35854

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре

Доклад

Математика и математический анализ

Ранг матрицы Пусть прямоугольная матрица размера : . Назовем арифметическими мерными векторами упорядоченные наборы чисел строки матрицы и обозначим их через . Элементы стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов образуют определитель порядка который называется минором порядка матрицы .

Русский

2013-09-20

169.21 KB

10 чел.

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

Ранг матрицы

Пусть - прямоугольная матрица размера :

.

Назовем арифметическими -мерными векторами упорядоченные наборы чисел, строки матрицы , и обозначим их через , ,…,.

Нулевым арифметическим вектором назовем .

Будем говорить, что система векторов линейно зависима, если , не все равные нулю, что .

Система векторов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой.

Определение 3. Пусть - прямоугольная матрица размера . Выберем в произвольные строк и столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют определитель порядка , который называется минором порядка матрицы .

Определение 4. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы .

Обозначение ранга : .  

Теорема 1 (о базисном миноре). Столбцы, содержащие базисный минор, линейно независимы. Любой столбец матрицы является линейной  комбинацией  базисных  столбцов  одного  и того же базисного минора.

Доказательство. Пусть и отличен от нуля минор , расположенный в первых строках и первых столбцах матрицы , т.е. в левом верхнем углу:

.

Докажем сначала, что арифметические векторы

, ,

составляют линейно независимую систему.

Допустим, что линейно зависимы, тогда , , что  , т.е. выполняется система тождеств:

                           (7.4)

Первые равенств системы (7.4) можно переписать в виде

.

Учитывая, что , получим

;

-й столбец определителя оказался линейной комбинацией остальных. Тогда - противоречие, и, следовательно, векторы линейно независимы.

Докажем теперь, что любой столбец матрицы является линейной комбинацией первых столбцов.

Рассмотрим вспомогательный определитель

,

полученный "окаймлением" минора элементами -й строки и -го  столбца, . Утверждается, что .

Действительно, возможны два случая.

Случай 1: . Тогда - минор матрицы порядка и по условию (наивысший порядок отличных от нуля миноров равен , следовательно, все миноры порядка равны нулю).

Случай 2: . Тогда содержит две одинаковые строки, следовательно, .

Итак, всегда . Разложим по последней строке.

Отметим, что если - алгебраическое дополнение к элементу из последней строки определителя , то

,

и не зависит от  ( был номером строки в матрице , а в эти элементы занимают -ю строку). Поэтому алгебраические дополнения к элементам в , , можем обозначить .

.

Полагая , получим равенств:

,

,

…………………………………………

,

или в матричной форме:

,

т.е. -й столбец матрицы оказался линейной комбинацией первых столбцов с коэффициентами .

Было принято, что .

Если , то

.

Таким образом, любой столбец матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов.

Теорема доказана.

Замечание. Аналогичное утверждение справедливо и для строк: строки, содержащие базисный минор, линейно независимы, через них линейно выражаются все остальные строки матрицы.

Теорема 2. Если в матрице некоторый минор порядка отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то .  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2903. Генетика популяций 53.5 KB
  Генетика популяций Популяционная генетика – раздел генетики, изучающий законы и закономерности микроэволюции. Элементарной эволюционной структурой является популяция, и изучение генетических закономерностей жизни популяции позволяет понять...
2904. Биосоциальная сущность человека 109.5 KB
  Биосоциальная сущность человека Биологический вид Homo sapiens составляет часть биосферы и продукт её эволюции. Закономерности биологических процессов, происходящих на клеточном уровне и имеющие универсальное значение в природе, в полной мере п...
2905. Методы генетики человека. Наследственные заболевания человека. 31.5 KB
  Методы генетики человека. Наследственные заболевания человека. Проблемы в генетике человека (почему мы не можем использовать классические методы генетики): невозможность направленных скрещиваний для генетического анализа невозможность эксперимен...
2906. Основи охорони праці 3.34 MB
  Правові та організаційні засади охорони праці Законодавчо-нормативна база України з питань охорони праці.Основні принципи державної політики України у галузі охорони праці. Нормативно-правові акти України про охор...
2907. Фінансовий моніторинг як різновид фінансового контролю 341 KB
  Фінансовий моніторинг як різновид фінансового контролю. Сутність фінансово-правового регулювання процесу протидії легалізації доходів, одержаних злочинним шляхом (відмиванню коштів). Структура системи фінансового моніторингу Фінансов...
2908. Управление эффективностью производства реформируемых предприятий 56 KB
  Управление эффективностью производства реформируемых предприятий Реформирование отечественных предприятий  в процессе создания новой экономической системы связано с изменением их основной производственной деятельности, ориентируя и соизмеряя ее...
2909. Проблемы управления промышленным комплексом в условиях реформирования экономики 51 KB
  Проблемы управления промышленным комплексом в условиях реформирования экономики Вторая половина нашего столетия характеризуется устойчивыми тенденциями интернационализации и глобализации социально-экономических процессов развития мирового сообщества...
2910. Природа наш дім 45 KB
  Позакласний захід присвячений екологічному вихованню на тему: «Природа наш дім» Мета: виховання відповідальності за природу як національну і загальнолюдську цінність, основу життя на землі, господарські, гуманні принципи природокористування. Формува...
2911. Радиовысотомеры 860.5 KB
  Радиовысотомеры 1.Назначение, принцип действия и типы радиовысотомеров Радиовысотомеры (РВ) предназначены для измерения истинной высоты полета летательного аппарата. Они относятся к классу автономных радионавигационных установок, так как не требуют ...