35854

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре

Доклад

Математика и математический анализ

Ранг матрицы Пусть прямоугольная матрица размера : . Назовем арифметическими мерными векторами упорядоченные наборы чисел строки матрицы и обозначим их через . Элементы стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов образуют определитель порядка который называется минором порядка матрицы .

Русский

2013-09-20

169.21 KB

10 чел.

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

Ранг матрицы

Пусть - прямоугольная матрица размера :

.

Назовем арифметическими -мерными векторами упорядоченные наборы чисел, строки матрицы , и обозначим их через , ,…,.

Нулевым арифметическим вектором назовем .

Будем говорить, что система векторов линейно зависима, если , не все равные нулю, что .

Система векторов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой.

Определение 3. Пусть - прямоугольная матрица размера . Выберем в произвольные строк и столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют определитель порядка , который называется минором порядка матрицы .

Определение 4. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы .

Обозначение ранга : .  

Теорема 1 (о базисном миноре). Столбцы, содержащие базисный минор, линейно независимы. Любой столбец матрицы является линейной  комбинацией  базисных  столбцов  одного  и того же базисного минора.

Доказательство. Пусть и отличен от нуля минор , расположенный в первых строках и первых столбцах матрицы , т.е. в левом верхнем углу:

.

Докажем сначала, что арифметические векторы

, ,

составляют линейно независимую систему.

Допустим, что линейно зависимы, тогда , , что  , т.е. выполняется система тождеств:

                           (7.4)

Первые равенств системы (7.4) можно переписать в виде

.

Учитывая, что , получим

;

-й столбец определителя оказался линейной комбинацией остальных. Тогда - противоречие, и, следовательно, векторы линейно независимы.

Докажем теперь, что любой столбец матрицы является линейной комбинацией первых столбцов.

Рассмотрим вспомогательный определитель

,

полученный "окаймлением" минора элементами -й строки и -го  столбца, . Утверждается, что .

Действительно, возможны два случая.

Случай 1: . Тогда - минор матрицы порядка и по условию (наивысший порядок отличных от нуля миноров равен , следовательно, все миноры порядка равны нулю).

Случай 2: . Тогда содержит две одинаковые строки, следовательно, .

Итак, всегда . Разложим по последней строке.

Отметим, что если - алгебраическое дополнение к элементу из последней строки определителя , то

,

и не зависит от  ( был номером строки в матрице , а в эти элементы занимают -ю строку). Поэтому алгебраические дополнения к элементам в , , можем обозначить .

.

Полагая , получим равенств:

,

,

…………………………………………

,

или в матричной форме:

,

т.е. -й столбец матрицы оказался линейной комбинацией первых столбцов с коэффициентами .

Было принято, что .

Если , то

.

Таким образом, любой столбец матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов.

Теорема доказана.

Замечание. Аналогичное утверждение справедливо и для строк: строки, содержащие базисный минор, линейно независимы, через них линейно выражаются все остальные строки матрицы.

Теорема 2. Если в матрице некоторый минор порядка отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то .  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59537. «Зупинись – суд іде» з теми «Проблема людства – екологія» 37.5 KB
  Своєю працею людина відкрила природі те що вона має в своїм лоні невідомі її скарби. років як появилася на землі людина. В древні часи коли людина була ще збирачем і мисливцем вона знаходилась більшменш в гармонії з природою і повністю залежала від неї.
59539. Інтерактивні уроки в п’ятому класі 100 KB
  Мета: повторити та поглибити знання учнів про звуки мови та мовлення; формувати вміння розрізняти звуки передавати слова звукописом; використовуючи здобуті знання на практиці; розвивати в них фонематичний слух увагу слухову та зорову память усне та писемне мовлення...
59541. Аудіювання на уроках іноземної мови 53 KB
  Мета: удосконалювати вміння розуміти на слух основний зміст нескладних автентичних текстів вміння здійснювати усне спілкування вміння зафіксувати та передати письмово й усно інформацію збагатити словниковий запас учнів новими словами...
59542. Біблія — пам’ятка світової писемності. Урок-конференція 61 KB
  Довести вічну цінність Біблії для всіх без винятку людей. Перші 39 книг близько три чверті Біблії складають Старий Заповіт визнаються за Святе Письмо іудаїзмом і християнством. Але незважаючи на це у Біблії зберігається головна думка усі книги узгоджуються між собою та доповнюють одна одну.
59543. Біосинтез білка 44 KB
  Під час вивчення цієї теми в учнів часто виникають труднощі повязані з розумінням процесів транскрипції трансляції ролі рибосоми в утворенні молекули білка. Сформувати в учнів поняття генетичний код етапи біосинтезу білка реакції матричного синтезу.
59544. Байдужість не прощається, виховний захід 69 KB
  Переконати що байдужість негативна людська риса. Добрий день усім хто не залишився байдужим до того що діється навколо і прийшов сьогодні до нашого залу щоб засудити одну з найтяжчих вад людини байдужість.
59545. Обязанности проводника при приемке и подготовке вагонов в рейс. Сооружения и устройства вагонного хозяйства 80.5 KB
  Назвіть кольори веселки. Що в неживій природі нагадує ці кольори Сонце світло вогонь ліхтар. Тепер розглянемо останні три кольори: блакитний синій фіолетовий. Де в неживій природі можемо побачити ці кольори Небо вода сніг лід.