36497

Квантовий підхід Дебая-Борна

Шпаргалка

Физика

Хоча швидкості молекул змінюються у стані термодинамічної рівноваги властивості газу залишаються сталими. Насправді закон про статистичний закон розподілу молекул за швидкостями можна сформулювати так : скільки молекул газу або яка їх частка мають швидкості значення яких лежать у деякому інтервалі наближеному до заданої швидкості Зрідження газів і методи одержання низьких температур. Рівняння ВандерВаальса показує що будь який газ може бути переведеним в рідкий стан але необхідною умовою для цього є попереднє охолодження газу до...

Русский

2013-09-22

315.41 KB

3 чел.

Білет 31

Квантовий підхід Дебая-Борна

В теорії Ейнштейна вважалось, що всі осцилятори мають одну частоту для всіх коливань. В теорії Дебая зміщення атомів представляється як система поздовжніх та поперечних хвиль суцільного однорідного твердого тіла. Система хвиль має широкий спектр частот. Всі хвилі з будь-якими частотами малої швидкості відповідають поперечним і поздовжнім хвилям у твердому тілі (тобто, нехтуємо дисперсією хвиль).

Для атомів в твердому тілі повне число мод коливань (типів коливань) повинно бути, як і в теорії Ейнштейна, рівним . Кожній поздовжній моді коливань відповідає 2 поперечні моди коливань, поляризовані під прямим кутом одна до одної. Система хвиль, таким чином, складається із поздовжніх та поперечних хвиль. Кожна хвиля має свою частоту, але, оскільки є обмеження на повне число коливань , повинна існувати гранична частота для системи хвиль.

Щоб знайти повну енергію системи хвиль, необхідно знайти число можливих хвиль як функцію частоти. Розглянемо можливі стоячі хвилі у твердому тілі у вигляді куба із стороною . Аналогічно із задачею про струну, запишемо рівняння стоячої хвилі :

,

де умова, що на кінцях струни .

Для куба розв’язок тривимірного хвильового рівняння

має вигляд

,

де константа, додатні цілі числа, що повинні задовольняти умові

,

або, вважаючи, що стала величина,

,

.

Останнє рівняння є рівнянням сфери радіусом . Кількість можливих хвиль, що мають частоти, менші за , визначаються набором чисел в октанті сфери радіусом :

.

Для інтервалу частот число можливих хвиль

.

Якщо врахувати, що для куба об’єм, то

,

а якщо врахувати кількість поздовжніх і поперечних хвиль, то

,

де швидкості поздовжніх та поперечних хвиль в твердому тілі, а двійка у дужках вказує на наявність двох типів поляризації поперечних хвиль.

Максимальну частоту нормальних коливань гратки знайдемо, прирівнявши кількість коливань кількості ступеней вільності , де кількість атомів у одиниці об’єму :

.

Звідси

.

Скориставшись виразом для максимальної частоти коливань, можна записати через нього розподіл коливань атомів за частотами

.

Розрахуємо тепер внутрішню енергію одиниці об’єму кристалу. Вона становитиме

,

де середня енергія осцилятора із частотою . Проінтегрувавши по всіх частотах, маємо

.

Отриманий вираз можна переписати у вигляді

,

де енергія нульових коливань.

Якщо під кількістю атомів у одиниці об’єму розуміти число Авогадро , отримаємо молярну теплоємність

.

Із співвідношення

,

введемо температуру Дебая , яку ще іноді називають характеристичною температурою. Користуючись температурою Дебая і позначенням , перепишемо загальні вирази для енергії  та теплоємності у вигляді

;      .

Розглянемо граничні випадки.

. Тоді і . Звідси

;             .

Теорія Дебая-Борна дає температурну залежність теплоємності при низьких температурах, що узгоджується із експериментом.

. Тоді , і експоненту можна розкласти у ряд . Тоді вирази для внутрішньої енергії і теплоємності при набувають вигляду :

;             .

При високих температурах теплоємність набуває сталого значення, яке передбачає класична теорія.

Температуру Дебая визначають експериментально із вимірів залежності теплоємності від температури, а саме, відповідає температурі, при якій теплоємність починає зменшуватись із температурою. Наприклад, для алмазу К; для міді  К; для заліза К; для свинцю К.

Дослід Штерна

(Кикоин, , §6, с.40-42)

У 1920 році Отто Штерн поставив дослід по вимірюванню швидкостей молекул. Схема досліду наведена у плані (вигляд згори). Джерелом частинок (у даному випадку атомів) була платинова дротина L, вкрита зверху сріблом. Вона оточена двома діафрагмами із щілинами S1 і S2, так що і дротина, і щілини знаходяться в одній площині. Вся система поміщена у циліндр Р, відкачаний до досить високого (особливо на той час) вакууму ~10-6 торр. Система могла обертатись навколо осі, якою є дротина.

Штерн пропускав струм через дротину, нагріваючи її до температури випаровування срібла (1235 К). При цьому атоми срібла вилітали у всіх напрямках. Частина атомів проходила через щілини S1 і S2, утворюючи вузький, різко окреслений струмінь атомів, що рухаються в одному напрямку і не взаємодіють між собою – так званий молекулярний пучок. Власне, Штерн і є засновником методу молекулярних пучків.

Коли система нерухома, атоми попадають на внутрішню поверхню циліндру у точці А, створюючи зображення щілини S2. Коли ж система обертається, за час проходу атомів від дротини до циліндру останній встигає зміститись, і зображення щілини утворюється у точці А1, або на такій же відстані у інший бік при обертанні у іншому напрямку.

Додому – прочитати самостійно про визначення швидкостей молекул у досліді Штерна.

А нас цікавить зараз той факт, що зображення щілини у дослідах Штерна виходило дуже розмитим. Це і не дивно, якщо вважати, що атоми срібла вилітають з поверхні дротини із різними швидкостями. При сталій швидкості обертання, більш швидкі атоми раніше попадуть на стінку циліндру, менш швидкі – пізніше.

Тобто, дослід Штерна яскраво свідчить про наявність атомів із різною швидкістю, а за густиною розподілу осадку на стінках циліндру, можна навіть оцінити і розподіл атомів срібла за швидкостями.

Але швидкість частинок не залишається весь час сталою. Зіштовхуючись, вони або набирають, або віддають енергію. Хоча швидкості молекул змінюються, у стані термодинамічної рівноваги властивості газу залишаються сталими. Це є наслідком того, що незважаючи на абсолютно хаотичний характер руху молекул, їх розподіл за швидкостями, як показують і дослід, і теорія, є не довільним, а абсолютно визначеним.

На перший погляд здається, що встановлення закону розподілу зводиться до того, щоб визначити кількість молекул, які мають певну конкретну швидкість. Однак це некоректна постановка задачі, оскільки імовірна кількість молекул, що має саме таку швидкість дорівнює нулю. Насправді, закон про статистичний закон розподілу молекул за швидкостями можна сформулювати так : скільки молекул газу (або яка їх частка) мають швидкості, значення яких лежать у деякому інтервалі, наближеному до заданої швидкості ?

Зрідження газів і методи одержання низьких температур.

Рівняння  Ван-дер-Ваальса показує, що будь який газ може бути переведеним в рідкий стан, але необхідною умовою для цього є попереднє охолодження газу, до температури нижче критичної. Вуглекислий газ, наприклад, зріджується при кімнатній температурі, бо його критична температура дорівнює 31,1°С. Те саме можна сказати про такі гази , як хлор, і аміак.

Але є такі гази, які при кімнатній температурі не можна привести в рідкий стан, який би не створювати тиск, і до якої б не доводити густини (повітря, водень, кисень, гелій). У них критичні температури значно нижчі кімнатної.

Для зрідження таких газів їх необхідно перед цим охолодити, по крайній мірі до температури трохи нижчої критичної, після цього підвищенням тиску газ може бути переведеним в рідкий стан. Зріджені таким чином гази зручно зберігати при атмосферному тиску, але для цього їхня температура повинна бути ще більш низькою – такою, при якій тиск, що відповідає горизонтальному участку ізотерми реального газу, дорівнює 1атм. Для азоту така ізотерма відповідає температурі 77,4К, в той час,як критична температура азоту рівна 126,1К. Для гелію ці цифри відповідно рівні 4,4К і 5,3К.

Для досягнення такого значного охолодження використовують два метода , які ми і розглянемо.

Ефект Джоуля – Томсона . Джоуль і Томсон показали, що розширення ідеального газу не супроводжується зміною його температури. Невелика зміна температури, спостерігається при точних вимірах і пояснюється його не ідеальністю газу. Наступна видозміна досліду по розширенню газу, що запропонували Джоуль і Томсон, дозволяє досягти значної зміни температури газу, в тому числі охолодження, обумовленого його не ідеальністю. Газ при досить великому тиску примушують протікати через теплоізольовану пористу перегородку (процес проходить адіабатно. Газ,що виходить з перегородки має менший тиск і тому розширюється. Для того, щоб потік газу був стаціонарним,по обидві його сторони має бути насос (компресор). Компресор виконує зовнішню роботу стиснення газу, яка витрачається на подолання опору перегородки. Цей процес відрізняється від розширення газу в пустоту,при якому зовнішня робота дорівнює нулю (це тільки для неідеального газу). Це пояснюється тим, що при розширенні газу збільшується відстань між молекулами і, відповідно здійснюється внутрішня робота проти сил взаємодії між молекулами. В ідеальному газі сили взаємодії рівні нулюефекту Дж.-Том. немає.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20440. CASE-средства 39.5 KB
  Microsoft Visio Visio решение для построения диаграмм от Microsoft. По словам разработчиков Visio помогает преобразовать технические и бизнесконцепции в визуальную форму. Visio имеет некоторые дополнительные возможности но все же повторим по большей мере это только средство для иллюстрирования документов MS Office не дотягивающее до уровня пакетов которые мы описывали ранее. Изобразительные же возможности Visio действительно весьма широки: Используя предопределенные фигуры Visio Professional draganddrop и мастера вы можете...
20441. Эволюция CASE-средств 99.5 KB
  Таким образом CASEтехнологии не могут считаться самостоятельными методологиями они только делают более эффективными пути их применения. CASE ≈ не революция в программо технике: современные CASEсредства являются естественным продолжением эволюции всей отрасли средств разработки ПО. Традиционно выделяют шесть периодов качественно отличающихся применяемой техникой и методами разработки ПО которые характеризуются использованием в качестве инструментальных следующих средств: ассемблеров дампов памяти анализаторов компиляторов...
20442. Варианты архитектуры клиент-сервер 122 KB
  Варианты архитектуры клиентсервер Разделение на три логических уровня обсуждавшееся в предыдущем пункте наводит на мысль о множестве вариантов физического распределения по отдельным компьютерам приложений в модели клиентсервер. Серверы реализующие все остальное то есть уровни обработки и данных. Проблема подобной организации состоит в том что на самом деле система не является распределенной: все происходит на сервере а клиент представляет собой не что иное как простой терминал. Многозвенные архитектуры Один из подходов к организации...
20443. Введение в UML 54.5 KB
  Модель физического уровня в языке UML отражает компонентный состав проектируемой системы с точки зрения ее реализации на аппаратурной и программной платформах конкретных производителей. Сущности в UML В UML определены четыре типа сущностей: структурные поведенческие группирующие и аннотационные. Структурные сущности это имена существительные в моделях на языке UML.
20444. Document Object Model 54 KB
  Модель DOM не накладывает ограничений на структуру документа. Любой документ известной структуры с помощью DOM может быть представлен в виде дерева узлов каждый узел которого представляет собой элемент атрибут текстовый графический или любой другой объект. Изначально различные браузеры имели собственные модели документов DOM не совместимые с остальными.
20445. Диаграмма развертывания (deployment diagram) 62 KB
  Для представления общей конфигурации и топологии распределенной программной системы в UML предназначены диаграммы развертывания. Диаграмма развертывания предназначена для визуализации элементов и компонентов программы существующих лишь на этапе ее исполнения runtime. Те компоненты которые не используются на этапе исполнения на диаграмме развертывания не показываются.
20447. Денежно-кредитная политика 87 KB
  Понятие и цели ДКП. Спрос на деньги и предложение денег. Создание банковской системы и новых денег. Банковский и денежный мультипликаторы. Инструменты ДКП. Политика дешевых и дорогих денег. Эффективность ДКП. Особенности ДКП в РБ.
20448. PHP 288.5 KB
  PHP: Hypertext Preprocessor PHP: препроцессор гипертекста англ. Область применения В области программирования для Сети PHP один из популярных скриптовых языков наряду с JSP Perl и языками используемыми в ASP.NET благодаря своей простоте скорости выполнения богатой функциональности кроссплатформенности и распространению исходных кодов на основе лицензии PHP.