36216

Простейший поток и его свойства. Модель простейшего потока

Доклад

Математика и математический анализ

Модель простейшего потока. Свойства ординарного потока. Тогда для любого случайного потока имеем равенство как сумма вероятностей полной группы событий. Для ординарного же потока имеем.

Русский

2013-09-21

61 KB

31 чел.

Простейший поток и его свойства. Модель простейшего потока.

Простейший поток

Случайный поток. Случайный потокпоследовательность некоторых случайных событий. Поток называется однородным, если он характеризуется только моментами наступления этих событий t1, … tn, … Однородный случайный поток называется простейшим, если он обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия.

Стационарность означает, что вероятность наступления случайного события за интервал времени Т зависит только от величины Т и не зависит от положения этого интервала на временной оси. Иными словами, вероятность события , где t – момент наступления случайного события, зависит только от Т и не зависит от . Например, рассмотрим случайный поток, в котором событием является звонок на коммутатор телефонной станции. Ясно, что частота звонков будет различной в дневное и ночное время. Это означает, что такой поток не является стационарным. Многочисленные наблюдения различных явлений показали, что стационарные потоки наблюдаются не так часто, однако, если рассматривать явления в сравнительно ограниченные промежутки времени (отдельно дневные, вечерние и ночные часы для телефонной станции), то предположение стационарности может служить удовлетворительным первым приближением.

Ординарность означает, что вероятность наступления более одного события за малый промежуток времени h практически равна нулю. Более строго:

Предположение ординарности во многих случаях нарушается. Известно, например, что в магазины и билетные кассы обращаются сразу группами, в порт под разгрузку поступают караваны судов и т.д.

Отсутствие последействия означает, что вероятность наступления случайного события в любой момент времени не зависит от числа наступлений этого события до того. Иными словами, события  и  независимы. В теории вероятностей случайные процессы с отсутствием последействия (процессы без памяти) называются Марковскими случайными процессами. Гипотеза отсутствия последействия также во многих случаях недостаточно обоснована. Скажем, один телефонный звонок может повлечь за собой большое число звонков к другим абонентам. Иными словами, процесс может развиваться по принципу цепной реакции.

Несмотря на то, что три условия, определяющих простейший поток, как правило, не выполняются в полной мере, они могут служить хорошим отправным пунктом для изучения реальных потоков.

Свойства ординарного потока. Обозначим Pk(t1, t2) – вероятность того, что на отрезке [t1, t2] произойдет ровно k событий; P>k(t1, t2) – вероятность того, что на отрезке [t1, t2] произойдет более k событий. Тогда для любого случайного потока имеем равенство

P0(t, t + h) + P1(t, t + h) + P>1(t, t + h) = 1,

как сумма вероятностей полной группы событий. Для ординарного же потока имеем:

P0(t, t + h) + P1(t, t + h) = 1 + о(h);   P>1(t, t + h) = o(h)               (3.1)

– первое свойство.

Теперь найдем математическое ожидание числа событий, наступающих на отрезке [t, t + h]. Получим

М t, h[k] = 0P0(t, t + h) + 1P1(t, t + h) + o(h) = P1(t, t + h) + o(h)    (3.2)

– второе свойство.

Рассмотрим предел отношения М t, h[k] / h. Если этот предел существует, то он называется интенсивностью потока и обозначается (t). Интенсивность потока может быть любой неотрицательной функцией времени, имеющей размерность 1/сек (для стационарного потока (t) = = const). Тогда по свойству предела

P1(t, t + h) = (t) h + o(h)                                         (3.3)

– третье свойство.

Модель простейшего потока. Определим вероятность того, что на промежутке [0, t + h] произойдет ровно k случайных событий. Это может осуществиться k + 1способами:

1) за промежуток [0, t] наступят все k событий, а за [t, t + h] – ни одного;

2) за промежуток [0, t] наступят  k – 1 событий, а за [t, t + h] – одно;

…….

k + 1) за промежуток [0, t] не наступит ни одного события, а за [t, t + h] – все k.

Отсюда по формуле полной вероятности получаем:

.

Обозначим  и оценим эту сумму с учетом того, что все вероятности меньше единицы. Имеем

.

Согласно первому свойству ординарного потока правя часть полученного выражения равна о(h). В результате получаем

Pk(0, t + h) = Pk(0, t) P0(t, t + h) + Pk–1(0, t) P1(t, t + h) + o(h).             (3.4)

В этом равенстве в силу 3-свойства  P1(t, t + h) = (t) h + o(h). Кроме того

P0(t, t + h) = 1 – P1(t, t + h) – P>1(t, t + h) = 1 – (t) h + o(h).               (3.5)

Следовательно, равенство (4) для стационарного потока примет вид:

Pk(0, t + h) = Pk(0, t) (1 –  h) + Pk–1(0, t)  h + o(h),

из которого следует, что

.

В силу стационарности потока можно для краткости обозначить P(0, t) = P(t). Перейдя в полученном выражении к пределу при h  0, получим уравнение

,                                       (3.6)

в котором k  1. Добавим к системе (6) еще одно уравнение относительно P0(t). Имеем P0(t + h) = P0(t) P0(h). На основании уже проделанных выкладок это равенство можно заменить на эквивалентное ему:

P0(t + h) = P0(t)(1 –  h) + o(h),

а перейдя к пределу при h  0,  получим уравнение

,                                               (3.7)

Бесконечная система уравнений (6) – (7) представляет собой модель простейшего потока. Напомним, что Pk(0, t) = Pk(t) – вероятность того, что на промежутке [0, t] произошло ровно k случайных событий.

Решим полученную систему. Уравнение (7) легко решается непосредственно: P0(t) = Cet. Воспользовавшись очевидным начальным условием      P0(0) = 1, получим

P0(t) = et.                                                    (3.8)

Для решения уравнения относительно P1(t) воспользуемся известной формулой для линейного дифференциального уравнения 1-го порядка. Уравнение вида у + a(t) y = f(t) имеет общее решение:

.

Подставим (8) вместо Рk–1(t) при k = 1 в (6). Получим линейное уравнение , которое при начальном условии Р(0) = 0, имеет решение

.                                        (3.9)

По индукции легко показать, что при любом k  0 система (6) – (7) имеет решение вида

.                                           (3.10)

Свойства простейшего потока. Простейший поток обладает двумя  важными свойствами.

1. Свойство аддитивности, которое формулируется так: сумма простейших потоков с интенсивностями 1 и 2 снова является простейшим потоком с интенсивностью 1 + 2. Например, если заявки от двух разных независимых источников представляют собой простейшие потоки, и оба поступают на общий вход системы, то общий поток заявок, поступающих на вход равен сумме этих потоков.

2. Теорема 3.1. Для простейшего потока распределение длительности ожидания очередного события не зависит от того, сколько времени это событие уже ожидается.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41306. Построение сетевого графика разработки стандарта предприятия; построение, содержание и изложение стандарта предприятия 1.15 MB
  Целью данной работы является: построение сетевого графика разработки стандарта предприятия; построение, содержание и изложение стандарта предприятия; расчёт годового экономического эффекта от внедрения стандарта предприятия; описание функционирования служб стандартизации на предприятии и структурная схема; проведение нормаконтроля сборочного чертежа «привод электромагнита».
41307. Метод конечных разностей для решения дифференциальных уравнений в частных производных, способы построения трехмерных графиков в среде УМС Mathcad 591.35 KB
  Графики функции.Предусмотреть счетчик числа уточнений итераций значений функции. Значения функции выводить в виде матрицы. Построить график функции fxy.
41308. Изучение методов интерполяции графических или табличных функций 1.09 MB
  Изучение методов интерполяции графических или табличных функций. Задание Изучить методы интерполяции функции. Составить алгоритм и программу линейной интерполяции кривой намагничивания магнитного материала а также табуляции интерполирующей функции. Точки при этом называются узлами интерполяции.
41309. Численные методы и компьютерные технологии решения нелинейных уравнений 471 KB
  За приближенное значение корня принимается точка пересечения хорды АВ с осью абсцисс. Координата этой точки находится из уравнения этой хорды АВ рис. В точке пересечения хорды АВ с осью абсцисс . К уравнению хорды Далее сравниваются значения функции на левой границе и в точке пересечения хорды АВ с осью абсцисс по знаку.
41310. Численные методы и компьютерные технологии вычисления определенных интегралов 337.09 KB
  Вычисление определенного интеграла методом трапеций Текст программы progrm lb6; uses crt; vr bhyffbjj1xe:rel; in:integer; begin clrscr; writeln' = пи 6'; :=pi 6; writeln'b = Пи 3'; b:=pi 3; writeln'Введите n'; redn; h:=b n; y:=0; x:=h; for i:=1 to n1 do begin y:=ysqrsinx cosXsqrcosx sinx;x:=xh; end; f:=sqrsin cossqrcos sin; fb:=sqrsinb cosbsqrcosb sinb ; y:=yffb 2; J:=yh; writeln'J='J:5:2; writeln'Метод НьютонаЛейбница'; j1:= sinb cosbcosb...
41311. Программирование МК серии МС68 на языке АSM 2.84 MB
  В состав служебных модулей входят: генератор тактовых импульсов CGM08 модуль системной интеграции SIM08 модуль контроля напряжения питания LVI08 модуль прерывания в контрольной точке BREK08 модуль управления внешним прерыванием IRQ08 сторожевой таймер COP08 базовый таймер TBM08. Модуль генератора импульсов CGM08 генерирует импульсные сигналы на базе которых модуль системной интеграции SIM08 формирует тактовые импульсы. Модуль системной интеграции SIM08 выполняет ряд функций...
41312. Отладка ППО МК серии МС68 5.11 MB
  Б окне 2 на передний план выходит вкладка Brekpoints nd Trcepoints где теперь будут отображаться все точки останова. 2 Практическая часть Применение точек останова Пошаговый метод отладки удобен для отладки небольших несложных программ или отдельных участков большой программы. Для того чтобы проверить правильность выполнения всего этого цикла в пошаговом режиме пришлось бы очень долго щелкать мышкой В подобных случаях применяются точки останова Brekpoint. Точка останова это специальная метка...
41313. Изучение процесса ввода информации с датчиков 3.74 MB
  Такую характеристику внешней среды как температура приходится измерять довольно часто.Если говорить высоким стилем, то датчики создают «окно», сквозь которое микропроцессорные системы наблюдают за внешним миром. В этой рабрте рассматриваются различные типы датчиков, их применение и возможность сопряжения с микропроцессорами.
41314. Вывод управляющих сигналов 356.5 KB
  Соответствующий фрагмент программы написанной на Psclе будет выглядеть следующим образом: Создание проекта см. Если уже есть файл с текстом программы на Ассемблере и просто необходимо создать проект а затем подключить туда готовый программный файл снимите соответствующую галочку. Оно должно содержать имя файла куда будет записываться текст программы. При выборе этого элемента диалог создания проекта будет автоматически запускаться каждый раз при запуске программы...