36214

Понятие плана эксперимента. Оптимизационные свойства планов экспериментов. Полный факторный план и его свойства

Доклад

Математика и математический анализ

Оптимизационные свойства планов экспериментов. Полный факторный план и его свойства. Одной из главных задач планирования экспериментов является выбор множества экспериментальных точек в некотором смысле оптимальных.

Русский

2013-09-21

46 KB

31 чел.

12 Вопрос

Понятие плана эксперимента. Оптимизационные свойства планов экспериментов. Полный факторный план и его свойства.

Пример 5.3. Пусть объект имеет один входной параметр х. На рис. 5.1 цифрой 1 обозначена прямая, соответствующая истинной зависимости выхода от входа. Предположим, что в точках х1 и х2, расположенных вблизи средины области определения входного параметра, проведены эксперименты, но, вследствие ошибок, результаты, – точки у1 и у2, не лежат на линии 1. Построив по экспериментальным точкам уравнение эмпирической зависимости, получим прямую 2, которая, как видно на рисунке, значительно отличается от истинной зависимости.

Пусть теперь эксперименты проведены в точках х3 и х4, расположенных по краям области определения входного параметра, с такой же величиной ошибок. По полученным точкам у3 и у4 построена зависимость, соответствующая прямой 3, которая, как видно из рисунка, значительно ближе к истинной линии, чем прямая 2.

Вывод: за счет рационального выбора экспериментальных точек можно значительно повысить точность создаваемой модели.

Одной из главных задач планирования экспериментов является выбор множества экспериментальных точек, в некотором смысле оптимальных.

Def.  Пусть х – область возможных значений входных параметров объекта, которую назовем областью планирования. Планом эксперимента называется некоторое подмножество Р(х)  х точек, в которых проводятся эксперименты. Обычно план задается матрицей значений входных параметров в экспериментальных точках Х=[] – матрицей планирования, i =1,…N, j = 1,…, m.

Рассмотрим три оптимизационных свойства планов эксперимента – ортогональность, D- и G-оптимальность.

1. Ортогональные планы

Def. План называется ортогональным, если его точки расположены так на х, что столбцы матрицы Ф ортогональны.

Отметим основные свойства ортогональных планов.

1. Матрица (ФТФ) диагональна.

Из этого вытекает диагональность и матрицы (ФТФ) –1, а следовательно – независимость (некоррелированность) МНК-оценок. Это значит, например, что замена нулем любого коэффициента в уравнении модели не изменит значений оценок остальных коэффициентов. Такое свойство ортогональных планов оказывается очень полезным, когда точный вид модели неизвестен и исследователь использует экспериментальные данные для отбора переменных, существенно влияющих на выходную величину. Кроме того, диагональность матрицы (ФТФ) существенно упрощает расчетные формулы нахождения МНК-оценок.

2. Ортогональный план минимизирует дисперсию МНК-оценок при плохой спецификации модели.

2. D- и G-оптимальные планы

Def. План называется D-оптимальным, если его точки расположены так на х, что достигается max detТФ) (или, что то же самое, – min detТФ) –1).

Величина определителя матрицы С = 2ТФ)–1, согласно свойству 8 собственных значений матриц, характеризует “объем” доверительного эллипсоида МНК-оценок, а, следовательно, является обобщенной характеристикой дисперсий МНК-оценок. Поэтому свойство D-оптимальности плана экспериментов эквивалентно свойству устойчивости оценок коэффициентов модели (2.1), их близости к истинным значениям коэффициентов.

Def. План называется G-оптимальным, если его точки расположены так, что достигается минимум максимального по хх значения дисперсии прогноза D[(x)].

Для того, чтобы свойства D- и G-оптимальности зависели не от количества проведенных экспериментов, а только от выбранных точек, используется нормированная дисперсионная матрица МНК-оценок: NТФ) –1 и, соответственно, нормированная дисперсия прогноза:

d(x) = N f(x)ТТФ) –1 f(x).

Обозначим dmax = max{d(x) | x х} – максимальное значение нормированной дисперсии прогноза. Согласно определению, значение dmax должно быть минимальным, если план Р(х) является G-оптимальным. Имеют место следующие свойства.

Теорема 5.3 (об эквивалентности оптимальных планов). Для любого плана следующие утверждения эквивалентны.

1) План является D-оптимальным.

2) План является G-оптимальным.

3) dmax = k, где k – число коэффициентов модели (2.1).

Эквивалентность пунктов 1) и 2) означает, что любой D-оптимальный план экспериментов является одновременно и G-оптимальным и наоборот. Пункт 3) указывает простой способ проверки качества любого плана по величине = (dmaxk) / k. Для D- и G-оптимальных планов = 0, для прочих планов > 0.

Теорема 5.4 (об инвариантности D-оптимального плана). D-оптимальный план инвариантен относительно любого невырожденного линейного преобразования базисных функций fj(x).

7. D-оптимальные и близкие к ним планы на гиперкубе

Достижение возможно большей точности модели связано с оптимальным использованием области планирования х при проведении экспериментов. Поэтому при использовании критериев D- или G-оптимальности вид области планирования является очень важным условием задачи и произвольное изменение ее конфигурации приводит к существенному изменению оптимального плана.

Будем считать, что областью значений входных параметров объекта является гиперкуб: х = [ –1, +1] m, т.е. хj[ –1, +1], j = 1,…m. Для произвольного отрезка [] легко найти замену переменных, переводящую его в         [ –1, +1]:

.

Согласно теореме 5.4, после такой замены план останется D-оптимальным.

7.1. Полный факторный план (ПФП) – это план, в котором каждый входной параметр принимает два значения: +1 и –1 и при этом перебираются все возможные комбинации. Число строк в матрице Х равно N =2m. Рассмотрим основные свойства ПФП.

1. Столбцы матрицы Ф для линейной y = b0 + b1x1 +…+ bmxm и неполной квадратичной y = b0 + b1x1 +…+ bmxm + b12 x1 x2 + b13 x1 x3 + … + bm –1, m    xm –1 xm моделей в ПФП ортогональны, а, следовательно, матрица ФТФ диагональна и равна NIk.

Свойство легко проверяется.

2. Для линейной и неполной квадратичной моделей ПФП является D-оптимальным.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75858. Методи викладання іноземної мови. Особливості програм аудіолінгвального та аудіовізуального підходів 48 KB
  Особливості програм аудіолінгвального та аудіовізуального підходів Аудіолінгвальний метод Аудіолінгвальний метод створений Чарльзом Фрізом 18871967 та Робертом Ладо 1915 в США в 4050і роки XX ст. Ця вимога порівнювати мовні системи відрізняє аудіолінгвальний метод від усіх інших прямих та непрямих методів. Суть запропонованого Фрізом і Ладо методу який пізніше був названий американським методистом Нельсоном Бруком аудіолінгвальним полягає в роботі зі структурами оскільки на їх думку знати мову це уміти користуватися...
75860. Лінгвістичні засоби впливу в рекламі. Маніпулятивні стратегії 56.5 KB
  Что касается грамматической организации рекламных текстов, она представляет собой удивительное своеобразие на фоне нескончаемой однородности. Относительно порядка слов следует подчеркнуть употребление инверсии и пассивных конструкций - Detroit Edison is pleased to be
75862. Визначення і методи комп. Бібліографування та реферування 24.53 KB
  К аналитическим методам относятся: Общий библиографический анализ документа осуществляемый в целях выяснения ее основной тематики формальных и содержательных особенностей достоинств и недостатков целевого и читательского назначения; Библиографическое описание документа...
75863. Термінологія та термінографія 103.5 KB
  Теорією і практикою укладання словників займається термінологічна лексикографія. Розроблення загальної класифікації документів є одним із провідних напрямків документознавства класифікація термінологічних словників розглядається в колі проблематики термінографії. Метою дослідження є встановлення видових і типологічних особливостей термінологічних словників розроблення класифікаційної схеми. Це створить передумови для розроблення методології та конкретних способів укладання спеціальних словників вироблення науково обґрунтованих принципів...
75864. Термінологія та термінографія. Термінологічні словники 25.71 KB
  Термины очень специфический предмет исследования. В отличие от слов разговорного языка и языка художественной литературы термины языковое средство профессиональной деятельности людей естественный компонент любого профессионального процесса. Термины функционируют и развиваются вместе с функционированием и развитием своей отрасли. Это придает используемым в ходе профессиональной деятельности языковым средствам среди которых доминируют термины особую значимость.
75865. Види інформаційно-пошукових систем. Ключові слова. Пошуковий образ документу. Інформаційно-пошукова мова 27.06 KB
  По характеру предоставления логической организации хранимой информации ИПС разделяются на фактографические документальные и геоинформационные. В документальных единичным элементом информации является нерасчлененный на более мелкие элементы документ и информация при вводе как правило не структурируются или структурируются в ограниченном виде. Для вводимого документа могут устанавливаться некоторые формализованные позиции дата изготовления исполнитель тематика. Некоторые виды документальных информационных систем обеспечивают установление...
75866. Соціолект. Види соціолектів 26.42 KB
  Койне. Термин койне первоначально применялся лишь к общегреческому языку который сложился в 43 вв. В современной социолингвистике койне повседневное общение которое связывает людей говорящих на разных региональных или социальных вариантах данного языка. В роли койне могут выступать наддиалектные формы языка своеобразные интердиалекты объединяющие в себе черты разных территориальных диалектов или один из языков функционирующих в данном ареале.