деформации. Например, сила упругости пружины при деформациях растяжения или сжатия

,                                                    (4.4)

где  жесткость пружины, ее абсолютная деформация;

силы трения – диссипативные силы сопротивления, действующие на тело и направленные противоположно относительного перемещения этого тела. Например, сила трения скольжения, возникающая при скольжении данного тела по поверхности другого,

,                                                  (4.5)

где коэффициент трения скольжения, сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу.

силы реакции – силы, действующие на данное тело со стороны связей, то есть тел, ограничивающих движение данного тела.

Тема 5 Интегрирование уравнений движения

1 Прямая и обратная задачи динамики.

2 Дифференциальные уравнения движения материальной точки.

3 Начальные условия.

Основные понятия по теме

Рассмотрим движение материальной точки М под действием некоторой силы . Положение точки М в инерциальной системе отсчета определено, если известны зависимости от времени ее радиус-вектора

                                                  (5.1)

или ее координат

                                     (5.2)

Выражения (5.1) и (5.2) называются законами движения материальной точки заданными в векторной и координатной формах соответственно. Нахождение закона движения материальной точки по известной силе  является одной из основных задач механики, получившей название обратная задача динамики.

Исходным уравнением при решении обратной задачи служит основное уравнение динамики (4.1), которое можно записать в виде

                                              (5.3)

Это уравнение называется дифференциальным уравнением движения материальной точки в векторной форме.

Спроектировав векторное уравнение (5.3) на оси декартовой системы координат, получаем систему уравнений

                        (5.4)

являющихся дифференциальными уравнениями движения материальной точки в координатной форме.

Решение обратной задачи требует интегрирования дифференциальных уравнений движения, что приводит к появлению произвольных постоянных интегрирования. Для их определения в условии задачи должны присутствовать дополнительные данные называемые начальными условиями движения. При движении материальной точки начальные условия определяют положение и скорость точки в некоторый фиксированный момент времени. Как правило это начальный момент времени . В этом случае начальные условия записанные в векторной форме имеют вид  и .

Тема 6 Импульс

1 Внутренние и внешние силы.

2 Замкнутые и незамкнутые системы.

3 Закон сохранения импульса.

4 Импульс силы.

Основные понятия по теме

Импульсом тела называют произведение массы тела на его скорость

                                                    (6.1)

Импульс системы, состоящей из N материальных точек, равен

                            (6.2)

Тела, входящие в состав системы, взаимодействуют между собой, а также с телами не включенными в систему. В связи с этим силы, действующие на тела системы, принято делить на:

внутренние силы – силы, действующие между телами входящими в систему;

внешние силы – силы, действующие на тела входящие в систему со стороны тел не включенных в систему.

В случае, когда сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю система называется замкнутой. В замкнутой системе выполняется закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени.

Если сумма внешних сил  то система называется незамкнутой. В этом случае импульс системы не сохраняется, а его изменение за время  равно

                                                        (6.3)

Величину  характеризующую действие силы на систему в течении времени dt, называют импульсом силы.

Переписав (6.3) в виде

                                                          (6.4)

приходим к более общей формулировке второго закона Ньютона: скорость изменения импульса системы равна сумме внешних сил, действующих на систему, учитывающей возможности изменения масс тел системы.

Тема 7 Центр масс

1 Понятие центра масс.

2 Теорема о движении центра масс.

3 Система центра масс (С-система).

Основные понятия по теме

Пусть имеются n материальных точек, как угодно взаимодействующих между собой и подверженных действию любых внешних сил. Если  радиус-вектор точки номер i, то центром масс (или центром инерции) этой системы материальных точек называется воображаемая точка C, радиус-вектор которой определяется равенством

                            (7.1)

В случае сплошного тела выражение (7.1) принимает вид

,                                                 (7.2)

где масса тела.

В процессе движения материальных точек их радиус-векторы  и радиус-вектор центра масс  в общем случае будут изменяться. Скорость центра масс

                                      (7.3)

Из (7.3) следует, что

                                              (7.4)

т.е. импульс системы материальных точек равен импульсу, который имел бы центр масс, если бы в нем была сосредоточена вся масса системы. Кратко это выражается так: импульс системы равен импульсу центра масс.

Продифференцировав (7.4) по времени, приходим к закону движения центра масс  

.                                               (7.5)

Закон движения центра масс: центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная равнодействующей всех внешних сил, действующих на систему.

Так как импульс замкнутой системы не изменяется, то центр масс замкнутой системы либо движется равномерно и прямолинейно, либо остается неподвижным. Это позволяет связать с ним систему отсчета, которая называется системой центра масс (С-система) и является инерциальной.

Тема 8 Движение тел переменной массы

1 Уравнение Мещерского.

2 Реактивная сила.

3 Формула Циолковского.

Основные понятия по теме

Из основного уравнения динамики (4.1) следует, что изменение импульса тела может быть обусловлено как изменением его скорости, так и изменением массы тела. Если масса тела изменяется со скоростью dm/dt, то уравнение поступательного движения твердого тела имеет вид

                                       (8.1)

где равнодействующая внешних сил, приложенных к телу; скорость присоединяющейся массы до присоединения (если  или скорость отделяющейся массы после отделения (если .

Вычислив производную в левой части уравнения (8.1), получаем

                                         (8.2)

Уравнение (8.2) называется уравнением Мещерского. Здесь  скорость присоединяющейся или отделяющейся массы относительно движущегося тела. Слагаемое

                                             (8.3)

в уравнении (8.2) определяет реактивную силу.

Тема 9 Работа и энергия

1 Работа, мощность.

2 Консервативные и диссипативные силы.

3 Кинетическая и потенциальная энергия механической системы.

4 Закон сохранения энергии.

Основные понятия по теме

Пусть под действием силы  материальная точка совершает малое перемещение . Действие силы  на перемещении  характеризуют величиной , равной скалярному произведению этих векторов, которое называется элементарной работой силы  на перемещении :

.               (9.1)

Здесь угол между векторами  и , элементарный путь, проекция вектора  на вектор  (рисунок 9.1). Требование малости перемещения  означает, что модуль вектора силы и угол  в пределах этого перемещения не изменяются.

В общем случае работа силы  на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути

.                    (9.2)

Выражение (9.2) имеет наглядный геометрический смысл. Если зависимость  от  задана графически, то работа  определяется площадью соответствующей криволинейной трапеции (рисунок 9.2).

Для характеристики скорости, с которой совершается работа, вводят понятие мощности. Мощность  силы  ‒ это работа, совершаемая силой  за единицу времени

.                                       (9.3)

Таким образом, мощность, развиваемая силой , равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения силы.

Вычисление работы конкретных сил по формуле (9.2) показывает, что работа некоторых из них не зависит от формы траектории и определяется только начальным 1 и конечным 2 положениями точки. Силы, обладающие таким свойством, называются консервативными. Примерами таких сил могут служить:

‒ сила тяжести

;                                     (9.4)

‒ сила упругости

.                                        (9.5)

Очевидно, что работа консервативных сил на любом замкнутом пути равна нулю.

Все силы, не являющиеся консервативными, называются неконсервативными. Важным примером неконсервативных сил могут служить диссипативные силы, к которым относятся силы трения и сопротивления. Работа этих сил зависит от пути между начальным и конечным положениями точки и не равна нулю на любом замкнутом пути.

Независимость работы консервативных сил от пути между точками 1 и 2 позволяет ввести для этих сил понятие потенциальной энергии.

Потенциальной энергией тела в состоянии 1 называют величину  равную работе по перемещению тела из этого состояния в «бесконечность» под действием только консервативных сил

.                                               (9.6)

Термин «бесконечность» в данном определении имеет условный смысл. Им обозначено состояние тела, в котором его потенциальная энергия принята равной нулю.

Вычислим работу, совершаемую при перемещении тела из состояния 1 в состояние 2 (рисунок 9.3). Учитывая тот факт, что работа консервативных сил не зависит от пути, получаем

.            (9.7)

Из выражения (9.7) следует, что работа при перемещении тела из состояния 1 в состояние 2 равна убыли потенциальной энергии тела.

Приведенная выше формулировка (9.6) определяет потенциальную энергию тела в поле консервативных сил. При этом сила и потенциальная энергия связаны соотношением

.              (9.8)

Потенциальная энергия взаимодействующих тел определяется их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Помимо потенциальной энергии в механике рассматривается кинетическая энергия. Кинетическая энергия – это энергия движения тела. Она зависит только от массы и скорости тела. Для точечного тела

.                                          (9.9)

Связь кинетической энергии и работы устанавливает теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии тела при его перемещении из состояния 1 в состояние 2 равно работе всех сил приложенных к телу на этом перемещении

.                                    (9.10)

Сумму кинетической и потенциальной энергий называют полной механической энергией

.                                        (9.11)

Записав выражения аналогичные (9.7) и (9.10) для системы тел, нетрудно получить, что для произвольно выбранных состояний 1 и 2

.                          (9.12)

Соотношение (9.12) выражает закон сохранения энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия не изменяется

.                                   (9.13)

Закон сохранения энергии является следствием однородности времени – инвариантности физических законов относительно выбора начала отсчета времени.

Тема 10 Столкновения тел

1 Основная задача теории столкновений

2 Удары и их классификация

3 Коэффициенты восстановления

Основные понятия по теме

Столкновением называется взаимодействие двух или большего числа материальных тел, частиц и т. д., которое происходит в относительно малой области пространства в течение относительно малого промежутка времени, так что вне этой области пространства и вне этого промежутка времени можно говорить о начальных состояниях тел, частиц и т. д. и об их конечных состояниях после взаимодействия как состояниях, в которых эти частицы, тела и т. д. не взаимодействуют.

В механике тела и частицы, участвующие в столкновении, характеризуются импульсами, моментами импульса и энергиями, а сам процесс столкновения сводится к изменению этих величин. Поэтому в механике основная задача теории столкновений заключается не в изучении самого процесса столкновения, а в определении его результата, то есть в определении значений вышеперечисленных величин в конечном состоянии.

Частным случаем столкновения тел является удар.

Ударом называется явление, при котором за очень маленький промежуток времени  скорость сталкивающихся твердых тел изменяется на конечную величину. Время  называют длительностью удара или временем удара.

Так как длительность удара  очень мала, то в механике пренебрегают всеми величинами, имеющими порядок . В частности, если  и радиус-векторы тела в начале и конце удара, то изменение радиус-вектора тела за время удара

~

и им следует пренебречь, то есть положить . Таким образом, сделанное выше приближение означает, что перемещение тела за время удара равно нулю.

На основании того же приближения, при рассмотрении процессов происходящих при ударе, медленно меняющиеся, то есть ограниченные по модулю силы не учитывают. Вместо них для описания взаимодействия тел во время удара вводится понятие ударной силы. Под ударной силой понимают силу, действующую в течение очень короткого промежутка времени , модуль которой

достигает за это время большого значения. Зависимость ударной силы от времени показана на рисунке 10.1. Ударные силы являются внутренними силами для данной системы. Поэтому при ударах всегда выполняется закон сохранения импульса.

Изменение импульса тела за время удара под действием ударной силы

                   (10.1)

называется ударным импульсом или импульсом удара. На рисунке 10.1 модуль ударного импульса численно равен площади заштрихованной

криволинейной трапеции.

При ударе двух тел в точке контакта возникают ударные силы. Согласно третьему закону Ньютона, эти силы имеют одинаковые модули, противоположно направлены и приложены к каждому из тел. В теории удара принято считать, что ударные силы и их импульсы направлены вдоль общей нормали к поверхностям соударяющихся тел в точке контакта. Линия, вдоль которой направлены ударные силы, называется линией удара.

Все удары принято разделять на прямые и косые. Удар называется прямым, если скорости тел до удара направлены параллельно линии удара. В противном случае удар считается косым. Если линия удара проходит через центры масс сталкивающихся тел, то удар называется центральным. На рисунках 10.2 а) и б) показаны случаи

.

соответствующие прямому центральному удару и косому нецентральному удару соответственно.

В процессе удара, благодаря большой величине ударных сил, тела деформируются. Из-за остаточных деформаций и нагревания тел их кинетическая энергия после завершения удара восстанавливается не полностью. Поэтому после удара тела расходятся с относительной скоростью , модуль проекции которой на линию удара меньше чем модуль проекции относительной скорости  этих тел до удара. В связи с этим для количественной характеристики удара вводится коэффициент восстановления скорости при ударе:

.                           (10.2)

Здесь индекс n означает проекцию скорости на общую нормаль , то есть на линию удара.

Значения коэффициента  лежат в пределах от 0 до 1. В двух предельных случаях  и  удар принято называть абсолютно упругим и абсолютно неупругим.

Иногда, наряду с коэффициентом восстановления скорости , пользуются коэффициентом восстановления энергии , понимая под ним отношение кинетической энергии тел после удара к кинетической энергии тел до удара. Максимальное значение коэффициента  равно 1, что соответствует идеализированному случаю абсолютно упругого удара.

Потери кинетической энергии при прямом центральном ударе двух поступательно движущихся тел можно вычислить по формуле

,               (10.3)

где  ‒ приведенная масса.

При абсолютно упругом ударе  и .

При абсолютно неупругом ударе  и (10.3) принимает вид

.                              (10.4)

Если до удара одно из тел, например, второе покоилось, то есть , то потеря кинетической энергии при ударе равна

.                              (10.5)

Тема 11 Момент импульса

1 Момент силы и момент импульса.

2 Основное уравнение динамики вращательного движения.

3 Закон сохранения момента импульса.

Основные понятия по теме

Пусть материальная точка А вращается вокруг некоторой оси Z. Выберем произвольную точку О на оси вращения. Моментом импульса материальной точки А относительно точки О называется вектор , равный векторному произведению радиус-вектора  точки А и ее импульса

.                                                 (11.1)

Направление вектора момента импульса  определяется правилом правого винта. На рисунке 11.1 показаны векторы , ,  момента импульса точки А относительно точек О, О1 и О2 лежащих на оси вращения (импульс  направлен за рисунок перпендикулярно плоскости листа). Из него видно, что момент импульса

материальной точки зависит от выбора точки отсчета на оси вращения. Однако, как нетрудно показать, проекции этих векторов на ось Z одинаковы. Это обстоятельство позволяет ввести понятие момента импульса материальной точки относительно оси.

Моментом импульса материальной точки относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина , равная проекции на эту

ось вектора момента импульса материальной точки, определяемого относительно произвольной точки О данной оси. Значение  не зависит от положения точки О на оси Z.

Момент импульса системы материальных точек равен векторной сумме моментов импульсов этих точек

.                                (11.2)

Разумеется, что в этом случае положение всех точек системы определяется относительно одной и той же точки О.

В случае, когда ось симметрии совпадает с осью вращения тела, вектор момента импульса  ориентирован вдоль оси вращения и совпадает по направлению с вектором угловой скорости  тела.

Моментом силы  относительно неподвижной точки О называется вектор  равный векторному произведению радиус-вектора , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на вектор силы

.                                            (9.3)

Так же как и направление вектора момента импульса  направление вектора момента силы  определяется правилом правого винта. Модуль вектора момента силы

.             (9.4)

Здесь плечо силы, кратчайшее расстояние от линии действия силы до точки О; угол между векторами  и  (рисунок 11.2).

Аналогично моменту импульса , для момента силы  вводится

понятие момента силы относительно оси. Моментом силы  относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора , определенного относительно произвольной точки О данной оси Z. Эта величина так же не зависит от выбора положения точки О на оси Z.

Продифференцируем по времени выражение (11.1)

.

Полученное уравнение

                                                 (9.5)

называется основным уравнением динамики вращательного движения. Оно является аналогом уравнения (6.4), имевшем место в динамике поступательного движения.

Для замкнутых систем, т.е. систем у которых момент внешних сил , из (9.5) следует закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени

.                                                (9.6)

При равномерном вращении твердого тела вокруг некоторой оси Z законом сохранения момента импульса удобно пользоваться, записав его в виде

,                                               (9.7)

где момент инерции тела относительно оси Z, модуль угловой скорости тела.

Тема 12 Динамика твердого тела

1 Основное уравнение динамики вращательного движения

2 Момент инерции

3 Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

4 Плоское движение твердого тела

Основные понятия по теме

К основным видам движения твердого тела относятся:

- поступательное движение твердого тела;

- вращение твердого тела вокруг неподвижной оси;

- плоское движение твердого тела;

- вращение твердого тела вокруг неподвижной точки;

- свободное движение твердого тела.

Из перечисленных видов движения четыре последних типа связаны с вращательным движением. При описании этих видов движения используется уравнение

,                                               (12.1)

которое принято называть основным уравнением динамики вращательного движения. Так же как и основное уравнение динамики, основное уравнение динамики вращательного движения (12.1) можно записать в другом виде

,                                              (12.2)

где угловое ускорение тела.

Величина , входящая в уравнение (12.2), является аналогом массы при вращательном движении твердого тела. Ее называют момент инерции. Момент инерции материальной точки равен

,                                             (12.3)

где масса материальной точки, расстояние от материальной точки до оси вращения. Для системы материальных точек и твердого тела моменты инерции соответственно равны

;                                            (12.4)

.                                             (12.5)

В выражении (12.5) интегрирование ведется по объему тела.

Момент инерции зависит от положения оси вращения и распределения масс относительно этой оси. Приведем выражения для моментов инерции некоторых тел относительно оси вращения, положение которой указывается в скобках.

Сплошной цилиндр или диск радиуса R (ось симметрии)

.                                              (12.6)

Полый тонкостенный цилиндр радиуса R или обруч (ось цилиндра)

.                                               (12.7)

Однородный тонкий стержень длиной l (ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину)

.                                              (12.8)

Шар радиуса R (ось проходит через центр шара)

.                                            (12.9)

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс С, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера:

момент инерции тела J относительно произвольной оси Z равен сумме момента инерции тела  относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, и произведения массы m тела на квадрат расстояния а между осями.

Вращающееся тело, как и тело движущееся поступательно, обладает энергией движения.

Кинетическая энергия твердого тела вращающегося вокруг неподвижной оси Z с угловой скоростью

.                                      (12.10)

Кинетическая энергия тела совершающего плоское движение равна

,                                 (12.11)

где скорость центра масс тела, угловая скорость тела, момент инерции тела относительно собственной оси.

Тема 13 Неинерциальные системы отсчета

1 Абсолютное, относительное и переносное движения.

2 Кориолисово и осестремительное ускорения.

3 Силы инерции.

4 Уравнение динамики в НИСО.

Основные понятия по теме

В неинерциальных системах отсчета законы Ньютона, а следовательно и все законы классической механики, справедливы в предположении, что кроме сил взаимодействия с другими телами действуют силы инерции, не обусловленные взаимодействием. Силы инерции зависят, прежде всего, от характера движения неинерциальной системы отсчета. Это значит, что для нахождения сил инерции необходимо знать, как движется неинерциальная система относительно инерциальной системы, то есть знать характер движения, его кинематические параметры.

В системе отсчета, движущейся относительно какой-либо инерциальной системы поступательно и прямолинейно с ускорением , на тело действует сила инерции

.                                            (13.1)

В системе отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью  относительно какой-либо инерциальной системы, действуют центробежная сила инерции

                                          (13.2)

и сила Кориолиса

                                       (13.3)

где радиус-вектор, проведенный от оси вращения к центру масс тела, скорость тела относительно вращающейся неинерциальной системы.

Уравнение динамики в неинерциальной системе отсчета, которая вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг неподвижной оси,

                           (13.4)

В общем случае уравнение аналогичное (13.4) имеет вид

                       (13.5)

Здесь равнодействующая внешних сил, приложенных к телу.

Тема 14 Тяготение

1 Закон всемирного тяготения

2 Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия

3 Законы движения планет

4 Космические скорости

Основные понятия по теме

Закон всемирного тяготения утверждает: все тела, обладающие массой, притягиваются друг к другу. Силы, с которыми притягиваются тела, называют силами всемирного тяготения или гравитационными силами. Сила взаимного притяжения двух точечных тел с массами  и  прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния  между ними

,                                         (14.1)

где гравитационная постоянная.

Силы всемирного тяготения являются консервативными силами, что позволяет говорить о потенциальной энергии гравитационного взаимодействия тел. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух точечных тел

.                                     (14.2)

Выражения (14.1) и (14.2), справедливые для точечных тел, сохраняют свой вид и в тех случаях, когда взаимодействующие тела обладают сферической симметрией (при условии, что они не находятся внутри друг друга). Так тело, находящееся на поверхности Земли, притягивается с силой

,

где  и  масса и радиус Земли, ускорение свободного падения. Аналогично определяется  и для других планет. Сила

                                          (14.3)

называется силой тяжести

Гравитационные силы являются примером центральных сил. Другим примером центральных сил могут служить кулоновские силы.

Интегрирование уравнений движения материальной точки, движущейся в поле центральных сил, показывает, что ее возможными траекториями могут быть кривые являющиеся каноническими сечениями конуса: эллипс, парабола, гипербола. В связи с этим принято говорить об эллиптическом, параболическом и гиперболическом движениях. В частности, движение планет в поле тяготения создаваемом Солнцем является эллиптическим движением.

Законы движения планет были установлены Кеплером и получили его имя. Они гласят:

- планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце;

- радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает площади одинаковой величины;

- квадраты периодов обращения любых двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит

.

Скорости, при которых реализуются эллиптическое, параболическое и гиперболическое движения, принято называть круговой, параболической и гиперболической скоростями. В случае движения тела в поле тяготения Земли эти скорости получили названия первой, второй и третьей космической скорости соответственно.

Первая космическая скорость, минимальная скорость которую нужно сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником Земли, равна

,

где радиус Земли.

Вторая космическая скорость, наименьшая скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло преодолеть притяжение Земли и стать спутником Солнца,

.

Третьей космической скоростью называется скорость, которую необходимо сообщить телу на Земле, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы, преодолев притяжение Солнца. Другими словами, третья космическая скорость является параболической скоростью движения тела относительно Солнца. Вблизи орбиты Земли она равна 42,1км/с. Для достижения этой скорости тело, запускаемое с Земли, должно приобрести у ее поверхности скорость .

Тема 15 Упругие деформации

1 Деформации, их классификация

2 Сила упругости и внутреннее напряжение твердого тела

3 Закон Гука

4 Энергия упругой деформации

Основные понятия по теме

Деформацией называют изменение размеров и формы тела под действием приложенных к нему внешних сил. Из этого определения следует, что используемая ранее модель абсолютно твердого тела лишена смысла и требует замены. Простейшей моделью, реализующей такую замену, является модель абсолютно упругого тела, то есть тела, у которого смещения одних точек относительно других под действием приложенных внешних сил описываются непрерывными функциями, зависящими от координат этих точек. Физически это означает, что в процессе деформации внутри упругого твердого тела отсутствуют процессы, приводящие к образованию микротрещин и других подобных дефектов, либо процессы, приводящие к разрушению тела. Такие деформации принято называть упругими деформациями.

Деформации принято классифицировать по различным признакам. Например, по остаточным явлениям, деформации принято разделять на уже упомянутые упругие деформации и деформации пластические.

Упругой деформацией называется деформация, которая исчезает после снятия сил ее вызывающих. Иными словами, в этом случае тело восстанавливает свои первоначальные форму и размеры. Если этого не происходит, то деформации называют пластическими.

Независимо от наличия или отсутствия остаточных явлений, деформации принято классифицировать в зависимости от того, как действуют силы приводящих к их появлению. В этом аспекте принято говорить о деформациях растяжения и сжатия, деформациях сдвига, деформациях изгиба и др..

Для количественного описания деформаций вводятся две величины.

Абсолютная деформация  разность размера тела после деформации и первоначального размера тела. Обозначив обсуждаемый размер тела через х, для абсолютной деформации можем записать

.                                            (15.1)

Здесь размер тела до деформации.

Будучи характеристикой деформации, абсолютная деформация  не позволяет создать «зрительный образ» деформации. Кроме того, абсолютная деформация размерная величина, что создает определенные неудобства при ее практическом использовании. В связи с этими обстоятельствами, наряду с относительной деформацией  используют безразмерную величину

,                                                 (15.2)

которую называют относительной деформацией.

Одним из основных экспериментальных фактов, установленных при изучении деформаций, является вывод, что при малых упругих деформациях внутри тела возникает сила упругости  пропорциональная величине абсолютной деформации тела

.                                             (15.3)

Выражение (15.3) известно в механике как закон Гука. В случае деформации растяжения (сжатия), например пружины, коэффициент пропорциональности  называют жесткостью пружины.

Сравнение упругих свойств различных материалов следует проводить при одинаковых условиях. Из (15.3) очевидно, что, для одного и того же материала (жесткость  одинакова) сила упругости , возникающая при одинаковой деформации , будет зависеть от площади сечения тела расположенного перпендикулярно направлению действия этой силы. Для устранения этой зависимости силу упругости принято нормировать на единицу площади сечения тела. Получаемая при этом скалярная величина

                                           (15.4)

называется внутренним напряжением или просто напряжением твердого тела. При замене силы  на внутреннее напряжение  в формуле (15.3), вместо абсолютной деформации  целесообразно пользоваться понятием относительной деформации . Естественно, что при этом коэффициент пропорциональности  должен измениться. Обозначая этот коэффициент через Е, и учитывая сделанные выше замечания, вместо (15.3) будем иметь

.                                             (15.5)

Введенный коэффициент пропорциональности Е характеризует упругие свойства тела. В случаях простейших видов деформаций (растяжение или сжатие) коэффициент Е называют модулем упругости или модулем Юнга. Физический смысл модуля Юнга легко установить, обратившись к понятиям внутреннего напряжения  и относительной деформации  определенным выше. Из выражения (15.5) следует, что модуль Юнга Е равен внутреннему напряжению, которое необходимо создать в теле с единичной площадью сечения, чтобы относительная деформация тела была равна . Для деформации растяжения это означает, что модуль Юнга численно равен силе, которую необходимо приложить к сечению упругого тела площадью , чтобы его начальная длина возросла в два раза. Отметим, что такие нагрузки намного превышают предел прочности  практически всех материалов (исключения составляют резина и некоторые полимеры).

Закон Гука, записанный в виде (15.5), обладает еще одним формальным преимуществом. Его вид сохраняется при описании других типов деформаций. Однако, следует учитывать, что в этих случаях физический смысл коэффициента пропорциональности изменяется. Это обстоятельство отражено и в новых, присваиваемых ему в этих случаях названиях: модуль сдвига, модуль кручения и др.

Процесс изменения продольных размеров тела с неизбежностью приводит и к изменению его поперечных размеров. Для сравнения изменения упомянутых размеров в теории деформаций вводится коэффициент , называемый коэффициентом Пуассона. Коэффициент Пуассона равен отношению относительного изменения поперечных размеров тела к относительному изменению его продольных размеров

.                                            (15.6)

Коэффициент Пуассона зависит только от материала тела и является одной из важнейших постоянных, характеризующих его упругие свойства. Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона  полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все прочие упругие постоянные могут быть выражены через Е и .

В результате деформации тело приобретает энергию, которую называют энергия упругой деформации или упругая энергия. Ее принято характеризовать объемной плотностью упругой энергии, то есть энергией запасенной в единице объема деформированного тела. В случае деформации растяжения (сжатия) объемная плотность упругой энергии равна

.                                      (15.7)

Тема 16 Свободные колебания

1 Колебания. Виды колебаний.

2 Гармонические колебания. Их характеристики.

3 Физический маятник.

4 Скорость, ускорение и энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания.

Основные понятия по теме

Колебание – это процесс изменения параметров физической систем, который повторяется или почти повторяется во времени и протекает в ограниченной области пространства. В зависимости от природы изменяющихся параметров принято говорить о механических, электрических электромагнитных и других колебаниях. В случае механических систем изменяющимися параметрами, как правило, являются смещение тела из положения равновесия, скорость тела, его ускорение. Колебания, которые совершаются в системе в отсутствии диссипативных сил, называются свободными колебаниями. При наличии диссипативных сил возникшие в системе колебания со временем прекращаются. Такие колебания называются затухающими колебаниями. Затухание колебаний можно компенсировать периодическим действием на систему дополнительной внешней силы. В этом случае говорят о вынужденных колебаниях.

Простейшим примером механической колебательной системы является пружинный маятник, уравнение движения которого имеет вид

,                                      (16.1)

где смещение груза из положения равновесия, масса груза, жесткость пружины.

Решение уравнения (16.1)

.                               (16.2)

Колебания, совершающиеся по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями. Из (16.2) следует, что свободные колебания являются гармоническими. По гармоническому закону будут изменятся также скорость и ускорение пружинного маятника. Поскольку смещение , скорость и ускорение являются кинематическими характеристиками движения, то данное выше определение гармонических колебаний получило название кинематического определения гармонических колебаний. Гармоническим колебаниям можно дать и другое определение. Колебания некоторой величины х называются гармоническими, если вторая производная величины х по времени пропорциональна самой величине х с противоположным знаком. Этот вывод часто называют динамическим определением гармонических колебаний, так как он основан на внешнем виде уравнения движения. Удобство динамического определения заключается в том, что оно позволяет записать решение уравнения движения не решая его.

Свободные колебания характеризуются амплитудой , частотой , периодом колебаний , начальной фазой  и фазой колебаний в момент времени  . В частности, частота и период колебаний пружинного маятника соответственно равны

и .                         (16.3)

Другим простым примером механической системы совершающей свободные колебания может служить физический маятник. Физическим маятником называют любое тело способное совершать колебания вокруг горизонтальной оси под действием силы тяжести. В отсутствии диссипативных сил при малых отклонениях от положения равновесия уравнение движения физического маятника имеет вид

,                                  (16.4)

где угол отклонения маятника от положения равновесия,  и масса и момент инерции маятника соответственно, длина маятника, расстояние от точки подвеса маятника до его центра масс. Используя динамическое определение, по виду (16.4) можно сразу сделать вывод, что физический маятник будет совершать гармонические колебания с периодом

.                                    (16.5)

Так как свободные колебания происходят в отсутствии диссипативных сил, то их полная механическая энергия сохраняется и не зависит от времени. В отличии от нее кинетическая и потенциальная энергии с течением времени изменяются. Следовательно,

.                         (16.6)

Продифференцировав по времени выражение (16.6), приходим к соотношению

,

из которого следует вывод, что при гармонических колебаниях происходит перераспределение полной энергии между ее кинетической и потенциальной составляющими.

Тема 17 Затухающие и вынужденные колебания

1 Затухающие колебания. Величины их характеризующие.

2 Вынужденные колебания.

3 Резонанс.

Основные понятия по теме

При наличии в системе диссипативных сил амплитуда колебаний убывает с течением времени. Такие колебания принято называть затухающими колебаниями. Формально это означает, что в уравнение движения тела, совершающего свободные колебания, при описании затухающих колебаний, необходимо добавить слагаемые учитывающие диссипативные силы. В первом приближении величину этих сил принято считать пропорциональной скорости движения тела. В этом случае уравнение движения пружинного маятника (16.1) принимает вид

,                                   (17.1)

где коэффициент сопротивления.

Разделив обе части уравнения (17.1) на , перепишем его в виде

.                                 (17.2)

В выражении (17.2) введены общепринятые обозначения собственная частота колебаний и коэффициент затухания.

Решение уравнения (17.2) имеет вид

.                            (17.3)

Здесь частота затухающих колебаний, их начальная фаза. Функция  описывает убывание амплитуды затухающих колебаний с течением времени. График зависимости смещения  частицы из положения равновесия приведен на рисунке 17.1. Из вида приведенного графика следует принципиальный вывод – затухающие колебания являются негармоническими. Следовательно, величины, используемые ранее для описания свободных колебаний, при описании затухающих колебаний непригодны. Исключение составляет только начальная фаза колебаний , так как она определяет начальные условия возбуждения колебаний и не связана с их дальнейшим поведением во времени.

Затухающие колебания принято характеризовать следующими величинами:

время релаксации колебаний. Время релаксации затухающих колебаний – это время, в течении которого их амплитуда уменьшается в  раз;

коэффициент затухания, который характеризует диссипативные силы в системе. Коэффициент затухания связан с временем релаксации очевидным соотношением

                                               (17.4)

и, следовательно, имеет размерность ;

декремент затухания. Декремент затухания показывает, во сколько раз амплитуда затухающих колебаний убывает за время одного полного колебания, то есть

;                                (17.5)

логарифмический декремент затухания;             (17.6)

добротность колебательной системы, характеризующая ее энергетические потери за время одного полного колебания. Добротность

,                                 (17.7)

где энергия, запасенная в системе в момент времени , потери энергии за время одного полного колебания.

Введенные выше понятия полностью характеризуют затухающие колебания, то есть описывают поведение кривых представленных на рисунке 17.1 в зависимости от времени. Обратное утверждение также является верным. Имея график зависимости , полученный экспериментально, можно определить все вышеназванные величины характеризующие затухающие колебания.

В реальных ситуациях затухание колебаний является неизбежным, но вредным явлением. Устранить его проявления в рассматриваемой колебательной системе можно, если в число сил, под действием которых происходят колебания, дополнительно включить вынуждающие силы, приводящие к компенсации потерь энергии в колебательной системе. Из основного условия, содержащегося в определении колебаний, «повторяемость во времени» следует, что вынуждающая сила должна иметь периодический характер

.                                       (17.8)

В выражении (17.8) амплитуда вынуждающей силы, ее частота.

При добавлении вынуждающей силы в уравнение движения (17.1), последнее, приобретая внешний вид

,                           (17.9)

одновременно приобретает и качественно новое математическое свойство. В отличие от уравнений (16.1) и (17.1) уравнение (17.9) является неоднородным дифференциальным уравнением. Установившиеся вынужденные колебания описывает только частное решение неоднородного дифференциального уравнения (17.9), которое имеет вид

.                             (17.10)

Из (17.10) следует, что вынужденные колебания, так же как и свободные, являются гармоническими. Однако они отличаются от свободных колебаний рядом особенностей. Во первых, как ясно из выражения (17.10), частота  вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы, то есть вынуждающая сила навязывает колебательной системе свою частоту. Во вторых, амплитуда вынужденных колебаний

                         (17.11)

зависит от частоты вынуждающей силы. Это обстоятельство приводит к тому, что в случае вынужденных колебаний в системе возможно явление резонанса, отсутствующее в системах совершающих свободные колебания. Явление резонанса проявляется в том, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Частоту, при которой это происходит, называют резонансной частотой. Исследовав на экстремум функцию (17.11), нетрудно убедится, что резонансная частота

.                                  (17.12)

Амплитуду колебаний при резонансе

.                                   (17.13)

В заключение отметим, что проявления явления резонанса на практике может приводить как позитивным, так и негативным следствиям. Так явление резонанса оказывается весьма полезным в акустике, радиотехнике и т. д.

Тема 18 Волны в упругой среде

1Плоские волны

2 Энергия упругой волны

3 Стоячие волны

4 Эффект Доплера

Основные понятия по теме

Упругой волной называется процесс распространения колебаний частиц в упругой среде. Если в такой среде каким-либо способом вызвать колебания в одной ее точке, то в результате упругих взаимодействий в среде возникнет бегущая волна, которая в процессе своего распространения будет заставлять совершать колебания все новые и новые частицы среды. Граница, отделяющая область среды в которой возникли колебания частиц от области, в которой частицы еще не начали колебаться, называется фронтом волны. В зависимости от формы фронта волны принято говорить о плоских, сферических и др. волнах.

Наряду с фронтом волны, при описании волн, используется другой геометрический образ ‒ волновая поверхность. Волновой поверхностью называют геометрическое место точек среды колеблющихся в одинаковой фазе. Из этого определения ясно, что фронт волны представляет собой волновую поверхность максимально удаленную от источника колебаний. Направление, в котором распространяется волна, называют лучом.

В зависимости от направления колебаний частиц среды относительно направления распространения волны различают два вида волн: продольные и поперечные. В продольной волне частицы смещаются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне смещение частиц перпендикулярно направлению распространения волны. Продольные и поперечные волны могут возникать в твердых телах. В жидкостях и газах, в связи с отсутствием в них деформаций сдвига, могут существовать только продольные волны.

Так как волна, по своей сути, представляет собой колебания «отпущенные на свободу», то для ее описания пользуются теми же величинами, что и для колебаний, добавляя к ним скорость распространения V и порождаемое ее понятие длины волны. Длиной волны называют расстояние, проходимое волной за время одного полного колебания, то есть за период:

.                                           (18.1)

Длине волны можно дать и другое определение: длина волны ‒ это наименьшее расстояние между двумя точками, колеблющимися в одинаковой фазе.

Простейшей плоской монохроматической волной распространяющейся в направлении оси Х является бегущая волна, уравнение которой

.                             (18.2)

Здесь смещение частицы с координатой х в момент времени t, волновое число, показывающее сколько длин волн  укладывается на отрезке длиной  метров, частота волны.

В случае плоской волны распространяющейся в направлении нормали  к ее фронту, уравнение (18.2) принимает вид

,                               (18.3)

где радиус-вектор частицы среды, волновой вектор.

Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что выражение (18.3) является решением уравнения

,                          (18.4)

если

.                                             (18.5)

Уравнение (18.4) носит название волнового уравнения.

Скорость , определяемая формулой (18.5), является фазовой скоростью волны. В упругой среде с плотностью  

в случае продольных и  в случае поперечных волн, где Е и модуль Юнга и модуль сдвига среды соответственно.

Распространение волны в упругой среде сопровождается колебаниями частиц среды и ее деформациями. Следовательно, среда получает дополнительный запас энергии от источника колебаний. Для бегущей волны (18.2) мгновенная плотность энергии, то есть энергия приходящаяся в данный момент времени на единицу объема среды,

.                           (18.6)

Соответственно, среднее за период значение плотности энергии равно

.                                   (18.7)

Из (18.6) видно, что мгновенная плотность энергии в различных точках среды различна. Кроме того, плотность энергии в одной и той же точке среды в разные моменты времени так же различна, что свидетельствует о переносе энергии волной.

Для описания переноса энергии вводят понятие о потоке энергии.

Под потоком энергии Ф понимают количество энергии переносимое волной за единицу времени через определенную поверхность S.

Поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную к направлению переноса энергии, называется плотностью потока энергии:

.                                              (18.8)

Для определения плотности потока энергии и его направления вводят вектор Умова. Для бегущей волны вектор Умова

,                                                (18.9)

где плотность энергии, вектор скорости, нормальный к волновой поверхности в данной точке площадки S.

С учетом (18.7), для среднего за период значения вектора Умова можем записать

.                                    (18.10)

Это выражение справедливо не только для плоских волн, но и для волн любого вида.

При распространении в упругой среде одновременно нескольких волн происходит их наложение друг на друга. Процесс наложения волн подчиняется принципу суперпозиции. Согласно принципу суперпозиции налагающиеся волны не оказывают взаимного влияния друг на друга, то есть каждая волна распространяется так, как будто другие отсутствуют. Это означает, что колебания частиц среды, находящихся в области наложения волн, являются векторной суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности.

При наложении двух плоских волн, имеющих одинаковые частоты и амплитуды и распространяющихся в противоположных направлениях,

 и  

результирующее смещение  частицы среды с координатой х в момент времени  равно сумме смещений  и :

.                (18.11)

Из (18.11) видно, что в результате наложения прямой и обратной волн точки среды колеблются так, что все они в моменты времени t удовлетворяющие уравнению  одновременно проходят положения равновесия. В моменты времени t удовлетворяющие уравнению  все точки одновременно достигают своих наибольших отклонений. Полученная таким образом волна называется стоячей волной, а уравнение (18.11) называется уравнением стоячей волны. В отличие от бегущей волны стоячая волна энергии не переносит. В стоячей волне энергия локализована в областях между соседними узлами.

Если источник S и приемник Р звука движутся в упругой среде относительно друг друга, то приемник будет воспринимать звук с частотой  отличной от частоты  звука излучаемого источником. Это явление получило название эффекта Доплера.

Частоты  и  связаны простым соотношением

,                                   (18.12)

где скорость звука в среде,  и проекции скоростей приемника и источника относительно среды на ось х, проходящую через источник и приемник. При применении формулы (18.12) следует помнить, что направление оси х должно совпадать с направлением от источника S к приемнику Р.

Тема 19 Статика

1 Задачи статики.

2 Условия равновесия.

3 Типы равновесия и условия их реализации

Основные понятия по теме

Статика ‒ это раздел механики, в котором изучают условия равновесия твердого тела, или системы тел, под действием приложенных к ним сил. При этом состояние равновесия твердого тела отождествляют с состоянием покоя этого тела, то есть с состоянием, в котором скорости тела и всех его точек равны нулю. Состояние равновесия принято характеризовать качественной характеристикой ‒ устойчивостью.

Из сказанного вытекают две основные задачи статики:

‒ при каких условиях тело (система тел) будет находиться в равновесии;

‒ при каких условиях равновесие тела (системы тел) будет устойчивым.

Так как равновесие тела отождествляется с состоянием его покоя, то ответ первой задачи сводится к формулировке условий, при которых тело не может совершать ни поступательного, ни вращательного движений. Эти условия гласят:

для того чтобы тело не совершало поступательного движения, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая всех сил приложенных к телу была равна нулю:

;                                            (19.1)

‒ для того чтобы тело не совершало вращательного движения, необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех сил приложенных к телу относительно любой оси была равна нулю:

,                            (19.2)

где  радиус-вектор проведенный из точки О, лежащей на оси вращения, в точку приложения силы . Уравнение (19.2) принято называть уравнением моментов.

Таким образом, условия равновесия тесно связаны с понятиями сила и момент силы. В задачах статики все силы принято разделять на два типа:

силы реакции ‒ силы, действующие на тело со стороны связей, то есть со стороны тел ограничивающих движение рассматриваемого тела;

активные силы ‒ все силы, действующие на рассматриваемое тело, не являющиеся силами реакции.

Активные силы не зависят от связей, а значит и от реакций связей, наложенных на твердое тело. Обратное неверно, то есть реакции связей зависят от активных сил. В статике полностью определить реакции связей можно с помощью условий (19.1) и (19.2) в процессе решения задачи, однако их направления во многих случаях можно найти из рассмотрения свойств связей. Предварительное определение направлений сил реакции существенно упрощает решение задачи.

Силы, действующие на твердое тело, характеризуются величиной, направлением и точкой приложения. Направление вектора силы определяет линию, вдоль которой она действует ‒ линию действия. Две силы, действующие на твердое тело, уравновешиваются тогда и только тогда, когда линии их действия лежат на одной прямой, силы равны по величине и направлены в противоположные стороны. Перенос точки приложения силы вдоль линии ее действия не изменяет механического состояния системы. Следовательно, в задачах статики можно переносить точку приложения силы вдоль линии ее действия.

Для отыскания ответа второй основной задачи статики необходимо рассмотреть особенности состояний равновесия.

Различают три типа равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное.

Равновесие называется устойчивым, если в результате малого смещения твердого тела из положения равновесия возникают силы или моменты сил стремящиеся вернуть тело в исходное положение. Если возникающие силы или моменты сил стремятся удалить тело от первоначального положения, то равновесие называется неустойчивым.

Равновесие называется безразличным, если существует область отклонений твердого тела от положения равновесия, в которой смещение тела не вызывает появления сил изменяющих его состояние.

О характере равновесия тела, подчиненного идеальным стационарным связям, можно так же судить и по зависимости его потенциальной энергии от координат. Если в данном положении тела его потенциальная энергия имеет минимум, то тело находится в состоянии устойчивого равновесия. Если же в данном положении тела его потенциальная энергия имеет максимум, то равновесие тела в этом положении неустойчиво.

Аналогичные понятия и условия имеют место и для системы тел.

Тема 20 Гидродинамика

1 Закон Паскаля и его следствия

2 Теорема Бернулли

3 Вязкость жидкости

4 Течение жидкости по круглым трубам

Основные понятия по теме

Основной моделью, используемой в гидродинамике, является модель несжимаемой жидкости – жидкости, плотность которой всюду одинакова и не меняется с течением времени. В отличие от твердого тела жидкость обладает свойством текучести, т. е. способностью принимать форму сосуда, в котором она находится. Это обстоятельство приводит к необходимости замены исходных понятий используемых в кинематике (траектория) и динамике (сила) твердого тела понятиями линия тока и давление.

Линия тока – это линия, в каждой точке которой вектор скорости течения жидкости направлен по касательной. Линии тока проводятся так, чтобы их густота была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Упорядоченное течение жидкости, при котором жидкость перемещается, как бы слоями параллельными направлению течения называется ламинарным течением. В случае, когда слои жидкости перемешиваются в процессе ее движения, течение жидкости называется турбулентным течением.

Давлением жидкости называется величина равная отношению нормальной силы F, действующей со стороны жидкости на элемент поверхности площадью S твердого тела, к площади этого элемента поверхности

.                                                (20 1)

При равновесии жидкости давление подчиняется закону Паскаля – основному закону гидростатики: давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям и одинаково передается по всему объему, занятому жидкостью.

Из закона Паскаля следует, что давление создаваемое жидкостью на глубине h 

,                                             (20.2)

где  плотность жидкости. Давление, определяемое выражением (20.2), называется гидростатическим давлением.

Из выражения (20.2) следует, что сила давления на более глубокие слои жидкости больше чем на верхние. Поэтому на тело погруженное в жидкость действует выталкивающая сила, определяемая законом Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, со стороны жидкости действует выталкивающая сила направленная вертикально вверх и равная весу жидкости в объеме вытесненном телом

,                                         (20.3)

где плотность жидкости, объем погруженного в жидкость тела.

Весьма важным и наглядным понятием в гидродинамике является понятие трубки тока. Трубкой тока называется воображаемая трубка, сотканная из линий тока (рисунок 20.1).

Так как жидкость несжимаема, то при ламинарном течении через любое сечение S трубки тока за единицу времени проходит одинаковый объем жидкости

,                   (20.4)

где скорость частиц жидкости нормальная плоскости сечения трубки тока. Уравнение (20.4)

называется уравнением неразрывности.

Для идеальной жидкости, жидкости в которой отсутствует внутреннее трение, при стационарном режиме течения имеет место теорема Бернулли:

,                            (20.5)

где гидростатическое давление, гидродинамическое давление, статическое давление. Теорема Бернулли выражает закон сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости.

Реальные жидкости обладают вязкостью. Вязкость – это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой. Силы, возникающие в этом случае, называют силами внутреннего трения. Силы внутреннего трения направлены по касательной к поверхности слоев жидкости. Модуль силы внутреннего трения пропорционален градиенту скорости  движущихся слоев жидкости и площади S поверхности, контактирующей с жидкостью,

,                                   (20.6)

где коэффициент  называется коэффициентом динамической вязкости. Коэффициент динамической вязкости зависит от природы жидкости и ее температуры. Чем больше вязкость, тем сильнее жидкость отличается от идеальной .

При ламинарном стационарном течении вязкой жидкости по трубе круглого сечения ее расход , то есть объем жидкости вытекающей из трубы в единицу времени, пропорционален четвертой степени радиуса трубы R и определяется формулой Пуазейля

,                                        (20.7)

где давление в начале, а в конце трубы длиной l, коэффициент динамической вязкости жидкости.

О

М

Рисунок 1.1

M(x;y;z)

z

y

x

Z

X

о

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рисунок 1.2

Y

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

М

Рисунок 1.3

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

М

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

О

О*

EMBED Equation.3  

R

EMBED Equation.3  

Рисунок 2.1

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

M

EMBED Equation.3  

О'

Z

Y

Х

О

Х'

Рисунок 3.1

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

1

2

Рисунок 9.1

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

О

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

1

EMBED Equation.3  

2

Рисунок 9.2

2

1

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рисунок 9.3

F

t

EMBED Equation.3  

Рисунок 10.1

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рисунок 10.2

б)

Линия удара

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Линия удара

а)

Z

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

А

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

О2

О1

О

EMBED Equation.3  

Рисунок 11.1

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

О

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

А

Рисунок 11.2

Рисунок 17.1

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

Рисунок 20.1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15526. Магдебурзьке право в Україні 19.79 KB
  Магдебурзьке право і його особливості в Україні Магдебурзьким правом називають один з різновидів прав міських общин які із Західної Європи поширювалися на українські землі починаючи з XIV ст. Його назва походить від назви міста ...
15527. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ З ВИЯВЛЕННЯ, ВИВЧЕННЯ, УЗАГАЛЬНЕННЯ ТА ПОШИРЕННЯ ПЕРЕДОВОГО ПЕДАГОГІЧНОГО ДОСВІДУ 388.5 KB
  МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ З ВИЯВЛЕННЯ ВИВЧЕННЯ УЗАГАЛЬНЕННЯ ТА ПОШИРЕННЯ ПЕРЕДОВОГО ПЕДАГОГІЧНОГО ДОСВІДУ У посібнику закомульовано матеріал який стосується виявлення вивчення і поширення передового педагогічного досвіду педагогічних працівників навчальних за
15528. Чисельність і соціальна структура українського населення Російської імперії у 19 ст 16.71 KB
  Чисельність і соціальна структура українського населення Російської імперії у 19 ст. 850 тис. кв.кмзаг.площа. 910 Росія до 1863р.134 млн. 18631890 24. Формування української еліти – дворянства мало свої регіональні та соціоетнічні особливості. Поперше провідна верства украї...
15529. Церква 14-17 століття 12.23 KB
  Становище церкви. Надзвичайно тяжким було становище української православної церкви як одного з чинників культурного процесу. Проти неї вів уперту непримиренну боротьбу войовничий католицизм який офіційно підтримувала польська королівська адміністрація. Ще однією тр...
15530. ПЕРВЫЕ ВЕКА РУССКОЙ ИСТОРИИ 348 KB
  Б. А. РЫБАКОВ ПЕРВЫЕ ВЕКА РУССКОЙ ИСТОРИИ Откуду есть пошла земля Русская Первые свидетельства о государстве Руси Русь на подъеме Князь Игорь Старый и древляне Святослав и его походы Былинное время Руси Христианство и язычество Культура древней Руси ...
15531. Русская литература XX века 1.46 MB
  Новый этап в развитии русской литературы XX в. ознаменовался окончанием мирового периода в жизни народов Европы: началась Вторая мировая война, длившаяся шесть лет. В 1945 г. она завершилась поражением гитлеровской Германии. Но мирный период продолжался недолго
15532. Додаткові освітні послуги — одне з джерел фінансування навчальних закладів 116 KB
  Додаткові освітні послуги одне з джерел фінансування навчальних закладів Практика доводить: якщо керівник навчального закладу вдало обрав види позабюджетної діяльності та правильно організував надання додаткових освітніх послуг то це може стати надійним джерелом...
15533. Історія трудової книжки 151 KB
  Історія трудової книжки Першими були французи Головне джерело інформації про трудову діяльність людини трудова книжка має давню історію що бере початок в європейському законодавстві. Уперше вона зявилася в Англії і Франції як форма контролю за робітниками. У ...
15534. Особова справа 27.5 KB
  Особова справа Особова справа це сукупність документів які містять найповніші відомості про працівника і характеризують його біографічні ділові особисті якості. Вона посідає основне місце у системі персонального обліку працівників. На підставі документів що групу...