35854

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре

Доклад

Математика и математический анализ

Ранг матрицы Пусть прямоугольная матрица размера : . Назовем арифметическими мерными векторами упорядоченные наборы чисел строки матрицы и обозначим их через . Элементы стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов образуют определитель порядка который называется минором порядка матрицы .

Русский

2013-09-20

169.21 KB

10 чел.

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

Ранг матрицы

Пусть - прямоугольная матрица размера :

.

Назовем арифметическими -мерными векторами упорядоченные наборы чисел, строки матрицы , и обозначим их через , ,…,.

Нулевым арифметическим вектором назовем .

Будем говорить, что система векторов линейно зависима, если , не все равные нулю, что .

Система векторов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой.

Определение 3. Пусть - прямоугольная матрица размера . Выберем в произвольные строк и столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют определитель порядка , который называется минором порядка матрицы .

Определение 4. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы .

Обозначение ранга : .  

Теорема 1 (о базисном миноре). Столбцы, содержащие базисный минор, линейно независимы. Любой столбец матрицы является линейной  комбинацией  базисных  столбцов  одного  и того же базисного минора.

Доказательство. Пусть и отличен от нуля минор , расположенный в первых строках и первых столбцах матрицы , т.е. в левом верхнем углу:

.

Докажем сначала, что арифметические векторы

, ,

составляют линейно независимую систему.

Допустим, что линейно зависимы, тогда , , что  , т.е. выполняется система тождеств:

                           (7.4)

Первые равенств системы (7.4) можно переписать в виде

.

Учитывая, что , получим

;

-й столбец определителя оказался линейной комбинацией остальных. Тогда - противоречие, и, следовательно, векторы линейно независимы.

Докажем теперь, что любой столбец матрицы является линейной комбинацией первых столбцов.

Рассмотрим вспомогательный определитель

,

полученный "окаймлением" минора элементами -й строки и -го  столбца, . Утверждается, что .

Действительно, возможны два случая.

Случай 1: . Тогда - минор матрицы порядка и по условию (наивысший порядок отличных от нуля миноров равен , следовательно, все миноры порядка равны нулю).

Случай 2: . Тогда содержит две одинаковые строки, следовательно, .

Итак, всегда . Разложим по последней строке.

Отметим, что если - алгебраическое дополнение к элементу из последней строки определителя , то

,

и не зависит от  ( был номером строки в матрице , а в эти элементы занимают -ю строку). Поэтому алгебраические дополнения к элементам в , , можем обозначить .

.

Полагая , получим равенств:

,

,

…………………………………………

,

или в матричной форме:

,

т.е. -й столбец матрицы оказался линейной комбинацией первых столбцов с коэффициентами .

Было принято, что .

Если , то

.

Таким образом, любой столбец матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов.

Теорема доказана.

Замечание. Аналогичное утверждение справедливо и для строк: строки, содержащие базисный минор, линейно независимы, через них линейно выражаются все остальные строки матрицы.

Теорема 2. Если в матрице некоторый минор порядка отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то .  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63817. Центральная районная больница 31 KB
  Центральная районная больница ЦРБ Оказывает помощь жителям: жителям районного центра по участковому принципу проживающим на приписных участках по участковому принципу. Те населённые пункты которые находятся недалеко от ЦРБ и обслуживаются ею называются приписными участками проживающим в сельской местности...
63818. Областная больница, структура, задачи 24.5 KB
  ОБ является центром организационно методического руководства всех мед. учреждений области и базой специализированной помощи и специализации и повышения квалификации среднего и старшего мед. Имеет клинико экспертный отдел который проводит анализ оказанной помощи проводит экспертизу...
63819. Охрана материнства и детства — приоритетное направление здравоохранения 30 KB
  Показатели здоровья женщин и детей являются наиболее чувствительным индикатором социально-экономического развития общества. Деятельность государственной системы охраны материнства и детства направлена на реализацию комплекса социально-экономических и лечебно-профилактических мер...
63820. Родильный дом 30 KB
  Стационар родильного дома имеет следующие подразделения: 1 приемно-пропускной блок; 2 родовые отделения; 3 послеродовое физиологическое первое акушерское отделение 50 55 акушерских коек; 4 обсервационное второе акушерское отделение 20 25 акушерских коек...
63821. Женская консультация 28.5 KB
  Основными задачами женской консультации являются: проведение профилактических мероприятий направленных на предупреждение осложнений беременности родов послеродового периода гинекологических заболеваний; оказание лечебно-гинекологической помощи...
63822. Показатели работы женской консультации и роддома 24 KB
  Деятельность женской консультации оценивается по следующим показателям: своевременность обращения беременных до 12 недель отношение числа женщин поступивших под наблюдение в сроки до 12 недель к общему числу беременных умноженное на 100...
63824. Медицинская документация и показатели, характеризующие деятельность поликлиники и стационара детской городской больницы 22.5 KB
  Деятельность детской поликлиники оценивается по данным отчета-вкладыша €œО медицинской помощи детям первичной медицинской документации: показатели организации патронажа дородового отношение числа детей матери...
63825. Организация санитарно-эпидемиологической службы в России 47.5 KB
  Эрисман создал первую санитарную станцию в Москве в 1891г. Первым санитарным врачом был Мадисон. После ВОВ создана единая комплексная СЭСл до этого санитарная эпидемическая.