35841

Методы расчета линейных электрических цепей постоянного тока

Шпаргалка

Физика

После нахождения контурных токов токи которые протекают в совместных ветвях находят как разности соответствующих контурных токов Метод узловых потенциалов Ток в любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи содержащей ЭДС. Ток в данной цепи не изменяется если ветвь b включает в себя 2 разные и противоположно направленные ЭДС Ток протекающий через данную цепь можно представить как сумму двух токов где I’ – ток вызванный ЭДС E1 и всеми источниками ЭДС и тока активного двухполюсника; I’’ – ток вызванный одной ЭДС E2 Можно...

Русский

2013-09-20

682 KB

58 чел.

2.5 Методы расчета линейных электрических цепей постоянного тока

Первый закон Кирхгофа

Сумма токов входящих и исходящих из узла равна нулю.

Второй закон Кирхгофа  

Вариант 1) алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме э. д. с. вдоль того же контура:(в каждую из сумм соответствующие  слагаемые входят со знаком плюс, если они совпадают с направлением обхода контура, и со знаком минус, если они не совпадают с ним);

Вариант 2) алгебраическая сумма напряжений вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

Применение законов Кирхгофа для поиска токов в схеме.

Перед тем как составлять уравнения, необходимо произвольно выбрать:

а) положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме;

б) положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа.

С целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления обхода выбирать одинаковыми, например по часовой стрелке.

Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу узлов без единицы, т. е. у-1.

Уравнение для последнего у-го узла не составляют, так как оно совпало бы с уравнением, полученным при суммировании уже составленных уравнений для у-1 узлов, поскольку в эту сумму входили бы дважды и с противоположными знаками 'токи ветвей, не подходящих к у-му узлу, а токи ветвей,  подходящих к у-му узлу, входили бы в эту сумму со знаками, противоположными тем, с какими они вошли бы в уравнение для у-го -узла.

По второму закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу ветвей без источников тока (в — вит), за вычетом уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, т. е. (в - вИТ) -  (у-1)=в - вИТ - у+1.

Составляя уравнения по второму закону Кирхгофа, следует охватить все ветви схемы, исключая лишь ветви с источниками тока.

Метод контурных токов. При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют токи ветвей через контурные токи. Основную суть метода покажем на примере. В данном примере мы имеем 3 контура, выберем направление тока в контурах. И составим уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого контура.

 

Раскрыв скобки получим

Перепишем в общую систему метода контурных токов

где  - собственное сопротивление 1 контура.

– сопротивление совместной ветви 1го и 2го контуров.

– сопротивление совместной ветви 1го и 3го контуров.

Далее полученная система уравнений решается любым из методов решения линейных систем уравнений, например методом Крамера или Гаусса-Жордана. После нахождения контурных токов токи которые протекают в совместных ветвях находят как разности соответствующих контурных токов

Метод узловых потенциалов

Ток в любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащей ЭДС. Для того, чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы ветвей, называют методом узловых потенциалов.

Пусть в схеме n узлов. Т. К. любая точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения, то один из узлов схемы можно заземлить, то есть . Таким образом число неизвестных n–1. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону Кирхгофа.

Алгоритм:

  1.  Находим узлы схемы
  2.  Принимаем потенциал одного из узлов схемы равным нулю
  3.  Составляем систему уравнений в общей форме. Количество уравнений равно количеству потенциалов

, где

– сумма проводимости ветвей, сходящихся в узле k;

– сумма проводимости ветвей, соединяющих узлы k и m, взятая со знаком минус;

– узловой ток k-ого узла.

Если к узлу k подтекает ток от источника тока, то он должен быть включен в  со знаком плюс, если утекает, то со знаком минус. Если между двумя узлами нет ветвей, то соответствующая проводимость равна нулю.

После решения данной системы относительно потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома для участка ветви, содержащего ЭДС.

Активные и пассивные двухполюсники

В любой электрической схеме можно мысленно выделить какую-то одну ветвь, а вся остальная часть схемы, независимо от её структуры и сложности,  изображается некоторым прямоугольником. По отношению к выделенной ветви вся схема обозначается прямоугольником, представляющим собой двухполюсник. Таким образом двухполюсник – обобщенное название схемы, которая двумя выходными зажимами (полюсами) присоединена к выделенной ветви.

Если в двухполюснике есть ЭДС и источник тока, то такой двухполюсник активный:

Если двухполюсник не содержит в себе ЭДС или источника тока, то такой двухполюсник называют пассивным:

Метод эквивалентного генератора

По отношению к выделенной ветви при расчете двухполюсник можно заменить эквивалентным генератором, ЭДС которого равно напряжению холостого хода на зажимах выделенной ветви, а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсника. Пусть задана некоторая схема и требуется найти ток в одной из её ветви.

Ток в данной цепи не изменяется, если ветвь ab включает в себя 2 разные и противоположно направленные ЭДС

Ток, протекающий через данную цепь можно представить как сумму двух токов , где

I’ – ток, вызванный ЭДС E1 и всеми источниками ЭДС и тока активного двухполюсника;

I’’ – ток, вызванный одной ЭДС E2

Можно нарисовать две эквивалентные схемы.

– напряжение холостого хода

Выберем ЭДС Е1 так, чтобы ток , то есть отсутствие тока в ветви ab эквивалентно её размыканию.

Если     

Т.к.

                 

– входное сопротивление двухполюсника

– сопротивление ветви ab

Эквивалентно

Совокупность ЭДС  и  можно рассматривать как некий эквивалентный генератор, где – внутреннее сопротивление, а  – его ЭДС. Таким образом по отношению к выделенной ветви всю оставшуюся часть можно заменить эквивалентным генератором с назначенными значениями параметров. Метод расчета тока в выделенной ветви, основанного на замене активного двухполюсника эквивалентным генератором, принято называть методом эквивалентного генератора (методом активного расчета).

Последовательность расчета:

  1.  Находим напряжение на зажимах разомкнутой ветви
  2.  Определяем входное сопротивление всех схемы, по отношению к зажимам ab при закороченных источниках ЭДС (ЭДС равно нулю, сопротивление бесконечно)
  3.  Подсчитываем ток по формуле

Если сопротивление ветви ab равно нулю, то неё имеет место режим короткого замыкания и соответственно ток будет находиться по формуле


2.6 Основа символьного метода расчетов цепей переменного Sin токов

Сущность состоит в том что при Sin токе можно перейти от уравнений состояния  для мгновенных значений,  являющихся дифференциальными уравнениями, к  алгебраическим уравнениям составленных относительно комплексов тока и ЭДС, этот переход основан на том, что уравнений по закону Кирхгофа для установившегося процесса мгновенного значения тока  i заменяют , мгновенное значение напряжения на активном напряжении на , по фазе совпадает с током мгновенное напряжение на индуктивности  опережает ток на 90 градусов мгновенное напряжение на емкости заменяют комплексом отстает от тока на 90 град. И мгновенные ЭДС  

 

для данной схемы:

; ;

Перейдя от этого выражения к комплексной форме оно будет выглядеть следующим образом  ; ;

 

Данный метод называют символическим, так как напряжения и токи заменяют их комплексными изображениями или символами…

Пример найти токи в схеме sin тока. Определим направление токов в контурах.

Сразу перейдем от мгновенных значений токов и напряжений к их изображениям , , ,

Запишем в общем виде уравнения для контурных токов:

Где  – собственное сопротивление 1го контура,  – сопротивление 2го  контура,  – сопротивление общей ветви обоих контуров взятое с отрицательным знаком.

 

Составим определитель системы

Дальше находим

; ; ;

2.7  Переходные процессы в электрических цепях, общие термины и определения.

Под процессом в электрических цепях понимается процесс перехода цепи из одного установившегося состояния  в другое. При установившихся режимах в цепях пост. тока напряжения и токи неизменны во времени, а в цепях перемен. тока они представляют собой периодические функции времени. Установившиеся режимы при заданных и неизменных параметрах цепи полностью определяются только источником энергии.

Переходные процессы возникают при любых изменениях режима электрической цепи: при подключении и отключении цепи, при изменении нагрузки, при возникновении аварийных режимов (короткое замыкание, обрыв провода и т.д.). Изменения в электрической цепи можно представить в виде тех или иных переключений, называемых в общем случае коммутацией. Физически переходные процессы представляют собой процессы перехода от энергетического состояния, соответствующего до коммутационному режиму, к энергетическому состоянию, соответствующему после коммутационному режиму.

Переходные процессы обычно быстро протекающие: длительность их составляет десятые, сотые, а иногда и миллиардные доли секунды. Сравнительно редко длительность переходных процессов достигает секунд и десятков секунд.

В общем случае в электрической цепи переходные процессы могут возникать, если в цепи имеются индуктивные и емкостные элементы, обладающие способностью накапливать или отдавать энергию магнитного или электрического поля. В момент коммутации происходит перераспределение энергии между индуктивными, емкостными элементами цепи и внешними источниками энергии, подключенными к цепи.

ЗАКОНЫ КОМУТАЦИИ

Изменения энергии магнитного и электрического полей не могут происходить мгновенно, и, следовательно, не могут мгновенно протекать процессы в момент коммутации, по причине необходимости наличия бесконечной мощности p = dW/dt  для скачкообразного изменения энергии в индуктивных и емкостных элементах.

Таким образом, переходные процессы не могут протекать мгновенно, так как невозможно в принципе мгновенно изменять энергию, накопленную в электромагнитном поле цепи. Теоретически переходные процессы заканчиваются за время t→∞. Практически же переходные процессы являются быстропротекающими, и их длительность обычно составляет доли секунды. Так как энергия магнитного WМ и электрического полей WЭ описывается выражениями, то ток в индуктивности и напряжение на емкости не могут изменяться мгновенно. На этом основаны законы коммутации.

Первый закон коммутации - ток в ветви с индуктивным элементом в начальный момент времени после коммутации имеет то же значение, какое он имел непосредственно перед коммутацией, а затем с этого значения он начинает плавно изменяться. Это обычно записывают в виде iL(0-) = iL(0+), считая, что коммутация происходит мгновенно в момент t = 0.

Второй закон коммутации – напряжение на емкости в начальный момент после коммутации имеет то же значение, какое оно имело непосредственно перед коммутацией, а затем с этого значения оно начинает плавно изменяться: UC(0-) = UC(0+).

В электрических цепях с резистивными элементами энергия электромагнитного поля не запасается, вследствие чего переходные процессы не возникают, т.е. в таких цепях стационарные режимы устанавливаются мгновенно, скачком.

В действительности любой элемент цепи обладает каким-то сопротивлением r, индуктивностью L и емкостью С и существуют тепловые потери.

Математические основы анализа переходных процессов

При анализе переходных процессов в электрических цепях считается, что:

  1.  рубильники включаются и размыкаются мгновенно, без возникновения электрической дуги;
  2.  время переходного процесса, теоретически бесконечно длительное, ограничивают условным пределом – длительностью переходного процесса;
  3.  установившийся режим после коммутации рассчитывают при теоретическом условии t→∞, т.е. когда после коммутации прошло бесконечно большое время.

Установившийся режим до коммутации рассчитывают обычно в предположении, что к моменту коммутации в цепи закончился предыдущий переходный процесс.

Пусть в некоторой цепи внезапно изменяется сопротивление. До коммутации в цепи существовали сопротивления R0 и R, после коммутации остается только R. Требуется определить переходный ток i. Электрическое состояние схемы после коммутации описывается уравнением, записанным на основании II закона Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений:(*)

Если это уравнение продифференцировать по времени получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка, у которого в качестве постоянных коэффициентов выступают параметры цепи или их комбинации:  (**)

В правой части дифференциальных уравнений, описывающих электрическое состояние цепей, обычно находится напряжение (или ток) источника (внешняя вынуждающая сила), то частное решение находят из анализа установившегося режима после коммутации. Отсюда этот режим называют принужденным и соответственно токи или напряжения, найденные в данном режиме, называют принужденными. Расчет принужденного режима, когда внешние источники вырабатывают постоянную или синусоидальную э.д.с. (ток), не представляет трудностей и может быть осуществлен любым известным методом.

Однородное дифференциальное уравнение получают из выражения (**) путем "освобождения" его от правой части. Физически это означает, что исследуемая цепь "освобождается" от внешней вынуждающей силы. Токи или напряжения, найденные при решении однородного дифференциального уравнения, называются свободными. Свободные токи и напряжения являются результатом действия внутренних источников схемы: э.д.с. самоиндукции, возникающих в катушках, и напряжений на конденсаторах, когда и те, и другие не уравновешены внешними источниками.

Схематически анализ переходного процесса может быть представлен как результат наложения двух режимов: принужденного и свободного. Переходный ток в соответствии с принципом суперпозиции равен сумме установившегося и свободного токов:i = iу + iсв.

Существуют различные методы решения однородного дифференциального уравнения, полученного из выражения (**):(***)

Классический метод анализа переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений. Решение находят в виде суммы экспонент: iсв = A1 · ep1t + A2 · ep2t, (****)где число слагаемых равно порядку дифференциального уравнения.

После подстановки экспонент Ak · epkt в исходное уравнение (***) и дифференцирования можно получить характеристическое уравнение, из которого определяют корни p1, p2. Постоянные интегрирования A1, A2 находят из начальных условий, которые определяют с помощью законов коммутации.

Различают независимые и зависимые (после коммутационные) начальные условия. К первым относят значения токов через индуктивности и значения напряжений на емкостях, известные из до коммутационного режима работы цепи.

Значения остальных токов и напряжений при t = 0 в после коммутационной схеме, определяемые по независимым начальным значениям из законов Кирхгофа для схемы после коммутации, называют зависимыми начальными значениями.

Классический метод анализа применяют обычно для анализа процессов в несложных электрических цепях.

Существует также операторный метод расчета переходных процессов. В данном методе производится переход через прямое преобразование Лапласа от функций, зависящих по  времени, к их изображениям зависящих от дифференциального оператора p, что значительно упрощает анализ переходных процессов в сложных цепях.

2.8 Операторный метод расчета переходных процессов.

Сущность операторного метода заключается в том, что функции f(t) вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция F(p) комплексной переменной p=s+ , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

Изображение  заданной функции  определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

.    

(1)

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:

или    

Следует отметить, что если оригинал  увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

Таблица 1. Изображения типовых функций

 Оригинал

А

 Изображение    

 Некоторые свойства изображений

  1.  Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:.
  2.  При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:.

С использованием этих  свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что .

Изображения производной и интеграла

В курсе математики доказывается, что если , то , где  - начальное значение функции .

Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать

или при нулевых начальных условиях .

Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности .

Аналогично для интеграла: если , то .

С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:.

Тогда      

или при нулевых начальных условиях,

откуда операторное сопротивление конденсатора.

усть    имеем   некоторую  ветвь      (см. рис. 1),   выделенную   из    некоторой

сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.

Для мгновенных значений переменных можно записать:.

Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:.

Отсюда(2) , где  - операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.

Следует обратить внимание, что операторное сопротивление  соответствует комплексному сопротивлению  ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на .

Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.

Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа:   алгебраическая  сумма  изображений  токов, сходящихся в узле, равна нулю

.

Второй  закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений  ЭДС,  действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура

.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде .

В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 3   для двух    случаев: 1 - ; 2 - .

В первом случае в соответствии с законом Ома .

Тогда

и

.

Во втором случае, т.е. при , для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

откуда ;  и .

Переход от изображений к оригиналам

Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:

1. Посредством обратного преобразования Лапласа,

которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:.

На практике этот способ применяется редко.

2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями

В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.

Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать.

Тогда в соответствии с данными табл. 1,

что соответствует известному результату.

3. С использованием формулы разложения

Пусть изображение  искомой переменной определяется отношением двух полиномов,

где . Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей

,       

  (3)

где  - к-й корень уравнения .

Для определения коэффициентов  умножим левую и правую части соотношения (3) на ( ):.

При    .

Рассматривая полученную неопределенность типа  по правилу Лопиталя, запишем.

Таким образом,.

Поскольку отношение  есть постоянный коэффициент, то учитывая, что , окончательно получаем

.           

(4)

Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения  равен нулю, т.е. , то уравнение (4) сводится к виду.

В заключение раздела отметим, что для нахождения начального  и конечного  значений оригинала можно использовать предельные соотношения

которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38251. Создание предприятия и его регистрации 95 KB
  Предпринимательство – это самостоятельная инициатива, систематическая, на собственный риск, деятельность по производству продукции, выполнению работ, оказанию услуг и занятию торговлей с целью получения прибыли. Предпринимателями могут быть граждане Украины, других государств, юридические лица всех форм собственности установленных Законом «О собственности».
38252. Бухгалтерский баланс 67 KB
  Баланс bislnx – это отчёт о финансовом состоянии предпр. Активы – это ресурсы контролируемые предпр. Экономическая выгода – это потенциальная возможность получения предпр. Таким образом – активы это не все ресурсы имеющиеся на предприятии а только те из них которые принесут в будущем эконом.
38253. Хозяйственные операции и их влияние на статьи баланса 68.5 KB
  пополнен резервный капитал за счёт прибыли.100 и увеличилась кредиторская задолженность в расчётах с поставщиками в пассиве стр. Уменьшился текущий счёт в активе стр.230 и уменьшилась кредиторская задолженность в расчётах с поставщиком в пассиве стр.