36504

Обертальний броунівський рух

Шпаргалка

Физика

Такі обертові рухи можна зіставити з коливаннями маленького дзеркальця підвішеного на тонкій пружній дротинці в газі. Величина оскільки дзеркальце рівну кількість разів повертається за годинниковою стрілкою і проти неї тому цим доданком можна знехтувати. Дзеркальце у газі можна розглядати як величезну броунівську частинку так само як і поршень коли ми розглядали газокінетичний зміст температури. Отже за значеннями макроскопічних параметрів якими є температура модуль кручення дротинки та середнє значення квадрату кутового відхилення...

Русский

2013-09-22

244.07 KB

3 чел.

Білет 6

Обертальний броунівський рух

Завислі у рідині чи газі броунівські частинки здійснюють не тільки поступальні переміщення, а й обертові рухи. Аналогія – натовп на ринку. Якщо вас штовхнули у плече, ви обернетесь навколо вертикальної осі.

Такі обертові рухи можна зіставити з коливаннями маленького дзеркальця, підвішеного на тонкій пружній дротинці в газі. Під дією ударів молекул газу дзеркальце здійснює крутильні коливання навколо осі, якою є вертикальна дротинка. Кутове відхилення дзеркальця дуже мале.

Рівняння крутильних коливань дзеркальця знайоме вам із курсу механіки і має вигляд :

,

де момент інерції дзеркальця, момент сил, що виникає за рахунок ударів молекул, модуль кручення дротинки, кутове прискорення. Знак “мінус” показує, що момент сили пружності дротинки намагається повернути дзеркальце в положення рівноваги.

Як і для поступального руху, знайдемо середній квадрат кутового відхилення , оскільки . Помножимо обидві частини рівняння на .

.

Скористаємось тотожностями

,      

звідки

;  .

Підставивши отримані співвідношення у рівняння крутильних коливань, отримаємо

.

Усереднивши за часом, отримаємо

.

Величина , оскільки дзеркальце рівну кількість разів повертається за годинниковою стрілкою і проти неї, тому цим доданком можна знехтувати.

Дзеркальце у газі можна розглядати як величезну броунівську частинку (так само, як і поршень, коли ми розглядали газокінетичний зміст температури). Воно здійснює малі крутильні коливання, які є гармонічними. Величина є середньою кінетичною енергією гармонічних коливань, яка дорівнює . Тоді

.

Оскільки середні значення кінетичної і потенціальної енергії гармонічних коливань однакові, маємо

,

звідки

.

Отже, за значеннями макроскопічних параметрів, якими є температура , модуль кручення дротинки та середнє значення квадрату кутового відхилення , можна з великою точністю визначити сталу Больцмана. Може здатися, що з великою точністю важко виміряти малі кутові відхилення. Але їх можна вимірювати за допомогою променя світла. Мале кутове зміщення приведе до значного лінійного зміщення відбитого променя на великій відстані від дзеркальця.

Абсолютна термодинамічна шкала температур.

Температура є величиною, добре всім відомою у повсякденному житті, але мало хто розуміє, як важко вона піддається фізичному визначенню. Найчастіше для вимірювання температури використовується термометр, який працює на принципі теплового розширення тіл. Процедура градуювання такого термометра виглядає наступним чином. Термометр приводять у контакт з двома різними тілами, які мають різну температуру. Наприклад, із льодом, який тане, і з водою, що кипить при нормальному тискові. Відмічають на шкалі відповідні позначки, а потім поділяють на певне число рівних части, наприклад, на 100. На побутовому рівні точність такого термометра буде достатньою. Але при більш точних вимірюваннях виникне неприємний неврахований факт. Такий спосіб градуювання передбачає, що коефіцієнт теплового розширення речовини є сталим. Насправді це не так, і у кожної речовини коефіцієнт теплового розширення залежить від температури. Тому такі термометри можна використовувати лише у обмеженому діапазоні температур, де коефіцієнт теплового розширення можна вважати сталим.

В 1848 році Вільям Томсон, лорд Кельвін показав, що можна скористатись теоремою Карно для побудови раціональної температурної шкали, яка абсолютно не залежить від індивідуальних особливостей термометричної речовини і будови термометра.

Із теореми Карно випливає, що к.к.д. циклу Карно залежить лише від температур нагрівача і холодильника.

,

де  емпіричні температури нагрівача і холодильника відповідно, виміряні будь-яким із відомих термометрів. це деяка універсальна функція вибраних емпіричних температур . За першою теоремою Карно її вигляд не залежить ні від конструкції машини, ні від робочої речовини. Цим і скористався Томсон, запропонувавши застосувати цикл Карно для побудови температурної шкали.

Для її побудови введемо простішу універсальну функцію температур

.

Цю функцію легко можна представити через попередню

,

але це не обов’язково, нам важливо знати лише те, що вони пов’язані одна із одною.

Визначимо загальний вигляд функції . Для цього візьмемо три теплових резервуари з температурами , які підтримуються сталими. Використавши їх як нагрівачі і холодильники, проведемо три цикли : 1234, 4356, 1256. Для кожного з них можна записати

.

Виключивши із перших двох рівнянь , отримаємо

,

або

,

звідки

.

Це співвідношення вірне при будь-якому значенні . Ліві частини від не залежать, тому і відношення праворуч не може змінюватись з . Тоді універсальну функцію (однакову) у чисельнику і знаменнику можна замінити можна замінити на іншу . Вона буде набувати значення у чисельнику, і у знаменнику. Оскільки функція залежить тільки від температури, вона і сама може бути прийнятою за міру температури тіла. Величину називають абсолютною термодинамічною температурою. Відношення двох термодинамічних температур і   визначається співвідношенням

.

Щоб знайти відношення цих температур, можна в принципі виміряти експериментально кількості теплоти і . Але самі температури при цьому не визначаться однозначно, лише до константи. Щоб визначити термодинамічну температуру однозначно, можна піти двома можливими шляхами.

1. Взяти дві сталі температурні точки, наприклад точку плавлення льоду і нормальну точку кипіння води , а відповідні їм кількості тепла і . Покладемо різницю температур рівною 100 умовних поділок. Кожна така поділка отримала назву градус Кельвіна, а пізніше – просто Кельвін. Із системи рівнянь

можна визначити температури, знаючи кількості тепла. Реально такі виміри не проводились, але шляхом непрямих вимірювань визначили, що 273,15 К, а 373,15 К.

2. Можна умовно приписати певній температурній точці, наприклад, потрійній точці води, фіксоване значення, а потім за формулою

визначити невідому температуру тіла, попередньо провівши цикл Карно між потрійною точкою води і температурою тіла.

Побудована саме таким чином температурна шкала називається абсолютною термодинамічною шкалою температур.

В 1954 році Десята генеральна конференція по мірах і вагам затвердила побудову абсолютної термодинамічної шкали температур за однією реперною точкою. Цією точкою визначили потрійну точку води і приписали їй значення 273,16 К точно.

Легко показати, що введена таким чином температура може бути лише додатною.

Припустимо, що є від’ємна абсолютна температура . Це наш холодильник. У якості нагрівача беремо тіло із додатною температурою . Проведемо цикл Карно між цими температурами. Нагрівач віддає тепло . А що з холодильником.

,

оскільки . Що означає від’ємна кількість теплоти ? Це означає, що холодильник не забирає, а віддає тепло. Робоче тіло отримує тепло і від нагрівача і від холодильника.

За означенням модуля від’ємної величини . Тоді к.к.д. такого циклу буде

.

 Ми отримали вічний двигун другого роду, що суперечить постулату другого начала термодинаміки. Тому від’ємною абсолютна температура бути не може.

Тотожність термодинамічної шкали температур

зі шкалою ідеально-газового термометра

(Сивухин, §32, с.104-108)

Ви вже знайомились із ідеально-газовим термометром. Доведення тотожності абсолютної  термодинамічної шкали температур і шкали ідеально-газового термометра виноситься на самостійне опрацювання.

Для доведення проведемо цикл Карно над одним молем ідеального газу. Знайдемо спочатку кількість теплоти на ізотермі 12. За першим началом термодинаміки . Внутрішня енергія ідеального газу залежить тільки від температури, тому на ізотермі . Тоді

.

Тут температура за ідеально-газовою шкалою. Проінтегрувавши вираз, маємо

.

Аналогічно можна знайти кількість теплоти , яку отримав холодильник у цьому циклі

.

При адіабатичних процесах 23 і 41 газ тепла не отримує і не віддає.

Знайдемо відношення кількостей теплоти, які віддав нагрівач і отримав холодильник :

.

Відношення логарифмів у правій частині дорівнює одиниці. Найпростіше переконатися у цьому у випадку, коли не залежить від температури, використавши рівняння адіабати у вигляді

.

Тоді

.

Розділивши рівняння почленно, маємо

.

Цим співвідношенням ми довели, що

.

Але умова сталості не є обов’язковою. Для доведення у такому випадку скористаємось тим, що при адіабатному процесі

,

звідки

.

Теплоємність ідеального газу залежить тільки від температури, тому при інтегруванні цього рівняння вздовж адіабат 23 і 41 отримаємо однакові результати :

;           ;

;                          .

Проінтегрувавши, отримаємо

;           .

Ми знову прийшли до співвідношення

.

Що воно означає ? Праворуч відношення температур за ідеально-газовою шкалою. Ліворуч – відношення кількостей теплоти, які віддав нагрівач і прийняв холодильник, тобто за означенням відношення температур за абсолютною термодинамічною шкалою . Якщо у них співпаде хоча б одна відлікова точка, то й шкали співпадуть. Оскільки так і роблять, прийнявши за точку відліку потрійну точку води 273,16 К, тотожність обох температурних шкал доведена.

У подальшому, будемо обидві температури позначати однаковою буквою .

Дефекти кристалічної гратки.

 Що ще відрізняє реальні кристали від ідеальних? В реальних кристалах не можна спостерігати той бездоганний порядок, періодичність розташування атомів, які є в ідеальному кристалі. Будь-яке порушення періодичності кристалічної структури називається дефектом. Найбільшим і найочевиднішим дефектом реального кристалу є наявність у ньому поверхні. Її наявність потрібно враховувати, коли приповерхневий об’єм кристалу є співрозмірним із повним об’ємом кристалу, тобто для малих об’єктів.

Крім того, атоми в реальному твердому тілі здійснюють теплові рухи, енергія яких визначається температурою. Цей тепловий рух носить характер коливань і порушує періодичність твердого тіла. Навіть при не дуже високих температурах амплітуда цих коливань становить відсотки по відношенню до міжатомних відстаней. Цим порушенням порядку у кристалі, пов’язаним із тепловими коливаннями атомів, пояснюється той факт, що майже всі фізичні властивості кристалів залежать від температури.

Однак у кристалах є інші дефекти, що не зводяться до теплового руху атомів, хоча в деяких випадках вони з’являються саме за рахунок теплового руху. До таких дефектів відносяться :

1. Точкові дефекти, тобто дефекти, пов’язані з відсутністю окремого атома у гратці, або зайвого окремого атому.

2. Лінійні дефекти, утворені деякою лінійною неоднорідністю у кристалічній гратці, яка називається дислокацією.

3. Планарні дефекти, які можуть утворюватись на первинних стадіях виникнення нової кристалічної структури всередині існуючого кристалу, наприклад, при його перекристалізації.

4. Існують також об’ємні дефекти, а також комбінації усіх перерахованих різновидів.

 Ми розглянемо більш детально перші два типи дефектів – точкові і лінійні. Чому таким важливим є дослідження дефектів у кристалах? Багато фізичних властивостей кристалів визначаються дефектами такою ж мірою, як і природою первинного кристалу. Провідність напівпровідників може цілком залежати від малої кількості домішок. Колір багатьох кристалів також визначається їх дефектами. Люмінесценція кристалів практично завжди пов’язана із домішками. Механічні і пластичні властивості твердих тіл також визначаються дефектами.

Отже, перейдемо до розділу

Вакансії, дефекти за Шотткі і за Френкелем.

Найпростішим дефектом кристалічної гратки є вакансія, яка являє собою вузол кристалічної гратки, в якому відсутній атом. Цей дефект називається дефектом за Шотткі. Візьмемо певний атом і виведемо його, припустимо, на поверхню, або пересунемо на місце іншої вакансії. На його місці залишилась вакансія, причому сусідні атоми також не залишаться на місці, вони змістяться у бік вилученого атома.

На місце утвореної вакансії може перейти атом із сусіднього вузла. Це еквівалентно тому, що вакансія переміщується, виходячи кінець кінцем на поверхню, або заходячи з поверхні у об’єм. Поверхня твердого тіла є стоком та витоком для вакансій. З цими поняттями ви вже зустрічалися, згадайте теорему Гаусса у математичному аналізі.

Число вакансій у кристалі залежить від температури. Із збільшенням температури вони рухаються із поверхні в об’єм, а при зниженні – навпаки, із об’єму на поверхню. Утворення точкового дефекту вимагає витрат енергії, отже з енергетичної точки зору може здаватись невигідним. При фіксованій температурі   умовою рівноваги для кристалу є стан з мінімальною вільною енергією при сталому об’ємі

згідно із принципом Кюрі-Вульфа. Але збільшення числа вакансій збільшує ентропію, тому зменшує вільну енергію.

Знайдемо температурну залежність кількості вакансій у кристалі. Нехай енергія, необхідна для переміщення атому із середини кристалу на його поверхню. Чим більше вакансій, тим більша внутрішня енергія кристалу. Тоді внутрішня енергія , де кількість вакансій.

За формулою Больцмана

,

де статистична вага системи, кількість вузлів у гратці, кількість перестановок зайнятих вузлів, кількість перестановок вакансій, комбінація факторіалів є кількістю сполучень з мікростанів. Тоді вираз для вільної енергії набуває вигляду

.

Знайдемо похідну вільної енергії по кількості вакансій

,

і скористаємось тим, що для великих чисел

.

Тоді

.

 Оскільки рівноважним для кристалу є стан з мінімальною поверхневою енергією, то

,                 отже .

Оскільки ,  

.

Отже, температурний розподіл вакансій у кристалі підпорядковується статистиці Больцмана.

Для міді енергія еВ, при К відношення кількості вакансій до повного числа вузлів .

 Іншим точковим дефектом є дефект за Френкелем. Він являє собою пару – вакансія + атом у міжвузлі. Для щільноупакованих структур, як то гранецентрована кубічна гратка або гексагональна щільноупакована гратка, вихід атома у міжвузля потребує дуже великої енергії. Простір між вузлами малий порівняно із розміром атомів. Тому у щільноупакованих структурах домінуючим є механізм утворення вакансій, тобто дефектів за Шотткі.

Дефекти за Френкелем виникають у кристалів із простими кубічною або гексагональною структурою та ще й при досить високих температурах. Також необхідну енергію для виходу атому у міжвузля атом може отримати зовні, наприклад внаслідок пластичної деформації або за рахунок швидкої частинки, що налітає на атом (це радіаційні дефекти).

Знайдемо, як і для дефектів за Шотткі, температурну залежність кількості дефектів за Френкелем. Нехай є вузлів та міжвузлів, причому , кількість вакансій, а також кількість атомів у міжвузлях, тобто кількість дефектів за Френкелем. Тоді вираз для ентропії набуває вигляду

.

Похідна вільної енергії

.

.

Якщо , тоді

.

Що ще треба зауважити щодо цих типів дефектів. Утворення дефектів за Шотткі збільшує об’єм кристалу, виводячи атоми на поверхню, при сталій масі, отже вакансії, або дефекти за Шотткі зменшують густину кристалу. Дефекти за Френкелем не змінюють об’єму кристалу, вилучені атоми залишаються у тілі кристалу, тому при утворенні дефектів за Френкелем густина залишається незмінною.

Ще дуже побіжно про один тип точкового дефекту. Це сторонні атоми. При вирощуванні кристалу атоми речовини, відмінної від базової, можуть стати у вузлах на місця основних атомів. Незважаючи на те, що поблизу них кристалічна гратка буде деформована (розтягнута у випадку атома більшого розміру, або увігнута, якщо атом малий) загальний об’єм кристалу не зменшиться, але, безумовно, зміниться маса (збільшиться або зменшиться), а отже і густина.

А тепер розглянемо суттєво інший вид дефектів у кристалічній гратці, які не є точковими. Мова буде йти про лінійні дефекти


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28348. Право собственности государственных и муниципальных унитарных предприятий 13.68 KB
  Муниципальные и унитарные предприятия относятся к государственным предприятиям в которых контрольный пакет акций принадлежит государству и находятся на его балансе. Унитарные предприятия передаются государством в полное хозяйственное владение трудовому коллективу. При этом государство не несет никакой ответственности за деятельность созданного им предприятия. Унитарные и МП относятся к государственным бюджетным предприятиям.
28349. Право собственности общественных и религиозных организаций 14.77 KB
  Право собственности общественных и религиозных организаций. Круг субъектов права собственности общественных организаций достаточно широк: это общественные организации общественные движения общественные фонды общественные учреждения органы общественной самодеятельности. Субъектами же права собственности могут выступать лишь общественные объединения обладающие правами юридического лица. Основаниями приобретения права собственности общественных объединений являются: вступительные и членские взносы добровольные взносы и пожертвования...
28350. Наименование места происхождения товара и его гражданско-правовая охрана 14.46 KB
  Наименование места происхождения товара и его гражданскоправовая охрана. Наименование места происхождения товара обозначение представляющее собой либо содержащее современное или историческое наименование страны населенного пункта местности другого географического объекта или производное от такого наименования и ставшее известным в результате его использования в отношении товара особые свойства которого исключительно или главным образом определяются характерными для данного географического объекта природными условиями и или людскими...
28351. Личные неимущественные права: понятие и виды 14.19 KB
  Личные неимущественные права: понятие и виды. Личные неимущественные права в гражданскоправовом смысле представляют собой урегулированные нормами права связи между определенными субъектами по поводу личных неимущественных благ это субъективные права граждан возникающие вследствие регулирования нормами гражданского права личных неимущественных отношений не связанных с имущественными. При характеристике личных неимущественных прав как субъективных гражданских прав необходимо отметить что эти права являются правами строго личного характера....
28352. Право на защиту чести, достоинства и деловой репутации 14.91 KB
  Гражданин вправе требовать по суду опровержения порочащих его честь достоинство и деловую репутацию сведений если распространивший такие сведения не докажет что они соответствуют действительности Порочащими являются такие не соответствующие действительности сведения содержащие утверждения о нарушении гражданином действующего законодательства или моральных принципов которые умаляют его честь и достоинство. Под распространением сведений порочащих честь и достоинство граждан следует понимать опубликование таких сведений в печати...
28353. Гражданско-правовая охрана индивидуальной свободы и личной жизни граждан 14.35 KB
  Гражданскоправовая охрана индивидуальной свободы и личной жизни граждан. Например права направленные на индивидуализацию личности управомоченного лица право на имя право на защиту чести и достоинства и права направленные на обеспечение личной неприкосновенности право на телесную неприкосновенность право на охрану жизни и здоровья право на неприкосновенность личного облика право на неприкосновенность личного изображения. К этим правам относятся: права на неприкосновенность жилища личной документации; право на тайну личной жизни...
28354. Понятие и значение наследования. Основные категории наследственного права 14.46 KB
  Основные категории наследственного права. Особенностью наследственного правопреемства является его универсальность: все права умершего переходят как единое целое причем одновременно и без посредничества третьих лиц. Значение наследования состоит в том что оно является основанием способом возникновения права собственности на чужое имущество. Понятие наследственное право употребляется в двух смыслах: объективном и субъективном: в субъективном смысле это право лица быть признанным к наследованию и его права на имущество после принятия...
28355. Субъекты наследственного правопреемства. Недостойные наследники 14.75 KB
  Граждане и государство могут быть наследниками как по закону так и по завещанию. При наследовании по закону граждане находящиеся в живых к моменту смерти наследодателя а также дети зачатые при его жизни и родившиеся после его смерти; При наследовании по завещанию любые лица находившиеся в живых к моменту смерти наследодателя а также зачатые при его жизни и родившиеся после его смерти. Вопервых не имеют права наследовать ни по закону ни по завещанию граждане которые противозаконными действиями направленными против наследодателя...
28356. Наследство: понятие и состав 14.51 KB
  Наследство: понятие и состав. В его состав согласно ст. Состав наследственного имущества чрезвычайно разнообразен. Включаются в состав наследства средства транспорта а также другое имущество предоставленное государством или муниципальным образованием на льготных условиях наследодателю в связи с его инвалидностью или другими подобными обстоятельствами ст.