36214

Понятие плана эксперимента. Оптимизационные свойства планов экспериментов. Полный факторный план и его свойства

Доклад

Математика и математический анализ

Оптимизационные свойства планов экспериментов. Полный факторный план и его свойства. Одной из главных задач планирования экспериментов является выбор множества экспериментальных точек в некотором смысле оптимальных.

Русский

2013-09-21

46 KB

27 чел.

12 Вопрос

Понятие плана эксперимента. Оптимизационные свойства планов экспериментов. Полный факторный план и его свойства.

Пример 5.3. Пусть объект имеет один входной параметр х. На рис. 5.1 цифрой 1 обозначена прямая, соответствующая истинной зависимости выхода от входа. Предположим, что в точках х1 и х2, расположенных вблизи средины области определения входного параметра, проведены эксперименты, но, вследствие ошибок, результаты, – точки у1 и у2, не лежат на линии 1. Построив по экспериментальным точкам уравнение эмпирической зависимости, получим прямую 2, которая, как видно на рисунке, значительно отличается от истинной зависимости.

Пусть теперь эксперименты проведены в точках х3 и х4, расположенных по краям области определения входного параметра, с такой же величиной ошибок. По полученным точкам у3 и у4 построена зависимость, соответствующая прямой 3, которая, как видно из рисунка, значительно ближе к истинной линии, чем прямая 2.

Вывод: за счет рационального выбора экспериментальных точек можно значительно повысить точность создаваемой модели.

Одной из главных задач планирования экспериментов является выбор множества экспериментальных точек, в некотором смысле оптимальных.

Def.  Пусть х – область возможных значений входных параметров объекта, которую назовем областью планирования. Планом эксперимента называется некоторое подмножество Р(х)  х точек, в которых проводятся эксперименты. Обычно план задается матрицей значений входных параметров в экспериментальных точках Х=[] – матрицей планирования, i =1,…N, j = 1,…, m.

Рассмотрим три оптимизационных свойства планов эксперимента – ортогональность, D- и G-оптимальность.

1. Ортогональные планы

Def. План называется ортогональным, если его точки расположены так на х, что столбцы матрицы Ф ортогональны.

Отметим основные свойства ортогональных планов.

1. Матрица (ФТФ) диагональна.

Из этого вытекает диагональность и матрицы (ФТФ) –1, а следовательно – независимость (некоррелированность) МНК-оценок. Это значит, например, что замена нулем любого коэффициента в уравнении модели не изменит значений оценок остальных коэффициентов. Такое свойство ортогональных планов оказывается очень полезным, когда точный вид модели неизвестен и исследователь использует экспериментальные данные для отбора переменных, существенно влияющих на выходную величину. Кроме того, диагональность матрицы (ФТФ) существенно упрощает расчетные формулы нахождения МНК-оценок.

2. Ортогональный план минимизирует дисперсию МНК-оценок при плохой спецификации модели.

2. D- и G-оптимальные планы

Def. План называется D-оптимальным, если его точки расположены так на х, что достигается max det(ФТФ) (или, что то же самое, – min det (ФТФ) –1).

Величина определителя матрицы С = 2(ФТФ)–1, согласно свойству 8 собственных значений матриц, характеризует “объем” доверительного эллипсоида МНК-оценок, а, следовательно, является обобщенной характеристикой дисперсий МНК-оценок. Поэтому свойство D-оптимальности плана экспериментов эквивалентно свойству устойчивости оценок коэффициентов модели (2.1), их близости к истинным значениям коэффициентов.

Def. План называется G-оптимальным, если его точки расположены так, что достигается минимум максимального по хх значения дисперсии прогноза D[(x)].

Для того, чтобы свойства D- и G-оптимальности зависели не от количества проведенных экспериментов, а только от выбранных точек, используется нормированная дисперсионная матрица МНК-оценок: N(ФТФ) –1 и, соответственно, нормированная дисперсия прогноза:

d(x) = N f(x)Т(ФТФ) –1 f(x).

Обозначим dmax = max{d(x) | x х} – максимальное значение нормированной дисперсии прогноза. Согласно определению, значение dmax должно быть минимальным, если план Р(х) является G-оптимальным. Имеют место следующие свойства.

Теорема 5.3 (об эквивалентности оптимальных планов). Для любого плана следующие утверждения эквивалентны.

1) План является D-оптимальным.

2) План является G-оптимальным.

3) dmax = k, где k – число коэффициентов модели (2.1).

Эквивалентность пунктов 1) и 2) означает, что любой D-оптимальный план экспериментов является одновременно и G-оптимальным и наоборот. Пункт 3) указывает простой способ проверки качества любого плана по величине = (dmax – k) / k. Для D- и G-оптимальных планов = 0, для прочих планов > 0.

Теорема 5.4 (об инвариантности D-оптимального плана). D-оптимальный план инвариантен относительно любого невырожденного линейного преобразования базисных функций fj(x).

7. D-оптимальные и близкие к ним планы на гиперкубе

Достижение возможно большей точности модели связано с оптимальным использованием области планирования х при проведении экспериментов. Поэтому при использовании критериев D- или G-оптимальности вид области планирования является очень важным условием задачи и произвольное изменение ее конфигурации приводит к существенному изменению оптимального плана.

Будем считать, что областью значений входных параметров объекта является гиперкуб: х = [ –1, +1] m, т.е. хj[ –1, +1], j = 1,…m. Для произвольного отрезка [] легко найти замену переменных, переводящую его в         [ –1, +1]:

.

Согласно теореме 5.4, после такой замены план останется D-оптимальным.

7.1. Полный факторный план (ПФП) – это план, в котором каждый входной параметр принимает два значения: +1 и –1 и при этом перебираются все возможные комбинации. Число строк в матрице Х равно N =2m. Рассмотрим основные свойства ПФП.

1. Столбцы матрицы Ф для линейной y = b0 + b1x1 +…+ bmxm и неполной квадратичной y = b0 + b1x1 +…+ bmxm + b12 x1 x2 + b13 x1 x3 + … + bm –1, m    xm –1 xm моделей в ПФП ортогональны, а, следовательно, матрица ФТФ диагональна и равна NIk.

Свойство легко проверяется.

2. Для линейной и неполной квадратичной моделей ПФП является D-оптимальным.