36492

Розподіл середньої кінетичної енергії за ступенями вільності для обертального руху

Шпаргалка

Физика

Кількість молекул всі вони незалежні. Кожна молекула характеризується у просторі кругових частот величинами . Імовірність потрапити молекулам у елементарний об’єм має вигляд . Знайдемо середню кінетичну енергію обертального руху виділеної молекули що припадає на один ступінь вільності при обертанні навколо осі навіщо нам чіплятись до осі вісь нічим не гірша.

Русский

2013-09-22

189.71 KB

5 чел.

Білет 26

Розподіл середньої кінетичної енергії

за ступенями вільності для  обертального руху

Щоб спростити процедуру, не будемо враховувати наявність потенціального поля. Кількість молекул , всі вони незалежні. Будемо розглядати простір кругових (або циклічних) частот. Кожна молекула характеризується у просторі кругових частот величинами . Для неї існують 3 обертальні ступені вільності. Стан всієї системи визначається ступенями вільності. Запишемо елементарний об’єм у просторі кругових частот

.

Імовірність потрапити молекулам у елементарний об’єм має вигляд

.

Знайдемо середню кінетичну енергію обертального руху виділеної молекули, що припадає на один ступінь вільності при обертанні навколо осі (навіщо нам чіплятись до осі , вісь нічим не гірша). Для цього виділимо енергію і інтервал частот, що стосуються цієї молекули

,             .

Тоді за означенням середнього значення

.

Скоротивши, отримуємо такі рідні інтеграли Пуассона

;          .

.

Отже, і на один обертальний ступінь вільності припадає кінетична енергія

.

Отже, теорему про рівнорозподіл ми довели для поступального і коливального рухів. І раніше я зауважила, що на один ступінь вільності припадає потенціальна енергія , якщо потенціальна енергія визначається квадратом змінної величини, з якою пов’язаний ступінь вільності. До речі, звідки береться ця вимога квадратичності? Ця квадратичність входить до виразу для енергії, а отже, потрапляє до показника експоненти розподілу ймовірностей. Тоді при інтегрування ми маємо справу з інтегралами Пуассона і відповідними результатами. Інша залежність такого результату не дасть. (можете спробувати для поля тяжіння Землі).

Квадратична залежність координати має місце у енергії коливань пружини. Одразу приходить на думку двоатомна молекула із нежорстким зв’язком.

Якісне пояснення температурної залежності теплоємності газів

на підставі квантових уявлень

Деяких недоліків класичної теорії теплоємності дає можливість позбавитись квантова теорія теплоємності. Макс Планк, створюючи теорію випромінювання абсолютно чорного тіла, припустив, що енергія може прийматися і випромінюватись дискретно, фіксованими порціями – квантами. Детальніше з основами квантової теорії ви ознайомитесь у курсах квантової механіки та атомної фізики, а зараз ми скористаємось лише деякими її положеннями.

Згідно із класичною теорією енергії поступального, обертального і коливального рухів двоатомної молекули змінюються неперервно. Їх значення довільні і визначаються температурою.

Квантова теорії не накладає жодних обмежень на поступальний рух молекул, і його можна розглядати з класичної точки зору.

Щодо енергій обертального і коливального рухів, то згідно із квантовою теорією вони змінюються дискретно.

Двоатомна молекула розглядається як квантовий гармонічний осцилятор. Її енергетичний спектр коливань є дискретним і визначається виразом

,

де стала Планка

;      ;

частота коливань атомів у молекулі, коливальне число, яке характеризує енергетичний рівень осцилятора. Якщо число змінюється на одиницю, енергія осцилятора змінюється на

.

Спектр енергій осцилятора рівномірний. Величина називається квантом енергії коливального руху. Найменша енергія , що існує при (тобто при абсолютному нулі), називається нульовою енергією осцилятора, а самі коливання – нульовими коливаннями.

Звідки може брати енергію осцилятор ? Він її отримує при зіткненнях. Але прийняти будь-яку енергію осцилятор не може. Він приймає енергію, тільки кратну , і переходить на один із наступних енергетичних рівнів (на рисунку).

Звернемось до розподілу Больцмана молекул за енергіями. Наша молекула зможе прийняти необхідну енергію лише від молекули із заштрихованої області. Якщо температуру збільшувати, збільшиться середня кінетична енергія поступального руху, отже збільшиться кількість молекул, яка може передати енергію осцилятору.

Можна вважати, що у момент зіткнення енергія теплового руху молекул становить . Якщо , молекули практично не передають енергію осцилятору, тоді можна не враховувати коливальні ступені вільності. Якщо ж , то практично всі молекули передають енергію осцилятору. Для водню передача енергії осцилятору стає суттєвою при 6000 К. Проміжному випадку відповідає зростаюча ділянка між двома сталими рівнями на залежності .

 

Крім коливального, квантується і обертальний рух. При зіткненні молекули передають енергію

,

де момент інерції молекули відносно осі обертання, квантове число. При обертальному рухові спектр енергії не є рівномірним, а відстані між енергіями змінюються за арифметичною прогресією

.

Величина має назву обертальний квант. Спектр обертального руху наведений на рисунку.

Якщо , молекули практично не передають енергію осцилятору, тоді можна не враховувати коливальні ступені вільності. Якщо ж , то практично всі молекули передають енергію осцилятору. Для водню передача енергії осцилятору стає суттєвою при 100 К.

Експериментальне визначення коефіцієнтів переносу. Дослід М.Борна і Е.Борман(а)

Молекулярний пучок вилітав із джерела і проходив через систему діафрагм. У кожній діафрагмі прямокутний сектор круглого отвору був перекритий склом. На кожній наступній діафрагмі скло було зсунуто на . При відомих тискові і температурі скляні частинки певний час експонували. На них накопичувався осад. Густина осаду прямо пропорційна кількості молекул, що осіла на скло.

Тоді для кожної діафрагми можна записати :

;   ;   ;   .

Для будь-якої та діафрагми можемо записати :

;              .

Знайдемо відношення густин осаду

.

Прологарифмувавши

,

знайдемо середню довжину вільного пробігу

.

Знаючи відстань між діафрагмами та визначивши густину осаду на кожному із скелець, можна знайти довжину вільного пробігу.

Рівняння Ван-дер-Ваальса

 

Сили відштовхування.

Дія відштовхування зводиться до того, що молекула не допускає проникнення у свій об’єм інших молекул. Отже, сили відштовхування враховуються через деякий ефективний об’єм молекул.

Якщо газ у нас не дуже стиснутий, то взаємодії між молекулами будуть лише парні (участь третьої, четвертої та інших молекул малоймовірна). Таким чином неможливо отримати узагальнене рівняння стану ідеального газу, а лише внести деякі поправки до рівняння Клапейрона-Менделєєва.

Припустимо, що у посудині із об’ємом знаходяться лише дві однакові молекули. Вони можуть зіткнутись між собою та зі стінкою. Згідно із молекулярно-кінетичною теорією величина тиску на стінку визначається сумарною кінетичною енергією молекул і не залежить від розподілу енергії між молекулами. Тому ми можемо вважати, що одна з молекул нерухома, а друга має подвоєну кінетичну енергію – на величину тиску це не вплине.

Оскільки молекули не можуть підійти одна до одної на відстань, меншу , оточимо нерухому молекулу сферою радіуса , як це ми робили при визначенні довжини вільного пробігу. Тоді рухому молекулу можна вважати точковою. Вона не може проникнути всередину обмежувальної сфери об’ємом . Це означає, що завдяки наявності нерухомої молекули доступний об’єм для рухомої молекули становитиме . Об’єм кожної молекули становить , обох молекул – . Тому для двох молекул із розгляду випадає об’єм, у чотири рази більший за сумарний об’єм двох молекул. Звідси природно припустити, що для молекул виключиться із розгляду об’єм

.

З таких міркувань рівняння стану Клапейрона-Менделєєва набуває вигляду

,

де поправка на врахування об’єму молекул. Отже, відштовхування ми врахували, хоча й з дуже великими обмеженнями.

Сили притягання.

Наявність сил притягання призводить до того, що тиск реального газу на стінки посудини виявляється меншим, ніж у випадку ідеального газу.

Оточимо кожну молекулу сферою молекулярної дії (у межах якої вона відчуває присутність інших молекул, або у межах якої інші молекули відчувають її присутність). На молекулу, сфера молекулярної дії якої знаходиться далеко від стінки посудини, тобто всередині посудини, дія сумарної сили притягання дорівнює нулю. Поблизу стінки молекула має більше сусідів з боку об’єму, тому виникає результуюча сила, що повертає молекулу у об’єм. Тиск, який створює на стінку посудини реальний газ,

менший від тиску ідеального газу на величину , зумовлену силами молекулярного притягання. Тиск одного моля ідеального газу становить

.

Легко встановити, від чого залежить тиск . Тиск – це сила, що діє на одиницю площі поверхні. Ця сила буде пропорційною концентрації молекул у об’ємі. З іншого боку, кількість молекул поблизу стінки посудини, на які діє ця сила, теж буде пропорційна концентрації молекул, тобто зміна тиску . Оскільки , то

.

З урахуванням сил притягання рівняння стану набуває вигляду

.

Сили притягання і відштовхування діють одночасно. Для не дуже стиснутих газів, для яких ми вводимо поправки, дії відштовхування і притягання можна розглядати незалежно, тому у результаті комбінації формул для одного моля газу маємо

.

Це рівняння Ван-дер-Ваальса, або рівняння стану реального газу. Сталі і називаються сталими Ван-дер-Ваальса, вони є різними для різних газів.

Ми отримали рівняння із міркувань, що газ стиснутий не дуже сильно, тобто , а молекули є пружними кульками. Для газів із великою густиною рівняння Ван-дер-Ваальса дає лише якісне співпадіння, але кількісно їх не описує.

Гази, поведінка яких точно описується рівнянням Ван-дер-Ваальса, називаються газами Ван-дер-Ваальса.

Для довільної маси газу рівняння Ван-дер-Ваальса набуває вигляду

.

Ізотерми Ван-дер-Ваальса. Взаємні перетворення пари та рідини

Рівняння Ван-дер-Ваальса після нескладних перетворень можна переписати у вигляді

,

або, розділивши обидва боки рівняння на тиск,

.

Якщо зафіксувати і , це рівняння третьої степені відносно , і воно має три розв’язки. Ці три розв’язки можуть бути або всі дійсні, або один дійсний і два уявних. Уявний об’єм з точки зору фізики сенсу не має, отже нас не цікавлять уявні розв’язки.

Якщо записати рівняння Ван-дер-Ваальса у вигляді

,

то очевидно, що при високих температурах другим доданком можна буде знехтувати. Ізотерма матиме вигляд гіперболи із асимптотами та . Цим ізотермам відповідає один дійсний розв’язок. Ізобара перетинає ці ізотерми лише у одній точці.

При зниженні температури другим доданком нехтувати не будемо, в на ізотермі спочатку з’явиться перегин, а потім і хвилеподібна ділянка з двома екстремумами. Цим ізотермам відповідають три дійсних розв’язки. Ізобара перетинає ці ізотерми у трьох точках. У ізотермі з перегином ці три точки зливаються у одну. Ця точка має назву критичної точки, а параметри, якими характеризується газ у цій точці,  критичними параметрами , до розгляду яких ми повернемось трохи пізніше.

Дивним результатом є зменшення тиску із зменшенням об’єму на хвилеподібних ділянках. Крім того, теорія викидає нам подарунок у вигляді від’ємного тиску при низьких температурах.

Щось тут було не так, отже у фізиків одразу засвербіли руки перевірити теорію Ван-дер-Ваальса на експерименті. Першим реальну ізотерму отримав голландський фізик ван Марум. Ізотермічно стискаючи аміак, він помітив, що при тискові 7 атм об’єм газу продовжував зменшуватись, а тиск перестав зростати. Відбулося зрідження разу, і на сталій ділянці тиску лише збільшувався об’єм рідини і зменшувався об’єм газу.

Подальші дослідження виявили наступну проблему. При деяких температурах можна було спостерігати ізотерми ван Марума, а при деяких спостерігались лише класичні ізотерми Бойля-Маріотта.

Найбільш детальне дослідження ізотерм реального газу провів англійський фізик Томас Ендрюс. Він досліджував вуглекислий газ СО2 при різних температурах. Саме він і ввів поняття критичного стану і критичної температури речовини.

При всіх температурах вище критичної та праворуч від пунктирної ділянки речовина знаходиться у газоподібному стані. Прийнято вважати, що при температурі вище критичної речовина є газом, а при температурі нижче критичної – парою. З фізичної точки зору пара від газу нічим не відрізняється.

Всередині ділянки, обмеженої пунктиром, речовина являє собою суміш рідини (зрідженого газу) та насиченої (іноді кажуть пересиченої) пари. Ліворуч – рідина. Її тиск дуже різко зростає із зменшенням об’єму. Із збільшенням температури фаза суміші рідини з насиченою парою зменшується, а потім зовсім зникає. При подальшому збільшенні температури газ наближається за властивостями до ідеального.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72925. Стилістичні потенції прикметника 72.71 KB
  Особистісна сутність людини, її фізіологічна й духовна індивідуальність, винятковість, неповторність і окремішність усього живого й неживого в природі, усіх пізнаних людиною істот і предметів створюється певною сукупністю тих якостей, ознак, які властиві будь-кому й будь-чому.
72926. Теоретическая база логистики 185.24 KB
  В четвертом разделе определяется стоимость доставки продукции различными видами транспорта и вычисляется самый оптимальный вид транспорта. Транспортная логистика Основными задачами транспортной логистики являются: обеспечение транспортировки товаров; минимизация транспортных расходов...
72927. Мода и макияж 20-х годов 70.11 KB
  Именно поэтому бросающие вызов правилам и условностям женщины 20-х годов нарочито доставали из сумочек губную помаду и пудру и прилюдно поправляли свой макияж считая такое дерзкое поведения высшим шиком. Макияж 20х годов -– это бледное напудренное лицо пудра должна быть светлее тона кожи...
72928. ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМИКА: МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 349 KB
  Экономический подъем в стране невозможен без целенаправленной деятельности промышленных предприятий на основе совершенствования управления процессами изготовления продукции, повышения эффективности производства и труда, конкурентоспособности продукции.
72929. Анализ условий и особенностей предпринимательства в России 106.69 KB
  Ни для кого не является секретом тот факт, что основу рыночной экономики составляет частная собственность, которая позволяет развиться другим формам экономической деятельности, в частности, предпринимательской.
72930. Учение о бытии. Проблема бытия. Философское учение о развитии. Сознание. Познание. Творчество. Практика. Наука и научное познание 166.5 KB
  Основными принципами диалектики являются принцип всеобщей связи и принцип развития принцип тождества единства диалектики логики и теории познания принцип восхождения от абстрактного к конкретному принцип единства логического и исторического.
72931. Общество как объект философского анализа. Проблема периодизации всемирной истории. Личность и общество. Проблема свободы и ответственности личности. Будущее человечества (философский аспект) 243.5 KB
  В философии существуют разные точки зрения по вопросам относящимся к сущности общества причинам его развития движущим силам. Натурализм или географическое направление развитие общества определяется природными условиями климатом плодородием почвы богатством минеральных ресурсов и т.
72932. Философия как система теоретического знания и тип мировоззрения. История философии 141.5 KB
  Философия имеет ряд разделов: онтологию – учение о бытии, гносеологию – учение о познании, аксиологию – учение о ценностях. Выделяют социальную философию и философию истории, а также философскую антропологию – учение о человеке. Философия – это не все мировоззрение, а лишь одна из его форм.
72933. Динамічна анатомія 78.5 KB
  Локомоції — група рухів зі зміною площі опори й з переміщенням тіла з одного місця на інше. У цій групі виділяють 2 різновиду рухів. До першого відносять циклічні рухи, що складаються з окремих повторюваних циклів (хода, біг, плавання, лижні перегони, ковзанярський спорт, веслування й ін.).