36519

Обертальний броунівський рух

Шпаргалка

Физика

Залежна від цих змінних внутрішня енергія є термодинамічним потенціалом або характеристичною функцією. Зауважте внутрішня енергія є термодинамічним потенціалом лише коли вона залежить від ентропії і температури . Коли внутрішня енергія залежить від інших змінних вона не буде термодинамічним потенціалом. Для адіабатного ізохорного процесу внутрішня енергія .

Русский

2013-09-22

201.25 KB

2 чел.

Білет №21

1.Обертальний броунівський рух.

Завислі у рідині чи газі броунівські частинки здійснюють не тільки поступальні переміщення, а й обертові рухи. Аналогія – натовп на ринку. Якщо вас штовхнули у плече, ви обернетесь навколо вертикальної осі. Такі обертові рухи можна зіставити з коливаннями маленького дзеркальця, підвішеного на тонкій пружній дротинці в газі. Під дією ударів молекул газу дзеркальце здійснює крутильні коливання навколо осі, якою є вертикальна дротинка. Кутове відхилення дзеркальця дуже мале.

Рівняння крутильних коливань дзеркальця знайоме вам із курсу механіки і має вигляд :

,

де момент інерції дзеркальця, момент сил, що виникає за рахунок ударів молекул, модуль кручення дротинки, кутове прискорення. Знак “мінус” показує, що момент сили пружності дротинки намагається повернути дзеркальце в положення рівноваги.

Як і для поступального руху, знайдемо середній квадрат кутового відхилення , оскільки . Помножимо обидві частини рівняння на .

.

Скористаємось тотожностями

,      

звідки

;   .

Підставивши отримані співвідношення у рівняння крутильних коливань, отримаємо

.

Усереднивши за часом, отримаємо

.

Величина , оскільки дзеркальце рівну кількість разів повертається за годинниковою стрілкою і проти неї, тому цим доданком можна знехтувати.

Дзеркальце у газі можна розглядати як величезну броунівську частинку (так само, як і поршень, коли ми розглядали газокінетичний зміст температури). Воно здійснює малі крутильні коливання, які є гармонічними. Величина є середньою кінетичною енергією гармонічних коливань, яка дорівнює . Тоді

.

Оскільки середні значення кінетичної і потенціальної енергії гармонічних коливань однакові, маємо

,

Звідки     .

Отже, за значеннями макроскопічних параметрів, якими є температура , модуль кручення дротинки та середнє значення квадрату кутового відхилення , можна з великою точністю визначити сталу Больцмана. Може здатися, що з великою точністю важко виміряти малі кутові відхилення. Але їх можна вимірювати за допомогою променя світла. Мале кутове зміщення приведе до значного лінійного зміщення відбитого променя на великій відстані від дзеркальця.

2. Метод термодинамічних потенціалів. Ентальпія як термодинамічний потенціал. Співвідношення Максвелла і рівняння Гіббса-Гельмгольца.

Існують певні величини, що характеризують стан системи. Дуже часто зв’язок між цими величинами неможливо встановити методами формальної термодинаміки. Деякі співвідношення нам вдалось встановити методом циклів Карно : ми ввели абсолютну термодинамічну шкалу температур, отримали закон Джоуля та співвідношення Роберта Майєра.Поряд з методом циклів, аналогічні співвідношення може дати метод термодинамічних потенціалів, або метод характеристичних функцій, запропонований Гіббсом. Цей метод є аналітичним методом опису термодинамічної системи, та ґрунтується на термодинамічній тотожності для оборотних процесів

.

Це рівняння пов’язує п’ять фізичних величин, що визначають стан системи, що перебуває у термодинамічній рівновазі. Кожна з п’яти величин є параметром стану системи, а також функцією стану (ми використовуємо для кожної з них повні диференціали, а не функціонали).

Як знайти ці величини, що характеризують стан системи ? Ми можемо вибрати дві величини у якості незалежних змінних. Але у нас залишається ще три невідомих, для знаходження яких потрібно ще два рівняння. Це можуть бути термічне рівняння стану

та калоричне рівняння .

Термодинаміка не може дати нам ці співвідношення, оскільки вона не спирається на модельні уявлення. Якщо скористатися моделлю, то отриманий результат буде справедливим лише у межах запропонованої моделі.

Але ці співвідношення можна отримати методом термодинамічних потенціалів Гіббса. Починаємо розглядати потенціали.

Візьмемо термодинамічну тотожність і перепишемо її у вигляді

.

За незалежні змінні виберемо ентропію та об’єм . Залежна від цих змінних внутрішня енергія є термодинамічним потенціалом, або характеристичною функцією. Зауважте, внутрішня енергія є термодинамічним потенціалом лише коли вона залежить від ентропії і температури . Коли внутрішня енергія залежить від інших змінних, вона не буде термодинамічним потенціалом. Запишемо повний диференціал внутрішньої енергії

.

Порівнявши його із термодинамічною тотожністю, можемо записати

;             .

З цих співвідношень випливає, що температура є мірою збільшення внутрішньої енергії при збільшенні ентропії за сталого об’єму, а тиск – мірою її зменшення при ізоентропійному (адіабатному) збільшенні об’єму.

Температура і тиск є параметрами стану системи, які ми можемо знайти із наведених співвідношень, знаючи загальний вигляд внутрішньої енергії. Зв’язок між цими параметрами можна встановити наступним чином. Продиференціюємо кожний із параметрів по параметру, який досі вважали сталим :

;                      .

Прирівнявши мішані похідні, отримаємо співвідношення

.

Це – рівняння зв’язку Максвелла. Воно пов’язує дві властивості системи : зміну температури під час адіабатного (ізоентропійного) розширення та зміну тиску під час ізохорного нагрівання. Встановлення таких зв’язків між різними властивостями системи становить зміст методу термодинамічних потенціалів, або ж характеристичних функцій.

 Для зручності ми розглядали тільки оборотні процеси, які із основної термодинамічної нерівності

дали нам термодинамічну тотожність. Зафіксуємо дві незалежні змінні . Для адіабатного ізохорного процесу внутрішня енергія . Для будь-якого (включаючи необоротний) процесу  .

В адіабатній ізохорній системі процеси будуть відбуватись таким чином, щоб внутрішня енергія прямувала до мінімуму. Коли система його досягне, процеси йтимуть квазістатично, тобто оборотно. Після припинення необоротного процесу внутрішня енергія буде мінімальною, тобто умовою рівноваги системи, що перебуває за умов сталої ентропії та сталого об’єму є мінімум внутрішньої енергії.Таким чином, ми можемо передбачати хід подій у такій (адіабатній, ізохорній)системі.

Давайте візьмемо повний диференціал величини

,   або    .

Скористаємося термодинамічною тотожністю для оборотного процесу . Тоді

; звідки .

Введемо ще один термодинамічний потенціал – вільна енергія, або потенціал Гельмгольца

.

Вільна енергія буде термодинамічним потенціалом (характеристичною функцією), коли вона залежить від температури і об’єму . При залежності від інших параметрів вільна енергія не буде характеристичною функцією. Запишемо її повний диференціал

.

Оскільки з попереднього рівняння диференціалу внутрішньої енергії

, маємо

;             .

Отримавши, як і у попередньому випадку змішані похідні. Отримаємо рівняння зв’язку Максвелла

.

Ця рівність показує зв’язок між зміною ентропії при ізотермічному розширенні системи і зміною тиску при ізохорному нагріванні. Вільну енергію ми ввели через внутрішню енергію як

.

Тоді навпаки внутрішня енергія .

Виразимо кожну з енергій через іншу та незалежні параметри, які визначають останню, тобто

;               .

Дивіться, внутрішня енергія виражається через вільну енергію, та температуру і об’єм, при яких вільна енергія є термодинамічним потенціалом. Аналогічно, вільна енергія виражається через внутрішню енергію і ентропію і об’єм, за яких вона є термодинамічним потенціалом.

Ці співвідношення між термодинамічними потенціалами мають назву рівняння Гіббса-Гельмгольца.

Давайте зафіксуємо температуру і проведемо ізотермічний процес. Тоді основна термодинамічна нерівність може бути переписана як

;    .

Оскільки процес ізотермічний, можемо внести температуру під знак диференціалу    ;    .

Отже, ми отримали, що для будь-якого ізотермічного процесу (оборотного чи необоротного) виконана робота не може перевищувати  втрату вільної енергії

.

Звичайно, що для оборотного процесу буде рівність

.

Це означає, що не вся внутрішня енергія системи може бути перетворена у роботу, а лише її частина

.

Тому ця енергія і має назву вільної, тобто це та частина внутрішньої енергії, яка може бути перетворена в роботу при оборотному процесі.

Якщо ми, крім температури  , зафіксуємо ще й об’єм , тобто другий параметр, від якого мусить залежати вільна енергія, щоб бути термодинамічним потенціалом, ми отримаємо із термодинамічної нерівності (перевірте самі) нерівність

.

Знову ж нагадаю, що рівність стосується оборотних процесів, а нерівність – необоротних процесів, тобто реальних фізичних процесів.

Таким чином, ми можемо передбачати хід подій і у такій (ізотермічній, ізохорній) системі. В ізотермічній ізохорній системі процеси будуть відбуватись таким чином, щоб вільна енергія прямувала до мінімуму. Коли система його досягне, процеси йтимуть квазістатично, тобто оборотно. Після припинення необоротного процесу вільна енергія буде мінімальною, тобто умовою рівноваги системи, що перебуває за умов сталої температури та сталого об’єму є мінімум вільної енергії.

Давайте візьмемо повний диференціал , звідки

.

Будемо поки що розглядати оборотний процес, щоб користуватись термодинамічною тотожністю

;             звідки    .

Підставимо цей вираз для роботи у повний диференціал

,     звідки    .

Об’єднаємо повний диференціал

.

По аналогії, бачимо, що незалежними змінними на цей раз будуть ентропія та тиск . А функція, яка буде характеристичною за цих змінних добре вам знайома. Що собою являє ? Це ентальпія , яка буде термодинамічним потенціалом, коли залежить від ентропії та тиску .

Порівнявши рівняння з повним диференціалом ентальпії

отримаємо співвідношення для решти параметрів    ;             .

Отримавши, як і у попередньому випадку змішані похідні. Отримаємо рівняння зв’язку Максвелла

та рівняння Гіббса-Гельмгольца

;           .

Зафіксуємо параметри. Спочатку тиск . Тоді термодинамічна нерівність

набуває вигляду

.

Зміна ентальпії не може перевищувати отриманої кількості теплоти. Якщо зафіксувати і ентропію , то визначимо напрямок протікання процесу

.

В адіабатній ізобарній системі процеси будуть відбуватись таким чином, щоб ентальпія прямувала до мінімуму. Коли система його досягне, процеси йтимуть квазістатично, тобто оборотно. Після припинення необоротного процесу ентальпія буде мінімальною, тобто умовою рівноваги системи, що перебуває за умов сталої ентропії та сталого тиску є мінімум ентальпії.

І, нарешті, останній, четвертий термодинамічний потенціал.

Давайте візьмемо повний диференціал  ,

Звідки , та повний диференціал , звідки .

Підставимо все це у термодинамічну тотожність ;            

звідки    .

Об’єднаємо повні диференціали . По аналогії, бачимо, що незалежними змінними на цей раз будуть температура та тиск . Введемо функцію, яка буде характеристичною за цих змінних.  Це термодинамічний потенціал Гіббса

,

яка буде термодинамічним потенціалом, коли залежить від ентропії та тиску .

Порівнявши рівняння     з повним диференціалом ентальпії

отримаємо співвідношення для решти параметрів

;             .

Отримавши, як і у попередньому випадку змішані похідні. Отримаємо рівняння зв’язку Максвелла

та рівняння Гіббса-Гельмгольца ;           .

Зафіксуємо параметри . Тоді термодинамічна нерівність

    набуває вигляду .

В ізотермічній ізобарній системі процеси будуть відбуватись таким чином, щоб функція Гіббса прямувала до мінімуму. Коли система його досягне, процеси йтимуть квазістатично, тобто оборотно. Після припинення необоротного процесу функція Гіббса буде мінімальною, тобто умовою рівноваги системи, що перебуває за умов сталої температури та сталого тиску є мінімум термодинамічного потенціалу Гіббса.

3. Іонізаційний манометр.  

Іонізаційний манометр Н.Д.Моргуліса. Теорія цього манометра була створена засновником кафедри фізичної електроніки професором Наумом Давидовичем Моргулісом. Конструкцією він нагадує звичайну трьохелектродну підсилювальну лампу – вакуумний тріод. Принцип його дії оснований на тому, що певна частина молекул або атомів газу, тиск якого вимірюється, іонізують, тобто перетворюють на позитивно заряджені іони. Під дією зовнішнього електричного поля виникає іонний струм, який можна реєструвати.

Кількість іонів залежить від тиску. Вимірюючи іонний тиск, ми можемо робити висновок про тиск у системі.Електрони випромінюються  катодом і розганяються у напрямку до сітки. Сітка рідка, із великою прозорістю, тому більша частина електронів не потрапляє на сітку, а проскакує крізь неї. Потім електрони відштовхуються гальмуючим полем анода і знову розганяються у напрямку сітки. Тобто, електрони коливаються між катодом і анодом, прискорюючись сіткою. Це приводить до збільшення довжини пробігу електронів і збільшення імовірності іонізації атому газу.

Іони, які потрапляють на катод, не грають ніякої ролі. Внесок у іонний струм, який реєструється, дають тільки іони, які потрапляють на анод. Струм аноду пов’язаний із тиском та електронним струмом ,тобто кількість утворених іонів пропорційна тиску газу та кількості електронів. Кількість електронів підтримують сталою . Але все одно, іонізаційний манометр потребує попереднього градуювання, тобто знаходження коефіцієнту пропорційності між іонним струмом і тиском . Це дає можливість за іонним струмом визначати тиск газу.У межах тисків тор градуювання є лінійним. При нижчих тисках виникає фон. Фон зумовлений гальмуванням електронів на аноді. При цьому виникає рентгенівське випромінювання з максимальною енергією ~ 200 еВ (досить велика). Кванти рентгенівського випромінювання розлітаються у всі боки. Потрапляючи на анод, вони вибивають фотоелектрони. Вони також іонізують газ, виникає паразитний струм, який додається до вимірюваного іонного. Таким чином, манометр надійно працює  до тисків тор.

Спеціальним зменшенням фону, збільшенням сигналу та використанням нелінійної ділянки градуювання, можна іонізаційним манометром вимірювати тиск до тор.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25990. Возрождение Основные вопросы философии 24.92 KB
  Соловьёв Владимир Сергеевич [1628. Сын Соловьёв Владимир Сергеевич М. После речи против смертной казни в марте 1881 в связи с убийством Александра II народовольцами Соловьёв Владимир Сергеевич был вынужден оставить преподавательскую работу.Как мыслитель и утопист Соловьёв Владимир Сергеевич оказался на пересечении разных духовных течений.
25991. Основные принципы гуманизма. Э. Роттердамский и др 20.79 KB
  В данной работе мы не будем говорить ни о христианской догматике ни о христианской мистике. Мы будем говорить лишь о христианской морали то есть о том насколько христианство отвечает высоким моральным стремлениям человеческого духа здесь на земле. Уже одно то что из всех евангельских догматов самым главным является догмат о том что Бог именно изза любви к человеку Сам становится человеком терпит все человеческие невзгоды лишения и страдания вплоть до мучительной и позорной смерти и все это повторяем именно изза любви к...
25992. Научные открытия э похи Ренессанса Н. Коперник, Д. Бруно, Г. Галилей 20.66 KB
  Исходя из этого положения Коперник весьма просто объяснил всю кажущуюся запутанность движений планет но не зная ещё истинных путей планет и считая их окружностями он был ещё вынужден сохранить эпициклы и деференты древних для объяснения неравномерности движений. В первой части говорится о шарообразности мира и Земли а вместо положения о неподвижности Земли помещена иная аксиома Земля и другие планеты вращаются вокруг оси и обращаются вокруг Солнца. С гелиоцентрических позиций он без труда объясняет возвратное движение планет.Во второй...
25993. Социально-утопические учения Томаса Мора 22.4 KB
  Гуманистическое мировоззрение автора Утопии привело его к выводам большой социальной остроты и значимости особенно в первой части этого произведения. Уже эти глубокие констатации подсказали Мору основное направление проектов и мечтаний во второй части Утопии . Многие гуманисты начиная с Эразма видели в Утопии долгожданную соперницу этого величайшего творения политической мысли произведения существовавшего к тому времени почти два тысячелетия. Если ли не самую характерную определяющую черту социальнофилософской доктрины лежащую в...
25994. Социально - политические учения Никколо Макиавелли 16.88 KB
  Монтень Мишель Монтень является французским философом эпохи Возрождения. В историю Монтень вошел как основатель скептицизма как продолжатель античного скептицизма Пиррона.Отвергая религиозное учение о бессмертии души Монтень подходит к пониманию сознания как свойства материи.В отличие от агностиков Монтень не отрицает познаваемости мира.
25995. Философия, ее предмет и функции. Философия и естествознание 16.08 KB
  Философия ее предмет и функции. Философия и естествознание Философия с греч. Философия вырабатывает обобщенную систему взглядов на мир место человека в нем; она исследует познавательные ценности социальнополитическое нравственное и эстетическое отношение человека к миру. Философия всегда в той или иной степени выполняла по отношению к науке функции методологии познания и мировоззренческой интерпретации ее результатов.
25996. Основной вопрос философии 16.33 KB
  Основной вопрос философии вопрос об отношении сознания к бытию мышления к материи природе рассматриваемый с двух сторон: вопервых что является первичным дух или природа материя или сознание и вовторых как относится знание о мире к самому миру или иначе соответствует ли сознание бытию способно ли оно верно отражать мир. Первичность материи она видит в том что: 1 материя является источником сознания а сознание отражает материи; 2 сознание результат длительного процесса развития материального мира; 3 сознание есть...
25997. Картина мира: мифологическая, религиозная, философская, научная 28.61 KB
  Картина мира: мифологическая религиозная философская научная 1.Мифологическая картина мира Мифологическое мировоззрение представляет собой исторически первый тип мировоззрения или способ оформления мировоззренческих представлений и возникает на этапе становления человеческого общества. Следующей важнейшей особенностью мифологии является генетизм суть которого состояла в выяснении природы мира происхождения рода различных природных и социальных явлений.Таким образом мифология это целостное миропонимание в котором различные...
25998. Философия и медицина 15.18 KB
  Чаадаев о России Петр Яковлевич [27. Высочайшим повелением Чаадаев Петр Яковлевич был объявлен сумасшедшим. Написанная Чаадаев Петр Яковлевич в ответ на обвинения в недостатке патриотизма Апология сумасшедшего 1837 где Чаадаев Петр Яковлевич говоря о России утверждал что мы призваны решить большую часть проблем социального порядка.227 при жизни Чаадаев Петр Яковлевич Напечатана не была.