36490

Розподіли Гаусса і Пуассона як частинні випадки біноміального розподілу

Шпаргалка

Физика

Для кожного тіла можна записати термічне рівняння стану та його внутрішню енергію як функцію параметрів які визначають його стан наприклад . Як називається це рівняння Це калоричне рівняння. Обидва ці рівняння не можуть бути отримані методами формальної термодинаміки. Якщо відомо відоме термічне рівняння стану то теорема Карно дозволяє в загальному вигляді розвязати питання залежності внутрішньої енергії від обєму.

Русский

2013-09-22

210.63 KB

8 чел.

Білет №24

1. Розподіли Гаусса і Пуассона як частинні випадки біноміального розподілу.

Розподіл Гаусса Як і раніше, вважатимемо, що , тобто маємо справу з великими числами. Дослідимо поведінку біноміального розподілу поблизу його максимуму за умови, що кількість частинок  . Візьмемо функцію біноміального розподілу і розкладемо її вряд поблизу максимуму :

Обмежимося першими трьома доданками. Другий доданок дорівнює нулю, оскільки похідна у максимумі дорівнює нулю.

Візьмемо першу похідну   

і продиференціюємо її ще раз :  .

Підставивши у розклад, отримаємо

, або

.

Ми отримали нормальний розподіл імовірності, або розподіл Гауса. Як завжди проаналізуємо залежність і побудуємо графік. Залежність прямує до нуля на нескінченності і має максимум при . При буде дуже мала імовірність потрапляння частинки у виділений об’єм . Тоді показник експоненти прямуватиме до , а сама експонента – до нуля, отже . Визначимо значення функції у точці максимуму. Для цього скористуємось умовою нормування   .

Підставимо явний вигляд функції   .

Змінимо змінну інтегрування   ;   ;    

тоді межі інтегрування зміняться як            .

Максимум розподілу зміститься у початок координат. Оскільки у наближенні Гауса , точка буде лежати досить далеко від максимуму. Ми знаємо, що площа під кривою дорівнює одиниці, це умова нормування. Поглянемо на графік залежності . Подалі від максимуму залежність швидко (експоненціально) спадає до нуля. Отже, якщо ми прихопимо при інтегруванні шматок , ми не дуже спотворимо результат. Отже при заміні змінної межі інтегрування будуть    

Використаємо інтеграл Пуассона                       ;             .

Тоді розподіл Гауса набуває вигляду     .

Визначимо дисперсію розподілу Гауса.

.

Використаємо інший інтеграл Пуассона    ,

Тоді    ;

.

Виразимо розподіл Пуассона через дисперсію та середню квадратичну флуктуацію

.

Чим менша дисперсія, тим вище буде пік, але вужчий, оскільки площа під кривою повинна залишатись сталою (умова нормування).

Найчастіше нас цікавить імовірність потрапляння у певний інтервал, тобто.

Звичайно, чим більший інтервал, тим вища імовірність потрапляння до нього

;      ;          .

Отже, поблизу свого максимуму біноміальний розподіл можна наближено замінити розподілом Гауса.

Розподіл за Пуассоном Другим важливим граничним випадком біноміального розподілу є розподіл Пуассона. Розглянемо біноміальний розподіл

за умови, що кількість частинок, як і раніше, дуже велика , а імовірність події дуже мала, так само, як і кількість частинок, що потрапляють у виділений об’єм (дуже мале, менше одиниці бути не може). Тоді

.

Прологарифмуємо величину :

.

У нас дуже мала кількість частинок у виділеному об’ємі, це означає, що імовірність потрапляння туди – дуже мала величина, отже при малих

;

тоді

.

.

Остаточно отримаємо розподіл Пуассона

.

Фізичний зміст розподілу Пуассона – якщо у певному об’ємі, або інтервалі часу, або ще у чомусь, спостерігається в середньому подій, то імовірність спостереження подій визначається розподілом Пуассона .

2. Метод циклів. Його використання для знаходження залежності внутрішньої енергії ідеального газу від температури та різниці .

За допомогою теорем Карно можна отримати не тільки абсолютну шкалу температур, а й багато важливих співвідношень між фізичними величинами, що характеризують систему у стані термодинамічної рівноваги. Для цього треба заставити систему виконати цикл Карно і застосувати теорему Карно. Такий метод називається методом циклів. І ми розглянемо його на деяких прикладах.

 Приклад 1. Для кожного тіла можна записати термічне рівняння стану 

та його внутрішню енергію як функцію параметрів, які визначають його стан, наприклад,

.

Як називається це рівняння? Це калоричне рівняння. Обидва ці рівняння не можуть бути отримані методами формальної термодинаміки. Їх можна отримати з експерименту або на основі статистичних уявлень.

Якщо відомо відоме термічне рівняння стану, то теорема Карно дозволяє в загальному вигляді розв’язати питання залежності внутрішньої енергії від об’єму.

Нехай є тіло, яке виконує нескінченно малу роботу, тобто має нескінченно малий цикл Карно. Згідно із першою теоремою Карно його к.к.д.

.

Розрахуємо окремо роботу та кількість тепла, отриманого від нагрівача.

Робота дорівнює площі циклу. Чотирикутник 1234 можна вважати паралелограмом, його площа дорівнює площі паралелограму 1256. Площа паралелограму дорівнює добутку основи на висоту. У нашому випадку висота буде дорівнювати збільшенню об’єму при ізотермічному процесі 12. Основу 61 дає збільшення тиску при збільшенні температури при сталому об’ємі. Воно становить . Тоді робота

.

Знайдемо тепер кількість теплоти на ізотермі 12, тобто ту кількість, яку віддав нагрівач.

.

Зміною нехтуємо, оскільки цикл нескінченно малий. Внутрішня енергія є функцією об’єму і температури , але на ізотермі.

.

Підставляємо все у вираз для к.к.д.

.

Скоротивши, отримаємо вираз для залежності внутрішньої енергії від об’єму у загальному випадку :

.

Перевіримо отримане співвідношення для ідеального газу.

,    ,    ,    .

.

Дійсно, ми отримали закон Джоуля, що внутрішня енергія ідеального газу не залежить від об’єму, а є лише функцією температури, про що ми знали й раніше. Отже, співвідношення отримали вірне.

Приклад 2. Із першого начала термодинаміки  ми свого часу отримали формулу

.

Щоб визначити за цією формулою різницю , треба знати термічне і калоричне рівняння станів. Друге начало термодинаміки дозволяє розв’язати цю задачу без калоричного рівняння.

Скориставшись отриманим у попередньому прикладі рівнянням

,

підставимо його в вираз для різниці . Це дає

.

Давайте зробимо невеличкий відступ. Візьмемо рівняння стану , і виразимо один із параметрів стану (будь-який) через два інші і знайдемо його повний диференціал

.

Це співвідношення справедливе при будь яких малих приростах і , і вони можуть вважатись незалежними змінними. Але формула буде вірною, якщо на зміни і накладене якесь обмеження. Припустимо, що тіло приймає участь у процесі, в якому . Це може бути для ізобарного процесу, коли , тоді величини і , перестають бути незалежними, і ми маємо

.

Якщо розв’язати це рівняння відносно , отримаємо

.

Скориставшись очевидним співвідношенням, відомим вам із курсу математичного аналізу,

запишемо

,

можна отримати різні комбінації параметрів у співвідношенні для різниці . Спробуйте вдома!

Знову ж таки перевіримо вірність отриманого співвідношення для ідеального газу.

,    ,    ,    , .

.

Ми отримали добре відоме співвідношення Роберта Майєра, що підтверджує вірність отриманої формули.

3. Внутрішня енергія газу Ван-дер-Ваальса.

Давайте пригадаємо, з якою проблемою ми завжди стикались у термодинаміці. У нас завжди більше параметрів, ніж рівнянь. Крім того, термодинаміка не дає у загальному вигляді рівняння стану   

та калоричне рівняння    .

Їх можна отримати лише із статистичної фізики або експериментально. Але ми знаходили ці рівняння для ідеального газу : рівняння Клапейрона-Менделєєва

та закон Джоуля    .

Для реального газу рівняння стану ми вже знайшли – це рівняння Ван-дер-Ваальса

.

Тепер будемо шукати калоричне рівняння для реального газу, а для цього нам треба знайти вираз для внутрішньої енергії реального газу.

Запишемо повний диференціал внутрішньої енергії

.

Оскільки при закон збереження енергії набуває вигляду , а за означенням теплоємності , то     .

Перший доданок має місце для будь-якої речовини, у тому числі і для реальних газів. Другий доданок дорівнює нулю для ідеального газу, а для реальних газів ми поки що нічого не можемо сказати, можливо і відмінний від нуля.

Сподіваюсь, ви ще пам’ятаєте, що користуючись методом циклів Карно, ми у загальному вигляді розв’язали задачу про знаходження калоричного рівняння

.

(Для ідеального газу діє закон Джоуля – внутрішня енергія ідеального газу не залежить від об’єму, а є лише функцією температури).

Використаємо рівняння Ван-дер-Ваальса у вигляді    .

Тоді    

Звідки    .

Підставивши отримані співвідношення у загальний вигляд калоричного рівняння, маємо

.

Тоді, підставивши все у вираз для повного диференціалу внутрішньої енергії, отримали

.

Продиференціювавши цей вираз, маємо внутрішню енергію реального газу у найзагальнішому випадку (для довільної залежності теплоємності від температури)

.

Якщо вважати, що ми працюємо у вузькому інтервалі температур, коли можна вважати, що , то калоричне рівняння набуває вигляду

.

Давайте розглянемо фізичний зміст отриманого рівняння. Внутрішня енергія реального газу складається із кінетичної енергії теплового руху його молекул та потенціальної енергії їх взаємодії.  Мірою середньої кінетичної енергії є температура, отже перший доданок пов’язаний саме із кінетичною енергією. Другий доданок виник у рівняння стану, коли ми врахували силу притягання між молекулами, отже він пов’язаний із потенціальною енергією. Можна оцінити роботу, яку необхідно виконати проти цієї сили притягання, яка дає приріст потенціальної енергії реального газу при ізотермічному розширенні

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67155. Становлення української національної культури у першій половині XIX століття 190 KB
  Українське національне відродження розпочалося на східноукраїнських землях на межі ХVІІІ – ХІХ ст. Воно стимулювалося, з одного боку, природними процесами загальнокультурного розвитку, з іншого – необхідністю протидії упосліджувальній політиці російського царизму.
67156. Ценообразование в маркетинге 30.85 KB
  Фирма изучает цены конкурентов для использования их в качестве основы при ценовом позиционировании собственного товара. Фирма выбирает для себя один из следующих методов ценообразования: средние издержки плюс прибыль; анализ безубыточности и обеспечение целевой прибыли...
67157. Присвоєння об’єктів. Передача об’єктів функціям 62.5 KB
  Якщо два об'єкти мають однаковий тип (тобто обидва вони – об'єкти одного класу), то значення членів-даних одного об'єкта можна присвоїти іншому. Проте, для виконання операції присвоєння недостатньо, щоб два класи були фізично подібними; імена класів, об'єкти яких беруть участь в операції присвоєння, повинні збігатися.
67158. Английская журналистика 19 века 29 KB
  Ежедневные новости Daily News. Образована была в 1846 году. Основатели Чарльз Диккенс и Д. Форстер. Либеральная политическая программа: за свободу вероисповеданий и политических взглядов. Сначала печаталась на 8 страницах, потом на 4х. Цена на газеты была снижена из-за уменьшения шрифта. Печатались Герберт Уэлс, Бернар Шоу.
67159. Россия в период правления Николая I (1825-1855) 35 KB
  Крестьянская реформа. В 1837-1841 реформа государственной деревни. Денежная реформа Многочисленные войны России расстроили бюджет для преодоления дефицита правительство Николая 1 в 30е годы проводит денежную реформу: введение серебряного рубля государственных казначейских билетов и кредитные билеты.
67160. Идеологическая полемика в культуре 19 века 43 KB
  Результатом просвещения также исторических событий начала 19 века стала обострение национального самосознания в России. Вторым аргументом он называет не рациональность России умом Россию не понять. За подобные идеи в России Чаадаев был назван сумасшедшим.
67161. Психоаналитическая теория культурогенеза 41 KB
  Была разработана в начале 20-го века австрийским психиатром и философом Зигмундом Фрейдом. Наиболее подробно он пишет о причинах генезиса культуры в работе «Тотем и табу», опираясь на идею о тождестве онто и филогенеза, Фрейд стремится увидеть истоки культуры и некоторые особенности ее современного развития во взаимоотношениях первобытного человека с природой и обществом.
67162. Николай Васильевич Гоголь (1809 – 1852) 37.5 KB
  Отец Гоголя был образованным человеком но рано умирает Гоголь к тому времени учился в 6 классе Нежинской гимназии. Гоголь погружается в изучении Украинского фольклора. В 1831 году Гоголь публикует 2 тома рассказов под общим названием Вечера на хуторе близ Диканьки.