ID: 35256

Название работы: Лебеговское продолжение меры. Мера в R

Категория: Лекция

Предметная область: Математика и математический анализ

Описание: Пусть задано множество X и – полукольцо его подмножеств, на котором задана мера m. Мера, заданная на кольце K называется продолжением меры m, если и для всех выполняется

Язык: Русский

Дата добавления: 2014-09-21

Размер файла: 470.5 KB

Работу скачали: 27 чел.

Тема 2. Лебеговское продолжение меры. Мера в Rn

Пусть задано множество X и  – полукольцо его подмножеств, на котором задана мера m. Мера , заданная на кольце K называется продолжением меры m, если  и для всех  выполняется .

Теорема. Пусть  – мера на полукольце  и K(S) – минимальное кольцо, порожденное S. Тогда на K(S) существует единственная мера , являющаяся продолжением меры m. Если мера m на полукольце  является -аддитивной, то её продолжение также -аддитивная мера.

Пусть  – алгебра подмножеств множества X, m – -аддитивная мера на K. Внешней мерой множества  называется число 

где нижняя грань берётся по всевозможным конечным или счётным покрытиям множества A элементарными множествами.

Свойства внешней меры заданной на кольце:

1.  если  , то 
2.  для всех ,  и
3.  для всех  и  выполняется 
4.  внешняя мера счётно-полуаддитивна, т.е. для всех  имеет место неравенство:

1.  для всех

Внутренней мерой множества называется число .

Для всех имеет место неравенство:

Пусть m – полная, счётно-аддитивная, конечная мера. Множество называется измеримым по Лебегу относительно меры m, заданной на алгебре множеств К, если выполняется равенство:

Для измеримого по Лебегу множества определим меру  Совокупность измеримых множеств обозначим .

Теорема 1 (критерий измеримости множества). Пусть задано пространство (X, , m). Тогда для всех  следующие утверждения эквивалентны:

1.  А измеримо по Лебегу относительно меры m;
2.  для любого  что

Следствие. Множество измеримо, если для всех  существует измеримое множество B такое, что 

Теорема 2. (о -алгебре измеримых множеств). Совокупность  измеримых множеств образует -алгебру множеств, содержащую исходную алгебру K. Сужение  внешней меры * на измеримые множества является мерой на .

Следствие. Счётное пересечение измеримых множеств измеримо.

Мера m, заданная на алгебре K, называется полной, если из  и  следует, что  и 

Одним из важнейших примеров меры является мера Лебега на числовой прямой.

Пусть – некоторый фиксированный полуинтервал прямой,  – полукольцо, состоящее из полуинтервалов . Пусть K – алгебра подмножеств, порождённая полукольцом S, каждый элемент которой имеет вид  причём полуинтервалы в правой части попарно не пересекаются. Через m обозначим меру на алгебре K, полученную продолжением меры с полукольца, т.е. . Для произвольного множества  определим внешнюю меру , где точная нижняя грань берётся по всем таким наборам полуинтервалов , что . Множество  называется измеримым по Лебегу, если  Таким образом, мерой Лебега  на отрезке называется лебеговское продолжение длины.

Рассмотрим измеримые по Лебегу линейные ограниченные множества:

1.  множество, состоящее из одной точки, измеримо и его мера равна нулю;
2.  всякое не более чем счётное ограниченное множество точек прямой измеримо и его мера равна нулю;
3.  любой промежуток измерим и его мера равна его длине;
4.  любое ограниченное открытое или замкнутое множество измеримо по Лебегу;
5.  любое ограниченное борелевское множество на прямой измеримо по Лебегу.

Часто приходится рассматривать меры, которые могут принимать и бесконечные значения. Ограничимся случаем - конечных мер.

Мера , принимающая бесконечные значения, называется - конечной, если существует последовательность множеств  такая, что , для всех i и .

Можно показать, что если мера , заданная на алгебре K подмножеств X, -конечна, то X можно представить в виде объединения счётной системы попарно непересекающихся множеств конечной меры.

Рассмотрим теорию измеримости по Лебегу для произвольных (даже неограниченных) множеств на прямой. Длина как мера на R является -аддитивной, потому что . Множество  называется измеримым по Лебегу, если для всех  измеримо по Лебегу ограниченное множество  или .

Совокупность всех измеримых подмножеств R обозначим . Обозначим через . Тогда  и . Если ряд расходится, то .

Утверждение 1. Совокупность  всех измеримых по Лебегу подмножеств R является -алгеброй.

Утверждение 2. Введённая функция  является -конечной мерой на -алгебре  всех измеримых множеств на R.

Пусть задана неубывающая функция , т.е. .

Скачком функции F в точке  называется число , где  соответственно правосторонний предел и левосторонний предел в точке x. На концах отрезка: , .

Скачок неубывающей функции в любой точке неотрицателен, причём функция F непрерывна в точке x тогда и только тогда, когда .

Свойства неубывающих функций:

1.  пусть F – неубывающая функция на отрезке [a,b], c1, c2, c3, , cn[a,b] – любые точки из этого отрезка. Тогда .
2.  множество точек разрыва неубывающей на отрезке [a,b] функции не более чем счётно.

Будем говорить, что функция F непрерывна слева в точке x0, если для любого  >0 существует  >0 такое, что для всех x, x0–  x  x0 верно неравенство |F(x0)–F(x)| <  .

Пусть, как и при построении меры Лебега, X = [a,b) – фиксированный полуинтервал, S  (X) – полукольцо, порождённое системой полуинтервалов [,)  [a,b). Пусть на [a,b) задана неубывающая ограниченная функция F(x). Определим меру элемента полукольца mF = F()–F() = F [,).

Теорема. Для того, чтобы мера mF была -аддитивной, необходимо и достаточно, чтобы порождающая её функция F(x) была непрерывной слева.

Пусть K(S) – кольцо, порождённое полукольцом с единицей S. Тогда для всех AK(S) имеет место представление:

A =, Ai  S.

Соответствующее продолжение меры на K(S) задаётся формулой: F (A) =.

Пусть  – внешняя мера, построенная по мере mF, заданной на алгебре K. Продолжение меры mF на -алгебру  измеримых относительно меры mF множеств называется мерой Лебега-Стилтьеса, построенной по неубывающей функции F.

Очевидно, что F – конечная полная мера. Если F(x) = x, то мера Лебега-Стилтьеса совпадает с мерой Лебега .

Примеры решения задач

Задача 1. Пусть X=[0,1[[0,1[, S – полукольцо прямоугольников, принадлежащих , вида Tab=[a,b[[0,1[. Положим m(Tab) = b–a. Найти внешнюю меру множества  и выяснить, является ли оно измеримым. Описать явный вид лебеговского продолжения меры.

Решение. По определению внешняя мера А

*(A)=, где любой элемент полукольца S имеет вид , т.е. полностью определяется своей проекцией на ось OX. Чтобы покрыть множество А элементами , необходимо и достаточно покрыть проекцию этого множества на ось OX полуинтервалами . Поэтому внешняя мера множества А в данном случае совпадает с внешней мерой проекции этого множества на ось OX.

,

 ;

и .

Следовательно, множество А неизмеримо. Из приведенных выше рассуждений видно, что множество будет измеримым тогда и только тогда, когда оно будет иметь вид   [0,1[ и   [0,1[ – измеримо по Лебегу.

Задача 2. Пусть X= [0,1[[0,1[, S={[a,b[[c,d[X}, m([a,b[[c,d[) = = (b-a)(d-c). Вычислить внутреннюю и внешнюю меры множества .

Решение. По определению

*(A)=, A, т.е. прямоугольники, , где k=0, 1, 2,, n-1, образуют для каждого n покрытие множества А. Имеем:

*(A) .

Величина Sn является верхней суммой Дарбу для функции f(x)=1–x на отрезке ,соответствующей разбиению отрезка на n частей. Для функции f существует интеграл Римана, поэтому

.

Переходя к пределу при n в неравенстве *A  Sn, которое выполняется для всех n, получим *A1/2. С другой стороны *(X\A), т. к. X \ A  , и *(X \ A) .

Поэтому * A = mX–* (X \ A)  1–1/2 = 1/2. Имеем:

.

Задача 3. Пусть ,  – полукольцо,  F:XR – неубывающая непрерывная слева на Х функция. Определим на  меру Лебега-Стилтьеса равенством: .

Описать класс измеримых подмножеств из Х, найти меру Лебега-Стилтьеса каждого множества А, если

Решение. Из определения меры F на полукольце S следует, что , если полуинтервал не содержит точку x = 0, и , если . Распространим меру F на минимальное кольцо K(S). Если A  K(S), то , Ai = [i,i[. Поэтому если 0A, то 0 [i,i[ для всех i = и . Если , то найдётся только один полуинтервал , содержащий x = 0, с мерой 1, и . Следовательно, мера каждого элемента кольца равна либо 0, либо 1. Поскольку F(x) непрерывна слева, то F -аддитивна и допускает продолжение.

С этой целью найдём вначале внешнюю меру множества . По определению

(A)=,

где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям множества  элементами  полукольца .

Если , то, рассматривая покрытия (0,1) = , имеем . Поскольку *A  *A, то  измеримо относительно меры F и его мера равна нулю. В силу полноты меры будет измеримым и любое подмножество интервала (0,1) и его мера будет также равна нулю.

Если рассмотреть одноточечное множество , то для каждого его покрытия  множествами  имеется хотя бы одно из них, содержащее точку x = 0. Поэтому  и . Далее, пользуясь покрытием [-1,1[  {0}, получаем, что . Таким образом, .

Рассмотрим теперь произвольное множество . Из свойств монотонности внешней меры следует, что , если A  (0,1) или A  [-1,0). Если же {0}  A, то . Рассматривая в этом случае покрытие [-1,1[, имеем . Следовательно, если {0}  A, то .

Покажем теперь, что произвольное множество измеримо относительно меры Лебега-Стилтьеса. Действительно, A  (0,1) или A [-1,0), то  и оно измеримо. Если же {0}  A, то из неравенства , справед-ливого для каждого  > 0, заключаем, что множество А F-измеримо, .

Задача 4. Пусть X = R2, S = {kn=[k, k+1[[n, n+1[: k, n  Z}, (kn)=1. Найти внешнюю меру множества

.

Будет ли множество А измеримым?

Решение. Множество Х является пространством с -конечной мерой, т.к. X=, , здесь .

По определению множество А измеримо, если измеримо A1=A11, A2 = A  21, A3 = A  31, тогда A1 = {0  x < 1, y = 1}; A2={1 x < 2, y = 1}; A3 = {x = 2, y = 1}.

По определению *(A1) =, тогда , т.к. покрытие, на котором достигается точная нижняя грань, образует множество 11, , . Поэтому A1, и, следовательно, A не измеримо. Очевидно, что *(A) = 3, т.к. покрытие A состоит из 11, 21, 31.

Задача 5. Каково строение и какая мера точек отрезка [0,1], десятичное представление которых возможно без цифр 4 и 5.

Решение. Это множество строится следующим образом: делим отрезок [0,1] на десять равных частей и выбрасываем полуинтервал [0.4, 0.6]. Затем каждый из оставшихся восьми полуинтервалов делим на десять равных частей и выбрасываем в каждом из них соответствующий полуинтервал [0,n14; 0,n16[, где n1 = 0,1,2,3,6,7,8,9 и т.д. Данное множество нигде не плотно, каждая его точка является предельной, т.е. множество является совершенным. Вычислим меру выбрасываемых промежутков, посчитав тем самым меру дополнения к искомому множеству:

.

Следовательно, мера точек отрезка [0,1], десятичное представление которых возможно без цифр 4 и 5, равна 0.

Задача 6. Найти меру множеств

1)  2)

Решение. 1) Представим множество А в виде объединения попарно непересекающихся интервалов. Для этого выясним, начиная с какого номера n интервалы будут пересекаться. Заметим, что  для всех n, и поэтому интервалы не могут быть вложены друг в друга. Решая неравенство , находим n  3. Поэтому представим А в виде , где ,

, , тогда .

2) Пусть .

Множество В борелево и поэтому измеримо. Множество Q счётное и имеет меру нуль, значит . Множества  – непересекающиеся при любом .

Согласно свойству -аддитивности меры: . Таким образом, .

Задача 7. Вычислить меру множества А:

,

где a > 0 – фиксированное число.

Решение. Множество A  R2 открыто и поэтому измеримо. Множество А рассматривается в пространстве с -конечной мерой, поэтому построим возрастающую последовательность множеств  .

Тогда .

.

Задание 1. Пусть ,  . Найти внешнюю и внутреннюю меры множеств и выяснить, измеримы ли они.

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

Задание 2. Пусть X =[-2,2[, ={[a,b[X},   – её продолжение по Лебегу.

а) Найти меру множества, состоящего из одной точки.

б) Выяснить, является ли множество А измеримым, найти его меру.

1.   
2.   
3.   
4.   
5.   A=[0,3/4];
6.   
7.   
8.   
9.   
10.   
11.   
12.   
13.   
14.   A=[-1,2);

Задание 3. Описать структуру множества A  [0,1] и найти его меру.

3.1. Множество точек отрезка [0,1], состоящее из чисел, у которых в десятичной записи цифра 2 встречается раньше, чем цифра 3.

3.2. Множество точек отрезка [0,1], в разложении которых в бесконечную десятичную дробь фигурируют все цифры 1,2,…9.

3.3. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых содержит хотя бы одну цифру 3.

3.4. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых возможно без цифр 4 и 5.

3.5. Множество точек отрезка [0,1], которые допускают десятичное разложение без комбинации стоящих рядом цифр 3,3,3.

3.6. Множество точек отрезка [0,1], которые допускают разложение в десятичную дробь без использования цифры 7.

3.7. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых не содержит цифры 2.

3.8. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых содержит цифру 5 только один раз.

3.9. Множество точек отрезка [0,1], в разложении которых в двоичную дробь на всех чётных местах стоят нули.

3.10. Множество точек отрезка [0,1], в разложении которых в двоичную дробь на всех нечётных местах стоят единицы.

3.11. Множество точек отрезка [0,1], троичное представление которых не содержит цифры 3.

3.12. Множество точек отрезка [0,1], троичное представление которых не содержит цифры 0.

3.13. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых невозможно без цифры 4.

3.14. Множество точек отрезка [0,1], которые допускают десятичное разложение без комбинации стоящих рядом цифр 2,2,2,2.

Задание 4. Доказать, что множество  измеримо и найти его меру.

4.1. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек, декартовы и полярные координаты которых иррациональны.

4.2.

4.3. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек  таких, что - иррационально.

4.4.

4.5.

4.6. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек  таких, что .

4.7.

4.8.

4.9.

4.10. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек  таких, что .

4.11. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек  таких, что .

4.12. 

4.13. 

4.14.