36489

Співвідношення між ентропією та імовірністю, формула Больцмана

Шпаргалка

Физика

В теорії Дебая зміщення атомів представляється як система поздовжніх та поперечних хвиль суцільного однорідного твердого тіла. Система хвиль має широкий спектр частот. Всі хвилі з будьякими частотами малої швидкості відповідають поперечним і поздовжнім хвилям у твердому тілі тобто нехтуємо дисперсією хвиль. Система хвиль таким чином складається із поздовжніх та поперечних хвиль.

Русский

2013-09-22

170.77 KB

3 чел.

Білет №23

1. Співвідношення між ентропією та імовірністю, формула Больцмана.

Ми маємо такі факти : в адіабатній системі всі необоротні процеси ведуть до зростання ентропії; а також всі процеси будуть йти від менш імовірного стану до більш імовірного.

З цих фактів випливає, що повинен існувати зв’язок між ентропією та імовірністю

.

Такий зв’язок у явному вигляді знайшов Людвіг Больцман.

Нехай система складається із двох ізольованих підсистем 1 і 2. Кожна з них знаходиться у стані з ентропією і відповідно. Ентропія – величина адитивна, тому ентропія всієї системи

.

З іншого боку, імовірність реалізації стану кожної підсистеми становить відповідно і , тому імовірність реалізації стану всієї системи

.

Запишемо такі очевидні співвідношення, отримані із двох попередніх рівнянь

;

.

Як нам знайти вигляд функції ? Це логарифмічна залежність. Тобто у вираз для ентропії повинні увійти

логарифм імовірності, якійсь множник перед ним та константа, з точністю до якої визначається ентропія.  Зараз наша задача зводиться до знаходження і константи.

Підставимо у співвідношення

записаний вираз для ентропії :

;

,

звідки маємо    .

Щоб знайти множник , треба підрахувати ентропію для одного з відомих процесів. Розглянемо ізотермічне розширення 1 моля ідеального газу.

Нехай газ займає об’єм . При його розширенні буде виконана робота (раніше ми отримували формулу)

.

Оскільки процес ізотермічний, внутрішня енергія не зміниться, отже робота виконана за рахунок кількості теплоти . При такому процесі відбудеться зміна ентропії

.

Імовірність повернення системи у вихідний стан

.

Нехай газ займає об’єм . При його розширенні буде виконана робота .

Зміна ентропії становитиме

,

а імовірність повернення системи у вихідний стан

.

Розширимо газ від об’єму до об’єму . Зміна ентропії

.

Скористаємось тим, що

;         .

Тоді

.

Із тотожності випливає , що означає, що множник є не що інше, як стала Больцмана.

Зв’язок між ентропією системи і імовірністю реалізації стану системи, отриманий колись Больцманом (а тепер і нами), має вигляд

.

Це – формула Больцмана. Ентропія пов’язана з логарифмом імовірності всього лиш однією універсальною константою.

Значенню цієї формули сучасники Больцмана надавали такого значення, що вона вибита на могилі Больцмана у Відні (Австрія).

2. Квантова теорія теплоємності твердих тіл Дебая-Борна. Температура Дебая.

В теорії Ейнштейна вважалось, що всі осцилятори мають одну частоту для всіх коливань. В теорії Дебая зміщення атомів представляється як система поздовжніх та поперечних хвиль суцільного однорідного твердого тіла. Система хвиль має широкий спектр частот. Всі хвилі з будь-якими частотами малої швидкості відповідають поперечним і поздовжнім хвилям у твердому тілі (тобто, нехтуємо дисперсією хвиль).

Для атомів в твердому тілі повне число мод коливань (типів коливань) повинно бути, як і в теорії Ейнштейна, рівним . Кожній поздовжній моді коливань відповідає 2 поперечні моди коливань, поляризовані під прямим кутом одна до одної. Система хвиль, таким чином, складається із поздовжніх та поперечних хвиль. Кожна хвиля має свою частоту, але, оскільки є обмеження на повне число коливань , повинна існувати гранична частота для системи хвиль.

Щоб знайти повну енергію системи хвиль, необхідно знайти число можливих хвиль як функцію частоти. Розглянемо можливі стоячі хвилі у твердому тілі у вигляді куба із стороною . Аналогічно із задачею про струну, запишемо рівняння стоячої хвилі :

,

де умова, що на кінцях струни .

Для куба розв’язок тривимірного хвильового рівняння

має вигляд

,

де константа, додатні цілі числа, що повинні задовольняти умові

,

або, вважаючи, що стала величина,

,

.

Останнє рівняння є рівнянням сфери радіусом . Кількість можливих хвиль, що мають частоти, менші за , визначаються набором чисел в октанті сфери радіусом :

.

Для інтервалу частот число можливих хвиль

.

Якщо врахувати, що для куба об’єм, то

,

а якщо врахувати кількість поздовжніх і поперечних хвиль, то

,

де швидкості поздовжніх та поперечних хвиль в твердому тілі, а двійка у дужках вказує на наявність двох типів поляризації поперечних хвиль.

Максимальну частоту нормальних коливань гратки знайдемо, прирівнявши кількість коливань кількості ступеней вільності , де кількість атомів у одиниці об’єму :

.

Звідси

.

Скориставшись виразом для максимальної частоти коливань, можна записати через нього розподіл коливань атомів за частотами

.

Розрахуємо тепер внутрішню енергію одиниці об’єму кристалу. Вона становитиме

,

де середня енергія осцилятора із частотою . Проінтегрувавши по всіх частотах, маємо

.

Отриманий вираз можна переписати у вигляді

,

де енергія нульових коливань.

Якщо під кількістю атомів у одиниці об’єму розуміти число Авогадро , отримаємо молярну теплоємність

.

Із співвідношення

,

введемо температуру Дебая , яку ще іноді називають характеристичною температурою. Користуючись температурою Дебая і позначенням , перепишемо загальні вирази для енергії  та теплоємності у вигляді

;      .

Розглянемо граничні випадки.

. Тоді і . Звідси

;             .

Теорія Дебая-Борна дає температурну залежність теплоємності при низьких температурах, що узгоджується із експериментом.

. Тоді , і експоненту можна розкласти у ряд . Тоді вирази для внутрішньої енергії і теплоємності при набувають вигляду :

;             .

При високих температурах теплоємність набуває сталого значення, яке передбачає класична теорія.

Температуру Дебая визначають експериментально із вимірів залежності теплоємності від температури, а саме, відповідає температурі, при якій теплоємність починає зменшуватись із температурою. Наприклад, для алмазу К; для міді  К; для заліза К; для свинцю К.

3. Абсолютні манометри.

У вакуумнй техниці є два типи абсолютних манометрів. Абсолютним називається прилад, який дає можливість отримувати значення фізичної величини без попереднього градуювання, без порівняння з певним еталоном.

подібний манометр. Найпростішим манометром для вимірювання тисків порядку атмосферного є подібний манометр. Це скляна подібна трубка, частково заповнена рідиною (зазвичай – ртуттю). Одне коліно трубки відкачують до високого вакууму і запаюють, а друге приєднують до об’єму, в якому вимірюють тиск. Якщо різниця рівнів , то тиск в об’ємі дорівнює

.

Компресійний манометр Мак-Леода. Скляний балон 5 відомого об’єму з припаяним до нього капіляром 6 з’єднується через трубку 1 з об’ємом, у якому вимірюється тиск. Паралельно до капіляру 6 між трубками 1 і 3 під’єднаний капіляр 4, такого ж перерізу, що і 6. Таким чином, капіляр 4 завжди з’єднаний із відкачаним об’ємом, а капіляр 6 – із об’ємом 5. Останній через гнучкий шланг 7 під’єднаний до відкритого балону із ртуттю.

До початку вимірів балон 8 розташований таким чином, щоб рівень ртуті у лівому коліні не піднімався вище рівня капіляру 2. При цьому різниця рівнів ртуті у лівому коліні манометру і у посудині 8 приблизно дорівнює атмосферному тискові 760 мм рт.ст. При цьому балон 5 контактує із відкачаним об’ємом.

Для вимірювання тиску балон із ртуттю 8 піднімають, тим самим від’єднуючи балон 5 від відкачаного об’єму. При подальшому піднятті балону 8 ртуть заповнює об’єм 5 і заганяється у капіляр 6. Ртуть піднімають, поки її рівень у капілярі 4 зрівняється із верхньою частиною капіляра 6. Потім вимірюється різниця рівнів , тобто висота стиснутої частини газу у капілярі 4. Вона дорівнює тиску стиснутого газу.

За законом Бойля-Маріотта можна визначити вимірюваний тиск в мм рт.ст.,  тобто початковий тиск у балоні 5 до стискання газу у ньому. Дійсно, якщо об’єм балону 5 становить , то

,

де об’єм стиснутого у капілярі 6 газу (радиус капіляру). Звідси

.

Радіус капіляру і об’єм балону визначаються зарані, отже виміри тиску зводяться до визначення різниці рівнів в капілярах.

Цим манометром можна вимірювати тиск від 0,1 до 10-6 тор. Нижню границю чутливості можна зменшувати, якщо збільшувати об’єм та зменшувати і . Але все треба робити у розумних межах. При надто тонких капілярах ртуть прилипає, оптимальним є мм. Збільшення об’єму веде до збільшення необхідного об’єму ртуті і ваги приладу. Це і обмежує чутливість.

Недоліки манометру Мак-Леода наступні :

  1.  Він не вимірює тиску насиченої пари, які можуть бути у об’єму. При стисканні ця пара конденсується, не змінюючи свого тиску, тобто не враховується.
  2.  Ртуть шкідлива для здоров’я.
  3.  Не допускає неперервного контрою тиску.
  4.  Не можна вимірювати тиск, менший за 10-6 тор.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75875. Структура гіпертексту. Поняття про гіперлінки, вузли, маршрут 30.22 KB
  Феномен гипертекста можно обсуждать с нескольких точек зрения. Гипертекст автора в традиционном понимании не имеет у него множество авторов причем для постоянно изменяющегося гипертекста авторский коллектив также постоянно меняется. Различия текста и гипертекста: конечность законченность традиционного текста vs. бесконечность незаконченность открытость гипертекста; линейность текста vs.
75876. Лингвистические фреймы 26.66 KB
  Лингвистические фреймы. Термин фрейм получил распространение в лингвистике в 70е годы XX века и с тех пор обрел довольно широкое и устойчивое применение. Несмотря на то что термин фрейм используется в различных областях научной деятельности значение его практически не меняется в зависимости от контекста. Первоначально термин фрейм от англ.
75877. Методи викладання іноземної мови. Комунікативно-спрямований підхід 36.5 KB
  В період післявоєнних десятиліть формується характерна тенденція до і посилення комунікативної спрямованості навчального процесу — його наближення до реального процесу спілкування. Розробкою комунікативного методу в тій чи іншій мірі займалось багато наукових колективів та методистів у різних країнах
75878. Методи викладання іноземної мови. Комунікативно спрямований підхід 32.22 KB
  Перекладні методи: Граматикоперекладний навчання граматики у ході читання тексту та його дослівного перекладу. Мета навчання спілкування. Переважає усне мовлення на основі комунікативних ситуацій навчання фонетики лексики. Переваги:розробка методики навчання усного мовлення системи фонетичних вправ використання різних безперекладних способів семантизації лексики.
75879. Проблеми перекладу в аспекті семантики. Види відношень одиниць вихідної мови та мови перекладу (повна та часткова відповідальність, пересічення, включення) 54.5 KB
  В первую очередь, понятие уровня перевода связано с распространенным в теории перевода понятиями “эквивалентного” (иначе - “адекватного”), “буквального” и вольного перевода. Вообще говоря, понятие переводческой эквивалентности, также как и буквализма и переводческой вольности, не сводиться видимо
75880. Структурні та мовні особливості словникових статей словників-тезаурусів, двомовних, асоціативних, частотних словників 48 KB
  Идеографические словари. Словари-тезаурусы сделанные по конкретным проблемным областям например по электронике геологии торговле политике широко используются в системах автоматического поиска. Переводные словари. Франкорусские словари представлены в частности словарем К.
75881. Структурні та мовні особливості словникових статей словників історичних та етимологічних, словників мовних форм (орфографічних, орфоепічних, морфемних), словників мовленнєвого використання, ономастиконів 47 KB
  Щербой в статье Опыт общей теории лексикографии: Историческим в полном смысле этого термина был бы такой словарь который давал бы историю всех слов на протяжении определенного отрезка времени начиная с той или иной определенной даты или эпохи причем указывалось бы не только возникновение новых слов и новых значений но и их отмирание а также их видоизменение. С 1984 издается Словарь русского языка XVIII в. К числу наиболее полных словарей такого типа для русского языка принадлежит четырехтомный Этимологический словарь русского языка М. Не...
75883. Проблеми створення комп’ютерних систем розпізнавання усного мовлення. Методи виділення й упізнавання елементів мови при обробці усного мовлення 29.83 KB
  Задача распознавания речи состоит в автоматическом восстановлении текста произносимых человеком слов фраз или предложений на естественном языке. Только в последние десятилетия компьютерная техника достигла такого уровня когда стала осмысленной задача распознавания слитной или даже спонтанной устной речи. На этом этапе выяснилось что для решения задачи распознавания речи недостаточно уметь распознавать отдельные звуки и слова команды с надежностью сравнимой с надежностью распознавания отдельных команд человеком. Поэтому задачу...