36212

Эффективные и слабо-эффективные решения. Поточечные методы поиска слабо-эффективных решений и оценок. Линейная свёртка, теорема Карлина. Логическая свёртка, теорема Гермейера. Геометрический смысл теорем Карлина и Гермейера

Доклад

Математика и математический анализ

Поточечные методы поиска слабоэффективных решений и оценок. Решения или оценки называются эффективными слабоэффективными если они неулучшаемы по отношению Парето Слейтера. Поиск слабоэффективных решений или оценок поточечными методами базируется на основной теореме 2.

Русский

2013-09-21

79.5 KB

53 чел.

10  Вопрос

Эффективные и слабо-эффективные решения. Поточечные методы поиска слабо-эффективных решений и оценок. Линейная свёртка, теорема Карлина. Логическая свёртка, теорема Гермейера. Геометрический смысл теорем Карлина и Гермейера.

Введем следующие обозначения:

Х – область допустимых решений (ОДР) задачи (1.1), Х Еn; (будем полагать его замкнутым и ограниченным);

Q – образ множества Х в пространстве критериев: Q = q(X), Q  Еm  – область достижимых оценок; (критериальные функции qi будем полагать непрерывными);

= {E m  j > 0;   j = 1} – незамкнутый симплекс в пространстве  E m;

= {E m  j  0;   j = 1} – замкнутый симплекс в пространстве  E m;

() – положительный (неотрицательный) ортант в пространстве Em; .

Par  – бинарное отношение Парето, определенное на Q:

и;

Sl  – бинарное отношение Слейтера определенное на Q:

;

P(Q),  S(Q) – множества элементов из Q, оптимальных по Парето и Слейтеру, соответственно (множества неулучшаемых оценок); P(Q) = { y  Q |  z  Q   (z, y) Par };

Pq(Х), Sq(Х) – множества элементов из Х, оптимальных по Парето и Слейтеру, соответственно, при критериях qi(x) (множества неулучшаемых решений);

Pq (Х) = { x X | t X   ( q(t), q(x) ) Par }.

Определение 2.2. Решения или оценки называются эффективными (слабо-эффективными), если они неулучшаемы по отношению Парето (Слейтера).

Поиск слабо-эффективных решений или оценок поточечными методами базируется на основной теореме 2.1, а для обеспечения необходимых условий подбирают свертку (у) специального вида. Наиболее простой метод основан на теореме  Сэмюэля Карлина.

Теорема 2.5. (теорема Карлина). Пусть множество Q выпукло. Тогда для того, чтобы оценка у*  Q была слабо-эффективна необходимо и достаточно, чтобы существовал такой вектор параметров , что в точке у* достигался минимум свертки

;  у  Q.                                  (2.3)                   

Смысл теоремы – на рисунке. На рисунке: пространство критериев; прямые – линии равного уровня функции . Там, где касаются – там min на Q. Пунктир – P(Q). Если Q выпукло, то к любой точке P(Q) можно провести касательную, у которой все коэффициенты . Если Q не выпукло, то на P(Q) найдутся точки, в которых  ни при каком не достигает min.

Логические свертки. Выпуклость множеств Q или Х – очень сильное допущение, которое редко выполняется. Значительно менее жесткие требования предъявляет метод, основанный на логической (минимаксной) свертке Ю. Б. Гермейера:

.                               (2.5)

Теорема 2.7. (теорема Гермейера)  Пусть  (т.е. qi(х) > 0 хХ). Тогда для того, чтобы решение х* Х было слабо-эффективным по векторному критерию q, необходимо и достаточно, чтобы существовал вектор параметров , при котором х* была точкой минимума функции 2 (q(x), 0). 

Геометрический смысл теоремы Гермейера. В пространстве критериев Е2 линии равного уровня функций 2(y, ), 3(y, ) и 4(y, ) при фиксированном представляют собой вложенные “уголки”. Пусть, например, 1= 2/3, 2 =1/3. Построим линию равного уровня 2(y, ) = 1/3. Эта линия будет содержать, например, точку А = (0.5, 1), т.к. max {0.52/3; 11/3} = 1/3 = 2(A, ). Если теперь у1 < 0.5, а у2 = 1, то прежнему, 2(, ) = 1/ 3. Если же у2 < 1, а у1 = 0.5, то также 2(, ) = 1/3. Значит, линия уровня 2(, ) = 1/3 – “уголок” с горизонтальной стороной у2 = 1 и вертикальной у1 = 0.5. Точка А – вершина уголка, ее координаты зависят от значений коэффициентов i. Верно соотношение:     1 А1 = 2 А2 = 2(A, ). (На рисунке точка А отмечена кружком).

Там, где уголок касается области Q, находится точка min. Вследствие такой уникальной формы линий уровня, независимо от выпуклости области Q любая слабо-эффективная точка у* будет точкой минимума 2(у, ) при каком-нибудь , например при , и обратно – точка минимума 2(у, ) при любом будет слабо-эффективной.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21755. Организация табельного учета 24.5 KB
  Табельный учет выполняет следующие функции: контроль за своевременной явкой рабочих и служащих на работу фиксирование опозданий и невыходов; проверку нахождения на местах работы работников учтенных в числе явившихся на работу; проверку правильности использования внутрисменных обеденных перерывов; контроль за своевременностью ухода работников с работы по окончании смены; контроль за временными уходами с работы по разрешению администрации а также учет работников находящихся в отпусках командировках выполняющих...
21756. Режим работы шахты и ее участков 25 KB
  Под режимом работы понимают степень использования основных фондов и производственных мощностей во времени. Режим работы – одна из важнейших сторон организации производства характеризующая продолжительность использования средств труда при определенной интенсивности смены суток года во времени. Режим работы устанавливается для производственных единиц ее участковцехов отдельных бригад и рабочих.
21757. Формы организации труда на рудниках 26 KB
  В зависимости от состава и методов учета выполненных работ различают специализированные и комплексные бригады. Специализированные бригады бригады выполняющие один процесс переноску конвейера доставку крепежного материала бурение и т. В настоящее время наибольшее распространение в очистных и подготовительных забоях ПО Беларуськалий получили комплексные бригады выполняющие несколько взаимосвязанных процессов при коллективной организации труда. По сравнению со специализированными бригадами комплексные бригады...
21758. Графики выходов рабочих 26 KB
  В них показывается порядок чередования смен и выходные дни для отдельных рабочих и бригад. В графиках выходов предусматривается: соответствие принятому числу рабочих смен продолжительности рабочего дня и рабочей недели т. режиму работы данного участка во времени; правильное чередование дней работы и отдыха; полное использование установленной нормы рабочего времени за месяц минимальное значение которой при 7часовом рабочем дне составляет 1731 ч а при 6часовом рабочем дне 1525 ч; правильное чередование смен; соблюдение постоянного...
21759. Алгоритм составления графиков выходов рабочих 23 KB
  Алгоритм составления графиков следующий: определяют число бригад в сутки исходя из недельного режима работы на рабочем месте; определяют явочное число рабочих в каждой смене в соответствии с выполняемыми производственными процессами объёмом работ и обслуживанием; составляют графики выходов: обозначают общевыходной день для участка; обозначают выходные дни для отдельных членов бригады или всей бригады; отмечают номера смен и порядок их ломки; вносят графические обозначения смены обозначаются цифрами а выходные дни – нулями; при...
21760. Научная организация труда и ее элементы 29.5 KB
  Прогрессивной следует считать организацию которая основывается на достижениях науки и передовом опыте позволяет наиболее эффективно соединить в одном производственном процессе сам труд предмет и средства труда. Научная организация труда НОТ это комплекс научно обоснованных планомерно осуществляемых технических организационных и экономических мероприятий обеспечивающих рациональное разделение и кооперацию труда совершенствование трудовых приемов и организации рабочих мест улучшение их обслуживания создание благоприятных...
21761. Элементы НОТ общего характера 25 KB
  К ним относятся: подготовка и повышение квалификации кадров совершенствование нормирования и оплаты труда воспитание трудящихся в духе сознательного отношения к труду соблюдение государственной и трудовой дисциплины. Достижения научнотехнического прогресса обусловливают постоянное изменение характера и содержания труда горняков профессионального и квалификационного состава рабочих кадров. Органическим элементом научной организации труда является нормирование труда которое основано на рациональном выполнении рабочих процессов....
21762. Планирование НОТ и внедрение планов НОТ 27 KB
  Для обеспечения эффективности производства и улучшения качества работы планируют и внедряют планы НОТ. Планы НОТ должны обеспечивать комплексность планируемых и осуществляемых мероприятий; реальность планируемых мероприятий учитывающих научную обоснованность мероприятий с использованием достижений научнотехнического прогресса; непрерывность планирования мероприятий НОТ и экономичность которая обеспечивается выбором оптимального варианта и сопоставления необходимых затрат с достигаемым эффектом от внедрения отдельных...
21763. Рудничная аэромеханика 162 KB
  Режимы движения воздуха в шахтных вентиляционных системах. Применение уравнения Бернулли к движению воздуха по горным выработкам. Основное уравнение аэростатики Аэростатика наука о равновесии газов воздуха. Одной из основных задач аэростатики является определение изменения давления неподвижного воздуха с ростом высоты или глубины а также условий равновесия находящегося в воздушной среде тела.