35854

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре

Доклад

Математика и математический анализ

Ранг матрицы Пусть прямоугольная матрица размера : . Назовем арифметическими мерными векторами упорядоченные наборы чисел строки матрицы и обозначим их через . Элементы стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов образуют определитель порядка который называется минором порядка матрицы .

Русский

2013-09-20

169.21 KB

10 чел.

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

Ранг матрицы

Пусть - прямоугольная матрица размера :

.

Назовем арифметическими -мерными векторами упорядоченные наборы чисел, строки матрицы , и обозначим их через , ,…,.

Нулевым арифметическим вектором назовем .

Будем говорить, что система векторов линейно зависима, если , не все равные нулю, что .

Система векторов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой.

Определение 3. Пусть - прямоугольная матрица размера . Выберем в произвольные строк и столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют определитель порядка , который называется минором порядка матрицы .

Определение 4. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы .

Обозначение ранга : .  

Теорема 1 (о базисном миноре). Столбцы, содержащие базисный минор, линейно независимы. Любой столбец матрицы является линейной  комбинацией  базисных  столбцов  одного  и того же базисного минора.

Доказательство. Пусть и отличен от нуля минор , расположенный в первых строках и первых столбцах матрицы , т.е. в левом верхнем углу:

.

Докажем сначала, что арифметические векторы

, ,

составляют линейно независимую систему.

Допустим, что линейно зависимы, тогда , , что  , т.е. выполняется система тождеств:

                           (7.4)

Первые равенств системы (7.4) можно переписать в виде

.

Учитывая, что , получим

;

-й столбец определителя оказался линейной комбинацией остальных. Тогда - противоречие, и, следовательно, векторы линейно независимы.

Докажем теперь, что любой столбец матрицы является линейной комбинацией первых столбцов.

Рассмотрим вспомогательный определитель

,

полученный "окаймлением" минора элементами -й строки и -го  столбца, . Утверждается, что .

Действительно, возможны два случая.

Случай 1: . Тогда - минор матрицы порядка и по условию (наивысший порядок отличных от нуля миноров равен , следовательно, все миноры порядка равны нулю).

Случай 2: . Тогда содержит две одинаковые строки, следовательно, .

Итак, всегда . Разложим по последней строке.

Отметим, что если - алгебраическое дополнение к элементу из последней строки определителя , то

,

и не зависит от  ( был номером строки в матрице , а в эти элементы занимают -ю строку). Поэтому алгебраические дополнения к элементам в , , можем обозначить .

.

Полагая , получим равенств:

,

,

…………………………………………

,

или в матричной форме:

,

т.е. -й столбец матрицы оказался линейной комбинацией первых столбцов с коэффициентами .

Было принято, что .

Если , то

.

Таким образом, любой столбец матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов.

Теорема доказана.

Замечание. Аналогичное утверждение справедливо и для строк: строки, содержащие базисный минор, линейно независимы, через них линейно выражаются все остальные строки матрицы.

Теорема 2. Если в матрице некоторый минор порядка отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то .  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31189. Обобщенная структура телеметрических станций 54.5 KB
  Вспомогательное оборудование станции служит для установки параметров ПО технического обслуживания и текущего ремонта всей системы и состоит из тестирующего устройства полевых модулей и модуля контроля линейной расстановки а также диагностического и ремонтного комплексов осциллографа и зарядного устройства. К блоку управления станцией всегда подключается ограниченное число линейных интерфейсных модулей.Этот модуль всегда выполняет следующие функции: осуществляет самотестирование и диагностику; присваивает адреса полевым коммутационным и...
31190. Общая характеристика современных систем наблюдений 32.5 KB
  Поэтому на начальном этапе применения трехмерных систем наблюдений широкое распространение получили такие упрощенные системы наблюдения которые позволяли в реальных условиях того времени выполнять Сейсморазведочные работы по технологии 30. По мере накопления опыта работ с такими системами и получения признания их высокой результативности были предложены и приняты к опробованию достаточно сложные регулярные системы наблюдений. В настоящее время регулярные площадные системы наблюдений достаточно высокой сложности являются приоритетными в...
31191. Общая характеристика систем наблюдений 36 KB
  Взаимное расположение пунктов возбуждения ПВ и пунктов приема ПП сейсмических волн в изучаемой среде принято называть системой наблюдений. Последовательность взаимного перемещения ПВ и ПП на поверхности наблюдений называют технологией наблюдений. В зависимости от структуры формы и взаимного расположения линий пунктов возбуждения ЛПВ и линий пунктов приема ЛПП сейсмических волн различают точечные профильные и пространственные системы наблюдений.
31192. Основные понятия теории проектрования систем наблюдений 3D 48 KB
  Поэтому такие системы наблюдений следует проектировать таким образом чтобы они по возможности обеспечивали достаточно равномерное покрытие всей площади работ регулярной сетью общих средних глубинных точек. В основе построения всех площадных систем наблюдений используются в качестве базовых элементов два понятия понятия о непродольном сейсмическом профиле и площадном распределении приемников и или источников Мешбей 1985; Потапов 1987. При работах на суше наиболее часто употребляются системы наблюдений использующие крестовые...
31193. Основы методики и технологии работ методом общей глубинной точки 35.5 KB
  Метод общей глубинной точки как уже говорилось был предложен в 1950 г. С каждой трассой связаны три координаты профиля: пункта возбуждения s пункта приема r и средней точки m. Кроме того для ряда задач удобно и полезно рассматривать расстояния h от средней точки до источника или приемника.
31194. Принцип цифровой магнитной записи 30 KB
  При таком виде представления для записи конкретного числа необходимо фиксировать в строго конкретном месте только числа а.нуль или единица и одно число нуль или единица для характеристики знака числа. EXP0NENT 0FRCTION где SIGN численное значение двоичного разряда определяющее знак числа для положительного числа SIGN=0 для отрицательного числа SIGN=1; FRCTION мантисса двоичного числа представляющая собой последовательность нулей и единиц чисел а начиная с первого слева ненулевого значения; EXPONENT показатель степени 2...
31195. Принципы квантования сигналов по времени амплитуде 36 KB
  Точность представления аналоговых сигналов в дискретной форме тем выше чем меньше интервал квантования. В теории передачи информации для обоснования выбора шага квантования аналоговых сигналов обычно используют теорему В.5 fmx где fmx максимальная частота спектра сигналов.
31196. Цифровые сейсморазведочные станции типа „Прогресс” 43 KB
  В станциях Прогресс123 форматор кодов вырабатывает специальный формат С1 записи на магнитную ленту который немного отличается от упоминавшегося ранее формата SEGB. ЦСС Прогресс 3 могла работать во всех режимах станций Прогресс 1 Прогресс 2 и дополнительно работать с источниками вибрационного действия. Для этого в ЦСС Прогресс 3 предусмотрена возможность осуществления операции свертки вычисление функции взаимной корреляции ФВК сейсмических сигналов по каждому каналу с опорным сигналом свипом вибратора в месте излучения.
31197. Профильные системы наблюдений 2D 33.5 KB
  Системы наблюдений на продольных профилях изображают либо на плоскости годографа простые системы либо на обобщенной плоскости системы высокой кратности. Для понимания сущности конкретной профильной системы наблюдений высокой кратности в отечественной сейсморазведке найдено достаточно простое и эффективное средство анализ графического изображения такой системы наблюдений на обобщенной плоскости Гамбурцев 1959. Базы приема с профиля наблюдений проектируются в этой системе координат на проведенные лучи.