36214

Понятие плана эксперимента. Оптимизационные свойства планов экспериментов. Полный факторный план и его свойства

Доклад

Математика и математический анализ

Оптимизационные свойства планов экспериментов. Полный факторный план и его свойства. Одной из главных задач планирования экспериментов является выбор множества экспериментальных точек в некотором смысле оптимальных.

Русский

2013-09-21

46 KB

27 чел.

12 Вопрос

Понятие плана эксперимента. Оптимизационные свойства планов экспериментов. Полный факторный план и его свойства.

Пример 5.3. Пусть объект имеет один входной параметр х. На рис. 5.1 цифрой 1 обозначена прямая, соответствующая истинной зависимости выхода от входа. Предположим, что в точках х1 и х2, расположенных вблизи средины области определения входного параметра, проведены эксперименты, но, вследствие ошибок, результаты, – точки у1 и у2, не лежат на линии 1. Построив по экспериментальным точкам уравнение эмпирической зависимости, получим прямую 2, которая, как видно на рисунке, значительно отличается от истинной зависимости.

Пусть теперь эксперименты проведены в точках х3 и х4, расположенных по краям области определения входного параметра, с такой же величиной ошибок. По полученным точкам у3 и у4 построена зависимость, соответствующая прямой 3, которая, как видно из рисунка, значительно ближе к истинной линии, чем прямая 2.

Вывод: за счет рационального выбора экспериментальных точек можно значительно повысить точность создаваемой модели.

Одной из главных задач планирования экспериментов является выбор множества экспериментальных точек, в некотором смысле оптимальных.

Def.  Пусть х – область возможных значений входных параметров объекта, которую назовем областью планирования. Планом эксперимента называется некоторое подмножество Р(х)  х точек, в которых проводятся эксперименты. Обычно план задается матрицей значений входных параметров в экспериментальных точках Х=[] – матрицей планирования, i =1,…N, j = 1,…, m.

Рассмотрим три оптимизационных свойства планов эксперимента – ортогональность, D- и G-оптимальность.

1. Ортогональные планы

Def. План называется ортогональным, если его точки расположены так на х, что столбцы матрицы Ф ортогональны.

Отметим основные свойства ортогональных планов.

1. Матрица (ФТФ) диагональна.

Из этого вытекает диагональность и матрицы (ФТФ) –1, а следовательно – независимость (некоррелированность) МНК-оценок. Это значит, например, что замена нулем любого коэффициента в уравнении модели не изменит значений оценок остальных коэффициентов. Такое свойство ортогональных планов оказывается очень полезным, когда точный вид модели неизвестен и исследователь использует экспериментальные данные для отбора переменных, существенно влияющих на выходную величину. Кроме того, диагональность матрицы (ФТФ) существенно упрощает расчетные формулы нахождения МНК-оценок.

2. Ортогональный план минимизирует дисперсию МНК-оценок при плохой спецификации модели.

2. D- и G-оптимальные планы

Def. План называется D-оптимальным, если его точки расположены так на х, что достигается max detТФ) (или, что то же самое, – min detТФ) –1).

Величина определителя матрицы С = 2ТФ)–1, согласно свойству 8 собственных значений матриц, характеризует “объем” доверительного эллипсоида МНК-оценок, а, следовательно, является обобщенной характеристикой дисперсий МНК-оценок. Поэтому свойство D-оптимальности плана экспериментов эквивалентно свойству устойчивости оценок коэффициентов модели (2.1), их близости к истинным значениям коэффициентов.

Def. План называется G-оптимальным, если его точки расположены так, что достигается минимум максимального по хх значения дисперсии прогноза D[(x)].

Для того, чтобы свойства D- и G-оптимальности зависели не от количества проведенных экспериментов, а только от выбранных точек, используется нормированная дисперсионная матрица МНК-оценок: NТФ) –1 и, соответственно, нормированная дисперсия прогноза:

d(x) = N f(x)ТТФ) –1 f(x).

Обозначим dmax = max{d(x) | x х} – максимальное значение нормированной дисперсии прогноза. Согласно определению, значение dmax должно быть минимальным, если план Р(х) является G-оптимальным. Имеют место следующие свойства.

Теорема 5.3 (об эквивалентности оптимальных планов). Для любого плана следующие утверждения эквивалентны.

1) План является D-оптимальным.

2) План является G-оптимальным.

3) dmax = k, где k – число коэффициентов модели (2.1).

Эквивалентность пунктов 1) и 2) означает, что любой D-оптимальный план экспериментов является одновременно и G-оптимальным и наоборот. Пункт 3) указывает простой способ проверки качества любого плана по величине = (dmaxk) / k. Для D- и G-оптимальных планов = 0, для прочих планов > 0.

Теорема 5.4 (об инвариантности D-оптимального плана). D-оптимальный план инвариантен относительно любого невырожденного линейного преобразования базисных функций fj(x).

7. D-оптимальные и близкие к ним планы на гиперкубе

Достижение возможно большей точности модели связано с оптимальным использованием области планирования х при проведении экспериментов. Поэтому при использовании критериев D- или G-оптимальности вид области планирования является очень важным условием задачи и произвольное изменение ее конфигурации приводит к существенному изменению оптимального плана.

Будем считать, что областью значений входных параметров объекта является гиперкуб: х = [ –1, +1] m, т.е. хj[ –1, +1], j = 1,…m. Для произвольного отрезка [] легко найти замену переменных, переводящую его в         [ –1, +1]:

.

Согласно теореме 5.4, после такой замены план останется D-оптимальным.

7.1. Полный факторный план (ПФП) – это план, в котором каждый входной параметр принимает два значения: +1 и –1 и при этом перебираются все возможные комбинации. Число строк в матрице Х равно N =2m. Рассмотрим основные свойства ПФП.

1. Столбцы матрицы Ф для линейной y = b0 + b1x1 +…+ bmxm и неполной квадратичной y = b0 + b1x1 +…+ bmxm + b12 x1 x2 + b13 x1 x3 + … + bm –1, m    xm –1 xm моделей в ПФП ортогональны, а, следовательно, матрица ФТФ диагональна и равна NIk.

Свойство легко проверяется.

2. Для линейной и неполной квадратичной моделей ПФП является D-оптимальным.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82804. Производство аммофоса 528.52 KB
  Целью данной курсовой работы является изучение производства аммофоса и решение поставленных задач, таких как: анализ существующих способов получения аммофоса, составление общей характеристики исходного сырья, также изучение физико-химических основ процесса, выбор и описание...
82805. Сетевые модели управления проектом 122.4 KB
  Планирование и управление комплексом работ по проекту представляет собой сложную и как правило противоречивую задачу. Методы сетевого планирования могут широко и успешно применяются для оптимизации планирования и управления сложными разветвленными комплексами работ которые требуют участия...
82806. Разработка фирменного знака компании «City Express» и эметов брендбука 13.45 MB
  Целью этой работы является создание логотипа компании «City Express» в качестве основы фирменного стиля. Для реализации данной цели были поставлены следующие задачи: Обзоры и анализ аналогов. Привести примеры фирменных знаков аналогичных компаний. Привести примеры фирменных знаков аналогичных компаний.
82807. Формирование мировых цен на нефть и нефтепродукты 371.23 KB
  Целью данной работы является анализ основных процессов, формирующих уровень и динамику мировых цен на сырую нефть. Исходя из поставленной цели, в работе были определены следующие задачи: определить основные характеристики мировой цены на рынке нефти; произвести анализ системы ценообразования на мировом рынке нефти...
82808. МОНАРХИЯ КАК ВИД ФОРМЫ ПРАВЛЕНИЯ 64.76 KB
  Целью настоящей работы является исследование понятий и признаков монархии как формы правления государства. Достижение поставленной в работе цели возможно путем решения следующих задач: проанализировать формы правления как составную часть формы любого государства; изучить признаки и виды монархии...
82809. Організація і планування галузі рослинництва та перспективи їх розвитку в РАБК «Ново-Некрасівський» 100.04 KB
  Як показують результати діяльності сільськогосподарських підприємств за останні роки, рівень ефективності сільськогосподарського виробництва в більшій їх частині залишається низьким і не забезпечує розширеного відтворення.
82810. Разработка интенсивной технологии выращивания сливы для Предгорной зоны Крыма 654.61 KB
  Климатические условия этой зоны характеризуются пониженным количеством выпадающих атмосферных осадков, неравномерным распределением их по периодам года, высоким температурным режимом, низкой относительной влажностью воздуха, особенно в наиболее критические периоды роста и развития растений.
82811. Разработка модели системы «печать фото» 302.5 KB
  Всякая деятельность тем успешнее, чем выше уровень ее системности; неудачи вызваны недостаточной системностью. Выделяют три уровня системности труда: механизация, автоматизация, кибернетизация. Возможности механизации ограничены участием человека.
82812. Организация, проведение сессии и анализ ее результатов 65.62 KB
  Информатизация — это не столько технологический, сколько социальный и даже культурологический процесс, связанный со значительными изменениями в образе жизни населения. Такие процессы требуют серьёзных усилий не только властей, но и всего сообщества пользователей информационно-коммуникационных...