36217

Уравнения Колмогорова. Моделирование многоканальной СМО с ограничением на длину очереди

Доклад

Математика и математический анализ

Моделирование многоканальной СМО с ограничением на длину очереди Марковские процессы уравнения Колмогорова Случайный процесс t называется Марковским если его будущее не зависит от прошлого а определяется настоящим т. Примерами Марковских процессов являются при определенных предположениях процессы функционирования СМО.1 СМО может иметь установившийся стационарный режим. Для построения модели стационарного режима СМО положим все производные в системе 11 равными нулю.

Русский

2013-09-21

75.5 KB

58 чел.

Уравнения Колмогорова. Моделирование многоканальной СМО с ограничением на длину очереди

Марковские процессы, уравнения Колмогорова

Случайный процесс (t) называется Марковским, если его будущее не зависит от прошлого, а определяется настоящим, т.е. выполняется требование отсутствия последействия. Примерами Марковских процессов являются при определенных предположениях процессы функционирования СМО.

Введем обозначения.

Пусть S1, S2, ..., Sn, … – возможные состояния марковского процесса с дискретным множеством состояний.

Pi(t) = P{(t) = Si}  вероятность нахождения процесса в момент t в состоянии Si

Pij(t, t + ) = P{ (t + ) = Sj / (t) = Si} – вероятность перехода из Si в Sj за время [t, t + ]. Если эти числа не зависят от t, то процесс называется однородным (стационарным). Поток случайных событий, соответствующих смене состояний процесса будем считать ординарным.

при i j – интенсивность перехода из Si в Sj в момент t.

Графом состояний Марковского процесса называется ориентированный граф G = (V, E), вершинами которого являются состояния процесса, а дуги соответствуют разрешенным переходам из  Si в Sj в случае ij 0, снабженных весами, равными значениям интенсивностей переходов ij. Пример графа Марковского процесса – на рис. 3.3.

Обозначим Г + (Si) и Г (Si) – множества вершин, смежных с Si и таких, что

Иными словами, Г + (Si) – это множество начальных вершин дуг, входящих в Si, а Г (Si) – множество конечных вершин дуг, выходящих из Si.

Теорема 3.2. При сделанных предположениях функции Pi(t), i = 1, ..., n удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений А. Н. Колмогорова:

для всех i = 1,..., n   (3.11)

и начальным условиям Pi(0) =Piнач .

Отметим одно свойство системы (11). В уравнениях (11) член Pi(t)i k(t) входит со знаком “” в уравнение, соответствующее производной , как вес ребра, иcходящего из Si,  и со знаком “+” – в уравнение, соответствующее производной , как вес ребра, входящего в Sj. Для наглядности запишем это уравнение:

.

Это означает, что, сложив все уравнения (11) получим, что сумма их правых частей (а, следовательно, и левых) равна 0.

Для нестационарного режима это означает, что в любой момент времени выполняется равенство Pj(t) = Pj(0) = const, и если в начальный момент сумма вероятностей равна 1, то это будет выполняться при всех t.

Как было сказано в п. 3.1, СМО может иметь установившийся (стационарный) режим. Необходимым условием его существования является постоянство интенсивностей ij()  = ij. Для построения модели стационарного режима СМО положим все производные в системе (11) равными нулю. В результате получим систему алгебраических уравнений

.                                   (3.15)

В силу свойства уравнений (11), данная алгебраическая система вырождена, т.к. сумма правых частей равна нулю. Чтобы получить невырожденную систему необходимо любое из уравнений (15) заменить условием нормировки:       Pj = 1. Полученные уравнения и будут моделью стационарного режима СМО.

Многоканальная система с ограничением на длину очереди

В систему, содержащую n обслуживающих каналов, поступает простейший поток заявок интенсивности . Если заявка поступает в момент, когда канал обслуживания свободен, а накопитель пуст, то СМО приступает к обслуживанию заявки. Если заявка поступает в момент обслуживания, то заявка становится в очередь и помещается в ячейку накопителя. Если все ячейки заняты, заявка покидает систему не обслуженной. Как только закончится обслуживание заявки, система приступает к обслуживанию заявки из накопителя, ячейка при этом освобождается. Если после окончания обслуживания накопитель пуст, то СМО переходит в состояние ожидания. Поток обслуженных заявок также является простейшим с интенсивностью .

На основании свойства аддитивности простейшего потока, интенсивность обслуживания заявок k каналами равна k. Иными словами, если в данный момент загружено k каналов, то интенсивность освобождения одного занятого канала равна k. Процесс, описывающий изменение состояний СМО, является Марковским с графом, приведенным на рис. 3.4.

Пример 3.2. Пусть m = 1; n = 1, т.е. система имеет 1 обслуживающий канал и накопитель с 1 ячейкой. Граф состояний имеет вид, как на рис. 3.5.

Система дифференциальных уравнений Колмогорова для данной системы имеет вид

                                         (3.16)

 

Для построения модели стационарного режима СМО положим все производные в системе (16) равными нулю. В результате получим систему алгебраических уравнений

.                                           (3.17)

Данная система вырождена, т.к. сумма правых частей равна нулю. Чтобы получить невырожденную систему необходимо любое из уравнений (17), например второе заменить условием нормировки: Pj = 1. Получим следующую систему

.                                                     (3.18)

При = получаем P0 = P1 = P2 = 1/3, т.е. третья часть заявок получает отказ, хотя интенсивности поступления заявок и обслуживания равны, и есть возможность ожидания одной заявки в очереди. На основании полученных значений Рj можно, пользуясь материалом п. 3.1 и таблицей 3.1 распределений вероятностей, можно вычислить все характеристики данной СМО.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12899. Коспект виховного заходу. Моя майбутня професія 35.01 KB
  Коспект виховного заходу на тему: Моя майбутня професія План провеведення: Вступ вибір професії як вибрати професію після школи 3. Типові помилки вибору 4. як вибрати професію по знаку зодіаку 5. тест Холланда У людин
12900. Українські вишиванки - наче райдужні світанки 25.01 KB
  Виховна година Українські вишиванки наче райдужні світанки. Музика пісні Сучасна народна вишивка розвивається на основі традиційної спадщини минулого. Оздоблювали вишивкою житло жіночі та чоловічі сорочки свити кожухи головні убори рушники. У всіх наро...
12901. Виховна година. Ти і твої друзі 26.51 KB
  Виховна година Ти і твої друзі Мета: розкрити значення дружби в житті людини; навчити дітей правильно вибирати друзів знайомитися спілкуватись і товаришувати. Обладнання: Фігурки феї Уваги і чаклунки Доброти аркуші усмішки мячик пелюстки чарівної квітки...
12902. Україна наш спільний дім 27.87 KB
  Виховний урок Україна наш спільний дім Тема: Україна наш спільний дім Мета: поглибити знання учнів про незалежну Україну та її державні символи проаналізувати етапи здобуття українським народом державної самостійності; розвивати логічне мислення вміння порівню
12903. ДЕСЯТЬ МІФІВ ПРО ТОРГІВЛЮ ЛЮДЬМИ 27.19 KB
  Виховна година ДЕСЯТЬ МІФІВ ПРО ТОРГІВЛЮ ЛЮДЬМИ Олександр зі Львова нелегально виїхав до Іспанії разом з дружиною і працював там на будівництві. Одного разу він упав з драбини і сильно забився. Звичайно ніякої страховки у нього не було а працедавець умив руки. Коли чол...
12904. Дружба єднає щирі серця 28.2 KB
  Виховна година у 6 класі Тема. Дружба єднає щирі серця. Навчальна мета: : Поглибити і розширити поняття у дітей про дружбу навчити учнів сприймати ситуації аналізувати їх та знаходити шляхи виходу; допомогти усвідомити значимість слова друг; сприяти виникненню др
12905. Однокласник, товариш, друг. Способи вирішення суперечок та конфліктів. 20.01 KB
  Тема: однокласник товариш друг. Способи вирішення суперечок та конфліктів. Мета: розглянути товариськість як обєктивне явище нашого життя як спосіб співіснування людей; формувати уявлення учнів про різні варіанти людського спілкування; учити уникати конфліктних си
12906. ПОДОРОЖ ЗА КОРДОН: ЗА І ПРОТИ 26.84 KB
  Виховна година ПОДОРОЖ ЗА КОРДОН: ЗА І ПРОТИ Останніми роками громадяни України все частіше подорожують за кордон. Подорож це пізнання культури та традицій інших країн знайомство з новими людьми маса позитивних вражень. Проте ноземні дежави для мандрівника можуть...
12907. Знавці дитячих пісень 15.44 KB
  Виховна година для 2 класу Тема: Знавці дитячих пісень. Мета: ознайомити дітей з найвідомішими дитячими композиторами піснями пробудити цікавість до музичного мистецтва розвивати музичний смак дітей виховувати товариськість колективізм. Форма проведення: конк