36508

Молекулярні пучки. Зміна кількості молекул у пучці

Шпаргалка

Физика

Зміна кількості молекул у пучці внаслідок зіткнень з молекулами газу Нехай маємо джерело молекулярного пучка. Нагадаю : молекулярний пучок це вузький різко окреслений струмінь атомів що рухаються в одному напрямку і не взаємодіють між собою. Молекулярний пучок рухається у газі вздовж осі .

Русский

2013-09-22

188.18 KB

5 чел.

Білет №10

  1. Молекулярні пучки. Зміна кількості молекул у пучці

внаслідок зіткнень з молекулами газу

Нехай маємо джерело молекулярного пучка. Нагадаю : молекулярний пучок – це вузький, різко окреслений струмінь атомів, що рухаються в одному напрямку і не взаємодіють між собою.  

Молекулярний пучок рухається у газі вздовж осі . На виході із джерела кількість молекул у ньому дорівнює . Рухаючись у газі, деякі молекули зазнають зіткнень, змінюють напрямок руху, і кількість молекул у пучці зменшується. Кажуть, що зменшується інтенсивність пучка. Нашою задачею є знаходження закону зміни інтенсивності молекулярного пучка.

 

Введемо позначення :

кількість молекул, що дійшла до ділянки на осі ;

зміна кількості молекул у пучці на протязі ділянки за рахунок зіткнень, або кількість зіткнень на ділянці .

кількість зіткнень, які зазнають молекули пучка на ділянці , тобто імовірність зіткнення на ділянці .

відносне зменшення кількості молекул при проходженні ділянки , або, що те ж саме, імовірність зіткнення на ділянці .

Оскільки дві останні відношення мають один і той же фізичний зміст, це дає нам можливість записати рівняння

.

Знак “мінус”, оскільки кількість молекул зменшується. Проінтегрувавши

,

отримаємо закон зміни інтенсивності молекулярного пучка

.

Інтенсивність пучка зменшується з відстанню експоненціально. Якщо ми підставимо цей вираз у вихідне рівняння, буде

.

Ми отримали імовірність розсіяння для молекули у проміжку . Ця імовірність визначається добутком ймовірностей двох незалежних подій для молекули – не розсіятись на шляху до (множник ), та розсіятись саме на ділянці (множник ).

2. Молекулярний режим течії. Формули Кнудсена

Тепер перейдемо до третього режиму течії газів – молекулярного, який має місце у ультрарозрідженому газі, який ще має назву ефекту Кнудсена. Він має місце, коли довжина вільного пробігу зрівнюється з характеристичними розмірами системи або стає більше за них. Зіткнень між молекулами немає, лише із стінками трубопроводу.

Розглянемо трубопровід у режимі молекулярної течії. Його довжина набагато більше діаметру. Між собою молекули практично не взаємодіють. Молекула попадає у трубопровід і відбивається від його внутрішньої поверхні за законом косинусу.

Відбившись від площадки , частина молекул полетить у бік виділеної площадки , на яку спирається тілесний кут , направлений під кутом до нормалі. Кількість молекул, що попадуть з площадки на площадку визначаємо як

.

Щоб знайти всі молекули, що проходять через трубопровід за одиницю часу, треба проінтегрувати по всій площі внутрішньої поверхні трубопроводу (це буде повний потік, що проходить через площадку ), а потім проінтегрувати по всьому перерізу трубопроводу.

Задачу про знаходження потоку молекул на стінку ми вже розв’язували, це закон косинуса. Нехай трубопровід з’єднує два об’єми, і на його кінцях тиски відповідно і . Припустимо, що через один кінець до трубопроводу поступає за одиницю часу

молекул, а через другий – , причому

;   ,

де площа перерізу трубопроводу, а температуру вважаємо однаковою, тому однаковою є і швидкість молекул.

Сумарний потік тоді визначається як

.

І все здавалося б добре, але, як виявилось, все це справедливо лише для труби нульової довжини, тобто діафрагми.

Експериментально було встановлено, що у молекулярному режимі значна кількість молекул, вдарившись об стінку, повертає назад, оскільки стінки труби не дзеркально шліфовані. Тобто кількість молекул, що проходить, залежить від параметрів трубопроводу, тобто від його діаметру та довжини. Із найзагальніших міркувань можна очікувати, що чим більшим буде переріз трубопроводу, тим більшим буде і потік молекул . Крім того, той факт, що велика кількість молекул повертає назад після зіткнення із стінкою, наводить на думку, що потік молекул буде тим меншим, чим більшою буде площа внутрішньої поверхні труби (, де периметр перерізу труби; у випадку круглого перерізу ).

Отже, для трубопроводу скінченої довжини потік молекул через нього за одиницю часу визначається як

,

де деякий числовий множник.

Запишемо повну кількість газу, що пройшла трубу, перейшовши від концентрацій до тисків :

.

.

Кількість газу ми знайшли, а тепер згадаємо, власне, що визначає властивість трубопроводу ? Пропускна здатність :

.

Точні розрахунки показали, що

.

Що ще можна врахувати. Середня швидкість . Площа перерізу . Периметр трубопроводу (вважаємо його круглим) . Підставивши все це, отримаємо

.

Остаточно отримали

формулу Кнудсена для пропускної здатності трубопроводу певної довжини при молекулярній течії газу.

Що цікавого у цій формулі ? По-перше, на відміну від ламінарного режиму, при якому пропускна здатність

,

де , залежить від тиску, принаймні середнього по трубопроводу, при молекулярному режимі течії газу пропускна здатність від тиску не залежить. Це є прямим наслідком того, що перестає залежати від тиску довжина вільного пробігу молекул. Вона прямопропорційна третій степені діаметру трубопроводу і обернено пропорційна його довжині, що теж узгоджується із нашими попередніми міркуваннями.

Крім того, пропускна здатність пов’язана із молекулярними властивостями газу (температурою та масою молекул).

А якщо взяти трубопровід нульової довжини, тобто діафрагму. Ми повернемось до рівняння потоків

.

Перейшовши до кількості газу і тисків, маємо

.

Звідси отримаємо формулу Кнудсена для пропускної здатності діафрагми

;

.

Можна було очікувати, що пропускна здатність діафрагми залежить лише від діаметру її отвору.

І останнє, що хотілося б визначити, розглядаючи молекулярну течію газу – швидкість відкачки із об’єму при молекулярній течії газу.

Знову звернемось до рівняння

,

яке перепишемо у вигляді

,

де кількість газу, що натікає за одиницю часу у об’єм. Розв’язати це рівняння не становить проблеми, якщо вважати, що молекулярна течія вже встановилась. Тоді

.

Кількість газу, що натікає, одразу буде пропускатись трубопроводом, тому

,

де атмосферний тиск; тиск у системі, їм можна знехтувати у порівнянні з атмосферним тиском.

Оскільки атмосферний тиск є сталою величиною, а пропускна здатність трубопроводу не залежить від тиску згідно із формулою Кнудсена для молекулярної течії газу, то й .

Перепишемо рівняння стану вакуумної системи як

.

З відношенням ми вже зустрічались, це граничний вакуум . Тоді

;   ;   .

Розділимо змінні у диференціальному рівнянні

,

тоді

.

При тиск вважаємо початковим , тоді , а

.

Можна визначити сталу часу для відкачки, як таку, коли різниця тисків по відношенню до граничного зміниться у разів. Її значення становить

.

3. Поверхнева енергія і зовнішня форма кристала.  Закон Кюрі та Вульфа.

 Розглянувши деякі властивості кристалів, давайте познайомимось із тим, як, власне, утворюються кристали. Процес кристалізації – це утворення кристалів при переході речовини із термодинамічно менш стійкого стану у більш стійкий. Середовищем, з якого росте кристал, можуть бути переохолоджена пара або рідина чистої речовини, пересичений розчин або розплав даної речовини у іншій, кристалічне середовище іншої модифікації, ніж вирощуваний кристал, та інші. З фізико-хімічної точки зору кристалізація – це фазовий перехід від нестабільного некристалічного або кристалічного стану до стійкого, стабільного кристалічного стану. З кристалографічної точки зору є важливим те, що внаслідок кристалізації і зворотного процесу – декристалізації чи плавлення – речовина набуває суттєво відмінної атомно-молекулярної структури та нових фізичних властивостей, але при цьому не відбувається ніяких різко виражених хімічних змін. Яскравим прикладом такого взаємного перетворення є вода і лід. Вони складаються із однакових молекул H2O і в хімічному відношенні мало відрізняються одне від одного. Але у воді існує лише близький порядок, молекули неперервно рухаються, а у льоді вони жорстко пов’язані у кристалічну гратку. По своїм фізичним властивостям (механічним, оптичним) вода і лід відрізняються дуже суттєво.

Те ж саме стосується і відносно взаємних переходів алмазу і графіту. Хімічні властивості вуглецю мають обидві речовини, а структура і фізичні властивості дуже відмінні. Графіт має гексагональну структуру, алмаз – кубічну. Графіт – крихкий, твердість алмазу загальновідома.

Найчастіше кристал вирощують із деякої затравки (зародка), зануреної у переохолоджене середовище. Таким зародком може бути або частинка кристалу даної речовини, або ж іншого кристалу із близькою структурою. Ще й досі дискутується питання про зародження кристалів, яке відбувається само по собі, за повної відсутності зародків, шляхом випадкового, флуктуаційного з’єднання багатьох молекул або груп молекул при тепловому рухові у вихідному середовищі. Хоч нічого неймовірного у існуванні такого процесу немає, досі немає реального підтвердження, що затравка утворюється сама по собі, а не існувала десь у середовищі.

Так чи інакше кристал, що зародився, продовжує рости і отримує властиву йому багатогранну форму. На тому, як саме відбувається ріст кристалу, ми зупинятися не будемо, а розглянемо, чому ж саме таку правильну форму має кристал.

Кристали можуть мати рівноважну і нерівноважну форму. Під кристалом рівноважної форми мається на увазі кристал, який не може змінювати свою форму, коли знаходиться як завгодно довго у власному розплаві при температурі плавлення, яка відповідає даному незмінному тискові, або при заданих температурі і тискові у насиченому розчині. Згідно із принципом, який у літературі західній називається принципом Кюрі, в радянській літературі – Кюрі і Вульфа, а в ФЕС – принципом Гіббса, Кюрі і Вульфа (не дивуйтеся, зустрівши різні назви), кристал рівноважної форми повинен при заданому об’ємі мати мінімальну поверхневу енергію.

Що являє собою поверхнева енергія? Поверхнева енергія – це надлишок енергії поверхневого шару на межі розділу фаз, зумовлений різницею міжмолекулярної взаємодії в обох фазах. Робота, що витрачається на створення одиниці площі поверхні розділу фаз у оборотному ізотермічному процесі, визначає питому вільну поверхневу енергію. Поверхнева енергія (як і внутрішня енергія, якою вона фактично є) визначається відомим рівнянням Гіббса-Гельмгольца через вільну енергію

.

Межу розподілу фаз можна вважати тонкою плівкою, для якої вільна енергія , де коефіцієнт поверхневого натягу, а площа плівки. Це дає нам можливість перейти до питомих величин :

,

де – питома поверхнева енергія. Оскільки процес у нас ізотермічний, , і питома поверхнева енергія являє собою коефіцієнт поверхневого натягу.

З означення поверхневої енергії випливає, що поверхнева енергія пропорційна площі поверхні розподілу фаз. Отже, принцип Кюрі і Вульфа можна записати у вигляді

,

де питома поверхнева енергія (коефіцієнт поверхневого натягу), площа поверхні грані. Цю умову треба розуміти так, що коли при зростанні кристал набуватиме певного об’єму, він буде геометрично (просторово) формуватись таким чином, щоб вільна енергія була якнайменшою.

Можемо уявити собі кристал як систему пірамід. Тоді його об’єм записується як

,

або, якщо згадати теорему з геометрії, виділені таким чином площі відносяться як квадрати відстані, то можна записати і так: (вище). Тоді вираз для вільної поверхневої енергії перепишеться у вигляді

.

У нас накладаються умови

,

тобто мінімум поверхневої енергії та сталість об’єму.

Підставимо вирази у систему рівнянь

.

Порівнявши рівняння, отримаємо закон Кюрі   

.

Що це означає на практиці? Якщо поверхневий натяг на одній з граней набагато більший, ніж на інших, , то вона буде швидше рости, отже відстань до грані згідно із принципом Кюрі-Вульфа . І кінець-кінцем, вона заросте.