36521

Флуктуації. Міра флуктуації. Адитивність дисперсії

Шпаргалка

Физика

Фізичні величини що характеризують макроскопічне тіло яке знаходиться у стані рівноваги практично завжди з великою точністю дорівнюють своїм середнім значенням. Але відхилення від середнього значення все ж таки мають місце у зв’язку із чим виникає питання про знаходження розподілу ймовірностей цих відхилень. Ми ввели середнє значення як . Реальне значення величини практично завжди відрізняється від .

Русский

2013-09-22

197 KB

3 чел.

Білет №22

1. Флуктуації. Міра флуктуації. Адитивність дисперсії.

Фізичні величини, що характеризують макроскопічне тіло, яке знаходиться у стані рівноваги, практично завжди з великою точністю дорівнюють своїм середнім значенням. Але відхилення від середнього значення все ж таки мають місце, у зв’язку із чим виникає питання про знаходження розподілу ймовірностей цих відхилень.

Коли ми з вами вводили поняття середніх величин ще на першій лекції, я малювала вам ось такий графік. Деяка фізична величина випадковим чином змінюється з часом. Ми ввели середнє значення як  .

Реальне значення величини  практично завжди відрізняється від . Такі випадкові відхилення фізичних величин від їх середніх значень називаються флуктуаціями.

Прикладів флуктуючих величин можна навести чимало, і не тільки у фізиці. Флуктує зріст людини, тривалість життя, густота населення у певній місцевості. З флуктуаціями пов’язані шумові характеристики приладів та розповсюдження радіохвиль. Флуктуації густини повітря є причиною блакитного кольору неба і червоного кольору Сонця під час сходу і заходу.

Кількісна характеристика флуктуацій ґрунтується на методах математичної статистики і теорії ймовірностей.

Отже, флуктуацією фізичної величини є відхилення її миттєвого значення від середнього значення

,

або, не прив’язуючись до змінної,

- величина флуктуації.

Нам треба ввести якусь міру флуктуації. Середнє значення флуктуації не може бути її мірою, оскільки

із найзагальніших міркувань очевидно, що воно дорівнює нулю. Відхилення від середнього значення можуть бути як в один бік, так і в другий, флуктуації можуть бути як додатні, так і від’ємні, і в сумі дадуть нуль.

Для оцінки флуктуації фізичної величини  використовують дисперсію, тобто середнє значення квадрату флуктуації величини . Вона буде відмінна від нуля. (Дивіться – аналогія : середнє значення проекції швидкості , а середнє значення квадрату проекції швидкості ; ми переконались у цьому не тільки із загальних міркувань, а і за допомогою розподілу Максвелла).

Величина дисперсії визначається як

різниця середнього значення квадрату і квадрату середнього значення фізичної величини. При усередненні скористалися тим, що на вже усереднені значення усереднення не діє.

Квадратний корінь із величини дисперсії

становить середню квадратичну флуктуацію. (Аналогія – середня квадратична швидкість). І останнє із понять, що треба ввести : відношення середньої квадратичної флуктуації до середнього значення

називається відносною флуктуацією.

Що стосується властивостей флуктуації – ми зараз покажемо, що вона є адитивною, якщо є адитивною фізична величина, що флуктує. Що означає адитивність ? Це означає, що значення фізичної величини для складної системи є сумою її значень для усіх незалежних частин

.

Кількість молекул – адитивна, кількість молекул у одиниці об’єму (концентрація молекул) – адитивна, енергія – адитивна.

Розглянемо фізичну систему, що складається із незалежних однакових частин. Вважатимемо, що такою системою є ідеальний газ із  молекул, а складовими частинами – окремі молекули. Нехай  довільна адитивна величина, яка відноситься до частини, тобто, що теж саме, до молекули. (Прикладом такої величини  може бути кінетична енергія окремої молекули, а кінетична енергія усіх молекул газу.) Оскільки всі частини системи тотожні, то

їх середні значення рівні і їх можна позначити .

Тоді

.

Дисперсія фізичної величини, як ми вже визначили раніше,

.

Для середнього значення квадрату величини

.

Умова  як раз зменшує кількість доданків, пов’язаних із квадратами флуктуацій. Частини системи незалежні, тому

.

Сума  вміщує  доданків, кожен з яких дорівнює . Чому саме ? Якщо  чисел ми помножимо на  таких самих чисел, у нас буде  доданків. Доданків, у яких  буде , решта, тобто тих, де  буде . Отже,

.

Тепер перейдемо до першого доданку у виразі для середнього значення квадрату величини

.Остаточно отримали вираз для .

Піднесемо до квадрату середнє значення нашої величини .

Тепер визначимо дисперсію

;

;

.

Ми отримали дуже важливий результат. Дисперсія адитивної фізичної величини  всієї системи дорівнює сумі дисперсій її частин. Тобто, міра флуктуації всієї системи складається із мір флуктуацій її складових.

Відносна флуктуація величини  системи дорівнює

; .

Із цього співвідношення випливає, що відносна флуктуація будь-якої адитивної величини системи, яка складається із  незалежних частин, обернено пропорційна кореню із кількості частин системи.

Припустимо, що у нас є 3 молекули в 1 см3. Відносна флуктуація такої системи буде практично визначатися відносною флуктуацією значення фізичної величини кожної молекули. А це означає, що користуватись якимись усередненими значеннями для такої системи не можна. А, припустимо, ми маємо 2,71019 молекул повітря в 1 см3 (число Лошмідта). Тоді відносна флуктуація зменшиться у приблизно 109 разів, або на 9 порядків. Таку макроскопічну систему із великою кількістю частинок можна описувати за допомогою середніх значень величини, які її характеризують.

Тепер наша задача зводиться до наступного. У нас є фізична величина, яка випадково змінюється у часі. Тобто у будь-який момент часу реальна величина відрізняється від її середнього значення.

Нам треба знайти імовірність того, що деяка величина відхилилась від свого середнього значення. Із загальних міркувань проситься такий графік. Найбільш імовірним є її середнє значення, а великі відхилення від нього є малоймовірними. Отже, треба знайти вигляд цієї кривої.

2. Теорема про рівномірний розподіл енергії за ступенями вільності для обертального руху.

Щоб спростити процедуру, не будемо враховувати наявність потенціального поля. Кількість молекул , всі вони незалежні. Будемо розглядати простір кругових (або циклічних) частот. Кожна молекула характеризується у просторі кругових частот величинами . Для неї існують 3 обертальні ступені вільності. Стан всієї системи визначається  ступенями вільності. Запишемо елементарний об’єм у просторі кругових частот

.

Імовірність потрапити молекулам у елементарний об’єм  має вигляд

.

Знайдемо середню кінетичну енергію обертального руху виділеної молекули, що припадає на один ступінь вільності  при обертанні навколо осі  (навіщо нам чіплятись до осі , вісь  нічим не гірша). Для цього виділимо енергію і інтервал частот, що стосуються цієї молекули , .

Тоді за означенням середнього значення.

Скоротивши, отримуємо такі рідні інтеграли Пуассона

; .

.

Отже, і на один обертальний ступінь вільності припадає кінетична енергія

.

Отже, теорему про рівнорозподіл ми довели для поступального і коливального рухів. І раніше я зауважила, що на один ступінь вільності припадає потенціальна енергія , якщо потенціальна енергія визначається квадратом змінної величини, з якою пов’язаний ступінь вільності. До речі, звідки береться ця вимога квадратичності? Ця квадратичність входить до виразу для енергії, а отже, потрапляє до показника експоненти розподілу ймовірностей. Тоді при інтегрування ми маємо справу з інтегралами Пуассона і відповідними результатами. Інша залежність такого результату не дасть. (можете спробувати для поля тяжіння Землі).

Квадратична залежність координати має місце у енергії коливань пружини. Одразу приходить на думку двоатомна молекула із нежорстким зв’язком.

3. Рідкі розчини. Закон Генрі. Закон Рауля. Наслідки із них.

Проста закономірність показана в рівностях 

, де рв — тиск

насиченої пари надчистою речовиною В, називається законом Рауля. Цей закон справедливий для інертних розчинів. В реальних розчинах зміна тиску пари компонентів в порівнянні з відповідними чистими речовинам проходить не тільки через зміну відносного числа частинок, які випаровуються. Тут крім того грає роль та обставина, що сили притягання між різними частинками (А—В) відрізняються від сили взаємодії одинакових частинок(А—А і В—В). В реальних розчинах завжди спостерігається відхилення від закону Рауля, і по цих відхиленнях можна судити про характер сил взаємодії між частинками розчину. 

Закон Генрі. Закон Рауля використовують для ідеальних розчинів. Згідно з цим законом пружність насиченої пари розчинної речовини рре над розтвором пропорційна концентрації цієї речовини в розчині:

де К — стала рівна тиску насиченої пари при тій же температурі.

Число частинок, переходячих з рідини в пару рівне числу частинок, які повертаються з пари в рідину. Тому з рівним правом можна сказати про випаровування розчинної речовини з розчину і про розчин його пари в розчиннику. Якщо розглядати саме останній процес, тобто процес розчину пари в рідину, то наше рівняння потрібно переписати в такому вигляді: 

Це значить, що концентрація газу, розчиненого в рідині пропорційна рого тиску над розчином.

Це положення називається законом Генрі. Закон цей суворо справедливий тільки для ідеальних розчинів. Для яких виконується закон Рауля. В реальних розчинах завжди спостерігається відхилення від закону Генрі.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39558. ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ ФИНАНСОВОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СТРАХОВОЙ ОРГАНИЗАЦИИ ОСАО «РЕСО-ГАРАНТИЯ» 21.78 MB
  АНАЛИЗ ФИНАНСОВОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СТРАХОВОЙ ОРГАНИЗАЦИИ ОСАО РЕСОГАРАНТИЯ. Характеристика страховой организации ОСАО РЕСОГарантия. Анализ показателей финансовой состоятельности страховой организации ОСАО РЕСОГарантия. Расчет основных показателей финансовохозяйственной деятельности страховой организации ОСАО РЕСОГарантия.
39559. Сравнительная характеристика показателей чистого приведенного дохода и внутренней нормы прибыли при учете и без учета инфляции 1.09 MB
  В инвестиционной деятельности существенное значение имеет фактор риска. Инвестирование всегда связано с иммобилизацией финансовых ресурсов предприятия и обычно осуществляется в условиях неопределенности, степень которой может значительно варьироваться.
39560. Проектирование женского плаща 23.3 MB
  1 Модели предлагаемые на рынке сбыта Модели предлагаемые на рынке сбыта Проанализировав несколько торговых точек Омской области можно сказать что самая актуальная модель плаща в данном регионе это классический тренчкот траншейное пальто – это модель дождевого плаща с неизменными атрибутами: двубортный с погонами и отложным воротником манжетами кокеткой поясом и разрезом сзади.3 Модели предлагаемые на рынке сбыта Описание модели: Вид изделия: женский плащ Назначение изделия: для повседневной носки ...
39562. Подбор оборудования и проектирование здания Багаевской МГЭС 4.3 MB
  В качестве исходных данных при составлении гидрометеорологической характеристики были использованы материалы многолетних наблюдений Гидрометеослужбы, а также «Основные положения правил использования водных ресурсов Цимлянского водохранилища на р. Дон» и архивные материалы проектных организаций, проводивших изыскания на участке проектирования в предыдущие годы.