36501

Біноміальний розподіл

Шпаргалка

Физика

Кількість частинок у ньому . Кількість комірок у об’ємі причому завжди виконується умова тобто частинка завжди знайде собі місце. Виділимо у об’ємі менший фіксований об’єм і будемо шукати імовірність того що кількість частинок потрапить у цей об’єм. Кількість комірок у об’ємі повинно бути принаймні не меншою за щоб усі частинки могли розміститись.

Русский

2013-09-22

536.29 KB

9 чел.

Білет №3

1) Біноміальний розподіл.

Нехай ідеальний газ займає об’єм . Кількість частинок у ньому . Кількість комірок у об’ємі , причому завжди виконується умова , тобто частинка завжди знайде собі місце.

Виділимо у об’ємі менший фіксований об’єм і будемо шукати імовірність того, що кількість частинок потрапить у цей  об’єм. Кількість комірок у об’ємі повинно бути принаймні не меншою за , щоб усі частинки могли розміститись. Отже, кількість комірок у об’ємі становить .

Загальна кількість мікростанів системи дорівнює кількості способів, якими можна розмістити частинок по комірках.

Будемо вважати, що частинки можна розрізняти (наприклад, пронумерувати). Це означає, що якщо дві абсолютно однакові за властивостями частинки помінялись місцями, їх мікростани змінились.

Повна кількість мікростанів у повному об’ємі – це кількість можливих перестановок комірок , з якого треба вилучити порожні комірки (кількість розміщень):

.

Тоді аналогічно у виділеному об’ємі кількість мікростанів становитиме

,

а у решті об’єму кількість мікростанів залишається

.

Таким чином, для конкретних частинок можлива кількість мікростанів, які реалізують макростан системи, буде визначатися їх кількістю у виділеному об’ємі у комбінації із кількістю ззовні

,

тобто із кожним мікростаном у виділеному об’ємі комбінують всі мікростани зовні, тому їх добуток.

Але зверніть увагу, це тільки та кількість мікростанів, яка відповідає певному набору частинок у об’ємі . А частинок із кількості частинок можна вибрати

способами (кількість сполучень). Тоді кількість мікростанів у виділеному об’ємі для будь-яких частинок

.

Фактично задачу про знаходження імовірності потрапляння частинок у виділений об’єм ми розв’язали. Це буде відношення кількості мікростанів у виділеному об’ємі до повної кількості мікростанів у всьому об’ємі :

;

.

В принципі, задача про імовірність макростану системи розв’язана, оскільки всі величини у правій частині відомі. Але, щоб зробити цю формулу більш наочною, трохи причешемо її.

Давайте будемо вважати, що ми вибрали об’єм таким, що , тобто кількість комірок набагато більше кількості частинок у цьому об’ємі. Це спростить нам роботу.

Давайте подивимось, що можна зробити із факторіалами.

, де приріст .

Оскільки можна вважати дуже малою величиною для великих значень , можна перейти від підсумовування до інтегрування

.

      .

Ми отримали формулу Стирлінга. Використаємо її для факторіалів у формулі для імовірності, пам’ятаючи про накладені умови , , :

;

.

.

Скористаємось тим, що

,

отримаємо

.

Аналогічно для інших факторіалів

;

;

.

Підставимо всі ці вирази у формулу для імовірності

.

Після очевидних скорочень і перетворень, а також врахування формули , остаточно отримаємо

.

Отримана формула має дуже прозорий фізичний зміст. Позначимо

;    ;

і перепишемо формулу у вигляді

.

Що таке і ? імовірність для однієї частинки потрапити у виділений об’єм . Тоді імовірність для однієї частинки потрапити у решту об’єму , або, що теж саме, імовірність не потрапити у виділений об’єм . Звичайно, що

,

тобто частинка обов’язково потрапить кудись. Імовірність потрапити або не потрапити у виділений об’єм є для кожної частинки незалежною від інших подією, отже, ці імовірності перемножуються. Якщо у нас всього частинок, і ми хочемо визначити імовірність попадання у виділений об’єм із них, то імовірність для всіх них потрапити, імовірність для решти не потрапити, а множник означає кількість сполучень при виборі частинок із можливий.

Що собою являє з математичної точки зору отриманий вираз для імовірності ? Це не що інше як доданок бінома Ньютона

.

Ми отримали умову нормування. Її фізичний зміст – будь-який розподіл обов’язково матиме місце. А отримана нами формула має назву біноміальний розподіл за її зв’язком із формулою бінома Ньютона.

2)Кількісне формулювання першого начала термодинаміки. Застосування кількісного формулювання першого начала термодинаміки до іза-процесів у ідеальному газі. Означення ентальпії.

Кількісне формулювання першого начала термодинаміки

Введені нами поняття роботи, внутрішньої енергії та кількості теплоти дозволять нам кількісно сформулювати перше начало термодинаміки, яким є закон збереження енергії.

Обидві системи замкнуті у жорстку адіабатичну оболонку. Але між системами І і ІІ  можливий теплообмін. На систему можуть діяти зовнішні сили через рухомий поршень. На систему ІІ зовнішні сили не діють.

Введемо позначення

внутрішня енергія системи;

внутрішня енергія системи;

стан всієї системи до виконання роботи;

стан всієї системи після виконання роботи;

робота зовнішніх сил над системою. На систему зовнішні сили не діють.

Внутрішня енергія всієї системи складається із внутрішніх енергій кожної з систем і :

,

тобто внутрішня енергія, як і будь-яка енергія,  величина адитивна.

Нехай вся система перейшла із стану 1 у стан 2. Це відбулось за рахунок виконання роботи зовнішніми силами над системою :

.

Кожна система змінила свою внутрішню енергію. За рахунок чого може змінитись внутрішня енергія системи ? Тільки за рахунок теплообміну із системою , оскільки вона оточена жорсткою адіабатичною оболонкою.

Кількість теплоти, що втратить одна із систем, прийме друга система, тобто

.

Використаємо означення кількості теплоти

і скористаємось тим, що робота зовнішніх сил при квазістатичному (рівноважному) процесі дорівнює роботі системи з протилежним знаком

.

Це стосується лише системи , оскільки на систему зовнішні сили не впливають. Підставимо все це у рівняння для роботи

.

Ми все звели до рівняння для системи , оскільки вона і зазнає зовнішнього впливу, і виконує теплопередачу. Тому далі індекс можна опустити, оскільки все це справедливо для будь-якої системи :

.

 

Ми отримали кількісне формулювання першого начала термодинаміки. Кількість тепла, що отримала деяка система, йде на зміну її внутрішньої енергії та на виконання системою роботи.

Якщо не надати системі кількості теплоти, тобто певного надлишку енергії, не буде ні зміни внутрішньої енергії, ні роботи. Перше начало термодинаміки можна сформулювати і наступним чином : вічний двигун першого роду неможливий.

Запишемо перше начало термодинаміки для нескінченно малого, або елементарного, квазістатичного процесу. Тоді рівняння набуває вигляду

.

Розберемось з диференціалами і функціоналами. Внутрішня енергія є функцією стану системи, отже для неї береться повний диференціал. Робота не є функцією стану (лише для адіабатичної системи, а у нас є теплообмін), тому при ній стоїть функціонал. Тому і кількість теплоти не буде функцією стану, і для неї теж беремо функціонал.

Застосування першого начала термодинаміки до ізо-процесів у ідеальному газі

Розглянемо застосування першого начала термодинаміки для деяких конкретних випадків.

1. Нехай є круговий процес – цикл. В результаті циклічного процесу система повернулась у вихідний стан. Величина, що була функцією стану системи повернеться до вихідного значення. Це – внутрішня енергія системи. Тобто для циклічного процесу , тому

.

Вся кількість теплоти, що отримала система, йде на виконання нею роботи.

2. Нехай є ізохоричний процес ; . Тоді елементарна робота , і

.

Вся кількість теплоти, що отримала система, йде на зміну внутрішньої енергії системи.

3. Візьмемо адіабатичний процес. Це процес без теплообміну . Тоді

.

Знак “мінус” означає, що для зміни внутрішньої енергії системи над нею треба виконати роботу.

4. І, нарешті, розглянемо ізобарний процес . Тоді ми можемо переписати рівняння для виразу першого начала термодинаміки у вигляді

.

Введемо нову величину

,

і назвемо її ентальпія (або теплова функція). Це така функція стану, зміна якої при ізобарному процесі дорівнює кількості теплоти, що передається системі :

.

3) Просторові кристалічні гратки. Сингонії. Гратки Браве.

Спочатку введемо поняття про особливі напрямки у кристалі. Єдиний, той що не повторюється, напрямок у кристалі, називається особливим, або одиничним.

В залежності від кількості особливих напрямків і кількості осей симетрії кристали поділяються на три категорії.

Вища категорія. Немає особливих напрямків, є кілька (не менше двох) осей симетрії порядку вище, ніж 2. Це високосиметричні кристали. Будь-якому напрямку у них відповідають інші, які є симетрично еквівалентними.   Анізотропія фізичних властивостей, таких як електропровідність, теплопровідність, діелектрична проникність, у таких кристалах відсутня.

Середня категорія. Має один особливий напрямок, який співпадає із єдиною віссю симетрії порядку вище 2, тобто 3, 4 або 6. Це може бути трьох-, чотирьох- або шестигранна призма. Анізотропія у таких кристалах виражена сильніше, ніж у кристалів вищої категорії.

Нижча категорія. Має кілька особливих напрямків і не має осей порядку вище другого. Прикладом такого кристалу є так звана ромбічна призма. Якщо наочніше, це цеглина або сірникова коробка. Це найменш симетричні кристали із найбільшою анізотропією властивостей.

Кристали трьох розглянутих категорій поділяються на 7 систем, які називаються сингонії. У кожну сингонію входять кристали з однаковою точковою групою симетрії просторових ґраток. Неважко переконатися, що просторові ґратки кристалів однієї системи мають однакову точкову симетрію. Ось давайте порівняємо симетрію таких різних за властивостями матеріалів як сіль NaCl та алмаз. Гратка солі є кубічною, а алмазу – складається із рівнобічних трикутників. Вони мають :

- 3 осі обертання 4 порядку;

- 4 осі обертання 3 порядку;

- 6 осей обертання 2 порядку;

- 9 дзеркальних площин;

    - центр інверсії.

Як бачимо, два різних кристали мають однаковий набір елементів симетрії , отже, вони належать до однієї сингонії.

Розподіл кристалів на сингонії визначає вибір кристалографічної системи координат із знайомою нам трійкою базисних векторів , або їх довжини та кути між ними ,  які вводяться наступним чином (рис.). Кут лежить у площині, до якої не належить вектор , і т.д.

Отже, до вищої категорії відноситься лише одна сингонія – кубічна. Це єдина сингонія, симетрії якої відповідає звичайна декартова система координат

.

Її елементарна комірка – куб. Вона має 4 осі обертання 3 порядку. Це найхарактерніша ознака кубічного кристалу.

До середньої категорії відносяться три сингонії.

Тетрагональна (від грецьких слів “тетра” - чотири і “гоніо” – кут). Якщо взяти куб за протилежні грані і розтягти, отримаємо пряму призму із квадратною основою і висотою, яка не співпадає за розміром із стороною квадрату. Це і буде елементарна комірка тетрагональної системи. Співвідношення між сторонами і кутами для неї

.

Вона має особливий напрямок вздовж висоти призми, і єдину вісь симетрії порядку вище 2, а саме 4 порядку.

Тригональна (від грецьких слів “три” і “гоніо” – кут) (або ромбоедрична) точкова група відображає симетрію об’єкта, який утворюється, якщо розтягти куб вздовж об’ємної діагоналі. Ця діагональ є особливим напрямком і віссю обертання 3 порядку. Елементарна комірка утворюється трьома векторами однакової довжини, які утворюють між собою рівні кути.

.

Гексагональна (з грецької “гекса” – шість). В гексагональній системі у якості елементарної комірки зручно вибрати пряму призму, в основі якої лежить ромб з кутами 60 і  120. Її можна отримати із тетрагональної комірки, розтягши її за дві протилежні бічні сторони. Розміри і кути комірки ось такі

.

Щоб підкреслити, що ця комірка належить до гексагональної сингонії, до неї додають ще дві, повернуті на кут 120. Разом вони утворюють потрійну комірку у формі гексагональної призми. Особливий напрямок  перпендикулярний основам призми і є віссю симетрії 6 порядку.

І, нарешті, до нижчої категорії відносяться:

Ромбічна. Якщо взяти тетрагональну структуру і розтягти за протилежні бічні грані, так щоб всі сторони комірки стали різними, а кути залишилися прямими, отримаємо ромбічну структуру

.

Моноклінна. Назва походить від грецьких слів “моно” і “кліно”, тобто “один” і “нахилений”. Якщо натиснути на ромбічну гратку так, щоб дві протилежні бічні грані залишились прямокутниками, а решта перетворились на довільні паралелограми, отримаємо моноклінну структуру. У неї всі грані різні, два прямих кути і один від них відрізняється

.

Триклінна. Назва від грецьких слів “три” і “кліно”, тобто “тричі нахилена”. Кристал із такою симетрією не має ні осей обертання, ні площин симетрії. В елементарній комірці всі розміри і кути різні

.

Це сингонія з найменшою симетрією. Вона має лише центр інверсії.

Таким чином, число точкових груп симетрії дорівнює семи.

Кількість просторових груп симетрії, звичайно, більше, ніж кількість їх точкових груп, тому що в просторові групи додаються трансляції.

Виявляється, що тільки 14 тривимірних точкових структур можуть мати трансляційну симетрію. Цікаво, що питання про число просторових ґраток у 1842 р. розглядав Франкгейм і помилився. Його висновок був, що їх може бути 15. У 1845 р. Браве довів тотожність двох із ґраток Франкгейма і правильно визначив число просторових ґраток – 14. Друга назва просторових ґраток – ґратки Браве.

Ґратки, які відносяться до кубічної сингонії, тобто мають кубічну точкову групу симетрії – це проста кубічна гратка, об’ємноцентрована та гранецентрована.

Тетрагональній точковій групі симетрії відповідають проста тетрагональна та об’ємноцентрована гратка.

Тригональна група представлена ромбоедричною, або тригональною граткою Браве.

Гексагональна група –теж має лише єдину просту гратку.

До ромбічної групи відносяться проста ромбічна гратка, об’ємноцентрована, базоцентрована та гранецентрована ґратки.

Моноклінна є у вигляді простої ґратки та базоцентрованої.

І, нарешті, триклинна система теж має лише просту гратку.

Отже, всього 14 ґраток Браве


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44011. Исследование возможности обнаружения движущихся объектов в телевизионных системах 795 KB
  Категория Характеристика значимости объекта Производственное или другое назначение объекта Обозначение Объекты А Особо важные Объекты зоны объектов здания помещения территории несанкционированное проникновение на которые может принести особо крупный или невосполнимый материальный и финансовый ущерб создать угрозу здоровью и жизни большого количества людей находящихся на...
44012. Исследование возможности обнаружения движущихся объектов в телевизионных системах 3.07 MB
  Для предотвращения хулиганских выходок, попыток суицида, возникновения «живых пробок» целесообразно применить к системе наблюдения модуль трэкинга целей. Модуль должен программироваться на детектирование заданных видов движений, регистрировать моменты начала и прекращения перемещений, осуществлять подсчет объектов, двигающихся в том или ином направлении
44013. Социальные организации: их основные виды. Идеи Р. Мертона 16.49 KB
  В социологии ключевым понятием является элемент социальной структуры и дается такое определение: социальная организация — большая социальная группа, сформированная для достижения определенных целей.
44014. Разработка электронного регистратора пульсовых колебаний 2.07 MB
  Мембрана изготовлена из тонколистовой бронзы толщиной около 003 мм. Катодами в ванне служат листы из меди или коррозионностойкой стали помещенные в чехлы из хлориновой ткани. Медная фольга защищается от возможных повреждений при хранении транспортировании и сверлении отверстий медным или алюминиевым листовым протектором толщиной 50 75 мкм. В наши дни весьма актуальна подготовка специалистов...
44015. Розробка програмного забезпечення спортивної статистики, соціальної мережі та веб-сервісу прийому замовлень для служб таксі 6.68 MB
  Розробка універсального алгоритму і програмного забезпечення для автоматичного підрахунку фізичних вправ і ведення спортивної статистики, створення відповідної соціальної мережі, здатної витримувати високі навантаження на ресурси (більше 1000 запитів за секунду). Розробка веб-сервісу прийому замовлень для служб таксі
44017. Комплекс лабораторних робіт з предмета: «Антенно- фідерні пристрої» 409.47 KB
  Вплив на людину джерел електромагнітного випромінювання Оптичне випромінювання. Функції антен у зазначених системах зводяться до випромінювання або прийому електромагнітних хвиль. Основні вимоги до фідера зводяться до його електрогерметічності відсутності випромінювання енергії з фідера і малим тепловим втратам.
44018. WEB – орієнтована інформаційна система «Math» 1.47 MB
  До цих джерел шуму відносяться також залізничні вузли і станції великі автовокзали і автогосподарства мотелі і кемпінги трейлерні парки промислові об'єкти і великі бази будівельної індустрії енергетичні установки. Це і проблема могильників і проблема саркофагу який поступово руйнується проблема населення яке все ще проживає в тридцяти кілометровій зоні. Арк. Підпис Дата Арк.