36490

Розподіли Гаусса і Пуассона як частинні випадки біноміального розподілу

Шпаргалка

Физика

Для кожного тіла можна записати термічне рівняння стану та його внутрішню енергію як функцію параметрів які визначають його стан наприклад . Як називається це рівняння Це калоричне рівняння. Обидва ці рівняння не можуть бути отримані методами формальної термодинаміки. Якщо відомо відоме термічне рівняння стану то теорема Карно дозволяє в загальному вигляді розв’язати питання залежності внутрішньої енергії від об’єму.

Русский

2013-09-22

210.63 KB

7 чел.

Білет №24

1. Розподіли Гаусса і Пуассона як частинні випадки біноміального розподілу.

Розподіл Гаусса Як і раніше, вважатимемо, що , тобто маємо справу з великими числами. Дослідимо поведінку біноміального розподілу поблизу його максимуму за умови, що кількість частинок  . Візьмемо функцію біноміального розподілу і розкладемо її вряд поблизу максимуму :

Обмежимося першими трьома доданками. Другий доданок дорівнює нулю, оскільки похідна у максимумі дорівнює нулю.

Візьмемо першу похідну   

і продиференціюємо її ще раз :  .

Підставивши у розклад, отримаємо

, або

.

Ми отримали нормальний розподіл імовірності, або розподіл Гауса. Як завжди проаналізуємо залежність і побудуємо графік. Залежність прямує до нуля на нескінченності і має максимум при . При буде дуже мала імовірність потрапляння частинки у виділений об’єм . Тоді показник експоненти прямуватиме до , а сама експонента – до нуля, отже . Визначимо значення функції у точці максимуму. Для цього скористуємось умовою нормування   .

Підставимо явний вигляд функції   .

Змінимо змінну інтегрування   ;   ;    

тоді межі інтегрування зміняться як            .

Максимум розподілу зміститься у початок координат. Оскільки у наближенні Гауса , точка буде лежати досить далеко від максимуму. Ми знаємо, що площа під кривою дорівнює одиниці, це умова нормування. Поглянемо на графік залежності . Подалі від максимуму залежність швидко (експоненціально) спадає до нуля. Отже, якщо ми прихопимо при інтегруванні шматок , ми не дуже спотворимо результат. Отже при заміні змінної межі інтегрування будуть    

Використаємо інтеграл Пуассона                       ;             .

Тоді розподіл Гауса набуває вигляду     .

Визначимо дисперсію розподілу Гауса.

.

Використаємо інший інтеграл Пуассона    ,

Тоді    ;

.

Виразимо розподіл Пуассона через дисперсію та середню квадратичну флуктуацію

.

Чим менша дисперсія, тим вище буде пік, але вужчий, оскільки площа під кривою повинна залишатись сталою (умова нормування).

Найчастіше нас цікавить імовірність потрапляння у певний інтервал, тобто.

Звичайно, чим більший інтервал, тим вища імовірність потрапляння до нього

;      ;          .

Отже, поблизу свого максимуму біноміальний розподіл можна наближено замінити розподілом Гауса.

Розподіл за Пуассоном Другим важливим граничним випадком біноміального розподілу є розподіл Пуассона. Розглянемо біноміальний розподіл

за умови, що кількість частинок, як і раніше, дуже велика , а імовірність події дуже мала, так само, як і кількість частинок, що потрапляють у виділений об’єм (дуже мале, менше одиниці бути не може). Тоді

.

Прологарифмуємо величину :

.

У нас дуже мала кількість частинок у виділеному об’ємі, це означає, що імовірність потрапляння туди – дуже мала величина, отже при малих

;

тоді

.

.

Остаточно отримаємо розподіл Пуассона

.

Фізичний зміст розподілу Пуассона – якщо у певному об’ємі, або інтервалі часу, або ще у чомусь, спостерігається в середньому подій, то імовірність спостереження подій визначається розподілом Пуассона .

2. Метод циклів. Його використання для знаходження залежності внутрішньої енергії ідеального газу від температури та різниці .

За допомогою теорем Карно можна отримати не тільки абсолютну шкалу температур, а й багато важливих співвідношень між фізичними величинами, що характеризують систему у стані термодинамічної рівноваги. Для цього треба заставити систему виконати цикл Карно і застосувати теорему Карно. Такий метод називається методом циклів. І ми розглянемо його на деяких прикладах.

 Приклад 1. Для кожного тіла можна записати термічне рівняння стану 

та його внутрішню енергію як функцію параметрів, які визначають його стан, наприклад,

.

Як називається це рівняння? Це калоричне рівняння. Обидва ці рівняння не можуть бути отримані методами формальної термодинаміки. Їх можна отримати з експерименту або на основі статистичних уявлень.

Якщо відомо відоме термічне рівняння стану, то теорема Карно дозволяє в загальному вигляді розв’язати питання залежності внутрішньої енергії від об’єму.

Нехай є тіло, яке виконує нескінченно малу роботу, тобто має нескінченно малий цикл Карно. Згідно із першою теоремою Карно його к.к.д.

.

Розрахуємо окремо роботу та кількість тепла, отриманого від нагрівача.

Робота дорівнює площі циклу. Чотирикутник 1234 можна вважати паралелограмом, його площа дорівнює площі паралелограму 1256. Площа паралелограму дорівнює добутку основи на висоту. У нашому випадку висота буде дорівнювати збільшенню об’єму при ізотермічному процесі 12. Основу 61 дає збільшення тиску при збільшенні температури при сталому об’ємі. Воно становить . Тоді робота

.

Знайдемо тепер кількість теплоти на ізотермі 12, тобто ту кількість, яку віддав нагрівач.

.

Зміною нехтуємо, оскільки цикл нескінченно малий. Внутрішня енергія є функцією об’єму і температури , але на ізотермі.

.

Підставляємо все у вираз для к.к.д.

.

Скоротивши, отримаємо вираз для залежності внутрішньої енергії від об’єму у загальному випадку :

.

Перевіримо отримане співвідношення для ідеального газу.

,    ,    ,    .

.

Дійсно, ми отримали закон Джоуля, що внутрішня енергія ідеального газу не залежить від об’єму, а є лише функцією температури, про що ми знали й раніше. Отже, співвідношення отримали вірне.

Приклад 2. Із першого начала термодинаміки  ми свого часу отримали формулу

.

Щоб визначити за цією формулою різницю , треба знати термічне і калоричне рівняння станів. Друге начало термодинаміки дозволяє розв’язати цю задачу без калоричного рівняння.

Скориставшись отриманим у попередньому прикладі рівнянням

,

підставимо його в вираз для різниці . Це дає

.

Давайте зробимо невеличкий відступ. Візьмемо рівняння стану , і виразимо один із параметрів стану (будь-який) через два інші і знайдемо його повний диференціал

.

Це співвідношення справедливе при будь яких малих приростах і , і вони можуть вважатись незалежними змінними. Але формула буде вірною, якщо на зміни і накладене якесь обмеження. Припустимо, що тіло приймає участь у процесі, в якому . Це може бути для ізобарного процесу, коли , тоді величини і , перестають бути незалежними, і ми маємо

.

Якщо розв’язати це рівняння відносно , отримаємо

.

Скориставшись очевидним співвідношенням, відомим вам із курсу математичного аналізу,

запишемо

,

можна отримати різні комбінації параметрів у співвідношенні для різниці . Спробуйте вдома!

Знову ж таки перевіримо вірність отриманого співвідношення для ідеального газу.

,    ,    ,    , .

.

Ми отримали добре відоме співвідношення Роберта Майєра, що підтверджує вірність отриманої формули.

3. Внутрішня енергія газу Ван-дер-Ваальса.

Давайте пригадаємо, з якою проблемою ми завжди стикались у термодинаміці. У нас завжди більше параметрів, ніж рівнянь. Крім того, термодинаміка не дає у загальному вигляді рівняння стану   

та калоричне рівняння    .

Їх можна отримати лише із статистичної фізики або експериментально. Але ми знаходили ці рівняння для ідеального газу : рівняння Клапейрона-Менделєєва

та закон Джоуля    .

Для реального газу рівняння стану ми вже знайшли – це рівняння Ван-дер-Ваальса

.

Тепер будемо шукати калоричне рівняння для реального газу, а для цього нам треба знайти вираз для внутрішньої енергії реального газу.

Запишемо повний диференціал внутрішньої енергії

.

Оскільки при закон збереження енергії набуває вигляду , а за означенням теплоємності , то     .

Перший доданок має місце для будь-якої речовини, у тому числі і для реальних газів. Другий доданок дорівнює нулю для ідеального газу, а для реальних газів ми поки що нічого не можемо сказати, можливо і відмінний від нуля.

Сподіваюсь, ви ще пам’ятаєте, що користуючись методом циклів Карно, ми у загальному вигляді розв’язали задачу про знаходження калоричного рівняння

.

(Для ідеального газу діє закон Джоуля – внутрішня енергія ідеального газу не залежить від об’єму, а є лише функцією температури).

Використаємо рівняння Ван-дер-Ваальса у вигляді    .

Тоді    

Звідки    .

Підставивши отримані співвідношення у загальний вигляд калоричного рівняння, маємо

.

Тоді, підставивши все у вираз для повного диференціалу внутрішньої енергії, отримали

.

Продиференціювавши цей вираз, маємо внутрішню енергію реального газу у найзагальнішому випадку (для довільної залежності теплоємності від температури)

.

Якщо вважати, що ми працюємо у вузькому інтервалі температур, коли можна вважати, що , то калоричне рівняння набуває вигляду

.

Давайте розглянемо фізичний зміст отриманого рівняння. Внутрішня енергія реального газу складається із кінетичної енергії теплового руху його молекул та потенціальної енергії їх взаємодії.  Мірою середньої кінетичної енергії є температура, отже перший доданок пов’язаний саме із кінетичною енергією. Другий доданок виник у рівняння стану, коли ми врахували силу притягання між молекулами, отже він пов’язаний із потенціальною енергією. Можна оцінити роботу, яку необхідно виконати проти цієї сили притягання, яка дає приріст потенціальної енергії реального газу при ізотермічному розширенні

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44824. Предпринимательство. Субъекты и формы предпринимательской деятельности 38.28 KB
  По назначению готовой продукции: производящая средства производства производящая средства потребления. По особенностям функционирования выделяют: 1активные ОС заняты в процессе воспроизводства продукции здание в цехе станки машины приборы и т.Фондоотдача Отражает объем продукции приходящийся на один рубль основных фондов. Показывает какая величина основных фондов приходится на рубль выпущенной продукции.
44825. Эффективность государственного регулирования в переходной экономике 24 KB
  Эффективность государственного регулирования в переходной экономике Система государственного регулирования в переходной экономике характеризуется двумя определяющими тенденциями. В переходной экономике роль государственного регулирования в целом выше чем в развитом рыночном хозяйстве. Далее в переходной экономике рынок не сразу становится главным регулятором хозяйственной деятельности поэтому государству приходится активно вмешиваться в экономические процессы. В переходной экономике по сравнению с административнокомандной...
44826. Die Berliner Mauer 26 KB
  Gebut wurde die Berliner Muer nfng der 60er Jhre um den Flüchtlingsstrom vom Osten in den Westen zu stoppen. Die DDR steht kurz vor dem us ist wirtschftlich und politisch bnkrott. Die Sttsgrenze wird geöffnet die Vereinigung der beiden deutschen Stten ist nch über 40 Jhren Trennung in Sicht.
44827. Адаптация человека к условиям окружающей среды. Региональные проблемы экологии человека 23.64 KB
  Адаптация человека к условиям окружающей среды. акклиматизация биосоциал адаптация к сложному комплексу условий внешней среды центральное место в котором занимает климатический фактор. Адаптация такого типа как правило сопровождается только кратковременными сдвигами физиологических показателей. 4перекрестная адаптацияадаптация к одному факторунапр к гипоксии повышает резистентность к комплексу др факторовустойчивость к гипоксии перегрузкам к высоким температурам физич нагрузкам.
44828. Федеральный закон Об охране атмосферного воздуха 40 KB
  Мониторинг атмосферы; внедрение малоотходных технологий и производств; разработка и внедрение более совершенных установок по улавливанию утилизации и обезвреживанию вредных отходов и веществ; разработка норм и правил по ограничению воздействия нестационарных источников загрязнения негативно влияющих на воздушную среду. В проектах должен быть обоснован выбор района размещения объекта с учетом ландшафтно-метеорологических условий должны содержаться данные о допустимых уровнях загрязнения атмосферы согласно нормативным. Общая...
44829. Источники загрязнения 27.5 KB
  В сельском хозяйстве следует сократить непроизводительное расходование воды в орошаемом земледелии реконструировать действующие ирригационные системы в целях снижения расхода воды. В коммунальном хозяйстве необходимо повысить технический уровень эксплуатации систем водоснабжения реконструировать их сократив удельный расход воды.
44830. Охрана природных вод от загрязнения 28.5 KB
  Водный кодекс. Цели водопользования: для целей питьевого и хозбыт водоснабжения сброса сточн вод и дренажных вод произва электрич Е водн и воздушн транспорта сплава древесины и иных целей. Виды водопользования: 1 совместное водопользование; 2 обособленное водопользование может осущся на водн объектах находящихся в собстви физ лиц юр лиц в гос или муницип собствти и предоставленных для обеспечения обороны страны и безопасности госва гос или муниципальных нужд обеспечение кот исключает испе водных объектов др физ лицами юр...
44831. Эпоха Средневековья V – XVI 19.42 KB
  Опыт средневековой школы лёг в основу всех современных педагогических систем составил неотъемлемый пласт культуры. Монастырские школы были и начальными и средними и высшими осуществляли воспитание духовных феодалов. Затем стали образовываться церковно-приходские школы из которых впоследствии развились начальные народные школы. В монастырских и соборных школах существовали внутренние школы где обучались мальчики которых готовили к пострижению в монахи и внешние школы в которых учились дети мирян.