36214
Понятие плана эксперимента. Оптимизационные свойства планов экспериментов. Полный факторный план и его свойства
Доклад
Математика и математический анализ
Оптимизационные свойства планов экспериментов. Полный факторный план и его свойства. Одной из главных задач планирования экспериментов является выбор множества экспериментальных точек в некотором смысле оптимальных.
Русский
2013-09-21
46 KB
31 чел.
12 Вопрос
Понятие плана эксперимента. Оптимизационные свойства планов экспериментов. Полный факторный план и его свойства.
Пример 5.3. Пусть объект имеет один входной параметр х. На рис. 5.1 цифрой 1 обозначена прямая, соответствующая истинной зависимости выхода от входа. Предположим, что в точках х1 и х2, расположенных вблизи средины области определения входного параметра, проведены эксперименты, но, вследствие ошибок, результаты, точки у1 и у2, не лежат на линии 1. Построив по экспериментальным точкам уравнение эмпирической зависимости, получим прямую 2, которая, как видно на рисунке, значительно отличается от истинной зависимости.
Пусть теперь эксперименты проведены в точках х3 и х4, расположенных по краям области определения входного параметра, с такой же величиной ошибок. По полученным точкам у3 и у4 построена зависимость, соответствующая прямой 3, которая, как видно из рисунка, значительно ближе к истинной линии, чем прямая 2.
Вывод: за счет рационального выбора экспериментальных точек можно значительно повысить точность создаваемой модели.
Одной из главных задач планирования экспериментов является выбор множества экспериментальных точек, в некотором смысле оптимальных.
Def. Пусть х область возможных значений входных параметров объекта, которую назовем областью планирования. Планом эксперимента называется некоторое подмножество Р(х) х точек, в которых проводятся эксперименты. Обычно план задается матрицей значений входных параметров в экспериментальных точках Х=[] матрицей планирования, i =1,…N, j = 1,…, m.
Рассмотрим три оптимизационных свойства планов эксперимента ортогональность, D- и G-оптимальность.
1. Ортогональные планы
Def. План называется ортогональным, если его точки расположены так на х, что столбцы матрицы Ф ортогональны.
Отметим основные свойства ортогональных планов.
1. Матрица (ФТФ) диагональна.
Из этого вытекает диагональность и матрицы (ФТФ) 1, а следовательно независимость (некоррелированность) МНК-оценок. Это значит, например, что замена нулем любого коэффициента в уравнении модели не изменит значений оценок остальных коэффициентов. Такое свойство ортогональных планов оказывается очень полезным, когда точный вид модели неизвестен и исследователь использует экспериментальные данные для отбора переменных, существенно влияющих на выходную величину. Кроме того, диагональность матрицы (ФТФ) существенно упрощает расчетные формулы нахождения МНК-оценок.
2. Ортогональный план минимизирует дисперсию МНК-оценок при плохой спецификации модели.
2. D- и G-оптимальные планы
Def. План называется D-оптимальным, если его точки расположены так на х, что достигается max det(ФТФ) (или, что то же самое, min det (ФТФ) 1).
Величина определителя матрицы С = 2(ФТФ)1, согласно свойству 8 собственных значений матриц, характеризует “объем” доверительного эллипсоида МНК-оценок, а, следовательно, является обобщенной характеристикой дисперсий МНК-оценок. Поэтому свойство D-оптимальности плана экспериментов эквивалентно свойству устойчивости оценок коэффициентов модели (2.1), их близости к истинным значениям коэффициентов.
Def. План называется G-оптимальным, если его точки расположены так, что достигается минимум максимального по хх значения дисперсии прогноза D[(x)].
Для того, чтобы свойства D- и G-оптимальности зависели не от количества проведенных экспериментов, а только от выбранных точек, используется нормированная дисперсионная матрица МНК-оценок: N(ФТФ) 1 и, соответственно, нормированная дисперсия прогноза:
d(x) = N f(x)Т(ФТФ) 1 f(x).
Обозначим dmax = max{d(x) | x х} максимальное значение нормированной дисперсии прогноза. Согласно определению, значение dmax должно быть минимальным, если план Р(х) является G-оптимальным. Имеют место следующие свойства.
Теорема 5.3 (об эквивалентности оптимальных планов). Для любого плана следующие утверждения эквивалентны.
1) План является D-оптимальным.
2) План является G-оптимальным.
3) dmax = k, где k число коэффициентов модели (2.1).
Эквивалентность пунктов 1) и 2) означает, что любой D-оптимальный план экспериментов является одновременно и G-оптимальным и наоборот. Пункт 3) указывает простой способ проверки качества любого плана по величине = (dmax k) / k. Для D- и G-оптимальных планов = 0, для прочих планов > 0.
Теорема 5.4 (об инвариантности D-оптимального плана). D-оптимальный план инвариантен относительно любого невырожденного линейного преобразования базисных функций fj(x).
7. D-оптимальные и близкие к ним планы на гиперкубе
Достижение возможно большей точности модели связано с оптимальным использованием области планирования х при проведении экспериментов. Поэтому при использовании критериев D- или G-оптимальности вид области планирования является очень важным условием задачи и произвольное изменение ее конфигурации приводит к существенному изменению оптимального плана.
Будем считать, что областью значений входных параметров объекта является гиперкуб: х = [ 1, +1] m, т.е. хj[ 1, +1], j = 1,…m. Для произвольного отрезка [] легко найти замену переменных, переводящую его в [ 1, +1]:
.
Согласно теореме 5.4, после такой замены план останется D-оптимальным.
7.1. Полный факторный план (ПФП) это план, в котором каждый входной параметр принимает два значения: +1 и 1 и при этом перебираются все возможные комбинации. Число строк в матрице Х равно N =2m. Рассмотрим основные свойства ПФП.
1. Столбцы матрицы Ф для линейной y = b0 + b1x1 +…+ bmxm и неполной квадратичной y = b0 + b1x1 +…+ bmxm + b12 x1 x2 + b13 x1 x3 + … + bm 1, m xm 1 xm моделей в ПФП ортогональны, а, следовательно, матрица ФТФ диагональна и равна NIk.
Свойство легко проверяется.
2. Для линейной и неполной квадратичной моделей ПФП является D-оптимальным.
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
75858. | Методи викладання іноземної мови. Особливості програм аудіолінгвального та аудіовізуального підходів | 48 KB | |
Особливості програм аудіолінгвального та аудіовізуального підходів Аудіолінгвальний метод Аудіолінгвальний метод створений Чарльзом Фрізом 18871967 та Робертом Ладо 1915 в США в 4050і роки XX ст. Ця вимога порівнювати мовні системи відрізняє аудіолінгвальний метод від усіх інших прямих та непрямих методів. Суть запропонованого Фрізом і Ладо методу який пізніше був названий американським методистом Нельсоном Бруком аудіолінгвальним полягає в роботі зі структурами оскільки на їх думку знати мову це уміти користуватися... | |||
75860. | Лінгвістичні засоби впливу в рекламі. Маніпулятивні стратегії | 56.5 KB | |
Что касается грамматической организации рекламных текстов, она представляет собой удивительное своеобразие на фоне нескончаемой однородности. Относительно порядка слов следует подчеркнуть употребление инверсии и пассивных конструкций - Detroit Edison is pleased to be | |||
75862. | Визначення і методи комп. Бібліографування та реферування | 24.53 KB | |
К аналитическим методам относятся: Общий библиографический анализ документа осуществляемый в целях выяснения ее основной тематики формальных и содержательных особенностей достоинств и недостатков целевого и читательского назначения; Библиографическое описание документа... | |||
75863. | Термінологія та термінографія | 103.5 KB | |
Теорією і практикою укладання словників займається термінологічна лексикографія. Розроблення загальної класифікації документів є одним із провідних напрямків документознавства класифікація термінологічних словників розглядається в колі проблематики термінографії. Метою дослідження є встановлення видових і типологічних особливостей термінологічних словників розроблення класифікаційної схеми. Це створить передумови для розроблення методології та конкретних способів укладання спеціальних словників вироблення науково обґрунтованих принципів... | |||
75864. | Термінологія та термінографія. Термінологічні словники | 25.71 KB | |
Термины очень специфический предмет исследования. В отличие от слов разговорного языка и языка художественной литературы термины языковое средство профессиональной деятельности людей естественный компонент любого профессионального процесса. Термины функционируют и развиваются вместе с функционированием и развитием своей отрасли. Это придает используемым в ходе профессиональной деятельности языковым средствам среди которых доминируют термины особую значимость. | |||
75865. | Види інформаційно-пошукових систем. Ключові слова. Пошуковий образ документу. Інформаційно-пошукова мова | 27.06 KB | |
По характеру предоставления логической организации хранимой информации ИПС разделяются на фактографические документальные и геоинформационные. В документальных единичным элементом информации является нерасчлененный на более мелкие элементы документ и информация при вводе как правило не структурируются или структурируются в ограниченном виде. Для вводимого документа могут устанавливаться некоторые формализованные позиции дата изготовления исполнитель тематика. Некоторые виды документальных информационных систем обеспечивают установление... | |||
75866. | Соціолект. Види соціолектів | 26.42 KB | |
Койне. Термин койне первоначально применялся лишь к общегреческому языку который сложился в 43 вв. В современной социолингвистике койне повседневное общение которое связывает людей говорящих на разных региональных или социальных вариантах данного языка. В роли койне могут выступать наддиалектные формы языка своеобразные интердиалекты объединяющие в себе черты разных территориальных диалектов или один из языков функционирующих в данном ареале. | |||