36212

Эффективные и слабо-эффективные решения. Поточечные методы поиска слабо-эффективных решений и оценок. Линейная свёртка, теорема Карлина. Логическая свёртка, теорема Гермейера. Геометрический смысл теорем Карлина и Гермейера

Доклад

Математика и математический анализ

Поточечные методы поиска слабоэффективных решений и оценок. Решения или оценки называются эффективными слабоэффективными если они неулучшаемы по отношению Парето Слейтера. Поиск слабоэффективных решений или оценок поточечными методами базируется на основной теореме 2.

Русский

2013-09-21

79.5 KB

59 чел.

10  Вопрос

Эффективные и слабо-эффективные решения. Поточечные методы поиска слабо-эффективных решений и оценок. Линейная свёртка, теорема Карлина. Логическая свёртка, теорема Гермейера. Геометрический смысл теорем Карлина и Гермейера.

Введем следующие обозначения:

Х – область допустимых решений (ОДР) задачи (1.1), Х Еn; (будем полагать его замкнутым и ограниченным);

Q – образ множества Х в пространстве критериев: Q = q(X), Q  Еm  – область достижимых оценок; (критериальные функции qi будем полагать непрерывными);

= {E m  j > 0;   j = 1} – незамкнутый симплекс в пространстве  E m;

= {E m  j  0;   j = 1} – замкнутый симплекс в пространстве  E m;

() – положительный (неотрицательный) ортант в пространстве Em; .

Par  – бинарное отношение Парето, определенное на Q:

и;

Sl  – бинарное отношение Слейтера определенное на Q:

;

P(Q),  S(Q) – множества элементов из Q, оптимальных по Парето и Слейтеру, соответственно (множества неулучшаемых оценок); P(Q) = { y  Q |  z  Q   (z, y) Par };

Pq(Х), Sq(Х) – множества элементов из Х, оптимальных по Парето и Слейтеру, соответственно, при критериях qi(x) (множества неулучшаемых решений);

Pq (Х) = { x X | t X   ( q(t), q(x) ) Par }.

Определение 2.2. Решения или оценки называются эффективными (слабо-эффективными), если они неулучшаемы по отношению Парето (Слейтера).

Поиск слабо-эффективных решений или оценок поточечными методами базируется на основной теореме 2.1, а для обеспечения необходимых условий подбирают свертку (у) специального вида. Наиболее простой метод основан на теореме  Сэмюэля Карлина.

Теорема 2.5. (теорема Карлина). Пусть множество Q выпукло. Тогда для того, чтобы оценка у*  Q была слабо-эффективна необходимо и достаточно, чтобы существовал такой вектор параметров , что в точке у* достигался минимум свертки

;  у  Q.                                  (2.3)                   

Смысл теоремы – на рисунке. На рисунке: пространство критериев; прямые – линии равного уровня функции . Там, где касаются – там min на Q. Пунктир – P(Q). Если Q выпукло, то к любой точке P(Q) можно провести касательную, у которой все коэффициенты . Если Q не выпукло, то на P(Q) найдутся точки, в которых  ни при каком не достигает min.

Логические свертки. Выпуклость множеств Q или Х – очень сильное допущение, которое редко выполняется. Значительно менее жесткие требования предъявляет метод, основанный на логической (минимаксной) свертке Ю. Б. Гермейера:

.                               (2.5)

Теорема 2.7. (теорема Гермейера)  Пусть  (т.е. qi(х) > 0 хХ). Тогда для того, чтобы решение х* Х было слабо-эффективным по векторному критерию q, необходимо и достаточно, чтобы существовал вектор параметров , при котором х* была точкой минимума функции 2 (q(x), 0). 

Геометрический смысл теоремы Гермейера. В пространстве критериев Е2 линии равного уровня функций 2(y, ), 3(y, ) и 4(y, ) при фиксированном представляют собой вложенные “уголки”. Пусть, например, 1= 2/3, 2 =1/3. Построим линию равного уровня 2(y, ) = 1/3. Эта линия будет содержать, например, точку А = (0.5, 1), т.к. max {0.52/3; 11/3} = 1/3 = 2(A, ). Если теперь у1 < 0.5, а у2 = 1, то прежнему, 2(, ) = 1/ 3. Если же у2 < 1, а у1 = 0.5, то также 2(, ) = 1/3. Значит, линия уровня 2(, ) = 1/3 – “уголок” с горизонтальной стороной у2 = 1 и вертикальной у1 = 0.5. Точка А – вершина уголка, ее координаты зависят от значений коэффициентов i. Верно соотношение:     1 А1 = 2 А2 = 2(A, ). (На рисунке точка А отмечена кружком).

Там, где уголок касается области Q, находится точка min. Вследствие такой уникальной формы линий уровня, независимо от выпуклости области Q любая слабо-эффективная точка у* будет точкой минимума 2(у, ) при каком-нибудь , например при , и обратно – точка минимума 2(у, ) при любом будет слабо-эффективной.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38750. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. Менеджмент 320 KB
  БОРЗЕНЕЦ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по подготовке и защите магистерской диссертации Направление менеджмент 080200. Методические указания по подготовке и защите магистерской диссертации: направление менеджмент 080200.36 Методические указания предназначены для оказания помощи студентам первого и второго года обучения в магистратуре по организации научных исследований и написанию магистерской диссертации на соискание степени магистра по направлению менеджмент 080200. Контроль за написанием магистерской диссертации [2] Организация работы по выполнению...
38752. СИЛА МОМЕНТА РУКОВОДСТВО ПО ДУХОВНОМУ ПРОСВЕТЛЕНИЮ 986.5 KB
  ДИКАРЛО ВВЕДЕНИЕ ПЕРВОПРИЧИНА ЭТОЙ КНИГИ ИСТИНА КОТОРАЯ ВНУТРИ ТЕБЯ ГЛАВА ПЕРВАЯ: ТЫ ЭТО НЕ ТВОЙ УМ САМОЕ БОЛЬШОЕ ПРЕПЯТСТВИЕ НА ПУТИ К ПРОСВЕТЛЕНИЮ ОСВОБОЖДЕНИЕ СЕБЯ ОТ УМА ПРОСВЕТЛЕНИЕ: ВОСХОЖДЕНИЕ НАД МЫШЛЕНИЕМ ЭМОЦИЯ: РЕАКЦИЯ ТЕЛА НА СОСТОЯНИЕ УМА ГЛАВА ВТОРАЯ: СОЗНАНИЕ: ПУТЬ ПРОЧЬ ОТ БОЛИ ПЕРЕСТАНЬ СОЗДАВАТЬ БОЛЬ В НАСТОЯЩЕМ БОЛЬ ИЗ ПРОШЛОГО: РАСТВОРЕНИЕ ТЕЛА БОЛИ ОТОЖДЕСТВЛЕНИЕ ЭГО С ТЕЛОМ БОЛИ ПЕРВОПРИЧИНА СТРАХА КАК ЭГО ИЩЕТ ЦЕЛОСТНОСТЬ ГЛАВА ТРЕТЬЯ: УГЛУБЛЯЯСЬ В МОМЕНТ СЕЙЧАС НЕ ИЩИ СЕБЯ В УМЕ ПОКОНЧИ С ИЛЛЮЗИЕЙ ВРЕМЕНИ НИЧТО НЕ...
38756. Осторожно! Вредные продукты 2.96 MB
  Когда начинаешь говорить о последствиях наступивших в результате употребления некоторых продуктов питания которых и продуктамито назвать затруднительно люди часто отмахиваются: Да ведь живем же. Вообще история развития диетологии напоминает политический детектив: различные виды продуктов то подвергались гонениям то возводились на пьедестал. Но ныне диетология остепенилась и окончательно стала тем чем собственно она всегда и была мощным средством одурачивания в руках недобросовестных производителей продуктов питания. Но На...
38757. Отношение человека к собственному телу 155.5 KB
  Что происходило в Ваших отношениях с другими вследствие этой травмы Как изменились Ваши отношения с коллегами друзьями родителями любимыми в ситуации травмы Какой у Вас появился опыт преодоления травмы Изменилось ли Ваше обращение с собственным телом Какой способ обхождения с травмами и болью Вы получили Изменились ли Ваши цели планы надежды в связи с травмой Обратитесь к своему телу или части тела которая была повреждена и причиняла страдания. Что бы Вы могли сказать этой части тела Мысленно осмотрите свое тело и...
38758. Ораторское искусство 411 KB
  Критерием качества усвоения той или иной темы является умение подмечать ошибки допускаемые в собственной речи и или в речах других людей глубоко и всесторонне анализировать язык и стиль публичных выступлений ярко образно аргументированно и убедительно излагать те или иные положения. Тема 1Предмет и функции ораторского искусства В научной литературе понятия риторика красноречие мастерство публичного выступления ораторское искусство нередко используются как родственные. Разделяет ее в частности отечественная философская...