36515

Броунівський рух. Теорія Ейнштейна-Смолуховського. Дослід Перена по визначенню числа Авогадро

Шпаргалка

Физика

Запишемо рівняння руху такої частинки де нескомпенсована результуюча сила дії з боку молекул середовища яка примушує броунівську частинку рухатись у певному напрямку; сила тертя зумовлена в’язкістю середовища. У проекції на вісь рівняння руху броунівської частинки набуває вигляду . Розв’язок рівняння її руху може нам дати координату руху але хаотичний рух вимагає усереднення за довгий проміжок часу. Давайте використаємо дві очевидні тотожності : і підставимо їх у...

Русский

2013-09-22

244.82 KB

12 чел.

Білет №17

1) Броунівський рух. Теорія Ейнштейна-Смолуховського. Дослід Перена по визначенню числа Авогадро.

Одним з найбільш яскравих проявів флуктуацій фізичних величин є броунівський рух. Його відкрила у 1827 році людина, досить далека від фізики – англійський ботанік Броун, а спостерігав він у мікроскоп хаотичний рух рослинних спор у воді. Подальші дослідження показали, що цей рух ніяким чином не пов’язаний ні з біологічним походженням частинок, ні з рухом рідини. Подібні безладні рухи притаманні і іншим об’єктам у рідинах або газах. Наприклад, чому дим з труби піднімається вгору у непорушному повітрі ? Частинки диму є броунівськими частинками для молекул повітря. Згідно з розподілом Больцмана, кількість молекул у полі тяжіння змінюється з висотою як

,

тобто зменшується з висотою. Молекули знаходяться у стані хаотичного теплового руху, і передають частинці диму імпульс. Знизу від частинки частинок більше, зверху – менше, тому частинка піднімається вгору.

Отже, фізичною причиною броунівського руху є неврівноважені удари молекул середовища по частинці, або, у рамках нашої теми, локальні флуктуації тиску.

Теорію броунівського руху незалежно створили Альберт Ейнштейн (1905 р.) та Маріан Смолуховський (1906) – поляк за походженням, професор Львівського університету, пізніше професор, а потім ректор Краківського університету.

Ми розглянемо дещо спрощений, порівняно із метрами, аналіз процесу, який, однак, дасть нам можливість отримати майже такий самий результат.

Будемо вважати, що броунівська частинка у вигляді кульки масою переміщується у деякому середовищі при температурі . Запишемо рівняння руху такої частинки

,

де нескомпенсована результуюча сила дії з боку молекул середовища, яка примушує броунівську частинку рухатись у певному напрямку; сила тертя, зумовлена в’язкістю середовища. Для частинки у вигляді кульки радіусу (це і буде розмір нашої броунівської частинки) силу тертя можна виразити формулою Стокса

,

де коефіцієнт внутрішнього тертя рідини чи газу,  швидкість частинки. У проекції на вісь рівняння руху броунівської частинки набуває вигляду

.

Знак “мінус”, оскільки сила тертя гальмує рух частинки.

Частинка рухається по складній траєкторії. Розв’язок рівняння її руху може нам дати координату руху, але хаотичний рух вимагає усереднення за довгий проміжок часу. І що ми отримаємо ?

;   ;  .

Неперервна зміна напрямку приведе до рівності нулю всіх проекцій.

На нуль не будуть перетворюватись квадрати величин. Отже, будемо шукати середнє значення квадрату координати частинки .

Давайте використаємо дві очевидні тотожності :

                            

        

і підставимо їх у рівняння руху

,

або, помноживши обидві половини рівняння на ,

.

Це рівняння справедливо для будь-якої частинки, тому воно також буде справедливим і для середніх значень величин, що входять до нього, за умови усереднення за досить великою кількістю частинок. (Згадайте, на минулій лекції ми виводили відносну флуктуацію, і показували, що середніми значеннями можна описувати тільки велику кількість частинок, коли відносна флуктуація дуже мала). Тоді

.

Нагадаю, ми шукаємо середній квадрат координати . Давайте розбиратись з окремими доданками, які не містять його.

Другий доданок ліворуч. Що він собою являє ?

,

оскільки рух є хаотичним і всі напрямки рівноімовірними

.

Перший доданок праворуч . Проекції сили і координати є статистично незалежними. Для великої кількості частинок вони рівноімовірно набувають як додатніх, так і від’ємних значень, тому

.

Результати наших розмірковувань підставимо у рівняння руху броунівської частинки, і отримаємо

.

Щоб трошки візуально спростити рівняння, введемо позначення

,         

тоді     

.

В таких позначеннях рівняння набуває вигляду

.

Розділимо змінні у цьому диференціальному рівнянню

;

.

Вважаючи, що у початковий момент відліку часу броунівська частинка знаходиться у початку координат, проінтегруємо

,

і отримаємо

;        ;     ;

отже, розв’язок диференціального рівняння

.

Давайте проаналізуємо експоненту у дужках. У показник входить мкм радіус броунівської частинки; її маса (кг/м3 – густина матеріалу частинки); Пас – коефіцієнт внутрішнього тертя рідини, у яку занурена броунівська частинка ( нашому випадку це вода). Величина  

с-1.

Це стала величина. За такого значення сталої експонента буде набагато меншою за одиницю (принаймні на 3 порядки) при проміжку часу між спостереженнями с. Звичайно, реально часи спостереження набагато більші, у дослідах Перрена 30 сек, тому експонентою порівняно із одиницею можна знехтувати. Тоді отримаємо

,

а повернувшись до зробленої заміни, –  

.

Розв’язавши це рівняння, маємо

. (7.7)

Це – рівняння Ейнштейна-Смолуховського. Власне, у такому вигляді його отримав Ейнштейн. Результат Смолуховського відрізнявся лише чисельним множником.

Подивіться на отриманий результат. Температуру та коефіцієнт внутрішнього тертя ми знаємо. Розміри частинок можна виміряти. Визначити і не складно. Що тоді можна визначити із експерименту ? Сталу Больцмана, а через неї і число Авогадро.

Дослід Перена.

Формула (7.7) позволяет вычислять среднее значение квадрата перемещений, причем среднее берется по всем частицам, участвующим в явлении. Но эта формула справедлива и для среднего

значения квадрата многих последовательных перемещений одной-единственной частицы за равные промежутки времени. С экспериментальной точки зрения удобнее наблюдать именно перемещения одной частицы. Такие наблюдения и были проведены Перреном в 1909 г. Движение частиц Перрен наблюдал через микроскоп, окуляр которого был снабжен сеткой взаимно перпендикулярных линий, служивших координатной системой. Пользуясь Зтой сеткой, Перрен отмечал на ней последовательные положения одной облюбованной им частицы через определенные промежутки времени At (например, 30 с). Соединив затем точки, отмечающие положения частицы на сетке, он получил картину, подобную той, которая изображена на рис, 7. На этом рисунке показаны как смещения частицы, так и их проекции на ось X.

Следует иметь в виду, что движения частицы значительно сложнее, чем об этом можно судить по рис. 7, так как здесь отмечены положения через не слишком малые промежутки времени (порядка

30 с). Если уменьшить эти промежутки, то окажется, что каждый прямолинейный отрезок на рисунке развернется в такую же сложную зигзагообразную траекторию, как и весь рис. 7.

Из своих наблюдений Перрен мог измерить смещения Ах и вычислить среднее значение их квадратов. Данные этих измерений находились в хорошем согласии с формулой G.7); тем самым была подтверждена правильность молекулярно-кинетического объяснения явления броуновского движения и самой молекулярно-кинетической теории.

Формула (7.7) может быть использована для определения постоянной Больцмана k, если известны значения вязкости ц жидкости, ее температура Т и радиус частицы а. Значения этой постоянной, полученные Перреном и другими исследователями из подобных измерений, близки к приведенному выше значению k = 1,380-10е-16 эрг/град. Отметим здесь, что сам Перрен использовал полученные им данные для определения числа Авогадро по формуле No = Rlk, так как постоянная R может быть определена из уравнения сестояния. Опыты Перрена имели большое значение для окончательного обоснования молекулярно-кинетической теории.

2) Рівняння адіабатного процесу, робота при адіабатному процесі

Адіабатним називається термодинамічний процес, який відбувається у системі за її повної ізоляції, тобто коли між системою та навколишнім середовищем відсутній теплообмін.

 За означенням теплоємності вона дорівнює відношенню кількості тепла, яку сприйняла або віддала система до зміни температури, яку це викликало. Отже, у адіабатному процесі теплоємність. Під час адіабатного процесу система не отримує кількості теплоти, і не віддає її, тобто , і , або  .

Це означає, що якщо над системою виконати якусь роботу , то вона піде на збільшення внутрішньої енергії газу . І навпаки, виконання роботи самою системою , а у нас вся робота пов’язана із розширенням газу, викличе зменшення внутрішньої енергії . Оскільки згідно із законом Джоуля внутрішня енергія ідеального газу залежить лише від температури, то це означає відповідне збільшення (робота над газом) або зменшення температури.

Уявити собі такий процес можна наступним чином. Розглянемо циліндр із газом під поршнем. Нехай поршень піднімається вгору із швидкістю , тобто газ розширюється. Розглянемо молекулу, яка доганяє поршень,  і летить у тому ж напрямку із швидкістю . Відносно поршня її швидкість дорівнює . Коли молекула дожене поршень, відбудеться пружне зіткнення, і вона полетить у зворотному напрямку із тою ж швидкістю . Це означає, що відносно стінок циліндру її швидкість зменшиться на величину і становитиме . Молекули, що відбиваються від поршня при розширення газу, мають меншу швидкість, а це означає, що газ охолоджується.

При зворотному рухові поршня повинне відбутись збільшення швидкості, а отже, і температури газу.

 

Це ми розглянули процес на якісному рівні. А тепер давайте отримаємо рівняння адіабатного процесу, тобто знайдемо залежність тиску від температури . Адіабатний процес є якоюсь мірою антиподом ізотермічного процесу. У ізотермічному процесі температура підтримується сталою, а у адіабатному змінюється, хоча на решту параметрів стану ніяких обмежень не накладається. Тому користуватись законом Бойля-Маріотта нам не випадає.

Скористаємось першим началом термодинаміки

,

і позбавимось у ньому температури , скориставшись рівнянням стану ідеального газу Клапейрона

;      ;    .

Тоді

;              .

Нам буде потрібне рівняння Роберта Майєра

;       .

Тоді

;

.

Розділимо обидві частини рівняння на і введемо позначення

.

У рівняння розділяться змінні, і ми отримаємо диференціальне рівняння квазістатичного адіабатного процесу для ідеального газу

.

Це рівняння адіабати у диференційній формі. У такому вигляді це рівняння працює завжди. У інтегральній формі рівняння можна отримати лише тоді, коли є константою. Теплоємності в принципі можуть залежати від температури, але я вже зазначала, що у багатьох випадках вони є сталими у досить широкому інтервалі температур, тому рівняння можна інтегрувати

,

або, пропотенціювавши,

.

Це рівняння має назву рівняння Пуассона, або рівняння адіабати, а величина показник адіабати.

Побудуємо залежність адіабатного процесу у координатах , і порівняємо його із ізотермічним процесом. Я вже зображала вам їх, але зараз ми можемо точно переконатись у різниці їх ходу.

Рівняння ізотерми є гіперболою

.

Рівняння адіабати має вигляд

.

Оскільки

,

то за однакових початкових умов адіабатна залежність буде спадати з тиском швидше, ніж ізотермічна.

Cкориставшись рівнянням стану ідеального газу Клапейрона

,     ,

ми можемо переписати рівняння адіабати у будь-яких зручних для нас координатах

;

.

Тепер давайте визначимо, яка робота виконується при адіабатному процесі.

.

Проінтегрувавши, маємо для одного моля речовини (оскільки у нас молярна теплоємність)

.

Перепишемо роботу у іншому вигляді, скориставшись рівнянням Роберта Майєра та виразом для показника адіабати

;   ;   ;     .

Тоді роботу при адіабатному процесі можна записати у різних виглядах :

.

3) Кривизна поверхні і додатковий тиск. Формула Лапласа.

 

Якщо поверхня тіла крива, вона знаходиться у напруженому стані. Сили поверхневого натягу намагаються зменшити площу поверхні, тому по різні боки від неї тиск повинен бути різним. Тобто за рахунок сил поверхневого натягу виникає деякий додатковий тиск   .

Спочатку розглянемо найпростіший випадок. Викривлену поверхню рідини (вона називається меніск) перетнемо площиною, вирізавши сегмент із радіусом кривизни .

Радіус кола, на яке спирається сегмент, . На кожен елемент довжини цього кола діє сила поверхневого натягу

.

Розкладемо силу на складові, одна з яких лежить у площі кола, а друга перпендикулярна до нього. Тангенціальні складові в сумі дадуть нуль при інтегруванні по всьому колу. Сума нормальних складових визначає силу, перпендикулярну до площі перетину,

.

Оскільки , то

.

Під дією цієї сили сегмент буде притискались до решти краплі. Тоді додатковий тиск на рідину за рахунок кривизни поверхні становитиме з урахуванням площі основи сегменту

.

Ця формула отримана для частинного випадку, коли поверхня має один радіус кривизни. Звичайно, на практиці така ситуація реалізується рідко. Тому поверхню довільної кривизни характеризують середньою кривизною, яка може бути різною у різних точках поверхні.

 Середня кривизна поверхні в точці дорівнює півсумі обернених радіусів кривизни у двох взаємно перпендикулярних площинах, які проходять через нормаль до поверхні, тобто

.

Лаплас довів, що попередня формула справедлива для поверхні довільної форми, якщо використовувати середній радіус кривизни. Тоді вона набуває вигляду

і має назву формула Лапласа. Вона справедлива для будь-якої поверхні, але для поверхні складної форми треба визначати додатковий тиск у кожній точці окремо.

Із формули Лапласа легко отримати будь-які частинні випадки.

Сферична поверхня. , звідки .

Циліндрична поверхня. ; , тоді .

Плоска поверхня. , тоді .

Мильна бульбашка. Вона має дві сферичні поверхні приблизно однакового радіусу. Для кожної поверхні , тому сумарний додатковий тиск .

Додатковий тиск, що визначається формулою Лапласа, спрямований до центра кривизни поверхні, як ми бачили із побудови. Якщо поверхня випукла, то центр кривизни знаходиться всередині рідини, і додатковий тиск буде додаватись до того, який прикладений до рідини. Якщо ж поверхня увігнута, то центр кривизни знаходиться зовні, і сумарний тиск буде зменшуватись.