35854
Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре
Доклад
Математика и математический анализ
Ранг матрицы Пусть прямоугольная матрица размера : . Назовем арифметическими мерными векторами упорядоченные наборы чисел строки матрицы и обозначим их через . Элементы стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов образуют определитель порядка который называется минором порядка матрицы .
Русский
2013-09-20
169.21 KB
10 чел.
Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
Ранг матрицы
Пусть - прямоугольная матрица размера :
.
Назовем арифметическими -мерными векторами упорядоченные наборы чисел, строки матрицы , и обозначим их через , ,…,.
Нулевым арифметическим вектором назовем .
Будем говорить, что система векторов линейно зависима, если , не все равные нулю, что .
Система векторов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой.
Определение 3. Пусть - прямоугольная матрица размера . Выберем в произвольные строк и столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют определитель порядка , который называется минором порядка матрицы .
Определение 4. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы .
Обозначение ранга : .
Теорема 1 (о базисном миноре). Столбцы, содержащие базисный минор, линейно независимы. Любой столбец матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов одного и того же базисного минора.
Доказательство. Пусть и отличен от нуля минор , расположенный в первых строках и первых столбцах матрицы , т.е. в левом верхнем углу:
.
Докажем сначала, что арифметические векторы
, ,
составляют линейно независимую систему.
Допустим, что линейно зависимы, тогда , , что , т.е. выполняется система тождеств:
(7.4)
Первые равенств системы (7.4) можно переписать в виде
.
Учитывая, что , получим
;
-й столбец определителя оказался линейной комбинацией остальных. Тогда - противоречие, и, следовательно, векторы линейно независимы.
Докажем теперь, что любой столбец матрицы является линейной комбинацией первых столбцов.
Рассмотрим вспомогательный определитель
,
полученный "окаймлением" минора элементами -й строки и -го столбца, . Утверждается, что .
Действительно, возможны два случая.
Случай 1: . Тогда - минор матрицы порядка и по условию (наивысший порядок отличных от нуля миноров равен , следовательно, все миноры порядка равны нулю).
Случай 2: . Тогда содержит две одинаковые строки, следовательно, .
Итак, всегда . Разложим по последней строке.
Отметим, что если - алгебраическое дополнение к элементу из последней строки определителя , то
,
и не зависит от ( был номером строки в матрице , а в эти элементы занимают -ю строку). Поэтому алгебраические дополнения к элементам в , , можем обозначить .
.
Полагая , получим равенств:
,
,
…………………………………………
,
или в матричной форме:
,
т.е. -й столбец матрицы оказался линейной комбинацией первых столбцов с коэффициентами .
Было принято, что .
Если , то
.
Таким образом, любой столбец матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов.
Теорема доказана.
Замечание. Аналогичное утверждение справедливо и для строк: строки, содержащие базисный минор, линейно независимы, через них линейно выражаются все остальные строки матрицы.
Теорема 2. Если в матрице некоторый минор порядка отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то .
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
47664. | Методические рекомендации. Мировая экономика | 572 KB | |
Экономика профиль Мировая экономика: общие требования по организации выполнения работы требования по ее оформлению внедрению результатов работы рекомендации при подготовке к защите работы. Организация выполнения выпускной квалификационной работы дипломной работы | |||
47667. | Элементы и системы автоматизированного пневмогидропривода | 3.55 MB | |
В качестве задания даны основные схемы пневматических и гидравлических линейных и поворотных модулей приводов. Представлены инженерные методики расчета конструктивных и динамических параметров привода. Представлена методика построения пневматической системы управления. Приведены основные необходимые для расчетов справочные данные. | |||
47668. | Методические указания. Технология бродильных производств и виноделие | 228 KB | |
Учет и контроль производства Технологическая схема производства Расчетно-пояснительная записка должна включать следующие разделы имеющие примерный объем: Наименование раздела... | |||
47670. | Учебно-методическое пособие. Математические методы исследования операций | 1.56 MB | |
В данном учебно-методическом пособии рассмотрены основные типы задач линейного программирования, даны рекомендации по построению их математических моделей и поиску оптимальных решений средствами табличного редактора Mathcad | |||