36217

Уравнения Колмогорова. Моделирование многоканальной СМО с ограничением на длину очереди

Доклад

Математика и математический анализ

Моделирование многоканальной СМО с ограничением на длину очереди Марковские процессы уравнения Колмогорова Случайный процесс t называется Марковским если его будущее не зависит от прошлого а определяется настоящим т. Примерами Марковских процессов являются при определенных предположениях процессы функционирования СМО.1 СМО может иметь установившийся стационарный режим. Для построения модели стационарного режима СМО положим все производные в системе 11 равными нулю.

Русский

2013-09-21

75.5 KB

56 чел.

Уравнения Колмогорова. Моделирование многоканальной СМО с ограничением на длину очереди

Марковские процессы, уравнения Колмогорова

Случайный процесс (t) называется Марковским, если его будущее не зависит от прошлого, а определяется настоящим, т.е. выполняется требование отсутствия последействия. Примерами Марковских процессов являются при определенных предположениях процессы функционирования СМО.

Введем обозначения.

Пусть S1, S2, ..., Sn, … – возможные состояния марковского процесса с дискретным множеством состояний.

Pi(t) = P{(t) = Si}  вероятность нахождения процесса в момент t в состоянии Si

Pij(t, t + ) = P{ (t + ) = Sj / (t) = Si} – вероятность перехода из Si в Sj за время [t, t + ]. Если эти числа не зависят от t, то процесс называется однородным (стационарным). Поток случайных событий, соответствующих смене состояний процесса будем считать ординарным.

при i j – интенсивность перехода из Si в Sj в момент t.

Графом состояний Марковского процесса называется ориентированный граф G = (V, E), вершинами которого являются состояния процесса, а дуги соответствуют разрешенным переходам из  Si в Sj в случае ij 0, снабженных весами, равными значениям интенсивностей переходов ij. Пример графа Марковского процесса – на рис. 3.3.

Обозначим Г + (Si) и Г (Si) – множества вершин, смежных с Si и таких, что

Иными словами, Г + (Si) – это множество начальных вершин дуг, входящих в Si, а Г (Si) – множество конечных вершин дуг, выходящих из Si.

Теорема 3.2. При сделанных предположениях функции Pi(t), i = 1, ..., n удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений А. Н. Колмогорова:

для всех i = 1,..., n   (3.11)

и начальным условиям Pi(0) =Piнач .

Отметим одно свойство системы (11). В уравнениях (11) член Pi(t)i k(t) входит со знаком “” в уравнение, соответствующее производной , как вес ребра, иcходящего из Si,  и со знаком “+” – в уравнение, соответствующее производной , как вес ребра, входящего в Sj. Для наглядности запишем это уравнение:

.

Это означает, что, сложив все уравнения (11) получим, что сумма их правых частей (а, следовательно, и левых) равна 0.

Для нестационарного режима это означает, что в любой момент времени выполняется равенство Pj(t) = Pj(0) = const, и если в начальный момент сумма вероятностей равна 1, то это будет выполняться при всех t.

Как было сказано в п. 3.1, СМО может иметь установившийся (стационарный) режим. Необходимым условием его существования является постоянство интенсивностей ij()  = ij. Для построения модели стационарного режима СМО положим все производные в системе (11) равными нулю. В результате получим систему алгебраических уравнений

.                                   (3.15)

В силу свойства уравнений (11), данная алгебраическая система вырождена, т.к. сумма правых частей равна нулю. Чтобы получить невырожденную систему необходимо любое из уравнений (15) заменить условием нормировки:       Pj = 1. Полученные уравнения и будут моделью стационарного режима СМО.

Многоканальная система с ограничением на длину очереди

В систему, содержащую n обслуживающих каналов, поступает простейший поток заявок интенсивности . Если заявка поступает в момент, когда канал обслуживания свободен, а накопитель пуст, то СМО приступает к обслуживанию заявки. Если заявка поступает в момент обслуживания, то заявка становится в очередь и помещается в ячейку накопителя. Если все ячейки заняты, заявка покидает систему не обслуженной. Как только закончится обслуживание заявки, система приступает к обслуживанию заявки из накопителя, ячейка при этом освобождается. Если после окончания обслуживания накопитель пуст, то СМО переходит в состояние ожидания. Поток обслуженных заявок также является простейшим с интенсивностью .

На основании свойства аддитивности простейшего потока, интенсивность обслуживания заявок k каналами равна k. Иными словами, если в данный момент загружено k каналов, то интенсивность освобождения одного занятого канала равна k. Процесс, описывающий изменение состояний СМО, является Марковским с графом, приведенным на рис. 3.4.

Пример 3.2. Пусть m = 1; n = 1, т.е. система имеет 1 обслуживающий канал и накопитель с 1 ячейкой. Граф состояний имеет вид, как на рис. 3.5.

Система дифференциальных уравнений Колмогорова для данной системы имеет вид

                                         (3.16)

 

Для построения модели стационарного режима СМО положим все производные в системе (16) равными нулю. В результате получим систему алгебраических уравнений

.                                           (3.17)

Данная система вырождена, т.к. сумма правых частей равна нулю. Чтобы получить невырожденную систему необходимо любое из уравнений (17), например второе заменить условием нормировки: Pj = 1. Получим следующую систему

.                                                     (3.18)

При = получаем P0 = P1 = P2 = 1/3, т.е. третья часть заявок получает отказ, хотя интенсивности поступления заявок и обслуживания равны, и есть возможность ожидания одной заявки в очереди. На основании полученных значений Рj можно, пользуясь материалом п. 3.1 и таблицей 3.1 распределений вероятностей, можно вычислить все характеристики данной СМО.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81564. Механизмы переноса веществ через мембраны: простая диффузия, первично-активный транспорт (Nа+-К+-АТФаза, Са2+-АТФаза), пассивный симпорт и антипорт, вторично-активный транспорт 106.69 KB
  Перенос некоторых неорганических ионов идёт против градиента концентрации при участии транспортных АТФаз ионных насосов. АТФазы различаются по ионной специфичности количеству переносимых ионов направлению транспорта. В результате функционирования АТФазы переносимые ионы накапливаются с одной стороны мембраны.
81565. Трансмембранная передача сигнала. Участие мембран в активации внутриклеточных регуляторных систем - аденилатциклазной и инозитолфосфатной в передаче гормонального сигнала 109.02 KB
  Важное свойство мембран - способность воспринимать и передавать внутрь клетки сигналы из внешней среды. \"Узнавание\" сигнальных молекул осуществляется с помощью белков-рецепторов, встроенных в клеточную мембрану клеток-мишеней или находящихся в клетке. Клетку-мишень определяют по способности избирательно связывать данную сигнальную молекулу
81566. Коллаген: особенности аминокислотного состава, первичной и пространственной структуры. Роль аскорбиновой кислоты в гидоксилировании пролина и лизина 108.5 KB
  В межклеточном матриксе молекулы коллагена образуют полимеры называемые фибриллами коллагена. Фибриллы коллагена обладают огромной прочностью и практически нерастяжимы. Молекулы коллагена состоят из трёх полипептидных цепей называемых αцепями. Первичная структура αцепей коллагена необычна так как каждая третья аминокислота в полипептидной цепи представлена глицином около 1 4 аминокислотных остатков составляют пролин или 4гидроксипролин около 11 аланин.
81567. Особенности биосинтеза и созревания коллагена. Проявления недостаточности витамина С 106.89 KB
  Синтез и созревание коллагена сложный многоэтапный процесс начинающийся в клетке а завершающийся в межклеточном матриксе. Синтез и созревание коллагена включают в себя целый ряд посттрансляционных изменений: гидроксилирование пролина и лизина с образованием гидроксипролина Hyp и гидроксилизина Hyl; гликозилирование гидроксилизина; частичный протеолиз отщепление сигнального пептида а также N и Сконцевых пропептидов; образование тройной спирали. Синтез полипептидных цепей коллагена.
81568. Особенности строения и функции эластина 103.27 KB
  Эластин содержит довольно много пролина и лизина но лишь немного гидроксипролина; полностью отсутствует гидроксилизин. В образовании этих сшивок участвуют остатки лизина двух трёх или четырёх пептидных цепей. Предполагают что эти гетероциклические соединения формируются следующим образом: вначале 3 остатка лизина окисляются до соответствующих εальдегидов а затем происходит их соединение с четвёртым остатком лизина с образованием замещённого пиридинового кольца. Окисление остатков лизина в εальдегиды осуществляется медьзависимой...
81569. Гликозаминогликаны и протеогликаны. Строение и функции. Роль гиалуроновой кислоты в организации межклеточного матрикса 192.62 KB
  Протеогликаны высокомолекулярные соединения состоящие из белка 510 и гликозаминогликанов 9095. Протеогликаны отличаются от большой группы белков которые называют гликопротеинами. Гликозаминогликаны и протеогликаны являясь обязательными компонентами межклеточного матрикса играют важную роль в межклеточных взаимодействиях формировании и поддержании формы клеток и органов образовании каркаса при формировании тканей.
81570. Адгезивные белки межклеточного матрикса: фибронектин и ламинин, их строение и функции. Роль этих белков в межклеточных взаимодействиях и развитии опухолей 104.14 KB
  К первой группе белков с выраженными адгезивными свойствами относят фибронектин ламинин нидоген фибриллярные коллагены и коллаген IV типа; их относят к белкам зрелой соединительной ткани. Фибронектин. Фибронектин один из ключевых белков межклеточного матрикса неколлагеновый структурный гликопротеин синтезируемый и выделяемый в межклеточное пространство многими клетками.
81571. Структурная организация межклеточного матрикса. Изменения соединительной ткани при старении, коллагенозах. Роль коллагеназы при заживлении ран. Оксипролинурия 112.48 KB
  Роль коллагеназы при заживлении ран. Коллаген IX типа антипараллельно присоединяется к фибриллам коллагена II типа. Его глобулярный НК4домен основный он не связан с фибриллами коллагена II типа и поэтому к нему может присоединяться такой компонент матрикса как гиалуроновая кислота. Микрофибриллы которые образуются тетрамерами коллагена VI типа присоединяются к фибриллам коллагена II типа и к гиалуроновой кислоте.
81572. Важнейшие белки миофибрилл: миозин, актин, актомиозин, тропомиозин, тропонин, актинин. Молекулярная структура миофибрилл 116.56 KB
  Молекулярная масса миозина скелетных мышц около 500000 для миозина кролика 470000. Молекула миозина имеет сильно вытянутую форму длину 150 нм. Легкие цепи находящиеся в головке миозиновой молекулы и принимающие участие в проявлении АТФазнойактивности миозина гетерогенны по своему составу. Количество легких цепей в молекуле миозина у различных видов животных и в разных типах мышц неодинаково.