36506

Якісне пояснення температурної залежності теплоємності газів на підставі квантових уявлень

Шпаргалка

Физика

Звідки може брати енергію осцилятор Він її отримує при зіткненнях. Але прийняти будьяку енергію осцилятор не може. Він приймає енергію тільки кратну і переходить на один із наступних енергетичних рівнів на рисунку. Наша молекула зможе прийняти необхідну енергію лише від молекули із заштрихованої області.

Русский

2013-09-22

630.47 KB

3 чел.

Білет №8

1.Якісне пояснення температурної залежності теплоємності газів на підставі квантових уявлень

Деяких недоліків класичної теорії теплоємності дає можливість позбавитись квантова теорія теплоємності. Макс Планк, створюючи теорію випромінювання абсолютно чорного тіла, припустив, що енергія може прийматися і випромінюватись дискретно, фіксованими порціями – квантами. Детальніше з основами квантової теорії ви ознайомитесь у курсах квантової механіки та атомної фізики, а зараз ми скористаємось лише деякими її положеннями.

Згідно із класичною теорією енергії поступального, обертального і коливального рухів двоатомної молекули змінюються неперервно. Їх значення довільні і визначаються температурою.

Квантова теорії не накладає жодних обмежень на поступальний рух молекул, і його можна розглядати з класичної точки зору.

Щодо енергій обертального і коливального рухів, то згідно із квантовою теорією вони змінюються дискретно.

Двоатомна молекула розглядається як квантовий гармонічний осцилятор. Її енергетичний спектр коливань є дискретним і визначається виразом

,

де стала Планка

;      ;

частота коливань атомів у молекулі, коливальне число, яке характеризує енергетичний рівень осцилятора. Якщо число змінюється на одиницю, енергія осцилятора змінюється на

.

Спектр енергій осцилятора рівномірний. Величина називається квантом енергії коливального руху. Найменша енергія , що існує при (тобто при абсолютному нулі), називається нульовою енергією осцилятора, а самі коливання – нульовими коливаннями.

Звідки може брати енергію осцилятор ? Він її отримує при зіткненнях. Але прийняти будь-яку енергію осцилятор не може. Він приймає енергію, тільки кратну , і переходить на один із наступних енергетичних рівнів (на рисунку).

Звернемось до розподілу Больцмана молекул за енергіями. Наша молекула зможе прийняти необхідну енергію лише від молекули із заштрихованої області. Якщо температуру збільшувати, збільшиться середня кінетична енергія поступального руху, отже збільшиться кількість молекул, яка може передати енергію осцилятору.

Можна вважати, що у момент зіткнення енергія теплового руху молекул становить . Якщо , молекули практично не передають енергію осцилятору, тоді можна не враховувати коливальні ступені вільності. Якщо ж , то практично всі молекули передають енергію осцилятору. Для водню передача енергії осцилятору стає суттєвою при 6000 К. Проміжному випадку відповідає зростаюча ділянка між двома сталими рівнями на залежності .

 

Крім коливального, квантується і обертальний рух. При зіткненні молекули передають енергію

,

де момент інерції молекули відносно осі обертання, квантове число. При обертальному рухові спектр енергії не є рівномірним, а відстані між енергіями змінюються за арифметичною прогресією

.

Величина має назву обертальний квант. Спектр обертального руху наведений на рисунку.

Якщо , молекули практично не передають енергію осцилятору, тоді можна не враховувати коливальні ступені вільності. Якщо ж , то практично всі молекули передають енергію осцилятору. Для водню передача енергії осцилятору стає суттєвою при 100 К.

 

Формула Планка для середньої енергії системи осциляторів

Щоб оцінити молярну теплоємність двоатомного газу у рамках квантової теорії, треба знати, який внесок дають поступальний, обертальний і коливальний рух. Поступальний рух не квантується, на кожен ступінь вільності припадає середня кінетична енергія . Нам треба знайти середню енергію, яка припадає на ступінь вільності коливального руху.

Візьмемо газ двоатомних молекул, кількість яких . Будемо вважати двоатомну молекулу лінійним квантовим осцилятором, середня енергія якого дорівнює . Будемо вважати, що квант енергії коливального руху , а на нульовому рівні енергія дорівнює нулю ( нехтуємо на фоні дуже великої кількості молекул). Нехай на рівні енергії знаходиться молекул з енергією (це означає, що молекул мають енергію ). Для визначення кількості молекул на кожному енергетичному рівні скористаємось розподілом Больцмана за енергіями

,

де кількість молекул на нульовому рівні.

Середня енергія осцилятора визначається як

.

Підставимо у вираз значення величин

.

Зробимо наступну заміну змінної

,

тоді

.

Розглянемо окремо чисельний і знаменник. Спочатку знаменник :

.

Цей ряд збігається, якщо . Це означає, що , або . Це не суперечить нашим граничним умовам і , оскільки всі величини не міняють знак. Умова у нас завжди буде виконуватись. Тоді

.

Тепер візьмемось за чисельник

.

Підставимо перетворені ряди у вираз для середньої енергії осцилятора :

.

Перейдемо до позначення :

.

Ми отримали середню енергію квантового осцилятора. Вона залежить від частоти осцилятора і, головне, від температури.

З класичної точки зору на коливальний ступінь вільності припадала середня енергія сумарно від внеску кінетичної і потенціальної енергії.

 

Розглянемо граничні випадки.

1. Область високих температур . Отже

            і             .

Тоді

.

Такий самий результат ми отримали і із класичних уявлень. При високих температурах до коливань молекул можна підходити із класичної точки зору.

2. Область низьких температур . Величина буде дуже великою, і одиницею поряд із нею можна знехтувати. Тоді

.

При низьких температурах коливальні ступені вільності виморожуються, їх енергія прямує до нуля.

3. У проміжних випадках треба користуватись загальною формулою для середньої енергії осцилятора.

  1.  Молекулярний і турбомолекулярний насоси.

Молекулярний насос Геде. Насос був запропонований в 1913 році. Він складається із нерухомого циліндричного статора та циліндричного ротора, який обертається із швидкістю порядку десятків тисяч обертів за хвилину. Проміжок між ротором і виступом статора становить порядку 10 мікрон.  Проміжок дає великий опір, і виникає перепад тисків. Якщо , молекули у проміжку захоплюються ротором, а якщо , тобуде відбиття від стінок, а потім все ж таки буде підхвачений ротором.

Перевагою такого насосу є відсутність робочих рідин, але існує смазка, отже є пари мастила, але це технічна проблема. Розв’язують її, наприклад, магнітною підвіскою деталей.

Основним недоліком є необхідність надзвичайної механічної точності. Оскільки швидкість обертання велика, то биття осі обертання механічно зруйнує конструкцію. Потрапляння пісчинки до механізму також руйнує насос.

Граничний вакуум для молекулярного насосу тор.

Турбомолекулярний насос. Ідею насоса запропонував Баккер в 1958 році. Цей насос нагадує парову турбіну. Його статор і ротор мають розташовані по колу лопатки, нахилені під певним кутом до горизонту. Насос добре працює при міліметрових проміжках між лопатками ротору і статору, тому намає жорстких вимог на його виготовлення.

У молекулярному насосі молекули газу рухаються по колу навколо циліндричного ротора, в десь по дорозі викачуються. У турбомолекулярному насосі молекули рухаються теж по колу, лопатки ротору рухаються із лінійною швидкістю, що набагато перевищує швидкість руху молекул. Молекулам передається імпульс від пластин, і вони рухаються вздовж осі обертання.

Граничний вакуум для турбомолекулярного насосу тор.

  1.  Критичний стан. Критичні параметри

Давайте уважніше розглянемо введений Ендрюсом критичний стан речовини. Нехай є рівняння Ван-дер-Ваальса

.

Будемо вважати, що воно достатньою мірою підтверджено експериментально. Пов’яжемо сталі Ван-дер-Ваальса і із критичними параметрами.

У точці перегину перша і друга похідна повинні дорівнювати нулю. Знайдемо їх. Для цього перепишемо рівняння Ван-дер-Ваальса у такому вигляді

.

Тоді

;           .

У критичному стані

запишемо ці рівняння і поділимо їх почленно одне на друге

Отримаємо

,

звідки знаходимо критичний об’єм – найбільший об’єм рідини для даного стану

.

Підставивши це значення у будь-яке з рівнянь, можемо знайти критичну температуру – температуру, при якій газ не можна зрідити

 

,    звідки    .

Підставивши отримані критичні параметри у рівняння Ван-дер-Ваальса, маємо критичний тиск – найбільший тиск насиченої пари

,                                .

можна вважати не унівесальною газовою сталою, а деякою константою, яку знаходять з експерименту для кращого узгодження теорії і експерименту.

Методи визначення критичних параметрів

Зведене рівняння Ван-дер-Ваальса

Нехай є рівняння Ван-дер-Ваальса

та критичні параметри

;               ;             .

Тепер введемо відносні параметри наступним чином :

відносний тиск

;

відносний об’єм

;

відносна температура

.

Зверніть увагу, що тут , це просто грецький аналог латинського позначення !

Виразимо всі параметри стану через відносні параметри :

;

;

.

Підставивши їх у рівняння Ван-дер-Ваальса

;

,

отримаємо зведене рівняння Ван-дер-Ваальса

.

У такому вигляді рівняння стану не містить ніяких індивідуальних параметрів речовини, воно є узагальненим. (Пам’ятаєте, розподіл Максвелла через відносні швидкості ?) Отже, зведені рівняння стану однакові для всіх речовин. Цей висновок має більш загальний характер, ніж рівняння Ван-дер-Ваальса, з якого він був отриманий.

Це зведене рівняння Ван-дер-Ваальса грунтується на основі закону відповідних станів, який сформулював бельгійський фізик Хеєн. Згідно із цим законом, якщо дві різні за хімічною природою речовини мають два (з трьох) зведених параметрів рівними між собою, то й третій параметр буде однаковим для обох речовин :

; ;       .

За допомогою закону відповідних станів можна обчислити невідомі ізотерми реальних газів, якщо відомі їхні критичні параметри і побудовані ізотерми іншіх газів.

За законом відповідних станів оцінюють температуру і тиск, при яких газ шляхом стискання можна перевести у рідкий стан. Для цього використовують критичні параметри та значення зведених параметрів, при яких інший газ переходить у рідину.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18139. Дисперсия и параметры быстродействия световодов 155.6 KB
  Лекция 5. Дисперсия и параметры быстродействия световодов Одним из важных явлений процесса распространения импульсных сигналов по оптическим кабелям является дисперсия – рассеяние во времени спектральных или модовых составляющих оптического сигнала. В результате д...
18140. Методы стыковки световода с источником излучения (прямая стыковка, применение фоконов) 214.29 KB
  Лекция 6. Методы стыковки световода с источником излучения прямая стыковка применение фоконов Существенный вклад в потери излучения вносит несоответствие параметров излучателя и входных характеристик световода. Основными факторами определяющими потери явля
18141. Ввод излучения в световод с применением микролинз, градиентных и сферических линз 441.39 KB
  Лекция 7. Ввод излучения в световод с применением микролинз градиентных и сферических линз Согласующие устройства с применением микролинз В качестве микролинз в устройствах ввода излучения применяют полусферы и сферы. Схема устройства ввода излучения в световод с
18142. Ввод излучения в световод различными композициями линз. Потери излучения при соединении световодов 346.36 KB
  Лекция 8. Ввод излучения в световод различными композициями линз. Потери излучения при соединении световодов. Расчет длины регенерационного участка. Схема использования двух сферических линз для ввода излучения в световод показана на рисуснке 8.1. Рис. 8.1. Схема ис...
18143. Оценка взаимных влияний световода в оптических кабелях 214.79 KB
  Лекция 10. Оценка взаимных влияний световода в оптических кабелях. Определение помехозащищенности световода. Надежность ВОЛС. Даже при соблюдении явления ПВО часть энергии переходит из сердечника в оболочку световода. Эта энергия уменьшается по экспоненциальному з...
18144. Принципы построения ВОЛС 385.61 KB
  Лекция 11. Принципы построения ВОЛС Для любой ВОЛС большое значение имеют 3 фактора: информационная емкость системы которая определяется числом каналов связи и скоростью передачи информации; затухание сигнала определяющее максимальную длину ВОЛС без ретра...
18145. Методы расчета чувствительности приемного оптического модуля (ПРОМ) 196.27 KB
  Лекция 12. Методы расчета чувствительности приемного оптического модуля ПРОМ Приемный оптический модуль включает: фотодиод pin или лавинный фотодиод; предварительный усилитель; блок автоматической регулировки усиления. Малошумящий усилитель вып...
18146. Принципы действия волоконно-оптических датчиков (ВОД) физических величин 1.24 MB
  Лекция 13. Принципы действия волоконнооптических датчиков ВОД физических величин. ВОД делятся на два типа: датчики в которых волокно используется в качестве линий передачи сигнала; датчики в которых волокно является чувствительным элементом. Датчик
18147. Способы компенсации дрейфа ВОД 2.6 MB
  Лекция 14. Способы компенсации дрейфа ВОД. ВОД для измерения механических величин Недостатком ВОД является дрейф нуля. Известны следующие способы компенсации дрейфа нуля: преобразование переменного тока в постоянный рис.14.1 а. При этом переменная сост