36500

Розподіл молекул у полі сил. Формула Больцмана. Барометрична формула. Дослід Перрена по визначенню числа Авогадро

Шпаргалка

Физика

Наявність зовнішньої сили призведе до того що молекули у просторі будуть розміщені неоднорідно отже створюватимуть у різних точках простору різний тиск. Для осі ця різниця тисків на грані паралелепіпеда перпендикулярні осі де зміна тиску на одиницю довжини; зміна тиску на бічних гранях; площа граней. Згадаємо що ; – відповідно повні диференціали зміни тиску та потенціальної енергії. Повний диференціал зміни тиску газу дорівнює добутку концентрації молекул на повний диференціал зміни потенціальної енергії молекули взятому з...

Русский

2013-09-22

258.99 KB

8 чел.

Білет №2

1. Розподіл молекул у полі сил. Формула Больцмана. Барометрична формула. Дослід Перрена по визначенню числа Авогадро.

Досі ми вважали, що у рівноважному стані внаслідок хаотичності руху молекул встановлюється однакова їх концентрація у різних елементах об’єму. Справді, розглянемо молекули, які маючи швидкості у межах ; ; ,крім того, потрапляють у просторі відстаней у окіл точки з координатами , тобто

;

; .

При рівномірному розподілі молекул у просторі їх кількість не залежить від абсолютного значення координат вибраної точки , а лише від розміру околу . Скориставшись розподілом Максвелла молекул за швидкостями ,

запишемо цю кількість молекул (зверніть увагу, не в одиниці об’єму, а абсолютну кількість)

,

де це певна величина, пов’язана із розподілом молекул у просторі, повна кількість молекул у всьому об’ємі.

Нам треба знайти величину , отже накладемо таку умову, щоб при інтегруванні по швидкостях кількість молекул була цілою (щоб нам не довилося думати, що робити із половиною або третиною молекули). Запишемо ось таку умову .

Це – умова нормування. Зверніть увагу, всі змінні незалежні, можна інтегрувати окремо по кожній змінній. Що дасть інтегрування імовірності попадання в окіл певної швидкості по всім можливим значенням швидкості ? Це буде одиниця. Залишається .

Тоді        .

Що являє собою ? Це повний об’єм . Остаточно отримали   ;    .

Так що при рівномірному розподілі ми отримаємо звичну формулу

для кількості молекул в одиниці об’єму (концентрації).

Це все є справедливим, якщо на газ не діють зовнішні сили. Припустимо, що газ знаходиться у полі земного тяжіння. На кожну молекулу буде діяти сила земного тяжіння. Навіть із найзагальніших міркувань важко припустити, що молекули розподіляться однорідно.

Або якщо молекули знаходяться у неоднорідному електричному полі. Вони можуть поляризуватись, тобто позитивний і негативний заряд у них просторово розділяться. Поле такої молекули буде взаємодіяти із зовнішнім полем, і молекули потягнуться у бік сильнішого поля. Тут теж важко стверджувати, що просторовий розподіл молекул залишиться однорідним.Задачу про розподіл молекул у поля зовнішніх сил розв’язав Больцман, отже

Формула Больцмана

У силовому потенціальному полі на кожну молекулу газу, як матеріальну частинку масою , діє сила, яка зумовлює її переміщення. Будемо вважати, що рух частинки в  відбувається за законами класичної механіки. Нехай молекула під дією потенціальної сили змінила своє положення вздовж осі на . Під час переміщення сила не обов’язково повинна бути сталою, тому її робота визначається середнім значенням :  ,

де кут між напрямком дії сили та віссю .

Виконана робота чисельно дорівнює зміні потенціальної енергії молекули, але протилежна за знаком , тому   .Для знаходження значення сили у точці перейдемо до нескінченно малого приросту   .

Потенціальна енергія молекули змінюється по всіх напрямках, тому межею виразу для є частинна похідна. Аналогічні вирази можна написати і для двох інших координат;   Тоді вектор сили можемо записати у вигляді

.

У газі, що знаходиться в потенціальному полі, виберемо декартову систему координат. Виділимо елемент об’єму , який має форму паралелепіпеда зі сторонами . Кількість молекул газу у цьому об’ємі дорівнює , (концентрація молекул). В межах виділеного паралелограма концентрацію молекул можна вважати сталою. На кожну молекулу у об’ємі діє сила . Її проекція на вісь :            .

Наявність зовнішньої сили призведе до того, що молекули у просторі будуть розміщені неоднорідно, отже створюватимуть у різних точках простору різний тиск. Для осі ця різниця тисків на грані паралелепіпеда, перпендикулярні осі  , де зміна тиску на одиницю довжини; зміна тиску на бічних гранях; площа граней. Отже  .

Виділений елемент об’єму знаходиться у рівновазі. Обидві сили повинні врівноважувати одна одну. Тоді   ;    ;      .

Аналогічні вирази запишемо і для двох інших координат.Додамо три останні рівняння :

.

Згадаємо, що ;   

відповідно повні диференціали зміни тиску та потенціальної енергії. Тоді перепишемо рівняння у вигляді   .

Повний диференціал зміни тиску газу дорівнює добутку концентрації молекул на повний диференціал зміни потенціальної енергії молекули, взятому з оберненим знаком.

Ми давно вже не звертались до основного рівняння кінетичної теорії газів. Скористаємось ним у вигляді    і припустимо, що температура газу в потенціальному полі є сталою. Тоді  . Зіставивши це рівняння із   ,  і позбавившись тиску, отримаємо  .Таке рівняння із розділеними змінними легко інтегрується  .   Звідси  .

Для знаходження невідомої константи давайте введемо умову, що є точка з координатами для якої ми точно знаємо потенціальну енергію молекули , а концентрація  . Тоді , і   .

Ми отримали формулу Больцмана для розподілу частинок, які перебувають у тепловому русі у зовнішньому потенціальному полі.

Кількість частинок тим більша, чим менша їхня потенціальна енергія (це більш енергетично вигідно), і експоненціально зменшується із збільшенням потенціальної енергії.

Зверніть увагу, розподіл Больцмана отриманий для довільного потенціального поля, ми не конкретизували його природу.Для поля тяжіння Землі : ;    .Для поля відцентрових сил : ;      .

Також цю формулу можна використовувати не тільки для полів, у яких потенціальна енергія залежить від просторових координат, а й для інших змінних. Тобто формула Больцмана є універсальною.

Барометрична формула  

Сама назва вже підказує, що мова йде про тиск. А саме, йдеться про атмосферний тиск. Земна куля оточена шаром повітря, який становить її атмосферу. Нижній шар товщиною 11 км називається тропосферою. Далі йдуть інші …сфери (рисунок). Ознаки атмосферного тиску виявлені на висоті до 1000 км.

Стан атмосфери Землі зумовлений одночасною дією гравітаційного поля Землі і тепловим рухом молекул повітря. Здавалося б, що під дією сили земного тяжіння молекули впадуть на землю, але тепловий рух запобігає цьому. З іншого боку, хаотичний рух міг би призвести до того, що атмосфера злетить із Землі, так сила тяжіння не дає.Розподіл Больцмана для сили земного тяжіння  свідчить, що найбільша концентрація молекул поблизу Землі, а із відстанню від неї концентрація зменшується. Відповідно до цього змінюється і тиск.Явище зміни тиску з висотою вперше спостерігав Блез Паcкаль за допомогою барометра Торрічеллі, піднявшись на дзвіницю Сен-Жак де-ля-Бушері у Руані. Для отримання залежності зміни тиску із висотою будемо вважати, що атмосфера Землі є ізотермічною; вона перебуває у стані теплової та механічної (немає вітру) рівноваги.Повернемось до розподілу Больцмана.Знову скористаємося основним рівнянням кінетичної теорії газів, і виразимо концентрації молекул повітря через його тиск на поверхні Землі : ;     ;    та на довільній висоті :;     .Тоді .Це рівняння описує залежність тиску повітря від висоти і називається барометричною формулою.

Графік залежності тиску від висоти має такий вигляд.Можна ще спробувати врахувати залежність прискорення вільного падіння від висоти :

,де гравітаційна стала, маса та радіус Землі.

Виберемо на висоті шар повітря завтовшки , у межах якого не змінюється. Різниця тисків на висотах і становить

.

При малих функція , тому.

Розділимо змінні і перепишемо рівняння з урахуванням залежності прискорення вільного падіння від висоти :        .

Проінтегрувавши, знайдемо  ,               або .

Оскільки на поверхні Землі , , та , то,     а   .Остаточно, залежність атмосферного тиску від висоти при врахуванні залежності

.Ця рівність дає дуже нефізичний результат на нескінченності   ,тобто на нескінченності атмосферний тиск не прямує до нуля. Це є наслідком наших нехтувань. Взагалі кажучи, щоб молекулі вирватись з поверхні Землі їх досить мати швидкість 11,2 км/с, і такі молекули дійсно існують, але їх кількість знаходиться у самому кінці так званого “хвоста” максвеллівського розподілу, а значить їх така мізерна кількість, що атмосферного тиску за межами Землі вони не створять.

Досліди Перрена

Що мене найбільше здивувало у підручниках, так те, що Жан Батист Перрен у всіх своїх дослідах насправді визначав сталу Больцмана, хоч, як зауважують автори, це теж саме, оскільки Частинки у полі тяжіння розподіляються за законом  .Якби вдалося виміряти масу частинки (ну, наприклад, молекули повітря), ми могли б визначити і сталу Больцмана, а через неї і число Авогадро. Але ця задача виявилась ще складнішою, ніж визначення констант.

Пам’ятаєте, коли ми вводили кінетичну температуру як міру кінетичної енергії газу, ми розглядали поршень як дуже велику броунівську частинку. Перрен використав той факт, що при виводі формули Больцмана ми не накладали ніяких обмежень на розміри чи масу частинок. Отже, броунівські частинки можна розглядати як великі молекули, що не взаємодіють, і немає підстав сумніватись, що їх розподіл у полі сил тяжіння підпорядкований формулі Больцмана. Щоб у полі сили тяжіння вони не осіли на дно посудини, броунівські частинки треба помістити у рідину, густина якої трохи менша за густину матеріалу частинок.Енергія броунівських частинок у такій рідині трохи зменшиться за рахунок сили Архімеда :  ,де маса витісненої рідини. Тоді формула Больцмана набуває вигляд

.Вимірявши кількість частинок і на двох висотах і , маємо  ;     .

Розділивши одне рівняння на друге, а потім прологарифмувавши, отримаємо

,звідки стала Больцмана   .

Всі величини у цій формулі можуть бути досить точно виміряні. Єдиною великою технологічною проблемою була необхідність отримання значної кількості однакових броунівських частинок. Перрен використав фарбу гумігут, яку розтирав у воді або обробляв спиртом. Він отримав після кількох місяців сепарації центрифугою із 1 кг гумігуту кілька десятків грамів однакових частинок.

Дослід Перрен проводив у двох модифікаціях – горизонтальній і вертикальній. При горизонтальній модифікації мікроскоп, за допомогою якого визначалась кількість частинок у полі зору, був розташований вертикально і фокусувався на різні глибини, а при вертикальній – був розташований горизонтально, фокусуючись на різних висотах.Отримане таким методом значення сталої Больцмана було близьким до визначених іншими методами.

2. Метод термодинамічних потенціалів. Термодинамічний потенціал Гіббса. Співвідношення Максвелла і рівняння Гіббса-Гельмгольца.

Існують певні величини, що характеризують стан системи. Дуже часто зв’язок між цими величинами неможливо встановити методами формальної термодинаміки. Деякі співвідношення нам вдалось встановити методом циклів Карно : ми ввели абсолютну термодинамічну шкалу температур, отримали закон Джоуля та співвідношення Роберта Майєра.Поряд з методом циклів, аналогічні співвідношення може дати метод термодинамічних потенціалів, або метод характеристичних функцій, запропонований Гіббсом. Цей метод є аналітичним методом опису термодинамічної системи, та ґрунтується на термодинамічній тотожності для оборотних процесів

.

Це рівняння пов’язує п’ять фізичних величин, що визначають стан системи, що перебуває у термодинамічній рівновазі. Кожна з п’яти величин є параметром стану системи, а також функцією стану (ми використовуємо для кожної з них повні диференціали, а не функціонали). Ми можемо вибрати дві величини у якості незалежних змінних. Але у нас залишається ще три невідомих, для знаходження яких потрібно ще два рівняння. Це можуть бути термічне рівняння стану та калоричне рівняння .Термодинаміка не може дати нам ці співвідношення, оскільки вона не спирається на модельні уявлення. Якщо скористатися моделлю, то отриманий результат буде справедливим лише у межах запропонованої моделі.Але ці співвідношення можна отримати методом термодинамічних потенціалів Гіббса. Починаємо розглядати потенціали.

Візьмемо термодинамічну тотожність і перепишемо її у вигляді    .

За незалежні змінні виберемо ентропію та об’єм . Залежна від цих змінних внутрішня енергія є термодинамічним потенціалом, або характеристичною функцією. Зауважте, внутрішня енергія є термодинамічним потенціалом лише коли вона залежить від ентропії і температури . Коли внутрішня енергія залежить від інших змінних, вона не буде термодинамічним потенціалом. Запишемо повний диференціал внутрішньої енергії.

Порівнявши його із термодинам. тотожністю, можемо записати ;             .

З цих співвідношень випливає, що температура є мірою збільшення внутрішньої енергії при збільшенні ентропії за сталого об’єму, а тиск – мірою її зменшення при ізоентропійному (адіабатному) збільшенні об’єму.Температура і тиск є параметрами стану системи, які ми можемо знайти із наведених співвідношень, знаючи загальний вигляд внутрішньої енергії. Зв’язок між цими параметрами можна встановити наступним чином. Продиференціюємо кожний із параметрів по параметру, який досі вважали сталим :   ;                      .

Прирівнявши мішані похідні, отримаємо співвідношення    .

Це – рівняння зв’язку Максвелла. Воно пов’язує дві властивості системи : зміну температури під час адіабатного (ізоентропійного) розширення та зміну тиску під час ізохорного нагрівання. Встановлення таких зв’язків між різними властивостями системи становить зміст методу термодинамічних потенціалів, або ж характеристичних функцій.

 Для зручності ми розглядали тільки оборотні процеси, які із основної термодинамічної нерівності            дали нам термодинамічну тотожність. Зафіксуємо дві незалежні змінні . Для адіабатного ізохорного процесу внутрішня енергія . Для будь-якого (включаючи необоротний) процесу  .

В адіабатній ізохорній системі процеси будуть відбуватись таким чином, щоб внутрішня енергія прямувала до мінімуму. Коли система його досягне, процеси йтимуть квазістатично, тобто оборотно. Після припинення необоротного процесу внутрішня енергія буде мінімальною, тобто умовою рівноваги системи, що перебуває за умов сталої ентропії та сталого об’єму є мінімум внутрішньої енергії.Таким чином, ми можемо передбачати хід подій у такій (адіабатній, ізохорній)системі.

Давайте візьмемо повний диференціал  ,Звідки , та повний диференціал , звідки .Підставимо все це у термодинамічну тотожність ;             звідки    .

Об’єднаємо повні диференціали . По аналогії, бачимо, що незалежними змінними на цей раз будуть температура та тиск . Введемо функцію, яка буде характеристичною за цих змінних.  Це термодинамічний потенціал Гіббса

,яка буде термодинамічним потенціалом, коли залежить від ентропії та тиску .Порівнявши рівняння     з повним диференціалом ентальпії

отримаємо співвідношення для решти параметрів;             .Отримавши, як і у попередньому випадку змішані похідні. Отримаємо рівняння зв’язку Максвелла та рівняння Гіббса-Гельмгольца ;           .Зафіксуємо параметри . Тоді термодинамічна нерівність            набуває вигляду .

В ізотермічній ізобарній системі процеси будуть відбуватись таким чином, щоб функція Гіббса прямувала до мінімуму. Коли система його досягне, процеси йтимуть квазістатично, тобто оборотно. Після припинення необоротного процесу функція Гіббса буде мінімальною, тобто умовою рівноваги системи, що перебуває за умов сталої температури та сталого тиску є мінімум термодинамічного потенціалу Гіббса.

3. Осмос. Осмотичний тиск. Закон Вант-Гоффа. Вплив дисоціації під час розчинення на осмотичний тиск.

Осмос - процес дифузії розчинника із менш концентрованого розчина в більш  концентрований розчин.Суть осмосу. Явище осмосу спостерігається в тих середовищах, де рухливість розчинника більша від рухливості розчинених речовин. Важливим окремим випадком осмосу є осмос через напівпроникну мембрану. Напівпроникними називають мембрани, які мають досить високу проникність не для всіх, а лише для деяких речовин, зокрема, для розчинника. Якщо така мембрана розділяє розчин і чистий розчинник, то концентрація розчинника в розчині виявляється менш високою, оскільки там частина його молекул заміщена на молекули розчиненої речовини. Осмотичний тиск (або дифузний тиск) - термодинамічний параметр, що характеризує прагнення розчину понизити свою концентрацію при зіткненні з чистим розчинником внаслідок зустрічної дифузії молекул розчинника та розчиненої речовини. Це тиск, що здійснює речовина на напівпроникну мембрану.

Якщо розчин відділений від чистого розчинника напівпроникною мембраною, то можлива лише одностороння дифузія - осмотичне всмоктування розчинника крізь мембрану в розчин. У цьому випадку осмотичний тиск стає доступною для прямого вимірювання величиною, що дорівнює надлишковому тиску, що треба прикласти з боку розчину для вирівнювання кількості розчинника з обох боків напівпроникної мембрани при осмотичній рівновазі. Осмотичний тиск зумовлений зниженням хімічного потенціалу розчинника в присутності розчиненої речовини.Осмотичний тиск в ідеальних та сильно розбавлених розчинах не залежить від природи розчинника та розчинених речовин, а також від напівпроникної мембрани; при постійній температурі він визначається тільки числом «кінетичних елементів» - іонів, молекул, асоціатів або колоїдних часток - в одиниці об'єму розчину. Осмотичний тиск пропорційний концентрації розчину і обернено пропорційний його об'єму. Також він залежить від температури. Вант-Гофф показав, що зв'язок між цими величинами має вигляд: πV = nRT, π - осмотичний тиск, V - об'єм розчину, п - число молів розчиненої речовини, R - універсальна газова стала, Т - температура. Закон, що виражає це рівняння, називається законом Вант-Гоффа. Цей закон можна сформулювати ще так: осмотичний тиск, що здійснює розчинена речовина, дорівнює тиску, що створювала б та ж речовина в газоподібному стані в тому ж об'ємі і при тій самій температурі. Закон Вант- Гоффа не справджується в тих випадках, коли розчинена речовина при розчиненні розкладаються на іони (дисоціює). Це відноситься до всіх розчинів кислот, солей та основ.Вплив дисоціації під час розчинення на осмотичний тиск. Якщо частинки розчиненої речовини сполучаються між собою, тобто відбувається Полімеризація, то осмотичний тиск зменшується; якщо розчинене тіло розпадається, тобто відбувається дисоціація в розчині, то осмотичний тиск збільшується, В другому випадку (при розпаді на іони - дисоціації) закон Вант-Гоффа виявляється несправедливим. Це стосується всіх розчинів кислот, солей и лугів (електролітів).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73182. Исследование операций с множествами 1.12 MB
  Множества А и В равны тогда и только тогда когда каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот каждый элемент множества В является элементом множества А т. Пересечением или произведением двух множеств называется множество состоящие из всех тех элементов...
73183. Расчет временных параметров и определение критического пути сетевого графика 699.13 KB
  Событие 1: принятие решения о подборе персонала на работу; Событие 2: определение потребности в новых работниках; Событие 3: разработка требований к кандидатам на новую должность c использованием разнообразных источников: анализ работ, исследование корпоративной культуры...
73185. Принципы построения и организационная структура Интернет. Адресация в Интернете. Базовые протоколы (IP, TCP, UDP). Назначение портов. Программы Ping, TraceRoute, NetScanner 554 KB
  Маршрутизаторы объединяют отдельные сети в общую составную сеть (см. рисунок ниже). К каждому маршрутизатору могут быть присоединены несколько сетей (по крайней мере две). Маршрут - это последовательность маршрутизаторов, которые должен пройти пакет от отправителя до пункта назначения.
73186. Информационный поиск в Веб 76.69 KB
  Гипертекст - принцип организации информационных массивов, при котором отдельные информационные элементы связаны между собой ассоциативными отношениями, обеспечивающими быстрый поиск необходимой информации и/или просмотр взаимо- связанных данных.
73187. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О КОНЦЕПЦИИ СЕМАНТИЧЕСКОГО WEB 24 KB
  Возможность интегрировать в Интернет объекты реального мира благодаря унификации обмена данными. Организация такого представления данных в сети, чтобы допускалась не только их визуализация, но и их эффективная автоматическая обработка программами разных производителей.
73188. Интеграция и взаимодействие в сети Веб 43.55 KB
  В многих компаниях уже сложилась тенденция предоставлять своим сотрудникам, партнерам и клиентам доступ ко всем типам информации и сервисов посредством сети Веб. Однако в корпоративных сетях компаний функционирует огромное число разнородных бизнес-приложений, созданных в различное время...
73189. GRAMMATICAL CLASSES OF WORDS 67.5 KB
  The problem of parts of speech is one that causes great controversies both in general linguistic theory and in the analysis of separate languages. We shall have to examine here briefly a few general questions concerning parts of speech which are of some importance for Modern English.
73190. Grammar and its place among other sciences 129.5 KB
  The following course of theoretical grammar serves to describe the grammatical structure of the English language as a system where all parts are interconnected. The difference between theoretical and practical grammar lies in the fact that practical grammar prescribes certain rules...