36514

Об’єднана формула Максвелла-Больцмана розподілу молекул за швидкостями

Шпаргалка

Физика

Потенціальна енергія молекули залежить від її положення . Зміна потенціальної енергії спричиняє зміну і кінетичної енергії молекул оскільки . Але середня кінетична енергія не змінюється а отже не змінюється і температура газу оскільки вона є мірою кінетичної енергії молекул газу.

Русский

2013-09-22

177.18 KB

5 чел.

Білет №16

1) Об’єднана формула Максвелла-Больцмана розподілу молекул за швидкостями

Повна енергія молекули у потенціальному полі визначається її кінетичною і потенціальною енергією

.

Ця енергія є однаковою у будь-якій точці потенціального поля згідно із законом збереження енергії. Потенціальна енергія молекули залежить від її положення . Зміна потенціальної енергії спричиняє зміну і кінетичної енергії молекул, оскільки . Але середня кінетична енергія не змінюється, а отже, не змінюється і температура газу, оскільки вона є мірою кінетичної енергії молекул газу.

Давайте проаналізуємо поведінку газу у полі тяжіння Землі. Під час руху вгору потенціальна енергія молекул збільшується, а кінетична зменшується, бо повна енергія мусить залишатись стало. Але, за розподілом Больцмана,  на велику висоту піднімається мала кількість молекул, тому усереднюється по меншій кількості молекул, і ця величина не змінюється. При рухові молекул униз зменшується їх потенціальна енергія, але збільшується кінетична. Але таку кінетичну енергію має більша кількість молекул, отже, усереднення не змінює .

Розподіл Больцмана пов’язаний із потенціальною енергією молекул, розподіл Максвелла – із кінетичною енергією. Із наведених міркувань випливає, що розподіл Больцмана не впливає на температуру газу, а отже, і на розподіл Максвелла. Це два абсолютно незалежних розподіли, оскільки незалежними є координати (Больцман) і швидкості (Максвелл) молекул.

Обидва ці розподіли можна об’єднати у єдиний розподіл Максвелла-Больцмана.

Нехай потенціальна енергія молекули у точці із координатами становить . Кількість молекул у одиничному об’ємі простору, де потенціальна енергія молекул дорівнює , визначається розподілом Больцмана

.

Виберемо елемент об’єму навколо заданої точки . Врахувавши, що

,

отримаємо кількість атомів, що лежить у  околі точки з координатами із довільними швидкостями. Щодо околу точки з координатами , нагадаю, що їх  координати лежать у проміжках

.

Виділимо ті молекули, проекції швидкостей набувають значень у проміжках

;

;

.

Вираз для таких молекул запишемо як

.

Скориставшись розподілами Максвелла і Больцмана, отримаємо

,

або оскільки  , рівняння набуває вигляду

.

Цей вираз вже є розподілом Максвелла-Больцмана молекул за швидкостями та у полі сил.

Легко показати, що із цього розподілу можна отримати окремо розподіли Максвелла та Больцмана. Знайдемо кількість молекул у одиниці об’єму з усіма можливими швидкостями за наявності потенціального поля. Для цього проінтегруємо формулу Максвелла-Больцмана по всіх можливих  швидкостях

.

Скористаємось тим, що інтеграли є інтегралами Пуассона, отже

;

.

Отримали розподіл Больцмана. Так само можна від загального виразу перейти і до розподілу Максвелла. Справді, проінтегруємо по всіх просторових координатах розподіл за відсутності потенціального поля

;

.

Так само із узагальненого розподілу Максвелла-Больцмана отримали розподіл Максвелла для проекцій швидкостей.

По аналогії з попередніми функціями розподілу, вводять

функцію розподілу Максвелла-Больцмана. Веде вона себе монотонно  – із збільшенням енергії вона зменшується.

І останні зауваження щодо розподілів Максвелла, Больцмана та Максвелла-Больцмана. Вони отримані у припущенні, що рух молекул газу описується законами класичної механіки, де частинки можна відрізнити одну від одної. Тобто, якщо дві молекули помінялись місцями, то це змінює мікростан системи.

Але як насправді відрізнити одну частинку від іншої? Чим один атом водню відрізняється від іншого, або електрон від електрона? На відміну від класичної статистики, яку ми досі розглядали, квантова статистика розглядає розподіл тотожних частинок за квантовими станами. До речі, яке електрон відношення має до газу? Ми все розглядали для молекул, але якщо є сукупність частинок, до якої можна застосувати вимоги ідеального газу, яка рухається, співударяється, до неї можна частково застосувати отримані нами результати. Існують поняття електронний газ, фононний газ.

2) Недоліки класичної теорії теплоємності газів. Якісне пояснення температурної залежності теплоємності газів на підставі квантових уявлень.

Ми створили красиву класичну теорію. Визначай кількість ступенів вільності, давай на кожний енергію , і знаходиш енергію або теплоємність газу. А тепер почнемо розгром нашої теорії.

1. Наша теорія ніяким чином не може пояснити відхилення від значень теплоємності , , а вони виникають у експерименті. Подивіться на експериментальні значення . Їх відмінність від розрахункового значення і є наслідком невиконання співвідношень , та інших. Крім того, зверніть увагу, чим більше атомів у молекулі, тим більша відмінність.

2. Класична теорія не враховує те, що насправді атоми не є матеріальними точками. Крім трьох ступенів поступального руху для атомів можливі і три ступені обертального руху, а ми це не враховували.

3. Класична теорія не враховує рух електронів всередині атому.

4. Класична теорія не враховує обертання двохатомної молекули навколо осі, що з’єднує атоми.

5. Ми не завжди враховували нежорсткість зв’язку у двох- і багатоатомних молекулах. Такі коливання треба враховувати за певних умов.

6. І найголовніший недолік – за класичними уявленнями теплоємність газів не залежить від температури. Дослід показав, що це якоюсь мірою вірно для одноатомних газів. А насправді експериментально залежність теплоємності від температури існує.

На рисунку наведена температурна залежність теплоємності молекулярного водню Н2. При низьких температурах (до 80 К) , що відповідає трьом ступеням вільності поступального руху. При таких температурах двохатомна молекула водню поводиться як одноатомна. Збільшення температури до 100 К викликає поступове зростання теплоємності, і вона виходить на новий сталий рівень . У молекули з’являються обертальні ступені вільності.

Чому саме обертальні, а не коливальні, адже приріст у двох наступних рівнях однаковий. Ми це доводити не будемо, але прийміть до уваги, що обертальний рух двоатомної молекули сповільнений порівняно із коливальним. Енергія обертання молекули приблизно у 100 разів менша за енергію коливального руху. Тому обертальний рух збуджується при більш низькій температурі.

При температурі порядку кількох тисяч Кельвіна знову починається зростання теплоємності. При 6000 К вона набуває значення , що свідчить про внесок у теплоємність і коливальних ступенів вільності.

За нормальних умов (~300 К) та поблизу цієї температури у досить широкому інтервалі температур можна вважати теплоємність сталою, що визначається трьома ступенями вільності поступального руху і двома – обертального.

Отже, експеримент показав, що із збільшенням температури активуються спочатку обертальні, а потім коливальні ступені вільності, а із зменшенням температури вони у зворотному порядку атрофуються, або “виморожуються”.

А що повинно було б бути з точки зору класичної теорії теплоємності ? В основі класичної теорії теплоємності лежить закон рівнорозподілу енергій за ступенями вільності. Це означає, що як тільки активується з підвищенням температури ступінь вільності, всі молекули повинні одночасно починати обертатись, або одночасно коливатись. За таких обставин теплоємність повинна збільшуватись стрибком, кратним . На експерименті перехід від рівня до рівня відбувається плавно, тобто обертальні, а потім і коливальні ступені вільності збуджуються не у всіх молекулах одночасно. Спочатку починає обертатись (або коливатись) незначна кількість молекул, а потім їх кількість збільшується.

Це суперечить закону рівнорозподілу енергії за ступенями вільності. Цей закон має обмежене застосування, оскільки вважалось, що молекули підпорядковані законам класичної механіки і статистики, а це реалізується лише при дуже високих температурах (при температурах, коли виникає коливальний рух, молекули водню навіть дисоціюють). Отже, з точки зору класичної теорії теплоємності неможливо пояснити залежність теплоємності від температури.

Якісне пояснення температурної залежності теплоємності газів на підставі квантових уявлень

Деяких недоліків класичної теорії теплоємності дає можливість позбавитись квантова теорія теплоємності. Макс Планк, створюючи теорію випромінювання абсолютно чорного тіла, припустив, що енергія може прийматися і випромінюватись дискретно, фіксованими порціями – квантами. Детальніше з основами квантової теорії ви ознайомитесь у курсах квантової механіки та атомної фізики, а зараз ми скористаємось лише деякими її положеннями.

Згідно із класичною теорією енергії поступального, обертального і коливального рухів двоатомної молекули змінюються неперервно. Їх значення довільні і визначаються температурою.

Квантова теорії не накладає жодних обмежень на поступальний рух молекул, і його можна розглядати з класичної точки зору.

Щодо енергій обертального і коливального рухів, то згідно із квантовою теорією вони змінюються дискретно.

Двоатомна молекула розглядається як квантовий гармонічний осцилятор. Її енергетичний спектр коливань є дискретним і визначається виразом

,

де стала Планка

;      ;

частота коливань атомів у молекулі, коливальне число, яке характеризує енергетичний рівень осцилятора. Якщо число змінюється на одиницю, енергія осцилятора змінюється на

.

Спектр енергій осцилятора рівномірний. Величина називається квантом енергії коливального руху. Найменша енергія , що існує при (тобто при абсолютному нулі), називається нульовою енергією осцилятора, а самі коливання – нульовими коливаннями.

Звідки може брати енергію осцилятор ? Він її отримує при зіткненнях. Але прийняти будь-яку енергію осцилятор не може. Він приймає енергію, тільки кратну , і переходить на один із наступних енергетичних рівнів (на рисунку).

Звернемось до розподілу Больцмана молекул за енергіями. Наша молекула зможе прийняти необхідну енергію лише від молекули із заштрихованої області. Якщо температуру збільшувати, збільшиться середня кінетична енергія поступального руху, отже збільшиться кількість молекул, яка може передати енергію осцилятору.

Можна вважати, що у момент зіткнення енергія теплового руху молекул становить . Якщо , молекули практично не передають енергію осцилятору, тоді можна не враховувати коливальні ступені вільності. Якщо ж , то практично всі молекули передають енергію осцилятору. Для водню передача енергії осцилятору стає суттєвою при 6000 К. Проміжному випадку відповідає зростаюча ділянка між двома сталими рівнями на залежності .

 

Крім коливального, квантується і обертальний рух. При зіткненні молекули передають енергію

,

де момент інерції молекули відносно осі обертання, квантове число. При обертальному рухові спектр енергії не є рівномірним, а відстані між енергіями змінюються за арифметичною прогресією

.

Величина має назву обертальний квант. Спектр обертального руху наведений на рисунку.

Якщо , молекули практично не передають енергію осцилятору, тоді можна не враховувати коливальні ступені вільності. Якщо ж , то практично всі молекули передають енергію осцилятору. Для водню передача енергії осцилятору стає суттєвою при 100 К.

3) Явище поверхневого натягу. Коефіцієнт поверхневого натягу.

Чому рідина не розтікається, збільшуючи об’єм, при перескоках молекул ? На молекулу рідини діють сили притягання з боку інших молекул. Якщо молекула знаходиться всередині рідини на відстані від поверхні, набагато більшій за радіус молекулярної дії, то ці сили в середньому врівноважуються. Поблизу поверхні виникає результуюча сили притягання типу Ван-дер-Ваальса, направлена всередину  рідини.

Щоб витягти молекулу з середини на поверхню, треба виконати роботу проти цих сил притягання.

Робота, яку треба виконати, щоб ізотермічно і квазістатично (оборотно) збільшити поверхню рідини на одиницю при незмінному об’ємі, називається коефіцієнтом поверхневого натягу або просто поверхневим натягом і позначається грецькою буквою .

Для ізотермічного процесу робота дорівнює втраті вільної енергії. Справді,

диференціал кожної характеристичної функції є сумою добутків ближніх параметрів на диференціали дальніх параметрів по діагоналі. Якщо диференціал параметру ліворуч, то перед добутком знак “мінус”, якщо праворуч – знак “плюс”, тому для вільної енергії

.

Для ізотермічного процесу , отже

.

Вільну енергію рідини, на яку не діють зовнішні сили, можна подати у вигляді

,

де об’ємна складова вільної енергії, її поверхнева складова.

Кожну із складових можна записати у вигляді

;    ,

де об’ємна густина вільної енергії, поверхнева густина вільної енергії, яка за означенням є поверхневим натягом, площа поверхні рідини.

Величина є сталою. Ми можемо розглядати тонку плівку і знехтувати .  

Для збільшення поверхні плівки на величину над нею треба виконати роботу (за означенням поверхневого натягу). Сама плівка при цьому виконує від’ємну роботу .

За першим началом термодинаміки

.

Через ентропію це рівняння можна записати як

.

Оскільки вільна енергія вводиться як

,

її повний диференціал має вигляд

.

Підставивши позначення у рівняння, маємо

.

З цього рівняння приходимо до математичного виразу для коефіцієнту поверхневого натягу

,

тобто коефіцієнт поверхневого натягу є зміною вільної енергії на одиницю зміни площі поверхні рідини за сталої температури.

Аналогічно можна отримати ентропію цієї плівки

,

як зміну вільної енергії при зміні температури плівки на 1 градус за сталої площі поверхні. Оскільки у нас за означенням поверхневого натягу не змінюється об’єм рідини, то можемо перейти до звичного виразу

.

Фактично у нашому розгляді поверхня грає роль об’єму, оскільки плівку можна вважати дуже тонкою.

Щоб розтягти плівку, треба виконати роботу, отже, взяти певну кількість теплоти. Скористаємось рівняннями Гіббса-Гельмгольца. Щоб пов’язати внутрішню і вільну енергію. Кожен термодинамічний потенціал можна виразити через різницю сусіднього потенціалу та добутку параметра, ближнього до нашої функції та дальнього для сусідньої функції, та частинної похідної від сусідньої функції по цьому параметру за сталим параметром, найдальшим від нашої і сусідньої функції.

.

Аналогічно можна записати і для плівки

.

Для тонкої однорідної плівки за сталої температури можна вважати, що з   випливає, тоді

.

Для ізотермічного розширення плівки їй треба надати кількість теплоти

.

Підставимо у нього вираз для внутрішньої енергії

.

Тоді кількість теплоти, потрібна для створення одиниці площі поверхні становить

.

Це величина додатна, оскільки із досліду випливає, що поверхневий натяг зменшується із збільшенням температури.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37869. Простейшие средства отладки в среде DELPHI. Программирование циклических алгоритмов 124.5 KB
  Вывод: изучил простейшие средства отладки в среде DELPHI. Научился программировать циклические алгоритмы.
37870. Сравнение репрезентативности случайной, механической и серийной выборок из генеральной совокупности 91.5 KB
  Обычно считается что чтобы иметь право судить о генеральной совокупности по выборке выборка должна быть образована случайно. Это можно достичь различными способами наиболее распространенными: собственнослучайная выборка; механическая; типическая; серийная. Собственнослучайная выборка Существует два подхода к решению данной задачи: Простая случайная выборка с возвращением объект извлекается из генеральной совокупности случайным образом и перед извлечением следующего возвращается обратно Например после отбора деталей на...
37871. Проектування цифрових автоматів з пам’яттю 1.6 MB
  Цифровий автомат – це пристрій, який здійснює приймання, зберігання і перетворення дискретної інформації за деяким алгоритмом.
37872. Устройства сопряжения аналоговых и цифровых сигналов 157.5 KB
  Основными устройствами осуществляющими преобразование информационных сигналов в дискретные последовательности импульсов и наоборот являются аналогоцифровые преобразователи АЦП цифроаналоговые преобразователи ЦАП и устройства выборки и хранения УВХ которые могут входить и в состав АЦП. Данная лабораторная работа не преследует цели обучения проектированию преобразователей: в настоящее время производится большое количество самых разнообразных микросхем ЦАП и АЦП. Цифроаналоговые преобразователи Назначение ЦАП – преобразование...
37873. Введення, редагування, копіювання, переміщення та видалення інформації. Вставка/видалення клітин. Форматування даних 221.5 KB
  Відформатуйте текст у таблиці Excel: розташуйте назву своєї спеціальності посередині блоку клітин С20:Н20 колір шрифту червоний фон клітини жовтий. введіть у будьяку клітину назву факультету змініть орієнтацію тексту обраміть клітину подвійною лінією фон клітини бірюзовий. Виконайте над вмістом клітини наступні операції. а Скопіюйте вміст клітини В6 до іншої клітини за допомогою: панелі інструментів; головного меню; контекстного меню; засобу “Перетащитьиоставить†правою кнопкою миші; засобу...
37874. Простые типы данных и основные операторы работы с данными в Java программе 212 KB
  Краткие теоретические сведения Простые типы Простые типы в Jv не являются объектноориентированными они аналогичны простым типам большинства традиционных языков программирования. Для каждого типа строго определены наборы допустимых значений и разрешенных операций. Например если значение переменной типа byte равно в шестнадцатиричном виде 0х80 то это число 1. В языке имеется 4 целых типа занимающих 1 2 4 и 8 байтов в памяти.
37875. Система моделирования электронных устройств Electronics Workbench; Исследование дифференциального усилителя 224.5 KB
  Тогда при одинаковых входных сигналах U1 и U2 токи транзисторов также будут одинаковы а это означает что разность потенциалов между коллекторами будет равна нулю. Этот случай когда оба входных сигнала одинаковы как по амплитуде так по фазе называется режимом усиления синфазного сигнала. Важной характеристикой ДУ является коэффициент подавления синфазного сигнала который показывает во сколько раз коэффициент усиления дифференциального входного сигнала приложенного между входами каскада больше коэффициента усиления синфазных сигналов...