36216

Простейший поток и его свойства. Модель простейшего потока

Доклад

Математика и математический анализ

Модель простейшего потока. Свойства ординарного потока. Тогда для любого случайного потока имеем равенство как сумма вероятностей полной группы событий. Для ординарного же потока имеем.

Русский

2013-09-21

61 KB

29 чел.

Простейший поток и его свойства. Модель простейшего потока.

Простейший поток

Случайный поток. Случайный потокпоследовательность некоторых случайных событий. Поток называется однородным, если он характеризуется только моментами наступления этих событий t1, … tn, … Однородный случайный поток называется простейшим, если он обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия.

Стационарность означает, что вероятность наступления случайного события за интервал времени Т зависит только от величины Т и не зависит от положения этого интервала на временной оси. Иными словами, вероятность события , где t – момент наступления случайного события, зависит только от Т и не зависит от . Например, рассмотрим случайный поток, в котором событием является звонок на коммутатор телефонной станции. Ясно, что частота звонков будет различной в дневное и ночное время. Это означает, что такой поток не является стационарным. Многочисленные наблюдения различных явлений показали, что стационарные потоки наблюдаются не так часто, однако, если рассматривать явления в сравнительно ограниченные промежутки времени (отдельно дневные, вечерние и ночные часы для телефонной станции), то предположение стационарности может служить удовлетворительным первым приближением.

Ординарность означает, что вероятность наступления более одного события за малый промежуток времени h практически равна нулю. Более строго:

Предположение ординарности во многих случаях нарушается. Известно, например, что в магазины и билетные кассы обращаются сразу группами, в порт под разгрузку поступают караваны судов и т.д.

Отсутствие последействия означает, что вероятность наступления случайного события в любой момент времени не зависит от числа наступлений этого события до того. Иными словами, события  и  независимы. В теории вероятностей случайные процессы с отсутствием последействия (процессы без памяти) называются Марковскими случайными процессами. Гипотеза отсутствия последействия также во многих случаях недостаточно обоснована. Скажем, один телефонный звонок может повлечь за собой большое число звонков к другим абонентам. Иными словами, процесс может развиваться по принципу цепной реакции.

Несмотря на то, что три условия, определяющих простейший поток, как правило, не выполняются в полной мере, они могут служить хорошим отправным пунктом для изучения реальных потоков.

Свойства ординарного потока. Обозначим Pk(t1, t2) – вероятность того, что на отрезке [t1, t2] произойдет ровно k событий; P>k(t1, t2) – вероятность того, что на отрезке [t1, t2] произойдет более k событий. Тогда для любого случайного потока имеем равенство

P0(t, t + h) + P1(t, t + h) + P>1(t, t + h) = 1,

как сумма вероятностей полной группы событий. Для ординарного же потока имеем:

P0(t, t + h) + P1(t, t + h) = 1 + о(h);   P>1(t, t + h) = o(h)               (3.1)

– первое свойство.

Теперь найдем математическое ожидание числа событий, наступающих на отрезке [t, t + h]. Получим

М t, h[k] = 0P0(t, t + h) + 1P1(t, t + h) + o(h) = P1(t, t + h) + o(h)    (3.2)

– второе свойство.

Рассмотрим предел отношения М t, h[k] / h. Если этот предел существует, то он называется интенсивностью потока и обозначается (t). Интенсивность потока может быть любой неотрицательной функцией времени, имеющей размерность 1/сек (для стационарного потока (t) = = const). Тогда по свойству предела

P1(t, t + h) = (t) h + o(h)                                         (3.3)

– третье свойство.

Модель простейшего потока. Определим вероятность того, что на промежутке [0, t + h] произойдет ровно k случайных событий. Это может осуществиться k + 1способами:

1) за промежуток [0, t] наступят все k событий, а за [t, t + h] – ни одного;

2) за промежуток [0, t] наступят  k – 1 событий, а за [t, t + h] – одно;

…….

k + 1) за промежуток [0, t] не наступит ни одного события, а за [t, t + h] – все k.

Отсюда по формуле полной вероятности получаем:

.

Обозначим  и оценим эту сумму с учетом того, что все вероятности меньше единицы. Имеем

.

Согласно первому свойству ординарного потока правя часть полученного выражения равна о(h). В результате получаем

Pk(0, t + h) = Pk(0, t) P0(t, t + h) + Pk–1(0, t) P1(t, t + h) + o(h).             (3.4)

В этом равенстве в силу 3-свойства  P1(t, t + h) = (t) h + o(h). Кроме того

P0(t, t + h) = 1 – P1(t, t + h) – P>1(t, t + h) = 1 – (t) h + o(h).               (3.5)

Следовательно, равенство (4) для стационарного потока примет вид:

Pk(0, t + h) = Pk(0, t) (1 –  h) + Pk–1(0, t)  h + o(h),

из которого следует, что

.

В силу стационарности потока можно для краткости обозначить P(0, t) = P(t). Перейдя в полученном выражении к пределу при h  0, получим уравнение

,                                       (3.6)

в котором k  1. Добавим к системе (6) еще одно уравнение относительно P0(t). Имеем P0(t + h) = P0(t) P0(h). На основании уже проделанных выкладок это равенство можно заменить на эквивалентное ему:

P0(t + h) = P0(t)(1 –  h) + o(h),

а перейдя к пределу при h  0,  получим уравнение

,                                               (3.7)

Бесконечная система уравнений (6) – (7) представляет собой модель простейшего потока. Напомним, что Pk(0, t) = Pk(t) – вероятность того, что на промежутке [0, t] произошло ровно k случайных событий.

Решим полученную систему. Уравнение (7) легко решается непосредственно: P0(t) = Cet. Воспользовавшись очевидным начальным условием      P0(0) = 1, получим

P0(t) = et.                                                    (3.8)

Для решения уравнения относительно P1(t) воспользуемся известной формулой для линейного дифференциального уравнения 1-го порядка. Уравнение вида у + a(t) y = f(t) имеет общее решение:

.

Подставим (8) вместо Рk–1(t) при k = 1 в (6). Получим линейное уравнение , которое при начальном условии Р(0) = 0, имеет решение

.                                        (3.9)

По индукции легко показать, что при любом k  0 система (6) – (7) имеет решение вида

.                                           (3.10)

Свойства простейшего потока. Простейший поток обладает двумя  важными свойствами.

1. Свойство аддитивности, которое формулируется так: сумма простейших потоков с интенсивностями 1 и 2 снова является простейшим потоком с интенсивностью 1 + 2. Например, если заявки от двух разных независимых источников представляют собой простейшие потоки, и оба поступают на общий вход системы, то общий поток заявок, поступающих на вход равен сумме этих потоков.

2. Теорема 3.1. Для простейшего потока распределение длительности ожидания очередного события не зависит от того, сколько времени это событие уже ожидается.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28451. Гостиничная услуга, ее специфика и составные элементы. Особенности работы гостиничного предприятия 74.5 KB
  Зависимость гостиничных услуг от целей путешествия объясняется тем что решения гостя посетить определенное место основывается как правило не на факторе наличия в этом месте конкретной гостиницы. Колебания спроса непосредственным образом связаны с социальноэкономической и политической обстановкой месторасположения гостиницы. работа персонала гостиницы особенно тех кто непосредственно контактирует с клиентами требует умения и желания находить общий язык с самыми разными людьми поскольку среди постояльцев гостиницы бывают богатые и...
28452. Понятие и содержание инновационных процессов. Сущность и виды инноваций. Модель инновационной деятельности 63.5 KB
  В мировой практике и экономической литературе инновации интерпретируются как превращение потенциального научно технического прогресса в реальный воплощающийся в новых продуктах технологиях и услугах. Инновационная деятельность – это деятельность направленная на практическое использование научнотехнических результатов с целью получения нового продукта для удовлетворения потребностей общества. Инновации нововведение – это конечный результат инновационной деятельности получивший применение в виде нового или усовершенствованного продукта...
28453. Инфраструктура предприятий сервиса. Технические средства предприятий (организаций) социально-культурного сервиса и туризма 39 KB
  Многие туристские фирмы уделяют большое внимание компьютеризации системы бронирования в режим реального времени. Первые системы резервирования появились на рынке в середине 60х годов. Это были системы апполо и сабре. Создание глобальных распределительных сетей – в дополнение к возможностям электронного сервиса при бронировании мест для транспортирования авиапассажиров эти системы позволяют резервировать места в гостиницах брать на прокат автомобили.
28454. Организация подтверждения соответствия в сфере туристских услуг в РФ. Характеристика госуд стандартов, используемых в сфере туристских услуг 66.5 KB
  Сертификация форма осуществляемого органом по сертификации подтверждения соответствия объектов требованиям технических регламентов положениям стандартов или условиям договора. Система сертификации совокупность правил выполнения работ по сертификации ее участников и правил функционирования системы сертификации в целом. Сертификация форма осуществляемого органом по сертификации подтверждения соответствия объектов требованиям технических регламентов...
28455. Правовое обеспечение воздушных перевозок в международном и внутреннем сообщениях 107.5 KB
  И этому есть ряд причин: вопервых авиация самый быстрый и удобный вид транспорта при переездах на дальние расстояния; вовторых сервис на авиарейсах в настоящее время имеет привлекательный для туристов вид; втретьих авиационные компании напрямую и через международные сети бронирования и резервирования выплачивают туристским агентствам комиссионные за каждое забронированное в самолете место мотивируя их тем самым выбирать авиаперевозки. Основными документами регулирующими международные воздушные перевозки являются международные...
28456. Осмысление потребности в сущности бытия и сущности человека. Индивидуальные основные потребности и психофизиологические возможности человека 51.5 KB
  Осмысление потребности в сущности бытия и сущности человека. Индивидуальные основные потребности и психофизиологические возможности человека. Потребность – отражение в сознании человека необходимости получения чегото жизненно важного побуждающего его к активной целенаправленности деятельности. Удовлетворение потребностей – цель любой деятельности человека.
28457. Сутність та задачі психологічної підготовки 105.5 KB
  Зміст морально-психологічного забезпечення та його особливості при виконанні службово-бойових завдань у повсякденній діяльності військ. Особливості при виконанні службово-бойових завдань у повсякденній діяльності військ...
28458. Понятие и сущность сервисной деятельности. Отличительные особенности услуг от товаров 108.5 KB
  В соответствии с Российским ГОСТ 564694 Услуги населению. По функциональному назначению услуги оказываемые населению подразделяются на – материальные по удовлетворению материальнобытовых потребностей потребителя бытовых услуг и социальнокультурные услуги удовлетворение духовных интеллектуальных потребностей и поддержание нормальной жизнедеятельности потребителя. лиц оказывающих услуги населению. Обслуживание – это деятельность исполнителя при непосредственном контакте с потребителем услуги.