36217

Уравнения Колмогорова. Моделирование многоканальной СМО с ограничением на длину очереди

Доклад

Математика и математический анализ

Моделирование многоканальной СМО с ограничением на длину очереди Марковские процессы уравнения Колмогорова Случайный процесс t называется Марковским если его будущее не зависит от прошлого а определяется настоящим т. Примерами Марковских процессов являются при определенных предположениях процессы функционирования СМО.1 СМО может иметь установившийся стационарный режим. Для построения модели стационарного режима СМО положим все производные в системе 11 равными нулю.

Русский

2013-09-21

75.5 KB

55 чел.

Уравнения Колмогорова. Моделирование многоканальной СМО с ограничением на длину очереди

Марковские процессы, уравнения Колмогорова

Случайный процесс (t) называется Марковским, если его будущее не зависит от прошлого, а определяется настоящим, т.е. выполняется требование отсутствия последействия. Примерами Марковских процессов являются при определенных предположениях процессы функционирования СМО.

Введем обозначения.

Пусть S1, S2, ..., Sn, … – возможные состояния марковского процесса с дискретным множеством состояний.

Pi(t) = P{(t) = Si}  вероятность нахождения процесса в момент t в состоянии Si

Pij(t, t + ) = P{ (t + ) = Sj / (t) = Si} – вероятность перехода из Si в Sj за время [t, t + ]. Если эти числа не зависят от t, то процесс называется однородным (стационарным). Поток случайных событий, соответствующих смене состояний процесса будем считать ординарным.

при i j – интенсивность перехода из Si в Sj в момент t.

Графом состояний Марковского процесса называется ориентированный граф G = (V, E), вершинами которого являются состояния процесса, а дуги соответствуют разрешенным переходам из  Si в Sj в случае ij 0, снабженных весами, равными значениям интенсивностей переходов ij. Пример графа Марковского процесса – на рис. 3.3.

Обозначим Г + (Si) и Г (Si) – множества вершин, смежных с Si и таких, что

Иными словами, Г + (Si) – это множество начальных вершин дуг, входящих в Si, а Г (Si) – множество конечных вершин дуг, выходящих из Si.

Теорема 3.2. При сделанных предположениях функции Pi(t), i = 1, ..., n удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений А. Н. Колмогорова:

для всех i = 1,..., n   (3.11)

и начальным условиям Pi(0) =Piнач .

Отметим одно свойство системы (11). В уравнениях (11) член Pi(t)i k(t) входит со знаком “” в уравнение, соответствующее производной , как вес ребра, иcходящего из Si,  и со знаком “+” – в уравнение, соответствующее производной , как вес ребра, входящего в Sj. Для наглядности запишем это уравнение:

.

Это означает, что, сложив все уравнения (11) получим, что сумма их правых частей (а, следовательно, и левых) равна 0.

Для нестационарного режима это означает, что в любой момент времени выполняется равенство Pj(t) = Pj(0) = const, и если в начальный момент сумма вероятностей равна 1, то это будет выполняться при всех t.

Как было сказано в п. 3.1, СМО может иметь установившийся (стационарный) режим. Необходимым условием его существования является постоянство интенсивностей ij()  = ij. Для построения модели стационарного режима СМО положим все производные в системе (11) равными нулю. В результате получим систему алгебраических уравнений

.                                   (3.15)

В силу свойства уравнений (11), данная алгебраическая система вырождена, т.к. сумма правых частей равна нулю. Чтобы получить невырожденную систему необходимо любое из уравнений (15) заменить условием нормировки:       Pj = 1. Полученные уравнения и будут моделью стационарного режима СМО.

Многоканальная система с ограничением на длину очереди

В систему, содержащую n обслуживающих каналов, поступает простейший поток заявок интенсивности . Если заявка поступает в момент, когда канал обслуживания свободен, а накопитель пуст, то СМО приступает к обслуживанию заявки. Если заявка поступает в момент обслуживания, то заявка становится в очередь и помещается в ячейку накопителя. Если все ячейки заняты, заявка покидает систему не обслуженной. Как только закончится обслуживание заявки, система приступает к обслуживанию заявки из накопителя, ячейка при этом освобождается. Если после окончания обслуживания накопитель пуст, то СМО переходит в состояние ожидания. Поток обслуженных заявок также является простейшим с интенсивностью .

На основании свойства аддитивности простейшего потока, интенсивность обслуживания заявок k каналами равна k. Иными словами, если в данный момент загружено k каналов, то интенсивность освобождения одного занятого канала равна k. Процесс, описывающий изменение состояний СМО, является Марковским с графом, приведенным на рис. 3.4.

Пример 3.2. Пусть m = 1; n = 1, т.е. система имеет 1 обслуживающий канал и накопитель с 1 ячейкой. Граф состояний имеет вид, как на рис. 3.5.

Система дифференциальных уравнений Колмогорова для данной системы имеет вид

                                         (3.16)

 

Для построения модели стационарного режима СМО положим все производные в системе (16) равными нулю. В результате получим систему алгебраических уравнений

.                                           (3.17)

Данная система вырождена, т.к. сумма правых частей равна нулю. Чтобы получить невырожденную систему необходимо любое из уравнений (17), например второе заменить условием нормировки: Pj = 1. Получим следующую систему

.                                                     (3.18)

При = получаем P0 = P1 = P2 = 1/3, т.е. третья часть заявок получает отказ, хотя интенсивности поступления заявок и обслуживания равны, и есть возможность ожидания одной заявки в очереди. На основании полученных значений Рj можно, пользуясь материалом п. 3.1 и таблицей 3.1 распределений вероятностей, можно вычислить все характеристики данной СМО.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12706. Организация военно-патриотического воспитания подростков на примере деятельности клуба Мужество 270.5 KB
  Патриотическое воспитание учащихся в настоящее время приобретает архиважное значение. Воспитать патриотов сегодня – это значит обеспечить будущее завтра. В советский период на самых различных государственных уровнях патриотической работе с молодёжью уделяется очень большое значение.
12707. Simulink: Инструмент моделирования динамических систем 3.66 MB
  И.В.Черных. Simulink: Инструмент моделирования динамических систем. Содержание 1. Общие сведения 52. Запуск Simulink 53. Обозреватель разделов библиотеки Simulink 64. Создание модели 85. Окно модели 106. Основные приемы подготовки и редактирования модели 11 6.1. Добавление текстовых надпис...
12708. ЗАКОНЫ КИРХГОФА И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОЙ РЕЗИСТИВНОЙ ЦЕПИ 95 KB
  ЗАКОНЫ КИРХГОФА И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОЙ РЕЗИСТИВНОЙ ЦЕПИ Лабораторная работа 1 по дисциплине Электротехника Цель работы. Проверить справедливость законов Кирхгофа а также основных принципов свойств и теорем линейных цепей на примере р...
12709. Создание буклета «Планшет» 2.65 MB
  Упражнение 5. Создание буклета Планшет Рис.6.1.Готовый буклет Цель упражнения: освоить создание и редактирование текстовых объектов и эффект обтекания текстом. 1. Создаем новый документ с размерами рабочего листа...
12710. Конспект лекций к изучению курса Solid Work 593.01 KB
  Лекция №1 Тема: Основные понятия структура документа в программе SolidWorks.Цель:Ознакомиться с основными понятиями структурой документа общими сведениями о панелях инструментов. План лекции: Общие сведения о программе SolidWorks. Окна документов. Условные об...
12711. Создание простой модели в SolidWorks 2001 132 KB
  Практическая работа №2. Тема: Создание простой модели в SolidWorks 2001.Цель: Создание простой модели основания с применением инструментов эскиза прямоугольник окружность нанесением размеров добавлением бобышки выреза изменением элементов добавление скруглений измен...
12712. Создание модели детали типа Корпус в SolidWorks 2001 233.5 KB
  Практическая работа №3. Тема: Создание модели детали типа Корпус в SolidWorks 2001.Цель: Создание модели детали типа корпус с применением объектов эскиза: многоугольник окружность линия ось нанесением размеров добавлением бобышки выреза изменением элементов добавлен
12713. Создание модели детали типа Качалка в SolidWorks 2001 381 KB
  Практическая работа №4. Тема: Создание модели детали типа Качалка в SolidWorks 2001.Цель: Создание модели детали типа Качалка с применением различных инструментов эскиза знакомство с взаимосвязями эскиза и элементами. Необходимое оборудование и материалы: ПК перс
12714. Создание модели детали по сечениям в SolidWorks 2001Plus 151.5 KB
  Практическая работа №5. Тема: Создание модели детали по сечениям в SolidWorks 2001Plus.Цель: Создание твердотельного элемента путём соединения профилей элемента по сечениям. Необходимое оборудование и материалы: ПК персональный компьютер. Операционная система Windo...