35854

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре

Доклад

Математика и математический анализ

Ранг матрицы Пусть прямоугольная матрица размера : . Назовем арифметическими мерными векторами упорядоченные наборы чисел строки матрицы и обозначим их через . Элементы стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов образуют определитель порядка который называется минором порядка матрицы .

Русский

2013-09-20

169.21 KB

10 чел.

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

Ранг матрицы

Пусть - прямоугольная матрица размера :

.

Назовем арифметическими -мерными векторами упорядоченные наборы чисел, строки матрицы , и обозначим их через , ,…,.

Нулевым арифметическим вектором назовем .

Будем говорить, что система векторов линейно зависима, если , не все равные нулю, что .

Система векторов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой.

Определение 3. Пусть - прямоугольная матрица размера . Выберем в произвольные строк и столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют определитель порядка , который называется минором порядка матрицы .

Определение 4. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы .

Обозначение ранга : .  

Теорема 1 (о базисном миноре). Столбцы, содержащие базисный минор, линейно независимы. Любой столбец матрицы является линейной  комбинацией  базисных  столбцов  одного  и того же базисного минора.

Доказательство. Пусть и отличен от нуля минор , расположенный в первых строках и первых столбцах матрицы , т.е. в левом верхнем углу:

.

Докажем сначала, что арифметические векторы

, ,

составляют линейно независимую систему.

Допустим, что линейно зависимы, тогда , , что  , т.е. выполняется система тождеств:

                           (7.4)

Первые равенств системы (7.4) можно переписать в виде

.

Учитывая, что , получим

;

-й столбец определителя оказался линейной комбинацией остальных. Тогда - противоречие, и, следовательно, векторы линейно независимы.

Докажем теперь, что любой столбец матрицы является линейной комбинацией первых столбцов.

Рассмотрим вспомогательный определитель

,

полученный "окаймлением" минора элементами -й строки и -го  столбца, . Утверждается, что .

Действительно, возможны два случая.

Случай 1: . Тогда - минор матрицы порядка и по условию (наивысший порядок отличных от нуля миноров равен , следовательно, все миноры порядка равны нулю).

Случай 2: . Тогда содержит две одинаковые строки, следовательно, .

Итак, всегда . Разложим по последней строке.

Отметим, что если - алгебраическое дополнение к элементу из последней строки определителя , то

,

и не зависит от  ( был номером строки в матрице , а в эти элементы занимают -ю строку). Поэтому алгебраические дополнения к элементам в , , можем обозначить .

.

Полагая , получим равенств:

,

,

…………………………………………

,

или в матричной форме:

,

т.е. -й столбец матрицы оказался линейной комбинацией первых столбцов с коэффициентами .

Было принято, что .

Если , то

.

Таким образом, любой столбец матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов.

Теорема доказана.

Замечание. Аналогичное утверждение справедливо и для строк: строки, содержащие базисный минор, линейно независимы, через них линейно выражаются все остальные строки матрицы.

Теорема 2. Если в матрице некоторый минор порядка отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то .  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1341. Экономический анализ фирмы Престиж 436.5 KB
  Отклонение в стоимости материалов. Предполагаемый пробег автомобиля. Повышающий коэффициент для расчета амортизации. Предполагаемое количество продукции, выпущенной с использованной технологии раздвижения дверей. Пособие по временной нетрудоспособности.
1342. Разработка корпоративной мультисервисной сети передачи данных филиала компании ООО Скартел 521.5 KB
  Обоснование необходимости создания мультисервисной корпоративной сети. Проектирование мультисервисной корпоративной сети. Расчет характеристик пропускной способности мультисервисных пакетных сетей при реализации метода инжиниринга трафика. Обоснование выбора оборудования на основе метода расстановки приоритетов. Расчет срока окупаемости проекта.
1343. Дослідження страхів у дітей старшого дошкільного віку 441.5 KB
  Емпіричне вивчення проблеми страху у дітей дошкільного віку. Загальнi уявлення про природу страху. Огляд використаних діагностичних методик при вивченні страху у дітей старшого дошкільного віку. Психолого-педагогічні рекомендації щодо позбавлення дитини від почуття страху.
1344. Вопросы и ответы к госэкзамену для механиков 361 KB
  Система ремонта автомобиля. Мойка и очистка деталей перед ремонтом. Восстановление деталей методами ремонтных размеров и дополнительной ремонтной детали. Технологический процесс нанесения лакокрасочных покрытий. Сборка резьбовых, прессовых соединений, зубчатых передач, соединений с подшипниками качения. Восстановление размеров изношенных поверхностей деталей методом пластической деформации.
1345. Экономический расчет показателей по производству и реализации детали Вас-шестерня 318 KB
  Краткая характеристика предприятия. План мероприятий, направленных на повышение эффективности производственно-хозяйственной деятельности предприятия в целях обеспечения выполнения показателей прогноза социально-экономического развития на год. Прогнозирование финансово-хозяйственной деятельности.
1346. Инженерная геология 794.5 KB
  Строение Земли и Земной коры. Размеры Земли. Ядро, мантия, земная кора. Их размеры и строение. Строение Земной коры. Оболочки Земли. Элементы геологической среды. Генетическая классификация горных пород. Характеристика магматических, метаморфических и осадочных пород. Принципы классифицирования в каждой группе. Магматические горные породы, условия образования, классификация. Структура, текстура. Описание характерных (из лотка).
1347. Ленточный транспортер. 409.5 KB
  Кинематический расчет привода. Определение частот вращения и вращающих моментов на валах. Выбор типа и схемы установки подшипников. Подшипники тихоходного вала (7111А). Подшипники приводного вала. Расчет на динамическую грузоподъемность.
1348. Методы решения дифференциальных уравнений. Метод Эйлера-Коши и усовершенствованный метод Эйлера 6.12 MB
  Численное дифференцирование. Усовершенствованный метод Эйлера. Решение задачи усовершенствованным методом Эйлера. Блок-схема алгоритма к усовершенствованному методу Эйлера. Реализация на ЭВМ тестового примера усовершенствованного метода Эйлера.
1349. Метод вузлових потенціалів 113 KB
  Визначити струми у всіх гілках схеми методом вузлових потенціалів. За нульовий потенціал прийняти потенціал вузла b.