36507

Потік газових молекул на стінку. Закон косинусу

Шпаргалка

Физика

Закон косинусу У багатьох задачах потрібно враховувати кількість молекул що падає на стінку посудини. На стінку впадуть лише ті молекули напрямки яких направлені у бік виділеної ділянки. Нам необхідно знати розподіл молекул за напрямками швидкостей.

Русский

2013-09-22

191.07 KB

5 чел.

Білет №9

  1. Потік газових молекул на стінку. Закон косинусу

У багатьох задачах потрібно враховувати кількість молекул, що падає на стінку посудини. У газі в стані спокою всі напрямки швидкостей рівноімовірні, тобто розподілені у просторі ізотропно. На стінку впадуть лише ті молекули, напрямки яких направлені у бік виділеної ділянки. Нам необхідно знати розподіл молекул за напрямками швидкостей.

Нехай газ знаходиться, як завжди, у якійсь посудині.  Молекули летять у всіх напрямках. Виділимо у просторі тілесний кут . Поставимо питання : у якої кількості молекул напрямок швидкості буде міститися у межах цього тілесного кута ? Оскільки повний тілесний кут, тобто такий кут, що охоплює всі напрямки у просторі, дорівнює , а газ є ізотропним, то

,

або для нескінченно малого тілесного кута :

,

де, нагадую кількість молекул у одиниці об’єму, тобто їх концентрація.

Будемо шукати тільки ті молекули, швидкість яких за абсолютною величиною лежить у проміжку . Давайте перейдемо до сферичних координат і виразимо тілесний кут у цих координатах. Що таке тілесний кут ? Тілесний кут – це частина простору, що міститься всередині замкнутої конічної поверхні. Мірою тілесного кута є відношення площі, вирізаної конусом на сфері із центром у вершині кута, до квадрату радіуса сфери. Виберемо дуже малі кути – тоді немає різниці, якої форми у нас площадка . Насправді вона є кругом, але ми будемо вважати її прямокутною. Тоді

,

звідки отримаємо

,

де полярний (або висотний) кут, азимутальний кут. Це еквівалентно тому, що площину із відрізком повернули на малий кут .

Тепер повернемось до молекул. Знайдемо кількість молекул в одиниці об’єму, які мають швидкість у інтервалі і летять у тілесний кут у межах азимутального кута і полярного кута :

.

Яка кількість молекул, що має швидкість у інтервалі за одиницю часу попаде на площадку у межах азимутального кута і полярного кута ? Побудуємо на базі площадки похилий циліндр довжиною (тому що за одиницю часу). За одиницю часу всі молекули, що знаходяться у цьому похилому циліндрі впадуть на площадку. Тоді кількість ударів, що завдадуть виділені молекули за одиницю часу,

,

де висота циліндру. Звідси

.

Наша кінцева мета – знайти повну кількість молекул, які потрапляють на площадку. Для цього проінтегруємо по всіх змінних

Спочатку по швидкостях :

.

Скористаємось співвідношенням для визначення середньої швидкості

.

Тоді результат інтегрування по швидкостях набуває вигляду

.

Далі інтегруємо по азимутальному куту

.

І, остаточно, інтегруємо по полярному куту

.

Віднісши знайдену кількість молекул до площі площадки, отримаємо

,

або, підставивши значення середньої швидкості , отримаємо

.

Ми знайшли кількість молекул, що падає на 1 см2 поверхні за одиницю часу. Зверніть увагу, за умови термодинамічної рівноваги ця величина є сталою. Вона визначається лише температурою, при якій перебуває газ, кількістю молекул у одиниці об’єму (концентрацією) та масою молекул газу.

А тепер давайте повернемось до результату інтегрування за всіма швидкостями :

і скористаємося знову тим, що . Тоді рівняння набуває вигляду

.

Це рівняння виражає закон косинусу. Ми отримали кількість молекул, які із довільними швидкостями падають на площадку у межах заданих кутів.

Експериментальна перевірка закону косинуса

Експериментально закон косинуса перевіряли наступним чином. У сферичну камеру через вузький отвір впускали молекулярний пучок. Він був напрямлений по діаметру на протилежний бік сфери у малий отвір площею , у якому містився нагрівач. Молекули падали на нагрівач і випаровувались. Сфера була охолоджена, і молекули прилипали до її внутрішньої поверхні. По густині осаду можна було перевірити закон косинуса.

При цьому виходили із наступних міркувань. Виділимо кут . Молекули, що випаровуються під цим кутом, утворюють конус. Візьмемо невеликий приріст цього кута . Молекули у проміжку між конусами з кутами і утворять смугу на сфері площею . Смугу можна вважати циліндричною, тобто площа її бічної поверхні , де висота циліндра, або ширина смуги.

Кут дорівнює саме стільки, оскільки біля нього суміжний тупий кут дорівнює , оскільки він є вершиною рівнобедреного трикутника з кутами при основі .

;      .

Тоді

.

це кількість молекул, що падають на площадку за одиницю часу у межах полярних кутів і :

.

Вираз помножується на , оскільки молекули летять не з однієї точки. А з цієї поверхні.

Знайдемо кількість молекул, що попадають на одиничну площадку

.

Який фізичний зміст цієї величини ? Це густина осаду. Дивіться, який несподіваний результат ми отримали. Густина осаду не залежить від полярного кута, вона повинна бути однакова по всій сфері. Що й було підтверджено на досліді. Оскільки всі міркування робились у рамках закону косинусу, то це й підтвердило його справедливість.

  1.  Рівняння політропного процесу, робота при цьому процесі

Ізотермічний і адіабатний процеси – це процеси ідеалізовані. Один вимагає ідеального контакту з оточуючим середовищем (ізотермічний), другий – ідеальної ізоляції (адіабатний). Обидва ці процеси можна розглядати як граничні випадки більш загального процесу, який називається політропним.

 Політропний процес – це процес, що відбувається у системі із сталою теплоємністю.

Запишемо для нього рівняння. При політропному процесі завдяки переданій кількості теплоти температура системи змінюється на . Мірою цієї теплопередачі є теплоємність

.

За першим началом термодинаміки

.

Скористаємось виразом для ізохорної теплоємності , тоді

;    .

Згідно із рівнянням Клапейрона

;      ;    .

Тоді рівняння набуває вигляду

;          .

Розділимо ліву і праву частинну рівняння на вказану величину

  ,

тоді маємо

.

Позначимо

.

Це показник політропи. У таких позначеннях диференціальне рівняння легко інтегрується

;    ;   .

І остаточно рівняння політропи

.

Як і у випадку адіабатного процесу, його можна записати через інші параметри стану

;

.

Знайдемо роботу ідеального газу при політропному процесі. Нехай параметри стану системи змінюються від до . Із рівняння політропи випливає

,

де під і будемо розуміти проміжні значення тиску і об’єму при переході від початкового до кінцевого стану.

У загальному вигляді робота

.

Оскільки

,

то

;

.

Це загальний вигляд рівняння для роботи політропного процесу. Скориставшись тим, що

,

рівняння для роботи можна переписати у вигляді

.

Покажемо, що за відповідних умов із рівнянь для політропного процесу можна отримати рівняння всіх ізо-процесів.

1. Адіабатний процес . При цьому , і показник політропи

,

а рівняння політропи перетворюється на рівняння адіабати

,

і робота при політропному процесі співпадає з роботою при адіабатному процесі

.

2. Ізохорний процес . Теплоємність при ізохорному процесі визначається як , тоді . Тоді

робота при ізохорному процесі дорівнює нулю.   

3. Ізобарний процес . При сталому тискові , отже . Тоді робота

.

4. Ізотермічний процес . При ізотермічному процесі   за означенням. Тоді , і рівняння ізотерми, а у виразі для роботи

при малих значеннях скористаємось виразом

,

тоді

.

З цією формулою ви вже зустрічались чи у школі, чи на семінарах.

3) Осмос. Осмотичний тиск. Закон Вант-Гоффа. Вплив дисоціації під час розчинення на осмотичний тиск.

Осмос - процес дифузії розчинника із менш концентрованого розчина в більш концентрований розчин.

Суть осмосу. Явище осмосу спостерігається в тих середовищах, де рухливість розчинника більша від рухливості розчинених речовин. Важливим окремим випадком осмосу є осмос через напівпроникну мембрану. Напівпроникними називають мембрани, які мають досить високу проникність не для всіх, а лише для деяких речовин, зокрема, для розчинника. Якщо така мембрана розділяє розчин і чистий розчинник, то концентрація розчинника в розчині виявляється менш високою, оскільки там частина його молекул заміщена на молекули розчиненої речовини. Осмотичний тиск (або дифузний тиск) - термодинамічний параметр, що характеризує прагнення розчину понизити свою концентрацію при зіткненні з чистим розчинником внаслідок зустрічної дифузії молекул розчинника та розчиненої речовини. Це тиск, що здійснює речовина на напівпроникну мембрану.

Якщо розчин відділений від чистого розчинника напівпроникною мембраною, то можлива лише одностороння дифузія - осмотичне всмоктування розчинника крізь мембрану в розчин. У цьому випадку

осмотичний тиск стає доступною для прямого вимірювання величиною, що дорівнює надлишковому тиску, що треба прикласти з боку розчину для вирівнювання кількості розчинника з обох боків напівпроникної мембрани при осмотичній рівновазі. Осмотичний тиск зумовлений зниженням хімічного потенціалу розчинника в присутності розчиненої речовини.

Осмотичний тиск в ідеальних та сильно розбавлених розчинах не залежить від природи розчинника та розчинених речовин, а також від напівпроникної мембрани; при постійній температурі він визначається тільки числом «кінетичних елементів» - іонів, молекул, асоціатів або колоїдних часток - в одиниці об'єму розчину. Осмотичний тиск пропорційний концентрації розчину і обернено пропорційний його об'єму. Також він залежить від температури. Вант-Гофф показав, що зв'язок між цими величинами має вигляд:

- осмотичний тиск, V - об'єм розчину, п - число молів розчиненої речовини, Р - універсальна

газова стала, Т - температура. Закон, що виражає це рівняння, називається законом Вант-Гоффа. Цей закон можна сформулювати ще так: осмотичний тиск, що здійснює розчинена речовина, дорівнює тиску, що створювала б та ж речовина в газоподібному стані в тому ж об'ємі і при тій самій температурі. Закон Вант- Гоффа не справджується в тих випадках, коли розчинена речовина при розчиненні розкладаються на іони (дисоціює). Це відноситься до всіх розчинів кислот, солей та основ.

Вплив дисоціації під час розчинення на осмотичний тиск.

Якщо частинки розчиненої речовини сполучаються між собою, тобто відбувається ЗОолімеризація, то осмотичний тиск зменшується; якщо розчинене тіло розпадається, тобто відбувається дисоціація в розчині, то осмотичний тиск збільшується. В другому випадку (при розпаді на іони - дисоціації) закон Вант-Гоффа виявляється несправедливим. Це стосується всіх розчинів кислот, солей и лугів (електролітів).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30091. Олигофрения 18.9 KB
  а также с резуснесовместимостью крови матери и плода травмой и асфиксией плода в родах перенесёнными менингитомэнцефалитом и т. Имбецильность средняя степень олигофрении слабоумия интеллектуального недоразвития обусловленная задержкой развития мозга плода или ребёнка в первые годы жизни. В ней выделяется 4 степени тяжести олигофрении: Легкая IQ 5070 Умеренная IQ 3550 Тяжелая IQ 2035 Глубокая IQ менее 20 Причинами олигофрении могут служить: наследственные факторы в том числе патология генеративных клеток...
30092. Заде́ржка психи́ческого разви́тия 19.51 KB
  ЗПР нарушение нормального темпа психического развития когда отдельные психические функции память вниманиемышление эмоциональноволевая сфера отстают в своём развитии от принятых психологических норм для данного возраста. ЗПР как психологопедагогический диагноз ставится только в дошкольном и младшем школьном возрасте если к окончанию этого периода остаются признаки недоразвития психических функций то речь идёт уже оконституциональном инфантилизме или об умственной отсталости. Синдром психического инфантилизма Церебрастенический...
30093. Микроцефалия 15.16 KB
  Микроцефалия характерна для таких синдромов как: трисомия по 18 хромосоме синдром Эдвардса трисомия по 13 хромосоме синдром Патау синдром кошачьего крика сидром Миллера синдром ПрадераВилли и др. плодный алкогольный синдром Аутосомнорецессивный тип наследования.
30094. Шизофрени́я 17.6 KB
  У лиц страдающих шизофренией обнаруживается повышенная дофаминергическая активность в мезолимбическом пути и сниженная в мезокортикальном. У больных шизофренией с большой вероятностью диагностируются коморбидные расстройства в их числе депрессии и тревожные расстройства; риск алкоголизма и наркомании составляет около 40 . Повышенный риск самоубийства и проблемы со здоровьем обуславливают снижение продолжительность жизни которая у больных на 1012 лет короче по сравнению с людьми не страдающими шизофренией. Есть также данные о возможной...
30095. Наследственные нарушения органов зрения 20.15 KB
  Аниридия иногда сочетается с передней и задней полярной катарактой подвывихом хрусталика и редко – колобомой хрусталика. Эктопия хрусталика – смещение линзы хрусталика. Наиболее типичным примером является эктопия хрусталика наблюдающаяся при семейнонаследственном поражении всей костномышечной системы которое выражается в удлинении дистальных фаланг пальцев рук и ног удлинении конечностей слабости суставов. В глазах при этом обнаруживается симметричное смещение хрусталика.
30096. Наследственные заболевания органов слуха 12 KB
  Наследственные заболевания органов слуха: Наследственные нарушения слуха возникают под действием генетических факторов в том числе в результате врожденных дефектов. Некоторые исследователи в особую группу факторов снижения слуха выделяют факторы патологического воздействия на орган слуха плода не связанные с генетическим фоном. Несиндромальная форма тугоухости – форма тугоухости при которой снижение слуха не сопровождается другими признаками или заболеваниями других органов и систем которые передавались бы по наследству вместе с...
30097. Сложные сенсорные дефекты при наследственных синдромах 12.17 KB
  Дети с задержкой психического развития которая сочетается с дефектами зрения или слуха; Глухие дети с нарушениями соматического характера врожденные пороки сердца заболевания почек печени желудочнокишечного тракта. Кроме того в дефектологической практике встречаются дети с множественными дефектами. Дети с умственной осталостью слепоглухие; 2. Дети с нарушениями опорнодвигательного аппарата в сочетании с дефектами органов слуха зрения речи или интеллектуальной недостаточностью.
30098. Роль наследственности в паталогии речи 30.74 KB
  Роль наследственности в паталогии речи: Речь как одна из важнейших функций головного мозга не является врожденной как некоторые элементарные формы нервной деятельности а развивается по законам условных рефлексов. Нервные импульсы из области речедвигательного анализатора через черепномозговые нервы приводят в движение органы речи. Итак для нормальной речи и ее развития у ребенка необходимо: а нормальное строение и функция центральной нервной системы и речевых центров; б нормальное состояние органов голосо и речеобразования гортань...
30099. Психогенетические исследования когнитивных фнкций 15.04 KB
  Наименьший коэффициент наследуемости – в изменчивости оценок дивергентного мышления – способности чка генерировать новые идеи альтернативные решения проблем и т. способности близкой к понятию творческости креативности. Максимальное влияние генотипа – в вербальном субтесте – способности к логическому рассуждению в перцептивной скорости и пространственных способностях. когнитивный стиль свидетельствующий о способности чка преодолевать контекст и очевидно являющийся одним из показателей психологической дифференцированности.