35256

Лебеговское продолжение меры. Мера в R

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть задано множество X и – полукольцо его подмножеств, на котором задана мера m. Мера, заданная на кольце K называется продолжением меры m, если и для всех выполняется

Русский

2014-09-21

470.5 KB

27 чел.

Тема 2. Лебеговское продолжение меры. Мера в Rn

Пусть задано множество X и   полукольцо его подмножеств, на котором задана мера m. Мера , заданная на кольце K называется продолжением меры m, если  и для всех  выполняется .

Теорема. Пусть  – мера на полукольце  и K(S) – минимальное кольцо, порожденное S. Тогда на K(S) существует единственная мера , являющаяся продолжением меры m. Если мера m на полукольце  является -аддитивной, то её продолжение также -аддитивная мера.

Пусть   алгебра подмножеств множества X, m -аддитивная мера на K. Внешней мерой множества  называется число 

где нижняя грань берётся по всевозможным конечным или счётным покрытиям множества A элементарными множествами.

Свойства внешней меры заданной на кольце:

  1.  если  , то 
  2.  для всех ,  и
  3.  для всех  и  выполняется 
  4.  внешняя мера счётно-полуаддитивна, т.е. для всех  имеет место неравенство:

  1.  для всех

Внутренней мерой множества называется число .

Для всех имеет место неравенство:

Пусть m – полная, счётно-аддитивная, конечная мера. Множество называется измеримым по Лебегу относительно меры m, заданной на алгебре множеств К, если выполняется равенство:

Для измеримого по Лебегу множества определим меру  Совокупность измеримых множеств обозначим .

Теорема 1 (критерий измеримости множества). Пусть задано пространство (X, , m). Тогда для всех  следующие утверждения эквивалентны:

  1.  А измеримо по Лебегу относительно меры m;
  2.  для любого  что

Следствие. Множество измеримо, если для всех  существует измеримое множество B такое, что 

Теорема 2. (о -алгебре измеримых множеств). Совокупность измеримых множеств образует -алгебру множеств, содержащую исходную алгебру K. Сужение  внешней меры * на измеримые множества является мерой на .

Следствие. Счётное пересечение измеримых множеств измеримо.

Мера m, заданная на алгебре K, называется полной, если из  и  следует, что  и 

Одним из важнейших примеров меры является мера Лебега на числовой прямой.

Пусть некоторый фиксированный полуинтервал прямой,   полукольцо, состоящее из полуинтервалов . Пусть Kалгебра подмножеств, порождённая полукольцом S, каждый элемент которой имеет вид  причём полуинтервалы в правой части попарно не пересекаются. Через m обозначим меру на алгебре K, полученную продолжением меры с полукольца, т.е. . Для произвольного множества  определим внешнюю меру , где точная нижняя грань берётся по всем таким наборам полуинтервалов , что . Множество  называется измеримым по Лебегу, если  Таким образом, мерой Лебега на отрезке называется лебеговское продолжение длины.

Рассмотрим измеримые по Лебегу линейные ограниченные множества:

  1.  множество, состоящее из одной точки, измеримо и его мера равна нулю;
  2.  всякое не более чем счётное ограниченное множество точек прямой измеримо и его мера равна нулю;
  3.  любой промежуток измерим и его мера равна его длине;
  4.  любое ограниченное открытое или замкнутое множество измеримо по Лебегу;
  5.  любое ограниченное борелевское множество на прямой измеримо по Лебегу.

Часто приходится рассматривать меры, которые могут принимать и бесконечные значения. Ограничимся случаем - конечных мер.

Мера , принимающая бесконечные значения, называется - конечной, если существует последовательность множеств  такая, что , для всех i и .

Можно показать, что если мера , заданная на алгебре K подмножеств X, -конечна, то X можно представить в виде объединения счётной системы попарно непересекающихся множеств конечной меры.

Рассмотрим теорию измеримости по Лебегу для произвольных (даже неограниченных) множеств на прямой. Длина как мера на R является -аддитивной, потому что . Множество  называется измеримым по Лебегу, если для всех  измеримо по Лебегу ограниченное множество  или .

Совокупность всех измеримых подмножеств R обозначим . Обозначим через . Тогда  и . Если ряд расходится, то .

Утверждение 1. Совокупность всех измеримых по Лебегу подмножеств R является -алгеброй.

Утверждение 2. Введённая функция  является -конечной мерой на -алгебре всех измеримых множеств на R.

Пусть задана неубывающая функция , т.е. .

Скачком функции F в точке  называется число , где  соответственно правосторонний предел и левосторонний предел в точке x. На концах отрезка: , .

Скачок неубывающей функции в любой точке неотрицателен, причём функция F непрерывна в точке x тогда и только тогда, когда .

Свойства неубывающих функций:

  1.  пусть F – неубывающая функция на отрезке [a,b], c1, c2, c3, , cn[a,b] – любые точки из этого отрезка. Тогда .
  2.  множество точек разрыва неубывающей на отрезке [a,b] функции не более чем счётно.

Будем говорить, что функция F непрерывна слева в точке x0, если для любого  >0 существует  >0 такое, что для всех x, x0  x  x0 верно неравенство |F(x0)–F(x)| <  .

Пусть, как и при построении меры Лебега, X = [a,b) – фиксированный полуинтервал, S  (X) – полукольцо, порождённое системой полуинтервалов [,) [a,b). Пусть на [a,b) задана неубывающая ограниченная функция F(x). Определим меру элемента полукольца mF = F()–F() = F [,).

Теорема. Для того, чтобы мера mF была -аддитивной, необходимо и достаточно, чтобы порождающая её функция F(x) была непрерывной слева.

Пусть K(S) – кольцо, порождённое полукольцом с единицей S. Тогда для всех AK(S) имеет место представление:

A =, Ai  S.

Соответствующее продолжение меры на K(S) задаётся формулой: F (A) =.

Пусть   внешняя мера, построенная по мере mF, заданной на алгебре K. Продолжение меры mF на -алгебру  измеримых относительно меры mF множеств называется мерой Лебега-Стилтьеса, построенной по неубывающей функции F.

Очевидно, что F  конечная полная мера. Если F(x) = x, то мера Лебега-Стилтьеса совпадает с мерой Лебега .

Примеры решения задач

Задача 1. Пусть X=[0,1[[0,1[, S – полукольцо прямоугольников, принадлежащих , вида Tab=[a,b[[0,1[. Положим m(Tab) = b–a. Найти внешнюю меру множества  и выяснить, является ли оно измеримым. Описать явный вид лебеговского продолжения меры.

Решение. По определению внешняя мера А

*(A)=, где любой элемент полукольца S имеет вид , т.е. полностью определяется своей проекцией на ось OX. Чтобы покрыть множество А элементами , необходимо и достаточно покрыть проекцию этого множества на ось OX полуинтервалами . Поэтому внешняя мера множества А в данном случае совпадает с внешней мерой проекции этого множества на ось OX.

,

 ;

и .

Следовательно, множество А неизмеримо. Из приведенных выше рассуждений видно, что множество будет измеримым тогда и только тогда, когда оно будет иметь вид   [0,1[ и   [0,1[  измеримо по Лебегу.

Задача 2. Пусть X= [0,1[[0,1[, S={[a,b[[c,d[X}, m([a,b[[c,d[) = = (b-a)(d-c). Вычислить внутреннюю и внешнюю меры множества .

Решение. По определению

*(A)=, A, т.е. прямоугольники, , где k=0, 1, 2,, n-1, образуют для каждого n покрытие множества А. Имеем:

*(A) .

Величина Sn является верхней суммой Дарбу для функции f(x)=1x на отрезке ,соответствующей разбиению отрезка на n частей. Для функции f существует интеграл Римана, поэтому

.

Переходя к пределу при n в неравенстве *A  Sn, которое выполняется для всех n, получим *A1/2. С другой стороны *(X\A), т. к. X \ A  , и *(X \ A) .

Поэтому * A = mX–* (X \ A) 1–1/2 = 1/2. Имеем:

.

Задача 3. Пусть ,  полукольцо,  F:XR  неубывающая непрерывная слева на Х функция. Определим на  меру Лебега-Стилтьеса равенством: .

Описать класс измеримых подмножеств из Х, найти меру Лебега-Стилтьеса каждого множества А, если

Решение. Из определения меры F на полукольце S следует, что , если полуинтервал не содержит точку x = 0, и , если . Распространим меру F на минимальное кольцо K(S). Если A  K(S), то , Ai = [i,i[. Поэтому если 0A, то 0 [i,i[ для всех i = и . Если , то найдётся только один полуинтервал , содержащий x = 0, с мерой 1, и . Следовательно, мера каждого элемента кольца равна либо 0, либо 1. Поскольку F(x) непрерывна слева, то F -аддитивна и допускает продолжение.

С этой целью найдём вначале внешнюю меру множества . По определению

(A)=,

где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям множества  элементами  полукольца .

Если , то, рассматривая покрытия (0,1) = , имеем . Поскольку *A  *A, то  измеримо относительно меры F и его мера равна нулю. В силу полноты меры будет измеримым и любое подмножество интервала (0,1) и его мера будет также равна нулю.

Если рассмотреть одноточечное множество , то для каждого его покрытия  множествами  имеется хотя бы одно из них, содержащее точку x = 0. Поэтому  и . Далее, пользуясь покрытием [-1,1[ {0}, получаем, что . Таким образом, .

Рассмотрим теперь произвольное множество . Из свойств монотонности внешней меры следует, что , если A  (0,1) или A  [-1,0). Если же {0}  A, то . Рассматривая в этом случае покрытие [-1,1[, имеем . Следовательно, если {0}  A, то .

Покажем теперь, что произвольное множество измеримо относительно меры Лебега-Стилтьеса. Действительно, A (0,1) или A [-1,0), то  и оно измеримо. Если же {0}  A, то из неравенства , справед-ливого для каждого  > 0, заключаем, что множество А F-измеримо, .

Задача 4. Пусть X = R2, S = {kn=[k, k+1[[n, n+1[: k, n  Z}, (kn)=1. Найти внешнюю меру множества

.

Будет ли множество А измеримым?

Решение. Множество Х является пространством с -конечной мерой, т.к. X=, , здесь .

По определению множество А измеримо, если измеримо A1=A11, A2 = A  21, A3 = A  31, тогда A1 = {0  x < 1, y = 1}; A2={1 x < 2, y = 1}; A3 = {x = 2, y = 1}.

По определению *(A1) =, тогда , т.к. покрытие, на котором достигается точная нижняя грань, образует множество 11, , . Поэтому A1, и, следовательно, A не измеримо. Очевидно, что *(A) = 3, т.к. покрытие A состоит из 11, 21, 31.

Задача 5. Каково строение и какая мера точек отрезка [0,1], десятичное представление которых возможно без цифр 4 и 5.

Решение. Это множество строится следующим образом: делим отрезок [0,1] на десять равных частей и выбрасываем полуинтервал [0.4, 0.6]. Затем каждый из оставшихся восьми полуинтервалов делим на десять равных частей и выбрасываем в каждом из них соответствующий полуинтервал [0,n14; 0,n16[, где n1 = 0,1,2,3,6,7,8,9 и т.д. Данное множество нигде не плотно, каждая его точка является предельной, т.е. множество является совершенным. Вычислим меру выбрасываемых промежутков, посчитав тем самым меру дополнения к искомому множеству:

.

Следовательно, мера точек отрезка [0,1], десятичное представление которых возможно без цифр 4 и 5, равна 0.

Задача 6. Найти меру множеств

1)  2)

Решение. 1) Представим множество А в виде объединения попарно непересекающихся интервалов. Для этого выясним, начиная с какого номера n интервалы будут пересекаться. Заметим, что  для всех n, и поэтому интервалы не могут быть вложены друг в друга. Решая неравенство , находим n  3. Поэтому представим А в виде , где ,

, , тогда .

2) Пусть .

Множество В борелево и поэтому измеримо. Множество Q счётное и имеет меру нуль, значит . Множества   непересекающиеся при любом .

Согласно свойству -аддитивности меры: . Таким образом, .

Задача 7. Вычислить меру множества А:

,

где a > 0 – фиксированное число.

Решение. Множество A  R2 открыто и поэтому измеримо. Множество А рассматривается в пространстве с -конечной мерой, поэтому построим возрастающую последовательность множеств  .

Тогда .

.

Задание 1. Пусть ,  . Найти внешнюю и внутреннюю меры множеств и выяснить, измеримы ли они.

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

Задание 2. Пусть X =[-2,2[, ={[a,b[X},   – её продолжение по Лебегу.

а) Найти меру множества, состоящего из одной точки.

б) Выяснить, является ли множество А измеримым, найти его меру.

  1.   
  2.   
  3.   
  4.   
  5.   A=[0,3/4];
  6.   
  7.   
  8.   
  9.   
  10.   
  11.   
  12.   
  13.   
  14.   A=[-1,2);

Задание 3. Описать структуру множества A [0,1] и найти его меру.

3.1. Множество точек отрезка [0,1], состоящее из чисел, у которых в десятичной записи цифра 2 встречается раньше, чем цифра 3.

3.2. Множество точек отрезка [0,1], в разложении которых в бесконечную десятичную дробь фигурируют все цифры 1,2,…9.

3.3. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых содержит хотя бы одну цифру 3.

3.4. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых возможно без цифр 4 и 5.

3.5. Множество точек отрезка [0,1], которые допускают десятичное разложение без комбинации стоящих рядом цифр 3,3,3.

3.6. Множество точек отрезка [0,1], которые допускают разложение в десятичную дробь без использования цифры 7.

3.7. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых не содержит цифры 2.

3.8. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых содержит цифру 5 только один раз.

3.9. Множество точек отрезка [0,1], в разложении которых в двоичную дробь на всех чётных местах стоят нули.

3.10. Множество точек отрезка [0,1], в разложении которых в двоичную дробь на всех нечётных местах стоят единицы.

3.11. Множество точек отрезка [0,1], троичное представление которых не содержит цифры 3.

3.12. Множество точек отрезка [0,1], троичное представление которых не содержит цифры 0.

3.13. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых невозможно без цифры 4.

3.14. Множество точек отрезка [0,1], которые допускают десятичное разложение без комбинации стоящих рядом цифр 2,2,2,2.

Задание 4. Доказать, что множество  измеримо и найти его меру.

4.1. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек, декартовы и полярные координаты которых иррациональны.

4.2.

4.3. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек  таких, что - иррационально.

4.4.

4.5.

4.6. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек  таких, что .

4.7.

4.8.

4.9.

4.10. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек  таких, что .

4.11. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек  таких, что .

4.12. 

4.13. 

4.14. 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36507. Потік газових молекул на стінку. Закон косинусу 191.07 KB
  Закон косинусу У багатьох задачах потрібно враховувати кількість молекул що падає на стінку посудини. На стінку впадуть лише ті молекули напрямки яких направлені у бік виділеної ділянки. Нам необхідно знати розподіл молекул за напрямками швидкостей.
36508. Молекулярні пучки. Зміна кількості молекул у пучці 188.18 KB
  Зміна кількості молекул у пучці внаслідок зіткнень з молекулами газу Нехай маємо джерело молекулярного пучка. Нагадаю : молекулярний пучок це вузький різко окреслений струмінь атомів що рухаються в одному напрямку і не взаємодіють між собою. Молекулярний пучок рухається у газі вздовж осі .
36509. УПРАВЛЕНИЕ КАЧЕСТВОМ НА ПРОИЗВОДСТВЕ 211 KB
  В промышленно развитых странах во многих фирмах и компаниях функционируют системы качества, успешно обеспечивающие высокое качество и конкурентоспособность выпускаемой продукции. В большей части эти системы аналогичны отечественным комплексным системам управления качеством продукции
36510. Теплопровідність газів 248.36 KB
  Вони нагріті до різних температур і ці температури підтримуються сталими. Зміна температури вздовж осі характеризується градієнтом температури. Закон дає звязок між кількістю тепла і градієнтом температури. Кількість тепла пропорційна градієнту температури; як можна було б очікувати пропорційна площі площадки .
36511. Загальне рівняння для явищ переносу 184.28 KB
  Запишемо кількість молекул які налітають за одиницю часу на площадку із швидкостями у інтервалі і у межах полярних кутів . Тому записуючи кількість молекул ми додаємо ще два імовірнісні множники . Позначимо кількість величини що переноситься зліва направо через площадку тими молекулами які летять у межах кутів з відстані . Ця кількість буде визначатись добутком значення величини що переносить кожна молекула на кількість молекул : .
36512. Ергодична гіпотеза 175.19 KB
  3 Фазові перетворення ІІ роду. Поглянемо на класифікацію фазових перетворень І і ІІ роду не з точки зору наявності чи відсутності теплообміну а з точки зору стрибкоподібної зміни параметрів стану речовини. Фазові перетворення при яких перші похідні функції змінюються стрибкоподібно називаються фазовими перетвореннями І роду. Фазові перетворення при яких перші похідні функції залишаються неперервними а другі похідні тієї ж функції змінюються стрибкоподібно називаються фазовими перетвореннями ІІ роду.
36513. Закон зростання ентропії. Обчислення зміни ентропії при різних процесах 162.99 KB
  Обчислення зміни ентропії при різних процесах Якщо термодинамічна система адіабатно ізольована то і зміна ентропії у результаті протікання оборотних процесів а під час необоротних процесів які власне тільки і існують у природі як показує досвід і теорія ентропія зростає. Рівність має місце лише для оборотних процесів за означенням ентропії. Властивість зростати притаманна ентропії так само як енергії зберігатись.
36514. Об’єднана формула Максвелла-Больцмана розподілу молекул за швидкостями 177.18 KB
  Потенціальна енергія молекули залежить від її положення . Зміна потенціальної енергії спричиняє зміну і кінетичної енергії молекул оскільки . Але середня кінетична енергія не змінюється а отже не змінюється і температура газу оскільки вона є мірою кінетичної енергії молекул газу.
36515. Броунівський рух. Теорія Ейнштейна-Смолуховського. Дослід Перена по визначенню числа Авогадро 244.82 KB
  Запишемо рівняння руху такої частинки де нескомпенсована результуюча сила дії з боку молекул середовища яка примушує броунівську частинку рухатись у певному напрямку; сила тертя зумовлена вязкістю середовища. У проекції на вісь рівняння руху броунівської частинки набуває вигляду . Розвязок рівняння її руху може нам дати координату руху але хаотичний рух вимагає усереднення за довгий проміжок часу. Давайте використаємо дві очевидні тотожності : і підставимо їх у...