36489

Співвідношення між ентропією та імовірністю, формула Больцмана

Шпаргалка

Физика

В теорії Дебая зміщення атомів представляється як система поздовжніх та поперечних хвиль суцільного однорідного твердого тіла. Система хвиль має широкий спектр частот. Всі хвилі з будьякими частотами малої швидкості відповідають поперечним і поздовжнім хвилям у твердому тілі тобто нехтуємо дисперсією хвиль. Система хвиль таким чином складається із поздовжніх та поперечних хвиль.

Русский

2013-09-22

170.77 KB

3 чел.

Білет №23

1. Співвідношення між ентропією та імовірністю, формула Больцмана.

Ми маємо такі факти : в адіабатній системі всі необоротні процеси ведуть до зростання ентропії; а також всі процеси будуть йти від менш імовірного стану до більш імовірного.

З цих фактів випливає, що повинен існувати зв’язок між ентропією та імовірністю

.

Такий зв’язок у явному вигляді знайшов Людвіг Больцман.

Нехай система складається із двох ізольованих підсистем 1 і 2. Кожна з них знаходиться у стані з ентропією і відповідно. Ентропія – величина адитивна, тому ентропія всієї системи

.

З іншого боку, імовірність реалізації стану кожної підсистеми становить відповідно і , тому імовірність реалізації стану всієї системи

.

Запишемо такі очевидні співвідношення, отримані із двох попередніх рівнянь

;

.

Як нам знайти вигляд функції ? Це логарифмічна залежність. Тобто у вираз для ентропії повинні увійти

логарифм імовірності, якійсь множник перед ним та константа, з точністю до якої визначається ентропія.  Зараз наша задача зводиться до знаходження і константи.

Підставимо у співвідношення

записаний вираз для ентропії :

;

,

звідки маємо    .

Щоб знайти множник , треба підрахувати ентропію для одного з відомих процесів. Розглянемо ізотермічне розширення 1 моля ідеального газу.

Нехай газ займає об’єм . При його розширенні буде виконана робота (раніше ми отримували формулу)

.

Оскільки процес ізотермічний, внутрішня енергія не зміниться, отже робота виконана за рахунок кількості теплоти . При такому процесі відбудеться зміна ентропії

.

Імовірність повернення системи у вихідний стан

.

Нехай газ займає об’єм . При його розширенні буде виконана робота .

Зміна ентропії становитиме

,

а імовірність повернення системи у вихідний стан

.

Розширимо газ від об’єму до об’єму . Зміна ентропії

.

Скористаємось тим, що

;         .

Тоді

.

Із тотожності випливає , що означає, що множник є не що інше, як стала Больцмана.

Зв’язок між ентропією системи і імовірністю реалізації стану системи, отриманий колись Больцманом (а тепер і нами), має вигляд

.

Це – формула Больцмана. Ентропія пов’язана з логарифмом імовірності всього лиш однією універсальною константою.

Значенню цієї формули сучасники Больцмана надавали такого значення, що вона вибита на могилі Больцмана у Відні (Австрія).

2. Квантова теорія теплоємності твердих тіл Дебая-Борна. Температура Дебая.

В теорії Ейнштейна вважалось, що всі осцилятори мають одну частоту для всіх коливань. В теорії Дебая зміщення атомів представляється як система поздовжніх та поперечних хвиль суцільного однорідного твердого тіла. Система хвиль має широкий спектр частот. Всі хвилі з будь-якими частотами малої швидкості відповідають поперечним і поздовжнім хвилям у твердому тілі (тобто, нехтуємо дисперсією хвиль).

Для атомів в твердому тілі повне число мод коливань (типів коливань) повинно бути, як і в теорії Ейнштейна, рівним . Кожній поздовжній моді коливань відповідає 2 поперечні моди коливань, поляризовані під прямим кутом одна до одної. Система хвиль, таким чином, складається із поздовжніх та поперечних хвиль. Кожна хвиля має свою частоту, але, оскільки є обмеження на повне число коливань , повинна існувати гранична частота для системи хвиль.

Щоб знайти повну енергію системи хвиль, необхідно знайти число можливих хвиль як функцію частоти. Розглянемо можливі стоячі хвилі у твердому тілі у вигляді куба із стороною . Аналогічно із задачею про струну, запишемо рівняння стоячої хвилі :

,

де умова, що на кінцях струни .

Для куба розв’язок тривимірного хвильового рівняння

має вигляд

,

де константа, додатні цілі числа, що повинні задовольняти умові

,

або, вважаючи, що стала величина,

,

.

Останнє рівняння є рівнянням сфери радіусом . Кількість можливих хвиль, що мають частоти, менші за , визначаються набором чисел в октанті сфери радіусом :

.

Для інтервалу частот число можливих хвиль

.

Якщо врахувати, що для куба об’єм, то

,

а якщо врахувати кількість поздовжніх і поперечних хвиль, то

,

де швидкості поздовжніх та поперечних хвиль в твердому тілі, а двійка у дужках вказує на наявність двох типів поляризації поперечних хвиль.

Максимальну частоту нормальних коливань гратки знайдемо, прирівнявши кількість коливань кількості ступеней вільності , де кількість атомів у одиниці об’єму :

.

Звідси

.

Скориставшись виразом для максимальної частоти коливань, можна записати через нього розподіл коливань атомів за частотами

.

Розрахуємо тепер внутрішню енергію одиниці об’єму кристалу. Вона становитиме

,

де середня енергія осцилятора із частотою . Проінтегрувавши по всіх частотах, маємо

.

Отриманий вираз можна переписати у вигляді

,

де енергія нульових коливань.

Якщо під кількістю атомів у одиниці об’єму розуміти число Авогадро , отримаємо молярну теплоємність

.

Із співвідношення

,

введемо температуру Дебая , яку ще іноді називають характеристичною температурою. Користуючись температурою Дебая і позначенням , перепишемо загальні вирази для енергії  та теплоємності у вигляді

;      .

Розглянемо граничні випадки.

. Тоді і . Звідси

;             .

Теорія Дебая-Борна дає температурну залежність теплоємності при низьких температурах, що узгоджується із експериментом.

. Тоді , і експоненту можна розкласти у ряд . Тоді вирази для внутрішньої енергії і теплоємності при набувають вигляду :

;             .

При високих температурах теплоємність набуває сталого значення, яке передбачає класична теорія.

Температуру Дебая визначають експериментально із вимірів залежності теплоємності від температури, а саме, відповідає температурі, при якій теплоємність починає зменшуватись із температурою. Наприклад, для алмазу К; для міді  К; для заліза К; для свинцю К.

3. Абсолютні манометри.

У вакуумнй техниці є два типи абсолютних манометрів. Абсолютним називається прилад, який дає можливість отримувати значення фізичної величини без попереднього градуювання, без порівняння з певним еталоном.

подібний манометр. Найпростішим манометром для вимірювання тисків порядку атмосферного є подібний манометр. Це скляна подібна трубка, частково заповнена рідиною (зазвичай – ртуттю). Одне коліно трубки відкачують до високого вакууму і запаюють, а друге приєднують до об’єму, в якому вимірюють тиск. Якщо різниця рівнів , то тиск в об’ємі дорівнює

.

Компресійний манометр Мак-Леода. Скляний балон 5 відомого об’єму з припаяним до нього капіляром 6 з’єднується через трубку 1 з об’ємом, у якому вимірюється тиск. Паралельно до капіляру 6 між трубками 1 і 3 під’єднаний капіляр 4, такого ж перерізу, що і 6. Таким чином, капіляр 4 завжди з’єднаний із відкачаним об’ємом, а капіляр 6 – із об’ємом 5. Останній через гнучкий шланг 7 під’єднаний до відкритого балону із ртуттю.

До початку вимірів балон 8 розташований таким чином, щоб рівень ртуті у лівому коліні не піднімався вище рівня капіляру 2. При цьому різниця рівнів ртуті у лівому коліні манометру і у посудині 8 приблизно дорівнює атмосферному тискові 760 мм рт.ст. При цьому балон 5 контактує із відкачаним об’ємом.

Для вимірювання тиску балон із ртуттю 8 піднімають, тим самим від’єднуючи балон 5 від відкачаного об’єму. При подальшому піднятті балону 8 ртуть заповнює об’єм 5 і заганяється у капіляр 6. Ртуть піднімають, поки її рівень у капілярі 4 зрівняється із верхньою частиною капіляра 6. Потім вимірюється різниця рівнів , тобто висота стиснутої частини газу у капілярі 4. Вона дорівнює тиску стиснутого газу.

За законом Бойля-Маріотта можна визначити вимірюваний тиск в мм рт.ст.,  тобто початковий тиск у балоні 5 до стискання газу у ньому. Дійсно, якщо об’єм балону 5 становить , то

,

де об’єм стиснутого у капілярі 6 газу (радиус капіляру). Звідси

.

Радіус капіляру і об’єм балону визначаються зарані, отже виміри тиску зводяться до визначення різниці рівнів в капілярах.

Цим манометром можна вимірювати тиск від 0,1 до 10-6 тор. Нижню границю чутливості можна зменшувати, якщо збільшувати об’єм та зменшувати і . Але все треба робити у розумних межах. При надто тонких капілярах ртуть прилипає, оптимальним є мм. Збільшення об’єму веде до збільшення необхідного об’єму ртуті і ваги приладу. Це і обмежує чутливість.

Недоліки манометру Мак-Леода наступні :

  1.  Він не вимірює тиску насиченої пари, які можуть бути у об’єму. При стисканні ця пара конденсується, не змінюючи свого тиску, тобто не враховується.
  2.  Ртуть шкідлива для здоров’я.
  3.  Не допускає неперервного контрою тиску.
  4.  Не можна вимірювати тиск, менший за 10-6 тор.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27811. Основными направлениями деятельности социального педагога 19.57 KB
  Основными направлениями деятельности социального педагога работающего в школеинтернате являются: определение правового статуса ребенка поступившего в учреждение получение сведений о ребенке дата рождения место нахождение родителей и родственников состояния жилищнобытовых условиях проживания ребенка состояние здоровья оформление детей в школуинтернат обеспечение конституционных прав и законных интересов.В государственные детские учреждения образования детские дома дома ребенка школыинтернаты всех типов могут...
27812. ПРОГРАММА РАБОТЫ С ДЕТЬМИ « ГРУППЫ РИСКА» 26.41 KB
  Известно что каждый человек стремиться реализовать свой потенциал постоянно совершенствоваться найти свое место в жизни. В настоящее время наблюдаются положительные тенденции в экономической жизни региона в оздоровлении общества. Еще недавняя нестабильность экономики бытовые неурядицы недостаточный уровень семейного воспитания а порой и полное его отсутствие нездоровый образ жизни в социуме привели к таким явлениям как обнищание отдельных семей асоциальное поведение детей и взрослых безработица низкий уровень этического...
27813. Особенности оказания помощи с помощью телефона доверия 23.5 KB
  К заочным формам помощи относится общение с ребенком и окружающими его людьми посредством переписки или телефонного разговора. К учреждениям использующим заочные формы оказания помощи относятся информационные службы и телефоны доверия в том числе специализированные информационноконсультативные службы для детейинвалидов наркоманов алкоголиков и др. Деятельность телефона доверия заключается в оказании детям и их родителям лицам их заменяющим экстренной консультативнопсихологической помощи по телефону в том числе в случаях жестокого...
27814. Процессы дифференциации и интеграции в географии 44 KB
  и интеграции объединения отдельных разделов отраслей подотраслей учений и теорий науки в одно целое образование их единства. Науковеды выделяют в числе внутренних законов развития науки закон дифференциации каждая новая ступень развития наук зависит от более совершенных методов исследования и ведет к расщеплению фундаментальных наук на разделы изучающие свой круг объектов и закон интеграции каждое новое открытие сопровождается новыми знаниями и требует широкого аспекта смежных исследований. Процесс дифференциации науки...
27815. Телекоммуникации и ГИС 55 KB
  Образ всемирной паутины оказался довольно удачным карты словно вплетены в сеть линий связи опутывающих земной шар. Более сложные тематические карты требуют обращения в Веб для целенаправленного поиска источников подбора слоев их последующего совмещения и комбинирования управления разными базами данных выполнения процедур генерализации и классификации выбора способов изображения и т. Карты и атласы в компьютерных сетях Все карты атласы аэро и космические снимки обращающиеся в Интернете подразделяются на четыре большие группы: ...
27816. Картографическая семиотика. Условные знаки, их виды и функции 46.5 KB
  На стыке картографии и семиотики лингвистической науки исследующей свойства знаков и знаковых систем сформировался особый раздел картографическая семиотика картосемиотика в рамках которой разрабатывается общая теория систем картографических знаков как языка карты. Семиотика включает три основных раздела: синтактику семантику и прагматику соответственно эти разделы существуют и в картографической семиотике: картографическая синтактика изучает правила построения и употребления знаковых систем их структурные свойства грамматику...
27817. Научно-технические приемы анализа картографического изображения 48 KB
  Широкое использование картографического метода исследования в разных отраслях знания привело к возникновению множества приемов анализа карт в разработке которых активное участие принимали картографы географы геологи геофизики математики экономисты. Издавна широко использовались картометрия и морфометрия позднее активное развитие получили приемы математического анализа и математической статистики теории вероятности. В наши дни все методы математики так или иначе испытываются для анализа картографического изображения.
27818. Понятие о карте. Цифровая, компьютерная и электронная карты 43 KB
  Цифровая компьютерная и электронная карты Картой называют уменьшенное изображение на плоскости горизонтальных проекций контуров и рельефа значительных участков земной поверхности' на плоскости с учетом влияния кривизны Земли: В связи с тем что сферическую поверхность Земли нельзя изобразить на плоскости без искажений последняя на карте представляется с искажениями степень которых сводится к разумному минимуму путем использования специальных картографических проекций. Планом называют уменьшенное и подобное изображение на плоскости...
27819. Функции муниципального управления 23.41 KB
  В компетенцию поселения входит обеспечение малоимущих граждан жильем организация муниципального жилищного фонда и создание условий для жилищного строительства. Организация ритуальных услуг и содержание мест захоронения. В их компетенцию входит содержание и строительство автомобильных дорог между населенными пунктами за исключением дорог федерального и регионального значения организация транспортного обслуживания между поселениями. В компетенцию муниципального района входит организация предоставления общедоступного и бесплатного начального...