36217

Уравнения Колмогорова. Моделирование многоканальной СМО с ограничением на длину очереди

Доклад

Математика и математический анализ

Моделирование многоканальной СМО с ограничением на длину очереди Марковские процессы уравнения Колмогорова Случайный процесс t называется Марковским если его будущее не зависит от прошлого а определяется настоящим т. Примерами Марковских процессов являются при определенных предположениях процессы функционирования СМО.1 СМО может иметь установившийся стационарный режим. Для построения модели стационарного режима СМО положим все производные в системе 11 равными нулю.

Русский

2013-09-21

75.5 KB

51 чел.

Уравнения Колмогорова. Моделирование многоканальной СМО с ограничением на длину очереди

Марковские процессы, уравнения Колмогорова

Случайный процесс (t) называется Марковским, если его будущее не зависит от прошлого, а определяется настоящим, т.е. выполняется требование отсутствия последействия. Примерами Марковских процессов являются при определенных предположениях процессы функционирования СМО.

Введем обозначения.

Пусть S1, S2, ..., Sn, … – возможные состояния марковского процесса с дискретным множеством состояний.

Pi(t) = P{(t) = Si}  вероятность нахождения процесса в момент t в состоянии Si

Pij(t, t + ) = P{ (t + ) = Sj / (t) = Si} – вероятность перехода из Si в Sj за время [t, t + ]. Если эти числа не зависят от t, то процесс называется однородным (стационарным). Поток случайных событий, соответствующих смене состояний процесса будем считать ординарным.

при i j – интенсивность перехода из Si в Sj в момент t.

Графом состояний Марковского процесса называется ориентированный граф G = (V, E), вершинами которого являются состояния процесса, а дуги соответствуют разрешенным переходам из  Si в Sj в случае ij 0, снабженных весами, равными значениям интенсивностей переходов ij. Пример графа Марковского процесса – на рис. 3.3.

Обозначим Г + (Si) и Г (Si) – множества вершин, смежных с Si и таких, что

Иными словами, Г + (Si) – это множество начальных вершин дуг, входящих в Si, а Г (Si) – множество конечных вершин дуг, выходящих из Si.

Теорема 3.2. При сделанных предположениях функции Pi(t), i = 1, ..., n удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений А. Н. Колмогорова:

для всех i = 1,..., n   (3.11)

и начальным условиям Pi(0) =Piнач .

Отметим одно свойство системы (11). В уравнениях (11) член Pi(t)i k(t) входит со знаком “” в уравнение, соответствующее производной , как вес ребра, иcходящего из Si,  и со знаком “+” – в уравнение, соответствующее производной , как вес ребра, входящего в Sj. Для наглядности запишем это уравнение:

.

Это означает, что, сложив все уравнения (11) получим, что сумма их правых частей (а, следовательно, и левых) равна 0.

Для нестационарного режима это означает, что в любой момент времени выполняется равенство Pj(t) = Pj(0) = const, и если в начальный момент сумма вероятностей равна 1, то это будет выполняться при всех t.

Как было сказано в п. 3.1, СМО может иметь установившийся (стационарный) режим. Необходимым условием его существования является постоянство интенсивностей ij()  = ij. Для построения модели стационарного режима СМО положим все производные в системе (11) равными нулю. В результате получим систему алгебраических уравнений

.                                   (3.15)

В силу свойства уравнений (11), данная алгебраическая система вырождена, т.к. сумма правых частей равна нулю. Чтобы получить невырожденную систему необходимо любое из уравнений (15) заменить условием нормировки:       Pj = 1. Полученные уравнения и будут моделью стационарного режима СМО.

Многоканальная система с ограничением на длину очереди

В систему, содержащую n обслуживающих каналов, поступает простейший поток заявок интенсивности . Если заявка поступает в момент, когда канал обслуживания свободен, а накопитель пуст, то СМО приступает к обслуживанию заявки. Если заявка поступает в момент обслуживания, то заявка становится в очередь и помещается в ячейку накопителя. Если все ячейки заняты, заявка покидает систему не обслуженной. Как только закончится обслуживание заявки, система приступает к обслуживанию заявки из накопителя, ячейка при этом освобождается. Если после окончания обслуживания накопитель пуст, то СМО переходит в состояние ожидания. Поток обслуженных заявок также является простейшим с интенсивностью .

На основании свойства аддитивности простейшего потока, интенсивность обслуживания заявок k каналами равна k. Иными словами, если в данный момент загружено k каналов, то интенсивность освобождения одного занятого канала равна k. Процесс, описывающий изменение состояний СМО, является Марковским с графом, приведенным на рис. 3.4.

Пример 3.2. Пусть m = 1; n = 1, т.е. система имеет 1 обслуживающий канал и накопитель с 1 ячейкой. Граф состояний имеет вид, как на рис. 3.5.

Система дифференциальных уравнений Колмогорова для данной системы имеет вид

                                         (3.16)

 

Для построения модели стационарного режима СМО положим все производные в системе (16) равными нулю. В результате получим систему алгебраических уравнений

.                                           (3.17)

Данная система вырождена, т.к. сумма правых частей равна нулю. Чтобы получить невырожденную систему необходимо любое из уравнений (17), например второе заменить условием нормировки: Pj = 1. Получим следующую систему

.                                                     (3.18)

При = получаем P0 = P1 = P2 = 1/3, т.е. третья часть заявок получает отказ, хотя интенсивности поступления заявок и обслуживания равны, и есть возможность ожидания одной заявки в очереди. На основании полученных значений Рj можно, пользуясь материалом п. 3.1 и таблицей 3.1 распределений вероятностей, можно вычислить все характеристики данной СМО.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

56350. Основные литературные направления 17.29 KB
  Натурализм становится одним из важнейших явлений второй половины XIX- начала ХХ в. Натурализм рубежа веков – это и художественный метод, то есть способ воссоздания действительности, и литературное направление, то есть совокупность художественно-изобразительных и эстетико-мировоззренческих принципов
56351. Is it easy to be a teenager? 86 KB
  Last year 2009 is declared the year of young people. Youth is a very important period in the life of a man. This is the time when a person discovers the world and tries to determine the place in the universe.
56352. Французский символизм 17.05 KB
  Французский символизм - первое направление модернизма. Окончательно оформился как единое литературное движение в 1886 году, когда вышел манифест символизма, и само это слово стало широко употребляться
56353. Використання новітніх технологій під час викладання української мови та літератури 35 KB
  Використання інформаційних технологій на заняттях української мови та літератури може відбуватися різними способами це залежить від низки факторів найважливішими з яких вважаємо такі: потреби конкретного заняття рівня володіння різними програмами та наявністю сертифікованих програм у системі освіти.
56354. Творчество Ибсена 18.96 KB
  дна из важнейших проблем, поставленных в творчестве Ибсена - проблема противоречия между нравственностью и человеколюбием. На самом деле это одно из самых важнейших противоречий христианства, а также вообще той морали, которая была свойственна европейскому обществу в 19 веке, да и сейчас
56355. Технологія приготування гарячих напоїв. Правила техніки безпеки в побуті 49.5 KB
  Мета: Розширити знання й навички приготування гарячих напоїв; розвивати художній естетичний смак під час оформлення готових страв, сервіруванню столу; виховувати свідоме виконання правил техніки безпеки на кухні.
56358. Техника безопасности на уроках физкультуры 227.5 KB
  Техника безопасности на уроках физической культуры Основы техники безопасности на уроках физической культуры Профилактика травматизма как основное направление техники безопасности на уроках физической культуры Младший школьный возраст и меры профилактики травматизма на уроках физической культуры.