36491

Середня довжина вільного пробігу молекул, її залежність від тиску і температури

Шпаргалка

Физика

Середня довжина вільного пробігу молекул її залежність від тиску і температури. Розглянемо молекулу яка рухається із деякою середньою швидкістю і при зіткненнях не змінює швидкості. Будемо вважати що рухається тільки одна молекула за якою ми спостерігаємо а решта – нерухомі. Виберемо проміжок часу рівний одній секунді тобто будемо розглядати шлях молекули за одиницю часу.

Русский

2013-09-22

242.26 KB

11 чел.

Білет №25

1. Середня довжина вільного пробігу молекул, її залежність від тиску і температури.

Для початку скористаємось деякими припущеннями.

1. Розглянемо молекулу, яка рухається із деякою середньою швидкістю і при зіткненнях не змінює швидкості.

2. Будемо вважати, що рухається тільки одна молекула, за якою ми спостерігаємо, а решта – нерухомі.

Виберемо проміжок часу, рівний одній секунді (тобто будемо розглядати шлях молекули за одиницю часу). Намалюємо її траєкторію за цей час. За одиницю часу молекула пройде час, чисельно рівний її середній швидкості . Оточимо молекулу сферою, радіус якої дорівнює діаметру молекули. Цю сферу називають сферою молекулярної дії. При переміщенні молекули між двома послідовними зіткненнями вона описує циліндр, висота якого дорівнює довжині вільного пробігу, а радіус основи дорівнює .

Для зручності випростаємо циліндр. Висотою прямого циліндра буде шлях, пройдений за одиницю часу . Нехай кількість молекул у одиниці об’єму (концентрація). Тоді кількість молекул у циліндрі, з якими відбудуться зіткнення, дорівнює концентрації, помноженій на об’єм циліндру  .

Середня довжина вільного пробігу визначається як відношення довжини шляху, пройденого молекулою, ( у нашому випадку ), до кількості зіткнень , що відбулися на цьому шляху  ,

за умови, що достатньо велике число. Тоді ми отримаємо у першому наближенні  .

Ми отримали, що . Чим більшою є концентрація молекул, тим, природно, частіше вони будуть мати зіткнення одна із одною.  Ми отримали результат, що середня довжина вільного пробігу залежить від концентрації молекул. Якщо ми скористаємось основним рівнянням молекулярно-кінетичної теорії, то перейдемо до залежності від тиску . Тепер настав час позбавлятись цих припущень. Дотепер ми вважали, що рухається лише наша молекула, а решта молекул стоїть на місці. Зараз врахуємо той факт, що всі молекули рухаються. Давайте виділимо групу молекул, швидкості яких лежать у проміжку .Ш-ть нашої молекули по відношенню до цієї групи становить . Кількість молекул у цій групі . Тоді кількість зіткнень із молекулами цієї групи   .Щоб отримати повну кількість зіткнень, проінтегруємо по всіх відносних швидкостях.   

.   Отримати розв’язок у неявному вигляді можна, помноживши чисельник і знаменник на концентрацію :  

, де - це імовірність потрапляння у інтервал швидкостей. А сам інтеграл дасть середню відносну швидкість  . Тоді середня довжина вільного пробігу набуває вигляду   .Тепер, щоб знайти у явному вигляді середню довжину вільного пробігу, треба скористатись розподілом Максвелла за швидкостями   .Відносна швидкість також буде розподілена за законом Максвелла, оскільки завжди можна пов’язати відносну швидкість молекул з абсолютною, тобто із швидкістю відносно стінок посудини. У розподілі Максвелла потрібно буде зробити певні заміни. Замість абсолютної швидкості будемо використовувати відносну , а замість звичайної маси частинки будемо використовувати зведену масу, яка для двох однакових частинок має вигляд    .  Підставою для такої заміни є те, що з погляду класичної механіки відносний рух двох молекул описується рівнянням руху фіктивної частинки зі зведеною масою під дією сили, з якою взаємодіють між собою ці молекули. Тоді розподіл Максвелла набуває вигляду              

За допомогою розподілу Максвелла знайдемо середнє значення відносної швидкості :

.

С-сь інтегр. Пуассона вигляду  .Тоді   .

Вигляд для швидкості добре знайомий. Схожий на характерні швидкості максвеллівського розподілу. Можемо виразити через будь-яку характерну швидкість, але оскільки у виразі для середньої довжини вільного пробігу фігурує середня абсолютна швидкість, будемо виражати через неї. Оскільки   ,

середня відносна швидкість має вигляд  .

Підставивши це значення, отримаємо кількість зіткнень за одиницю часу  

та довжину вільного пробігу   ;               .

         Отримана залежність відрізняється від попередньої лише множником у знаменнику. Врахування того факту, що молекули рухаються не змінило вигляду залежності середньої довжини вільного пробігу від концентрації, а отже, і від температури.

Давайте оцінимо ці величини для повітря. При К абсолютна середня швидкість становить . Ми отримали це значення раніше, коли знаходили характерні швидкості розподілу Максвелла. Середній діаметр молекул повітря м; як концентрацію візьмемо число Лошмідта – кількість молекул у 1 м3 повітря м-3. Тоді середня кількість зіткнень, що зазнає молекула повітря за одиницю часу   с-1,

а її середня довжина пробігу  .

Отже, від одного припущення ми позбавились. Молекули у нас вже рухаються. І зробили ми це, перейшовши до відносного руху.

Але подивіться ще на отриману формулу. Середня довжина вільного пробігу не залежить ні від швидкості молекул, ні від температури. Вони тут не присутні навіть у завуальованій формі. А от дослід (який є критерієм істини) показав, що такі залежності існують, хоч і дуже слабкі, і пов’язана наявність таких залежностей із зменшенням радіусу сфери  молекулярної дії. Така неузгодженість теорії і експерименту є наслідком використання припущень, які ми приймали, роблячи первинну оцінку.

(від температури

 )Експеримент стверджує : довжина вільного пробігу залежить від температури. Чим вища температура, тим більша довжина вільного пробігу.Щоб отримати відповідну залежність, позбавимось ще одного обмеження. Будемо враховувати сили притягання.Розглянемо нерухому молекулу діаметром . Проведемо вісь, що проходить через центр цієї молекули. Наша досліджувана молекула такого ж розміру летить паралельно вибраній осі на відстані від неї. Підлітаючи до нерухомої молекули, вона потрапляє у поле сили притягання. Траєкторія її руху змінюється. Внаслідок притягання відстань між молекулами стає меншою за . Молекула може просто пройти повз нерухому молекулу, змінивши напрямок руху. А зменшуючи , можна отримати зіткнення. називають параметром зіткнення. Якщо , відбудеться зіткнення, оскільки на таких відстанях переважають сили відштовхування.

Отже, замість розміру молекули у формулах для середньої кількості зіткнень та середньої довжини вільного пробігу повинна фігурувати величина , яка залежить від сили притягання .  Оскільки є очевидним, що пов’язане із , можна все виразити у формулах і через . Здавалося б із збільшенням температури збільшується швидкість молекул, і вони частіше могли б співударятись. А насправді, швидка молекула просто менше відчуває притягання, тому і зменшується кількість зіткнень. Швидка молекула буде менший час знаходитись у полі дії сили. Її імпульс зміниться менше. А повільна молекула за більший час встигне притягтись, і імовірність зіткнення збільшиться. Ось тому із збільшенням температури збільшується довжина вільного пробігу.

Під час зіткнень молекул повинні виконуватись закони збереження імпульсу та енергії. У нашому випадку закон збереження моменту імпульсу для рухомої молекули має вигляд

,

Звідки   .Піднесемо до квадрату обидві частини рівняння   ; а потім розділимо на :   . Закон збереження енергії для рухомої молекули  ,де зведена маса (ми враховуємо рух всіх молекул), а робота всіх центрових сил проти молекули : відцентрових і доцентрових.

З цього рівняння знайдемо  

і підставимо його у рівняння, яке ми отримали із закону збереження імпульсу:   

 .

Скористаємось тим очевидним фактом, що кінетична енергія пропорційна температурі , і перепишемо отримане рівняння у вигляді   , де всі залишки від енергій і робіт внесли до деякої сталої, яка має назву сталої Сьозерленда (Сёзерленд). Стала Сьозерленда має розмірність температури, і її числове значення визначається виключно експериментальним шляхом в залежності від речовини. Наприклад, для повітря К, а для азоту – К.

Підставимо цей результат у вираз для довжини вільного пробігу і отримаємо .

Фактично ми вже отримали результат, тільки давайте подивимось, як виглядатиме формула, якщо :  . Тоді остататочно перепишемо вираз для температурної залежності середньої довжини вільного пробігу як , де довжина вільного пробігу молекули при нескінченно великій температурі.

Із формули бачимо, що із збільшенням температури збільшується середня довжина вільного пробігу молекул. Це відбувається за рахунок зміни величини , яку можна розглядати як деякий ефективний діаметр молекули  , який зменшується із збільшенням температури. Відстань, на якій одна молекула відчуває іншу зменшується, отже звільняється місце для вільного пробігу.

2. Поняття про мікро- та макростан системи. Статистична вага

Давайте розглянемо уважніше, що за імовірність фігурує у формулі Больцмана. Нехай є об’єм . Він містить частинок. Розіб’ємо об’єм на комірок. У кожній комірці міститься частинок.  У першій комірці молекул, а імовірність перебування їх у ній ;У другій комірці молекул, а імовірність перебування їх у ній ;У      комірці молекул, а імовірність перебування їх у ній ;У      комірці молекул, а імовірність перебування їх у ній .

Знайдемо імовірність такого розподілу. Величина є математичною імовірністю реалізації мікростану. Імовірність того, що у комірці будуть знаходитись молекул становить ,де імовірність потрапляння однієї з частинок у комірку, а для молекул це буде імовірність складної події, отже добуток ймовірностей, а оскільки вони однакові, то це буде у степені  .

Макростан системи складається із мікростанів. Імовірність реалізації даного макростану є добутком ймовірностей реалізації кожного мікростану, оскільки реалізація кожного мікростану є незалежною подією  .

Для статичної системи це і буде імовірністю реалізації макростану, але молекули не стоять на місці. Вони можуть мінятись місцями. Кількість можливих перестановок із молекул буде . Але перестановки у межах комірки не змінять стану системи. Тому із повної кількості перестановок треба виключити перестановки у межах кожної комірки  .

Тоді імовірність реалізації стану системи становитиме

.

Давайте будемо вважати, що розмір комірок у нас однаковий,

.

Тоді імовірність можна переписати у вигляді

,

де величина імовірність мікростану, однакова для всіх комірок системи.

Введемо позначення  ,тоді вираз для математичної імовірності реалізації макростану набуває вигляду .  Величина         є кількістю рівноімовірних мікростанів, через які може бути реалізований даний макростан, і має назву статистична вага, або термодинамічна імовірність. На відміну від математичної імовірності, термодинамічна імовірність – це ціле число, не менше за одиницю , і зазвичай виражається дуже великими числами. Саме ця величина і слугує імовірністю у формулі Больцмана. Дивіться, ми можемо її переписати у вигляді

.

Останній доданок є сталою величиною, він нас не цікавить, оскільки ентропія за означенням визначається с точністю до константи  ,

а фізичний зміст має не сама ентропія, а її зміна. Тому будемо користуватись формулою Больцмана у вигляді  , де, нагадаю, ентропія; стала Больцмана; статистична вага, або термодинамічна імовірність. Отже, ентропія пов’язана із імовірністю розподілу через статистичну вагу – кількість варіантів реалізації стану. У цьому, власне і полягає статистичний характер другого начала термодинаміки. Він поділяє процеси не на можливі і неможливі, а на більш імовірні і менш імовірні. Це означає, що всякий процес в природі протікає так, що система переходить у стан, імовірність якого більша.

3. Дефекти кристалічної ґратки. Дефекти за Шотткі і за Френкелем, температурна залежність їх концентрації.

Що ще відрізняє реальні кристали від ідеальних? В реальних кристалах не можна спостерігати той бездоганний порядок, періодичність розташування атомів, які є в ідеальному кристалі. Будь-яке порушення періодичності кристалічної структури називається дефектом. Найбільшим і найочевиднішим дефектом реального кристалу є наявність у ньому поверхні. Її наявність потрібно враховувати, коли приповерхневий об’єм кристалу є співрозмірним із повним об’ємом кристалу, тобто для малих об’єктів.

Крім того, атоми в реальному твердому тілі здійснюють теплові рухи, енергія яких визначається температурою. Цей тепловий рух носить характер коливань і порушує періодичність твердого тіла. Навіть при не дуже високих температурах амплітуда цих коливань становить відсотки по відношенню до міжатомних відстаней. Цим порушенням порядку у кристалі, пов’язаним із тепловими коливаннями атомів, пояснюється той факт, що майже всі фізичні властивості кристалів залежать від температури.

Однак у кристалах є інші дефекти, що не зводяться до теплового руху атомів, хоча в деяких випадках вони з’являються саме за рахунок теплового руху. До таких дефектів відносяться :

1. Точкові дефекти, тобто дефекти, пов’язані з відсутністю окремого атома у гратці, або зайвого окремого атому.

2. Лінійні дефекти, утворені деякою лінійною неоднорідністю у кристалічній гратці, яка називається дислокацією.

3. Планарні дефекти, які можуть утворюватись на первинних стадіях виникнення нової кристалічної структури всередині існуючого кристалу, наприклад, при його перекристалізації.

4. Існують також об’ємні дефекти, а також комбінації усіх перерахованих різновидів.

Ми розглянемо більш детально перші два типи дефектів – точкові і лінійні. Чому таким важливим є дослідження дефектів у кристалах? Багато фізичних властивостей кристалів визначаються дефектами такою ж мірою, як і природою первинного кристалу. Провідність напівпровідників може цілком залежати від малої кількості домішок. Колір багатьох кристалів також визначається їх дефектами. Люмінесценція кристалів практично завжди пов’язана із домішками. Механічні і пластичні властивості твердих тіл також визначаються дефектами.

 

Найпростішим дефектом кристалічної гратки є вакансія, яка являє собою вузол кристалічної гратки, в якому відсутній атом. Цей дефект називається дефектом за Шотткі. Візьмемо певний атом і виведемо його, припустимо, на поверхню, або пересунемо на місце іншої вакансії. На його місці залишилась вакансія, причому сусідні атоми також не залишаться на місці, вони змістяться у бік вилученого атома.На місце утвореної вакансії може перейти атом із сусіднього вузла. Це еквівалентно тому, що вакансія переміщується, виходячи кінець кінцем на поверхню, або заходячи з поверхні у об’єм. Поверхня твердого тіла є стоком та витоком для вакансій. З цими поняттями ви вже зустрічалися, згадайте теорему Гаусса у математичному аналізі.Число вакансій у кристалі залежить від температури. Із збільшенням температури вони рухаються із поверхні в об’єм, а при зниженні – навпаки, із об’єму на поверхню. Утворення точкового дефекту вимагає витрат енергії, отже з енергетичної точки зору може здаватись невигідним. При фіксованій температурі   умовою рівноваги для кристалу є стан з мінімальною вільною енергією при сталому об’ємі     згідно із принципом Кюрі-Вульфа. Але збільшення числа вакансій збільшує ентропію, тому зменшує вільну енергію.

Знайдемо температурну залежність кількості вакансій у кристалі. Нехай енергія, необхідна для переміщення атому із середини кристалу на його поверхню. Чим більше вакансій, тим більша внутрішня енергія кристалу. Тоді внутрішня енергія , де кількість вакансій. За формулою Больцмана   , статистична вага системи, кількість вузлів у гратці, кількість перестановок зайнятих вузлів, кількість перестановок вакансій, комбінація факторіалів є кількістю сполучень з мікростанів. Тоді вираз для вільної енергії набуває вигляду   .

Знайдемо похідну вільної енергії по кількості вакансій

,

і скористаємось тим, що для великих чисел

.

Тоді . Оскільки рівноважним для кристалу є стан з мінімальною поверхневою енергією, то    , отже .

Оскільки ,   .Отже, температурний розподіл вакансій у кристалі підпорядковується статистиці Больцмана.Для міді енергія еВ, при К відношення кількості вакансій до повного числа вузлів .

 Іншим точковим дефектом є дефект за Френкелем. Він являє собою пару – вакансія + атом у міжвузлі. Для щільноупакованих структур, як то гранецентрована кубічна гратка або гексагональна щільноупакована гратка, вихід атома у міжвузля потребує дуже великої енергії. Простір між вузлами малий порівняно із розміром атомів. Тому у щільноупакованих структурах домінуючим є механізм утворення вакансій, тобто дефектів за Шотткі. Дефекти за Френкелем виникають у кристалів із простими кубічною або гексагональною структурою та ще й при досить високих температурах. Також необхідну енергію для виходу атому у міжвузля атом може отримати зовні, наприклад внаслідок пластичної деформації або за рахунок швидкої частинки, що налітає на атом (це радіаційні дефекти). Знайдемо, як і для дефектів за Шотткі, температурну залежність кількості дефектів за Френкелем. Нехай є вузлів та міжвузлів, причому , кількість вакансій, а також кількість атомів у міжвузлях, тобто кількість дефектів за Френкелем. Тоді вираз для ентропії набуває вигляду  .

Похідна вільної енергії   .

.Якщо , тоді   .

Що ще треба зауважити щодо цих типів дефектів. Утворення дефектів за Шотткі збільшує об’єм кристалу, виводячи атоми на поверхню, при сталій масі, отже вакансії, або дефекти за Шотткі зменшують густину кристалу. Дефекти за Френкелем не змінюють об’єму кристалу, вилучені атоми залишаються у тілі кристалу, тому при утворенні дефектів за Френкелем густина залишається незмінною.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2805. Базовые конструкции языка C 58 KB
  Базовые конструкции языка C К базовым конструкциям языка C относятся: алфавит, константы, идентификаторы, ключевые слова, операции, комментарии. Множество представимых символов языка C состоит из алфавита...
2806. Базовые типы данных 77 KB
  Лекция 4 Базовые типы данных   Тип задаётся набором допустимых значений и действий, которые можно производить над данными этого типа. Типы данных языка C схематически представлены на рисунке 1. Базовые типы данных языка C. Тип char –...
2807. Объявление и инициализация переменных 37.5 KB
  Лекция 5 Объявление и инициализация переменных Переменная – это ячейка памяти определённого типа, в которой может храниться значение данного типа. Объявление переменной – это её создание в тексте программы. Форма записи: модификатор тип сп...
2808. Выражения как комбинация операндов и операций 30 KB
  Лекция 6 Выражения Выражение – это комбинация операндов и операций, задающая порядок вычисления некоторого значения и принимающая это значение. Операции – это инструкции, определяющие действия над операндами. В качестве операнда могут выст...
2809. Операции как символ или комбинация символов 136 KB
  Операции Операция – это символ или комбинация символов, которые сообщают компилятору о необходимости произвести определённое арифметическое, логическое или другое действие. Операции в языке C  могут иметь от одного до трех опера...
2810. Операторы как конструкторы языка 62 KB
  Лекция Операторы Оператор – это конструкция языка C, которая определяет для компилятора конечный набор действий. Пустой оператор. Пустой оператор состоит только из точки с запятой. Форма записи, При выполнении этого оператора ничего не п...
2811. Массивы как наборы данных одного типа 73 KB
  Лекция. Массивы Массив – это набор данных одного типа, собранных под одним именем. Форма объявления массива: класс памяти тип список массивов. Поле класс памяти определяет класс памяти массива и является необязательным. Поле тип является о...
2812. Структура программы и модификаторы типа указателей в ОС MS-DOS 53.5 KB
  Лекция. Структура программы и модификаторы типа указателей в ОС MS-DOS В общем виде программа на языке C состоит из директив препроцессора, объявлений и определений объектов, команд, которые могут быть записаны как в одном, так и в нескольких моду...
2813. Измерительные преобразователи и схемы 3.63 MB
  Понятие измерительных преобразователей (ИП), виды, классификация. Эксплуатация летательных аппаратов в авиации связаны с получением данных о значении различных физических величин, характеризующих состояние объекта управления - механических, тепло...