35854

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре

Доклад

Математика и математический анализ

Ранг матрицы Пусть прямоугольная матрица размера : . Назовем арифметическими мерными векторами упорядоченные наборы чисел строки матрицы и обозначим их через . Элементы стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов образуют определитель порядка который называется минором порядка матрицы .

Русский

2013-09-20

169.21 KB

10 чел.

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

Ранг матрицы

Пусть - прямоугольная матрица размера :

.

Назовем арифметическими -мерными векторами упорядоченные наборы чисел, строки матрицы , и обозначим их через , ,…,.

Нулевым арифметическим вектором назовем .

Будем говорить, что система векторов линейно зависима, если , не все равные нулю, что .

Система векторов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой.

Определение 3. Пусть - прямоугольная матрица размера . Выберем в произвольные строк и столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют определитель порядка , который называется минором порядка матрицы .

Определение 4. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы .

Обозначение ранга : .  

Теорема 1 (о базисном миноре). Столбцы, содержащие базисный минор, линейно независимы. Любой столбец матрицы является линейной  комбинацией  базисных  столбцов  одного  и того же базисного минора.

Доказательство. Пусть и отличен от нуля минор , расположенный в первых строках и первых столбцах матрицы , т.е. в левом верхнем углу:

.

Докажем сначала, что арифметические векторы

, ,

составляют линейно независимую систему.

Допустим, что линейно зависимы, тогда , , что  , т.е. выполняется система тождеств:

                           (7.4)

Первые равенств системы (7.4) можно переписать в виде

.

Учитывая, что , получим

;

-й столбец определителя оказался линейной комбинацией остальных. Тогда - противоречие, и, следовательно, векторы линейно независимы.

Докажем теперь, что любой столбец матрицы является линейной комбинацией первых столбцов.

Рассмотрим вспомогательный определитель

,

полученный "окаймлением" минора элементами -й строки и -го  столбца, . Утверждается, что .

Действительно, возможны два случая.

Случай 1: . Тогда - минор матрицы порядка и по условию (наивысший порядок отличных от нуля миноров равен , следовательно, все миноры порядка равны нулю).

Случай 2: . Тогда содержит две одинаковые строки, следовательно, .

Итак, всегда . Разложим по последней строке.

Отметим, что если - алгебраическое дополнение к элементу из последней строки определителя , то

,

и не зависит от  ( был номером строки в матрице , а в эти элементы занимают -ю строку). Поэтому алгебраические дополнения к элементам в , , можем обозначить .

.

Полагая , получим равенств:

,

,

…………………………………………

,

или в матричной форме:

,

т.е. -й столбец матрицы оказался линейной комбинацией первых столбцов с коэффициентами .

Было принято, что .

Если , то

.

Таким образом, любой столбец матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов.

Теорема доказана.

Замечание. Аналогичное утверждение справедливо и для строк: строки, содержащие базисный минор, линейно независимы, через них линейно выражаются все остальные строки матрицы.

Теорема 2. Если в матрице некоторый минор порядка отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то .  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8090. Методы формирования сознания личности 23.9 KB
  Методы формирования сознания личности Методы формирования сознания очень важны для формирования чувств, эмоционального переживания. Если ученики остаются безразличными к педагогическому воздействию, то, как известно, процесс развивается медленно и р...
8091. Методы организации деятельности и поведения 24.93 KB
  Методы организации деятельности и поведения Воспитание должно формировать требуемый тип поведения. Не понятия, убеждения, а конкретные дела, поступки характеризуют воспитанность личности. В этой связи организация деятельности и формирование опыта по...
8092. Методы стимулирования и коррекции поведения школьников 24.64 KB
  Методы стимулирования и коррекции поведения школьников С древних времен известны такие методы стимулирования, как поощрение и наказание. Педагогика XX века обратила внимание на еще один весьма действенный, хотя и не новый метод стимулирования...
8093. Сущность понятия форма воспитания. Классификация и характеристика отдельных форм воспитания 23.18 KB
  Сущность понятия форма воспитания. Классификация и характеристика отдельных форм воспитания. Формы воспитания - способы организации воспитательного процесса, способы целесообразной организации коллективной и индивидуальной деятельности учащихся...
8094. Умственное воспитание учащихся. Цель, сущность, педагогические условия и средства его осуществления 23.82 KB
  Умственное воспитание учащихся. Цель, сущность, педагогические условия и средства его осуществления Умственное воспитание (УВ) - педагогическая деятельность, направленная на развитие интеллектуальной культуры личности, познавательных мотивов, умстве...
8095. Мировоззрения личности. Основные пути формирования научного мировоззрения школьников 22.21 KB
  Мировоззрения личности. Основные пути формирования научного мировоззрения школьников Мировоззрение - это система взглядов на объективный мир и место в нем человека, на отношение человека к окружающей его действительности и самому себе, а также...
8096. Формирование нравственной культуры личности 24.46 KB
  Формирование нравственной культуры личности Моралькак форма общественного сознания есть сумма правил, требований, норм, регулирующих отношения и взаимодействие людей, их поведение. Согласно материализму, мораль носит исторический характер: воз...
8097. Гражданское воспитание школьников 23.98 KB
  Гражданское воспитание школьников Под гражданским воспитанием понимается формирование комплекса качеств, необходимых каждому члену современного общества, а именно: политической культуры, - правовой культуры - культуры межнациональных отноше...
8098. Формирование эстетической культуры школьников 24.76 KB
  Формирование эстетической культуры школьников Эстетическое воспитание (ЭВ)- процесс формирования способностей восприятия и понимания прекрасного в искусстве и жизни, выработки эстетических знаний и вкусов, развития задатков и способностей в об...