36489

Співвідношення між ентропією та імовірністю, формула Больцмана

Шпаргалка

Физика

В теорії Дебая зміщення атомів представляється як система поздовжніх та поперечних хвиль суцільного однорідного твердого тіла. Система хвиль має широкий спектр частот. Всі хвилі з будьякими частотами малої швидкості відповідають поперечним і поздовжнім хвилям у твердому тілі тобто нехтуємо дисперсією хвиль. Система хвиль таким чином складається із поздовжніх та поперечних хвиль.

Русский

2013-09-22

170.77 KB

3 чел.

Білет №23

1. Співвідношення між ентропією та імовірністю, формула Больцмана.

Ми маємо такі факти : в адіабатній системі всі необоротні процеси ведуть до зростання ентропії; а також всі процеси будуть йти від менш імовірного стану до більш імовірного.

З цих фактів випливає, що повинен існувати зв’язок між ентропією та імовірністю

.

Такий зв’язок у явному вигляді знайшов Людвіг Больцман.

Нехай система складається із двох ізольованих підсистем 1 і 2. Кожна з них знаходиться у стані з ентропією і відповідно. Ентропія – величина адитивна, тому ентропія всієї системи

.

З іншого боку, імовірність реалізації стану кожної підсистеми становить відповідно і , тому імовірність реалізації стану всієї системи

.

Запишемо такі очевидні співвідношення, отримані із двох попередніх рівнянь

;

.

Як нам знайти вигляд функції ? Це логарифмічна залежність. Тобто у вираз для ентропії повинні увійти

логарифм імовірності, якійсь множник перед ним та константа, з точністю до якої визначається ентропія.  Зараз наша задача зводиться до знаходження і константи.

Підставимо у співвідношення

записаний вираз для ентропії :

;

,

звідки маємо    .

Щоб знайти множник , треба підрахувати ентропію для одного з відомих процесів. Розглянемо ізотермічне розширення 1 моля ідеального газу.

Нехай газ займає об’єм . При його розширенні буде виконана робота (раніше ми отримували формулу)

.

Оскільки процес ізотермічний, внутрішня енергія не зміниться, отже робота виконана за рахунок кількості теплоти . При такому процесі відбудеться зміна ентропії

.

Імовірність повернення системи у вихідний стан

.

Нехай газ займає об’єм . При його розширенні буде виконана робота .

Зміна ентропії становитиме

,

а імовірність повернення системи у вихідний стан

.

Розширимо газ від об’єму до об’єму . Зміна ентропії

.

Скористаємось тим, що

;         .

Тоді

.

Із тотожності випливає , що означає, що множник є не що інше, як стала Больцмана.

Зв’язок між ентропією системи і імовірністю реалізації стану системи, отриманий колись Больцманом (а тепер і нами), має вигляд

.

Це – формула Больцмана. Ентропія пов’язана з логарифмом імовірності всього лиш однією універсальною константою.

Значенню цієї формули сучасники Больцмана надавали такого значення, що вона вибита на могилі Больцмана у Відні (Австрія).

2. Квантова теорія теплоємності твердих тіл Дебая-Борна. Температура Дебая.

В теорії Ейнштейна вважалось, що всі осцилятори мають одну частоту для всіх коливань. В теорії Дебая зміщення атомів представляється як система поздовжніх та поперечних хвиль суцільного однорідного твердого тіла. Система хвиль має широкий спектр частот. Всі хвилі з будь-якими частотами малої швидкості відповідають поперечним і поздовжнім хвилям у твердому тілі (тобто, нехтуємо дисперсією хвиль).

Для атомів в твердому тілі повне число мод коливань (типів коливань) повинно бути, як і в теорії Ейнштейна, рівним . Кожній поздовжній моді коливань відповідає 2 поперечні моди коливань, поляризовані під прямим кутом одна до одної. Система хвиль, таким чином, складається із поздовжніх та поперечних хвиль. Кожна хвиля має свою частоту, але, оскільки є обмеження на повне число коливань , повинна існувати гранична частота для системи хвиль.

Щоб знайти повну енергію системи хвиль, необхідно знайти число можливих хвиль як функцію частоти. Розглянемо можливі стоячі хвилі у твердому тілі у вигляді куба із стороною . Аналогічно із задачею про струну, запишемо рівняння стоячої хвилі :

,

де умова, що на кінцях струни .

Для куба розв’язок тривимірного хвильового рівняння

має вигляд

,

де константа, додатні цілі числа, що повинні задовольняти умові

,

або, вважаючи, що стала величина,

,

.

Останнє рівняння є рівнянням сфери радіусом . Кількість можливих хвиль, що мають частоти, менші за , визначаються набором чисел в октанті сфери радіусом :

.

Для інтервалу частот число можливих хвиль

.

Якщо врахувати, що для куба об’єм, то

,

а якщо врахувати кількість поздовжніх і поперечних хвиль, то

,

де швидкості поздовжніх та поперечних хвиль в твердому тілі, а двійка у дужках вказує на наявність двох типів поляризації поперечних хвиль.

Максимальну частоту нормальних коливань гратки знайдемо, прирівнявши кількість коливань кількості ступеней вільності , де кількість атомів у одиниці об’єму :

.

Звідси

.

Скориставшись виразом для максимальної частоти коливань, можна записати через нього розподіл коливань атомів за частотами

.

Розрахуємо тепер внутрішню енергію одиниці об’єму кристалу. Вона становитиме

,

де середня енергія осцилятора із частотою . Проінтегрувавши по всіх частотах, маємо

.

Отриманий вираз можна переписати у вигляді

,

де енергія нульових коливань.

Якщо під кількістю атомів у одиниці об’єму розуміти число Авогадро , отримаємо молярну теплоємність

.

Із співвідношення

,

введемо температуру Дебая , яку ще іноді називають характеристичною температурою. Користуючись температурою Дебая і позначенням , перепишемо загальні вирази для енергії  та теплоємності у вигляді

;      .

Розглянемо граничні випадки.

. Тоді і . Звідси

;             .

Теорія Дебая-Борна дає температурну залежність теплоємності при низьких температурах, що узгоджується із експериментом.

. Тоді , і експоненту можна розкласти у ряд . Тоді вирази для внутрішньої енергії і теплоємності при набувають вигляду :

;             .

При високих температурах теплоємність набуває сталого значення, яке передбачає класична теорія.

Температуру Дебая визначають експериментально із вимірів залежності теплоємності від температури, а саме, відповідає температурі, при якій теплоємність починає зменшуватись із температурою. Наприклад, для алмазу К; для міді  К; для заліза К; для свинцю К.

3. Абсолютні манометри.

У вакуумнй техниці є два типи абсолютних манометрів. Абсолютним називається прилад, який дає можливість отримувати значення фізичної величини без попереднього градуювання, без порівняння з певним еталоном.

подібний манометр. Найпростішим манометром для вимірювання тисків порядку атмосферного є подібний манометр. Це скляна подібна трубка, частково заповнена рідиною (зазвичай – ртуттю). Одне коліно трубки відкачують до високого вакууму і запаюють, а друге приєднують до об’єму, в якому вимірюють тиск. Якщо різниця рівнів , то тиск в об’ємі дорівнює

.

Компресійний манометр Мак-Леода. Скляний балон 5 відомого об’єму з припаяним до нього капіляром 6 з’єднується через трубку 1 з об’ємом, у якому вимірюється тиск. Паралельно до капіляру 6 між трубками 1 і 3 під’єднаний капіляр 4, такого ж перерізу, що і 6. Таким чином, капіляр 4 завжди з’єднаний із відкачаним об’ємом, а капіляр 6 – із об’ємом 5. Останній через гнучкий шланг 7 під’єднаний до відкритого балону із ртуттю.

До початку вимірів балон 8 розташований таким чином, щоб рівень ртуті у лівому коліні не піднімався вище рівня капіляру 2. При цьому різниця рівнів ртуті у лівому коліні манометру і у посудині 8 приблизно дорівнює атмосферному тискові 760 мм рт.ст. При цьому балон 5 контактує із відкачаним об’ємом.

Для вимірювання тиску балон із ртуттю 8 піднімають, тим самим від’єднуючи балон 5 від відкачаного об’єму. При подальшому піднятті балону 8 ртуть заповнює об’єм 5 і заганяється у капіляр 6. Ртуть піднімають, поки її рівень у капілярі 4 зрівняється із верхньою частиною капіляра 6. Потім вимірюється різниця рівнів , тобто висота стиснутої частини газу у капілярі 4. Вона дорівнює тиску стиснутого газу.

За законом Бойля-Маріотта можна визначити вимірюваний тиск в мм рт.ст.,  тобто початковий тиск у балоні 5 до стискання газу у ньому. Дійсно, якщо об’єм балону 5 становить , то

,

де об’єм стиснутого у капілярі 6 газу (радиус капіляру). Звідси

.

Радіус капіляру і об’єм балону визначаються зарані, отже виміри тиску зводяться до визначення різниці рівнів в капілярах.

Цим манометром можна вимірювати тиск від 0,1 до 10-6 тор. Нижню границю чутливості можна зменшувати, якщо збільшувати об’єм та зменшувати і . Але все треба робити у розумних межах. При надто тонких капілярах ртуть прилипає, оптимальним є мм. Збільшення об’єму веде до збільшення необхідного об’єму ртуті і ваги приладу. Це і обмежує чутливість.

Недоліки манометру Мак-Леода наступні :

  1.  Він не вимірює тиску насиченої пари, які можуть бути у об’єму. При стисканні ця пара конденсується, не змінюючи свого тиску, тобто не враховується.
  2.  Ртуть шкідлива для здоров’я.
  3.  Не допускає неперервного контрою тиску.
  4.  Не можна вимірювати тиск, менший за 10-6 тор.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74509. Предмет и основные понятия корпоративных информационных систем 1.1 MB
  Понятие информационной системы. Корпоративные информационные системы. Структура корпоративной информационной системы. Цель изучения дисциплины Корпоративные информационные системы – подготовка к использованию современных информационных технологий в рамках КИС как инструмента для решения научных и практических задач в своей предметной области на высоком профессиональном уровне а также к участию в разработке и внедрении этих систем.
74510. ПРИКЛАДНОЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КОРПОРАТИВНЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ 2.7 MB
  Посмотрим каким критериям должна удовлетворить концепция КИС: концепция КИС должна быть полностью формализована и ясна с точки зрения реализации обеспечивается технологиями ООП; созданная КИС не должна требовать частых переделок КИС меняется Пользователем на пользовательском уровне Разработчик в этом участвует значительно реже только подменяя ядро КИС на более эффективное; КИС должна иметь форму коробочного продукта КИС реализованная на принципах ООП близка этой форме; КИС должна требовать минимальной настройки под конкретное...
74511. ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОРПОРАТИВНЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ 192.5 KB
  Более подробно жизненный цикл КИС корпоративной информационной системы можно представить следующим образом: Этап анализа на котором происходит сбор предложений требований пожеланий аналогий фактов примеров эскизов сценариев и т. Этап управления вариантами системы необходим чтобы не утонуть в накапливаемом аналитическом материале. Этап конструирования знаменуют собой начало синтеза первых очертаний системы. Здесь происходит разработка вариантов архитектуры системы концептуальных моделей системы диаграмм взаимодействия подсистем...
74512. Сетевое обеспечение корпоративных информационных систем 6.39 MB
  Корпоративные сети. Целесообразность создания компьютерной сети обуславливается следующим: возможностью использования территориально распределенного программного обеспечения информационных баз данных и баз знаний находящихся у различных пользователей; возможностью организации распределенной обработки данных путем привлечения ресурсов многих вычислительных машин; оперативному перераспределению нагрузки между компьютерами включенными в сеть и ликвидации пиковой нагрузки за счет перераспределения ее с учетом часовых поясов; специализацией...
74514. Корпоративные базы данных 3.81 MB
  Корпоративная база данных является центральным звеном корпоративной информационной системы и позволяет создать единое информационное пространство корпорации. Корпоративные базы данных
74516. Обєкт БД- запит. Способи створення запитів. Прості запити 543 KB
  Ознайомити студентів з новим обєктом баз даних - запитами; показати актуальність створення різних видів запитів у роботі з даними бази, навчити створювати запити для вибору даних та для дій над даними.
74517. Бази даних. Системи управління базами даних. Моделі, об\'єкти баз даних. СУБД Access. Проектування бази даних у середовищі СУБД Access. Створення таблиць БД 1.15 MB
  Показати значущість матеріалу, його застосування в практичній діяльності, надати початкові знання з теми, показати різні форми організації даних у БД, виробити навички вибору методів СУБД Access зі створення таблиць, навчити створювати таблиці в середовищі СУБД Access.