36421

Символьные вычисления в MatLab

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Исследование скорости роста символьной функции описывающей некоторые параметры модели объекта анимированная визуализация полученной характеристики. здесь f1 имя функции х имя переменной вводится как строка в апострофах по которой производится дифференцирование n порядок производной. здесь f1_new имя функции х имя переменной вводится как строка по которой производится интегрирование. Здесь f1 имя функции переменной n порядок остаточного члена x имя переменной вводится как строка в апострофах по...

Русский

2013-09-21

357.5 KB

100 чел.

Лабораторная работа 4

Символьные вычисления в MatLab

В ходе выполнения работы будут рассмотрены следующие операции:

- Выполнить развертку и свертку аналитического выражения, выполнить символьные вычисления с рациональными дробями с заданной степенью точности.

- Выполнить дифференцировать и интегрировать аналитическое выражение.

- Разложить в ряд Тейлора функцию, заданную аналитическим выражением.

- Работа с командой funtool.

- Исследование скорости роста символьной функции, описывающей некоторые параметры модели объекта, анимированная визуализация полученной характеристики.

Обратите внимание, что в задании употреблены имена стандартных функций, принятые в MatLab. Они могут не совпадать с принятыми в математике.

В именах функций имеет значение высота букв.

Результат символьных преобразований выводится в командное окно с новым символьным именем. В отличие от вывода результатов несимвольных преобразований выводимое значение размещается без абзацного отступа.

1. Развертка и свертка выражений.

Под разверткой понимается запись выражения в развернутой форме (с открытыми скобками). Под сверткой понимается обратное действие.

- Начать надо с указания символьных переменных. Для этого применяется функция: syms перечень имен переменных через пробел.

- Затем надо ввести исходную функцию  и отобразить ее в командном окне в естественном виде (команда pretty).

Например,

>> syms x a b

>> f=(sin(x)+a)^2/sqrt(abs(a+b))

f =

(sin(x)+a)^2/abs(a+b)^(1/2)

>> pretty(f)

                                            2

                                (sin(x) + a)

                                -------------

                                         1/2

                                | a + b |

>>

или 

>> f=sym('sin(x)')

f =

sin(x)

>> pretty(f)

                                   sin(x)

>>

- Далее следует выполнить операцию развертки и получить результат с именем f1_new. Для этого используется функция ехраnd(имя переменной). 

- Затем над f1_new нужно выполнить операцию свертки и получить результат с именем f1_old. Для этого используется функция simple(имя переменной). 

- Признаки правильного выполнения операций - при свертке результата развертки восстанавливается исходная функция.

Пример выполнения

f 1 (х)=(а+х)3

f2(x)=sin(x)/x

% Задача 1

% Определить символьные переменные

syms а х;

% Функция

f1=(a+x)^3

pretty(f1)

% Расширить ее

f1_new=expand(f1)

% Свернуть расширенное

f1_old=simple(f1_new)

Вычисления с рациональными дробями позволяют получить значение символьного выражения с любой степенью точности, т.е. найти сколько угодно много значащих цифр результата. Для вычислений символьных выражений преднахначена функция vpa():

>> c=sym('sqrt(2)');

>> cn=vpa(c)

 cn =

1.4142135623730950488016887242097

 

По умолчанию вычисляется 32 значащие цифры. Второй входной параметр команды vpa() служит для задания точности:

>> cn=vpa(c,70)

 cn =

1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732

Важно: Выходной аргумент команды vpa() является символьной переменной.

2. Дифференцирование и интегрирование выражений.

При дифференцировании выражения находится производная по выбранной переменной. При интегрировании выражения находится неопределенный интеграл (первообразная) по выбранной переменной. Константа по умолчанию - нуль.

- Начать надо с указания символьных переменных. Для этого применяется функция: syms перечень имен переменных через пробел).

- Затем надо ввести исходную функцию и отобразить ее в командном окне в естественном виде (команда pretty).

- Далее следует выполнить операцию дифференцирования и получить результат с именем f1_new. Для этого используется функция diff(f1,'x',n). здесь f1- имя функции, 'х' - имя переменной (вводится, как строка, в апострофах), по которой производится дифференцирование, n - порядок производной. Например,

>> P= diff('atan(x)',x,1);

>> pretty(P)

                                      1

                                   ------

                                        2

                                   1 + x

- Затем над f1_new нужно выполнить операцию интегрирования и получить результат с именем f1_old. Для этого используется функция int(f1_new,'x'). здесь f1_new - имя функции, 'х' - имя переменной (вводится, как строка), по которой производится интегрирование.

- Признаки правильного выполнения операций - при интегрировании результата дифференцирования восстанавливается исходная функция.

% Задача 2

% Определить символьные переменные

syms a x;

% Функция

f1=(a+x)^3

pretty(f1)

% Найти первую производную по х

f1_new=diff(f1,'x',1)

% Найти неопределенный интеграл по х

f1_old=int(f1_new,'x')

3. Разложение в ряд Тейлора.

Для заданного выражения находится ряд Тейлора с остаточным членом, величина которого зависит от точности, выбираемой при выполнении операции. Остаточный член отбрасывается.

- Начать надо с указания символьных переменных. Для этого применяется функция: syms перечень имен переменных через пробел

- Затем надо ввести исходную функцию.

- Далее следует выполнить операцию разложения в ряд Тейлора и получить результат с именем f1_new. Для этого используется функция taylor(f1,n,'x',a). Здесь f1 - имя функции, переменной, n - порядок остаточного члена, , 'x' - имя переменной (вводится, как строка, в апострофах), по которой производится разложение, а - значение переменной, для которого делается разложение (если оно пропускается, то предполагается а=0).

- Затем над f1_new нужно выполнить операцию свертки и получить результат с именем f1_old. Для этого используется функция simple(имя переменной).

- Признаки правильного выполнения операции - в окрестности точки а графики исходной и полученной функций совпадают.

- Для построения графиков символьных функций имеется процедура ezplot(f2,-h,h);grid on. Здесь f2 - имя символьной функции, (-h h) - нижний и верхний предел значений аргумента, grid on – включает в графике координатную сетку. В заголовок графического окна помещается описание функции. По этой причине в одно графическое окно можно вывести только один график.

% Задача З

% Определить символьные переменные

syms x;

% Функция

f2=sin(x)/x

% Найти разложение Тейлора по х в точке О

f2_new=taylor(f2,5,'x',0)

% Диапазон просмотра

п=4;

% График f2

figure(1);

ezplot(f2,-h,h);grid on

% График f2_new

figure(2);

ezplot(f2_new,-h,h);grid on

4. Оболочка  funtool

 Для работы с символьными функциями предусмотрена функция оболочка - funtool. Она представляет собой интерактивный графический калькулятор, позволяющий быстро построить две функции одной переменной f(x) и g(х). выводятся три автономных окна: два графических и управляющее.

Графики отображаются в отдельных окнах с заголовками.

Управляющее окно содержит:

- Два поля ввода функций.

- Поле ввода пределов переменной х в формате [min.max].

- Поле ввода масштабирующего коэффициента а.

Управление осуществляется кнопками, сгруппированными в 4 ряда:

- Первый - тип символьного преобразования f(x).

- Второй - тип масштабирования f(x): f+a, f-a, f*a, f/a, f^a, f(x+a), f(x*a).

- Третий - тип замены f(x) на комбинацию f(x) и g(x).

- Четвертый - управляющие операции:

—>  Insert - ввести f(x) в библиотеку встроенных функций,

—> Cycle - циклически вызвать f(x) из библиотеки встроенных функций,

—>  Delete - удалить f(x) из библиотеки встроенных функций,

—> Reset - установить утилиту в исходное состояние,

—> Help - вызов справки.

—> Demo - демонстрация использования,

—> Close - закрыть.

Работа с функцией f1 (x)

Работа с функцией f2(x)

Внимание: funtool использует средства символьной математики. Поэтому при вычислении sin(x)/x неопределенность при х=0 раскрывается. Отрабатываются также бесконечно большие значения.

5. Исследование скорости роста символьной функции, описывающей некоторые параметры модели объекта

Построение математической модели для исследования указанной  задачи состоит  в построении касательной функции в некоторой точке X0, затем создания анимации процесса  построения касательной в точках диапазона [X0-1,X0+1].

Алгоритм, реализующий решение поставленной задачи, включает следующие шаги:

1. Определение символьной функции по входной строковой переменной при помощи sym.

2. Нахождение производной в символьном виде.

3. Формирование символьного выражения для касательной.

4. Построение графика символьной функции на некотором интервале [X0-1,X0+1] с шагом 0.1.

5. Построение движущейся точки касания и графика касательной в этой точке.

 Рекомендации по выполнению задания:

A. Следует создать файл-функцию tangent1(‘x^2’,0), возвращающую символьную строку yt, которая содержит символьную запись уравнения производной в некоторой точке X0.

1. В создаваемую файл-функцию tangent1 следует передать в качестве параметра f1 - строку символов, содержащую запись исследуемой функции (см. вариант) и в качестве параметра Х0 - некоторое значение переменной х,  для которого необходимо построить касательную.

1. Для вычисления значения Y0 символьной функции f10, соответствующей строке f1, в точке X0 следует использовать:

sym x

f10=sym(f1);

Y0=subs(f10,’x’,X0);

2. Для символьного задания уравнения касательной следует использовать уравнение прямой, проходящей через точку (x0,y0), и команду sym

>> yt=sym('y0+k*(x-x0)')

yt =

y0+k*(x-x0)

3. Для вычисления коэффициента K наклона касательной следует продифференцировать исходное уравнение и найти его значение в точке X0, используя команды

 f11=diff(f10,’x’,1);

и  K = subs(f11,’x’,X0);

4. Последовательно подставить значения коэффициента k и координат точки x0, y0

>> K=3;  %K – необходимо вычислить на предыдущем шаге

>>   %K=3 выбрано в качестве примера

>> yt=subs(yt,'k',K)

yt =

y0+3*x-3*x0

>> yt=subs(yt,'x0',X0);

>> yt=subs(yt,'y0',Y0);

В.  Построение анимации движения касательной

Для получения анимированной визуализации процесса построения касательных следует воспользоваться командами из следующего примера

% анимациz

% последовательного построения касательной к графику

% функции y=x^2 в точках x0 от -1 до 1

% h3 – дескриптор, используемый для анимации движения точки касания

% h1 – дескриптор, используемый для анимации положения касательной

clear;

x=[-1:0.1:1];        % интервал изменения переменной х с шагом 0.1

% для построения графика кривой

x1=[-1.5:0.1:1.5]; % интервал изменения переменной х с шагом 0.1

% для построения отрезка касательной

% задать дескриптор точки касаниz

x0=x(1);

y0=x0*x0;        % в лаб. работе

% y0 вычисляется на основе символьной функции

h3=line(x0,y0);

set(h3,'Marker','o');

set(h3,'color','b');

set(h3,'EraseMode','xor');

% задать дескриптор графика функции y=x^2

y2=x.*x;  % в лаб. работе

% y2 вычисляется на основе символьной функции

% команды subs и вектора х

h2=line(x,y2);

set(h2,'color','r');

% задать дескриптор уравнениz касательной в точке (x0,y0)

y1=y0+2*x0*(x1-x0);

h1=line(x1,y1);

set(h1,'color','g');

set(h1,'EraseMode','xor');     %'background');

% зададим диапазон изменениz переменных вдоль осей Х и Y

axis([-2 2 -1 4]);

axis manual;

% принудительный вывод графиков, заданных дескрипторами

pause(0.1);

k=length(x);

% бесконечная анимация, завершить - Ctrl+C

while 1

   for i=1:k

       x0=x(i);

       y0=x0*x0;        % в лаб. работе

% y0 вычисляется на основе символьной функции

       y1=y0+2*x0*(x1-x0);   % 2*x0 – это коэффициент наклона касательной

% для функции x^2

    % в лаб. работе для нахождения y1 надо

% использовать символьную функцию, записанную в строку yt 

% команду subs и вектор х1

% yt – здесь находится для каждой точки х0

 % прорисовка точки и касательной в новом месте

       set(h3,'XData',x0,'YData',y0);

       set(h1,'XData',x1,'YData',y1);

       pause(0.1);

   end

end

В результате, например, необходимо получить анимацию построения следующих графиков

Задания лабораторной работы

1. Выполнить развертку и свертку аналитического выражения.

Ввести выражение f1 (x).

Вывести в командное окно выражение f1 (x) в естественном виде (команда pretty).

Развернуть выражение f1 (x).

Полученное выражение свернуть.

Сравнить результат c f1(x).

2. Выполнить дифференцирование и интегрирование аналитическое выражение.

Ввести выражение f1 (x) и найти производную по х.

Вывести в командное окно выражение f1 (x) в естественном виде (команда pretty).

Для полученного выражения найти неопределенный интеграл.

Сравнить с f1 (x).

3. Разложить в ряд Тейлора функцию, заданную аналитическим выражением.

Ввести выражение f2(x) и найти его разложение в ряд Тейлора.

Построить XY график для f2(x) и его разложения в ряд Тейлора F2(x).

4. Работа с командой funtool

Задать функцию f1 и выполнить с ней операции задачи 2.

Задать функцию f2 и выполнить с ней операцию символьного дифференцирования.

5. Исследование скорости роста символьной функции, описывающей некоторые параметры модели объекта в точке X0=0  и в диапазоне [X0-1,X0+1].

Необходимо написать следующие файл-функции:

а) файл-функция, входными аргументами которой являются:

-  строка с символьным представлением функции f1(x) одной переменной х,

- числовое значение абсциссы точки, в которой следует провести касательную.

б) файл-функция анимации процесса построения касательной в точках диапазона

[X0-1,X0+1].

Варианты:

Для всех вариантов: a=4, b=5.

f1(x)

f2(x)

1

(1+x)2

ax3+bx2+cx+d

2

(1-х)2

sin(ax)

3

(а+х)2

cos(ax)

4

(а-х)2

sec(x)

5

(1+х)3

exp(ax)

6

(1-х)3

x(ln(x)-1)

7

(а+х)3

-csec(x)

8

(а-х)З

1/(1+x2)

9

(1+x)4

1/(a+bx)

10

(1-х)4

1/(1-x2)

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37761. Исследование разветвленной линейной электрической цепи постоянного тока 109.5 KB
  Цель работы Экспериментальная проверка законов Кирхгофа и основных свойств линейных цепей постоянного тока. Экспериментальная часть Схема установки R1 = 100 Ом R2 = 50 Ом R3 = 25 Ом Е1 = 75 В E2 = 10 В Проверка законов Кирхгофа Измерено Вычислено I1 I2 I3 Ik 009 016 0065 0005 I1 I2 I3 = 0.065 А Вывод: Экспериментально были проверены законы Кирхгофа. Выставив необходимые значения сопротивлений и проведя необходимые измерения и...
37762. Измерение вязкости жидкости по методу падающего шарика 45.5 KB
  Измерение температуры жидкости t= 0C Расчет искомой величины. Расчет плотности материала шариков 2. Расчет вязкости жидкости Расчет границы погрешностей. Расчет границы абсолютной погрешности результата измерения плотности материала шариков Расчет границы относительной погрешности результата измерения вязкости жидкости Расчет границы абсолютной погрешности результата измерений плотности Окончательный результат: вязкость жидкости при температуре t= 0C.
37763. Методы противодействия радиоэлектронным закладным устройствам, предназначенным для снятия конфиденциальной информации 48.88 KB
  Цели и учебные вопросы Цели лабораторной работы: ознакомление с возможностями комплекса Крона НМ и программного обеспечения Филин Ультра; получение практических навыков: по проведению радиомониторинга в контролируемой зоне по обнаружению поиску и блокированию радиозакладных устройств Учебные вопросы: классификация поисковых устройств для проведения радиомониторинга см. Место: лаборатория Технические средства обеспечения безопасности Используемые технические средства: автоматизированный комплекс обнаружения электронных...
37764. Безпека SMTP і спам 760.04 KB
  У результаті цього спам став практично нерозв'язною проблемою так як було неможливо визначити хто насправді є відправником повідомлення фактично можна відправити лист від імені будьякої людини. DT CRLF Вказує на початок повідомлення. Для завершення повідомлення вказується CRLF . Повідомлення доставляються клієнтові за протоколом POP а надсилаються як і раніше за допомогою SMTP.
37765. Робота з діалоговими компонентами 2.09 MB
  Виконавши лабораторну роботу, я освоїв роботу програм з такими діалоговими компонентами як OpenDialog та SaveDialog для зв’язку з файлами (їх створення, збереження або відкриття вже існуючих), PrinterSetupDialog для налагодження підключених принтерів для друку, FindDialog та ReplaceDialog для пошуку та заміни тексту. Також закріпив навички роботи з компонентами середовища Delphi TMemo та TMainMenu, зрозумів основні принципи створення текстового редактора.
37766. Безопасность жизнедеятельности. Чрезвычайные ситуации мирного и военного времени, организация защиты населения 262.51 KB
  Безопасность жизнедеятельности — это область научных знаний, изучающая общие опасности, угрожающие каждому человеку, и разрабатывающая соответствующие способы защиты от них в любых условиях обитания человека.
37767. Протокол для передачі файлів FTP 189.19 KB
  Для переходу в інший каталог використовую команду CWD: CWD incoming. Для того щоб створити в цій директорії вводжу команду STOR: STOR myfile. Переходжу в інший каталог за допомогою команди CWD: cwd incoming та вводжу команду PWD яка відображає вмістиме каталогу з яким встановлений зв’язок:. Вводжу команду LS що відображає файли і підкаталоги в даному каталозі.
37768. Розробка складних додатків з використанням графіки 1.16 MB
  ps unit Unit1; {mode objfpc}{H} interfce uses Clsses SysUtils FileUtil LResources Forms Controls Grphics Dilogs Menus StdCtrls ExtCtrls Spin; type { TForm1 } TForm1 = clssTForm Button1: TButton; Button2: TButton; Button3: TButton; ColorDilog1: TColorDilog; MinMenu1: TMinMenu; MenuItem1: TMenuItem; MenuItem2: TMenuItem; MenuItem3: TMenuItem; MenuItem4: TMenuItem; MenuItem5: TMenuItem; MenuItem6: TMenuItem; MenuItem7: TMenuItem; MenuItem8: TMenuItem; MenuItem9:...