35256
Лебеговское продолжение меры. Мера в R
Лекция
Математика и математический анализ
Пусть задано множество X и – полукольцо его подмножеств, на котором задана мера m. Мера, заданная на кольце K называется продолжением меры m, если и для всех выполняется
Русский
2014-09-21
470.5 KB
41 чел.
Пусть задано множество X и полукольцо его подмножеств, на котором задана мера m. Мера , заданная на кольце K называется продолжением меры m, если и для всех выполняется .
Теорема. Пусть мера на полукольце и K(S) минимальное кольцо, порожденное S. Тогда на K(S) существует единственная мера , являющаяся продолжением меры m. Если мера m на полукольце является -аддитивной, то её продолжение также -аддитивная мера.
Пусть алгебра подмножеств множества X, m -аддитивная мера на K. Внешней мерой множества называется число
где нижняя грань берётся по всевозможным конечным или счётным покрытиям множества A элементарными множествами.
Свойства внешней меры заданной на кольце:
Внутренней мерой множества называется число .
Для всех имеет место неравенство:
Пусть m полная, счётно-аддитивная, конечная мера. Множество называется измеримым по Лебегу относительно меры m, заданной на алгебре множеств К, если выполняется равенство:
Для измеримого по Лебегу множества определим меру Совокупность измеримых множеств обозначим .
Теорема 1 (критерий измеримости множества). Пусть задано пространство (X, , m). Тогда для всех следующие утверждения эквивалентны:
Следствие. Множество измеримо, если для всех существует измеримое множество B такое, что
Теорема 2. (о -алгебре измеримых множеств). Совокупность измеримых множеств образует -алгебру множеств, содержащую исходную алгебру K. Сужение внешней меры * на измеримые множества является мерой на .
Следствие. Счётное пересечение измеримых множеств измеримо.
Мера m, заданная на алгебре K, называется полной, если из и следует, что и
Одним из важнейших примеров меры является мера Лебега на числовой прямой.
Пусть некоторый фиксированный полуинтервал прямой, полукольцо, состоящее из полуинтервалов . Пусть K алгебра подмножеств, порождённая полукольцом S, каждый элемент которой имеет вид причём полуинтервалы в правой части попарно не пересекаются. Через m обозначим меру на алгебре K, полученную продолжением меры с полукольца, т.е. . Для произвольного множества определим внешнюю меру , где точная нижняя грань берётся по всем таким наборам полуинтервалов , что . Множество называется измеримым по Лебегу, если Таким образом, мерой Лебега на отрезке называется лебеговское продолжение длины.
Рассмотрим измеримые по Лебегу линейные ограниченные множества:
Часто приходится рассматривать меры, которые могут принимать и бесконечные значения. Ограничимся случаем - конечных мер.
Мера , принимающая бесконечные значения, называется - конечной, если существует последовательность множеств такая, что , для всех i и .
Можно показать, что если мера , заданная на алгебре K подмножеств X, -конечна, то X можно представить в виде объединения счётной системы попарно непересекающихся множеств конечной меры.
Рассмотрим теорию измеримости по Лебегу для произвольных (даже неограниченных) множеств на прямой. Длина как мера на R является -аддитивной, потому что . Множество называется измеримым по Лебегу, если для всех измеримо по Лебегу ограниченное множество или .
Совокупность всех измеримых подмножеств R обозначим . Обозначим через . Тогда и . Если ряд расходится, то .
Утверждение 1. Совокупность всех измеримых по Лебегу подмножеств R является -алгеброй.
Утверждение 2. Введённая функция является -конечной мерой на -алгебре всех измеримых множеств на R.
Пусть задана неубывающая функция , т.е. .
Скачком функции F в точке называется число , где соответственно правосторонний предел и левосторонний предел в точке x. На концах отрезка: , .
Скачок неубывающей функции в любой точке неотрицателен, причём функция F непрерывна в точке x тогда и только тогда, когда .
Свойства неубывающих функций:
Будем говорить, что функция F непрерывна слева в точке x0, если для любого >0 существует >0 такое, что для всех x, x0 x x0 верно неравенство |F(x0)F(x)| < .
Пусть, как и при построении меры Лебега, X = [a,b) фиксированный полуинтервал, S (X) полукольцо, порождённое системой полуинтервалов [,) [a,b). Пусть на [a,b) задана неубывающая ограниченная функция F(x). Определим меру элемента полукольца mF = F()F() = F [,).
Теорема. Для того, чтобы мера mF была -аддитивной, необходимо и достаточно, чтобы порождающая её функция F(x) была непрерывной слева.
Пусть K(S) кольцо, порождённое полукольцом с единицей S. Тогда для всех AK(S) имеет место представление:
A =, Ai S.
Соответствующее продолжение меры на K(S) задаётся формулой: F (A) =.
Пусть внешняя мера, построенная по мере mF, заданной на алгебре K. Продолжение меры mF на -алгебру измеримых относительно меры mF множеств называется мерой Лебега-Стилтьеса, построенной по неубывающей функции F.
Очевидно, что F конечная полная мера. Если F(x) = x, то мера Лебега-Стилтьеса совпадает с мерой Лебега .
Примеры решения задач
Задача 1. Пусть X=[0,1[[0,1[, S полукольцо прямоугольников, принадлежащих , вида Tab=[a,b[[0,1[. Положим m(Tab) = ba. Найти внешнюю меру множества и выяснить, является ли оно измеримым. Описать явный вид лебеговского продолжения меры.
Решение. По определению внешняя мера А
*(A)=, где любой элемент полукольца S имеет вид , т.е. полностью определяется своей проекцией на ось OX. Чтобы покрыть множество А элементами , необходимо и достаточно покрыть проекцию этого множества на ось OX полуинтервалами . Поэтому внешняя мера множества А в данном случае совпадает с внешней мерой проекции этого множества на ось OX.
,
;
и .
Следовательно, множество А неизмеримо. Из приведенных выше рассуждений видно, что множество будет измеримым тогда и только тогда, когда оно будет иметь вид [0,1[ и [0,1[ измеримо по Лебегу.
Задача 2. Пусть X= [0,1[[0,1[, S={[a,b[[c,d[X}, m([a,b[[c,d[) = = (b-a)(d-c). Вычислить внутреннюю и внешнюю меры множества .
Решение. По определению
*(A)=, A, т.е. прямоугольники, , где k=0, 1, 2,, n-1, образуют для каждого n покрытие множества А. Имеем:
*(A) .
Величина Sn является верхней суммой Дарбу для функции f(x)=1x на отрезке ,соответствующей разбиению отрезка на n частей. Для функции f существует интеграл Римана, поэтому
.
Переходя к пределу при n в неравенстве *A Sn, которое выполняется для всех n, получим *A1/2. С другой стороны *(X\A), т. к. X \ A , и *(X \ A) .
Поэтому * A = mX* (X \ A) 11/2 = 1/2. Имеем:
.
Задача 3. Пусть , полукольцо, F:XR неубывающая непрерывная слева на Х функция. Определим на меру Лебега-Стилтьеса равенством: .
Описать класс измеримых подмножеств из Х, найти меру Лебега-Стилтьеса каждого множества А, если
Решение. Из определения меры F на полукольце S следует, что , если полуинтервал не содержит точку x = 0, и , если . Распространим меру F на минимальное кольцо K(S). Если A K(S), то , Ai = [i,i[. Поэтому если 0A, то 0 [i,i[ для всех i = и . Если , то найдётся только один полуинтервал , содержащий x = 0, с мерой 1, и . Следовательно, мера каждого элемента кольца равна либо 0, либо 1. Поскольку F(x) непрерывна слева, то F -аддитивна и допускает продолжение.
С этой целью найдём вначале внешнюю меру множества . По определению
(A)=,
где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям множества элементами полукольца .
Если , то, рассматривая покрытия (0,1) = , имеем . Поскольку *A *A, то измеримо относительно меры F и его мера равна нулю. В силу полноты меры будет измеримым и любое подмножество интервала (0,1) и его мера будет также равна нулю.
Если рассмотреть одноточечное множество , то для каждого его покрытия множествами имеется хотя бы одно из них, содержащее точку x = 0. Поэтому и . Далее, пользуясь покрытием [-1,1[ {0}, получаем, что . Таким образом, .
Рассмотрим теперь произвольное множество . Из свойств монотонности внешней меры следует, что , если A (0,1) или A [-1,0). Если же {0} A, то . Рассматривая в этом случае покрытие [-1,1[, имеем . Следовательно, если {0} A, то .
Покажем теперь, что произвольное множество измеримо относительно меры Лебега-Стилтьеса. Действительно, A (0,1) или A [-1,0), то и оно измеримо. Если же {0} A, то из неравенства , справед-ливого для каждого > 0, заключаем, что множество А F-измеримо, .
Задача 4. Пусть X = R2, S = {kn=[k, k+1[[n, n+1[: k, n Z}, (kn)=1. Найти внешнюю меру множества
.
Будет ли множество А измеримым?
Решение. Множество Х является пространством с -конечной мерой, т.к. X=, , здесь .
По определению множество А измеримо, если измеримо A1=A11, A2 = A 21, A3 = A 31, тогда A1 = {0 x < 1, y = 1}; A2={1 x < 2, y = 1}; A3 = {x = 2, y = 1}.
По определению *(A1) =, тогда , т.к. покрытие, на котором достигается точная нижняя грань, образует множество 11, , . Поэтому A1, и, следовательно, A не измеримо. Очевидно, что *(A) = 3, т.к. покрытие A состоит из 11, 21, 31.
Задача 5. Каково строение и какая мера точек отрезка [0,1], десятичное представление которых возможно без цифр 4 и 5.
Решение. Это множество строится следующим образом: делим отрезок [0,1] на десять равных частей и выбрасываем полуинтервал [0.4, 0.6]. Затем каждый из оставшихся восьми полуинтервалов делим на десять равных частей и выбрасываем в каждом из них соответствующий полуинтервал [0,n14; 0,n16[, где n1 = 0,1,2,3,6,7,8,9 и т.д. Данное множество нигде не плотно, каждая его точка является предельной, т.е. множество является совершенным. Вычислим меру выбрасываемых промежутков, посчитав тем самым меру дополнения к искомому множеству:
.
Следовательно, мера точек отрезка [0,1], десятичное представление которых возможно без цифр 4 и 5, равна 0.
Задача 6. Найти меру множеств
1) 2)
Решение. 1) Представим множество А в виде объединения попарно непересекающихся интервалов. Для этого выясним, начиная с какого номера n интервалы будут пересекаться. Заметим, что для всех n, и поэтому интервалы не могут быть вложены друг в друга. Решая неравенство , находим n 3. Поэтому представим А в виде , где ,
, , тогда .
2) Пусть .
Множество В борелево и поэтому измеримо. Множество Q счётное и имеет меру нуль, значит . Множества непересекающиеся при любом .
Согласно свойству -аддитивности меры: . Таким образом, .
Задача 7. Вычислить меру множества А:
,
где a > 0 фиксированное число.
Решение. Множество A R2 открыто и поэтому измеримо. Множество А рассматривается в пространстве с -конечной мерой, поэтому построим возрастающую последовательность множеств .
Тогда .
.
Задание 1. Пусть , . Найти внешнюю и внутреннюю меры множеств и выяснить, измеримы ли они.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
Задание 2. Пусть X =[-2,2[, ={[a,b[X}, её продолжение по Лебегу.
а) Найти меру множества, состоящего из одной точки.
б) Выяснить, является ли множество А измеримым, найти его меру.
Задание 3. Описать структуру множества A [0,1] и найти его меру.
3.1. Множество точек отрезка [0,1], состоящее из чисел, у которых в десятичной записи цифра 2 встречается раньше, чем цифра 3.
3.2. Множество точек отрезка [0,1], в разложении которых в бесконечную десятичную дробь фигурируют все цифры 1,2,…9.
3.3. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых содержит хотя бы одну цифру 3.
3.4. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых возможно без цифр 4 и 5.
3.5. Множество точек отрезка [0,1], которые допускают десятичное разложение без комбинации стоящих рядом цифр 3,3,3.
3.6. Множество точек отрезка [0,1], которые допускают разложение в десятичную дробь без использования цифры 7.
3.7. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых не содержит цифры 2.
3.8. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых содержит цифру 5 только один раз.
3.9. Множество точек отрезка [0,1], в разложении которых в двоичную дробь на всех чётных местах стоят нули.
3.10. Множество точек отрезка [0,1], в разложении которых в двоичную дробь на всех нечётных местах стоят единицы.
3.11. Множество точек отрезка [0,1], троичное представление которых не содержит цифры 3.
3.12. Множество точек отрезка [0,1], троичное представление которых не содержит цифры 0.
3.13. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых невозможно без цифры 4.
3.14. Множество точек отрезка [0,1], которые допускают десятичное разложение без комбинации стоящих рядом цифр 2,2,2,2.
Задание 4. Доказать, что множество измеримо и найти его меру.
4.1. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек, декартовы и полярные координаты которых иррациональны.
4.2.
4.3. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек таких, что - иррационально.
4.4.
4.5.
4.6. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек таких, что .
4.7.
4.8.
4.9.
4.10. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек таких, что .
4.11. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек таких, что .
4.12.
4.13.
4.14.
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
52226. | Проблема мусора | 22.5 KB | |
Цель урока: выяснить какие существуют группы отходов откуда берётся мусор сроки разложения различных видов мусора рассмотреть состав мусорной корзины найти пути решения проблемы отходов; учить детей взаимодействию в группе развивать умения делать выводы; воспитывать экологическую культуру. Образовательные задачи: учащиеся должны знать виды и проблемы мусора и предлагать пути их решения; самостоятельно искать пути решения проблемы и добывать знания из дополнительных источников; пользоваться приобретёнными знаниями для решения... | |||
52228. | Україна в геополітичних планах країн Антанти і Троїстого союзу | 72 KB | |
Розкрити причини та привід до початку першої світової війни. Війна; привід до війни світова війна ринки збуту воєннополітичний блок причини війни ультиматум імперіалізм. оформлення союзу Антанта; 28 червня 1914 року вбивство в Сараєво ерцгерцога Франца Фердинандаспадкоємця австрійського престолу; 10серпня 1914 року початок першої світової війни оголошення Німеччиною війни Росії. Після цього уроку учні зможуть: називати роки утворення... | |||
52229. | Географічне положення Антарктиди. Історія відкриття і дослідження | 2.76 MB | |
Мета уроку: сформувати e учнів систему знань про географічне положення Антарктиди; охарактеривувати своєрідність географічного положення материка; розповісти про історію відкриття і дослідження Антарктиди; удосконалювати вміння і навички роботи з картою; розвивати інтерес до предмету. Обладнання: карта Антарктиди контурні карти підручники портрети мандрівників презентація PowerPoint. Ми вирушаємо до Антарктиди слайд 1 Про цій материк полярник А. | |||
52230. | Антарктида – льодовий материк планети | 93 KB | |
Цілі: Виявити особливості унікальності і своєрідності географічного положення природи Антарктиди та Південного океану. Тип уроку: засвоєння нових знань Форма уроку: урок конференція Обладнання: фізична карта півкуль і Антарктиди атлас контурна карта мультимедійна презентація I. Майже в центрі материка розміщений Південний полюс тому всі береги Антарктиди дивляться на північ. Як бачимо географічне положення Антарктиди дуже відрізняється від географічного положення інших континентів. | |||