36511

Загальне рівняння для явищ переносу

Шпаргалка

Физика

Запишемо кількість молекул які налітають за одиницю часу на площадку із швидкостями у інтервалі і у межах полярних кутів . Тому записуючи кількість молекул ми додаємо ще два імовірнісні множники . Позначимо кількість величини що переноситься зліва направо через площадку тими молекулами які летять у межах кутів з відстані . Ця кількість буде визначатись добутком значення величини що переносить кожна молекула на кількість молекул : .

Русский

2013-09-22

184.28 KB

2 чел.

(БІЛЕТ №13)

1)  Загальне рівняння для явищ переносу.

Візьмемо ідеальний газ. У ньому проведемо вісь . Розглянемо площадку площею , перпендикулярну осі. Молекули газу рухаються хаотично, зазнають зіткнень, обмінюються імпульсом, енергією, і перетинають виділену площадку у всіх напрямках.

Давайте припустимо, що є деяка фізична величина, яка у напрямку осі змінюється як . Це може бути маса, енергія або температура, імпульс тощо. Розглянемо, як молекули газу переносять цю фізичну величину через виділену площадку .

Фізична величина, яка переноситься, має значення, якого набула у точці, з координатою місця останнього зіткнення. Це відбувається тому, що в точці останнього зіткнення молекули останній раз змінюють енергію, імпульс тощо. Приймаємо як аксіому, що за проміжок часу після зіткнення і до проходу через виділену площадку з молекулою більше нічого не відбувається.

Будемо вважати, що площадка розташована у місці з координатою . Нехай відстань до площадки від місця останнього зіткнення. Проекцію координати цієї точки позначимо . Після зіткнення молекула налітає на площадку під деяким кутом (кут відраховуємо від нормалі до площадки).

Через площадку молекула перенесе фізичну величину

.

Будемо вважати, що мала величина, і позначимо її

.

Розкладемо в ряд величину :

.

Ми використовуємо не частинну похідну, а повну, оскільки величина у нас змінюється лише в одному напрямку.

Тепер давайте згадаємо задачу про потік газових молекул на стінку і закон косинуса. Молекули звідусіль летять на площадку. Це потік ? Потік.

Запишемо кількість молекул, які налітають за одиницю часу на площадку , із швидкостями у інтервалі і у межах полярних кутів

.

Ці молекули будуть лежати між двома конусами, у заштрихованій частині. Інтегрування по азимутальному куту вже проведено.

Ми розглядатимемо простір не швидкостей, а координат, тому можна перейти до кількості молекул, що зазнали зіткнень на відстані від площадки. Така заміна цілком правомірна, оскільки всі зміни величин ми беремо за одиницю часу, отже тут відстань і швидкість абсолютно еквівалентні. Тоді

.

І останнє, що нам залишилося зробити, це використати набуті на минулій лекції знання про зіткнення. Безумовно, не всі молекули, що летять у напрямку площадки пройдуть через неї. Частина з них розсіється раніше. Ми повинні врахувати імовірність того, що частинка дійде на відстань до площадки і зазнає зіткнення у проміжку відстаней . Тому записуючи кількість молекул, ми додаємо ще два імовірнісні множники

.

Молекули у нас проходять через площадку як зліва направо, так і у протилежному напрямку. Позначимо

кількість величини , що переноситься зліва направо через площадку тими молекулами, які летять у межах кутів з відстані .

Ця кількість буде визначатись добутком значення величини, що переносить кожна молекула, на кількість молекул :

.

Скориставшись розкладом величини у ряд, перепишемо

.

Будемо шукати повне значення фізичної величини, що переноситься через площадку зліва направо. Для цього переходимо до звичної процедури інтегрування. Спочатку проінтегруємо по полярному куту

Підставивши межі інтегрування, отримаємо кількість молекул, що з усіх напрямків летять на площадку з відстані від неї

.

Далі інтегруємо по всім відстаням

Остаточно, повна кількість величини, що переноситься через площадку за одиницю часу зліва направо, становить

.

Тепер врахуємо молекули, які переносять величину справа наліво. Нехай останнє зіткнення молекули відбулось на відстані від площадки, проекція на вісь координати точки зіткнення , а перенесе молекула величину . Повністю повторивши процедуру інтегрування, отримаємо повну кількість величини, що переноситься через площадку за одиницю часу справа наліво,

.

Тоді повна кількість величини через площадку за одиницю часу визначається як різниця кількостей в обох напрямках з урахуванням знаку . І остаточно

маємо основне рівняння процесів переносу у газах.

Подивіться, що ж ми отримали. Подивіться уважно на формулу. Давайте візьмемо одиничну площу. У нас є якась кількість величини, що проходить за одинцю часу через одиницю площі поверхні. За означенням це – потік. Потік величини пропорційний градієнту цієї ж величини вздовж розглянутого напрямку.

Цей потік буде тим більший, чим більшими будуть концентрація молекул, їх швидкість та довжина вільного пробігу. А кількість величини, що перенесеться буде збільшуватись із збільшенням площі площадки.

Чому знак мінус ? Тому що напрямок градієнту (це вектор) і напрямок переносу не співпадають. Переніс іде у напрямку зменшення величини.

2) Кількісне формулювання другого начала термодинаміки. Нерівність Клаузіуса.

Давайте знову повернемось до другої теореми Карно : К.к.д. теплової машини, яка працює за необоротним циклом Карно, не може перевищувати к.к.д. машини, яка працює за оборотним циклом між тими ж нагрівачем і холодильником.

Тобто

,

де абсолютна термодинамічна температура.

Перепишемо це співвідношення у іншому вигляді

;        ,

звідки маємо

.

Відношення за Лоренцом називають зведеною теплотою (приведённая теплота).

Давайте ще раз згадаємо, що таке і . це кількість теплоти, яку отримало робоче тіло; це кількість теплоти, яку віддає робоче тіло. По аналогії з тим, як ми вводили знак роботи (додатна робота, яку виконує тіло; від’ємна робота, яку виконують над тілом), будемо вважати, що якщо тіло отримує тепло, то кількість теплоти додатна, а якщо віддає – то від’ємна. У нашому випадку , а . Тоді можна записати

,

маючи на увазі, що .

Нехай у нас є не один, а кілька циклів Карно, кожен з яких відбувається між своїми температурами нагрівача і холодильника. Тоді для всіх цих циклів можна записати очевидне співвідношення

сума зведених теплот всіх циклів є величиною не додатною. Отримана нерівність є частинним випадком нерівності Клаузіуса, загальний вигляд якої ми отримаємо трохи пізніше. Оскільки ця нерівність є наслідком другого начала термодинаміки, вона ж може розглядатись як частинний випадок кількісного формулювання другого начала термодинаміки.

Тепер подивимось, як брати таку суму. Ми вже робили аналогічну процедуру, коли доводили третю теорему Карно. Цикли у нас складаються з ізотерм і адіабат. На адіабаті кількість теплоти дорівнює нулю. Що стосується ізотерм, то внутрішні ізотерми будуть проходитись у протилежних напрямках у сусідніх циклах, що дасть однакову кількість теплоти, але з протилежними знаками. В сумі ця кількість теплоти також дорівнюватиме нулю. Отже, внесок дає лише зовнішній контур набору циклів, та й то лише ізотерми (нагадую, на адіабатах кількість тепла не змінюється).

Давайте позбудемось обмеження, що цикл обов’язково повинен бути циклом Карно. Візьмемо абсолютно довільний циклічний процес. Проведемо густу сітку адіабат та ізотерм. Вони розіб’ють цикл на сукупність циклів Карно. Якщо перейти у граничному випадку до нескінченно густої сітки, отримаємо сукупність нескінченно малих циклів Карно. Ними ми повністю відтворимо наш довільний цикл. Для них так само треба враховувати тільки зовнішній периметр, а отже сума перетвориться на інтеграл по замкнутому контуру

.

Отримана нерівність є нерівність Клаузіуса. Інтеграл зведеної теплоти у будь-якому циклічному процесі не може бути додатною величиною. Образно можна сказати, що нерівність Клаузіуса математичною мовою виражає той факт, що теплові машини, як і все у цьому світі, недосконалі.

Ця нерівність також може розглядатись як кількісне формулювання другого начала термодинаміки, хоча теж не найзагальніше. Вона стосується циклу, але не всі процеси у природі є циклічними.

Давайте знову повернемось до необоротного процесу. А також до звичних координат . Нехай у результаті необоротного процесу система перейшла із початкового стану 1 у рівноважний стан 2. Чи можна зобразити графічно необоротний процес ? Ні, зобразити можна лише процес, який відтворюється. А необоротний процес щоразу щось змінює у оточуючому середовищі. Тому необоротний процес зобразити неможливо. Ми його проведемо умовно штриховою лінією. Після закінчення необоротного процесу ми повернемо систему у вихідний стан за допомогою оборотного процесу. Він зображений суцільною лінією. Отриманий процес є необоротним, оскільки необоротною є його частина (спросить !).

Запишемо нерівність Клаузіуса для такого необоротного колового процесу :

.

Розіб’ємо коловий інтеграл на два :

.

Другий доданок виражає зміну ентропії системи при оборотному процесі, тобто

.

Тоді нерівність Клаузіуса набуває вигляду

,

або

.

Отримана нерівність є нарешті кількісним формулюванням другого начала термодинаміки. Хоча треба зазначити, що і з цим формулюванням не все гаразд. Обмеження виникає через наявність інтегралу, оскільки ми прив’язуємось до форми шляху. Остаточно, найбільш загальним є кількісне формулювання другого начала термодинаміки у диференціальній формі (оскільки ентропія є функцією стану за означенням, то беремо її повний диференціал) :

.

Зміна ентропії завжди не менша за кількість зведеної теплоти. Знак рівності відноситься  до оборотних процесів, а знак нерівності до необоротних процесів. А для циклічного (колового) процесу

,

що має прозорий зміст, оскільки ентропія є функцією стану, то коли ми повертаємось у вихідний стан, то й ентропія повертається до вихідного значення.

Об’єднавши вирази для першого і другого начал термодинаміки можемо записати нерівність

.

Цей вираз є математичним записом основного рівняння термодинаміки, яке об’єднує перше і друге начала термодинаміки.

3) Крайові кути. Змочування. Умови рівноваги на межі трьох рідин

Нехай є три рідини (або одна з них може бути газом), що не змішуються. Вони попарно межують одна з одною. Межі розділу між цими рідинами є перехідними шарами, у яких діють сили поверхневого натягу. Товщина цих шарів порядку радіуса дії молекулярних сил.

Сили поверхневого натягу намагаються скоротити площу поверхні, оскільки їх пропорційна вільна енергія, яка у стані рівноваги набуває мінімального значення, а процес йде у напрямку зменшення вільної енергії.

Нехтуючи вагою і гідростатичним тиском, запишемо умову рівноваги сил поверхневого натягу у векторному вигляді

.

Геометрично умова рівноваги означає, що із векторів поверхневого натягу можна скласти замкнутий трикутник. Тому кути і , під якими сходяться вектори, однозначно визначаються коефіцієнтами поверхневого натягу , і дають можливість визначити форму межі розподілу рідин. Якщо хоч один вектор не дорівнює сумі двох інших, трикутник не буде замкнутим, і умова рівноваги не буде виконуватись.

Запишемо проекції векторів на горизонтальну вісь

та на вертикальну вісь

.

З них маємо

;     .

З цих рівнянь кути і визначаються однозначно. З першого рівняння можна бачити, що рівновага можлива за умови для модулів векторів

,

оскільки косинуси не можуть перевищувати одиницю. За умови

не існує кутів, за якими можлива рівновага краплі. Вона просто розтечеться між поверхнями у вигляді плівки. Всі наші міркування до такого випадку не придатні. В такому випадку кажуть, що рідина 3 повністю змочується рідиною 2.

Умови рівноваги на межі рідини з іншими середовищами

Розглянемо інший випадок. Крапля рідини лежить на поверхні твердого тіла. У такому випадку ми маємо лише один кут, для визначення якого достатньо одного рівняння – рівності тангенціальних складових сил поверхневого натягу :

,

звідки

.

Отриманий таким чином кут називається крайовим кутом, оскільки це кут між дотичними до поверхонь твердого тіла і рідини у точці дотику їх меж.

Розглянемо різні співвідношення між силами поверхневого натягу на всіх межах.

1. . Тоді кут набуває значення . Крапля 2 частково змочує поверхню твердого тіла.

2. , але . Тоді кут набуває значення . Крапля 2 частково не змочує поверхню твердого тіла. Ця ситуація зображена на другому рисунку.

3. . Тут можна розглянути два підвипадки.

А. , тобто . Кут набуває значення . Крапля 2 не перебуватиме у рівновазі, а розтікатиметься по поверхні твердого тіла. Це явище повного змочування поверхні твердого тіла рідиною.

Б. , тобто . Кут набуває значення . Крапля 2 не перебуватиме у рівновазі, а стягуватиметься у точку на поверхні твердого тіла. Це явище повного незмочування поверхні твердого тіла рідиною.

Явище незмочування має цікаві особливості. Наприклад, змащені жиром голка чи лезо можуть утримуватись на поверхні води. За допомогою решета, нитки якого покриті парафіном, можна носити воду.

Крайові кути розглядають не тільки на плоскій поверхні. Вони виникають і біля стін у посудинах. Ліворуч рідина не змочує стінку посудини, а праворуч – змочує.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4501. Команды пересылки данных на языке ассемблер 57.22 KB
  Команды пересылки данных на языке ассемблер Для удобства практического применения и отражения их специфики команды данной группы удобнее рассматривать в соответствии с их функциональным назначением, согласно которому их можно разбить на следующие гр...
4502. Команды передачи управления на языке ассемблера 45.32 KB
  Команды передачи управления на языке ассемблера На предыдущих уроках мы познакомились с некоторыми командами, из которых формируются линейные участки программы. Каждая из них в общем случае выполняет некоторые действия по преобразованию или пересылк...
4503. Цепочечные команды в языке ассемблер 63.95 KB
  Цепочечные команды в языке ассемблер Эти команды также называют командами обработки строк символов. Названия почти синонимичны. Отличие в том, что под строкой символов здесь понимается последовательность байт, а цепочка — это более общее назван...
4504. Путеводитель по философии: версия Секацкого 401 KB
  Путеводитель по философии: версия Секацкого. 1. Отправляясь в путь. Путеводители предназначены для заезжих и праздных гостей, для посетителей. Сегодня, по большей части, - для туристов, в связи с чем идея путеводителя оказалась столь же дискредитиро...
4505. Бертран Рассел о философии (из книги История западной философии Рассел Б.) 33.5 KB
  Бертран Рассел о философии (из книги История западной философии Рассел Б.) Концепции жизни и мира, которые мы называем философскими, являются продуктом двух факторов: один из них представляет собой унаследованные религиозные и этические концепции,...
4506. Введение в философию 191.5 KB
  Введение в философию Предназначенные как читателю, так и самому себе Иногда говорят, что философия – не школьная наука. Ее - де может постичь только человек, умудренный жизненным опытом и долгими размышлениями. Конечно, ни то, ни другое не помеша...
4508. Разработка Windows-программ. Знакомство с Delphi 75.13 KB
  Разработка Windows-программ. Знакомство с Delphi Основой системы разработки является VCL. Визуальный конструктор форм позволяет брать компоненты-заготовки из палитры компонентов, размещать на форму, изменять свойства, добавлять методы обработки собы...
4509. Проектирование смесительных производств 2.79 MB
  Введение Технология строительных материалов, изделий и конструкций включает стадию приготовления многообразных видов формовочных смесей. В частности, технология бетона и железобетона предусматривает возможности изготовления тяжелого, легкого...