35565

ТЕОРИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Конспект

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

21 Операторные схемы замещения элементов цепи22 Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме.38 Численное решение уравнения состояния явный метод Эйлера40 ЛЕКЦИЯ 5 Линейные электрические цепи при импульсных воздействиях Расчет реакции цепи на одиночный импульс воздействия метод наложения.42 Расчет реакции цепи на периодическое импульсное воздействия метод сопряжения интервалов . Дальнейшее состояние цепи называют установившимся процессом.

Русский

2013-09-17

9.56 MB

72 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова

Котельников А.Г.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Часть II

ТЕОРИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Конспект лекций

ЧЕБОКСАРЫ 2003

СОДЕРЖАНИЕ

ЛЕКЦИЯ 1

Общие положения теории переходных процессов в линейных цепях…3

Классический метод расчета переходных процессов………….………..5

Примеры расчета переходных процессов в цепях первого порядка……7

Примеры расчета переходных процессов в цепях второго порядка….…10

Расчет цепей при некорректных начальных условиях…………………..15

Особенность расчета переходных процессов классическим методом в цепях со взаимной индуктивностью………………………………………17

ЛЕКЦИЯ 2

Операторный метод расчета переходных процессов……………………..18

Свойства преобразования Лапласа………………………………………...21

Операторные схемы замещения элементов цепи…………………………22

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме…………………………...22

Примеры расчета переходных процессов операторным методом……….24

ЛЕКЦИЯ 3

Модификации методов расчета переходных процессов

Комбинированный метод…………………………………………………...30

Метод сведения к нулевым начальным условиям (случай замыкания)…32

Метод сведения к нулевым начальным условиям (случай размыкания)..35

ЛЕКЦИЯ 4

Метод переменных состояния……………………………………………...37

Составление уравнений состояния………………………………………...37

Аналитическое решение уравнения состояния…………………………...38

Численное решение уравнения состояния (явный метод Эйлера)………40

ЛЕКЦИЯ 5

Линейные электрические цепи при импульсных воздействиях

Расчет реакции цепи на одиночный импульс воздействия (метод наложения)…………………………………………………………………..42

Расчет реакции цепи на периодическое импульсное воздействия (метод сопряжения интервалов)…………………… ……………………………...43

Расчет переходных процессов в цепях с периодической коммутацией (метод припасовывания)……………………………………………………45

ЛЕКЦИЯ 1

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ.

В электрических цепях могут происходить события, приводящие к изменениям параметров или в топологии схемы. Такие изменения называются коммутациями. Примером коммутации могут быть:

подключение (отключение) источника;

короткое замыкание в какой-либо ветви;

резкое изменение амплитуды или фазы источника.

На схемах для обозначения коммутации используют ключевой элемент с указанием стрелочкой вида коммутации (замыкание, размыкание) и момента времени.

Ключ считается идеальным элементом. Сопротивление ключа в открытом состоянии принимается равным нулю, а закрытом – бесконечности. Время коммутации есть бесконечно малая величина, то есть переход из одного состояния в другое происходит мгновенно.

Момент коммутации является границей между, так называемыми, до коммутационным (предшествующим) и переходным процессами (ПП). Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго, но на практике это время считают конечным в силу затухающего характера переходного процесса. Во время переходного процесса электрическая величина стремится к некоторому установившемуся значению, по достижению которого с точностью до 99%, переходный процесс считают закончившимся. Дальнейшее состояние цепи называют установившимся процессом.

Рис. 1.1

Учет переходных процессов при проектировании и эксплуатации электротехнических устройств, как правило, обязателен. Например, в момент пуска двигателя в его обмотках могут возникать пусковые токи в несколько раз превышающие номинальные токи. Возможны в цепях и коммутационные перенапряжения, способные вызвать пробой изоляции, и как следствие, короткое замыкание.

Расчет переходных процессов основывается на решении (интегрировании) дифференциального уравнения, которым искомая величина (ток, напряжение, потокосцепление, заряд) связана с независимой переменной t – временем. Это уравнение получается из системы интегро-дифференциальных уравнений, которыми можно описать цепь по законам Кирхгофа. Оно называется линейным обыкновенным неоднородным дифференциальным уравнением (ОДУ) n-го порядка с постоянными коэффициентами вида

       (1.1)

Для его однозначного разрешения должны быть определены n начальных условий (НУ) (1.2), которым удовлетворяют постоянные интегрирования:

                    (1.2)

Из теории дифференциальных уравнений мы знаем, что решением уравнения (1.1) является сумма его частного решения для  и общего решения  однородного дифференциального уравнения вида

       (1.3)

Частное решение уравнения (1.1) называют установившейся или “принуждённой” составляющей, а решение  уравнения (1.3) называют свободной составляющей

                               (1.4)

Ток свободной составляющей переходного процесса обусловлен разницей энергий реактивных элементов до коммутации и в установившемся режиме. Ток принужденной составляющей обусловлен  действием источников  в цепи после коммутации.

Пример составления ОДУ с помощью уравнений Кирхгофа и компонентных уравнений.

Рис. 1.2

КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЁТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ.

Своему названию метод расчета ПП обязан названию метода решения дифференциального уравнения. Рассмотрим этапы метода.

  1.  Выбираем положительные направления токов в ветвях схемы.
  2.  Записываем искомую величину как сумму свободной и установившейся составляющих .
  3.  Любым известным методом расчитываем установившийся режим в цепи после коммутации.
  4.  Находим свободную составляющую:
    1.  Составляем характеристическое уравнение.

;

Есть два способа составления характеристического уравнения:

а) на основе алгебраизации однородного уравнения (1.3), т.е. путём замены ;

б) на основе составления операторного сопротивления цепи после коммутации, т.е. для цепи в ветвях, которой возникнут переходные токи. Правило нахождения операторного сопротивления:

1. В цепи после коммутации делается замена источники ЭДС заменяются закороткой, ветви с источниками тока разрываются.

2. Для точки разрыва в любой ветви находится операторное сопротивление (как правило, целесообразнее “рвать” там, где ищется ток).

Пример

Рис. 1.3.

Из входного операторного сопротивления  получаем характеристическое уравнение

 

  1.  Находим корни характеристического уравнения и по их виду записываем общее решение однородного дифференциального уравнения, т.е. общий вид свободной составляющей

,                (1.5)

где

n-порядок цепи (кол-во корней характеристического уравнения);

- корни характеристического уравнения;

– постоянные интегрирования;

nk – кратность к-го корня.

Пусть, для примера, в цепи 10-го порядка получились такие корни характеристического уравнения:

p1=p2=p3, р4=р5, р6, р7, р8, р9=+j, р10=-j,

тогда общий вид сободной составляющей будет

4.3. Для нахождения n постоянных интегрирования cоставляем систему уравнений:

                       (1.6)

Значения величин, стоящих в левой части этого уравнения называются зависимыми начальными условиями (ЗНУ), которые находятся с помощью независимых начальных условий (ННУ), уравнений Кирхгофа и компонентных уравнений.

ННУ- это токи в индуктивностях и напряжения на конденсаторах в момент времени непосредственно после коммутации . ННУ могут быть найдены из расчета цепи до коммутации любым известным методом расчета цепей. Для ННУ выполняются законы коммутации, основанные на принципе непрерывности энергии электромагнитного поля. Из этого принципа вытекает, что невозможны скачкообразные изменения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях.

Первый закон коммутации: Потокосцепление и ток в индуктивном элементе в момент коммутации не могут измениться скачком

                           (1.7)

Второй закон коммутации: Заряд (напряжение) на ёмкости не могут меняться скачком, т.е. заряд (напряжение) непосредственно до коммутации равен заряду (напряжению) непосредственно после коммутации

                        (1.8)

x(0+) находится из уравнения по II закону Кирхгофа для контуров, не содержащих индуктивностей или из уравнения по I закону Кирхгофа.

находится из уравнения по II закону Кирхгофа для контуров с одной индуктивностью или продифференцированных уравнений по II закону Кирхгофа для контуров без индуктивностей, или продифференцированных уравнений по I закону Кирхгофа.

находятся аналогично из уравнений по I, II закону Кирхгофа после их дифференцирования.

  1.  Решаем систему линейных уравнений п. 4.3. относительно постоянных интегрирования.
  2.  Записываем ответ, подставляя найденные постоянные интегрирования в выражение п. 4.2. и строим график.

ПРИМЕРЫ РАСЧЁТОВ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.

Пример 1. Включение дросселя на постоянное напряжение.

Рис. 1.4.

  1.  Записываем решение как сумму свободной и установившейся составляющих

.

  1.  Находим установившуюся составляющую

.

  1.  Находим свободную составляющую.
    1.  Методом входного операторного сопротивления составляем характеристическое уравнение цепи после коммутации.

Из Zвх(p)=0 получаем характеристическое уравнение

R+Lp=0

p=-R/L, с-1

  1.  По виду корня характеристического уравнения определяем общий вид свободной составляющей

  1.  Определяем постоянную интегрирования. Из цепи до коммутации получим ННУ i(0-)=0, A. По первому закону коммутации получим ток в индуктивности в t=0+ .  Тогда после подстановки в уравнение п. 1, получим

Ответ: , где . При записи ответа используют величину постоянной времени переходного процесса , которая имеет размерность времени и характеризует скорость затухания свободной составляющей. Здесь равна времени в течении которого величина уменьшается в е=2.71… раз. На практике принято ожидать время окончания переходного процесса в пределах (3-5). Строим график тока:

Рис.1.5.

Пример 2. Включение дросселя на синусоидальное напряжение.

-фаза коммутации

Рис. 1.6.

1. Записываем решение как сумму свободной и установившейся составляющих

.

2. Установившийся ток находим комплексным методом.

  1.  Находим свободную составляющую.

3.1. Определение общего вида свободной составляющей смотри в примере 1.

3.2. Определяем постоянную интегрирования.

По первому закону коммутации  имеем ток в цепи при t=0+ равным 0. Тогда

,

.

4. Записываем ответ и строим график:

Рис. 1.7.

Здесь следует заметить, что интенсивность переходного процесса зависит ещё и от фазы коммутации. Для параметров, приведённых на графике имеет место близость к максимально возможному переходному процессу при фазе коммутации 180о. При слабом затухании с увеличением постоянной времени () угол сопротивления 90о, тогда при  180о будет иметь место максимальная интенсивность переходного процесса и ток дросселя может достигать ударного значения, равного удвоенной амплитуде установившейся величины.

Пример 3. Разряд конденсатора на резистор.

  1.  Записываем решение как сумму свободной и установившейся составляющих

.

  1.  Находим установившуюся составляющую

.

Рис. 1.8.

  1.  Находим свободную составляющую.
    1.  Методом входного операторного сопротивления составляем характеристическое уравнение цепи после коммутации

Рис. 1.9.

Zвх(p)=0 – характеристическое уравнение

R+1/(pC)=0

p=-1/(RC), с-1

  1.  По виду корня характеристического уравнения определяем общий вид свободной составляющей

  1.  Определяем постоянную интегрирования. Из цепи до коммутации получим ННУ , В. По второму закону коммутации  получим напряжение на ёмкости в t=0+. Тогда уравение п.1 для t=0+  примет вид

Ответ: , где . Строим график напряжения и тока в ёмкости:

Рис. 1.10.

ПРИМЕР РАСЧЁТА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

Разряд конденсатора на дроссель.

Рис. 1.11.

1. Записываем решение как сумму свободной и установившейя составляющей

.

2. В установившемся режиме ёмкость полностью разядится и

3. Находим свободную составляющую

 3.1. Характеристическое уравнение находим методом операторного сопротивления. Для этого составим операторную схему замещения цепи после коммутации, соответсвующую однородному ОДУ.

-

характеристическое сопротивление.

- характеристическое уравнение.

-

корни характеристического уравнения.

В зависимости от соотношения величин параметров цепи R, L и C возможны три вида корней:

  1.  различные корни ;
  2.  кратные корни ;
  3.  комплексно-сопряжённые корни , где -частота свободных колебаний.

Далее расчёт ведём для всех трёх случаев раздельно.

а) АПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС (корни различные):

Свободная составляющая при таком виде корней будет иметь вид

Находим постоянные интегрирования из системы уравнений:

находим с помощью второго закона коммутации . Ёмкость до коммутации была заряжена до Э.Д.С., тогда , В.

находим с помощью компонентного уравнения и первого закона коммутации.

Решаем эту систему уравнений:

Ответ: .

Строим график

Рис. 1.12.

б) КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ ПРОЦЕСС (корни комплексно-сопряжённые):

Свободная составляющая при таком виде корней будет иметь вид

Находим постоянные интегрирования из системы уравнений:

Нахождение начальных условий ,  было рассмотрено в случае а)

Решаем эту систему уравнений:

Ответ:

Cтроим график: .

Рис. 1.13.

-период свободных колебаний,

- декремент затухания.

в) КРИТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС (корни кратные):

Свободная составляющая при таком виде корней будет иметь вид

Находим постоянные интегрирования из системы уравнений:

Нахождение начальных условий ,  было рассмотрено в случае а)

Решаем эту систему уравнений:

Ответ:

Cтроим график: .

Рис. 1.14.

РАСЧЁТ ЦЕПЕЙ ПРИ НЕКОРРЕКТНЫХ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ.

Первый обобщенный закон коммутации.

Существуют такие виды коммутаций, при которых возникает конфликт между законами коммутации и законами Кирхгофа. Например, в цепи см. рисунок 1.15 после коммутации по первому закону Кирхгофа для узла а должно иметь место равенство токов в индуктивностях L1 и L2 , это станет возможным при нарушении первого закона коммутации, поскольку до размыкания значения токов были различными. Разрешение этого противоречия, очевидно, возможно

Рис. 1.15.

при обобщении принципа непрерывности электромагнитного поля на все элементы цепи (замкнутой системы). Отсюда, следует невозможность изменения скачком суммарной энергии, реактивных элементов цепи. В данном случае энергия элементов L1 и L2 до и после коммутации неизменна и связана с равным колличеством потокосцепления, т. е.

,                              (1.9)

для линейной цепи

.                 (1.10)

Формулируем первый обобщенный закон коммутации:

Потокосцепление любого замкнутого контура в момент после коммутации (t=0+) равно алгебраической сумме потокосцеплений всех входяших в него индуктивных элементов, которые последние имели непосредственно пред коммутацией (t=0-).

- находим по первому обобщенному закону коммутации.

Ответ: .

Строим график:

Рис. 1.16.

Особенностью расчёта цепей данного класса является то, что, на его точность окажет сильное влияние идеализация ключевого и индуктивного элементов. Если допустить мгновенность размыкания, то на индуктивности возникнет бесконечно большое напряжение, но на практике такое невозможно. При резком изменении тока индуктивности может загореться дуга в размыкателе или возникнуть высокочастотный колебательный контур, образованный индуктивностью и распределённой межвитковой ёмкостью катушки. Часть энергии при такой коммутации неизбежно превратится в теплоту электрической дуги или будет излучаться в виде электромагнитных волн. Это означает, что электрическую цепь нельзя практически рассматривать как абсолютно замкнутую систему и нельзя ожидать точного выполнения обобщенного закона коммутации. Чем ближе свойства элементов цепи к своим идеализациям, тем точнее обобщенный закон коммутации описывает процесс в цепи.

Второй обобщённый закон коммутации.

Изменение зарядов на всех параллельно включенных конденсаторах за время коммутации равно нулю, т. е.  Сумма зарядов конденсаторов перед коммутацией (t=0-)  равна сумме их зарядов непосредственно после коммутации (t=0+).                  .                                         (1.11)

  Рис. 1.17.

Установившееся значение напряжение на ёмкости находим по второму обобщённому закону коммутации.

Заряд до коммутации

Заряд после коммутации

               .

Строим график:

Рис. 1.18.

ОСОБЕННОСТЬ РАСЧЕТА ПП КЛАССИЧЕСКИМ МЕТОДОМ В ЦЕПЯХ СО ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ.

Особенность заключается в составлении характеристического уравнения. Метод операторного сопротивления в таких цепях имеет ограничение, поскольку не всегда можно сделать гальваническую развязку. Остаётся метод алгебраизации однородного ОДУ, которую следует проводить над системой диф. уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

Рис. 1.19.


Далее осуществляем процедуру алгебраизации системы уравнений путем замены

Характеристическое уравнение получается приравниванием нулю главного определителя этой системы алгебраических уравнений.

           

Как видно, наличие взаимной индуктивности не увеличивает порядок цепи.

ЛЕКЦИЯ 2

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЁТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ.

Электрическая величина в цепи, содержащей реактивные элементы может быть описана обыкновенным линейным дифференциальным уравнением n–ого порядка с постоянными коэффициентами вида

       (2.1)

Для его однозначного разрешения должны быть определены n начальных условий (НУ) (2.2):

                    (2.2)

Кроме классического метода решения этого уравнения существует операторный метод. Суть операторного метода заключается в применении к уравнению (2.1) преобразования Лапласа:

, где .                     (2.3)

Принято говорить так, что над оригиналом x(t) - функцией действительного переменного t произведена операция отображения в область комплексного переменного p. X(p)-изображение функции x(t). С целью более простой записи, в место выражения (2.3), используют специальные символы: или . Так, например, если применить формулу (2.3) к уравнению (2.1), то получим алгебраическое уравнение в области изображений

   (2.4)

Выражая из (2.4) изображение искомой величины мы получим дробно-рациональную функцию равную отношению полиномов

        (2.5)

Решение уравнения (2.1) находится путём вычисления обратного преобразования Лапласа над отношением полиномов (2.5) по формуле

                                   (2.6)

Обычно в электротехнике формула (2.5) представляет собой сложное дробно-рациональное выражение и вычисление оригинала по формуле обратного преобразования (2.6) делать нецелесообразно. Для перехода к оригиналу пользуются таблицами, где сведены результаты преобразований для более простых дробей, на которые выражение (2.5) может быть разложено по методу неопределённых коэффициентов или с помощью формулы разложения

                     (2.7)

Пусть, для примера, корнями характеристического полинома F2(p) явились числа вида

,

тогда изображение будет разложено на сумму простейших дробей

Для этих дробей в таблицах находим такую связь оригиналов с изображением

Употребим формулу разложения для нахождения коэффициентов. В зависимости от вида корней (различные, комплексо-сопряженные, кратные) формула разложения (2.7) приобретает различный вид.

Случай различных корней:

(2.8)

Случай комплексо-сопряжённых корней:

Пусть , тогда по формуле (2.8) находим коэффициенты и сразу перейдём к оригиналу.

                                                    (2.9)

Случай кратных корней:

Представим F2(p) к виду , - кратность k – го корня полинома F2(p). Тогда коэффициенты будут найдены по формуле

.                                     (2.10)

Теперь мы можем, имея диф. уравнение и начальные условия, отобразить его в операторную область. В операторной области диф. уравнение представляет собой алгебраическое выражение, из которого изображение искомой величины может быть найдено в виде дробно-рациональной функции. Далее следует переход от изображения к оригиналу с помощью формулы разложения.

До сих пор речь шла, в большей мере, о математическом аспекте расчёта, а теперь обратимся к его приложению для расчёта ПП в электрических цепях. Основное отличие операторного метода расчета от классического заключается в отсутствии необходимости находить зависимые начальные условия. Этот метод более формализован и содержит меньшее число этапов. При расчете переходных процессов операторным методом не составляют дифференциального уравнения и не отображают его в область изображений. Вместо этого составляют операторную схему замещения цепи после коммутации, расчет которой для получения изображения искомой величины делают  любым из известных методов анализа цепей. Операторные схемы замещения элементов цепей получают на основе свойств  преобразования Лапласа.

Свойства преобразования Лапласа:

  1.  Линейность:

.

  1.  Теорема интегрирования:

  1.  Теорема дифференцирования: 

4. Теорема запаздывания:

Операторные схемы замещения элементов цепи.

ОРИГИНАЛ

ИЗОБРАЖЕНИЕ

Рис. 2.1.

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме.

Пусть в цепи произошла коммутация и на её участке аb напряжение будет определяться интегро-дифференциальным уравнением

Рис. 2.2.

.

Отобразим это уравнение в операторную область, совершая над ним преобразование Лапласа

.

Тот же результат можно получить если не отображать уравнение, а составить операторную схему замещения участка цепи ab.

Рис. 2.3.

Ток в операторной схеме замещения будет найден по закону Ома для участка, содержащего эдс.

.

Закон Ома в операторной форме

,                                     (2.10)

где Z(p)- операторное сопротивление участка цепи;

-содержит изображения источников и источники, возникающие в следствие ненулевых начальных условий.

Выделим в цепи контур, составим его операторную схему замещения и для изображений токов и напряжений запишем уравнения по первому и по второму закону Кирхгофа.

Рис. 2.4.

Законы Кирхгофа в общем виде

                                    (2.11)

Вывод: если показать, что в операторной схеме замещения выполняются законы Кирхгофа, то следовательно её расчет может быть выполнен любым методом анализа линейных цепей (МКТ, МУП, МЭГ, метод наложения).

Алгоритм расчета переходного процесса операторным методом.

  1.  Выбираем положительные направления для токов в ветвях схемы.
  2.  Из расчета цепи до коммутации находим ННУ.
  3.  Составляем операторную схему замещения цепи после коммутации.
  4.  Любым известным методом расчёта (МКТ, МУП и др.) находим изображение искомой величины в виде отношения полиномов.
  5.  От изображения переходим к оригиналу, применяя теорему разложения.
  6.  Строим график.

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ПП ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ.

Пример 1. Включение дросселя на постоянное напряжение.

Рис. 2.5.

  1.  ННУ ток в индуктивности в цепи до замыкания был равен нулю i(0_)=0.
  2.  Строим операторную схему замещения цепи после замыкания.

Рис. 2.6.

  1.  По закону Ома найдем операторный ток.

Замечание: Наличие нулевого корня характеристического полинома однозначно указывает на наличие постоянной составляющей в оригинале.

  1.  Переходим от изображения к оригиналу тока.

.

Используя свойство линейности преобразования Лапласа, найдём изображение каждого слагаемого в отдельности.

,

где коэффициенты находим по формуле (2.8)

.

График ПП смотри в примере 1 лекции 1.

Пример 2. Разряд одной ёмкости на другую.

Рис. 2.7.

  1.  Из анализа цепи до коммутации находим независимые начальные условия

  1.  Составляем операторную схему замещения цепи до коммутации

Рис. 2.8.

  1.  Находим изображение напряжения на С1.

  1.  Находим напряжение на С1.

Находим коэффициенты по формуле разложениям (2.8) для различных корней

  1.  Строим график

Рис. 2.9.

Пример 3. Разряд ёмкости на дроссель.

Рис. 2.10.

  1.  Из анализа цепи до коммутации находим независимые начальные условия

  1.  Составляем операторную схему замещения цепи до коммутации

Рис. 2.11.

  1.  Находим изображение тока в цепи после коммутации.

  1.  Для исходных данных: E=50 В, L=4.5 Гн, С=200 мкФ, R=30 Ом найдем оригинал тока.

Находим корни характеристического полинома

По формуле разложения для комплексно-сопряженных корней получаем

Рис. 2.12.

Пример 4. Включение RC – цепочки на экспоненту.

Решение этой задачи операторным методом несколько проще, чем классическим методом, в котором возникнут сложности при определении установившегося режима.

R=30 Ом, С=200 мкФ.

Рис. 2.13.

Рис. 2.14.

  1.  ННУ будет нулевым.
  2.  Составляем операторную схему замещения цепи после замыкания.

Рис. 2.15.

  1.  Находим изображение тока.

  1.  Переходим к оригиналу с помощью формулы разложения для различных корней.

,

Рис. 2.16.

ЛЕКЦИЯ 3

МОДИФИКАЦИИ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ.

  1.  КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД.

Такое название метод имеет по причине комбинации классического и операторного методов. Установившуюся составляющую решения находят классическим методом, а свободную составляющую операторным. Его ещё называют методом наложения свободного и принуждённого режимов. Целью создания этого метода является упрощение операторной схемы замещения цепи после коммутации, составленной только для свободного режима. Эта схема не содержит изображений источников, а операторные свободные токи в ней будут обусловлены источниками, учитывающие свободные начальные условия реактивных элементов.

                                  (3.1)

Алгоритм расчета ПП комбинированным методом.

1. Задаемся положительным направление токов в ветвях.

2. Рассчитываем любым известным методом предрежим, из которого определяем ННУ.

3. Рассчитываем любым известным методом установившуюся составляющую в цепи после коммутации, токи в индуктивностях и напряжения на конденсаторах.

4. Находим свободные начальные условия реактивных элементов по формуле (3.1).

5. Составляем операторную схему замещения цепи после коммутации для свободной составляющей.

6. Находим любым известным методом анализа цепей изображение свободной составляющей.

7. Переходим к оригиналу свободной составляющей с помощью теоремы разложения или таблиц.

8. Записываем ответ как сумму результатов п.3 и п.7, строим график.

Пример расчета ПП комбинированным методом.

Рис. 3.1.

Решение:

  1.  Находим напряжение на емкости в момент замыкания из расчета цепи до коммутации комплексным методом.

Рис. 3.2.

  1.  Находим напряжение на емкости в установившемся режиме из расчета цепи после коммутации комплексным методом.

Рис. 3.3.

  1.  Находим начальное условие для свободной составляющей напряжения на ёмкости.

  1.  Составляем операторную схему цепи после коммутации для свободной составляющей и находим изображение свободного тока в ветви с источником ЭДС.

Рис. 3.4.

  1.  Переходим к оригиналу при помощи табличного преобразования

  1.  Записываем ответ на основании результатов п. 5 и п. 2 как сумму свободной и установившейся составляющих.

  1.  Строим график.

Рис. 3.5.

2. МЕТОД СВЕДЕНИЯ К НУЛЕВЫМ НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ.

С целью упростить нахождение начальных условий в классическом методе или с целью упростить изображение искомой величины в операторном методе применяют метод сведения к нулевым начальным условиям. Этот метод позволяет вести расчет переходного процесса в цепи с одним источником и нулевыми начальными условиями.

Алгоритм расчета ПП методом сведения к нулевым начальным условиям (Случай замыкания).

1. Исходную схему всегда можно представить в виде.

Рис. 3.6.

Пусть требуется найти ток в ветви x, тогда найдём напряжение на разомкнутом ключе из расчета цепи до коммутации, то есть в предрежиме.

2. Токи в цепи после коммутации не изменятся, если последовательно с ключом будут встречно включены два источника ЭДС напряжением Us (схема а). По методу наложения искомый ток может быть найден как сумма до коммутационного тока (схема б) и переходного тока (схема в)

Рис. 3.7.

.                                        (3.2)

В схеме (б) замыкание не вызовет изменения токов и они будут оставаться равными токам предрежима. В схеме (в) возникнет переходный процесс, который будет определяться одним источником в пассивной цепи с нулевыми начальными условиями.

Пример (случай замыкания).

  1.  В цепи до замыкания находим напряжение на рубильнике.

  1.  Рассчитываем искомый ток в цепи до коммутации.

  1.  Рассчитываем переходную составляющую искомого тока в схеме с нулевыми начальными условиями.

Рис. 3.9.

  1.  

Ответ:

Рис. 3.10.

Алгоритм расчета ПП методом сведения к нулевым начальным условиям (Случай размыкания).

1. Исходную схему всегда можно представить в виде.

Рис. 3.11.

Пусть требуется найти ток в ветви x, тогда найдём ток в замкнутом ключе из расчета цепи до коммутации, то есть в предрежиме.

2. На токи в цепи после коммутации не окажет влияние, подключение параллельно ключу двух встречных источников тока is (схема а). По методу наложения искомый ток может быть найден как сумма до коммутационного тока (схема б) и переходного тока (схема в)

Рис. 3.12.

.                                     (3.3)

В схеме (б) размыкание не вызовет изменения токов и они будут оставаться равными токам предрежима. В схеме (в) возникнет переходный процесс, который будет определяться одним источником в пассивной цепи с нулевыми начальными условиями.

Пример (случай размыкания).

Рис. 3.13.

  1.  В цепи до размыкания находим ток в рубильнике.

  1.  Рассчитываем искомый ток в цепи до коммутации.

  1.  Рассчитываем переходную составляющую искомого тока в схеме с нулевыми начальными условиями.

Рис. 3.14.

По правилу “чужого” сопротивления

4. Ответ:

Рис. 3.15.

ЛЕКЦИЯ 4.

МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ.

Процессы в линейной электрической цепи, как нам уже известно, описываются неоднородным обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка. Ещё одной равнозначной формой описания процессов является система n неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных состояния (уравнения в форме Коши).

                                  (4.1)

Метод переменных состояния универсальный и мощный метод анализа динамики систем, содержащих элементы накапливающих энергию. Уравнение в форме Коши специально приспособлены к численному решению больших систем уравнений.

В качестве переменных состояния принимаются те, которые определяют процессы в элементах, накапливающих энергию. В электротехнике таковыми являются токи в индуктивности и напряжения на емкостях. Для найденных в ходе решения уравнения (4.1) переменных состояния, как правило, требуется решить уравнение связи (4.2), которое связывает переменные состояния с другими искомыми величинами.

                                      (4.2)

СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ.

Для составления уравнения (4.1) требуется определить токи в емкостях и напряжения на индуктивностях. Эти величины можно выразить из уравнений Кирхгофа, которыми описывается цепь после коммутации. Но целесообразнеe применить инженерную методику составления уравнений состояния.

  1.  Выбираем положительное направление токов в ветвях.
  2.  Рассчитываем начальные условия (токи в L и напряжения на C в цепи до коммутации).
  3.  В цепи после коммутации делаем замену индуктивности на источник тока величиной iL(t), ёмкости на источник ЭДС величиной uc(t).
  4.  Методом наложения находим напряжения на индуктивностях и токи в ёмкостях.
  5.  Используя компонентных уравнения записываем систему уравнений состояния.

Пример

Рис. 4.1.

 

Рис. 4.2.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ.

Методы решения

Аналитические

Численные

Операторный метод

Метод матричной экспоненты

Явный (неявный) методы Эйлера

Метод Рунге-Кутта

Метод Адамса

Пример

Рис. 4.3.

Операторный метод:

1. Имеем систему уравнений состояния

2. Отобразим эту систему уравнений в операторную область

3. После преобразований получим

4. Переходим к оригиналам

  1.  

Строим график:

Рис. 4.4.

Численный метод (явный метод Эйлера).

Решение получаемое численным методом имеет вид таблицы , в которой даны дискретные значения искомой величины в фиксированные моменты времени. Ось времени при этом разбивается на интервалы длительностью в один шаг интегрирования h. Дискретные значения функции вычисляются по  

.рекурентной формуле, которая является дискретным аналогом непрерывного дифференциального уравнения. Существуют различные способы получить рекурентное уравнение. В методе Эйлера на каждом шаге интегрирования кривую x(t) апроксимируют рядом Тейлора, содержащем первые два члена:

.                                     (4.3)

Эта формула позволяет по одному предыдущему xk значению рассчитать следующее xk+1. Для вычисления значения искомой величины в момент времени t необходимо последовательно рассчитать [t/h]-1 предыдущих значений.

Численные методы расчета относятся к приближенным методам. Чем больше сложность рекурентного уравнения, тем меньше зависит точность вычисления от величины шага интегрирования. С уменьшением шага интегрирования решение получается точнее, но такой способ повышения точности расчета имеет ограничения. Во-первых, увеличивается количество операций и время вычисления, а во-вторых, накапливается другая погрешность, связанная с округлением вещественных чисел в вычислительном устройстве.  

Пример

Рис. 4.6.

Метод Эйлера:

1. Имеем уравнения в форме Коши.

2. Получим рекурентные уравнения для искомых величин по методу явному Эйлера.

3. В течении 0.25 с рассчитаем переходный процесс для двух значений шага интегрирования (h=1.0 мс и h=5.0 мс) и сравним эти значения с точным решением, полученным аналитическим методом.

                                                                 Таблица дискретных значений

переменных состояния (h=5.0 мс)

t=5.000    мc iL1=   .3500 A Uc=  96.250 В

t=10.000    мc iL1=   .7600 A Uc=  88.594 В

t=15.000    мc iL1=  1.1980 A Uc=  87.020 В

t=20.000    мc iL1=  1.6330 A Uc=  91.117 В

t=25.000    мc iL1=  2.0366 A Uc= 100.140 В

t=30.000    мc iL1=  2.3850 A Uc= 113.080 В

t=35.000    мc iL1=  2.6599 A Uc= 128.757 В

t=180.000    мc iL1=  2.0826 A Uc= 182.312 В

t=185.000    мc iL1=  2.0189 A Uc= 185.555 В

t=190.000    мc iL1=  1.9407 A Uc= 187.598 В

t=195.000    мc iL1=  1.8542 A Uc= 188.407 В

t=200.000    мc iL1=  1.7658 A Uc= 188.033 В

t=205.000    мc iL1=  1.6815 A Uc= 186.602 В

t=210.000    мc iL1=  1.6064 A Uc= 184.295 В

t=215.000    мc iL1=  1.5448 A Uc= 181.339 В

t=220.000    мc iL1=  1.4995 A Uc= 177.982 В

t=225.000    мc iL1=  1.4721 A Uc= 174.478 В

t=230.000    мc iL1=  1.4629 A Uc= 171.069 В

t=235.000    мc iL1=  1.4710 A Uc= 167.972 В

t=240.000    мc iL1=  1.4944 A Uc= 165.363 В

t=245.000    мc iL1=  1.5302 A Uc= 163.372 В

t=250.000    мc iL1=  1.5751 A Uc= 162.078 В

Рис. 4.7.

ЛЕКЦИЯ 5

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ ИМПУЛЬСНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

1. Расчет реакции цепи на одиночный импульс воздействия

(метод наложения).

Рис. 5.1.

Найти реакцию RC-цепи первого порядка на одиночное импульсное воздействие.

Решение:

  1.  Воздействие данного типа может быть получено как результат совместного действия двух источников напряжения

Рис. 5.2.

  1.  Реакция цепи будет также определяться суммой реакции на первое и второе воздействие. Задача, тем самым, сводится к расчету переходного напряжения на емкости при включении цепи на постоянное напряжение.

Рис. 5.3.

2. Расчет реакции цепи на периодическое импульсное воздействие

(метод сопряжения интервалов).

Рис. 5.4.

Найти реакцию RC-цепи первого порядка на периодическое импульсное воздействие.

Решение:

Решения будем искать в виде суммы установившейся  и свободной составляющих

.

  1.  Рассчитываем установившийся процесс.

Входной периодический сигнал содержит интервал заряда (0…)  и интервал разряда […T). Реакция цепи в установившемся режиме также имеет два интервала. Определим реакцию цепи  в установившемся режиме на каждом интервале. Для удобства расчета употребим понятия

а) местного на интервале времени и глобального времени,

б) местного на интервале переходного процесса и глобального переходного процесса.

Так, на интервале заряда местный переходный процесс будет определяться выражением

,

где - местное время заряда.

На интервале разряда реакция цепи будет такой

,

где - местное время разряда.

Для определения постоянных интегрирования в решении на интервалах необходимо осуществить сопряжение интервалов. Сопряжение интервалов предполагает составление системы уравнений относительно постоянных интегрирования на основе условий сопряжения:

  1.  условие непрерывности токов в индуктивности и напряжений на емкостях на границах интервалов.
  2.  Условие периодичности, т.е. .

Запишем решение для установившегося процесса в глобальном времени

Решая систему относительно постоянных интегрирования, получим

Запишем установившуюся составляющую с учетом фазы включения  и найденных постоянных интегрирования.

2. Находим свободную составляющую глобального установившегося процесса.

Общий вид свободной составляющей  Постоянную интегрирования находим с учетом нулевых начальных условий

  1.  Ответ: 

Строим график для  E=100, B 

RC=3.4, c 

2.0, с

T=4.0, с

0.9, с

Рис.5.5

3. Расчет переходного процесса в цепи с периодическими коммутациями (метод припасовывания).

В цепях данного класса имеет место периодическое изменение внутренней структур. Поэтому для таких цепей не выполняется принцип суперпозиции и переходная величина не может быть найдена наложением свободной и установившейся составляющих.

Примеры цепей с периодической коммутацией.

Рис. 5.6.

Рассмотрим пример решения для второй схемы. Параметры: .

Решение:

  1.  Находим напряжение на емкости в установившемся режиме, используя метод сопряжения интервалов. При положительной полярности входного напряжения имеет место интервал заряда, при отрицательной полярности -интервал разряда.

а) Находим общее решение на интервалах.

Интервал заряда:

Рис. 5.7.

Операторная схема  замещения цепи на интервале заряда

Переходим к оригиналу при помощи формулы разложения

Интервал разряда:

Рис. 5.8.

Операторная схема  замещения цепи на интервале разряда

Переходим к оригиналу

, В.

Общий вид установившейся составляющей для глобального времени:

б) Далее следует процедура сопряжения интервалов, т.е. нахождение постоянных на основе условий сопряжения.

Из условия непрерывности напряжения на емкости на границах интервалов для момента конца интервала заряда имеем

Для момента конца интервала разряда из условия непрерывности и периодичности имеем

Решая систему уравнений получим

Итак,

2. Для расчета переходного процесса в цепях с периодической коммутацией используют метод “припасовывания”. Согласно этому методу, постоянные интегрирования в общих решениях на интервалах, находят для каждого интервала из условия непрерывности переменных состояния на границах интервалов. Таким образом, глобальный переходный процесс будет задан в виде таблицы, в узлах которой  приводятся значения постоянных интегрирования. Количество строк в таблице определяется достижением установивишегося процесса.

Общее решение на интервалах

Интервал времени

Umax

Umin

Решение на интервале

0 мс<t1<50 мс

-

0

50 мс<t2<60 мс

18.674

-

60 мс<t3<110 мс

-

-12.0975

110 мс<t4<120 мс

17.682

-

120 мс<t5<170 мс

-

-12.0930

Процесс установился!

Рис. 5.9.

EMBED PBrush  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54387. Європейське середньовічне місто 276.5 KB
  Європейське середньовічне місто. Пояснити причини появи середньовічних міст; охарактеризувати цехове ремесло побут житло і заняття городян показати середньовічне місто як центр ремесла і торгівлі; розвивати навички роботи а групах аналізу документів вміння розв’язувати історичні задачі й проблемні завдання; виховувати інтерес до середньовічної історії. На кінець уроку ми зможемо:...
54388. Раціональні числа. Додавання і віднімання раціональних чисел. Система координат 46.5 KB
  Розмістити числа в порядку зростання. Але ці числа не прості кожному з них відповідає літера. Чому числа бувають додатні і від’ємні Числа люди Країна Модульна Вірш про додатні і від’ємні числа Казка про числа Предмет математика наскільки серйозний що корисно використовувати будьяку нагоду зробити його цікавим.
54389. Значение культурологии в профессиональной деятельности современного специалиста в сфере национальной экономики и управления 14.73 KB
  Культурология - новая дисциплина с пока неустоявшейся предметной областью и огромным познавательным потенциалом — занимает особое место среди гуманитарных дисциплин.
54390. Значение культурологии в разрешении глобальных проблем современности 15.16 KB
  В последнее время остро чувствуется тревога за экологические катастрофы, распространения экстремизма и терроризма, мирового финансового кризиса, дисбаланса базовых ценностей культуры, стихийного развития цивилизаций
54392. Міжнародний географічний поділ праці. Міжнародна економічна інтеграція 95.5 KB
  Країни як люди. Бо від правильності вибору професії від того наскільки він раціональний залежить добробут народу тієї чи іншої країни в тому числі і нашої. Як природні умови і забезпеченість країни природними ресурсами впливають на її спеціалізацію Наведіть дватри приклади. Фактори формування міжнародної спеціалізації а Географічне положення приморські країни як правило мають флот ловлять рибу континентальні ні.
54393. Многогранники. Тіла обертання 813.5 KB
  Триєдина мета: ввести поняття призми піраміди циліндра конуса кулі елементів цих фігур; формули для обчислення бічної повної поверхонь об’єму; розвивати просторову уяву логічне мислення математичне мовлення; уміння працювати з додатковою літературою довідковим матеріалом комп’ютером. Розв’язання. Розв’язання. Розв’язання.
54394. Правильні многогранники урок 51.5 KB
  Мета проекту: сформувати в учнів поняття про елемент правильних многогранників; виробляти вміння знаходити математичні закономірності в навколишньому світі; розвивати компетентності саморозвитку і самоосвіти інформаційні та комунікативні компетентності продуктивної творчої діяльності. Домогтися засвоєння учнями означення правильного многогранника та п’яти видів правильних многогранників; сформувати в учнів поняття про елементи правильних многогранників; вдосконалювати навички розв’язування задач про правильні многогранники на основі...
54395. Правильні многокутники 114 KB
  Впізнай мене Встановіть вид даного правильного многокутника якщо відомо величину його кута: а 90; квадрат; б 60; правильний трикутник; в 135; правильний восьмикутник; г150 правильний дванадцятикутник. Будьякий правильний многокутник є випуклим Так. Будьякий правильний чотирикутник є квадратом. Правильний п’ятикутник.