36498

Рівняння Ван-дер-Ваальса

Шпаргалка

Физика

Дія відштовхування зводиться до того що молекула не допускає проникнення у свій об’єм інших молекул. Отже сили відштовхування враховуються через деякий ефективний об’єм молекул. Якщо газ у нас не дуже стиснутий то взаємодії між молекулами будуть лише парні участь третьої четвертої та інших молекул малоймовірна. Припустимо що у посудині із об’ємом знаходяться лише дві однакові молекули.

Русский

2013-09-22

238.96 KB

10 чел.

Білет 32

Рівняння Ван-дер-Ваальса

 

Сили відштовхування.

Дія відштовхування зводиться до того, що молекула не допускає проникнення у свій об’єм інших молекул. Отже, сили відштовхування враховуються через деякий ефективний об’єм молекул.

Якщо газ у нас не дуже стиснутий, то взаємодії між молекулами будуть лише парні (участь третьої, четвертої та інших молекул малоймовірна). Таким чином неможливо отримати узагальнене рівняння стану ідеального газу, а лише внести деякі поправки до рівняння Клапейрона-Менделєєва.

Припустимо, що у посудині із об’ємом знаходяться лише дві однакові молекули. Вони можуть зіткнутись між собою та зі стінкою. Згідно із молекулярно-кінетичною теорією величина тиску на стінку визначається сумарною кінетичною енергією молекул і не залежить від розподілу енергії між молекулами. Тому ми можемо вважати, що одна з молекул нерухома, а друга має подвоєну кінетичну енергію – на величину тиску це не вплине.

Оскільки молекули не можуть підійти одна до одної на відстань, меншу , оточимо нерухому молекулу сферою радіуса , як це ми робили при визначенні довжини вільного пробігу. Тоді рухому молекулу можна вважати точковою. Вона не може проникнути всередину обмежувальної сфери об’ємом . Це означає, що завдяки наявності нерухомої молекули доступний об’єм для рухомої молекули становитиме . Об’єм кожної молекули становить , обох молекул – . Тому для двох молекул із розгляду випадає об’єм, у чотири рази більший за сумарний об’єм двох молекул. Звідси природно припустити, що для молекул виключиться із розгляду об’єм

.

З таких міркувань рівняння стану Клапейрона-Менделєєва набуває вигляду

,

де поправка на врахування об’єму молекул. Отже, відштовхування ми врахували, хоча й з дуже великими обмеженнями.

Сили притягання.

Наявність сил притягання призводить до того, що тиск реального газу на стінки посудини виявляється меншим, ніж у випадку ідеального газу.

Оточимо кожну молекулу сферою молекулярної дії (у межах якої вона відчуває присутність інших молекул, або у межах якої інші молекули відчувають її присутність). На молекулу, сфера молекулярної дії якої знаходиться далеко від стінки посудини, тобто всередині посудини, дія сумарної сили притягання дорівнює нулю. Поблизу стінки молекула має більше сусідів з боку об’єму, тому виникає результуюча сила, що повертає молекулу у об’єм. Тиск, який створює на стінку посудини реальний газ,

менший від тиску ідеального газу на величину , зумовлену силами молекулярного притягання. Тиск одного моля ідеального газу становить

.

Легко встановити, від чого залежить тиск . Тиск – це сила, що діє на одиницю площі поверхні. Ця сила буде пропорційною концентрації молекул у об’ємі. З іншого боку, кількість молекул поблизу стінки посудини, на які діє ця сила, теж буде пропорційна концентрації молекул, тобто зміна тиску . Оскільки , то

.

З урахуванням сил притягання рівняння стану набуває вигляду

.

Сили притягання і відштовхування діють одночасно. Для не дуже стиснутих газів, для яких ми вводимо поправки, дії відштовхування і притягання можна розглядати незалежно, тому у результаті комбінації формул для одного моля газу маємо

.

Це рівняння Ван-дер-Ваальса, або рівняння стану реального газу. Сталі і називаються сталими Ван-дер-Ваальса, вони є різними для різних газів.

Ми отримали рівняння із міркувань, що газ стиснутий не дуже сильно, тобто , а молекули є пружними кульками. Для газів із великою густиною рівняння Ван-дер-Ваальса дає лише якісне співпадіння, але кількісно їх не описує.

Гази, поведінка яких точно описується рівнянням Ван-дер-Ваальса, називаються газами Ван-дер-Ваальса.

Для довільної маси газу рівняння Ван-дер-Ваальса набуває вигляду

.

Ізотерми Ван-дер-Ваальса. Взаємні перетворення пари та рідини

Рівняння Ван-дер-Ваальса після нескладних перетворень можна переписати у вигляді

,

або, розділивши обидва боки рівняння на тиск,

.

Якщо зафіксувати і , це рівняння третьої степені відносно , і воно має три розв’язки. Ці три розв’язки можуть бути або всі дійсні, або один дійсний і два уявних. Уявний об’єм з точки зору фізики сенсу не має, отже нас не цікавлять уявні розв’язки.

Якщо записати рівняння Ван-дер-Ваальса у вигляді

,

то очевидно, що при високих температурах другим доданком можна буде знехтувати. Ізотерма матиме вигляд гіперболи із асимптотами та . Цим ізотермам відповідає один дійсний розв’язок. Ізобара перетинає ці ізотерми лише у одній точці.

При зниженні температури другим доданком нехтувати не будемо, в на ізотермі спочатку з’явиться перегин, а потім і хвилеподібна ділянка з двома екстремумами. Цим ізотермам відповідають три дійсних розв’язки. Ізобара перетинає ці ізотерми у трьох точках. У ізотермі з перегином ці три точки зливаються у одну. Ця точка має назву критичної точки, а параметри, якими характеризується газ у цій точці,  критичними параметрами , до розгляду яких ми повернемось трохи пізніше.

Дивним результатом є зменшення тиску із зменшенням об’єму на хвилеподібних ділянках. Крім того, теорія викидає нам подарунок у вигляді від’ємного тиску при низьких температурах.

Щось тут було не так, отже у фізиків одразу засвербіли руки перевірити теорію Ван-дер-Ваальса на експерименті. Першим реальну ізотерму отримав голландський фізик ван Марум. Ізотермічно стискаючи аміак, він помітив, що при тискові 7 атм об’єм газу продовжував зменшуватись, а тиск перестав зростати. Відбулося зрідження разу, і на сталій ділянці тиску лише збільшувався об’єм рідини і зменшувався об’єм газу.

Подальші дослідження виявили наступну проблему. При деяких температурах можна було спостерігати ізотерми ван Марума, а при деяких спостерігались лише класичні ізотерми Бойля-Маріотта.

Найбільш детальне дослідження ізотерм реального газу провів англійський фізик Томас Ендрюс. Він досліджував вуглекислий газ СО2 при різних температурах. Саме він і ввів поняття критичного стану і критичної температури речовини.

При всіх температурах вище критичної та праворуч від пунктирної ділянки речовина знаходиться у газоподібному стані. Прийнято вважати, що при температурі вище критичної речовина є газом, а при температурі нижче критичної – парою. З фізичної точки зору пара від газу нічим не відрізняється.

Всередині ділянки, обмеженої пунктиром, речовина являє собою суміш рідини (зрідженого газу) та насиченої (іноді кажуть пересиченої) пари. Ліворуч – рідина. Її тиск дуже різко зростає із зменшенням об’єму. Із збільшенням температури фаза суміші рідини з насиченою парою зменшується, а потім зовсім зникає. При подальшому збільшенні температури газ наближається за властивостями до ідеального.

Теорема про рівномірний розподіл енергії за ступенями вільності атомно-молекулярного руху

Починається вищий пілотаж. Теорему, яку будемо розглядати сформулював Больцман. Вона доводиться, і доведення відбувається у рамках класичної статистичної фізики, з якою ми щойно розпрощались, але, як виявилось, не назавжди.

Теорема називається законом рівномірного розподілу кінетичної енергії за ступенями вільності, або коротко – законом рівнорозподілу.

Формулювань цієї теореми безліч, а суть їх така.

Теорема. В умовах термодинамічної рівноваги на кожен ступінь вільності припадає однакова середня кінетична енергія, величина якої становить .

Доведення. Розглянемо систему із великої кількості частинок. Вони будуть рухатись у потенціальному полі. Кінетична енергія кожної частинки буде визначатись із складових її імпульсу , а потенціальна – із координат , а повна енергія буде їх сумою. Будемо розглядати систему у фазовому просторі координат і імпульсів. Конкретний стан кожної частинки у ньому визначають 6 координат – простір 6-вимірний. Відповідно, стан системи із молекул визначають координат, отже конкретний стан системи визначається точкою у вимірному просторі.

Елементарний фазовий об’єм у такому просторі визначається як

,

тобто як добуток фазових об’ємів кожної молекули.

Для спрощення запису введемо позначення добутків диференціалів координат

та диференціалів імпульсів

.

Для імовірності знаходження частинок у елементі об’єму фазового простору скористаємось знайомим з розподілу Максвелла-Больцмана виразом

,

де константи, що знаходиться із додаткових умов.  Для розподілу Максвелла за швидкостями ми отримали

.

Розподіл той же самий. Тому

;    .

У нас виходить, що , а вираз для для нас не буде суттєвим, у чому ми переконаємось далі.

Знайдемо середнє значення кінетичної енергії, що відноситься до проекції молекули. Це середнє значення кінетичної енергії, що припадає на один ступінь вільності молекули :

.

Масу молекули також позначили індексом , оскільки вони можуть бути різними. Якщо ми знайдемо вираз для цієї середньої величини, ми визначимо, яка енергія припадає на один ступінь вільності.

Давайте перепишемо повну енергію у вигляді

,

виділивши кінетичну енергію виділеної молекули. Тоді повна енергія за винятком виділеної кінетичної енергії однієї молекули.

Таку ж саму операцію проведемо із елементарним об’ємом фазового простору

,

де добуток всіх диференціалів імпульсів молекул, за винятком диференціалу виділеної молекули.

Середня кінетична енергія визначається за звичною процедурою

.

Підставимо у цей вираз всі величини

.

Як бачите, ми недаремно не конкретизували величину , вона скорочується. Оскільки всі змінні величини (координати) фазового простору незалежні, ми можемо брати інтеграли по кожній змінній незалежно, тобто

При відокремленні інтегрування по вибраній молекулі, залишки у чисельнику і знаменнику виявляються однаковими, і їх можна скоротити

.

У чисельнику і у знаменнику добре знайомі нам інтеграли Пуассона

;          .

Використавши їх отримуємо

.

Отже, на одну ступінь вільності (координату для молекули) системи із молекул припадає одна й та ж  кінетична енергія

.

Ми довели теорему. Зверніть увагу, цей висновок справедливий і для молекул різної маси. Користуючись цим висновком, можна отримати повну кінетичну енергію поступального руху однієї молекули , і всієї системи із молекул  .

Тепер зверніть увагу ось на що. Ми доводили теорему для кінетичної енергії. Для потенціальної енергії такого загального закону не існує, хоча існують частинні випадки. На один ступінь вільності припадає потенціальна енергія , якщо потенціальна енергія визначається квадратом змінної величини, з якою пов’язаний ступінь вільності. Наприклад, для потенціальної енергії поля земного тяжіння це не справедливо, а от для потенціальної енергії, пов’язаною із силою пружності , буде справедливо.

 

Теорему ми доводили для поступального руху, далі покажемо для обертального і особливостях її застосування при коливальному рухові.

А зараз давайте повернемось до задачі, зіткнення молекул із масивним поршнем, коли ми вводили температуру як міру середньої кінетичної енергії газу.

Два різних гази 1 і 2 розділені у циліндрі масивним поршнем із масою . Поршень може рухатись лише вздовж осі , у нього лише один ступінь вільності. Розв’язуючи попередню задачу, ми довели, що середня кінетична енергія поршня дорівнює середній кінетичній енергії частинок кожного газу, які передають її поршню у напрямку його руху, тобто по осі

.

Нехай поршень масою складається із молекул. Позначимо швидкість центра мас поршня. Із закону збереження маємо

;                    або               .

Маси молекул позначили індексами, оскільки в принципі вони можуть бути різними. Піднесемо останню рівність до квадрату

.

Таку процедуру ми робили, доводячи адитивність флуктуації. Помножимо обидві частини на і усереднимо по швидкостях

.

Оскільки швидкості є статистично незалежні, , усереднювати їх можна окремо. Тоді формула набуває вигляду

.

Для спрощення припустимо, що всі молекули мають однакову масу . Повна кількість молекул .

.

Тепер давайте подивимось, що ми отримали. В середньому молекули газу передають поршню енергію, що припадає на її один ступінь вільності, оскільки рух розглядали лише у напрямку . Середня кінетична енергія поршня . І ми отримали, що на кожен ступінь вільності молекул поршня припадає теж енергія  .

Пароструйні, або дифузійні, насоси. Щоб отримати тиск нижче, ніж тор, використовують пароструйні, або дифузійні, насоси. У сучасних дифузійних насосах немає ніяких рухомих механічних частин. Їх дія пов’язана із захопленням молекул газу, що відкачується, потоком пари якої-небудь рідини, найчастіше ртуті або масла.

Першим конструкція такого насосу запропонував амер. фізик Ірвінг Ленгмюр. Нагрівач нагрівав ртуть у посудині, вона випаровувалась, і пари ртуті по паропроводу піднімались вгору, а потім згори падали вниз у об’єм насосу через сопло, захоплюючи молекули газу, який відкачується із об’єму. Сопло використовується для того, щоб охопити потоком пари більшу площу. Молекули газу потрапляють із об’єму по трубопроводу за рахунок дифузії, оскільки концентрація молекул поблизу насосу менша, ніж в об’ємі, вони виносяться парою. Навколо об’єму насосу циркулює вода (водяна пастка, буває азотна), нею охолоджується ртутна пара, і вона конденсується, стікаючи по трубопроводу назад в об’єм. Цей трубопровід спроектований так, щоб запобігти зворотньому натіканню пари ртуті в об’єм насосу.

Недоліком цього насосу є високий тиск пари ртуті тор. Коли весь газ відкачається, залишаться пари ртуті. Використовуючи систему охолодження і систему азотних пасток, Ленгмюр отримав у своєму насосі тор.

Чим визначається швидкість відкачки насосу ? У нас має місце молекулярний режим течії газу. Якщо ми візьмемо переріз в області сопла, то його можна розглядати як діафрагму. Для неї формула Кнудсена

,

де площа контакту між потоком пари і газом, яка визначається проміжком між соплом і стінкою насосу.

Щоб збільшити швидкість відкачки, можна було б збільшити цю відстань, але при цьому падає густина потоку ртутної пари, тобто інтенсивність захоплення.

Швидкість відкачки можна збільшити, якщо з’єднати такі насоси послідовно.

Насос Ленгмюра можна збудувати і в іншому оформленні, але принцип роботи його нічим не відрізняється від попереднього.

Багатоступінчасті насоси. Багатоступінчасті дифузійні насоси дозволяють збільшити як швидкість відкачки, так і граничний вакуум. Насоси підбираються таким чином, щоб

;  .

Найчастіше навіть реалізується ситуація

.

Нижній насос може працювати проти високих тисків. Верхній насос дає найвищу швидкість відкачки в умовах форвакууму. Швидкість відкачки насосу визначається відстанню між соплом і стінкою. За формулою Кнудсена для діафрагми

.

У кожного наступного (вниз) насосу площа проміжку менша. Отже швидкість відкачки менша.

Для нормальної роботи газу треба, щоб кількість газу, що проходить через насоси відповідала співвідношенню

,

нижній насос повинен пропускати найбільшу кількість газу, інакше він захлинеться. Тому кількість газу, що проходить через нижній насос повинна бути найбільшою. Тоді

.

Весь пристрій в цілому буде працювати із швидкістю відкачки і праціювати проти тиску .

Рекорд, встановлений для такої системи, становить тор (відкачано майже 16 порядків), але це дуже складно. Нормальним для таких багатоступінчастих систем є тиск тор, а “ширпотреб” із звичайними маслами та звичайними насосами тор.

Тепер трохи поговоримо про речовину, яка використовується для відкачки. Чому використовують саме ртуть ? Це проста речовина, при випаровуванні вона не розкладається на складові; інертна, не утворює сполук із газом, що відкачується; має велику молекулярну вагу, отже легко захоплює із собою гази, передаючи їм великий імпульс. Недоліки ртуті :1. Токсичність.2. Високий тиск пари тор, отже неможливо отримувати низький тиск без спеціальних пасток. Можна у якості джерела пари використовувати масло. Масла є продуктом перегонки нафти, і ви знаєте, що можна отримувати легкі і важкі фракції. Різне масло використовують для різних частин вакуумної установки. Для форвакуумних насосів, які працюють проти атмосферного тиску, використовують важкі фракції, для дифузійних – більш низькі. Вони відрізняються навіть за кольором. Форвакуумне масло темніше, дифузійне – світліше. В форвакуумний насос можна залити дифузійне масло, але у дифузійний насос форвакуумне масло – не можна.З масляними насосами без використання пасток можна отримати тор, із застосуванням пасток та спеціальних синтетичних силіконових масел – тор.

Недоліки масла :1. Складна речовина, при нагріванні розкладається.2. Велика здатність масла пролазити, куди не треба. Масло повзе по установці і забруднює її.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67647. Русский язык. 7 класс. (Ответы с комментариями к итоговым контрольным работам) 17.77 MB
  Итоговая контрольная работа проводиться в письменной форме чтобы приобрести устойчивый навык, постарайтесь выполнить как можно больше вариантов контрольной работы из вышеназванного сборника и проверить себя по данному пособию-репетитору
67648. ГДЗ Русский язык. 10-11кл 871.88 KB
  Русский язык в современном мире. Стили и типы речи. Понятие о норме литературного языка. Типы норм. Слово и его лексическое значение. Многозначные слова и их употребление. Заимствование стилистически ограниченной лексики. Орфоэпические нормы русского языка. Принципы русской орфографии.