36505

Розподіл молекул за абсолютними значеннями швидкості. Функція розподілу Максвелла

Шпаргалка

Физика

Тепер вже швидкість беремо за абсолютним значенням отже вона буде додатньою. Отже на графіку наведені залежності для кількох температур. Отже сформульований постулат стверджує що процес Клаузіуса неможливий. Отже узагальнений постулат ТомсонаПланка “Неможливо створити періодично діючу машину єдиним результатом дії якої було б виконання роботи лише за рахунок охолодження нагрівачаâ€.

Русский

2013-09-22

256.56 KB

4 чел.

Білет №7

  1. Розподіл молекул за абсолютними значеннями швидкості. Функція розподілу Максвелла (див. Білет 1)

Тепер нас не цікавлять напрямки швидкостей. Будемо шукати імовірність того, що абсолютне значення швидкості знаходиться у межах .

У просторі швидкостей проведемо дві сфери радіусами та . Кількість молекул, що попадає у проміжок між сферами,

.

Скористаємось отриманим раніше виразом для густини швидкостей

і підставимо його у рівняння

.

Порівнявши це рівняння із

,

отримаємо

.

Це – функція розподілу молекул за абсолютними швидкостями, отримана Максвеллом. Вона визначає, як ми вже зазначали, частку молекул, швидкості яких попадають в одиничний інтервал швидкостей в околі значення швидкості .

Проаналізуємо аналогічно залежність від . Тепер вже швидкість беремо за абсолютним значенням, отже вона буде додатньою. Площа під кривою знов-таки дасть нам . При функція . Нульової швидкості у молекули газу не повинно бути. Стояти молекулі не дадуть сусіди. Похідна у деякій точці . Можна переконатись, що це максимум. А детальніше ми повернемося до неї у наступному розділі. При   залежність прямує до нуля. Молекул з нескінченною швидкістю не повинно бути.

Отже, на графіку наведені залежності для кількох температур. При зменшенні температури крива звужується, площа під нею залишається сталою. А на що вона перетвориться при ? Вона виродиться у функцію, тобто

,

причому положення піку зміститься до нульового значення швидкості. Фізичний зміст цього – при абсолютному нулі жодна молекула не рухається. Чесно кажучи, і при абсолютному нулі атоми трохи рухаються, це так звані нульові коливання, але ми їх не враховуємо.

  1. Формулювання другого начала термодинаміки за Клаузіусом

та за Томсоном і Планком.

Першим у 1850 році німецький фізик Рудольф Юліус Емануель Клаузіус сформулював постулат другого начала термодинаміки наступним чином :

Перехід тепла від менш нагрітих тіл до більш нагрітих не може відбуватися сам по собі”.

Звертаю вашу увагу : взагалі кажучи, такий перехід можливий, але (повторюю) не сам по собі. Передачу тепла не обов’язково треба здійснювати за допомогою теплового контакту. Наприклад, всі тіла випромінюють та поглинають електромагнітні хвилі. Можна за допомогою лінзи сфокусувати випромінення менш нагрітого тіла і передати таким чином більш нагрітому. Але тут задіяний допоміжний пристрій – лінза. Сутність постулату Клаузіуса полягає як раз у тому, що неможливо будь-яким способом відібрати тепло від тіла менш нагрітого і повністю передати більш нагрітому так, щоб у природі не виникло більше ніяких змін. Будь-який уявний процес, в якому відбувається така передача, називається процесом Клаузіуса. Отже сформульований постулат стверджує, що процес Клаузіуса неможливий.

 В 1851 році Вільям Томсон, що отримав пізніше за свої видатні наукові досягнення титул лорда Кельвіна, інакше сформулював постулат другого начала термодинаміки. Дещо додав до формулювання і Макс Планк. Отже узагальнений постулат Томсона-Планка 

Неможливо створити періодично діючу машину, єдиним результатом дії якої було б виконання роботи лише за рахунок  охолодження нагрівача”.

Вказівка на періодичність дії машини, яку зробив Планк, дуже суттєва. Справді, можливий процес, але не круговий, єдиним результатом якого є піднімання вантажу за рахунок внутрішньої енергії, запозиченої від нагрівача. Планк запропонував наступну модель такого процесу. Припустимо, що у циліндрі під поршнем знаходиться ідеальний газ. На поршні лежить вантаж. Приведемо дно циліндра у тепловий контакт з достатньо великим резервуаром, температура якого перевищує температуру циліндра на нескінченно малу величину. Далі будемо нескінченно малими порціями розвантажувати поршень. Газ буде розширятись ізотермічно, виконуючи роботу по підйому вантажу. Згідно із першим началом термодинаміки

.

Оскільки внутрішня енергія ідеального газу залежить лише від температури, а вона у нас не змінювалась, то .  Все тепло, отримане від резервуара, пішло на виконання роботи по підніманню вантажу. Це не суперечить другому началу термодинаміки, оскільки процес не є круговим, машина не є періодично діючою. Ось якби нам вдалось якось залишити вантаж у піднятому положенні, а газ стиснути поршнем до вихідного стану таким чином, щоб у всіх тілах за винятком теплового резервуара, не відбулося змін, тоді ми прийшли б до суперечності із другим началом термодинаміки, оскільки воно стверджує, що це не можна зробити ніяким чином. Будь-який уявний круговий процес, єдиним результатом дії якого було б виконання роботи лише за рахунок  охолодження нагрівача, називається процесом Томсона-Планка. Отже, сформульований Томсоном і Планком постулат стверджує, що процес Томсона-Планка неможливий.

Отже ми розглянули два формулювання другого начала термодинаміки, які зовні суттєво відмінні. Але сам Томсон стверджував, що його формулювання відрізняється від Клаузіуса лише по формі. І зараз ми покажемо, що вони еквівалентні.

Еквівалентність формулювань Клаузіуса і Томсона-Планка.

Будемо доводити методом від супротивного. Припустимо, що формулювання Томсона-Планка вірне, а Клаузіуса - ні. Тобто існує процес, при якому сам по собі відбувається перехід тепла від менш нагрітого тіла до більш нагрітого.

Візьмемо найпростішу теплову машину, і виконаємо круговий процес. Машина відніме від нагрівача кількість теплоти , передасть холодильнику кількість теплоти і виконає додатну роботу . Далі система повинна повернутися у вихідний стан. Тепло само по собі перейде від холодильника до нагрівача. Отже, ми отримали круговий процес, єдиним результатом якого є виконання роботи за рахунок еквівалентної їй кількості тепла , взятого від нагрівача; ніяких інших змін у природі не відбудеться. А це і є вічний двигун другого роду, існування якого суперечить формулюванню Томсона-Планка, вірність якого ми припустили спочатку. Отже, із вірності формулювання Томсона-Планка випливає і вірність формулювання Клаузіуса.

Давайте тепер припустимо, що формулювання Клаузіуса вірне, а Томсона-Планка – ні, тобто припустимо можливість існування процесу Томсона-Планка, під час якого робота виконується лише за рахунок охолодження нагрівача. Тоді, користуючись цим круговим процесом відберемо від нагрівача кількість теплоти і повністю перетворимо її у роботу. Використаємо цю роботу. Її можна, наприклад, повністю перетворити у тепло  і повернути до нагрівача. Але така машина немає сенсу, оскільки зовнішня робота не виконується. Що буде, якщо частину роботи витратимо не на підвищення температури нагрівача? Процес повинен відбуватись циклічно, тобто періодично повертатись до вихідного стану. Для цього треба підняти температуру нагрівача. Робота вже повністю використана, отже тепло нагрівачу може передати лише холодильник, причому сам по собі. А це суперечить формулюванню Клаузіуса, вірність якого ми припустили. Отже, із вірності формулювання Клаузіуса випливає вірність формулювання Томсона-Планка.

А це дає нам підстави стверджувати еквівалентність обох формулювань.

Подальше вивчення другого начала термодинаміки вимагає введення поняття про оборотні і необоротні процеси.

  1.  Індекси Міллера.

Вам добре відомо із курсу аналітичної геометрії, що через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину. Площина в кристалі, у якій знаходяться, принаймні, три його атоми, називається атомною площиною кристалу. Очевидно, що вектори, проведені між цими атомами, є векторами ґраток. Отже, трансляцією на ці вектори ми можемо розмножити число атомів на цій площині. Тому атомна площина ідеального (а, отже, нескінченного кристала) містить нескінченне число атомів.

Транслюючи атомну площину на вектор трансляції, що не лежить у цій площині, ми отримаємо всю кристалічну гратку. Із трансляційної симетрії кристалу випливає, що ми отримаємо нескінченну кількість атомних площин, паралельних вибраній. Множина паралельних рівновіддалених атомних площин називається сімейством атомних площин.

Анізотропія кристалів, тобто відмінність їх фізичних властивостей у різних кристалографічних напрямках, приводить до того, що різні атомні площини кристала мають різні властивості. Як можна задати розташування різних атомних площин у кристалічній ґратці? Очевидно, для цього потрібно вибрати систему координат і одиниці виміру по осях координат. Виділеними напрямками в кристалі є його осі симетрії. Тому зручним і природним є вибрати напрямок осей координат уздовж осей симетрії кристала.

Давайте розглянемо визначення площин на прикладі кубічного кристалу, оскільки зручніше працювати з декартовою системою координат. Як ми вже зазначали, будь-який кубічний кристал обов'язково має три осі симетрії третього порядку. Осі координат направляють уздовж ребер куба, об'ємні діагоналі якого є осями симетрії третього порядку. На рисунку показані такі осі координат і розташовані на них атоми. Позначимо відстань між найближчими атомами на осі 0x через a. Оскільки кристал має вісь симетрії третього порядку, то такої ж відстані між найближчими атомами і на осях 0y і 0z. Приймемо a за одиницю виміру.  

Нехай якась площина проходить через три атоми на осях координат і відтинає на них три відрізки sxa, sya і sza. Величини sx, sy і sz, природно, – цілі числа, причому можуть бути як додатними, так і від’ємними.

Рівняння площини, яка не паралельна жодній з координатних осей,  має вигляд

.

Вона відтинає на осях відрізки

, де .

Тоді рівняння площини можна записати у вигляді

.

Це канонічне рівняння площини.

Складемо відношення обернених величин відтятих відрізків

і виразимо його через відношення таких трьох найменших цілих чисел h, k і l, що . Числа h, k і l називають індексами Міллера. Прийнято записувати їх у круглих дужках (h k l). Вони задають розташування розглянутої площини.

Наведемо конкретні приклади.

1. Нехай sx=2, sy=3 і sz=1, як це показано на рисунку. Тоді і (h k l) = (326).

2. Тепер визначимо індекси Міллера для затемненої площини на другому рисунку.  Вона перетинає вісь і паралельна осям та . Паралельність еквівалентна тому, що вони перетинаються на нескінченності, отже і (hkl)=(100).

3. Затемнена площина на наступному рисунку має міллеровські індекси (111), тобто .

4. Цікавим є наступний випадок. Зверніть увагу. .  Індекси Міллера такої площини мають вигляд ( ). В останньому випадку означає мінус три і відповідає перетину площиною осі 0z на її від’ємній частині.

А тепер як розв’язати зворотну задачу – відтворити площину за її індексами Міллера? Для того щоб за індексами Міллера (h k l) побудувати обумовлену ними площину досить на осях координат відкласти відрізки , і , а потім через їхні кінці провести шукану площину.  Наприклад, нехай індекси Міллера (hkl)=(112). Записуємо співвідношення , вважаючи відрізок одиничним. Будуємо відрізки на осях та по них проводимо площину, як на останньому рисунку.

Тепер підкреслимо важливу обставину. Очевидно, що одна трійка індексів Міллера визначають не одну атомну площину, а ціле сімейство паралельних площин . Властивості всіх цих площин однакові.

Симетрія може привести до існування декількох сімейств площин, фізичні властивості яких однакові. Наприклад, у кубічному кристалі в площин (100), (010), (001) ( 00), (0 0) і (00) фізичні властивості однакові. До цього приводять осі симетрії третього порядку. Сукупність усіх цих фізично еквівалентних площин позначають у фігурних дужках {100}. У загальному випадку фізично еквівалентні сімейства площин позначають як {h k l.}.

Анізотропія кристалів має на увазі, що їхні властивості  відрізняються у різних напрямках. Ці напрямки також треба задавати. Вектор, що з'єднує початок координат з яким-небудь атомом, можна записати як , де , і є цілі числа. Вони задають напрямок вектора ґратки. Для визначення напрямку вектора досить знать відношення . Це дозволяє для виконання цієї задачі задавати три таких мінімальних числа u, v і w, що задовольняють співвідношенню . При позначенні напрямку ці числа беруть у квадратні дужки [uvw]. Сукупність усіх фізично еквівалентних напрямків позначають . У кубічних кристалах такими є, наприклад, напрямок , тобто [100], [010], [001], [ 00], [0 0] і [00 ], де , як і раніше, означає мінус одиницю.  

У кубічних кристалах напрямок [uvw] перпендикулярний площині (uvw). У кристалах з більш низькою симетрією це звичайно не так.

У гексагональних кристалах вводять чотири індекси Міллера. Три координатні осі направляють у площині основи під кутом 120, а четверту  - вздовж осі симетрії 6 порядку. Для виділених граней індекси Міллера:

 

  

Зверніть увагу, сума перших трьох індексів у гексагональній системі дорівнює нулю. Це є наслідком того, що геометрична сума векторів-ортів у цій площині дорівнює нулю (показати). Отже, у гексагональній структурі не може бути таких площин, як , або .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82953. Проектирование АТП на 320 автомобилей марки МАЗ 537 и КАВЗ-3976 404.15 KB
  Для выполнения технологического расчета автотранспортного предприятия необходимы следующие исходные данные: тип автотранспортного предприятия; списочное количество автомобилей по типам и маркам, среднесуточный пробег автомобиля, км; количество дней работы в году АТП, время работы автомобилей...
82955. Проектирование системы теплоснабжения района города Томск 148.14 KB
  Определить расчетные расходы теплоты на отопление, вентиляцию и горячее водоснабжение района города по укрупненным показателям в зависимости от расчетной температуры наружного воздуха, этажности и нормы расхода теплоты на горячее водоснабжение на одного человека в сутки с учетом общественных...
82956. Банковская система Японии 35.47 KB
  Возникновение первых банков в Японии относится к XVII в., что было обусловлено необходимостью обслуживания банковским капиталом развивающейся торговли, промышленности и сельского хозяйства. В 1617 году в Осака впервые были выпущены бумажные деньги, обеспеченные серебром, и образована Ассоциация банкиров...
82957. Сравнительная характеристика сайтов для просмотра фильмов онлайн 84.98 KB
  На просторах всемирной паутины, если хорошо поискать, то можно найти много интересного. Одним из лакомых кусочков для киноманов является просмотр фильмов онлайн. Конечно, можно скачать новинки мирового кино, применяя скачивание с различных торрентов, но сейчас выпускается так много фильмов...
82958. Построение систем искусственного интеллекта 43.28 KB
  В качестве самостоятельного научного направления искусственный интеллект (ИИ) существует уже более четверти века. Мнение общества, относительно специалистов данной области, постепенно менялось от скепсиса до уважения, и понимания перспектив данной области в будущем.
82959. Демографическая ситуация в России и Удмуртии 37.12 KB
  Изменение населения совершается и путём перехода людей из одного состояния в другое по мере изменения их возраста семейного положения числа детей демографическая мобильность или уровня образования профессии социального положения социальная мобильность.
82960. Этикет стран мира 67.37 KB
  Следует уважать национальные традиции в еде праздники религию и руководство страны в которой Вы находитесь. Следует всегда быть пунктуальным учитывать движение на дорогах и скопление людей на улицах. В любой стране очень важны титулы поэтому ими следует пользоваться.
82961. Германская модель социальной рыночной экономики 43.98 KB
  Предпосылки возникновения в Германии Современная германская экономика Правовые основы. Социальный порядок преследует определенные цели в современной западной экономике в том числе и экономике Германии основными можно определить следующие цели социального порядка: Развитие и совершенствование...