36217

Уравнения Колмогорова. Моделирование многоканальной СМО с ограничением на длину очереди

Доклад

Математика и математический анализ

Моделирование многоканальной СМО с ограничением на длину очереди Марковские процессы уравнения Колмогорова Случайный процесс t называется Марковским если его будущее не зависит от прошлого а определяется настоящим т. Примерами Марковских процессов являются при определенных предположениях процессы функционирования СМО.1 СМО может иметь установившийся стационарный режим. Для построения модели стационарного режима СМО положим все производные в системе 11 равными нулю.

Русский

2013-09-21

75.5 KB

54 чел.

Уравнения Колмогорова. Моделирование многоканальной СМО с ограничением на длину очереди

Марковские процессы, уравнения Колмогорова

Случайный процесс (t) называется Марковским, если его будущее не зависит от прошлого, а определяется настоящим, т.е. выполняется требование отсутствия последействия. Примерами Марковских процессов являются при определенных предположениях процессы функционирования СМО.

Введем обозначения.

Пусть S1, S2, ..., Sn, … – возможные состояния марковского процесса с дискретным множеством состояний.

Pi(t) = P{(t) = Si}  вероятность нахождения процесса в момент t в состоянии Si

Pij(t, t + ) = P{ (t + ) = Sj / (t) = Si} – вероятность перехода из Si в Sj за время [t, t + ]. Если эти числа не зависят от t, то процесс называется однородным (стационарным). Поток случайных событий, соответствующих смене состояний процесса будем считать ординарным.

при i j – интенсивность перехода из Si в Sj в момент t.

Графом состояний Марковского процесса называется ориентированный граф G = (V, E), вершинами которого являются состояния процесса, а дуги соответствуют разрешенным переходам из  Si в Sj в случае ij 0, снабженных весами, равными значениям интенсивностей переходов ij. Пример графа Марковского процесса – на рис. 3.3.

Обозначим Г + (Si) и Г (Si) – множества вершин, смежных с Si и таких, что

Иными словами, Г + (Si) – это множество начальных вершин дуг, входящих в Si, а Г (Si) – множество конечных вершин дуг, выходящих из Si.

Теорема 3.2. При сделанных предположениях функции Pi(t), i = 1, ..., n удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений А. Н. Колмогорова:

для всех i = 1,..., n   (3.11)

и начальным условиям Pi(0) =Piнач .

Отметим одно свойство системы (11). В уравнениях (11) член Pi(t)i k(t) входит со знаком “” в уравнение, соответствующее производной , как вес ребра, иcходящего из Si,  и со знаком “+” – в уравнение, соответствующее производной , как вес ребра, входящего в Sj. Для наглядности запишем это уравнение:

.

Это означает, что, сложив все уравнения (11) получим, что сумма их правых частей (а, следовательно, и левых) равна 0.

Для нестационарного режима это означает, что в любой момент времени выполняется равенство Pj(t) = Pj(0) = const, и если в начальный момент сумма вероятностей равна 1, то это будет выполняться при всех t.

Как было сказано в п. 3.1, СМО может иметь установившийся (стационарный) режим. Необходимым условием его существования является постоянство интенсивностей ij()  = ij. Для построения модели стационарного режима СМО положим все производные в системе (11) равными нулю. В результате получим систему алгебраических уравнений

.                                   (3.15)

В силу свойства уравнений (11), данная алгебраическая система вырождена, т.к. сумма правых частей равна нулю. Чтобы получить невырожденную систему необходимо любое из уравнений (15) заменить условием нормировки:       Pj = 1. Полученные уравнения и будут моделью стационарного режима СМО.

Многоканальная система с ограничением на длину очереди

В систему, содержащую n обслуживающих каналов, поступает простейший поток заявок интенсивности . Если заявка поступает в момент, когда канал обслуживания свободен, а накопитель пуст, то СМО приступает к обслуживанию заявки. Если заявка поступает в момент обслуживания, то заявка становится в очередь и помещается в ячейку накопителя. Если все ячейки заняты, заявка покидает систему не обслуженной. Как только закончится обслуживание заявки, система приступает к обслуживанию заявки из накопителя, ячейка при этом освобождается. Если после окончания обслуживания накопитель пуст, то СМО переходит в состояние ожидания. Поток обслуженных заявок также является простейшим с интенсивностью .

На основании свойства аддитивности простейшего потока, интенсивность обслуживания заявок k каналами равна k. Иными словами, если в данный момент загружено k каналов, то интенсивность освобождения одного занятого канала равна k. Процесс, описывающий изменение состояний СМО, является Марковским с графом, приведенным на рис. 3.4.

Пример 3.2. Пусть m = 1; n = 1, т.е. система имеет 1 обслуживающий канал и накопитель с 1 ячейкой. Граф состояний имеет вид, как на рис. 3.5.

Система дифференциальных уравнений Колмогорова для данной системы имеет вид

                                         (3.16)

 

Для построения модели стационарного режима СМО положим все производные в системе (16) равными нулю. В результате получим систему алгебраических уравнений

.                                           (3.17)

Данная система вырождена, т.к. сумма правых частей равна нулю. Чтобы получить невырожденную систему необходимо любое из уравнений (17), например второе заменить условием нормировки: Pj = 1. Получим следующую систему

.                                                     (3.18)

При = получаем P0 = P1 = P2 = 1/3, т.е. третья часть заявок получает отказ, хотя интенсивности поступления заявок и обслуживания равны, и есть возможность ожидания одной заявки в очереди. На основании полученных значений Рj можно, пользуясь материалом п. 3.1 и таблицей 3.1 распределений вероятностей, можно вычислить все характеристики данной СМО.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32578. Конструктивно-технологическая структура ГСП 33.99 KB
  Структура ГСП УКТС унифицированный комплекс технических средств – это совокупность разных типов технических изделий предназначенных для выполнения различных функций но построенных на основе одного принципа действия и имеющие одинаковые конструктивные элементы. АКТС агрегатный комплекс технических средств – это совокупность различных типов технических изделий и приборов взаимосвязанных между собой по функциональному назначению конструктивному исполнению виду питания уровню входных выходных сигналов...
32579. Система стандартов ГСП 38.12 KB
  Для примера рассмотрим более подробно информационную совместимость ТСА по уровням входных/выходных унифицированных сигналов, т.е. сигналов дистанционной передачи информации с унифицированными параметрами, обеспечивающими информационное сопряжение (интерфейс) между различными приборами, блоками и системами АСУ ТП
32580. Энергетическая совместимость ТСА 14.41 KB
  В пневмоавтоматике это следующие значения давления сжатого воздуха: Pпит 400 кПа – высокий уровень; Pпит=150 кПа – средний уровень; Pпит 10 кПа – низкий уровень.
32581. Входные устройства 319.1 KB
  в центральную часть САУ либо со стороны оператора коммутационные аппараты ручного ввода либо со стороны объекта управления датчики. Коммутационные аппараты ручного ввода информации Аппаратуру ручного управления по своему назначению и использованию подразделяют на аппараты для непосредственной коммутации силовых цепей и аппараты для коммутации цепей управления. Аппараты для коммутации цепей управления Используются для пуска и аварийного останова технологических машин переключения режимов их работы ввода программ и уставок для...
32582. Устройства контроля скорости (УКС) 84.62 KB
  Под ее воздействием в обмотке появляется ток и возникает сила взаимодействия стремящаяся повернуть статор в сторону вращения магнита. При определенной частоте вращения упор 2 преодолевает сопротивление плоской пружины и переключает контакты реле 1 и 7 в зависимости от направления вращения входного вала. Основанием реле служит пластмассовая планшайба 4 установленная на валу скорость вращения которого необходимо контролировать.
32584. Основные схемы включения входных устройств в САУ 128.25 KB
  Схемы включения входных устройств в САУ 1. Включение контактных входных устройств в релейноконтактные схемы РКС производится путем непосредственного последовательного и параллельного соединения их замыкающих рис. Включение контактных входных устройств в бесконтактные логические схемы БЛС производится через резисторные схемы согласования рис.
32585. Выходные устройства 13.4 KB
  Помимо этой основной своей функции выходные устройства могут выполнять и ряд других дополнительных функций: – усиление сигналов функция усилителя; – преобразование информационных сигналов по виду энергии по роду тока по частоте по виду и т.
32586. Учет наличия и движения основных средств 66.5 KB
  4 ПБУ 6 01 понимается актив который принимается организацией к бухгалтерскому учету в качестве основных средств при этом одновременно должны выполняться следующие условия: а объект предназначен для использования в производстве продукции при выполнении работ или оказании услуг для управленческих нужд организации либо для предоставления организацией за плату во временное владение и пользование или во временное пользование; б объект предназначен для использования в течение длительного времени т. Единицей бухгалтерского учета основных...