35854

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре

Доклад

Математика и математический анализ

Ранг матрицы Пусть прямоугольная матрица размера : . Назовем арифметическими мерными векторами упорядоченные наборы чисел строки матрицы и обозначим их через . Элементы стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов образуют определитель порядка который называется минором порядка матрицы .

Русский

2013-09-20

169.21 KB

10 чел.

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.

Ранг матрицы

Пусть - прямоугольная матрица размера :

.

Назовем арифметическими -мерными векторами упорядоченные наборы чисел, строки матрицы , и обозначим их через , ,…,.

Нулевым арифметическим вектором назовем .

Будем говорить, что система векторов линейно зависима, если , не все равные нулю, что .

Система векторов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой.

Определение 3. Пусть - прямоугольная матрица размера . Выберем в произвольные строк и столбцов. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют определитель порядка , который называется минором порядка матрицы .

Определение 4. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы .

Обозначение ранга : .  

Теорема 1 (о базисном миноре). Столбцы, содержащие базисный минор, линейно независимы. Любой столбец матрицы является линейной  комбинацией  базисных  столбцов  одного  и того же базисного минора.

Доказательство. Пусть и отличен от нуля минор , расположенный в первых строках и первых столбцах матрицы , т.е. в левом верхнем углу:

.

Докажем сначала, что арифметические векторы

, ,

составляют линейно независимую систему.

Допустим, что линейно зависимы, тогда , , что  , т.е. выполняется система тождеств:

                           (7.4)

Первые равенств системы (7.4) можно переписать в виде

.

Учитывая, что , получим

;

-й столбец определителя оказался линейной комбинацией остальных. Тогда - противоречие, и, следовательно, векторы линейно независимы.

Докажем теперь, что любой столбец матрицы является линейной комбинацией первых столбцов.

Рассмотрим вспомогательный определитель

,

полученный "окаймлением" минора элементами -й строки и -го  столбца, . Утверждается, что .

Действительно, возможны два случая.

Случай 1: . Тогда - минор матрицы порядка и по условию (наивысший порядок отличных от нуля миноров равен , следовательно, все миноры порядка равны нулю).

Случай 2: . Тогда содержит две одинаковые строки, следовательно, .

Итак, всегда . Разложим по последней строке.

Отметим, что если - алгебраическое дополнение к элементу из последней строки определителя , то

,

и не зависит от  ( был номером строки в матрице , а в эти элементы занимают -ю строку). Поэтому алгебраические дополнения к элементам в , , можем обозначить .

.

Полагая , получим равенств:

,

,

…………………………………………

,

или в матричной форме:

,

т.е. -й столбец матрицы оказался линейной комбинацией первых столбцов с коэффициентами .

Было принято, что .

Если , то

.

Таким образом, любой столбец матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов.

Теорема доказана.

Замечание. Аналогичное утверждение справедливо и для строк: строки, содержащие базисный минор, линейно независимы, через них линейно выражаются все остальные строки матрицы.

Теорема 2. Если в матрице некоторый минор порядка отличен от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то .  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18936. Реальная и потенциальная аудитория средств массовой коммуникации. Социологические способы изучения коммуникативного поведения аудитории 30 KB
  Реальная и потенциальная аудитория средств массовой коммуникации. Социологические способы изучения коммуникативного поведения аудитории Реальным физическим объектом социологического изучения аудитории СМИ являются массы людей различные общественные группы в...
18937. Социологический подход к общественному мнению 38 KB
  Социологический подход к общественному мнению. Распространенное представление об общественном мнении сводится к тому что оно является простой совокупностью отдельных точек зрения по тому или иному вопросу. Этот подход к определению общественного мнения который мо...
18938. Анализ содержания сообщений средств массовой коммуникации. Метод контент-анализа 46.5 KB
  Анализ содержания сообщений средств массовой коммуникации. Метод контентанализа Существуют разные подходы к анализу содержания сообщений МК: Семиотический подход раскодирование смысловых структур текста. Особое внимание уделяется анализу культурного
18939. Использование средств массовой коммуникации в ПР-деятельности 52.5 KB
  Использование средств массовой коммуникации в ПРдеятельности Массовая коммуникация систематическое распространение сообщений через печать радио ТВ кино звукозапись видеозапись и другие каналы передачи информации среди численно больших аудиторий с целью ...
18940. Модели анализа эффектов массовой коммуникации, характеризующие особенности использования средств массовой коммуникации в электоральных целях 78 KB
  Модели анализа эффектов массовой коммуникации характеризующие особенности использования средств массовой коммуникации в электоральных целях 3 периода исследования эффектов СМК: 1. 2030е годы 20 в. МК имеет большие возможности воздействия на аудиторию появление ре...
18941. Функции массовой коммуникации 48 KB
  Функции массовой коммуникации. Специфика человеческого общения в условиях массовой коммуникации находит своё конкретное выражение и в её функциях. Здесь особенно велика роль социальных функций так как именно в массовой коммуникации являющейся общением больших соц
18943. Коммуникативное пространство. Роль связей с общественностью в формировании коммуникативного пространства 90.5 KB
  Коммуникативное пространство. Роль связей с общественностью в формировании коммуникативного пространства Коммуникативное пространство современной цивилизации формируется рядом машин порождающих символы. В этой роли выступают и массмедиа и искусство и политиче
18944. Межкультурная коммуникация 43 KB
  Межкультурная коммуникация МЕЖКУЛЬТУРНАЯ КОММУНИКАЦИЯ У каждой культуры своя логика свое представление о мире. То что значимо в одной культуре может быть несущественным в другой. Поэтому важно всегда с уважением смотреть на своего партнера с иной культурой. Он де