35854

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре

Доклад

Математика и математический анализ

Ранг матрицы Пусть прямоугольная матрица размера : . Назовем арифметическими мерными векторами упорядоченные наборы чисел строки матрицы и обозначим их через . Элементы стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов образуют определитель порядка который называется минором порядка матрицы .

Русский

2013-09-20

169.21 KB

10 чел.

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

Ранг матрицы

Пусть - прямоугольная матрица размера :

.

Назовем арифметическими -мерными векторами упорядоченные наборы чисел, строки матрицы , и обозначим их через , ,…,.

Нулевым арифметическим вектором назовем .

Будем говорить, что система векторов линейно зависима, если , не все равные нулю, что .

Система векторов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой.

Определение 3. Пусть - прямоугольная матрица размера . Выберем в произвольные строк и столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют определитель порядка , который называется минором порядка матрицы .

Определение 4. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы .

Обозначение ранга : .  

Теорема 1 (о базисном миноре). Столбцы, содержащие базисный минор, линейно независимы. Любой столбец матрицы является линейной  комбинацией  базисных  столбцов  одного  и того же базисного минора.

Доказательство. Пусть и отличен от нуля минор , расположенный в первых строках и первых столбцах матрицы , т.е. в левом верхнем углу:

.

Докажем сначала, что арифметические векторы

, ,

составляют линейно независимую систему.

Допустим, что линейно зависимы, тогда , , что  , т.е. выполняется система тождеств:

                           (7.4)

Первые равенств системы (7.4) можно переписать в виде

.

Учитывая, что , получим

;

-й столбец определителя оказался линейной комбинацией остальных. Тогда - противоречие, и, следовательно, векторы линейно независимы.

Докажем теперь, что любой столбец матрицы является линейной комбинацией первых столбцов.

Рассмотрим вспомогательный определитель

,

полученный "окаймлением" минора элементами -й строки и -го  столбца, . Утверждается, что .

Действительно, возможны два случая.

Случай 1: . Тогда - минор матрицы порядка и по условию (наивысший порядок отличных от нуля миноров равен , следовательно, все миноры порядка равны нулю).

Случай 2: . Тогда содержит две одинаковые строки, следовательно, .

Итак, всегда . Разложим по последней строке.

Отметим, что если - алгебраическое дополнение к элементу из последней строки определителя , то

,

и не зависит от  ( был номером строки в матрице , а в эти элементы занимают -ю строку). Поэтому алгебраические дополнения к элементам в , , можем обозначить .

.

Полагая , получим равенств:

,

,

…………………………………………

,

или в матричной форме:

,

т.е. -й столбец матрицы оказался линейной комбинацией первых столбцов с коэффициентами .

Было принято, что .

Если , то

.

Таким образом, любой столбец матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов.

Теорема доказана.

Замечание. Аналогичное утверждение справедливо и для строк: строки, содержащие базисный минор, линейно независимы, через них линейно выражаются все остальные строки матрицы.

Теорема 2. Если в матрице некоторый минор порядка отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то .  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79439. Процессы кодирования 42.34 KB
  Цели процесса кодирования ПО состоят в том чтобы разработать исходный код который должен быть прослеживаемым верифицируемым непротиворечивым и корректно реализующим требования нижнего уровня. Требования для этого процесса следующие: Исходный код должен реализовывать требования нижнего уровня и соответствовать архитектуре ПО; Исходный код должен соответствовать стандартам кодирования ПО; Исходный код должен быть трассируемым к описанию проекта; Для неадекватных или некорректных входных данных обнаруженных...
79440. Процессы интеграции 44.67 KB
  Процессы интеграции. рассмотрено по госту 51 904 Цели процесса интеграции состоят в получении интегрированной системы. Требования для этого процесса: Исполняемый объектный код должен быть генерирован на основе исходного кода и информации о редактировании связей и загрузке; ПО должно быть загружено в объектный компьютер для интеграции аппаратных средств и ПО; Для неадекватных или некорректных входных данных обнаруженных в процессе интеграции необходимо обеспечить обратную связь с процессами определения требований к ПО проектирования ПО...
79441. Процессы планирования. Планирование инфраструктуры проекта 47.87 KB
  Планирование инфраструктуры проекта. Цели и наборы компонентов инфраструктуры проекта по созданию ИС: Средства коммуникации между участниками ИС; Средства разработки; Обеспечивающий персонал бухгалтеры уборщицы; Лингвистическое обеспечение; Единое информационное пространство – СУБД БД.207 2010 год: Элементами инфраструктуры могут быть технические средства программные средства методы инструментарий технические приемы стандарты а также средства для разработки применения по назначению или сопровождения. Эти планы должны...
79442. Стиль и принципы руководства самодеятельными объединениями в современных условиях 32.19 KB
  Принципы руководства: Взаимодополняемость субъектов управления в коллективе. Принцип единства социального воспитания и самореализации личности. Принцип диалогичности отношений.
79443. Разработка программы досугового мероприятия: основные этапы и выразительные средства 30.53 KB
  Можно встретить следующие виды таких программ: Познавательноразвлекательная программа конкурс викторина интеллектуальная игра Праздничная историческая программа литературномузыкальные композиции к памятным датам концертные программы и др. Такие программы требуют от организаторов творчества фантазии и изобретательства а также четкого построения сценария с учетом возраста аудитории. Популярными видами комплексных досуговых программ являются шоупрограммы пышное костюмированное сценическое действие с участием звезд в небольших...
79444. Тенденции развития современного туризма 29.65 KB
  В то же время увеличивается роль стран Нового Света в туристских обменах. В настоящее время наблюдаются такие пропорции: массовые или групповые туристы составляют 2030 от общего числа туристов; остальные 7080 индивидуальные туристы путешествующие в близлежащие страны. Это соотношение в последние годы меняется в пользу массового туризма причины чего следующие: уменьшение числа последовательных дней отпуска и в то же время увеличение частоты отпусков; низкая цена авиаперевозок; увеличение числа чартеров; повышенная заинтересованность...
79445. Ресурсная база социально-культурной деятельности 24.71 KB
  Ресурсы это вспомогательные средства методы и формы СКД Ресурсная база СКД это все те средства возможности которые позволяют осуществлять различные виды деятельности создавать культурные услуги блага. Ресурсная база СКД это совокупность организационных финансовых хозяйственных информационнометодических психологопедагогических кадровых нормативно правовых условий. Ресурсная база СКД – это совокупность основных компонентов необходимых для производства конкретного продукта культурных благ и услуг.
79446. Информационная культура личности. Сущность, структура, пути формирования 27.69 KB
  В последние годы возрос интерес к понятию информационная культура. Информационная культура это часть общей культуры общества личности. Понятие информационной культура важно тем что выполняет технологический срез всех информационных процессов в обществе концентрирует внимание исследователей на достигнутом уровне обращения с информацией позволяет судить о направленности и быстроте изменений в этой области и таким образом прогнозировать ее дальнейшее развитие.
79447. Методика проведения эмпирического исследования социально-культурной деятельности 32.48 KB
  Это дает дополнительные возможности для углубления в сущность правовой коллизии в мотивационные сферы ее участников. Документы в качестве артефактов то есть искусственных вторичных фактов способны свидетельствовать о действительных некогда существовавших первичных фактах правовой жизни общества и личности. Сведенные воедино оба эти взгляда социологический и правоведческий дают объемное изображение исследуемой социальноправовой реалии позволяют зафиксировать в ней такие свойства и грани мимо которых исследователи действуй они...