36215

Классификация математических моделей. Критерии качества моделей. Примеры моделей

Доклад

Математика и математический анализ

Примеры моделей Суть моделирования состоит в замене исходного объекта упрощенной копией математической моделью ММ и дальнейшем изучении модели с помощью вычислительнологических алгоритмов реализуемых на компьютерах. При исследовании любой системы методами математического моделирования возможно наличие нескольких альтернативных вариантов модели. Поэтому процесс построения наилучшего как правило компромиссного варианта модели достаточно сложен. Системный подход предполагает наличие следующих этапов создания модели.

Русский

2013-09-21

66.5 KB

122 чел.

Классификация математических моделей. Критерии качества моделей. Примеры моделей

Суть моделирования состоит в замене исходного объекта упрощенной копией – математической моделью (ММ) и дальнейшем изучении модели с помощью вычислительно-логических алгоритмов, реализуемых на компьютерах. При исследовании любой системы методами математического моделирования возможно наличие нескольких альтернативных вариантов модели. Каждая из них в чем-то лучше других, а чем-то хуже. Поэтому процесс построения наилучшего, как правило, компромиссного варианта модели, достаточно сложен. Системный подход предполагает наличие следующих этапов создания модели.

1. Определение цели моделирования. Любая ММ является не просто образом -заменителем оригинала, а отображением целевым. Т.е. модель всегда создаётся с определённой целью и в модели отображаются не полностью весь объект-оригинал, а только то, что в нем нас интересует с точки зрения поставленной цели. Иными словами вид создаваемой модели существенно зависит от цели моделирования. Поэтому прежде чем начинать создавать модель, надо приложить достаточное количество умственных усилий и потратить достаточно времени, чтобы определить, для чего нам нужна модель,

2. Синтез модели – создание возможных ее вариантов. Различают

а) структурный синтез – разработка структуры модели: ее общего вида (например, в виде систем уравнений, алгебраических или дифференциальных), определение числа параметров и т.п.;

б) параметрический синтез – поиск числовых значений параметров модели. Производится либо на основании справочных данных, либо исходя из условия максимального совпадения результатов, найденных по модели с экспериментальными.

3. Анализ модели – определение качества синтезированного варианта модели по критериям:

а) универсальности – полноты отображаемых свойств объекта;

б) точности  степени совпадения реальных данных с предсказанными моделью;

в) адекватности – способности правильно отображать свойства объекта в рамках цели моделирования (решаемой задачи) ;

г) экономичности – затрат на разработку и реализацию модели.

4. Выбор и принятие решения – общая оценка полезности вариантов модели и выбор лучшего.

Классификация математических моделей

Как любое сложное понятие или явление, математические модели не могут классифицироваться однозначно, по какому-то одному признаку. В таблице 2.1 перечислены основные признаки классификации моделей и названы соответствующие их классы. Дадим краткую характеристику каждому из перечисленных классов.

Таблица 2.1

Классификация математических моделей

Классифицирующий признак

Названия классов моделей

Уровень первоначальных знаний об объекте

Декларативные, процедурные

Характер отображаемых свойств объекта

«Черный ящик»,  структурные, функциональные

Способ представления свойств объекта

Описания, решения, алгоритмические, программные

Тип решаемой задачи

Синтеза, анализа, выбора

Декларативные и процедурные модели

Декларативные модели (качественные, классификационные) являются отображением первичных форм знаний об объекте исследований.

Декларативные модели характеризуются тем, что в них целевые признаки имеют вид наименований классов. Иными словами, результатом построения декларативной модели объекта является ответ на вопрос “как называется?”, или “на что похож?”

Процедурные модели (количественные, числовые) являются следствием более продвинутых знаний об объекте. Они отличаются от декларативных моделей тем, что целевые признаки в них измеряются в числовых шкалах. Как правило, процедурные модели определяют в той или иной форме зависимость между некоторыми параметрами моделируемого объекта. Приведем типичные задачи, решаемые посредством числовых моделей.

1) Косвенные измерения (оценка параметра). Имеется набор известных (измеренных) величин {xi}. Требуется определить по ним значение некоторой новой величины y, как-то связанной с исходными.

2) Восстановление зависимости. Имеется набор измеренных пар {(xi, уi)}. Требуется восстановить по этим данным зависимость, связывающую параметры х и у.

«Черный ящик», структурные и функциональные модели

“Черный ящик”. Первым действием, которое необходимо выполнить при составлении модели любой системы – отделение объекта исследования от окружающей среды. Простейшим наглядным образом реализации данной операции может служить представление системы в виде непрозрачного “ящика”, выделенного из окружающей среды. Уже эта, максимально простая, модель по-своему отражает два важных свойства системы: целостность и обособленность от среды.

Любая система не совсем изолирована от окружающей среды, а поддерживает с ней определенные связи, посредством которых система и среда как-то воздействуют друг на друга. Поэтому следующим этапом моделирования может быть изображение этих связей в виде стрелок, направленных из системы в среду – выходы, и из среды к системе – входы. В данной графической модели выходы ассоциируются с целью системы. В результате мы построили модель системы, которая получила название “черный ящик”. Название образно подчеркивает полное отсутствие сведений о внутреннем содержимом “ящика”.

Модель “черного ящика” часто оказывается не только очень полезной, но в ряде случаев – единственно применимой при изучении системы. Например, при исследовании влияния лекарств на живой организм мы лишены возможности вмешательства в систему иначе, как только через ее входы, а выводы делаем только на основании наблюдений за ее выходами. Это вообще относится к таким исследованиям, в результате проведения которых нужно получить данные о системе в обычной для нее обстановке, где следует специально заботиться о том, чтобы измерения как можно меньше влияли на саму систему.

Структурная модель используется, когда необходимо описать сложный объект, состоящий из нескольких частей. В простейшем случае эта модель включает в себя перечень элементов, входящих в объект и тогда используется термин “модель состава”. Однако очевидно, что есть вопросы, решить которые с помощью модели состава нельзя. Чтобы получить велосипед, недостаточно иметь ящик со всеми его деталями (элементным составом). Необходимо еще правильно соединить все детали между собой, или установить между элементами определенные связи – отношения. Такая, более сложная модель, кроме состава показывает характер связей между частями объекта. Обычно именно такая модель и называется структурной.

Для представления структурных моделей пришлось абстрагироваться от содержательной стороны структур, оставив только общее для каждой системы. В результате получилась конструкция, в которой обозначается только наличие элементов и связей между ними. Такая схема называется графом и является наиболее наглядной и компактной формой представления структурной модели.

Граф – конструкция, включающая в себя некоторое множество V (обычно конечное) и определенное на нем отношение E. Геометрическим образом графа является фигура, состоящая из точек (вершин), соединенных линиями (ребрами). Точки соответствуют элементам объекта, ребра – имеющимся связям. Направленные связи снабжаются стрелками и называются ориентированными ребрами или дугами.

Таким образом, структурная модель объекта является ответом на вопрос “из чего состоит и как связаны эти части?”

При более детальном моделировании структуры часто бывает необходимо ввести определенную дифференциацию связей между элементами объекта – отметить сильные и слабые связи, либо применить более сильную шкалу. В общем случае эта операция означает введение параметров (весов) на множестве ребер структурной модели.

Функциональная модель. Следующий шаг в исследовании объектов произвольной природы после определения его состава и связей состоит в том, чтобы понять и описать, как объект “работает”, что происходит в самом объекте и окружающей его среде в ходе реализации поставленной цели. Очевидно, что и подход к описанию, и степень подробности описания происходящих процессов могут быть различными. Общим при этом является то, что разрабатываемые модели должны отражать поведение объекта при меняющихся условиях (в частности – с течением времени), описывать последовательность каких-то этапов, операций, действий, причинно-следственные отношения, т. е. описывать функцию объекта.

Модель, описывающая функцию объекта, называется функциональной. Она изображается в виде математических соотношений, отражающих те законы природы и закономерности, согласно которым функционирует объект.

Внешне функциональная модель обычно представляет собой систему математических выражений (формул), например, в виде дифференциальных и/или алгебраических уравнений. Но иногда используются модели иной структуры, например, графические – сетевые графики (для представления временной последовательности выполняемых действий), сети Петри (диаграммы причинно-следственных связей), блок-схемы (последовательность шагов реализации инструкций, алгоримта) и т.п. Выбор того или иного типа модели определяется типом протекающих процессов и целью моделирования.

Модели описания, решения, алгоритмические, программные

В ходе решения поставленной задачи (реализации цели моделирования) математическая модель претерпевает определенные изменения. Процесс возникновения и развития произвольной системы принято именовать термином “жизненный цикл”. В данном случае речь пойдет о жизненном цикле модели.

Первой фазой жизненного цикла модели является переложение на язык математических соотношений цели моделирования, которая обычно задается в словесном (вербальном, неформализованном) виде. В результате такого действия получается модель описания.

Далее строится модель решения – набор математических выражений, указывающих способ получения решения задачи. Существует три разновидности этой модели: аналитическая, численная и имитационная.

Аналитическая модель – явное выражение искомой величины через известные. Численная модель – набор выражений, позволяющих получить решение в виде набора чисел. Имитационная модель – переложение на язык компьютера формальных правил функционирования моделируемого объекта; она позволяет при заданном входе получить значение выхода и, по сути, реализует метод проб.

Пример 2.12. Пусть имеем уравнение аx2 + bx + c = 0, которое описывает некоторый объект и, следовательно, является моделью описания. Описание способа нахождения значения х представляет собой модель решения. Для квадратного уравнения существует известная формула:         

Это явное выражение для искомой величины х, следовательно, это аналитическая модель решения.

В том случае, когда аналитическая модель слишком сложная (формулы решения уравнений 3-й и 4-й степени) либо вообще не существует (для уравнений 5-й степени и выше), то используется численная модель.

Пример 2.13. Например: дано уравнение f(x) = 0, где  f – произвольная непрерывная функция. Для решения можно использовать численный метод Ньютона (касательных). Для этого выбирают начальное приближение x0, а затем строят последовательность уточняющих решений по формуле:

                   

xk + 1 = xk –  (k = 0, 1…);    .

Для приближённого решения уравнения f(x) = 0 можно также задать достаточно много различных значений x и выбрать то из них, для которого  | f(x) | = min, т.е. f(x) ближе всего к 0. Это простейший вид имитационной модели для решения уравнения. Часто в качестве значений входных параметров берутся случайные значения, полученные с помощью датчиков случайных чисел. В этом случае говорят, что используется случайная имитация.

Дадим краткую характеристику каждой модели, которая поможет выбирать ту или иную модель в каждом конкретном случае.

Аналитическая модель является наиболее точной, кроме того, она позволяет получить решение в общем виде. Поэтому если это возможно, всегда надо стараться получить именно аналитическую модель решения.

Численная модель более универсальна, практически не уступает по точности аналитической модели, но не позволяет получить решение в общем виде.

Имитационная модель наименее точна, но является самой простой. Ее используют для получения окончательного решения только при моделировании сложных объектов, для которых невозможно составить прочие модели решений. В более простых случаях имитационную модель применяют для поиска начального приближения для получения окончательного решению с помощью численной модели, либо для предварительного анализа объекта, позволяющего получить некоторое начальное представление о предмете моделирования.

Алгоритмическая модель – запись решения в виде алгоритма. Ее отличие от модели решения состоит в том, что последняя не обязана обладать всеми свойствами алгоритма: конечность, определённость, результативность, массовость, эффективность. Чаще всего модель решения не обладает свойством конечности.

Программная модель – запись алгоритма на языке программирования.

Модели синтеза, анализа и выбора

В широком смысле понятие синтез означает создание чего-либо (системы управления, модели), а анализ – исследование чего-либо уже существующего (решения задачи, проекта, ситуации).

Соответственно, моделью синтеза будем называть модель, позволяющую создать некий объект с заданным набором свойств, а моделью анализа – модель, позволяющую изучить, исследовать некий уже существующий объект.

Принято различать структурный синтез – синтез, создание структуры объекта и параметрический синтез – определение значений параметров объекта, а также структурный анализ – исследование свойств структуры данного объекта и параметрический анализ – исследование свойств объекта при заданных его параметрах.

Также различают простой синтез – создание произвольного (“первого попавшегося”) объекта, обладающего заданными свойствами и оптимальный синтез – создание такого объекта, одним из заданных свойств которого является удовлетворение требованиям оптимальности в каком-либо смысле.

На рис. 2.3 представлена схема взаимодействия перечисленных моделей и последовательность решения соответствующих задач моделирования.

Проблема оптимального синтеза тесно связана с проблемой выбора, т.е. проверки того, насколько тот или иной объект удовлетворяет данным требованиям и его принятие или отклонение. Модели, посвященные решению задачи выбора, будем называть моделями выбора. К настоящему времени сложилось три основных языка описания выбора:

- критериальный язык;

- язык бинарных отношений;

- язык функций выбора.

Каждый следующий из названных языков является определенным обобщением предыдущего.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76158. Проблема організації доступу учнів до Інтернету за умов обмеженої кількості компютерів в класі. Різні форми організації роботи в Інтернеті 42.88 KB
  Подумати тільки якщо Інтернет за такий короткий час розвитку робить такі неуявні речі то що буде в майбутньому Інтернет увійде в кожен будинок. Використання Інтернету буде настільки ж багатогранно як багатогранна й саме життя...
76159. Утренняя гигиеническая Гимнастика 90 KB
  Формирование человека на всех этапах его эволюционного развития проходило в неразрывной связи с активной мышечной деятельностью. Организм человека развивается в постоянном движении. Сама природа распорядилась так что человеку необходимо развивать свои физические способности.
76161. ОСОБЕННОСТИ РОССИЙСКОЙ БЮРОКРАТИИ 106.5 KB
  В течение многих десятилетий в России да и во всем мире господствовали исключительно бюрократические системы управления. Вначале их применение было организационным новшеством поскольку внедрялась рациональная организация труда управление и процесс принятия решений стали профессией.
76162. Специальные налоговые режимы в РФ 39.45 KB
  Под специальным налоговым режимом понимается особый порядок исчисления и уплаты налогов и сборов в течение определенного периода времени применяемый в случаях и в порядке установленном законодательством о налогах и сборах.
76164. Инстурмены та реализации денежно-кредитной политики государства 165.63 KB
  Валютные операции: операции связанные с переходом права собственности и иных прав на валютные ценности а также использование валютных ценностей в качестве средства платежа; ввоз пересылка и перевод в Республику Казахстан а также вывоз пересылка и перевод из Республики Казахстан валютных...