35854

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре

Доклад

Математика и математический анализ

Ранг матрицы Пусть прямоугольная матрица размера : . Назовем арифметическими мерными векторами упорядоченные наборы чисел строки матрицы и обозначим их через . Элементы стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов образуют определитель порядка который называется минором порядка матрицы .

Русский

2013-09-20

169.21 KB

10 чел.

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

Ранг матрицы

Пусть - прямоугольная матрица размера :

.

Назовем арифметическими -мерными векторами упорядоченные наборы чисел, строки матрицы , и обозначим их через , ,…,.

Нулевым арифметическим вектором назовем .

Будем говорить, что система векторов линейно зависима, если , не все равные нулю, что .

Система векторов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой.

Определение 3. Пусть - прямоугольная матрица размера . Выберем в произвольные строк и столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют определитель порядка , который называется минором порядка матрицы .

Определение 4. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы .

Обозначение ранга : .  

Теорема 1 (о базисном миноре). Столбцы, содержащие базисный минор, линейно независимы. Любой столбец матрицы является линейной  комбинацией  базисных  столбцов  одного  и того же базисного минора.

Доказательство. Пусть и отличен от нуля минор , расположенный в первых строках и первых столбцах матрицы , т.е. в левом верхнем углу:

.

Докажем сначала, что арифметические векторы

, ,

составляют линейно независимую систему.

Допустим, что линейно зависимы, тогда , , что  , т.е. выполняется система тождеств:

                           (7.4)

Первые равенств системы (7.4) можно переписать в виде

.

Учитывая, что , получим

;

-й столбец определителя оказался линейной комбинацией остальных. Тогда - противоречие, и, следовательно, векторы линейно независимы.

Докажем теперь, что любой столбец матрицы является линейной комбинацией первых столбцов.

Рассмотрим вспомогательный определитель

,

полученный "окаймлением" минора элементами -й строки и -го  столбца, . Утверждается, что .

Действительно, возможны два случая.

Случай 1: . Тогда - минор матрицы порядка и по условию (наивысший порядок отличных от нуля миноров равен , следовательно, все миноры порядка равны нулю).

Случай 2: . Тогда содержит две одинаковые строки, следовательно, .

Итак, всегда . Разложим по последней строке.

Отметим, что если - алгебраическое дополнение к элементу из последней строки определителя , то

,

и не зависит от  ( был номером строки в матрице , а в эти элементы занимают -ю строку). Поэтому алгебраические дополнения к элементам в , , можем обозначить .

.

Полагая , получим равенств:

,

,

…………………………………………

,

или в матричной форме:

,

т.е. -й столбец матрицы оказался линейной комбинацией первых столбцов с коэффициентами .

Было принято, что .

Если , то

.

Таким образом, любой столбец матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов.

Теорема доказана.

Замечание. Аналогичное утверждение справедливо и для строк: строки, содержащие базисный минор, линейно независимы, через них линейно выражаются все остальные строки матрицы.

Теорема 2. Если в матрице некоторый минор порядка отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то .  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2811. Массивы как наборы данных одного типа 73 KB
  Лекция. Массивы Массив – это набор данных одного типа, собранных под одним именем. Форма объявления массива: класс памяти тип список массивов. Поле класс памяти определяет класс памяти массива и является необязательным. Поле тип является о...
2812. Структура программы и модификаторы типа указателей в ОС MS-DOS 53.5 KB
  Лекция. Структура программы и модификаторы типа указателей в ОС MS-DOS В общем виде программа на языке C состоит из директив препроцессора, объявлений и определений объектов, команд, которые могут быть записаны как в одном, так и в нескольких моду...
2813. Измерительные преобразователи и схемы 3.63 MB
  Понятие измерительных преобразователей (ИП), виды, классификация. Эксплуатация летательных аппаратов в авиации связаны с получением данных о значении различных физических величин, характеризующих состояние объекта управления - механических, тепло...
2814. Приспособление городских территорий к застройке 38 KB
  Приспособление городских территорий к застройке Основные задачи организации поверхностного водоотвода. Отвод поверхностных вод - одно из основных мероприятий инженерной подготовки и благоустройства городской территории. К основным задачам орган...
2815. Организация и технология торговли 3.46 MB
  Переход экономики Украины на рыночные отношения вызвал кардинальные изменения в деятельности всех отраслей хозяйственного комплекса страны. Торговля как одна из наиболее масштабных сфер предпринимательской деятельности получила за последнее...
2816. Безопасность бизнесмена и бизнеса 612 KB
  Главное - быть живым и здоровым. В последнее время с газетных страниц, с экранов телевизоров, по радио все чаще можно услышать об убийствах предпринимателей и финансистов, о налетах на их офисы и квартиры. Эта кровавая волна докатилась уже и до с...
2817. Экономика промышленности 694 KB
  Рассмотрены экономические вопросы организации производства: формирование основного и оборотного капитала, себестоимость, цены продукции, основы налогообложения, общественные формы организации производства.
2818. Олiйно-жирова галузь України 307.04 KB
  Згідно підсумковим даним Держкомстату України, виробництво насіння соняшнику в 2009 році зменшилося в порівнянні з 2008 роком за рахунок зменшення збиральніх площ на 2 % і врожайності на 0,1 ц/га. Валовий збір насіння соняшнику за підсумками року склав 6,36 млн. тонн, що на 2,5 % нижче врожаю 2008 року.
2819. Градостроительные нормы, их соблюдение и использование при реконструкции. 25.5 KB
  Градостроительные нормы, их соблюдение и использование при реконструкции. Нормативные требования, предъявляемые к городской территории, и их соблюдение при реконструкции. Вопросы развития застройки, реконструкции застройки регламентируются градостро...