36214

Понятие плана эксперимента. Оптимизационные свойства планов экспериментов. Полный факторный план и его свойства

Доклад

Математика и математический анализ

Оптимизационные свойства планов экспериментов. Полный факторный план и его свойства. Одной из главных задач планирования экспериментов является выбор множества экспериментальных точек в некотором смысле оптимальных.

Русский

2013-09-21

46 KB

31 чел.

12 Вопрос

Понятие плана эксперимента. Оптимизационные свойства планов экспериментов. Полный факторный план и его свойства.

Пример 5.3. Пусть объект имеет один входной параметр х. На рис. 5.1 цифрой 1 обозначена прямая, соответствующая истинной зависимости выхода от входа. Предположим, что в точках х1 и х2, расположенных вблизи средины области определения входного параметра, проведены эксперименты, но, вследствие ошибок, результаты, – точки у1 и у2, не лежат на линии 1. Построив по экспериментальным точкам уравнение эмпирической зависимости, получим прямую 2, которая, как видно на рисунке, значительно отличается от истинной зависимости.

Пусть теперь эксперименты проведены в точках х3 и х4, расположенных по краям области определения входного параметра, с такой же величиной ошибок. По полученным точкам у3 и у4 построена зависимость, соответствующая прямой 3, которая, как видно из рисунка, значительно ближе к истинной линии, чем прямая 2.

Вывод: за счет рационального выбора экспериментальных точек можно значительно повысить точность создаваемой модели.

Одной из главных задач планирования экспериментов является выбор множества экспериментальных точек, в некотором смысле оптимальных.

Def.  Пусть х – область возможных значений входных параметров объекта, которую назовем областью планирования. Планом эксперимента называется некоторое подмножество Р(х)  х точек, в которых проводятся эксперименты. Обычно план задается матрицей значений входных параметров в экспериментальных точках Х=[] – матрицей планирования, i =1,…N, j = 1,…, m.

Рассмотрим три оптимизационных свойства планов эксперимента – ортогональность, D- и G-оптимальность.

1. Ортогональные планы

Def. План называется ортогональным, если его точки расположены так на х, что столбцы матрицы Ф ортогональны.

Отметим основные свойства ортогональных планов.

1. Матрица (ФТФ) диагональна.

Из этого вытекает диагональность и матрицы (ФТФ) –1, а следовательно – независимость (некоррелированность) МНК-оценок. Это значит, например, что замена нулем любого коэффициента в уравнении модели не изменит значений оценок остальных коэффициентов. Такое свойство ортогональных планов оказывается очень полезным, когда точный вид модели неизвестен и исследователь использует экспериментальные данные для отбора переменных, существенно влияющих на выходную величину. Кроме того, диагональность матрицы (ФТФ) существенно упрощает расчетные формулы нахождения МНК-оценок.

2. Ортогональный план минимизирует дисперсию МНК-оценок при плохой спецификации модели.

2. D- и G-оптимальные планы

Def. План называется D-оптимальным, если его точки расположены так на х, что достигается max detТФ) (или, что то же самое, – min detТФ) –1).

Величина определителя матрицы С = 2ТФ)–1, согласно свойству 8 собственных значений матриц, характеризует “объем” доверительного эллипсоида МНК-оценок, а, следовательно, является обобщенной характеристикой дисперсий МНК-оценок. Поэтому свойство D-оптимальности плана экспериментов эквивалентно свойству устойчивости оценок коэффициентов модели (2.1), их близости к истинным значениям коэффициентов.

Def. План называется G-оптимальным, если его точки расположены так, что достигается минимум максимального по хх значения дисперсии прогноза D[(x)].

Для того, чтобы свойства D- и G-оптимальности зависели не от количества проведенных экспериментов, а только от выбранных точек, используется нормированная дисперсионная матрица МНК-оценок: NТФ) –1 и, соответственно, нормированная дисперсия прогноза:

d(x) = N f(x)ТТФ) –1 f(x).

Обозначим dmax = max{d(x) | x х} – максимальное значение нормированной дисперсии прогноза. Согласно определению, значение dmax должно быть минимальным, если план Р(х) является G-оптимальным. Имеют место следующие свойства.

Теорема 5.3 (об эквивалентности оптимальных планов). Для любого плана следующие утверждения эквивалентны.

1) План является D-оптимальным.

2) План является G-оптимальным.

3) dmax = k, где k – число коэффициентов модели (2.1).

Эквивалентность пунктов 1) и 2) означает, что любой D-оптимальный план экспериментов является одновременно и G-оптимальным и наоборот. Пункт 3) указывает простой способ проверки качества любого плана по величине = (dmaxk) / k. Для D- и G-оптимальных планов = 0, для прочих планов > 0.

Теорема 5.4 (об инвариантности D-оптимального плана). D-оптимальный план инвариантен относительно любого невырожденного линейного преобразования базисных функций fj(x).

7. D-оптимальные и близкие к ним планы на гиперкубе

Достижение возможно большей точности модели связано с оптимальным использованием области планирования х при проведении экспериментов. Поэтому при использовании критериев D- или G-оптимальности вид области планирования является очень важным условием задачи и произвольное изменение ее конфигурации приводит к существенному изменению оптимального плана.

Будем считать, что областью значений входных параметров объекта является гиперкуб: х = [ –1, +1] m, т.е. хj[ –1, +1], j = 1,…m. Для произвольного отрезка [] легко найти замену переменных, переводящую его в         [ –1, +1]:

.

Согласно теореме 5.4, после такой замены план останется D-оптимальным.

7.1. Полный факторный план (ПФП) – это план, в котором каждый входной параметр принимает два значения: +1 и –1 и при этом перебираются все возможные комбинации. Число строк в матрице Х равно N =2m. Рассмотрим основные свойства ПФП.

1. Столбцы матрицы Ф для линейной y = b0 + b1x1 +…+ bmxm и неполной квадратичной y = b0 + b1x1 +…+ bmxm + b12 x1 x2 + b13 x1 x3 + … + bm –1, m    xm –1 xm моделей в ПФП ортогональны, а, следовательно, матрица ФТФ диагональна и равна NIk.

Свойство легко проверяется.

2. Для линейной и неполной квадратичной моделей ПФП является D-оптимальным.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48678. Расчет концентраций и расходов исходной и очищенной газовой смеси и количество поглощаемого СО2 279 KB
  VG н м3 ч Степень поглощения ψ Размеры колец Рашига характеристический размер N мм Коэффициент избытка поглотителя r Отношение скорости газа к скорости захлёбывания n Абсорбтив Вещество Молекулярная масса M кг кмоль Степень поглощения ψ Молярный поток абсорбтива на входе газовой фазы n н кмоль с Молярный межфазный поток Δn кмоль с Молярный коэффициент распределения m кмоль кмоль Абсорбат Вещество G Молекулярная масса MG кг кмоль Молярная доля на входе низ колонны yn н мол. доля Относительная молярная доля на входе низ колонны Yn н...
48679. Основи теорії кіл. Методичні вказівки 1.31 MB
  Технічне завдання на проектування фільтру та графік виконання курсової роботи. За технічним завданням необхідно виконати синтез і аналіз двох типів фільтрів: фільтру нижніх частот або верхніх частот а також смугового або загороджувального фільтру. Смуга частот яка призначена для виділення частотних складових спектру сигналу називається смугою пропускання фільтру.1 Класифікація і частотні характеристики електричних фільтрів Частотновибіркові властивості фільтру прийнято характеризувати частотною залежністю його комплексного коефіцієнта...
48680. Цифровые системы передачи непрерывных сообщений. Методические указания 488 KB
  Основная задача курсовой работы закрепление навыков расчёта характеристик системы передачи непрерывных сообщений цифровыми сигналами. Содержание работы Исходными данными для выполнения работы являются: 1 статистические характеристики сообщения; 2 допустимое значение относительной среднеквадратичной ошибки искажений сообщения при его преобразовании в цифровую форму и действии помех; 3 вид модуляции сигнала во второй ступени. С учётом заданного вида модуляции сигнала определить его параметры характеризующие форму и требуемое...
48681. Исследование характеристик линейных электрических цепей 2.58 MB
  Задание к курсовой работе Нормирование параметров и переменных цепи Определение передаточной функции цепи Hs Расчет частотных характеристик цепи Hj Определение переходной h1t и импульсной ht характеристик Вычисление реакции цепи при воздействии одиночного импульса на входе Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе Определение спектра периодического входного сигнала Приближенный расчет реакции при...
48682. Численное моделирование и анализ переходных процессов в электрической цепи 576 KB
  В начальный момент времени ключ находится в положении При этом цепь разомкнута, напряжение на конденсаторе и ток в катушке равны нулю (U = 0, I = 0). Происходит первое переключение ключа (ключ мгновенно переводится в положение 2). При этом происходит заряд конденсатора, меняются значения U и I.
48684. Основы теории цепей 379 KB
  Содержание расчетно-пояснительной записки: таблица исходных данных; электрическая схема фильтра системы уравнений цепи; комплексная функция передачи; карта полюсов и нулей; АЧХ и ФЧХ и импульсные характеристики. С помощью метода узловых напряжений составляется система уравнения цепи в математической и скалярной форме.
48685. Проектирование электрической сети для электроснабжения потребителей целлюлозно-бумажной промышленности 1.33 MB
  В условиях эксплуатации баланс мощности составляется на каждый час суток(диспетчерский график нагрузки), и на каждый месяц следующего квартала. При проектировании электрической сети баланс мощности составляется для определения суммарного необходимого ввода мощности на электростанциях и обмена потоками мощностей с энергосистемой.
48686. Организация пассажирского движения 988.5 KB
  Для каждой категории поездов необходимо установить число и продолжительность стоянок по техническим надобностям смены локомотивов и локомотивных бригад технического осмотра составов снабжения топливом водой а также для посадки и высадки пассажиров или погрузки выгрузки багажа и почты. Общим условием рациональной технологии обработки всех поездов является выполнение вспомогательных и подготовительных операций до их прибытия на станцию на основе предварительной информации о наличии свободных мест количестве багажа и почты...