36512

Ергодична гіпотеза

Шпаргалка

Физика

3 Фазові перетворення ІІ роду. Поглянемо на класифікацію фазових перетворень І і ІІ роду не з точки зору наявності чи відсутності теплообміну а з точки зору стрибкоподібної зміни параметрів стану речовини. Фазові перетворення при яких перші похідні функції змінюються стрибкоподібно називаються фазовими перетвореннями І роду. Фазові перетворення при яких перші похідні функції залишаються неперервними а другі похідні тієї ж функції змінюються стрибкоподібно називаються фазовими перетвореннями ІІ роду.

Русский

2013-09-22

175.19 KB

4 чел.

Білет №14

1) Ергодична гіпотеза

Нехай статистичних систем утворюють статистичний ансамбль (сукупність однакових статистичних систем). Макроскопічний стан усіх систем ансамблю однаковий, хоч у окремих системах можуть реалізуватись різні мікростани. Розділимо об’єм кожної системи на елементарних комірок, в яких може поміститись лише одна частинка. Розглянему деяку величину, яка пов’язана з конкретною частинкою, наприклад, квадрат її координати. Координату вибраної частинки становить координата центра комірки системи, в якій вона міститься.

Якщо координата вибраної частинки в системі ансамблю, то середнє за ансамблем значення квадрату координати

.

Давайте накладемо умову . Це означає, що кількість систем ансамблю дуже велика. Тоді можна припустити, що кількість систем, у яких наша виділена частинка попадає у комірку із номером (тобто у комірку) досить велика (настільки, що по цій кількості можна усереднювати, як ми це показали у попередньому розділі), і становить . Тоді ми можемо згрупувати доданки, що відносяться до комірки наступним чином :

значення квадрату координати комірки;

сума значень квадрату координати по всіх комірках систем ансамблю;

сума значень квадрату координати по всіх комірках всіх систем (тобто по всьому ансамблю);

середнє значення квадрату координати по всьому ансамблю.

Але ж ми вже записали раніше

.

Тоді можна записати, що

.

Що являє собою величина ? Відношення кількості систем ансамблю комірок, у яких наша частинка знаходиться у комірці, до повної кількості систем ансамблю є імовірністю знаходження частинки у комірці статистичної системи

.

Отже, вираз для середнього значення квадрату координати набуває вигляду

.

У останній формулі у явному вигляді не присутній ансамбль. Уявлення про ансамбль присутнє у непрямій формі у імовірності. Але всі ці формули еквівалентні. Їх застосування диктується виключно міркуваннями зручності у кожному конкретному випадку.

Тепер давайте прослідкуємо за виділеною нами частинкою в одній із статистичних систем на протязі дуже довгого проміжку часу . Знайдемо середнє значення квадрату координати за цей проміжок

.

В нашій моделі координата цієї частинки змінюється стрибком при переході від однієї комірки до іншої (координата – це центр комірки). Позначимо послідовні стрибки індексом ; координата комірки, в яку переходить частинка після го стрибка; час перебування частинки у комірці. Тому можна записати таке співвідношення

.

де кількість стрибків за час , причому

.

Якщо у нас , то за такий великий проміжок часу частинка багато разів потрапляє у кожну комірку. Тоді у комірці вона буде знаходитись сумарний час , а

.

Отримана рівність

дає нам можливість перейти від незручного підсумовування по кількості стрибків за великий проміжок часу до підсумовування по кількості комірок у кожній системі

.

Оскільки

тривалість перебування частинки у комірці відносно всього часу, а це є не що інше, як імовірність перебування частинки у комірці.

Тепер подивіться : наші міркування привели нас до того, що імовірність перебування частинки у комірці має такий вигляд та

.

Незважаючи на відмінність у виразах, фізичний зміст величин і – імовірність перебування частинки у комірці. Звідси напрошується логічний висновок, що мова йде про ту ж саму величину, і

.

Це твердження називається ергодичною гіпотезою. Вперше її висловив Больцман, а Максвеллу належить її формулювання у такому вигляді :

середнє за ансамблем дорівнює середньому за проміжком часу.

Незважаючи на таку логічність твердження, ця гіпотеза не отримала доведення і досі. Вона є одним із фундаментальних припущень статистичної фізики.

На практиці виникає наступна проблема – усереднення проводиться не за нескінченно довгий, а за кінцевий проміжок часу. Тобто середнє за ансамблем і за часом будуть дещо відрізнятись. Але основний внесок за ансамблем і за часом вносять частинки, стан яких є найімовірнішим, тому заміна середнього за ансамблем на середнє за часом і навпаки є цілком виправданою.

2) Ентропія. Ентропія 1 моля ідеального газу. Ізоентропійність адіабатного процесу. Ентропійна діаграма, її еквівалентність циклу Карно.

Для оборотного некругового процесу інтеграл  дійсно не залежить від форми шляху, по якому відбувається процес, тобто є функцією стану.

Це дає нам можливість ввести нову функцію стану – ентропію, від грецької entropia, що означає перетворення, зміна.

Ентропія – це функція стану, яка характеризується тим, що різниця ентропій у двох різних точках дорівнює сумі зведених теплот, які треба витратити на перехід з початкового стану 1 у кінцевий стан 2 по оборотному шляху.

Ентропія визначається з точністю до константи. Власне, фізичний зміст має не сама ентропія, а її різниця. Отже, за означенням

.

 

Це ми навели найзагальніший вираз для ентропії. Давайте обчислимо ентропію ідеального газу.

Із першого начала термодинаміки випливає, що

.

Тоді

.

Якщо не залежить від температури, то для ідеального газу у кількості 1 моль

,

звідки

.

 

Розглянемо адіабатний процес. , звідки . Отже, , тому

, або   , .

Якщо скористатись рівнянням Роберта Майєра , або ,  , маємо

,

тобто із виразу для ентропії ідеального газу отримали рівняння адіабати. Отже, адіабатний процес – ізоентропійний.

Ми звикли представляти всі діаграми у координатах . Простий аналіз циклу Карно показує, що його форма залежить від робочого тіла. Цикл Карно задається крім двох ізотерм двома адіабатами. Хід адіабати залежить від коефіцієнта , тобто від величини, яка визначається молекулярною будовою робочого тіла. Для одноатомного газу, нагадаю, , для двоатомного – , для трьохатомного  – .

Цікавим було б побудувати цикл, форма якого не залежала б від природи робочого тіла. Такий цикл можна побудувати  у координатах (температура-ентропія), ця залежність називається ентропійною діаграмою.

Ізотерми у такому циклі перетворяться на горизонтальні прямі. А що можна сказати про адіабати ? Ми ж недаремно тільки що показали, що адіабатний процес ізоентропійний. Отже, адіабати можна представити як вертикальні прямі. Утворений цикл еквівалентний звичному циклу Карно у координатах , і ми це зараз доведемо.

Для цього визначимо к.к.д. утвореного циклу. Кількість теплоти, що передається нагрівачем робочому тілу на першій ізотермі

.

Це випливає із означення ентропії. На адіабаті теплообміну немає. Ця кількість теплоти чисельно дорівнює площі прямокутника . Аналогічно, кількість теплоти, яку передає холодильнику робоче тіло

.

Ця кількість теплоти чисельно дорівнює площі прямокутника . Тоді к.к.д.

.

Остаточно отримаємо

.

Цей вираз співпадає із отриманим у доведенні першої теореми Карно, отже цикли еквівалентні. К.к.д. геометрично є відношенням заштрихованої площі циклу до площі прямокутника .

3) Фазові перетворення ІІ роду. Співвідношення Еренфеста.

Поглянемо на класифікацію фазових перетворень (І і ІІ роду) не з точки зору наявності чи відсутності теплообміну, а з точки зору стрибкоподібної зміни параметрів стану речовини. Питомий термодинамічний потенціал Гіббса залишається неперервним при всіх фазових перетвореннях, а от його похідні можуть мати розрив неперервності.

Фазові перетворення, при яких перші похідні функції змінюються стрибкоподібно, називаються фазовими перетвореннями І роду.

Фазові перетворення, при яких перші похідні функції залишаються неперервними, а другі похідні тієї ж функції змінюються стрибкоподібно, називаються фазовими перетвореннями ІІ роду.

Розглянемо спочатку фазові переходи І роду. Питомий термодинамічний потенціал Гіббса є функцією тиску і температури . Друга пара змінних стану виражається через потенціал і його змінні

; .

Фазові перетворення І роду за означенням супроводжуються стрибком перших похідних питомого термодинамічного потенціалу Гіббса, а отже під час них стрибком змінюється або ентропія, або об’єм, або обидва параметри разом. Стрибкоподібна зміна ентропії означає виділення чи поглинання тепла у процесі, всі переходи, які ми розглядали раніше були саме такими.

Для фазових перетворень ІІ роду за означенням питомі ентропія і об’єм неперервні, розрив мають другі похідні питомого термодинамічного потенціалу Гіббса

,

а отже ізобарна питома теплоємність;

,

а отже коефіцієнт ізотермічного стискання ;

а отже коефіцієнт теплового розширення .

Стрибкоподібно змінюється хоча б один із цих параметрів, але можуть й усі.

Рівняння Клапейрона-Клаузіуса

у випадку фазових переходів II-го роду втрачає сенс.  Оскільки перші похідні питомого термодинамічного потенціалу Гіббса і неперервні, то , і приходимо до невизначеності типу . Співвідношення Клапейрона-Клаузіуса треба замінити так званими співвідношеннями Еренфеста, які є наслідком неперервності і при фазовому переході II-го роду.

Будемо вважати, що питома ентропія . Її повний диференціал

.

Скористаємось співвідношеннями

  та     .

Друге рівняння є співвідношенням Максвелла (дивись мнемонічний квадрат). Тоді

.

Запишемо це співвідношення для кожної фази

; .

Візьмемо на кривій рівноваги дві точки з координатами та . Тоді це нахил кривої рівноваги у заданній точці. При фазовому переході II-го роду ентропія неперервна, отже

.

Прирівняємо зміни

;  ,

або

.

Знак означає стрибок, зміну величини стрибком при фазовому переході II роду. А співвідношення має назву перше співвідношення Еренфеста.

Друге співвідношення Еренфеста отримується так само, тільки питому ентропію розглядають як функцію температури і питомого об’єму . Воно має вигляд

.

Третє співвідношення Еренфеста отримується також із умови неперервності ентропії, яка розглядається як функція питомого об’єму і тиску . Воно має вигляд

.

Нарешті, четверте співвідношення Еренфеста отримується із умови неперервності питомого об’єму, якщо його розглядати як функцію температури і тиску . Воно має вигляд

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8580. Научная революция XVII века и особенности философии Нового времени 29 KB
  Научная революция XVII века и особенности философии Нового времени. Научная революция XVII века. Символами общественного прогресса в XVII веке становятся первые буржуазные резолюции в Нидерландах (конец XVI - начало XVII вв.) и Англии (середина...
8581. Философские взгляды Ф. Бэкона 29.5 KB
  Философские взгляды Ф. Бэкона. Фрэнсис Бэкон (1561-1626) - крупный английский философ, предложивший философское обоснование для экспериментальной науки. Главным трудом Бэкона является сочинение Новый Органон. Название этого труда отсылает к логич...
8582. Рационалистическая философия Р. Декарта и Лейбница 33 KB
  Рационалистическая философия Р. Декарта и Лейбница. Рационалистическая философия Р. Декарта. Рене Декарт (1596) - французский философ, стоявший у истоков рационалистической традиции. Исходной точкой в концепции Декарта является сомнен...
8583. Материализм Дж. Локка и Т. Гоббса 27.5 KB
  Материализм Дж. Локка и Т. Гоббса Материалистический сенсуализм усматривает в чувственной деятельности человека связь его сознания с внешним миром, а в показаниях его органов чувств - отражение этого мира. Видными...
8584. Учение Б. Спинозы о субстанции 30.5 KB
  Учение Б. Спинозы о субстанции. Онтологическая функция понятия Бога, в особенности пантеистического, состоящая в максимальном заострении проблемы единства мира, в высокой степени присуща философской доктрине Спинозы. Уже в первом своем произведении ...
8585. Субъективный идеализм Беркли и агностицизм Д. Юма 33 KB
  Субъективный идеализм Беркли и агностицизм Д. Юма. Субъективный идеализм Беркли. Учение, созданное Беркли это - субъективный идеализм. Отвергнув бытие материи, оно признает существование только человеческого сознания, в котором Беркли различает иде...
8586. Критическая философия И. Канта 32.5 KB
  Критическая философия И. Канта Основоположником немецкой классической философии является Иммануил Кант. Все творчество И. Канта можно разделить на два больших периода: докритический и критический. В докритический период И. Кант стоял н...
8587. Объективный идеализм Г.В.Ф. Гегеля 31.5 KB
  Объективный идеализм Г.В.Ф. Гегеля. Гегель в своей философии преимущество и первенство отдавал духу (философскому мышлению) над материей, то его справедливо называют идеалистом а поскольку он отрицал взгляды субъективных идеалистов и считал, что в ...
8588. Антропологический материализм Л.Фейербаха 33 KB
  Антропологический материализм Л.Фейербаха. Фейербах - последовательный и воинствующий материалист. Для него в мире существует лишь одно бытие - материя. Для него Материя и Бытие понятия тождественные, и он часто употребляет одно понятие вместо д...