36496

Взаємна дифузія

Шпаргалка

Физика

Згідно із основним рівнянням переносу можна записати ; . Згідно із рівнянням Фіка яке справедливо і для суміші газів коефіцієнт дифузії першого газу у суміші двох газів . Рівняння політропного процесу робота при цьому процесі Ізотермічний і адіабатний процеси це процеси ідеалізовані. Запишемо для нього рівняння.

Русский

2013-09-22

175.31 KB

10 чел.

Білет 30

Взаємна дифузія

Тепер ускладнимо собі задачу. Розглянемо взаємну дифузію, тобто дифузію двох різних газів. Тепер у нас по різні боки перегородки різні гази, з різними концентраціями, масами, довжинами вільного пробігу та швидкостями. Заберемо перегородку. Кожен газ почне розповсюджуватись у бік іншого, виникне градієнт концентрації. Знову ж таки будемо розглядати стаціонарний випадок, коли градієнт концентрації кожного газу буде підтримуватись сталим у часі (будемо додавати з одного боку і забирати з другого). Але все одно у рівноважному стані  залишаються справедливими співвідношення

;                 .

Через виділену площадку , перпендикулярну осі , будуть йти назустріч потоки молекул обох газів.

Введемо позначення

потік молекул 1 типу, що рухається зліва направо;

потік молекул 2 типу, що рухається з права наліво.

Згідно із основним рівнянням переносу можна записати

;        .

Оскільки гази різні, то у них відрізняються середні швидкості теплового руху і довжини вільного пробігу, тому

.

Неврівноваженість зустрічних потоків молекул призведе до виникнення у об’ємі градієнту концентрації, а отже і градієнту тиску. Для того, щоб тиск у всьому об’ємі залишався сталим, газ у цілому повинен рухатись. Швидкість цього руху повинна бути такою, щоб потік газу компенсував надлишковий дифузійний потік. У такому випадку повинна виконуватись умова стаціонарності

.

Підставимо вирази потоків

,

і отримаємо вираз для швидкості компенсуючого потоку

.

Щоб записати повний потік молекул 1 типу , що переносяться через площадку , треба врахувати не тільки ті, що йдуть зліва направо , а й ті, що переносяться компенсуючим потоком

.

Тоді

.

Скориставшись тим, що , перепишемо потік молекул 1 типу через площадку як

.

Згідно із рівнянням Фіка, яке справедливо і для суміші газів, коефіцієнт дифузії першого газу у суміші двох газів

.

Повторивши цю процедуру для повного потоку молекул другого газу, отримаємо

,

а отже

.

Тобто отримали цікавий результат – коефіцієнти взаємної дифузії двох газів у суміші однакові. Якщо тепер скористатись виразами для коефіцієнтів самодифузії кожного з газів

  та    ,

то коефіцієнти взаємної дифузії можна переписати у досить симетричному вигляді

         та          .

Ну, і як завжди, розглянемо граничний випадок, коли концентрація одного з газів мала порівняно із концентрацією другого

;  ;   тоді .

Отримали формулу самодифузії. Компонента, якої мало, зазнає зіткнень лише з молекулами іншого сорту. Цим і визначається довжина вільного пробігу для них.

Рівняння політропного процесу, робота при цьому процесі

Ізотермічний і адіабатний процеси – це процеси ідеалізовані. Один вимагає ідеального контакту з оточуючим середовищем (ізотермічний), другий – ідеальної ізоляції (адіабатний). Обидва ці процеси можна розглядати як граничні випадки більш загального процесу, який називається політропним.

 Політропний процес – це процес, що відбувається у системі із сталою теплоємністю.

Запишемо для нього рівняння. При політропному процесі завдяки переданій кількості теплоти температура системи змінюється на . Мірою цієї теплопередачі є теплоємність

.

За першим началом термодинаміки

.

Скористаємось виразом для ізохорної теплоємності , тоді

;    .

Згідно із рівнянням Клапейрона

;      ;    .

Тоді рівняння набуває вигляду

;          .

Розділимо ліву і праву частинну рівняння на вказану величину

  ,

тоді маємо

.

Позначимо

.

Це показник політропи. У таких позначеннях диференціальне рівняння легко інтегрується

;    ;   .

І остаточно рівняння політропи

.

Як і у випадку адіабатного процесу, його можна записати через інші параметри стану

;

.

Знайдемо роботу ідеального газу при політропному процесі. Нехай параметри стану системи змінюються від до . Із рівняння політропи випливає

,

де під і будемо розуміти проміжні значення тиску і об’єму при переході від початкового до кінцевого стану.

У загальному вигляді робота

.

Оскільки

,

то

;

.

Це загальний вигляд рівняння для роботи політропного процесу. Скориставшись тим, що

,

рівняння для роботи можна переписати у вигляді

.

Покажемо, що за відповідних умов із рівнянь для політропного процесу можна отримати рівняння всіх ізо-процесів.

1. Адіабатний процес . При цьому , і показник політропи

,

а рівняння політропи перетворюється на рівняння адіабати

,

і робота при політропному процесі співпадає з роботою при адіабатному процесі

.

2. Ізохорний процес . Теплоємність при ізохорному процесі визначається як , тоді . Тоді

робота при ізохорному процесі дорівнює нулю.   

3. Ізобарний процес . При сталому тискові , отже . Тоді робота

.

4. Ізотермічний процес . При ізотермічному процесі   за означенням. Тоді , і рівняння ізотерми, а у виразі для роботи

при малих значеннях скористаємось виразом

,

тоді

.

З цією формулою ви вже зустрічались чи у школі, чи на семінарах.

Фазові перетворення ІІ роду. Співвідношення Еренфеста

Поглянемо на класифікацію фазових перетворень (І і ІІ роду) не з точки зору наявності чи відсутності теплообміну, а з точки зору стрибкоподібної зміни параметрів стану речовини. Питомий термодинамічний потенціал Гіббса залишається неперервним при всіх фазових перетвореннях, а от його похідні можуть мати розрив неперервності.

Фазові перетворення, при яких перші похідні функції змінюються стрибкоподібно, називаються фазовими перетвореннями І роду.

Фазові перетворення, при яких перші похідні функції залишаються неперервними, а другі похідні тієї ж функції змінюються стрибкоподібно, називаються фазовими перетвореннями ІІ роду.

Розглянемо спочатку фазові переходи І роду. Питомий термодинамічний потенціал Гіббса є функцією тиску і температури . Друга пара змінних стану виражається через потенціал і його змінні

; .

Фазові перетворення І роду за означенням супроводжуються стрибком перших похідних питомого термодинамічного потенціалу Гіббса, а отже під час них стрибком змінюється або ентропія, або об’єм, або обидва параметри разом. Стрибкоподібна зміна ентропії означає виділення чи поглинання тепла у процесі, всі переходи, які ми розглядали раніше були саме такими.

Для фазових перетворень ІІ роду за означенням питомі ентропія і об’єм неперервні, розрив мають другі похідні питомого термодинамічного потенціалу Гіббса

,

а отже ізобарна питома теплоємність;

,

а отже коефіцієнт ізотермічного стискання ;

а отже коефіцієнт теплового розширення .

Стрибкоподібно змінюється хоча б один із цих параметрів, але можуть й усі.

Рівняння Клапейрона-Клаузіуса

у випадку фазових переходів II-го роду втрачає сенс.  Оскільки перші похідні питомого термодинамічного потенціалу Гіббса і неперервні, то , і приходимо до невизначеності типу . Співвідношення Клапейрона-Клаузіуса треба замінити так званими співвідношеннями Еренфеста, які є наслідком неперервності і при фазовому переході II-го роду.

Будемо вважати, що питома ентропія . Її повний диференціал

.

Скористаємось співвідношеннями

  та     .

Друге рівняння є співвідношенням Максвелла (дивись мнемонічний квадрат). Тоді

.

Запишемо це співвідношення для кожної фази

; .

Візьмемо на кривій рівноваги дві точки з координатами та . Тоді це нахил кривої рівноваги у заданній точці. При фазовому переході II-го роду ентропія неперервна, отже

.

Прирівняємо зміни

;  ,

або

.

Знак означає стрибок, зміну величини стрибком при фазовому переході II роду. А співвідношення має назву перше співвідношення Еренфеста.

Друге співвідношення Еренфеста отримується так само, тільки питому ентропію розглядають як функцію температури і питомого об’єму . Воно має вигляд

.

Третє співвідношення Еренфеста отримується також із умови неперервності ентропії, яка розглядається як функція питомого об’єму і тиску . Воно має вигляд

.

Нарешті, четверте співвідношення Еренфеста отримується із умови неперервності питомого об’єму, якщо його розглядати як функцію температури і тиску . Воно має вигляд

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4386. Введение в синтаксис языка С++ 66.5 KB
  Введение в синтаксис языка С++ Использование ключевого слова using Если операторы cout и cin применяются очень часто, то использование идентификатора std:: перед ними становится обременительным. Эту проблему можно решить двумя способами. Первы...
4387. Операторы в языке С++ 130.5 KB
  Операторы в языке С++ Математические операторы В языке С++ операторы управляют последовательностью выполнения выражений, возвращают результаты вычислений или ничего не делают (пустые операторы). Операторы последовательного действия выполняют о...
4388. Использование циклов в языке С++ 55.5 KB
  Использование циклов в языке С++ Оператор goto Для решения ряда задач требуется многократное повторение одних и тех же действий. На практике это реализуется либо с помощью рекурсии, либо с помощью итерации. Итерация – это повторение одних...
4389. Использование массивов в языке С++ 43.5 KB
  Использование массивов в языке С++ Одномерные массивы Массив (array) – это набор элементов, способных хранить данные одного типа. Каждый элемент хранения называется элементом массива. Объявляя массив, необходимо сначала указать тип храним...
4390. Указатели и ссылки в языке С++ 57.5 KB
  Указатели и ссылки в языке С++ Указатели Обычно программисту не нужно знать реальный адрес каждой переменной, поскольку компилятор способен сам позаботиться о таких подробностях. Но если необходимость в этой информации все же возникает, то пол...
4391. Некоторые простые алгоритмы в языке С++ 61.5 KB
  Некоторые простые алгоритмы в языке С++ Поиск максимального (или минимального) числа из выборки чисел Предположим, что мы имеем массив из n элементов. Необходимо найти элемент с максимальным (или минимальным) числовым значением. Задача поиска ...
4392. Численное решение уравнений в языке С++ 168.5 KB
  Численное решение уравнений в языке С++ Теоретические основы Предположим, нам нужно решить кубическое уравнение Это означает, что нужно найти корни уравнения – такие числа, которые обращают уравнение в ноль...
4393. Поиск на графе в С++ 116.5 KB
  Поиск на графе в С++ Представление графа в виде матрицы смежности Граф (graph) – это графическая схема, представляющая собой совокупность вершин (vertexes), соединенных между собой ребрами (edges). Иногда вершины также называют узлами (no...
4394. Анализ алгоритмов на примере программы на языке С++ 169.5 KB
  Анализ алгоритмов на примере программы на языке С++ Обычно одну и ту же задачу можно решить различными способами. Среди различных алгоритмов, с помощью которых можно решить задачу, естественно выбрать один – наилучший. Обычно лучшим считается т...