36497

Квантовий підхід Дебая-Борна

Шпаргалка

Физика

Хоча швидкості молекул змінюються у стані термодинамічної рівноваги властивості газу залишаються сталими. Насправді закон про статистичний закон розподілу молекул за швидкостями можна сформулювати так : скільки молекул газу або яка їх частка мають швидкості значення яких лежать у деякому інтервалі наближеному до заданої швидкості Зрідження газів і методи одержання низьких температур. Рівняння ВандерВаальса показує що будь який газ може бути переведеним в рідкий стан але необхідною умовою для цього є попереднє охолодження газу до...

Русский

2013-09-22

315.41 KB

3 чел.

Білет 31

Квантовий підхід Дебая-Борна

В теорії Ейнштейна вважалось, що всі осцилятори мають одну частоту для всіх коливань. В теорії Дебая зміщення атомів представляється як система поздовжніх та поперечних хвиль суцільного однорідного твердого тіла. Система хвиль має широкий спектр частот. Всі хвилі з будь-якими частотами малої швидкості відповідають поперечним і поздовжнім хвилям у твердому тілі (тобто, нехтуємо дисперсією хвиль).

Для атомів в твердому тілі повне число мод коливань (типів коливань) повинно бути, як і в теорії Ейнштейна, рівним . Кожній поздовжній моді коливань відповідає 2 поперечні моди коливань, поляризовані під прямим кутом одна до одної. Система хвиль, таким чином, складається із поздовжніх та поперечних хвиль. Кожна хвиля має свою частоту, але, оскільки є обмеження на повне число коливань , повинна існувати гранична частота для системи хвиль.

Щоб знайти повну енергію системи хвиль, необхідно знайти число можливих хвиль як функцію частоти. Розглянемо можливі стоячі хвилі у твердому тілі у вигляді куба із стороною . Аналогічно із задачею про струну, запишемо рівняння стоячої хвилі :

,

де умова, що на кінцях струни .

Для куба розв’язок тривимірного хвильового рівняння

має вигляд

,

де константа, додатні цілі числа, що повинні задовольняти умові

,

або, вважаючи, що стала величина,

,

.

Останнє рівняння є рівнянням сфери радіусом . Кількість можливих хвиль, що мають частоти, менші за , визначаються набором чисел в октанті сфери радіусом :

.

Для інтервалу частот число можливих хвиль

.

Якщо врахувати, що для куба об’єм, то

,

а якщо врахувати кількість поздовжніх і поперечних хвиль, то

,

де швидкості поздовжніх та поперечних хвиль в твердому тілі, а двійка у дужках вказує на наявність двох типів поляризації поперечних хвиль.

Максимальну частоту нормальних коливань гратки знайдемо, прирівнявши кількість коливань кількості ступеней вільності , де кількість атомів у одиниці об’єму :

.

Звідси

.

Скориставшись виразом для максимальної частоти коливань, можна записати через нього розподіл коливань атомів за частотами

.

Розрахуємо тепер внутрішню енергію одиниці об’єму кристалу. Вона становитиме

,

де середня енергія осцилятора із частотою . Проінтегрувавши по всіх частотах, маємо

.

Отриманий вираз можна переписати у вигляді

,

де енергія нульових коливань.

Якщо під кількістю атомів у одиниці об’єму розуміти число Авогадро , отримаємо молярну теплоємність

.

Із співвідношення

,

введемо температуру Дебая , яку ще іноді називають характеристичною температурою. Користуючись температурою Дебая і позначенням , перепишемо загальні вирази для енергії  та теплоємності у вигляді

;      .

Розглянемо граничні випадки.

. Тоді і . Звідси

;             .

Теорія Дебая-Борна дає температурну залежність теплоємності при низьких температурах, що узгоджується із експериментом.

. Тоді , і експоненту можна розкласти у ряд . Тоді вирази для внутрішньої енергії і теплоємності при набувають вигляду :

;             .

При високих температурах теплоємність набуває сталого значення, яке передбачає класична теорія.

Температуру Дебая визначають експериментально із вимірів залежності теплоємності від температури, а саме, відповідає температурі, при якій теплоємність починає зменшуватись із температурою. Наприклад, для алмазу К; для міді  К; для заліза К; для свинцю К.

Дослід Штерна

(Кикоин, , §6, с.40-42)

У 1920 році Отто Штерн поставив дослід по вимірюванню швидкостей молекул. Схема досліду наведена у плані (вигляд згори). Джерелом частинок (у даному випадку атомів) була платинова дротина L, вкрита зверху сріблом. Вона оточена двома діафрагмами із щілинами S1 і S2, так що і дротина, і щілини знаходяться в одній площині. Вся система поміщена у циліндр Р, відкачаний до досить високого (особливо на той час) вакууму ~10-6 торр. Система могла обертатись навколо осі, якою є дротина.

Штерн пропускав струм через дротину, нагріваючи її до температури випаровування срібла (1235 К). При цьому атоми срібла вилітали у всіх напрямках. Частина атомів проходила через щілини S1 і S2, утворюючи вузький, різко окреслений струмінь атомів, що рухаються в одному напрямку і не взаємодіють між собою – так званий молекулярний пучок. Власне, Штерн і є засновником методу молекулярних пучків.

Коли система нерухома, атоми попадають на внутрішню поверхню циліндру у точці А, створюючи зображення щілини S2. Коли ж система обертається, за час проходу атомів від дротини до циліндру останній встигає зміститись, і зображення щілини утворюється у точці А1, або на такій же відстані у інший бік при обертанні у іншому напрямку.

Додому – прочитати самостійно про визначення швидкостей молекул у досліді Штерна.

А нас цікавить зараз той факт, що зображення щілини у дослідах Штерна виходило дуже розмитим. Це і не дивно, якщо вважати, що атоми срібла вилітають з поверхні дротини із різними швидкостями. При сталій швидкості обертання, більш швидкі атоми раніше попадуть на стінку циліндру, менш швидкі – пізніше.

Тобто, дослід Штерна яскраво свідчить про наявність атомів із різною швидкістю, а за густиною розподілу осадку на стінках циліндру, можна навіть оцінити і розподіл атомів срібла за швидкостями.

Але швидкість частинок не залишається весь час сталою. Зіштовхуючись, вони або набирають, або віддають енергію. Хоча швидкості молекул змінюються, у стані термодинамічної рівноваги властивості газу залишаються сталими. Це є наслідком того, що незважаючи на абсолютно хаотичний характер руху молекул, їх розподіл за швидкостями, як показують і дослід, і теорія, є не довільним, а абсолютно визначеним.

На перший погляд здається, що встановлення закону розподілу зводиться до того, щоб визначити кількість молекул, які мають певну конкретну швидкість. Однак це некоректна постановка задачі, оскільки імовірна кількість молекул, що має саме таку швидкість дорівнює нулю. Насправді, закон про статистичний закон розподілу молекул за швидкостями можна сформулювати так : скільки молекул газу (або яка їх частка) мають швидкості, значення яких лежать у деякому інтервалі, наближеному до заданої швидкості ?

Зрідження газів і методи одержання низьких температур.

Рівняння  Ван-дер-Ваальса показує, що будь який газ може бути переведеним в рідкий стан, але необхідною умовою для цього є попереднє охолодження газу, до температури нижче критичної. Вуглекислий газ, наприклад, зріджується при кімнатній температурі, бо його критична температура дорівнює 31,1°С. Те саме можна сказати про такі гази , як хлор, і аміак.

Але є такі гази, які при кімнатній температурі не можна привести в рідкий стан, який би не створювати тиск, і до якої б не доводити густини (повітря, водень, кисень, гелій). У них критичні температури значно нижчі кімнатної.

Для зрідження таких газів їх необхідно перед цим охолодити, по крайній мірі до температури трохи нижчої критичної, після цього підвищенням тиску газ може бути переведеним в рідкий стан. Зріджені таким чином гази зручно зберігати при атмосферному тиску, але для цього їхня температура повинна бути ще більш низькою – такою, при якій тиск, що відповідає горизонтальному участку ізотерми реального газу, дорівнює 1атм. Для азоту така ізотерма відповідає температурі 77,4К, в той час,як критична температура азоту рівна 126,1К. Для гелію ці цифри відповідно рівні 4,4К і 5,3К.

Для досягнення такого значного охолодження використовують два метода , які ми і розглянемо.

Ефект Джоуля – Томсона . Джоуль і Томсон показали, що розширення ідеального газу не супроводжується зміною його температури. Невелика зміна температури, спостерігається при точних вимірах і пояснюється його не ідеальністю газу. Наступна видозміна досліду по розширенню газу, що запропонували Джоуль і Томсон, дозволяє досягти значної зміни температури газу, в тому числі охолодження, обумовленого його не ідеальністю. Газ при досить великому тиску примушують протікати через теплоізольовану пористу перегородку (процес проходить адіабатно. Газ,що виходить з перегородки має менший тиск і тому розширюється. Для того, щоб потік газу був стаціонарним,по обидві його сторони має бути насос (компресор). Компресор виконує зовнішню роботу стиснення газу, яка витрачається на подолання опору перегородки. Цей процес відрізняється від розширення газу в пустоту,при якому зовнішня робота дорівнює нулю (це тільки для неідеального газу). Це пояснюється тим, що при розширенні газу збільшується відстань між молекулами і, відповідно здійснюється внутрішня робота проти сил взаємодії між молекулами. В ідеальному газі сили взаємодії рівні нулюефекту Дж.-Том. немає.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70410. СТВОРЕННЯ ОПТИМАЛЬНИХ УМОВ ДЛЯ РОЗВИТКУ ЯКІСНОЇ ОСВІТИ 131 KB
  В Україні аналогічні програма вивчаються протягом 1011 років що викликає перевантаження учнів погано впливає на їхнє здоровя знижує якість навчання. За даним дослідників за останні 15 років навчальне навантаження учнів зросло в півтора рази а 60 дітей мають психосоматичні порушення...
70411. ДОПОМІЖНІ МАТЕРІАЛИ ПРИ ЗДІЙСНЕННІ АТЕСТАЦІЇ ПЕДАГОГІЧНИХ ПРАЦІВНИКІВ 525.5 KB
  На сьогоднішній день процедура вивчення роботи педагога в процесі атестації детально регламентується діючим Положенням так і численними практичними розробками схем показників та критеріїв оцінювання.
70418. УПРАВЛІННЯ РОЗВИТКОМ НАВАЧЛЬНОГО ЗАКЛАДУ 303.5 KB
  Основними проблемами функціонування навчального закладу за результатами самоекспертизи є: Недостатня мотивація учнів незацікавленість учнів навчанням. Зниження соціальної активності учнів. Зниження базового рівня вихованості значної кількості учнів.