36517

Самодифузія. Коефіцієнт самодифузії, його залежність від тиску і температури

Шпаргалка

Физика

Цикл Карно і його к. Теореми Карно. У циклі Карно задача якомога спрощена. Цикл Карно виглядає наступним чином.

Русский

2013-09-22

284.09 KB

3 чел.

Білет №19

1. Самодифузія. Коефіцієнт самодифузії, його залежність від тиску і температури. Давайте візьмемо об’єм з газом. Всі молекули у цьому газі однакові і концентрація молекул становить . Розділимо об’єм перегородкою. Тоді давайте візьмемо і частину їх помітимо. Використаємо радіоактивний ізотоп цього ж газу. Така помітка ніяким чином не вплине ні на взаємодію молекул, ні на їхній рух. Концентрацію мічених молекул позначимо як , немічених – . І, поки ми не зняли перегородку, .

Знімаємо перегородку. Молекули внаслідок теплового руху будуть перемішуватись. Якщо намалювати розподіл концентрації вздовж об’єму, він виглядатиме наступним чином. Тепер виникає градієнт концентрації мічених молекул (відповідно, і не мічених – теж). Під існуванням градієнту концентрації мається на увазі, що величина концентрації змінюється вздовж вибраного напрямку . Для концентрацій мічених і не мічених молекул виникає співвідношення ;                 .

Тобто, концентрація газу залишається сталою, незважаючи на перемішування, а градієнти концентрацій однакові за величиною, але протилежні за напрямками.

Виділимо в об’ємі площадку площею , перпендикулярну осі . Внаслідок існування градієнту концентрації мічені молекули будуть переходити із області більшої концентрації у область меншої концентрації, перетинаючи площадку. Для немічених молекул такий процес відбуватиметься у протилежному напрямку.

Як і у випадку теплопровідності, вираз для маси, перенесеної через площадку, можна записати із загальних міркувань, але цей закон підтверджений експериментально і має назву закону Фіка. Він полягає у тому, що перенесена за одиницю часу маса речовини пропорційна масі молекули речовини, градієнту її концентрації та площі площадки, через яку речовина переноситься :

.

Або можна ще сказати, що вона пропорційна градієнту густини речовини та площі площадки. Введемо таке поняття як дифузійний потік, тобто кількість молекул речовини, які в процесі дифузії проходять за одиницю часу через одиничну площину, перпендикулярну до напрямку руху молекул.  В нашому випадку маса мічених молекул, що переноситься через площадку. Вона визначається як , тоді дифузійний потік молекул через площадку  .

Коефіцієнтом пропорційності є величина , що має назву коефіцієнта дифузії. У такому випадку коефіцієнт дифузії визначається дифузійним потоком, при одиничному градієнті концентрації. В системі СІ коефіцієнт дифузії має розмірність 1 м2/с.Знову звернемось до основної формули переносу .

Ми вже бачили, що характеризує величину, яку переносить 1 молекула. У випадку в’язкості це був імпульс , у випадку теплопровідності це середня кінетична енергія поступального руху молекули . Маса, яку можуть перенеси через площадку мічені молекули, становить , тоді на одну молекулу газу припадає маса . Якщо ми візьмемо рівняння Фіка не для потоку маси, а для дифузійного потоку, то у якості величини, що переноситься, буде виступати відносна концентрація мічених молекул . Тоді основна формула набуває вигляду. Порівнявши із формулою Фіка, отримаємо вираз для коефіцієнта самодифузії дифузії .

Знову ж таки аналізуємо залежності

1. . 2. .

Швидкість від тиску не залежить, довжина вільного пробігу , отже і . І, звичайно, формули не працюють при . Тут не можна говорити про дифузію, оскільки перенос маси відбувається зі швидкістю руху молекул, а отже, . А температурна залежність, як і для коефіцієнтів в’язкості і теплопровідності, визначається залежністю швидкості від температури та довжини вільного пробігу від температури. Отже, .

Методи визначення коефіцієнту дифузії.

Один з найбільш простих методів вимірювання коефіцієнта дифузії був запропонований Лошмідтом у 1870 р. Прилад, використаний ним, складається з двох трубок, поставлених одна над іншою і з'єднаних краном. У досвіді самого Лошмідта трубки мали довжину близько 500 см і діаметр 2,6 см. При закритому крані трубки наповнюються досліджуваними газами. Для того щоб змішання при дифузії не прискорювати дією сили тяжіння, важчий з газів вводиться в нижню трубку, а більш легкий - у верхню. Якщо тепер відкрити кран, то почнеться проникнення одного газу в іншій шляхом дифузії. Через певний час кран знову закривається і проводиться аналіз отриманої суміші. (Досить, звичайно, аналізувати вміст лише однієї трубки). З даних аналізу, часу досліду і з геометричних розмірів приладу можна обчислити коефіцієнт дифузії одного газу в іншій. Досвід, проведений в подібному приладі з воднем і вуглекислим газом, показав, наприклад, що за тридцять хвилин, протягом яких кран був відкритий, в нижню трубку проникло лише близько 33% водню. Наочне свідчення повільності протікання дифузії при нормальному тиску! Досліди, виконані на даній установці, показали також, що коефіцієнт дифузії слабо залежить від концентрації компонентів елементів в суміші. Це показує, що коефіцієнт дифузії не сильно залежать від концентрації.

2. Цикл Карно і його к.к.д. Теореми Карно.

Будь який реальний двигун можна уявити собі як нескінченну кількість нагрівачів і нескінченну кількість холодильників. Але аналізувати таку систему складно. У циклі Карно задача якомога спрощена. Розглянемо найпростішу машину – маємо дві температури – нагрівача і холодильника. Це машина без тертя, процеси у ній відбуваються нескінченно повільно, можна вважати, що квазістатично.

Цикл Карно виглядає наступним чином. Спочатку система приводиться у тепловий контакт з нагрівачем, що має температуру . Потім нескінченно повільно зменшуючи зовнішній тиск, її заставляють квазістатично розширятись по ізотермі 12. При цьому вона відбирає кількість теплоти від нагрівача і виконує роботу проти зовнішнього тиску. Після цього систему адіабатно ізолюють, тобто повністю виключають теплообмін з оточуючим середовищем, і заставляють її квазістатично розширятись по адіабаті 23, поки її температура не досягне температури холодильника . При адіабатному розширенні система також виконає  деяку роботу проти зовнішнього тиску. У стані 3 систему приводять у тепловий контакт із холодильником і неперервним збільшенням тиску ізотермічно стискають її до деякого стану 4. При цьому над системою виконується робота (тобто вона виконує від’ємну роботу ), і вона віддає холодильнику деяку кількість тепла . Стан 4 вибирається таким чином, щоб можна було б квазістатичним стисканням по адіабаті 41 повернути систему у вихідний стан 1. Для цього над нею треба виконати роботу . В результаті циклу Карно внутрішня енергія системи не змінилась. Тоді, згідно з першим началом термодинаміки, виконана робота

.

Цикл Карно є квазістатичним, отже може проходити як в прямому, так і в оберненому напрямку. Машина, яка працює за прямим циклом Карно є тепловою, а за оберненим – холодильною. К.к.д. прямого циклу Карно вводиться, як і для будь-якої теплової машини . Отже, це можна переписати і в такому вигляді . Саді Карно займався підвищенням к.к.д. машин. На той час двигуни машин працювали на різних парах (води, ртуті та ін.). Досліджуючи їх роботу, Карно сформулював три теореми, які ми зараз доведемо.

Перша з них найважливіша, знаменита теорема Карно. К.к.д. теплової машини, яка працює за оборотним циклом Карно, не залежить ні від робочої речовини, ні від конкретної будови машини, а лише від температур нагрівача і холодильника.

 Доведення. Припустимо, що у нас є нагрівач з температурою і холодильник з температурою . Вони є спільними для двох різних машин, які відрізняються чи то робочою речовиною, чи конструкцією.

К.к.д. першої машини  , другої                          .Нам треба довести, що .Доведення проведемо методом від супротивного. Припустимо, що . Цикл Карно квазістатичний, отже може відбуватись і в прямому і в зворотному напрямках. Заставимо першу машину працювати у прямому напрямку, як теплову машину, а другу – по оберненому, як холодильну машину. Перша машина бере тепло від нагрівача, виконує роботу і віддає частину тепла холодильнику. Друга машина бере від холодильника тепло , над нею виконується робота і нагрівачу передається тепло . Заставимо машини працювати з різними швидкостями так, щоб обидві машини обмінювались з нагрівачем однаковою кількістю тепла . Тоді перша машина виконає роботу більшу, ніж виконають її над другою . Це приведе до того, що перша машина віддасть тепла холодильнику менше, ніж забере від нього друга . Перша машина виконує роботу, а над другою виконують роботу. Це дозволить отримати деякий додатній виграш у робот.Додатна різниця робіт означає, що об’єднана машина виконала додаткову роботу, не використовуючи холодильник, а це і є вічний двигун другого роду за Томсоном і Планком. Отримана суперечність означає, що .Припустимо тоді, що к.к.д. першої машини менший . Заставивши першу машину працювати по зворотному циклу, а другу – по прямому і повторивши аналогічно всі міркування, отримаємо знову суперечність, а отже . Із цих двох співвідношень випливає, що .Ми довели першу частину теореми про незалежність к.к.д. від робочого тіла і конструкції машини.

Знайдемо к.к.д. для ідеального газу. Із першої теореми Карно випливає, що отриманий результат автоматично буде вірним і для інших робочих тіл, оскільки він не залежить від робочої речовини.

Для простоти будемо вважати, що кількість газу дорівнює одному молю. Знайдемо спочатку кількість тепла, що віддав нагрівач на ізотермі 12. За першим началом термодинаміки  . Оскільки газ ідеальний, його внутрішня енергія залежить тільки від температури, отже на ізотермі 12 . Для одного моля рівняння стану ідеального газу має вигляд  .Підставивши його в закон збереження енергії і проінтегрувавши, отримаємо кількість теплоти

, яка пішла на виконання роботи . Аналогічно одразу можна отримати кількість теплоти, яку газ віддасть холодильнику за цей же цикл

,де від’ємна робота, яку виконав газ у другій половині циклу (робота проводилась над газом).При адіабатному процесі газ тепла не отримає, система ізольована. Тоді перше начало термодинаміки записується для адіабатного процесу як

;           .

Робота, виконана на кожній адіабаті, буде однакова за величиною, але протилежна за знаком

;     ,

і в сумі дасть нуль.Тоді робота, виконана газом у одиничному циклі Карно . К.к.д. циклу

.

Запишемо рівняння адіабати у вигляді ,  де . Переконаєтесь самостійно, що це дає нам рівність співвідношень . А з цього випливає, що ,тобто к.к.д. залежить тільки від температур нагрівача і холодильника.Отримане співвідношення , як випливає із теореми Карно, справедливе не тільки для ідеального газу, але й для будь-якої робочої речовини, причому не тільки газу.

Друга теорема Карно. К.к.д. теплової машини, яка працює за необоротним циклом Карно, не може перевищувати к.к.д. машини, яка працює за оборотним циклом між тими ж нагрівачем і холодильником. 

Нехай є дві машини між одними й тими ж нагрівачем і холодильником. Хай одна з них працює за оборотним циклом, а друга – за необоротним. К.к.д. оборотної машини ,к.к.д. необоротної машини .

Пустимо необоротну машину за прямим циклом, а оборотну – за зворотним. Доведення проведемо методом від супротивного. Припустимо, що к.к.д. необоротної машини більший за к.к.д. оборотної. Оборотна машина відбере частину тепла від холодильника і віддасть нагрівачу за рахунок виконаної над нею роботи . Знову заставимо машини працювати машини і різними швидкостями і досягнемо, щоб . Тоді .Розглянемо машини як єдину, що дасть нам виграш у роботі  .

Холодильник в роботі участь не приймає, ми отримали надлишок роботи лише за рахунок нагрівача, тобто це вічний двигун другого роду, існування якого суперечить другому началу термодинаміки. Тоді приходимо до співвідношення . Оскільки машини запустити у зворотному напрямку неможливо, одна з них необоротна, теорема доведена.

Досі ми розглядали одиничний цикл Карно. Розглянемо деякий довільний реальний цикл. Його завжди можна уявити як сукупність великої кількості нагрівачів і холодильників. Проведемо велику кількість ізотерм і адіабат. З досить великою точністю апроксимуємо наш великий цикл великою кількістю маленьких.

Цикли між собою контактують як по ізотермах, так і по адіабатах. Проходячи адіабатні і ізотермічні процеси в протилежних напрямках, ми отримуємо нульову роботу. Крім яких циклів? Тих, що лежать зовні. Має значення лише зовнішній контур. Серед усіх малих циклів виберемо цикл з найбільшою температурою нагрівача , а серед холодильників цикл з найменшою температурою холодильника . К.к.д оборотного циклу Карно з такими температурами нагрівача і холодильника

.

У чисельнику стоїть різниця температур, пропорційна виконаній роботі. Що таке у нас виконана робота ? Це площа циклу. Вибравши більшу температуру серед нагрівачів і найменшу серед холодильників, ми отримаємо площу більшу, ніж у реального циклу. Отже, к.к.д. реального циклу буде менше, ніж у розглянутого циклу Карно.

Ось так ми довели третю теорему Карно. К.к.д. будь-якої реальної машини не може перевищувати к.к.д. машини, що працює за оборотним циклом Карно, і цей цикл відбувається між найбільшою температурою нагрівача реальної машини і найменшою температурою її холодильника.

 

Отримаємо кількісні співвідношення рівності фаз, застосувавши умову рівноваги. Будемо розглядати процес

випаровування  кондесація.

Але всі міркування будуть справедливими і для інших переходів.

Кількісно описати фазові переходи І роду – означає знайти залежність між фізичними параметрами, що характеризують ці переходи.

    

Звернемось до ізотерм Ван-дер-Ваальса. Із збільшенням температури збільшується тиск насиченої пари, оскільки збільшується швидкість молекул. З іншого боку, зменшується робота, яку треба витратити молекулі для виходу з рідини.Стан речовини будемо зображати точкою в системі координат . Кожна точка цієї діаграми відповідає однорідному (однофазному) стану речовини – або рідині, або її парі – за винятком лінії, що їх розділяє. На лінії обидві фази знаходяться у рівновазі, на ній виконується умова рівності питомих термодинамічних потенціалів Гіббса. З умови рівності цих потенціалів можна буде знайти рівняння кривої .Ця границя розділу фаз має назву крива рівноваги рідини і її насиченої пари, або крива випаровування.Будемо стискати газ ізотермічно. За рахунок стискання швидкість конденсації збільшується, а швидкість випаровування фіксована, вона визначається температурою. Кількість рідини збільшиться, а тиск пари повернеться до вихідного стану. Все це буде відбуватись, поки не залишиться сама рідина. Аналогічно можна розглянути процес ізотермічного розширення, а також ізобарне нагрівання і охолодження. Крива випаровування обмежена, оскільки вище  немає фазових перетвореннь.Розв’язавши рівняння   можемо знайти залежність . Це – рівняння дає залежність тиску насиченої пари від температури. Знайдемо нахил кривої випаровування . Уздовж кривої . Оскільки , маємо

;  ,звідки .

Фазові перетворення взагалі супроводжуються стрибком ентропії, це означає, що при фазовому переході виділяється або поглинається кількість теплоти .

Це тепло поглинається, якщо має місце перехід рідина  пар, і віділяється, коли перехід

пара  рідина. Підставивши різницю ентропій, маємо рівняння Клапейрона-Клаузіуса для питомих величин . Величина питома теплота фазового перетворення.

Чому треба витратити тепло ? З молекулярної точки зору : молекули розподілені за швидкостями згідно із розподілом Максвелла. Тільки найшвидші молекули мають достатню енергію, щоб подалати притягання з боку молекул об’єму, і виходять із рідини. Пройовши верхній шар рідини, вони уповільнюються, а отже – охолоджуються. Внаслідок уходу швидких молекул рідина охолоджується. Для підтримання температури необхідний підвод тепла. Рівняння Клапейрона-Клаузіуса справедливе для будь-якого фазового переходу І роду. Рівняння Клапейрона-Клаузіуса можна також отримати методом циклів.

Тиск насиченої пари однозначно визначається температурою , тому ізотерма еквівалентна ізобарі . Цикл має вигляд, наведений на рисунку. Виберемо його нескінченно малим. К.к.д. такого циклу ,де робота чисельно дорівнює площі циклу , а є кількістю теплоти, яку система отримала від нагрівача, а також питомою теплотою фазового перетворення.

З іншого боку, к.к.д. оборотного циклу Карно

.

Прирівнявши вирази для к.к.д., отримаємо рівняння Клапейрона-Клаузіуса

.

Якщо відомі залежності від температури питомої теплоти фазового переходу та об’єму , то можна знайти залежність у явному вигляді, проінтегрувавши рівняння Клапейрона-Клаузіуса. Візьмемо темепратуру, далеку від критичної . Тоді об’єм паринабагато перевищує об’єм рідини . Покладемо . Крім того, будемо вважати, що до насиченої пари можна застосувати рівняння ідеального газу Клапейрона-Менделеєва

,

або для питомих величин

;  .

Тоді рівняння Клапейрона-Клаузіуса набуває вигляду

.

Розділивши змінні, маємо диференціальне рівняння

; .

Сталу інтегрування знайдемо з умови, що при температурі тиск насиченої пари становить , отже

; .

Тоді

; .

Остаточно отримуємо залежність тиску насиченої пари від температури у явному вигляді

.

Отримана формула дає лише приблизний хід кривої випаровування. Слід пам’ятати, що ми робили велику кількість припущень та обмежень. Формула справедлива лише для температур, далеких від критичної, щоб можна було знехтувати об’ємом рідини у порівнянні із об’ємом насиченої пари.

Крім того, питома теплота фазового перетворення є сталою лише в диже малому інтервалі температур. Введемо позначення теплота пароутворення для одного моля речовини. Припустимо, що цю величину можна розкласти в ряд

.

Розділимо ліву і праву частину на

.

Проінтегрувавши, маємо    ,

експоненціальна залежність виникає лише у першому наближенні. Але за певних умов і така формула з експоненційною залежністю має право на існування і використання.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18782. Спрос и предложение на национальном рынке. Экономический смысл показателей: совокупный спрос и совокупное предложение 29 KB
  Спрос и предложение на национальном рынке. Экономический смысл показателей: совокупный спрос и совокупное предложение Цель любой экономической системы – достижение макроэкономического равновесия т.е. сбалансированного состояния экономической системы как единого
18783. Сущность совокупного спроса и факторы его определяющие 28 KB
  Сущность совокупного спроса и факторы его определяющие. Совокупный агрегированный спрос от англ. aggregate demand – АD – это сумма всех индивидуальных спросов на конечные товары и услуги предлагаемые на товарном рынке. Основными формами его проявления служат: потребительск
18784. Совокупное предложение. Совокупное предложение в краткосрочном, среднесрочном и долгосрочном и долгосрочном периоде 33 KB
  Совокупное предложение. Совокупное предложение в краткосрочном среднесрочном и долгосрочном и долгосрочном периоде. Совокупное предложение AS – это реальный объем национального продукта который может быть произведен при каждом возможном уровне цен Кривая
18785. Агрегирование показателей совокупного спроса и совокупного предложения как предпосылка осуществления макроэкономического анализа 33 KB
  Агрегирование показателей совокупного спроса и совокупного предложения как предпосылка осуществления макроэкономического анализа. В современной экономической теории макроэкономический анализ равновесия осуществляется при помощи агрегирования или формирования...
18786. Цели, эффективность и качество экономического роста 30.5 KB
  Цели эффективность и качество экономического роста. Основными конечными целями экономического роста являются повышение материального благосостояния населения и поддержание национальной безопасности. Повышение материального благосостояния как главная цель эконо...
18787. Основные типы экономического роста. Экстенсивный и интенсивный экономический рост 27 KB
  Основные типы экономического роста. Экстенсивный и интенсивный экономический рост. Растущая экономика характеризуется ростом ВНП который может использоваться для удовлетворения текущих и будущих потребностей. Экономический рост это увеличение ВНП или ЧНП за опре...
18788. Основные модели равновесного экономического роста 28.5 KB
  Основные модели равновесного экономического роста. Под равновесным экономическим ростом понимается такое развитие национальной экономики в долгосрочном периоде при котором объемы совокупного спроса и совокупного предложения увеличивающиеся от периода к периоду...
18789. Структурная организация, классификация, функциональные задачи, информационная модель 119.07 KB
  Структурная организация классификация функциональные задачи информационная модель. ЭМС ЛСУ определяет весь спектр задач которые д. решать система управления в общем. В результате изучения ЛСУ необходимо знать: 1. ...
18790. Особенности реализации вычислительных процедур в цифровых ЛСУ. Табличные методы обработки информации 103.02 KB
  Особенности реализации вычислительных процедур в цифровых ЛСУ. Табличные методы обработки информации. Основные задачи вычислительного характера возлагаемые на МПС: 1. Траекторные расчеты 2. Математические вычисления 3. ...