36214

Понятие плана эксперимента. Оптимизационные свойства планов экспериментов. Полный факторный план и его свойства

Доклад

Математика и математический анализ

Оптимизационные свойства планов экспериментов. Полный факторный план и его свойства. Одной из главных задач планирования экспериментов является выбор множества экспериментальных точек в некотором смысле оптимальных.

Русский

2013-09-21

46 KB

27 чел.

12 Вопрос

Понятие плана эксперимента. Оптимизационные свойства планов экспериментов. Полный факторный план и его свойства.

Пример 5.3. Пусть объект имеет один входной параметр х. На рис. 5.1 цифрой 1 обозначена прямая, соответствующая истинной зависимости выхода от входа. Предположим, что в точках х1 и х2, расположенных вблизи средины области определения входного параметра, проведены эксперименты, но, вследствие ошибок, результаты, – точки у1 и у2, не лежат на линии 1. Построив по экспериментальным точкам уравнение эмпирической зависимости, получим прямую 2, которая, как видно на рисунке, значительно отличается от истинной зависимости.

Пусть теперь эксперименты проведены в точках х3 и х4, расположенных по краям области определения входного параметра, с такой же величиной ошибок. По полученным точкам у3 и у4 построена зависимость, соответствующая прямой 3, которая, как видно из рисунка, значительно ближе к истинной линии, чем прямая 2.

Вывод: за счет рационального выбора экспериментальных точек можно значительно повысить точность создаваемой модели.

Одной из главных задач планирования экспериментов является выбор множества экспериментальных точек, в некотором смысле оптимальных.

Def.  Пусть х – область возможных значений входных параметров объекта, которую назовем областью планирования. Планом эксперимента называется некоторое подмножество Р(х)  х точек, в которых проводятся эксперименты. Обычно план задается матрицей значений входных параметров в экспериментальных точках Х=[] – матрицей планирования, i =1,…N, j = 1,…, m.

Рассмотрим три оптимизационных свойства планов эксперимента – ортогональность, D- и G-оптимальность.

1. Ортогональные планы

Def. План называется ортогональным, если его точки расположены так на х, что столбцы матрицы Ф ортогональны.

Отметим основные свойства ортогональных планов.

1. Матрица (ФТФ) диагональна.

Из этого вытекает диагональность и матрицы (ФТФ) –1, а следовательно – независимость (некоррелированность) МНК-оценок. Это значит, например, что замена нулем любого коэффициента в уравнении модели не изменит значений оценок остальных коэффициентов. Такое свойство ортогональных планов оказывается очень полезным, когда точный вид модели неизвестен и исследователь использует экспериментальные данные для отбора переменных, существенно влияющих на выходную величину. Кроме того, диагональность матрицы (ФТФ) существенно упрощает расчетные формулы нахождения МНК-оценок.

2. Ортогональный план минимизирует дисперсию МНК-оценок при плохой спецификации модели.

2. D- и G-оптимальные планы

Def. План называется D-оптимальным, если его точки расположены так на х, что достигается max detТФ) (или, что то же самое, – min detТФ) –1).

Величина определителя матрицы С = 2ТФ)–1, согласно свойству 8 собственных значений матриц, характеризует “объем” доверительного эллипсоида МНК-оценок, а, следовательно, является обобщенной характеристикой дисперсий МНК-оценок. Поэтому свойство D-оптимальности плана экспериментов эквивалентно свойству устойчивости оценок коэффициентов модели (2.1), их близости к истинным значениям коэффициентов.

Def. План называется G-оптимальным, если его точки расположены так, что достигается минимум максимального по хх значения дисперсии прогноза D[(x)].

Для того, чтобы свойства D- и G-оптимальности зависели не от количества проведенных экспериментов, а только от выбранных точек, используется нормированная дисперсионная матрица МНК-оценок: NТФ) –1 и, соответственно, нормированная дисперсия прогноза:

d(x) = N f(x)ТТФ) –1 f(x).

Обозначим dmax = max{d(x) | x х} – максимальное значение нормированной дисперсии прогноза. Согласно определению, значение dmax должно быть минимальным, если план Р(х) является G-оптимальным. Имеют место следующие свойства.

Теорема 5.3 (об эквивалентности оптимальных планов). Для любого плана следующие утверждения эквивалентны.

1) План является D-оптимальным.

2) План является G-оптимальным.

3) dmax = k, где k – число коэффициентов модели (2.1).

Эквивалентность пунктов 1) и 2) означает, что любой D-оптимальный план экспериментов является одновременно и G-оптимальным и наоборот. Пункт 3) указывает простой способ проверки качества любого плана по величине = (dmaxk) / k. Для D- и G-оптимальных планов = 0, для прочих планов > 0.

Теорема 5.4 (об инвариантности D-оптимального плана). D-оптимальный план инвариантен относительно любого невырожденного линейного преобразования базисных функций fj(x).

7. D-оптимальные и близкие к ним планы на гиперкубе

Достижение возможно большей точности модели связано с оптимальным использованием области планирования х при проведении экспериментов. Поэтому при использовании критериев D- или G-оптимальности вид области планирования является очень важным условием задачи и произвольное изменение ее конфигурации приводит к существенному изменению оптимального плана.

Будем считать, что областью значений входных параметров объекта является гиперкуб: х = [ –1, +1] m, т.е. хj[ –1, +1], j = 1,…m. Для произвольного отрезка [] легко найти замену переменных, переводящую его в         [ –1, +1]:

.

Согласно теореме 5.4, после такой замены план останется D-оптимальным.

7.1. Полный факторный план (ПФП) – это план, в котором каждый входной параметр принимает два значения: +1 и –1 и при этом перебираются все возможные комбинации. Число строк в матрице Х равно N =2m. Рассмотрим основные свойства ПФП.

1. Столбцы матрицы Ф для линейной y = b0 + b1x1 +…+ bmxm и неполной квадратичной y = b0 + b1x1 +…+ bmxm + b12 x1 x2 + b13 x1 x3 + … + bm –1, m    xm –1 xm моделей в ПФП ортогональны, а, следовательно, матрица ФТФ диагональна и равна NIk.

Свойство легко проверяется.

2. Для линейной и неполной квадратичной моделей ПФП является D-оптимальным.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27770. Песталоцци 18.14 KB
  Передовая студенческая молодежь к которой принадлежал Песталоцци организовала кружок €œпатриотов€ находившийся под влиянием идей французских просветителей и в первую очередь Руссо. Цюрихские власти подвергли кратковременному аресту нескольких активных членов кружка в том числе и Песталоцци. Выйдя из тюрьмы Песталоцци не завершив своего образования поселился в деревне в имении Нейгоф чтобы организовать образцовое сельское хозяйство которое могло бы наглядно показать крестьянам как улучшить свое положение. Но этот утопический...
27771. Социальный педагог 16.1 KB
  Социальный педагог осуществляет социальнопедагогическую деятельность со всеми категориями населения: с детьми подростками молодежью взрослыми. Социальный педагог является связующим звеном между клиентом и его окружением посредником в системе взаимодействия личности семьи общества. или специализированных учреждениях отделение социальной помощи детский дом центр реабилитации социальный приют медикопсихологическая консультация телефон доверия центр занятости и трудоустройства и т.
27772. Планирования работы с неблагополучными семьями 18.87 KB
  Программа работы варьируется в связи с изменившимися условиями но обязательно заслушивается на заседании общественной инспекции по делам несовершеннолетних при администрации поселка или комиссии по делам несовершеннолетних и защите их прав о выполнении данной программы. Поэтому социальный педагог должен взаимодействовать с учителями классными руководителями семьей и ребенком приложить все усилия для результативной работы. Одна из форм работы социального педагога с семьей социальный патронаж представляющая собой посещение семьи на дому с...
27773. Педагогическая деятельность Л. Н. Толстого 25.96 KB
  Толстой вступил как он сам писал об этом позже в период трехлетнего страстного увлечения этим делом. Толстой считал что наступило время вспомним что тогда Россия переживала период первой революционной ситуации и подъема общественнопедагогического движения когда образованные люди страны должны активно помогать народным массам испытывавшим огромную потребность в образовании удовлетворить это их законное стремление не доверяя столь важного дела царской власти. Толстой систематически освещал в своем педагогическом журнале Ясная...
27774. Социализирующие функции семьи 26.46 KB
  На всех этапах социализации образовательный уровень семьи интересы ее членов сказываются на интеллектуальном развитии человека на том какие пласты культуры он усваивает на стремлении к продолжению образования и к самообразованию. Вчетвертых семья имеет важное значение в овладении человеком социальными нормами а когда речь идет о нормах определяющих исполнение им семейных ролей влияние семьи становится кардинальным. Ценности и атмосфера семьи определяют и то насколько она становится средой саморазвития и ареной самореализации ее...
27775. СПЕЦИФИКА РАБОТЫ СОЦИАЛЬНОГО ПЕДАГОГА В ЛЕТНИХ ОЗДОРОВИТЕЛЬНЫХ ЛАГЕРЯХ 20.36 KB
  Социальный педагог находясь среди детей в летнем лагере чувствуя их настроение зная их проблемы реально оценивая возможности личности устанавливает доброжелательные гуманистические отношения устраняет дефицит общения. При этом специалист оценивает влияние микросреды детского лагеря окружения детей групп сверстников объединений подростков. Все это педагоги связывают с деятельностью детей на практике и включают в работу лагерной смены. Таким образом у детей формируется эмоциональноценностное отношение к миру и человеческой...
27776. Классификация методов обучения 15.12 KB
  По источникам передачи и характеру восприятия информации система традиционных методов Е. По характеру взаимной деятельности учителя и учащихся система методов обучения И. По основным компонентам деятельности учителя система методов Ю.
27777. Воспитание 20.32 KB
  Методы воспитания – способы взаимосвязанной деятельности воспитателей и воспитанников направленной на решение задач воспитания. Характеризуя методы воспитания нельзя не упомянуть прием воспитания. главный признак основание по которому методы группируются и обособляются В педагогике существует многообразная классификация методов воспитания. Бабанского в основу классификации положена концепция деятельности: Методы формирования сознания: рассказ беседа лекция дискуссия диспут метод примера; Методы организации деятельности и...
27778. Механизмы социализации 18.95 KB
  Существуют различные подходы к рассмотрению механизмов социализации. Американский ученый Ури Бронфенбренер механизмом социализации считает прогрессивную взаимную аккомодацию приспособляемость между активным растущим человеческим существом и изменяющимися условиями в которых оно живет. Мухина рассматривает в качестве механизмов социализации идентификацию и обособление личности а А.