36502

Тиск газу з точки зору молекулярно-кінетичної теорії. Основне рівняння кінетичної теорії ідеального газу. Зв’язок між тиском газу та середньою кінетичною енергією газових молекул

Шпаргалка

Физика

Основне рівняння кінетичної теорії ідеального газу. Зв’язок між тиском газу та середньою кінетичною енергією газових молекул. Розрахуємо тиск газу на стінку посудини.

Русский

2013-09-22

205.51 KB

12 чел.

Білет №4

1) Тиск газу з точки зору молекулярно-кінетичної теорії. Основне рівняння кінетичної теорії ідеального газу. Зв’язок між тиском газу та середньою кінетичною енергією газових молекул.

Розрахуємо тиск газу на стінку посудини. Будемо вважати, що молекули взаємодіють із стінками посудини пружно.

Візьмемо елементарну площадку . Виберемо вісь вздовж нормалі до неї.  Молекули рухаються із різними швидкостями. Доведеться вибрати деякий інтервал швидкостей :

.

кількість молекул у одиниці об’єму, швидкість яких попадає у цей інтервал.

Побудуємо на основі площадки циліндр, з висотою . За проміжок часу всі молекули, що попали у виділений циліндр, зазнають зіткнення із площадкою.

кількість співударів молекул із виділеною площадкою за час .

Я вже казала, що тиск – це результат передачі імпульсу молекулами. Отже,

 переданий імпульс.

Зміна імпульсу частинки визначається силою, з якою стінка діє на молекулу на протязі часу :

.

Враховуємо тільки нормальну до поверхні складову сили, оскільки при пружному зіткненні тангенціальна (дотична) складова не змінюється.

Імпульс, який передадуть стінці усі частинки, що летять у вибраному нами напрямку, становить

,

звідки

.

За означенням, тиск – це сила, яка діє з боку газу на одиницю площі стінки :

.

Інтегрування по швидкостях треба вести від до . Остаточно отримаємо

.

Ця формула справедлива у припущенні, що всі молекули мають однакову проекцію швидкості. Де ми наклали таку умову ? Коли вибирали циліндр з висотою . Насправді всі проекції швидкостей різні, тобто їх значення треба якось усереднити.

Ми вважаємо зіткнення молекули із стінкою пружним. А при пружному зіткненні не змінюється потенціальна енергія молекули. За законом збереження енергії частинки, що падають і що відбиваються не повинні у середньому змінювати свою кінетичну енергію :

;          або       .

Що являє собою ? Це середнє значення квадрату швидкості – одна із найбільш популярних величин у молекулярній фізиці. Чому саме квадрат швидкості, а не сама швидкість усереднюється ? (спитати). Тому що .

Як взагалі вводиться середнє значення величини, яку ми вимірюємо ? Деяке значення величини зустрічається разів. Повна кількість вимірів – . Тоді

.

Для квадрату швидкості у нашому випадку

.

Тоді отриманий вираз для тиску набуває вигляду

.

Треба позбавитись проекції швидкості. Думаю, що рівняння сфери з центром у початку координат вам знайоме :

.

Отже і квадрат швидкості можемо виразити через квадрати проекцій

.

І ніхто нам не заважає записати таке рівняння і для усереднених величин :

,

тобто послідовність усереднення і додавання для квадратів величин можна змінювати. Ідеальний газ ізотропний, тобто всі напрямки у ньому еквівалентні, всі властивості у всіх напрямках однакові, тобто

.

має назву середньої квадратичної швидкості.

Остаточно, ми отримали вираз для тиску ідеального газу

.

Ми отримали один із найважливіших висновків кінетичної теорії ідеального газу. Отримана формула встановлює зв’язок між молекулярними величинами, тобто тими, що відносяться до конкретної молекули (швидкість, маса) та величиною тиску – макроскопічною величиною, що вимірюється безпосередньо у досліді. Це рівняння іноді називають основним рівнянням кінетичної теорії ідеального газу. Ми ще неодноразово будемо повертатись до нього, модифікуючи його вигляд. І ось зараз давайте розглянемо

Зв’язок між тиском газу та середньокінетичною енергією газових молекул

Перепишемо рівняння для тиску у такому вигляді

і помножимо і розділимо праву частину на двійку

.

Величина являє собою не що інше, як середню кінетичну енергію однієї молекули. Тому основне рівняння кінетичної теорії набуває вигляду

.

Отже, інший фізичний зміст основного рівняння кінетичної теорії газів полягає у тому, що тиск газу дорівнює двом третинам середньої кінетичної енергії молекул, що містяться у одиниці об’єму газу.

2) В’язкісний (ламінарний) режим течії газів у трубопроводі. Формула Пуазейля.

При ламінарному режимі основну роль грають сили в’язкості, тобто внутрішнього тертя. Зобразимо розподіл по перерізу трубопроводу окремих шарів газу.

Тиск у трубопроводі буде змінюватись за параболічним законом. Отримаємо розподіл тиску газу у трубопроводі.

Нехай швидкість течії газу. Вона буде дорівнювати чисельно об’єму газу, який за одиницю часу пройшов через одиничну площадку .

З одного боку, природно вважати, що швидкість потоку буде пропорційна градієнту тиску

.

З іншого боку, швидкість потоку повинна бути обернено пропорційною до абсолютного значення тиску. Чим більший тиск, тим більше молекул, тим більше зіткнень, тим повільніше просування вперед, отже

.

Тоді

,

де і - деякі величини, які для нас не мають значення і від яких ми зараз позбавимось. Розділимо змінні

;    - множник 2 увійшов у константи.

Граничні умови

;

.

Тоді

;         ,

і ми отримали розподіл тиску вздовж осі протікання ламінарного потоку

.

Легко переконатися, що ми не помилились, розглянувши крайні випадки. На початку труби тиск , в кінці – .

Теорія ламінарної течії міцно пов’язана з іменем французького фізика Жана Пуазейля, і ви, безумовно, вже зустрічались із його формулою, що пов’язує кількість газу, що проходить за одиницю часу по трубопроводу, із різницею тисків на його кінцях. Зараз ми її отримаємо.

Розглянемо трубопровід діаметром , на краях якого тиск має значення і . Виділимо всередині трубопроводу циліндр із газом радіусом і висотою . Оточимо його циліндром радіусом і будемо розглядати рух вмісту між двома циліндрами.

Вміст трубопроводу рухається як одне ціле із швидкістю , тому його можна розглядати як тверде тіло, всередині якого знаходиться у стані спокою наш об’єм між циліндрами, на який діють врівноважені сили.

Розглянемо ці сили.

1. Вздовж довжини циліндра є градієнт тиску. Отже на основи діють різні сили. Для проміжку між циліндрами

.

2. У трубопроводі має місце параболічний розподіл швидкостей по його перерізу. Сила, пов’язана із градієнтом швидкості,

.

3. І, нарешті, рух нашого міжциліндрового проміжку гальмується силою тертя з боку зовнішніх шарів

.

Зробимо деякі перетворення із третьою силою. Розкладемо функцію у околі точки :

.

Доданком знехтували. Тепер запишемо рівнодійну сил

.

Підставимо значення сил

.

Після очевидних перетворень і, скориставшись, що

,

отримаємо

.

Помножимо обидві сторони рівності на , яке залежить лише від , і не залежить від , тому його можна внести під диференціал праворуч як константу:

.

Я вже раніше зауважила, що швидкість течії газу дорівнює чисельно об’єму газу , який за одиницю часу пройшов через одиничну площадку. Тому

,

де кількість газу, що протікає за одиницю часу через одиничну площадку на відстані від осі труби. Тоді

.

Скористаємось отриманим раніше співвідношенням

і продиференціюємо його по . Тоді

.

Проінтегруємо вираз

.

Константу знайдемо з умови, що при на параболічному розподілі швидкостей екстремум, отже і . Тому

;           .

Звідси знаходимо :

.

Константу знайдемо з умови, що біля внутрішньої стінки трубопроводу газ не тече, тобто . Тоді

.

Вираз для набуває вигляду

.

Давайте згадаємо, що таке . Це та кількість газу, яка протікає через одиницю площі поверхні на відстані від осі трубопроводу. Через кільце шириною на відстані від осі трубопроводу буде протікати кількість газу . Щоб знайти повну кількість, проінтегруємо по всьому перерізу

.

Остаточно маємо формулу Пуазейля

.

Користуючись нею, можна отримати пропускну здатність трубопроводу у ламінарному режимі

.

Ввівши позначення як середнє значення тиску у трубопроводі, маємо пропускну здатність трубопроводу у ламінарному режимі течії

.

Перше, що кидається у вічі – це дуже сильна залежність пропускної здатності труби від її діаметра. Змінивши розмір у 2 рази, ми отримаємо збільшення пропускної здатності (а, відповідно, і кількості газу) у 16 разів. Пряма залежність від середнього значення тиску. Природною є і обернена залежність від в’язкості (що буде швидше протікати через трубу : вода чи масло ?).

3) Крайові кути. Змочування. Умови рівноваги на межі трьох рідин

Нехай є три рідини (або одна з них може бути газом), що не змішуються. Вони попарно межують одна з одною. Межі розділу між цими рідинами є перехідними шарами, у яких діють сили поверхневого натягу. Товщина цих шарів порядку радіуса дії молекулярних сил.

Сили поверхневого натягу намагаються скоротити площу поверхні, оскільки їх пропорційна вільна енергія, яка у стані рівноваги набуває мінімального значення, а процес йде у напрямку зменшення вільної енергії.

Нехтуючи вагою і гідростатичним тиском, запишемо умову рівноваги сил поверхневого натягу у векторному вигляді

.

Геометрично умова рівноваги означає, що із векторів поверхневого натягу можна скласти замкнутий трикутник. Тому кути і , під якими сходяться вектори, однозначно визначаються коефіцієнтами поверхневого натягу , і дають можливість визначити форму межі розподілу рідин. Якщо хоч один вектор не дорівнює сумі двох інших, трикутник не буде замкнутим, і умова рівноваги не буде виконуватись.

Запишемо проекції векторів на горизонтальну вісь

та на вертикальну вісь

.

З них маємо

;     .

З цих рівнянь кути і визначаються однозначно. З першого рівняння можна бачити, що рівновага можлива за умови для модулів векторів

,

оскільки косинуси не можуть перевищувати одиницю. За умови

не існує кутів, за якими можлива рівновага краплі. Вона просто розтечеться між поверхнями у вигляді плівки. Всі наші міркування до такого випадку не придатні. В такому випадку кажуть, що рідина 3 повністю змочується рідиною 2.

Умови рівноваги на межі рідини з іншими середовищами

Розглянемо інший випадок. Крапля рідини лежить на поверхні твердого тіла. У такому випадку ми маємо лише один кут, для визначення якого достатньо одного рівняння – рівності тангенціальних складових сил поверхневого натягу :

,

звідки

.

Отриманий таким чином кут називається крайовим кутом, оскільки це кут між дотичними до поверхонь твердого тіла і рідини у точці дотику їх меж.

Розглянемо різні співвідношення між силами поверхневого натягу на всіх межах.

1. . Тоді кут набуває значення . Крапля 2 частково змочує поверхню твердого тіла.

2. , але . Тоді кут набуває значення . Крапля 2 частково не змочує поверхню твердого тіла. Ця ситуація зображена на другому рисунку.

3. . Тут можна розглянути два підвипадки.

А. , тобто . Кут набуває значення . Крапля 2 не перебуватиме у рівновазі, а розтікатиметься по поверхні твердого тіла. Це явище повного змочування поверхні твердого тіла рідиною.

Б. , тобто . Кут набуває значення . Крапля 2 не перебуватиме у рівновазі, а стягуватиметься у точку на поверхні твердого тіла. Це явище повного незмочування поверхні твердого тіла рідиною.

Явище незмочування має цікаві особливості. Наприклад, змащені жиром голка чи лезо можуть утримуватись на поверхні води. За допомогою решета, нитки якого покриті парафіном, можна носити воду.

Крайові кути розглядають не тільки на плоскій поверхні. Вони виникають і біля стін у посудинах. Ліворуч рідина не змочує стінку посудини, а праворуч – змочує.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3529. Исследование свободных колебаний пружинного маятника 36 KB
  Исследование свободных колебаний пружинного маятника Цель работы: исследование свободных колебаний пружинного маятника. МЕТОД ИЗМЕРЕНИЙ: прямые измерения числа колебаний за определенный промежуток времени, а также измерение амплитуды колебания позво...
3530. Права граждан Европейского Союза 116 KB
  Первые договоры о создании Европейских Сообществ, подписанные в 1951 и 1957 гг., означали старт интеграции в экономической сфере шести стран Европы – Франции, Германии, Италии, Нидерландов, Бельгии и Люксембурга. Данные договоры содержали и часть вопросов социальной защиты, однако они в большей степени носили декларативный характер. Явный приоритет среди социальных прав отдавался праву на труд.
3531. Математический маятник 52.48 KB
  Математический маятник. Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Составляющая веса, перпендикуля...
3532. Определение постоянной Планка 57 KB
  Определение постоянной Планка. Задача: проградуировать монохроматор по излучению ртутной лампы, построить график, из которого найти длину волны, соответствующую границе спектра поглощения. Приборы и принадлежности: универсальный монохроматор, ртутна...
3533. Исследования внешнего фотоэффекта на вакуумном фотоэлементе 49 KB
  Исследования внешнего фотоэффекта на вакуумном фотоэлементе. 1.Цель работы. Экспериментальная проверка основных законов внешнего фотоэффекта, определения постоянной Планка. 1. Указания по организации самостоятельной работы. Внешний фотоэффект принадлежит ...
3534. Определение потенциалов возбуждения и понизации атомов методом Франка и Герца 51.5 KB
  Определение потенциалов возбуждения и понизации атомов методом Франка и Герца. Цель работы. Опытное подтверждение дискретности уровней энергии атомов, определения потенциалов возбуждения и понизации. Указания по организации самостоятельной работы....
3535. Основные признаки политических прав и свобод человека в Российской Федерации 122.84 KB
  Институт прав и свобод является центральным в конституционном праве. Он закрепляет свободу народа и каждого человека от произвола государственной власти. Это сердцевина конституционного строя. Каждый индивид вправе требовать от государства ...
3537. Проблема рассказчика у А.С. Пушкина и Н.В. Гоголя, признанных мастеров слова 477 KB
  Для ценителя и исследователя литературы различие категорий "автор", "образ автора", "лирический герой", "образ рассказчика" очевидно. И все же в нашей работе важно сразу определить данные понятия. Действительно, категории "образ автора", "л...