36495

Термічна дифузія

Шпаргалка

Физика

Перший доданок являє собою потік взаємної дифузії молекул 1 газу а другий – термодифузійний потік. На рисунку вихідні сталі відносні концентрації змінились і набули вигляду концентрація молекул першого газу біля першої пластини; концентрація молекул першого газу біля другої пластини; концентрація молекул другого газу біля першої пластини; концентрація молекул другого газу біля другої пластини. В результаті такої конвекції нагріта частина газу рухається відносно холодної створюючи провиток. Очевидно що температура газу поблизу проволоки...

Русский

2013-09-22

233.6 KB

4 чел.

Білет 29

Термічна дифузія

Далі ще більше ускладнюємо собі життя. Досі ми розглядали випадки дифузії, які призводили до вирівнювання концентрації. Проте існує дифузія, яка навпаки, у однорідній суміші газів призводить до часткового розділення газової суміші і створення градієнтів їх концентрацій.

Якщо суміш газів знаходиться між двома пластинами із різними температурами, то дифузійні потоки цих газів направлені до різних пластин. Причому правила тут такі. Якщо маси молекул газів суттєво відрізняються, то більш важкі переходять до холодної пластини, а легкі – до гарячої. Якщо маси молекул близькі, а відрізняються вони розмірами, то більші молекули йдуть до холодної пластини, а менші – до гарячої.

Така дифузія отримала назву термодифузії. З якісної точки зору досить очевидно, що градієнт температури призводить до градієнта концентрації. Але пояснити у рамках молекулярно-кінетичної теорії явище термодифузії неможливо. Вважають, що воно пов’язано із міжмолекулярними силами відштовхування, залежність яких від відстані має вигляд , де число. Доведено, що при легкі молекули збираються біля гарячої стінки, при – біля холодної стінки (ефект змінює знак), а при ефект термодифузії взагалі відсутній.

Повну теорію термодифузії ми з вами у курсі лекцій не подужаємо, обмежимося лише деякими кількісними співвідношеннями.

Давайте задумаємось. Термодифузія викликає у рівномірно розподіленій суміші газів градієнти концентрацій складових. І що далі ? Що буває, коли існує градієнт концентрації ? Дифузія. У нашому випадку це взаємна дифузія. Отже, термодифузія завжди буде супроводжуватися дифузією.

Приймемо, що газова суміш складається із двох компонент :

1 – з легкими молекулами із концентрацією ;

2 – з важкими молекулами із концентрацією .

Сумарна концентрація . Введемо такі позначення : коефіцієнт взаємної дифузії компонент суміші, коефіцієнт термічної дифузії. Як завжди виділимо площадку площею перпендикулярну осі . Тоді потік молекул першого типу через площадку визначається як

.

Це ми з вами приймаємо за постулат, щоб зараз не зупинятись на тому, чому саме так записали термодифузійну складову. Перший доданок являє собою потік взаємної дифузії молекул 1 газу, а другий – термодифузійний потік.

У стаціонарному стані , тому

;   ;      .

Введемо відносні концентрації

;       ;      .

В таких позначеннях рівняння набуває вигляду

.

Величина називається термодифузійним відношенням. Воно пов’язане із відносними концентраціями наступним чином

,

де константа, в якій маси молекул обох сортів; показник залежності .

Перепишемо диференційне рівняння у вигляді

.

Проінтегрувати його не проблема, тільки розберемось із межами інтегрування. На рисунку вихідні сталі відносні концентрації змінились і набули вигляду

концентрація молекул першого газу біля першої пластини;

концентрація молекул першого газу біля другої пластини;

концентрація молекул другого газу біля першої пластини;

концентрація молекул другого газу біля другої пластини.

Тоді інтегруємо

.

Скористаємось тим, що . Розділивши перший інтеграл на два, маємо

;                          .

Можна трошки прикрасити

.

Що нам дає отриманий результат? Ми отримали зв’язок між концентрацією молекул одного сорту, що встановилась на пластинах із різною температурою внаслідок термодифузії. Аналогічно можна отримати і для другого сорту молекул.

Якщо , то , або . Відношення концентрацій компонент суміші газів на першій і другій пластинах однакове, тобто суміш однорідна.

Якщо ж  , формула дасть нам можливість оцінити ступінь неоднорідності розподілу концентрацій.

Застосування термодифузії

Вираз являється характеристикою степені розділення компонентів і називається коефіцієнтом розділу, і при малих значеннях , тобто для ізотопів близький до одиниці (при ) розділу зовсім немає. Тому часто величину , яка наз. коефіцієнтом збагачення. Очевидно . Наприклад для ізотопу неону з атомними вагами і при і при коефіцієнт збагачення . Це означає, що початкова концентрація в результаті термодифузії зміниться на 3%.

Ця обставина змусила шукати способи посилення степені збагачення, викликаного термодифузією. Такий спосіб був знайдений, і полягав він в тому, що різниця температур, що забезпечує термодифузію, була використана для створення конвекційної течії газової суміші. В результаті такої конвекції нагріта частина газу рухається відносно холодної, створюючи «провиток». Для цього необхідно градієнт температури направити горизонтально, для того, щоб сила тяжіння могла бути використаною для створення вертикальної конвекції. Цей принцип був використаний в «розділяючій колонці» . по осі вертикально встановленої труби, що охолоджується проточною водою, натягнута металічна проволока, що нагріваєт електричним струмом. Збагачувана газова трубка вводиться через трубку. Очевидно, що температура газу поблизу проволоки буде вище, ніж біля стінок трубки, в результаті чого виникає термодифузія.

Розглянемо, як при цьому відбувається збільшення степені розділення. Термодифузія приводить до того, що поблизу гарячої проволоки збагачений легкими компонентами, а поблизу холодної -  важкими. Далі газ, біля гарячої проволоки, розширюючись зменшує свою густину і піднімається доверху, а холодний опускається вниз. Виникає циркулюючий потік газу. При цьому очевидно, що циркуляція піднімає вверх більше молекул, ніж опускається їх вниз біля холодної стінки, хоча сумарні потоки газу вверх і вниз зовсім однакові. В результати в верхній частині назбирується надлишок легкого, а в нижній надлишок важкого компоненту.

Термодифузія «приводить» легкі молекули до гарячої проволоки, а конвекції «виводить» їх вверх. В результаті створюється вертикальний градієнт концентрації. Розділення при цьому виявляється у багато разів більшим, ніж при чисто термодифузійному розділенні. Таким методом було розділено цілий ряд ізотопів.

Ентропія – це функція стану, яка характеризується тим, що різниця ентропій у двох різних точках дорівнює сумі зведених теплот, які треба витратити на перехід з початкового стану 1 у кінцевий стан 2 по оборотному шляху.

Ентропія визначається з точністю до константи. Власне, фізичний зміст має не сама ентропія, а її різниця. Отже, за означенням

.

 

Це ми навели найзагальніший вираз для ентропії. Давайте обчислимо ентропію ідеального газу.

Із першого начала термодинаміки випливає, що

.

Тоді

.

Якщо не залежить від температури, то для ідеального газу у кількості 1 моль

,

звідки

.

 

Розглянемо адіабатний процес. , звідки . Отже, , тому

, або   , .

Якщо скористатись рівнянням Роберта Майєра , або ,  , маємо

,

тобто із виразу для ентропії ідеального газу отримали рівняння адіабати. Отже, адіабатний процес – ізоентропійний.

Ми звикли представляти всі діаграми у координатах . Простий аналіз циклу Карно показує, що його форма залежить від робочого тіла. Цикл Карно задається крім двох ізотерм двома адіабатами. Хід адіабати залежить від коефіцієнта , тобто від величини, яка визначається молекулярною будовою робочого тіла. Для одноатомного газу, нагадаю, , для двоатомного – , для трьохатомного  – .

Цікавим було б побудувати цикл, форма якого не залежала б від природи робочого тіла. Такий цикл можна побудувати  у координатах (температура-ентропія), ця залежність називається ентропійною діаграмою.

Ізотерми у такому циклі перетворяться на горизонтальні прямі. А що можна сказати про адіабати ? Ми ж недаремно тільки що показали, що адіабатний процес ізоентропійний. Отже, адіабати можна представити як вертикальні прямі. Утворений цикл еквівалентний звичному циклу Карно у координатах , і ми це зараз доведемо.

Для цього визначимо к.к.д. утвореного циклу. Кількість теплоти, що передається нагрівачем робочому тілу на першій ізотермі

.

Це випливає із означення ентропії. На адіабаті теплообміну немає. Ця кількість теплоти чисельно дорівнює площі прямокутника . Аналогічно, кількість теплоти, яку передає холодильнику робоче тіло

.

Ця кількість теплоти чисельно дорівнює площі прямокутника . Тоді к.к.д.

.

Остаточно отримаємо

.

Цей вираз співпадає із отриманим у доведенні першої теореми Карно, отже цикли еквівалентні. К.к.д. геометрично є відношенням заштрихованої площі циклу до площі прямокутника .

Ефект Джоуля-Томсона. Температура інверсії

Давайте згадаємо, у чому полягає ефект Джоуля-Томсона. Посеред добре теплоізольованої труби розміщувалась порувата речовина. За рахунок різниці тисків по обидва боки поруватої перегородки газ продавлювався через перегородку. Цей процес називається дроселюванням. Ефект Джоуля-Томсона полягає у тому, що при дроселюванні реального газу через перегородку його температура змінюється. Чим ближче властивості газу до реального, тим менша зміна температури.

Важливою особливістю ефекту Джоуля-Томсона є те, що він йде без зміни ентальпії .

Природно ввести величину, яка кількісно буде характеризувати ефект Джоуля-Томсона

,

швидкість зміни температури із тиском (звичайно за сталої ентальпії).

Запишемо диференціал ентальпії. Величини, які є у нас змінними, це температура і тиск (при цьому ентальпія не є термодинамічним потенціалом, дивись магічний мнемонічний квадрат) :

.

Оскільки за означенням ентальпія , то

.

Звідси

.

Застосовуючи мнемонічний квадрат, запишемо одне з рівнянь Максвелла

;

тоді

.

При ізобарному процесі , отже . Підставивши у повний диференціал ентальпії отримані вирази для частинних похідних, отримуємо

.

Скориставшись сталістю ентальпії

,

отримаємо швидкість зміни температури із тиском

.

Отже, ми отримали кількісне формулювання ефекту Джоуля-Томсона. Перевіримо його для ідеального газу :

.

Отже, у ідеальному газі температура не змінюється із тиском, що і отримали експериментально Джоуль і Томсон.

Нам залишилось знайти величину . Скористаємось рівнянням Ван-дер-Ваальса у вигляді

.

Розкриємо дужки

і продиференціюємо по температурі за сталого тиску:

.

Звідси знайдемо шукану похідну

.

Скористуємось тим, що

.

Тоді

.

Підставимо похідну у вираз для швидкості зміни температури із тиском

.

Після очевидних перетворень маємо остаточно

.

Для подальшого аналізу отриманого виразу давайте скористаємось штучним прийомом – з рівняння Ван-дер-Ваальса знайдемо похідну

.

Підставивши цей вираз у рівняння для , маємо

.

Що можна сказати про знак похідної ізотерм Ван-дер-Ваальса ? Хоч теорія і викидає знакозмінність, на експерименті завжди.

Проаналізуємо частинні випадки :

1. . Приріст завжди, оскільки газ продавлюється із області з більшим тиском у область із нижчим тиском, то у цьому випадку , отже газ нагрівається.

2. . У цьому випадку , отже газ охолоджується.

3. . Приріст , отже у цьому випадку , температура газу не змінюється.

Природно із третього випадку ввести температуру інверсії, при якій змінюється знак ефекту Джоуля-Томсона

.

Температура інверсії залежить від об’єму, який займає газ. Користуючись поняттям температури інверсії, можемо стверджувати, що при температурах, вищих за температуру інверсії, газ буде нагріватись, а при нижчих – охолоджуватись.

Подальший аналіз зручніше буде проводити для зведених параметрів

;         ;          .

Підставивши значення температури і об’єму у вираз для температури інверсії, отримаємо вираз температури інверсії для зведених параметрів

.

Графічно побудована залежність називається кривою інверсії і має вигляд, наведений на рисунку. Нижче кривої інверсії газ буде охолоджуватись, а вище – нагріватись.

Область значень не має фізичного змісту, оскільки (об’єм молекул газу), отже з рівняння випливає, що завжди має бути .

Оскільки рівняння Ван-дер-Ваальса у зведених координатах не залежить від типу речовини, тому для будь-якої речовини температура інверсії при .

Для практичного застосування рівняння кривої інверсії зручніше записати у координатах . Для цього розв’яжемо систему рівнянь

із виразу для температури інверсії та рівняння Ван-дер-Ваальса. Позбавившись зведеного об’єму, отримаємо співвідношення

.

Графічно ця теоретична залежність наведена на рисунку пунктиром. Кожному значенню зведеного тиску, що не перевищує певного значення , відповідають два значення температури інверсії. Всередині кривої температура газу зменшується, зовні – збільшується.

Експеримент якісно підтверджує цей результат. Експериментальна крива для водню наведена суцільною лінією. Але кількісні відмінності існують і дуже значні. Це наслідок того, що рівняння Ван-дер-Ваальса все ж таки є певною апроксимацією.

Останні зауваження стосуються не дуже стиснутих газів. Коли газ не дуже стиснутий, можна покласти

   та    ,

тобто можна знехтувати об’ємом молекул порівняно з об’ємом посудини та тиском, пов’язаним із силами притягання між молекулами. Тоді швидкість зміни температури із тиском становитиме

.

Скористаємось тим, що . Тоді для не дуже стиснутих газів швидкість зміни температури із тиском становить

.

Тоді температура інверсії

а це відповідає зведеній температурі

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40100. Обеспечение стабильной работы ftp и http сервера 4.11 MB
  Спецификация защищаемого объекта В сети Internet имеется закрытый ftpсервер доступ к которому предоставляется через открытую http страницу в глобальной сети Интернет. ftpсервер предоставляет доступ к файлам различных музыкальных форматов. Сервер функционирует на базе операционной системы Windows Xp. Сервер территориально располагается в пределах одной комнаты имеет выход в глобальную сеть Интернет через сторонний сервер компании предоставляющей услуги доступа.
40101. Разработка системы защиты выбранного объекта 98.5 KB
  Объект представляет собой локальную сеть с выделенным сервером и 4 рабочих станции. Сеть находится в одном адресном пространстве с корпоративной сетью другого учреждения в дальнейшем СЕТЬ построенной по принципу internet. Кроме того имеется подключение к сети интернет через модемное соединение и через локальную сеть. Подключение к internet через локальную сеть происходит через проксисервер расположенный в СЕТИ.
40102. Математическая модель маятника на каретке 1.46 MB
  В качестве обобщенных координат для рассматриваемой системы с двумя степенями свободы выберем t угол отклонения маятника и xt положение каретки. Для записи уравнений динамики механической системы воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода 1.1 получим математическую модель рассматриваемого объекта в виде системы двух дифференциальных уравнений второго порядка 1. Дифференциальные уравнения в форме Коши Для записи системы дифференциальных уравнений в форме...
40103. СИНТЕЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ МЕХАНИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА 13.61 MB
  Построение компьютерной модели с целью имитации движений, а также применение методов теории управления упрощается, если исходные уравнения привести к форме Коши. Для этого разрешим исходные уравнения относительно старших производных. Заметим, что старшие производные входят в уравнение линейно, что позволяет представить уравнения в матричной форме
40104. Синтез алгоритмов управления нестабильным объектом 449.5 KB
  Для достижения цели проекта необходимо решить следующие задачи: 1 – составить нелинейную математическую модель объекта и провести анализ методом компьютерного моделирования; 2 – провести анализ устойчивости управляемости и наблюдаемости объекта по линеаризованной модели; 3 – синтезировать регулятор состояния методом размещения собственных значений [2]; 4 – синтезировать наблюдатель состояний и динамический регулятор; 5 – оценить размеры области притяжения положения равновесия нелинейной системы с непрерывным регулятором; 6 – построить...
40105. Двойственный симплекс-метод, основные принципы, алгоритм. Случаи, когда удобно применять двойственный симплексный метод 178 KB
  ДСМ ДСМ как и СМ называется методом последовательного улучшения оценок и применяется для решения задачи: исходным пунктом этого метода является выбор такого базиса . Таким образом основные принципы ДСМ заключаются в том чтобы: каждый раз выполнялось 2 значения целевой функции убывало. Для этого воспользуемся 2м принципом ДСМ. Чтобы обеспечить это надо выбрать так что: 6 Алгоритм ДСМ формулируется так: Выбираем базис и строим I симплекстаблицу Если все то решение оптимально иначе переход к 3.
40106. Задача максимизации прибыли при заданных ценах на продукцию и ресурсы. Анализ оптимальных решений с помощью множителей Лагранжа 34.5 KB
  Требуется решить задачу максимизации прибыли при заданных P0 и p: mx P0fx – p x 1 x  0 2 Исследование задачи будем проводить с помощью функции Лагранжа: – балансовое соотношение В оптимальном плане x для любых используемых ресурсов отношение цены к предельной эффективности постоянно. Для этих же ресурсов показали что соотношение предельных эффективностей равно соотношению цен. Наибольшая отдача будет от тех ресурсов которые имеют самую большую предельную эффективность в текущей точке.
40107. Теорема о необходимых и достаточных условиях оптимальности смешанных стратегий 167.5 KB
  Пусть игра определена матрицей и ценой игры V. – оптимальная стратегия 1 игрока х является первой координатой некоторой седловой точки фции выигрыша Мх у. СЛЕДСТВИЕ: Если для смешанных стратегий и числа V одновременно выполняются 1 и 2 то будут оптимальными стратегиями игроков а V– цена игры. Докво: умножим 1 на y и просуммируем: умножим 2 на x и просуммируем: Получаем Тогда по следствию Т о седловой точке точка – седловая и –...
40108. Функция выигрыша в матричных играх без седловой точки. Смешанные и оптимальные смешанные стратегии. Метод сведения решения матричных игр к задаче линейного программирования 119.5 KB
  Функция выигрыша в матричных играх без седловой точки. Парная игра с нулевой суммой задается формально матрицей игры – матрицей А = {ij} элементы которой определяют выигрыш первого игрока и проигрыш второго если первый игрок выберет iю стратегию а второй jю стратегию. Пара i0j0 называется седловой точкой матрицы решением игры если выполняются условия: mx по столбцу I игрок min по строке II игрок Значение функции выигрыша в седловой точке называется ценой игры. Тогда выигрыш первого игрока при условии что он выбирает...