35569

Матанализ Конспект лекций

Конспект

Математика и математический анализ

Свойства бесконечно малой последовательности. Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое. Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое. Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел. Теоремы о пределах числовых последовательностей. Теорема о пределе суммы/ Теорема о произведение пределов///

Русский

2013-09-17

20.29 MB

58 чел.

Матанализ

Конспект лекций

Введение

Основные числовые множества.

Окрестности.

Модуль и основные неравенства.

Функция. Монотонность. Ограниченность.

Функции

Ограниченные последовательности.

Монотонные последовательности

Пределы последовательности.

Последовательности

Бесконечно малые последовательности

Свойства бесконечно малой последовательности.

Теорема.  Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.

Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.

Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел.

Теоремы о пределах числовых последовательностей.

Теорема о пределе суммы:

Теорема о произведение пределов:

Теорема о пределе частного

Бесконечно большие последовательности.

Теорема (об ограниченной сходящейся последовательности)

Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности).

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.

Основные теоремы о существование предела последовательности.

Бесконечно большие последовательности

Определение под последовательности

Предел функции.

Замечательные пределы

Первый замечательные пределы.

Определение бесконечного предела и пределов при х+.

Односторонние пределы.

Второй замечательный предел.

Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых.

Шкала бесконечности.

Степенные бесконечности.

Показательные бесконечности.

Основные эквивалентности.

Асимптотические формулы

Теорема(об ограниченности непрерывной функции в окрестности точки).

Теорема:(о непрерывности сложной функции)

Непрерывность некоторых функций.

Точки разрыва»

Классификация точек разрыва функции.

Основные теоремы о непрерывных функциях.

Теорема: (о сохранение знака непрерывной функции)

Теорема Коши: ( о нуле непрерывной функции)

Теоремы Вейштрасса.

Теорема: (Коши о промежуточных значениях)

Теорема: (о существование и непрерывности обратной функции) «Без доказательства»

Производная функции.                      

Разность значений функций.

Физический смысл производной.

Геометрический смысл производной.

Основные теоремы о производной.

Теорема: (о произведение частного)

Таблица производных

Производные, дифференциал

Дифференциал функции.

Гиперболические функции.

Линеаризация

Геометрический смысл дифференциала функции и уравнение касательной.

Линеаризация функции.

Приближенные вычисления и оценка погрешности вычисления.

Погрешности вычисления.

Изучение поведения функции при помощи первой производной. 

Экстремумы функции.

Теорема: (Ферма) (о необходимости условия экстремума дифференцируемой функции)

«Экстремумы»

Теорема (Ролля):

Геометрический смысл.

Теорема Лангранджа:

Теорема:  (о необходимых и достаточных условиях  экстремума по первой производной)

Производная функции высшего порядка.

Производная функции высшего порядка.

Теорема: (Коши – обобщение теоремы Лангранджа)

Правила Лопиталя.

Формулы Тейлора.

Свойства многочлена Тейлора.

Формула Тейлора с остаточным членом пеано.

Пять основных разложений

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа.

Применение формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа.

Выпуклость и вогнутость.

Теорема: (о достаточном условии выпуклости функции).

Асимптоты.

Полное исследование функции.

Приближенные методы решения уравнения f(x)=0

Оценка скорости сходимости.

Метод касательных (метод Ньютона)

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа в точке xn

Циклоида

Параметрическая производная.


Лекция №1

Тема: Введение

Условные обозначения:

: - так, что   def – по определению

– включает    ’’’ – [dnf(x)]/dxn=(d/dx)([dn-1f(x)]/dxn)

- следует, выполняется

- тогда и только тогда

- любой

- существует

] – пусть

! – единственный

[x] – целая часть

~ - эквивалентно

о - малое

Все R представляют десятичной дробью.

Все Q представляют конечной дробью, либо периодичной дробью.

Все иррациональные числа представляют бесконечной десятичной дробью ( не периодичной).

  Рассмотрим числовую ось. Числовая ось – направленная прямая с отмеченной точкой и отмеченным масштабом.

0 – отвечает за ноль.

Отрезок [0;1] отвечает за единицу

Единица за единицу.

  Каждой точки х на числовой прямой отвечает некоторое действительное число. Если длинны отрезков [0;x] из заданного масштаба соизмеримы, тогда числу х отвечает рациональное число. Если не соизмеримы, то иррациональны.

  Каждому R отвечает точка на числовой прямой и наоборот, каждой точке отвечает R.

Основные числовые множества.

                                                                x

    Отрезок:              [/////////]       x

                                           a                  b             

                 Обозначается [a;b]  ab

  Частный случай отрезка точка

           Или axb – в виде неравенства.

                                                               х

   Интервал:              (/////////)       x – множество точек на числовой прямой.

                                            a                  b             

  Обозначается (a;b) или в виде неравенства a<x<b

                                                                x

    Полуинтервал:         (/////////]       x

                                           a                  b             

                                                                x

                       [/////////)       x

                                            a                  b             

  Обозначается: [a;b) axb

                           (a;b] a<xb

   Всё это числовые промежутки.

   Замечание: один из концов ( а или b) может быть символом .

 

                  x

///////////////]       x  (-;b]  или  -<xb

                                b             

                  x

///////////////)       x    (-;b)  или  -<x<b 

                               b             

  Вся числовая прямая – R=(-;+)

Окрестности.

  Определение: ε –окрестностью числа а называется множество чисел х  удовлетворяющие неравенству

a-ε<x<a+ε      x-a         (////////)           x   Оε(а)

    ε>0                          а-ε          а     а+ε

Оε(а)={xR:x-a<ε}

Проколотая ε окрестность – Оε(а) это множество таких чисел включающих R, и отстаёт от точки на ε и не принадлежит а.

Оε(а)={xR:0<x-a<ε}

   (////////)        x 

   а-ε          а     а+ε

 Правая ε поло окрестность точки а:    О+ε(а)={xR:ax<a+ε}

        ///////)      x

                 a                     a+ε

 Проколотая правая ε поло окрестность точки а:  Оε(а)={xR:a<x<a+ε}    Рисунок подобен предыдущему только с выколотой точкой а.

 

 Левая ε поло окрестность точки а: O-ε(a)={xR:a-ε<xa}

      (////////      x

             a-ε                    a

   Проколотая, левая ε поло окрестность точки а:  О-ε(а)={xR:a-ε<x<a}    Рисунок подобен предыдущему только с выколотой точкой а.

Модуль и основные неравенства.

           x; x>0

х=      0; x=0

           -x; x<0

|x|<h    -h<x<h           |x|>h      x>h

 h>0                                                  x<-h

 

  1.   а,b  R: |ab|a|+|b|
  2.   а,b  R: |a-b|||a|-|b||

Можно рассматривать окрестности бесконечности:

Оε(+)={xR:x>ε}    (//////////        x

                          ε>0               ε

Оε(-)={xR:x<-ε}  ///////////)     x

  ε>0                         -ε  0

Оε()={xR:x>ε}        \\\\\\)       (//////    x

        x>ε;x<-ε                                       -ε                    ε

Функция. Монотонность. Ограниченность.

х – называется независимой переменной.

у – зависимой.

  Функцию можно задавать равенством (у=х2)

   Таблицей

Х

Х1

Х2

Х3

Х4

У

У1

У2

У3

У4

   Графиком, то есть множеством точек с координатами (x,f(x)) на плоскости:

 

Определение f(x) монотонности: Пусть Х принадлежит области определение  D ( ]xD)

Пусть Х подмножество в области определения в f(x).

Функция у=f(x) называется:

  1.  Возрастающая на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х: х1<x2f(x1)<f(x2)

  1.  Убывающий на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х: х1<x2f(x1)>f(x2)

   3) Не убывающий на Х, если  для любого х1;х2 принадлежащие Х: х1<x2f(x1)f(x2)

  1.  Не возрастающая на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х: х1<x2f(x1)f(x2)

Определение:

Ограниченность. Пусть Х включает D y=f(x) называется:

  1.  Ограниченной сверху на Х если существует В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется xR
  2.  Ограниченной снизу на Х если существует А, так что для любого х принадлежащего Х выполняется Ах
  3.  Ограниченной и сверху и снизу на Х если существует А,В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется АхВ, или существует С, так что для любого х принадлежащего Х выполняется хС

Лекция №2

Тема: Функции

  Определение (сложная функция):

Пусть задано D,E,G,C,R

На D: y=f(x) с областью значения E

На E: z=g(y) с областью значения G

Тогда на множестве D определена сложная функция z=g(f(x)) с областью значения G. Тогда говорят, что g(f(x)) есть суперпозиция функций g,f.

Пример:                     Пример

z=sin ex                                 w=arctgcos exx-ln x

y=ex=f(x)

z=sin y=g(y)

D=R

E=R+

G=[-1;1]

Определение (обратной функции):

Пусть существует D,E,C,R

На D: y=f(x) с областью значений Е. Если для каждого у из y=f(x) найдётся единственный х, то говорят, что на множестве Е задана функция обратная к функции f(x), с областью значений D. Иными словами две функции y=f(x) и  x=g(y) являются взаимно обратными если выполняется тождества:

  y=f(g(y)),  yE                       y=f(g(y)), для любого уЕ

                                    

  x=g(f(x)),  xD                      x=g(f(x)), для любого хD

Примеры:

1)y=x3  x=3y                                                                             

 D=R

 E=R

 

2)y=x2  x=y                  

  D=R+ {0}=[0;+)

  E=[0;+)

  D=R- {0}=(-;0]

  E=[0;) x=-y

3)y=sinx                          

D=[-/2;/2]

E=[-1;1]

x=arcsiny

y[-1;1]; x[-/2;/2]

Пусть y=f(x)

D=[a;b]

E=[A;B]

Определение: y=f(x), nN 

a1=f(1)

a2=f(2)

an=f(n)

{an} – множество значений силовой последовательности nN или аn

n}={1,1/2,1/3,…,1/n,…}

аn=1/n

{аn}={sin1;sin2;sinn}

аn=sinn

аn=(-1)n/n 

{(-1)n}={-1;1;-1;1;-1;1…}

Ограниченные последовательности.

  1.  Ограниченная сверху, то есть существует В так что аnВ, для любого nN
  2.  Ограниченная снизу, то есть существует А так что Аbn, для любого nN
  3.  Ограниченная, то есть существует А,В так что АаnВ, для любого nN  существует С>0 так что аnС, для любого nN.

Монотонные последовательности

  1.  возрастающая an<an+1,  nN
  2.  убывающая an>an+1, nN
  3.  не возрастающая anan+1,  nN
  4.  не убывающая anan+1,  nN

Пределы последовательности.

  Определение: числа а , называется пределом числовой последовательности аn, если для любого сколь угодно малого числа ε>0, найдётся натуральный номер N такой, что для всех чисел nN выполняется модуль разности an-a<ε     ε>0  N :  nN an-a<ε.

  Начиная с этого номера N все числа этой последовательности попадают в ε окрестность числа а. Другими словами начиная с номера N вне интервала а-ε;а+ε может находиться не более конечного числа членов последовательности.

Lim an=0

n

Примеры: Доказать, что ln(-1)2/n=0

Зададим любое ε>0, хотим чтобы (-1)n-0<ε, начиная с некоторого номера N, 1/n<ε  n>1/ε

  N=[1/ε]+1

  ε=0.01

  N=[1/0.01]+1=101

  |an|<0.01, если n101

* * *

an=1-1/n2

lim(1-1/n2)=1

n+

Для любого ε>0 (1-1/n2)-1<ε

                     -1/n2<ε  1/n2<ε  n2>1/ε  n>1/ε

                              N=[1/ε]+1

Лекция №3

Тема: Последовательности

Бесконечно малые последовательности

  Последовательность аn называется бесконечно малой , это означает, что предел этой последовательности после равен 0.

an – бесконечно малая  lim an=0 то есть для любого ε>0 существует N, такое что для любого n>N выполняется

                                            n+

an<ε

Важные примеры бесконечно малой последовательности:

1)n=1/n Докажем, что для любого ε>0 1/n<ε  1/n<ε n>1/ε N[1/ε]+1

Докажем, что lim1/n=0

                        n+

2) n= sin(1/n). Докажем, что для любого ε>0 sin(1/n)<ε, заметим, что 1/n принадлежит первой четверти, следовательно 1sin(1/n)>0, следовательно sin(1/n)<ε

Следовательно 1/n<arcsinε  n>1/arcsinε   N=[1/arcsinε]+1. Докажем, что lim sin1/n=0

        n+

3) n=ln(1+1/n)      

n0; 1/n; 1+1/n1

lim ln(1+1/n)=0

n+

Докажем ln(1+1/n)<ε ln(1+1/n)<ε  1+1/n<eε

1/n<eε-1

n>1/eε-1 N=[1/eε-1]+1

  1.  n=1-cos(1/n)

lim(1-cos(1/n))=0

n+

Докажем ε>0 1-cos(1/n)<ε

1/n первой четверти cos первой четверти положительный 0<cos(1/n)<1 1-cos(1/n)<ε

cos(1/n)>1-ε (считаем, что 0<ε<1)

1/n<arcos(1-ε) n>1/arcos(1-ε)

N=[1/arcos(1-ε)]+1

Свойства бесконечно малой последовательности.

Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.

nnбесконечно малое  n+n – бесконечно малое.

Доказательство.

Дано:

n- бесконечно малое  ε>0  N1:n>N1  n<ε

n- бесконечно малое  ε>0  N2:n>N2  n<ε

Положим N=max{N1,N2}, тогда для любого n>N  одновременно выполняется оба неравенства:

  n<ε                 n+nn+n<ε+ε=2ε=ε1n>N

  n<ε

Зададим ε1>0, положим ε=ε1/2. Тогда для любого ε1>0 N=maxN1N2 :  n>N  n+n<ε1  lim(n+n)=0, то

                                n

есть n+n – бесконечно малое.

Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.

n,n – бесконечно малое  nn – бесконечно малое.

Докозательство:

Зададим ε1>0, положим ε=ε1, так как n и n – бесконечно малое для этого ε>0, то найдётся N1:  n>N  n<ε

N2: n>N2  n

Возьмем N=max {N1;N2}, тогда n>N =   n<ε

    n<ε

nn=nn<ε2=ε1

 ε1>0 N:n>N nn<ε2=ε1

lim nn=0  nn – бесконечно малое, что и требовалось доказать.

n

Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность

аn – ограниченная последовательность

n –бесконечно малая последовательность  ann – бесконечно малая последовательность.

Доказательство: Так как аn – ограниченная  С>0: nN  anC

Зададим ε1>0; положим ε=ε1/C; так как n – бесконечно малая, то ε>0 N:n>N n<ε ann=ann<Cε=Cε1/C=ε1

ε1>0 N: n>N  ann=Cε=ε1  lim ann=0 annбесконечно малое

         n

  Замечание: в качестве ограниченной последовательности можно рассматривать const  произведение постоянно.

Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел.

lim an=a an=a+n

n+

Последовательность an имеет конечный предел а тогда и только тогда, когда она представлена в виде an=a+n

где n – бесконечно малая.

Доказательство:

lim an   ε>0 N:n>N  an-a<ε. Положим an-a=n  n<ε, n>N,  то есть  n -  бесконечно малая

n+

an=a+n что и требовалось доказать

Доказательство (обратное): пусть an=a+n, n – бесконечно малая, то есть n=an-a  ε>0 N: n>N 

n=an-a<ε, то есть lim an-а

                 n+

Теоремы о пределах числовых последовательностей.

  1.  Теорема о пределе суммы:

Пусть lim an=a      lim bn=b lim an+n=a+b

                            n+                   n+                    n+

Докозательство: an=a+n    bn=b+n   Сложим an+bn=a+b+n+n=a+b+n lim an+bn=a+b

n+

         2) Теорема о произведение пределов:

       Пусть lim an=a      lim bn=b lim anbn=ab

                              n+                   n+                  n+          

Доказательство: an=a+n    bn=b+n    anbn=(a+n)(b+n)   anbn=ab+an+bn+nn=ab+n  lim anbn=ab что и 

                                n+          

требовалось доказать.

  1.  Теорема о пределе частного

Пусть  lim an=a      lim bn=b  b0    lim an/bn=a/b

                              n+                   n+                              n+         

Доказательство: an=a+n    bn=b+n так как b0, то N1: n>N1bn0

                     bn

         0     (////////b/////////)         x

an/bn=an/bn-a/b+a/b=a/b+(ban-abn)/bbn=a/b+[b(a+n)-a(b+n)]/b(b+n)=a/b+n/b(1+bn/b)

lim an/bn=a/b   

n+            

Лекция №4

Тема: Бесконечно большие последовательности .

аn=(-1)n не имеет предел.

{bn}={1,1…}

{an}={-1;1;-1;1…} – предел не существует.

Бесконечно большие последовательности.

an=2n

N:n>N an>ε

bn=(-1)n2n

N:n>N  bn>ε

cn=-2n

N:n>N cn<-ε

Определение (бесконечно большие последовательности)

1) lim an=+, если ε>0N:n>N  an>ε где ε- сколь угодно малое.

     n

2)lim an=-, если ε>0 N:n>N an<-ε

  n+

3) lim an=  ε>0 N:n>N  an

    n+

  Последовательностью имеющий конечный предел называют сходящимися. В противном случае последовательность называют расходящимися. Среди них есть последовательности, которые расходятся в бесконечность. О них мы говорим, что они имеют бесконечный предел.

Доказательство:

an=2n

Берём ε>0; хотим 2n>ε

n>log2ε

N=[log2ε]+1

Правило формирования обратного утверждения: нужно поменять местами значки и , а знак неравенства на дополнительный.

Пример:

Утверждение  lim an=a< aR ε>0 NN:n>N  an-a<ε

                         n

Обратное утверждение aR ε>0 NN: n>N  an-a<ε

Всякая бесконечно большая  не ограниченная. Обратное утверждение неверно.

bn{2;0;2n;0;23;0….}

Теорема (об ограниченной сходящейся последовательности)

Пусть lim an=a<  an - ограниченная

                    n+

Доказательство:

Дано:

ε>0N:n>N  an-a<ε

Раз ε>0 возьмем ε=1  N:n>N  an-a<1

a-1<an<1+a, n>N

Этому неравенству может быть не удовлетворять только первые N члены последовательности.

N1=max{a1;a2;…an;1+a;a-1}

anc, n>N

Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности).

Если lim an=a <, то а- единственное.

                 n+

Доказательство:(от противного)

Предположим, что  b: lim an=b и ba ε=b-a/2>0 для определенности пусть b>a N1:n>N1 an-a<ε

                   n+

N2:n>N2  an-b<ε N=max{N1;N2}, тогда оба неравенства выполняются одновременно

-(b-a)/2<an-a<(b-a)/2

    -(b-a)/2<an-b<(b-a)/2

 an-a<(b-a)/2

-

 an-b>-(b-a)/2

b-a<b-a

0<0 – противоречие предположение, что b>a неверно. Аналогично доказывается, что b<a, то же неверно ε=(a-b)/2

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.

Теорема:

1)an- бесконечно большая 1/an – бесконечно малая

2)т – бесконечно малая, n0 (n>N0) 1/n – бесконечно большая

Доказательство:

1)an- бесконечно большая  lim an=  для достаточно больших номеров n an0. Зададим любое сколько  

           n+

угодно малое ε>0, положим ε=1/ε>0

Для ε N1:n>N1 an>ε, то есть an>1/ε N=max{N1;N0}

Тогда n>N  1/an<ε, то есть lim 1/an=0, то есть 1/an – бесконечно малое

                      n+

2)n – бесконечно малое lim n=0

          n+

Дано: n0, n>N0 зададим ε>0 положим ε=1/ε>0

N1:n>N1 n<ε=1/ε

N=max{N0;N1}: n>N  1/n=, то есть 1/n – бесконечно большая.

Основные теоремы о существование предела последовательности.

Теорема Вейрштрасса:

Пусть an- ограниченная и моннатонна. Тогда  lim an=а<

               n+

Лемма. Среднее арифметическое чисел больше среднего геометрического. Равенство достигается только если все числа равны.


Лекция №5

Тема: Бесконечно большие последовательности

Теорема: 

lim(1-1/n)n=1/e     e=2,7183

n+

0an=1-1/n1 nN, то есть  an=(1-1/n)n- ограниченна.

n+1an=n+1(1-1/n)n1=n+1(1-1/n)(1-1/n)…(1-1/n)1<[1+(1-1/n)+…+(1-1/n)]/n+1=(n+1-n1/n)/n+1=n/n+1=1-1/n+1

n+1(1-1/n)n<1-1/n+1

(1-1/n)n<(1-1/n+1)n+1

an<an+1  nN  последовательность возрастает и ограниченная.

(1-1/n)n – имеет конечный предел

lim(1-1/n)n=1/e 

n+

Следствие

lim(1+1/n)n=e 

n+

lim1/(1+1/n)n=(n/n+1)n=[1-1/(n+1)]n+1/ [1-1/(n+1)]=(1/e)/1=1/e

n+

lim[1/(1+1/n)n]=1/e

n+

lim(1+1/n)n=e

n+

Определение под последовательности

Пусть дана an зададим произвольный набор натуральных чисел таких, что

n1<n2<n3<…<nk<….

an1,an2,…,ank,…

Полученная последовательность называется под последовательностью и сходной последовательности.

an=(-1)n

{an}={-1;1;-1;1….}

n1=2;n2=4,….,nk=2k

{ank}={1,1,1,1…}

Теорема

Пусть последовательность an сходится, тогда последовательности

 lim an=a {ank} – гас и lim

       n+

lim ank=0

n+

Доказательство так как an – сходиться, то ε>0 N: n>N  an-a<ε

ank; nk>N то есть ank-a<ε

Пример

an=(-1)n – не имеет предела

{a2n}={1,…,1,…,}

{a2n-1}={-1,….,-1,…}

имели бы тот же самый предел.

Предел функции.

Определение

Пусть y=f(x) определена в O(x0). Мы говорим, что функция f(x) имеет предел в при хх0 если ε>0  >0

x:0<x-x0< f(x)-b<ε

lim f(x)=b

xx

Через окрестности это определение записывается следующим образом

ε>0 >0 x0(x0)f(x)0ε(b)

Если lim f(x)=0, то f(x) наз бесконечно малой при xx0.

              xx

Замечание. Необходимо указать в каком именно процессе f(x) бесконечно малое. Надо указать к какому числу а.

f(x)=x-1

1.x1 lim(x-1)=0, то есть y=x-1 бесконечно малое при x1

                 x1

2.x2 lim(x-1)=1, то есть y=x-1 не является бесконечно малой при x2

                   x1

Пример 

f(x)=2x+1 x1

Докажем lim(2x+1)=3

                         x1   

ε>0 >0 x:0<x-1< (2x+1)-3<ε

(2x+1)-3<ε

|x-1<ε/2

x1

Положим =ε/2

Теорема о бесконечно малом

1)(x);(x) – бесконечно малое xx0  (x)+(x) – бесконечно малое при xx0

2)(x);(x) – бесконечно малое при xx0

3)Если  f(x) – ограниченна в O(x0) и (x) – бесконечно малое при xx0, то  f(x);(x) – бесконечно малое при xx0

Доказательство (3)

Так как  f(x) – ограниченна в O(x0), то С>0: xO(x0)|f(x)C;

Так как (x) – бесконечно малое при хх0, то  ε>0 >0 x: 0<x-x0<  (x)<ε ε1>0

Положим ε=ε1/c

>0 x: 0<x-x0|< f(x)(x)=f(x)a(x)<Cε=ε1 lim f(x)(x)=0, то есть f(x)a(x) – бесконечно малое при xx0

         xx


Лекция №6

Тема: Замечательные пределы

Теорема

f(x)>g(x) в O(x0) и  lim (f(x))=b и  lim (g(x))=c. Тогда bc

                                   xx             xx  

Доказательство:

Рассмотрим функцию (x)=f(x)-g(x)>0 в O(x0)  lim ((x))= lim (f(x)) -  lim (g(x))= b-c  и в силу предыдущей

                                                              xx          xx                    xx 

теоремы  b-c0, то есть b0 что и требовалось доказать.

Теорема

f(x)(x)g(x)  xO(x0) и  lim (f(x))=b и  lim (g (x))=b.  lim ( (x))=b

                                                  xx            xx                                  xx 

Доказательство:

f(x)=b+(x)

g(x)=b+(x)

где (x) и (x) – бесконечно малые при хх0

b+(x)(x)b+(x)

Так как (х) и (х) – бесконечно малые то ε>0 1>0:  xO1(x0)  (x)<ε

                 2>0:  xO2(x0)  (x)<ε

Положим =min{1;2}

Тогда    xO(x0)  (x)<ε

           (x)<ε

-ε<(x)<ε

-ε<(x)<ε

b-ε<b+(x)(x)b+(x)<b+ε

   -ε<(x)-b<ε

    (x)-b<ε  xO(x0)

 ε>0  =min{1;2}  (x)-b<ε xO(x0) то есть lim ( (x))=b

                    xx 

Первый замечательные пределы.

Терема lim (sin(x)/x)=1

                    x0 

Доказательство:

SOMN=1/2 sin(x)

SсекOMN=1/2(x)

SOKN=1/2 tg(x)

SOMN<SсекOMN< SOKN

1/2sin(x)<1/2(x)<tg(x)

sin(x)<x<tg(x)

1<x/sin(x)<1/cos(x)

lim (1-cos(1/n))=0

n+ 

lim (1-cos(x))=0  lim (cos(x))=1

x0                                  x0 

lim (x/sin(x))=0

x0 

x>0

lim (x/sin(x))=1

x0

 lim(1/(x/sin(x)))= lim(sin(x)/x)=1 что и требовалось доказать   

 x0                           x0 

Определение бесконечного предела и пределов при х+.

lim (f (x))=+  ε>0 >0: xO(x0)f(x)Oε(+)

xx 

(x): 0<x-x0<

      (//////////                x

        ε

lim (f (x))=-  ε>0 >0: xO(x0)f(x)Oε(-)

xx 

(x): 0<x-x0<

lim (f (x))=  ε>0 >0: xO(x0)f(x)Oε()

xx 

f(x)>ε

lim (f (x))=b  ε>0 >0: xO(+)f(x)Oε(b)

x+ 

x: x> f(x)-b <ε

lim (f (x))=b  ε>0 >0: xO(-)f(x)Oε(b)

x- 

 x: x<- f(x)-b <ε

Односторонние пределы.

Определение

f(x) определена в O+(x0)

lim (f (x))=b  ε>0 >0: xO+(x0)f(x)Oε(b) x0<x<x0+

xx+0 

Определение

f(x) определена в O-(x0)

lim (f (x))=b  ε>0 >0: xO-(x0)f(x)Oε(b) x0-<x<x0

xx-0 

Теорема Пусть f(x)  определена в O(x0) Для того чтобы существо-

вал предел   lim(f(x))=b   lim(f(x))=lim(f(x))=b

                         xx                                   xx+0         xx-0

Пусть     lim(f(x))=b, то есть ε>0 >0:  xO(x0)f(x)Oε(b) f(x)O(b) для  xO+(x0) и для  xO-

                 xx           

 xO-(x0) lim(f(x));lim(f(x))=b что и требовалось доказать.        

                                             xx+0         xx-0

Второй замечательный предел.

Теорема lim(1+1/x)x=e

               x+

Доказательство: Пусть n – целая часть х – n=[x]    nx<n+1

[1+1/(n+1)]n(1+1/x)x(1+1/n)n+1

Если x+, то n+

[1+1/(n+1)]n+11/[1+1/(n+1)](1+1/x)x(1+1/n)n(1+1/n) lim(1+1/x)x=e

              x+


Лекция №7

Тема: Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых.

Определение.

Пусть (x) и (x) – бесконечно малые при хх0 ()

  1.  (x) ~ (x) при хх0 () если lim (x)/(x)=1                                                                                   xx0 ()  
  2.  (x) и  (x) одинакового порядка при хх0 () если lim (x)/(x)=с0                                                                  xx0 ()  
  3.  (x) бесконечно малое более высокого порядка малости чем (x) при хх0 () если lim (x)/(x)=0                                                                                            xx0 ()  

Определение.

Пусть f(x) и g(x) – бесконечно большое при хх0 ()

1) f(x) ~ g(x) при хх0 () если lim f(x)/g(x)=1                                                                                             xx0 ()  

2)f (x) и  g (x) бесконечно большие одинакового порядка роста, если при хх0 () если limf(x)/g(x)=с                                                                                       xx0 ()  <

В частности, если с=1, то они эквивалентны

  1.  f (x) бесконечно большое более низкого порядка роста чем g (x) или иначе g(x) бесконечно большое более высокого порядка роста чем g(x)  при хх0 () если lim f (x)/g (x)=0                                                                             xx0 ()  

Примеры:

  1.  

sin(x) – бесконечно малое         

x при хх0 – бесконечно малое

Сравним их lim sin(x)/x=1  sin(x)~x

                                x0

при х0

       

  1.  1n(1+x) – бесконечно малое

х при х0 – бесконечно малое

Сравним их lim ln(1+x)/x= lim ln(1+x)1/x =1  

           x0                x0

ln(1+x) ~ x, при х0

  1.  x2 – бесконечно большие

             2х2+1, при х+  – бесконечно большие

Сравним lim x2/(2x2+1) = lim x2/x2(2+1/x2)=1/2

                x+  x+

то есть функция является бесконечно большой и

одинакового порядка. Замечание:  если одну из

функций  одинакового порядка роста домножить на

одинаковую const, то они станут эквивалентны.

                                

Определение:

  1.  пусть (х)=о(х) – бесконечно малое при хх0(). То мы говорим, что (х) и (х) при хх0 (), если     (х)=(х)(х), бесконечно малое при хх0 (). Другими словами - (х) – бесконечно малое более высокого порядка, чем (х) така как (х)/(х)=(х) – бесконечно малое, то есть lim (x)/(x)=0                                            x0 ()
  2.  пусть f(х)=оg(х) – бесконечно большое при хх0(). То мы говорим, что f(х) и g (х) при хх0 (), если     f (х)=(х)g (х). Другими словами - f (х) – бесконечно большое  более низкого порядка, чем g(х) так как f(х)/g (х)=(х) – бесконечно малое, то есть lim f (x)/g (x)=0                                              x0 ()

Шкала бесконечности.

Степенные бесконечности.

xn=o(xm), 0<n<m при х+. Из двух степенных бесконечностей сильнее та, у которой показатель степени больше.

Докажем:

xn=xm(xn/xm)=xm(1/x(m-n))=xm(x)    m-n>0   xm(x)o(xm)

Показательные бесконечности.

ах=о(bх), 1<a<b при x+. Из двух показательных бесконечностей сильнее та, у которой основание больше.

Докажам

ax=ax(bx/bx)=ax(a/b)x=bx(xo(bx)   (0<a/b<1)

Логарифмическая бесконечность

ln(x)=o(x), >0. Логарифмическая бесконечность слабее любой степенной бесконечности.

ln(x)<x x

lim ln(x)/x=lim [(ln(x)/(x/2x/2))((/2)/(/2))]=

x0           x0

lim  [(ln(x)/x/2)(2/(x/2)]

x0

Произведение бесконечно малых на ограниченную

равно бесконечно малой.

lim (ln(x)/x)=0 (lim(x))/x=(x)  ln=x(x)ox,

x0

x+

Показательная и степенная.

Xk=o(ax), k>0,a>1 x+ lim(xk)/(ax)=0

      x+

Теорема: Пусть (x) ~ 1(x) при xx0 ()

              (x) ~ 1(x) при xx0 ()

Тогда lim (x)/(x)=lim 1(x)/1(x)

                 xx0 ()                   xx0 ()

Доказательство:

lim(x)/(x)=lim[(x)1(x)1(x)]/[1(x)1(x)(x)]=lim((x)/(x))lim(1(x)/(x))lim(1(x)/1(x))=lim 1(x)/1(x) что 

x0              x0     x0              x0         x0                        x0  

и требовалось доказать. Замечание: аналогичное утверждение справедливо для двух бесконечно больших.

Пример:

lim sin(x)/3x=limx/3x=1/3

x0               x0

Определение: (главного слагаемого)

1(x)+2(x)+…+n(x), при xx0 ()

  Главным слагаемым в этой сумме называется то слагаемое по сравнению с которым остальные слагаемые являются бесконечно малыми более высокого порядка малости или бесконечно большие более низкого порядка роста.

1(x) – главное слагаемое, если 2(х)=о(1(х)),…,n(x)=o(1(x)) при xx0 ()

Конечная сумма бесконечно малых эквивалентна своему главному слагаемому:

1(x)+2(x)+…+n(x) ~ 1(x) , при xx0 ()  если 1(х) – главное слагаемое.

Доказательство:

lim [1(x)+2(x)+…+n(x)]/1(x)=lim[1(x)+1(x)(x)+…+1(x)(x)]/1(x)=lim[1(x)(1+1(x)+…+n(x))]/1(x)=1  xx0 ()      xx0 ()       xx0 ()

Пример:

lim (ex+3x100+ln3x)/(2x+1000x3+10000=lim ex/2x=lim ex/(ex(x))=+

 x+                  x+              x+ 

2x=o(ex)ex(x)

Основные эквивалентности.

ex-1 – бесконечно малое при х0. lim (ex-1)/x=1, то есть ex-1 ~ x при x0

      x0

1-cosx – бесконечно малое при х0. lim (1-cos x)/(x2/2)=lim{2sin(2x/2)]/[x2/2]=lim [2(x/2)2]/[x2/2]=1,

то есть

1-cos(x) ~ x2/2 при х0  и (1+x)p-1 ~ px при х0


Лекция №8

Тема: «Асимптотические формулы»

Формулы содержащие символ  о  - называются асимптотические.

1) lim [sin(x)/x]=1 (по определению конечного предела sin(x)/x=1+(x), где (х) – бесконечно малое при х0

     x0

 sin(x)=x+(x)x, где (х) – бесконечно малое при х0  sin(x)=x+ox, при х0; sin(x)~x, при х0

2) lim [ln(1+x)/x]=1 (по определению конечного предела ln(1+x)/x=1+(x), где (х) – бесконечно малое при

      x0

х0  ln(1+x)=x+(x)x, где (х) – бесконечно малое при х0  ln(1+x)=x+ox, при х0; ln(1+x)~x, при х0

3) lim [(ex-1)/x]=1 (по определению конечного предела (ex-1)/x=1+(x), где (х) – бесконечно малое при х0

     x0

(ex-1)=x+(x)x, где (х) – бесконечно малое при х0  (ex-1)=x+ox, при х0; (ex-1)~x, при х0; ex=1+x+o(x), при x0

4) lim [(1-cos(x)/(x2/2)]=1 (по определению конечного предела (1-cos(x)/(x2/2)=1+(x), где (х) – бесконечно

     x0

малое  при х0 1-cos(x)=(x2/2)+(x)x2/2, где (х) – бесконечно малое при х0  1- cos(x)=(x2/2)+ox2; при х0; 1- cos(x)~x2/2, при х0; cos=1-x2/2+o(x2), при x0

1) lim [((1+x)p-1)/px]=1 (по определению конечного предела ((1+x)p-1)/px =1+(x), где (х) – бесконечно

     x0

малое при х0 (1+x)p-1=px +(x)-p, где (х) – бесконечно малое при х0  (1+x)p-1=px+ox, при х0; (1+x)p-1~px,  при х0;(1+x)p=1+p(x)+o(x), при x0

Если f(x)~g(x), при хх0 (), то lim[f(x)/g(x)]=1  f(x)/g(x)=1+(x), где (х)–бесконечно малое при хх0 ()

     хх0 ()

 f(x)=g(x)+(x)g(x) f(x)=g(x)+og(x) при хх0 ()

Замечание: не всякие бесконечно малые, бесконечно большие можно сравнить.

Пример:

(x)=xsin(1/x), при х0

(х)=ф=х, при х0

(x)/(x)=sin(1/x)

lim[(x)/(x)]=lim[sin(1/x)] – который в свою очередь не существует.

x0                   x0

Эти бесконечно малые несравнимы.

Для удобства формул полагают по определению, что о(1)=(х), при хх0 ()

а01 n!=123….n   o!

Определение: Пусть y=f(x) определена в О(х0) и  lim f(x)=f(x0): y=f(x) при хх0 называется непрерывной в

      хх

точке х0 (то есть   ε>0  >0:  xO(x0)  f(x)Oε(f(x0))

Непосредственно из определения предела следуют следуемые теоремы о непрерывных функциях.

Теорема: Пусть f(x), g(x) – непрерывны в точки х0, тогда f(x)+g(x) – непрерывна в точки х0

Доказательство:1) f(x), g(x)  определена в О(х0)  f(x)+g(x) определена в О(х0)

                            2) lim (f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=f(x)+g(x) что и требовалось доказать

       хх      хх          хх

Теорема: Пусть f(x), g(x) – непрерывны в точки х0, тогда f(x)g(x) – непрерывна в точки х0

Доказательство:1) f(x), g(x)  определена в О(х0)  f(x)g(x) определена в О(х0)

                            2) lim (f(x)g(x))=limf(x)limg(x)=f(x)g(x) что и требовалось доказать

       хх   хх         хх

Теорема: Пусть f(x), g(x) – непрерывны в точки х0, тогда f(x)/g(x) – непрерывна в точки х0

Доказательство:1) f(x), g(x)  определена в О(х0)  f(x)/g(x) определена в О(х0)

                            2) lim (f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=f(x)/g(x) что и требовалось доказать

       хх    хх           хх

Теорема(об ограниченности непрерывной функции в окрестности точки). Пусть y=f(x) непрерывна в точки х0, тогда она ограниченна в некоторой окрестность этой точки.

Доказательство: limf(x)=f(x0), то есть  ε>0  >0 x: x-x0<  f(x)-f(x0)<ε . Предполагается, что выбрано так, что f(x) определена в соответствующих точках. О0)О(х0). Так как это справедливо для любого ε>0, то возьмем ε=1  >0  -1<f(x)-f(x0)<1; xO(x0)O(x0) f(x0)-1<f(x)<1+f(x0)x, то есть В<f(x)<A

xO(x0)O(x0)

Теорема:(о непрерывности сложной функции) Пусть y=f(x) непрерывна в точки х0, а z=g(y) непрерывна в точки y0=f(x0), тогда сложная функция  имеет вид z=g(f(x0)) – непрерывна в точки х0.

Доказательство: Зададим  ε>0 в силу непрерывности z=g(y) в точки у0  б>0x: y-y0|<б g(y)-g(x0)<ε

По найденному б>0 в силу непрерывности функции f(x) в точки х0  >0 x: x-x0< f(x)-f(x0)

ε>0 >0 x:x-x0< y-y0 g(y)-g(y0)<ε g(f(x))-g(f(x0)) то есть lim g(f(x))=g(f(x0))

                   xx

Замечание: можно переходить к пределу под знаком непрерывной функции limf(x)=limg(y)  limf(x)=f(x0)=y0                      xx         xx        xx

Непрерывность некоторых функций.

1) y=c (постоянная) непрерывна в х0 R lim c=c. Зададим ε>0 рассмотрим  разность f(x)-f(x0)=c-c=0<ε

                       xx

 x: x-x0< (>0)!

2) y=x непрерывна в  x0R, то есть lim x=x0. Зададим ε>0 рассмотрим  разность f(x)-f(x0)=x-x0<ε

                          xx

 x: x-x0< (>0)! =ε!

Следствие.

Многочлен p(x)=anxn+ an-1xn-1+…+a1x+a0

(an,an-1…a1,a0зададим число)

n=0,1,2,3…. непрерывен в любой точки х0 оси как сумма произведения непрерывной функции. Рациональная функция:

R(x)=p(x)/q(x). Частная двух многочленов непрерывна в любой точки х0 в которой q(x)0


Лекция №9

Тема: «Точки разрыва»

1) Доказать, что lim [((1+x)p-1)/px]=1

                    x0         

             y=(1+x)p-1

lim [((1+x)p-1)/px]=      x0 y0                 =lim ([ln(1+x)]/x)([(1+x)p-1]/[pln(1+x)]=lim ([ln(1+x)]/x)      

x0              (1+x)p=y+1          x0        x0

             p[ln(1+x)]=ln(y+1)

lim([(1+x)p-1]/[pln(1+x)]=lim y/[ln(y+1)]=1 что и требовалось доказать  (1+x)p-1~px при x0

   x0       y0                   (1+x)p=1+px+o(x) при х0

2) Доказать, что lim (ex-1)/x=1

                    x0         

             y=ex-1

lim (ex-1)/x=                  x0  y0                 =lim y/[ln(y+1)]=1 что и требовалось доказать

 x0             ex=y+1                     y0                

            x=ln(y+1)

 ex-1~x при x0

 ex=1+x+o(x) при х0

Классификация точек разрыва функции.

Определение: Пусть y=f(x) определена в О0), а в самой точке х0 может быть как и определена, так и неопределенна.

1) Точка х0 называется точкой разрыва 1ого рода функции, если

    а) Существует lim f(x)’=lim f(x)’’ , но либо функция неопределенна в точки х0 либо f(x0)b. Тогда точка х0 

                               xx+0          xx-0

         точка устранимого разрыва.    

        

                1,x=1

       Y=(x-1)/(x-1)=

             Не , x=1

    б) f(x)=cb

         

  Можно доопределить или переопределить в точке х0, так что она станет непрерывной.

lim f(x)=b;  lim f(x)=c, но bc

     xx+0                xx-0

Может быть и определена f(x0)=b

Или f(x0)=d

2)Точка х0 называется точкой разрыва 2ого рода функции если она не является точкой разрыва 1ого порядка, то есть если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

y=sin(1/x)

Основные теоремы о непрерывных функциях.

Теорема: Все основные элементы функции непрерывны в любой точки своей области определения.

Определение: (функции непрерывной на отрезке)

y=f(x) – называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в любой точке х(a,b). В точке х=а функция непрерывна справа, то есть lim f(x)=f(a), а в точке х=b функция непрерывна слева lim f(x)=f(b).

          xx+0       xx-0 

 Функция непрерывна на множестве D если она непрерывна в этой точке.

Теорема: (о сохранение знака непрерывной функции)

Пусть y=f(x) непрерывна в точке х0 и f(x0)>0 (f(x0)<0), тогда  f(x)>0 f(x)<0 непрерывна в некоторой точки О(х0)

Доказательство:  lim f(x)=f(x0) ε>0  >0 x: x-x0<  f(x)-f(x0)|<ε.

      xx 

Пусть f(x0)>0, выберем ε=f(x0)  f(x)-f(x0)<f(x0) xO(x0) (>0!)

-f(x0)<f(x)-f(x0)<f(x0); f(x)>0 xO(x0), если f(x0)<0, то ε=-f(x0)

Теорема Коши: ( о нуле непрерывной функции)

Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и на концах его принимает значение разных знаков f(a) f(b) <0, тогда  x0(a,b): f(x0)=0

Доказательство:

f(b)>0 f(a)<0

Разделим отрезок [a,b] пополам. Если  в середине отрезка f(x)=0, то всё доказано, если нет, то выберем ту половину отрезка, на концах которой функция принимает значение разных знаков. Выбранной отрезок поделим пополам. Если в середине нового отрезка f(x)=0, то всё доказано, если нет, то выберем ту половину от той половины, на концах которой функция принимает значение разных знаков и т.д.

[a,b][a1,b1][a2,b2]

Последовательность левых концов удовлетворяет отношению a<a1<a2<…<an<…<b

              bb1b2bn…>a 

{an}-ограниченная не убывающая   lim an=b f(a)<0             f(an)<0 n  

        x+    [anbn]=(b-a)/2n 0 при n

{bn}-ограниченная не возрастающая  lim bn= f(b)>0             f(bn)>0 n 

           x+ 

В силу непрерывности функции    lim f(an)=f (lim bn)=f()0   lim (bn-an)=-= lim (b-a)/2n=0=

       x+             x+       x+          x+ 

f()0

          f()=0 x0=

f()=f()0

  Условие непрерывности функции нельзя отбросить: f(b)>0; f(a)<0

Теоремы Вейштрасса.

1) Теорема: Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда она ограниченна на нём.

   Замечание: а) Условие непрерывности нельзя отбросить

                            Неограниченна сверху неограниченна

           б) Нельзя заменить отрезок на интервал или

 полуинтервал.

 Непрерывна на (0;1]

2) Теорема: Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Среди её значений есть наибольшее и наименьшее.

   Замечание: а) Множество [0;1] наибольшее значение 1М

    наименьшее значение 0 М

          б) Множество (0;1]=М наибольшее значение 1М

          нет наименьшего

          в) Множество [0;1)=M нет наибольшего

          наименьшее значение 0 М

          г) Множество (0;1)=М нет ни того не другого.

  Условие отрезка нельзя заменить на интервал или полуинтервал.

x(0;1] непрерывна на (0;1] нет наибольшего значения



Лекция №10

Тема: «Коши, производные»

Теорема: (Коши о промежуточных значениях)

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах принимает значение разные значения.

f(a)=A f(b)=B AB. Тогда С лежащею между А и В, х0(a,b): f(x0)=C. Другими словами нет точек которые не являются значением отрезка.

Доказательство: A<B,  C(A,B) (x)=f(x)-C.

Эта функция непрерывна на отрезке [a,b]

(a)=f(a)-c=A-C<0         по теореме Коши №11  x0(a,b):(x0), то естьf(x0)-C=0 f(x0)=c

(b)=f(b)-c=B-C>0

Замечание: Условие непрерывности нельзя отбросить

[c,d][A,B]

[c,d)E(f)

Теорема: (о существование и непрерывности обратной функции) «Без доказательства»

Пусть на множестве D задана непрерывная возрастающая или убывающая функция y=f(x). Тогда на множестве её значений Е определена обратная ей функция x=g(y), которая непрерывна и возрастает или убывает на множестве Е.

                           Производная функции.                      Х

Пусть y=f(x) определена в O(x0)

x=x-x0 – называется приращением аргумента в т х0                          Х

          Х  Х

Разность значений функций.

y=f(x0)=f(x)-f(x0)=f(x0+x)-f(x0) – называется приращением функции в точки х0. Через эти обозначения можно определить непрерывность функций:

f(x) – неопределенна в точки х0, если она определена в O(x0) и lim y=0

                     x0

lim[f(x)-f(x0)]=lim[f(x)-f(x0)]0    lim[f(x)]=f(x0)]

x-x0                  xx                      xx

Определение непрерывной функции в точки приращения:  

f(x) – неопределенна в точки х0, если она определена в O(x0) и lim y=0

                     x0

Определение: (производной функции)

Пусть y=f(x) определена в О(х0) и  lim[∆y/∆x]<, тогда этот предел называется производной функции f(x) в

           х0

точке х0.

Обозначения:

f’(x0), y’(x0), dy/dx,  df(x0)/dx=df(x)/d(x)

То есть f’(x0) по определению = lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)limy/xdy/dx

               x0         x0

Физический смысл производной.

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки:

       S

             x

           x0             x

         t0             t  

s(t)x(t); s=x(t)=x(t)-x(t0)

s/t=[x(t)-x(t0)]/[t-t0]=vcp. Если t0

тогда vcpvмнг 

lim s/t=lim[x(t)-x(t0)]/[t-t0]=vмнг

t0      tt

Геометрический смысл производной.

y’(x0)=limy/x – производная функции у(х) и в точке х0.

           х0

y=y(x0+x)-y(x0)

y’(x0)=tgкас где кас – угол наклона в точке (х0;y(x0))  к оси

Основные теоремы о производной.

Теорема: Пусть  f’(x) и g’(x), тогда [f(x)+g(x)]’= f’(x)+g’(x)

Доказательство: следует непосредственно из определения производной  и свойств предела суммы.

Теорема: (связи между непрерывностью функции и существование производной)

Пусть  f’(x) функция f(x) – непрерывна.

Доказательство: Пусть f(x) определена в О(х0) и   lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f’(x0)< [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f(x0)+(x-x0)2

xx      

[f(x)-f(x0)]=f’(x0)(x-x0)+(x-x0)(x-x0) при хх0

lin[f(x)-f(x0)]=limf’(x0)(x-x0)+lim(x-x0)(x-x0)=0+0=0linf(x)=f(x0) то есть f(x) непрерывна в точки х0

xx                xx            xx                xx

Замечание: обратное утверждение неверно, из-за непрерывности функции в точке х0 не следует существование функции в этой точки.

y=х

Непрерывна в точки х0=0

 limx, x0

 x+0

lim|x|=     =0

lim(-x), x<0

 x-0

y(0)=0

limy(x)=limy(x)=y(0)=0   limy(x)=y(0)=0  функция непрерывна

x+0 x-0            x0

limy/x-не существует, действительно х+0y(x)=x

x0

lim[y(x)-y(0)]/x=lim(x-0)/x=1

x+0  x+0

x-0y(x)=-x

lim[y(0)-y(x)]/x=lim(0-x)/x=-1 то есть limy/x – не существует

x-0  x-0              х0

Теорема: Пусть  u’(x) и v’(x), тогда (uv)’=uv+vu

Доказательство: Зададим приращение х в точки х. Рассмотрим: lim[∆(uv)]/x=

                  x0  

lim[1/∆x][u(x+∆x)v(x+∆x)-u(x)v(x)]=lim[1/∆x][ u(x+∆x)v(x+∆x)-u(x)v(x+∆x)+u(x)v(x+∆x)-u(x)v(x)=

x0             x0     

lim[(v(x+x))(u(x+x)-u(x))]/x+lim[(u(x))(v(x+x)-v(x))]/x=v(x)u’(x)+u(x)v’(x)

x0    x0    

Теорема: (о произведение частного)

Пусть  u’(x) и v’(x), v’(x)0 в О(х), тогда (u/v)’=[uv-vu]/v2

Доказательство: (u/v)’=[u(1/v)]’=[u’(1/v)]+[(1/v)’u]. Функция u(x) и v(x) –непрерывны в точки х0.

lim[(1/v)/x]=lim[1/x][1/(v(x+x))-1/v(x)]=lim[[v(x)-v(x-x)]/[xv(x)x(x+x)]]-[v’(x)/v2(x)]

x0                  ∆x0             ∆x0

(u/v)’=u’(1/v)-(uv)’/v2=[uv-uv’]/v2 что и требовалось доказать

Таблица производных

 y=sinx

(sinx)’=lim[sin(x+x)-sinx]/x=lim[2sin(x/2)cos((2x+x)/2)]/x=lim[2(x/2)cos(x+(x/2))]/x=cosx

   x0    x0

(sinx)’=cosx

где     sin(x)

    (sin(x))’=cos(x)

y=cos(x)

(cos(x))’=lim[cos(x+x)-cos(x)]/x=lim[-2sin(x/2)sin((2x+x)/2)]/x=lim[-2(x/2)sin(x+(x/2))]/x=-sinx

   x0                         x0               ∆x0

(cos(x))’=-sinx

где     cosx

    (cos(x))’=-sin(x)

y=tg(x)

(tg(x))’=(sin(x)/cos(x))’=[(sin(x))’cos(x)-(cos(x))’sin(x)]/cos2x=[cos2x+sin2x]/cos2x=1/cos2x

(tg(x))’=1/cos2x

где     tg(x)

    (tg(x))’=1/cos2x


Лекция №11

Тема: «Производные, дифференциал»

 y=xn

y’(x)=lim[(x+x)n-xn]/x=1=lim[xn(1+(x/x))-1]/x=/x/x0,x0\=lim[xn(∆x/x)n]/x=nxn-1

          x0         x0            x0

(xn)’=nxn-1

                            y=x^3

 

 y’=3x^2

Рассмотрим когда х=0 y’(0)=lim(x)n/x=lim(x)n-1=/n>1\=0 если n=1/0,n>1;1,n=1\

         x0  ∆x0

Дифференциал функции.

Определение: Пусть y=f(x) определена в некоторой О(х0) – она называется дифференцируемой в точке х0, если её приращение в этой точки представимо в виде:

y=f(x0)=Ax+(x)x)1

(0)=0     A=const

Определение: линейная х часть приращение дифференцируемой функции называется дифференциалом функции в точке х0:

dy=df(x0)Ax

Теорема: Если функция дифференцируема в точке х0 то A=f’(x0), то она имеет производную в этой точке, то A=f’(x0); наоборот если  функция имеет производную в этой точке, то она дифференцируема в этой точке – называется дифференциалом.

Доказательство: Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х0, то есть в некоторой О(х0) справедливо равенство f(x0)=Ax+(x)x1; (0)=0. Поделим обе части этого равенства на х и приведём к пределу при ∆х0:

lim(∆f(x0))/∆x=lim(A+(x))=A. Этот предел существует, меньше , тогда по определению этот предел есть

x0                   ∆x0  

производная.

Доказательство: (в обратную сторону) Пусть в точке х0  f’(x0)(<) – это означает, что f(x) определена в некоторой О(х0) и  lim(∆f(x0))/∆x=f’(x0) по определению предела следует, что в некоторой О(х0)

         ∆x0               

(∆f(x0))/∆x=(х)+f’(x0) при х0  f(x0)=f’(x0)+(x)x, так как lim(x)=0, то  в точке х0 y (x) может

              х0

быть лишь устранимым разрывом . Устраним его, определим и доопределим:

(0)=0, тогда ∆f(x0)=f’(x0)∆x+(x)x  A=f’(x0) из установленного соответствия получим выражения для дифференцируемой функции df(x0)=f’(x0)x

Следствие: по определению полагают дифференциал независимой переменной равной её приращению

dx=x (х - независимая переменная)

df(x)=f’(x)dx

f(x)=x – вычислим дифференциал f’(x)=1   df(x)=dx=f(x)x=1x

Замечание:   дифференциал функции зависит от двух переменных – от самой точки х и от ей приращения

y=cosx      x0=/2   x=/180

y’=-sinx     y’(/2)=-sin(/2)=-1

dy(/2)=-1x=-1/180=-/180

Теорема: Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х0, а z=g(y) дифференцируема в точке у0=f(x0), тогда сложная функция z=g(f(x) - дифференцируема в точке х0 и z’(x0)=g’(f)f’(x)

Доказательство: (1) z=g’(y0)y+(y)y

  (2) y=f(x0)x+(x)x       (0)=0    (0)=0

Подставим в первое равенство второе:

z=g’(y0)f(x0)x+g’(y0)(x)x+[f’(x0)+(x)x][f’(x0)x+(x0x]

limz/x=limg’(x0)f’(x0)+limg’(x0)(x)+lim (f’(x0)+(x)x)[f’(x0)+x]  z’(x0)=g’(y0)f’(x0) что и требовалось

x0      x0  x0                   x0

доказать.  

Теорема: Пусть функция y=f(x) возрастает (убывает) в О(х0) и дифференцируема в точке х0. Тогда обратная у ней функция x=g(y) дифференцируема в точки y0=f(x0), причём g’(y0)=1/f(x0)

Доказательство: из дифференцируемой функции f(x) в точке х0 и из монотонности следует существование обратной функции в точке х0 и её непрерывность lim[y(y0)]/y=  y0, то у0 в силу строгой

     у0  монотонности функции и обратной  =

к ней следует х0                      

=limx/y=lim1 /(∆y/∆x)=   в силу непрерывности следует   =1/[limy/x]=1/[limf(x0)/x]=1/f(x0)  f(x0)0

    y0           y0                     у0, то х0 и наоборот            x0        x0

y=ax

y’(x)=lim[ax+x-ax]/x=lim[ax(ax-1)]/x=lim[ax(exlna-1)]/x=/x0, то xlna0\=lim[axxlna]/x=axlna

            ∆x0         x0          x0                            x0

y’=axlna, частный случай y=ex  (ex)’=ex

                            y=x^2

 

 y’=x^2 lnx

y=lnx

y’=lim[ln(x+x)-lnx]/x=lim[ln((x+x)/x)]/x=lim[ln(1+x/x)]/x=/x/x0 при x0\=lim(x/x)/x=1/x

    x0   x0          x0            x0

(lnx)’=1/x

                            y=lnx

 

 y’=1/x

y=logax=lnx/lna (logax)’=1/xlna

                            y=lgx

 

 y’=1/xln10

y=arcsinx обратная функция x=siny  x[-1;1] y[-/2;/2]

(arcsinx)’x=x0=1/(siny)’y0=y=1/cosyy0=y=

y[-/2;/2], cosy0 cosy>0, если y[-/2;/2] то есть x1

=1/(1-sin2y)y=y0=1/(1-(sinarccosx)2)x=x0=1/(1-x02)

(arcsinx)’=1/(1-x2)

                             y=arcsinx

 

 y’=1/(1-x^2)

y=acrcosx, обратная x=cosy x[-1;1] y[0;]

(arcosx)’=1/(cosy)’y=y0=1/-sinyy=y0=-1/(1-cos2y)y=y0=-1/(1-(cosarccosy)2)x=x0=-1/(1-x02)

(arcosx)’=-1/(1-x2)

                              y=arccosx

 

 y’=--1/(1-x^2)

y=arctgx обратная функция x=tgy y(-/2;/2)

(arctgy)’=1/(tgy)’=cos2y= / 1+tg2y=1/cos2y \ =1/(1+x2)

(arctgy)’=1/(1+x2)

(arcctgy)’=-1/(1+x2)

                              y=arctgsx

 

 y’=-1/ (1+x^2)

                              y=arcctgx

 

 y’=--1/ (1+x^2)

Гиперболические функции.

chx=(ex+e-x)/2

shx=(ex-e-x)/2

chx2-shx2=1

chx2+shx2=ch2x

ch(-x)=chx

sh(-x)=-shx

 

     chx  shx

cthx=chx/shx

thx=shx/chx

(chx)’=sh(x)

(shx)’=ch(x)

(thx)=1


Лекция №12

Тема: «Линеаризация»

Геометрический смысл дифференциала функции и уравнение касательной.

f’(x0)=tg

уравнение прямой : Y=kx+b

y0=f(x0)=kx0+b

k-угловой коэффициент прямой

k=tg=f’(x0)

Y=f(x0)+f(x0)-f’(x0)x0

b=f(x0)-kx0

Y=f(x)+f’(x0)(x-x0)

f(x0)=f’(x0)x+(x)x при х0  в некоторой

O(x0) f(x0)=f’(x0)+f’(x0)